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Modelos de Transporte: Modelos de Transporte: mméétodo de la esquina todo de la esquina
noroestenoroeste
M. En C. Eduardo Bustos FarM. En C. Eduardo Bustos Farííasas
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LA REGLA DE LA ESQUINA LA REGLA DE LA ESQUINA NOROESTE NOROESTE
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Esta regla nos permite encontrar una Esta regla nos permite encontrar una solucisolucióón factible bn factible báásica inicial sica inicial (SFBI), una vez que tengamos el (SFBI), una vez que tengamos el problema de transporte problema de transporte ““balanceadobalanceado”” o equilibrado, es o equilibrado, es decir que el total de ofertas iguales decir que el total de ofertas iguales al total de demandas.al total de demandas.
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PROCEDIMIENTOPROCEDIMIENTO
Iniciar la asignaciIniciar la asignacióón en el rengln en el renglóón 1 y n 1 y columna 1 (esquina noroeste) y formar una columna 1 (esquina noroeste) y formar una base asignando cantidades a las rutas, de base asignando cantidades a las rutas, de forma tal que se agoten las existencias de la forma tal que se agoten las existencias de la fabrica y se satisfaga la demanda de los fabrica y se satisfaga la demanda de los mercados. mercados. AsAsíí entonces, la asignacientonces, la asignacióón inicia en la casilla n inicia en la casilla X11 (esquina noroeste) y si lo fX11 (esquina noroeste) y si lo fáábrica 1 no brica 1 no agotagotóó su oferta continuara en la casilla X12 y su oferta continuara en la casilla X12 y asasíí sucesivamente. sucesivamente.
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En el caso de que el total de la oferta En el caso de que el total de la oferta de la fabrica 1 no haya sido suficiente de la fabrica 1 no haya sido suficiente para cubrir la demanda del mercado 1, para cubrir la demanda del mercado 1, completar con la oferta de la fabrica 2, completar con la oferta de la fabrica 2, que es la casilla X21 y si no se agotque es la casilla X21 y si no se agotóó la la oferta pasar a la casilla X22 y asoferta pasar a la casilla X22 y asíícontinuar hasta concluir el proceso de continuar hasta concluir el proceso de asignaciasignacióón.n.
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Con la forma anterior se conseguirCon la forma anterior se conseguiráá la la siguiente solucisiguiente solucióón bn báásica factible inicial:sica factible inicial:
x1115
x1215
x13 x14 30
x21 x225
x2331
x24 9
45
x31 x32 x33 x3450
50
x41 x42 x43 x4425
25
15 20 31 84
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Supuestos del mSupuestos del méétodo:todo:1.1. Asignamos lo mAsignamos lo máás que podamos a la variable s que podamos a la variable
x11 que ocupa la posicix11 que ocupa la posicióón noroeste de la n noroeste de la tabla.tabla.
2.2. La oferta es igual a la demanda.La oferta es igual a la demanda.3.3. El proceso de asignar a la variable el mEl proceso de asignar a la variable el míínimo nimo
valor entre oferta y demanda disponibles se valor entre oferta y demanda disponibles se repite hasta que toda la oferta y demanda repite hasta que toda la oferta y demanda totales sean satisfechas.totales sean satisfechas.
4.4. Genera una soluciGenera una solucióón factible bn factible báásica inicial.sica inicial.5.5. Las celdas en blanco corresponden a Las celdas en blanco corresponden a
variables no bvariables no báásicas y sus valores son cero.sicas y sus valores son cero.6.6. Se obtienen variables bSe obtienen variables báásicas en las celdas sicas en las celdas
con asignacicon asignacióón.n.
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EJEMPLO 1EJEMPLO 1
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Encontrar la ruta de costo mEncontrar la ruta de costo míínimo para el nimo para el siguiente problema de transporte, usando el siguiente problema de transporte, usando el mméétodo de la esquina noroeste.todo de la esquina noroeste.
