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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMÓN
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL
ANÁLISIS DE SECCIÓNES CAJÓN Y VIGAS BPR EN PUENTES
CURVOS A TRAVÉS DE ESTUDIOS Y COMPARACIONES EN
RADIOS DE CURVATURA DE 50 – 100 M.
PROYECTO DE GRADO, PRESENTADO PARA OPTAR AL DIPLOMA ACADEMICO
DE LICENCIATURA EN INGENIERIA CIVIL
AUTOR:
GUERRERO ANAGUA IVAN FRANKLIN
TUTOR:
Ing. FLORERO ORTUÑO OSCAR
Cochabamba – Bolivia
2014
“BENDITOS SEAN LOS
OBSTACULOS, TAN SÓLO POR LA
SATISFACIÓN DE VENCERLOS”
Carlos Raúl Ondina
IV
ÍNDICE GENERAL
ÍNDICE GENERAL ......................................................................................................................... IV
ÍNDICE DE FIGURAS ..................................................................................................................... IX
ÍNDICE DE TABLAS .................................................................................................................... XIII
CAPITULO I INTRODUCCIÓN
1.1. INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................... 1
1.2. ANTECEDENTES ...................................................................................................................... 2
1.3. JUSTIFICACIÓN ........................................................................................................................ 4
1.4. OBJETIVOS ................................................................................................................................ 5
1.4.1. Objetivo general ............................................................................................................. 5
1.4.2. Objetivos específicos...................................................................................................... 5
CAPITULO II PUENTES
2.1. CLASIFICACION DE PUENTES SEGÚN SU TRAZO GEOMETRICO ................................. 6
2.1.1. Puentes Rectos ................................................................................................................... 6
2.1.2. Puentes Oblicuos ................................................................................................................ 7
2.1.3. Puentes Curvos ................................................................................................................. 10
2.2. EJEMPLOS DE PUENTES CURVOS ...................................................................................... 13
2.2.1. Puente Antahuancana ....................................................................................................... 13
2.2.2. Puente Quebrada Honda ................................................................................................... 14
CAPITULO III PUENTES CURVOS DE SECCIÓN CAJÓN
3.1. VIGA CURVA ........................................................................................................................... 16
3.1.1. Ecuaciones de la Elástica ................................................................................................. 16
3.1.2. Transformación de Torque en las fuerzas seccionales de torsión .................................... 20
3.2. TORSION EN SECCION DE PARED DELGADA ................................................................. 26
3.2.1. Torsión Uniforme ............................................................................................................. 26
3.2.2. Torsión Alabeada ............................................................................................................. 31
3.2.3. Torsión Mixta ................................................................................................................... 37
3.3. FUERZAS DEL PREESFORZADO ......................................................................................... 42
3.3.1. Pretensado ........................................................................................................................ 42
3.3.2. Tendones en puentes curvos............................................................................................. 45
3.4. SECCIONES CAJÓN ................................................................................................................ 50
3.4.1. Secciones Cajón y Tipos ................................................................................................. 50
3.4.2. Distorsión de Secciones Cajón ......................................................................................... 53
3.4.3. Efectos arrastre por cortante ............................................................................................. 56
V
CAPITULO IV PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
4.1. CONFIGURACION DE PUENTES CURVOS ......................................................................... 58
4.1.1. Uso de Acordes ................................................................................................................ 58
4.1.2. Configuración de Vigas I ................................................................................................. 60
4.1.3. Súper elevación y Sobreancho de curva ........................................................................... 61
4.2. DISEÑO PRELIMINAR ............................................................................................................ 63
4.2.1. Desplazamiento Cuerda Arco .......................................................................................... 63
4.2.2. Profundidad de Filete ....................................................................................................... 64
4.2.3. Exceso de inclinación ....................................................................................................... 67
4.2.4. Centro de gravedad de un arco ......................................................................................... 69
4.3. ANALISIS ESTRUCTURAL APROXIMADO ........................................................................ 70
4.3.1. Análisis como un perfil de marco recto ........................................................................... 70
4.3.2. Torsión ............................................................................................................................. 71
4.3.3. Momentos finales ............................................................................................................. 71
4.4. ANALISIS ESTRUCTURAL DE PUENTES CURVOS VIGA LOSA.................................... 72
4.4.1. Flexión Longitudinal ........................................................................................................ 72
4.4.2. Torsión ............................................................................................................................. 72
CAPITULO V MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS
5.1.INTRODUCCION ...................................................................................................................... 80
5.2.FORMAS DE CALCULO DE TABLEROS DE PUENTES ..................................................... 81
5.3.MÉTODOS DE CÁLCULO ....................................................................................................... 82
5.4.METODOS DE REPARTO TRANSVERSAL .......................................................................... 85
5.5.MÉTODO DE ANALISIS PUENTES CURVOS ...................................................................... 86
5.5.1.Losa Ortótropa Circular ..................................................................................................... 86
5.5.2. Método Emparrillado Plano Circular ................................................................................ 93
5.5.3. Lamina Plegada Circular ................................................................................................... 96
5.5.4. Método de los Elementos Finitos .................................................................................... 100