x11 x12 x13 x14 30
x21 x22 x23 x24 45
x31 x32 x33 x34 50
x41 x42 x43 x44 25
15 20 31 84
10
X11
15
x12 x13 x14 30 15
x21 x22 x23 x24 45
x31 x32 x33 x34 50
x41 x42 x43 x44 25
150
20 31 84
11
X11
15
X12
15
x13 x14 30 15 0
x21 x22 x23 x24 45
x31 x32 x33 x34 50
x41 x42 x43 x44 25
150
205
31 84
12
X11
15
X12
15
x13 x14 30 15 0
x21 X22
5
x23 x24 45 40
x31 x32 x33 x34 50
x41 x42 x43 x44 25
150
2050
31 84
13
X11
15
X12
15
x13 x14 30 15 0
x21 X22
5
X23
31
X24 45 40 9
x31 x32 x33 x34 50
x41 x42 x43 x44 25
150
2050
310
84
14
X11
15
X12
15
x13 x14 30 15 0
x21 X22
5
X23
31
X24
9
45 40 9 0
x31 x32 x33 x34 50
x41 x42 x43 x44 25
150
2050
310
8475
15
X11
15
X12
15
x13 x14 30 15 0
x21 X22
5
X23
31
X24
9
45 40 9 0
x31 x32 x33 X34
50
50 0
x41 x42 x43 x44 25
150
2050
310
847525
16
X11
15
X12
15
x13 x14 30 15 0
x21 X22
5
X23
31
X24
9
45 40 9 0
x31 x32 x33 X34
50
50 0
x41 x42 x43 X44
25
25 0
150
2050
310
8475250
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EJEMPLO 2EJEMPLO 2
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SOLUCISOLUCIÓÓNN
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U
=+1-5+2-4=-6
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Ejemplo 2Ejemplo 2
MMéétodo de la esquina noroestetodo de la esquina noroeste
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Encontrar la ruta de costo mEncontrar la ruta de costo míínimo nimo para el siguiente problema de para el siguiente problema de transporte, usando el mtransporte, usando el méétodo de la todo de la esquina noroeste.esquina noroeste.
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SOLUCISOLUCIÓÓNN
28
16
0
2
29
16
0
2,02
8
30
16
0
2,02
80
8 7
31
16
0
2,02
80
8 7,07
0
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33
SFBISFBI
X11=16X11=16X12=2X12=2X13=0X13=0X21=0X21=0X22=8X22=8X23=7X23=7Costo= (16x6)+(2x5)+(2x8)+(4x7)=150Costo= (16x6)+(2x5)+(2x8)+(4x7)=150
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MEJORA DE LA SOLUCIMEJORA DE LA SOLUCIÓÓNN
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Analicemos la adiciAnalicemos la adicióón hipotn hipotéética tica de 1 unidad a la variable X21:de 1 unidad a la variable X21:
1.1. UnUn aumento del costo debido al aumento de X21 en aumento del costo debido al aumento de X21 en una unidad por $4una unidad por $4
2.2. UnaUna disminucidisminucióón del costo debido a una disminucin del costo debido a una disminucióón n de X11 en una unidad por $6de X11 en una unidad por $6
3.3. UnUn aumento del costo debido a un aumento de X12 aumento del costo debido a un aumento de X12 en una unidad por $5en una unidad por $5
4.4. UnaUna disminucidisminucióón del costo debido a una disminucin del costo debido a una disminucióón n de X22 en una unidad por $2de X22 en una unidad por $2
El efecto neto es: 4 El efecto neto es: 4 –– 6 + 5 6 + 5 –– 2 = +$1 2 = +$1 Es evidente que no se quiere este efecto.Es evidente que no se quiere este efecto.
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Analicemos la adiciAnalicemos la adicióón de la n de la variable X13 a la solucivariable X13 a la solucióón:n:
1.1. UnUn aumento del costo debido al aumento de aumento del costo debido al aumento de X13 en una unidad por $1X13 en una unidad por $1
2.2. UnaUna disminucidisminucióón del costo debido a la n del costo debido a la disminucidisminucióón de X23 en 1 unidad por $4n de X23 en 1 unidad por $4
3.3. UnUn aumento del costo debido al aumento de aumento del costo debido al aumento de X23 en 1 unidad por $2X23 en 1 unidad por $2
4.4. UnaUna disminucidisminucióón del costo debido a la n del costo debido a la disminucidisminucióón de X12 en 1 unidad por $5n de X12 en 1 unidad por $5
El efecto neto es: 1 El efecto neto es: 1 –– 4 + 2 4 + 2 –– 5 = 5 = --$6$6
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Hemos identificado una variable no Hemos identificado una variable no ––bbáásica (X13) que al volverse bsica (X13) que al volverse báásica sica tiene el efecto neto de disminuir el tiene el efecto neto de disminuir el costo total en $6 por cada unidad costo total en $6 por cada unidad remitida por esa ruta. remitida por esa ruta. La asignaciLa asignacióón debe considerar las n debe considerar las restricciones, asrestricciones, asíí tendrtendrííamos la amos la siguiente tabla:siguiente tabla:
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Como era de esperar, el costo total del Como era de esperar, el costo total del transporte se redujo en transporte se redujo en
$ 12 (150 $ 12 (150 –– 12 = 138):12 = 138):
(6)(16) + (1)(2) + (2)(10) + (4)(5) = (6)(16) + (1)(2) + (2)(10) + (4)(5) = 96 + 2 + 20 + 20 = 13896 + 2 + 20 + 20 = 138
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Evaluemos ahora la posibilidad de otro Evaluemos ahora la posibilidad de otro intercambio entre las variables X11, X21, X23 intercambio entre las variables X11, X21, X23 y X13. y X13. El efecto neto de un intercambio de una El efecto neto de un intercambio de una unidad serunidad seráá: : --6 + 4 6 + 4 –– 4 +1 = 4 +1 = --5 y el total de 5 y el total de unidades que se pueden intercambiar es de unidades que se pueden intercambiar es de cinco por lo tanto (cinco por lo tanto (--5)(5) = 5)(5) = --25 por lo cual el 25 por lo cual el costo total del transporte se reducircosto total del transporte se reduciríía en $25 a en $25 (138 (138 –– 25 = $ 113). 25 = $ 113). AsAsíí, la nueva tabla del transporte quedar, la nueva tabla del transporte quedaríía:a:
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PROBLEMA PARA RESOLVERPROBLEMA PARA RESOLVER
Encontrar la ruta de costo mEncontrar la ruta de costo míínimo para nimo para el siguiente problema de transporte, el siguiente problema de transporte, usando el musando el méétodo de la esquina todo de la esquina noroeste y el cnoroeste y el cáálculo de los lculo de los ííndices de ndices de mejoramiento.mejoramiento.
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Plantear el modelo de redPlantear el modelo de redElaborar el modelo de programaciElaborar el modelo de programacióón n lineal asociado, sin resolverlo.lineal asociado, sin resolverlo.
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SOLUCISOLUCIÓÓNN
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X13+X23<=400X14+X24<=350
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PROBLEMA PARA RESOLVERPROBLEMA PARA RESOLVER
Encontrar la ruta de costo mEncontrar la ruta de costo míínimo para nimo para el siguiente problema de transporte, el siguiente problema de transporte, usando el musando el méétodo de la esquina todo de la esquina noroeste y el cnoroeste y el cáálculo de los lculo de los ííndices de ndices de mejoramiento.mejoramiento.
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Encontrar la ruta de costo mEncontrar la ruta de costo míínimo para el nimo para el siguiente problema de transporte, usando el siguiente problema de transporte, usando el mméétodo de la esquina noroeste.todo de la esquina noroeste.Encontrar la SFBI, indicar su costo asociado.Encontrar la SFBI, indicar su costo asociado.
HaciaDesde Boston Richmond Atlanta St. Louis Oferta Cleveland $35 30 40 32 1200 Detroit 37 40 42 25 1000 Greensboro 40 15 20 28 800Demanda 1100 400 750 750
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SOLUCISOLUCIÓÓNN
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PROBLEMA PARA RESOLVERPROBLEMA PARA RESOLVER
Encontrar la ruta de costo mEncontrar la ruta de costo míínimo para nimo para el siguiente problema de transporte, el siguiente problema de transporte, usando el musando el méétodo de la esquina todo de la esquina noroeste y el cnoroeste y el cáálculo de los lculo de los ííndices de ndices de mejoramiento.mejoramiento.
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32
7 75
6
23
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PROBLEMA PARA RESOLVERPROBLEMA PARA RESOLVER
MMéétodo de la esquina noroestetodo de la esquina noroeste
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La Red de La Red de AJaxAJax
La planta de La planta de AjaxAjax se encuentra en Chicago.se encuentra en Chicago.AjaxAjax vende sus computadoras en 8 mercados.vende sus computadoras en 8 mercados.Para satisfacer la demanda de esta semana, el Para satisfacer la demanda de esta semana, el gerente de gerente de AjaxAjax debe decidir un plan de embarque debe decidir un plan de embarque desde su planta hasta la bodega y los mercados.desde su planta hasta la bodega y los mercados.Los costos de transporte se muestran en la tablaLos costos de transporte se muestran en la tablaEncontrar la ruta de costo mEncontrar la ruta de costo míínimo para el nimo para el siguiente problema.siguiente problema.Usando el mUsando el méétodo de la esquina noroeste y el todo de la esquina noroeste y el ccáálculo de los lculo de los ííndices de mejoramiento.ndices de mejoramiento.
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Costos de transporte $/unidadCostos de transporte $/unidadPlantaPlanta 11 22 33 44 55 66 77 88 ofertaoferta
11 1414 2424 2121 2020 21.521.5 1919 1717 3030 100100
22 2424 1515 2828 2020 18.518.5 19.519.5 2424 2828 4545
demandademanda 2222 1414 1818 1717 1515 1313 1515 2020
ENCONTRAR EL MODELO DE PL Y RESOLVERLOUSAR EL MÉTODO DE LA ESQ. NW Y RESOLVERLO
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EJERCICIO PARA RESOLVEREJERCICIO PARA RESOLVER
Encontrar la ruta de costo mEncontrar la ruta de costo míínimo para nimo para el siguiente problema.el siguiente problema.Usando el mUsando el méétodo de la esquina todo de la esquina noroeste y el cnoroeste y el cáálculo de los lculo de los ííndices de ndices de mejoramiento.mejoramiento.
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plantaplanta 11 22 33 44 ofertaoferta
11 464464 513513 654654 867867 7575
22 352352 416416 690690 791791 125125
33 995995 682682 388388 685685 100100
demandademanda 8080 6565 7070 8585 300300
Almacenes
Se desea saber cuántos camiones enviar de i a j dados los costosDe transporte de i a j.