CAPITULO VI CARGAS EN PUENTES CURVOS 6.1. INTRODUCCION ................................................................................................................... 105 6.2. CARGAS PERMANENTES ................................................................................................... 106 6.2.1. Cargas muerta de los componentes estructurales .......................................................... 106 6.2.2. Carga de superficie de desgaste .................................................................................... 107 6.3. CARGAS TRANSITORIAS .................................................................................................... 108 6.3.1. Cargas Vehiculares ........................................................................................................ 108 6.3.2. Fuerza Centrifuga .......................................................................................................... 110 6.4. FUERZAS DEBIDAS A DEFORMACIONES ....................................................................... 112 6.4.1. Temperatura .................................................................................................................. 112 6.4.2. Fluencia y Retracción .................................................................................................... 115
CAPITULO VII DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR 7.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................... 117 7.2. DESCRIPCION DEL PUENTE .............................................................................................. 118 7.2.1. Sección transversal ......................................................................................................... 118 7.2.2. Geometría en planta ....................................................................................................... 120 7.2.3. Materiales ....................................................................................................................... 120
7.3. ANALISIS Y DISEÑO DE LAS BARRERAS TIPO JERSEY .............................................. 121 7.3.1. Descripción .................................................................................................................... 121 7.3.2. Resistencia a flexión alrededor de un eje vertical de la barrera (Mw) ........................... 122 7.3.3. Resistencia a flexión alrededor de un eje paralelo al eje longitudinal (Mc) .................. 123 7.4. ANALISIS Y DISEÑO DEL TABLERO ................................................................................ 130 7.4.1. Dimensionamiento de la losa ......................................................................................... 130 7.4.2. Dimensionamiento de la losa interior ............................................................................ 130 7.4.3. Dimensionamiento de la losa voladizo curva exterior ................................................... 146 7.5. PROPIEDADES GEOMETRIAS ............................................................................................ 154 7.5.1. Propiedades geométrica viga BPR ................................................................................. 154 7.5.2. Propiedades geométricas sección compuesta ................................................................. 156 7.6. ANALISIS ESTRUCTURAL POR MÉTODO SIMPLIFICADO .......................................... 158 7.6.1. Análisis de cargas .......................................................................................................... 158 7.6.2. Factores de corrección por curvatura ............................................................................ 161 7.6.3. Factor de distribución para viga interior ....................................................................... 164 7.6.4. Momentos de flexión en vigas interior y exterior ......................................................... 165 7.6.5. Verificación de la sección ............................................................................................. 166 7.7. ANALISIS ESTRUCTURAL POR METODO DE ELEMENTOS FINITOS ........................ 167 7.7.1. Modelos computacionales ............................................................................................ 167 7.8. FACTORES Y COMBINACIONES DE CARGA .................................................................. 173 7.8.1. Modificadores de carga ......................................................................................................... 173 7.8.2. Combinaciones de carga y factores de carga .............................................................. 173 7.9. PREEESFUERZO .................................................................................................................... 173 7.9.1. Preesfuerzo inicial ....................................................................................................... 173 7.9.2. Preesfuerzo en modelo estructural .............................................................................. 174 7.10. VERIFICACION A TORSION ............................................................................................. 175 7.10.1. Torsión en vigas ........................................................................................................ 175 7.11. DISEÑO A CORTE Y TORSION ......................................................................................... 177 7.11.1. Diseño a torsión ........................................................................................................ 177 7.11.2. Verificación a corte ................................................................................................... 181 7.12. PÉRDIDAS Y PREESFUERZO FINAL ............................................................................... 183
VI
CAPITULO VI CARGAS EN PUENTES CURVOS 6.1. INTRODUCCION ................................................................................................................... 105 6.2. CARGAS PERMANENTES ................................................................................................... 106 6.2.1. Cargas muerta de los componentes estructurales .......................................................... 106 6.2.2. Carga de superficie de desgaste .................................................................................... 107 6.3. CARGAS TRANSITORIAS .................................................................................................... 108 6.3.1. Cargas Vehiculares ........................................................................................................ 108 6.3.2. Fuerza Centrifuga .......................................................................................................... 110 6.4. FUERZAS DEBIDAS A DEFORMACIONES ....................................................................... 112 6.4.1. Temperatura .................................................................................................................. 112 6.4.2. Fluencia y Retracción .................................................................................................... 115
CAPITULO VII DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR 7.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................... 117 7.2. DESCRIPCION DEL PUENTE .............................................................................................. 118 7.2.1. Sección transversal ......................................................................................................... 118 7.2.2. Geometría en planta ....................................................................................................... 120 7.2.3. Materiales ....................................................................................................................... 120
7.3. ANALISIS Y DISEÑO DE LAS BARRERAS TIPO JERSEY .............................................. 121 7.3.1. Descripción .................................................................................................................... 121 7.3.2. Resistencia a flexión alrededor de un eje vertical de la barrera (Mw) ........................... 122 7.3.3. Resistencia a flexión alrededor de un eje paralelo al eje longitudinal (Mc) .................. 123 7.4. ANALISIS Y DISEÑO DEL TABLERO ................................................................................ 130 7.4.1. Dimensionamiento de la losa ......................................................................................... 130 7.4.2. Dimensionamiento de la losa interior ............................................................................ 130 7.4.3. Dimensionamiento de la losa voladizo curva exterior ................................................... 146 7.5. PROPIEDADES GEOMETRIAS ............................................................................................ 154 7.5.1. Propiedades geométrica viga BPR ................................................................................. 154 7.5.2. Propiedades geométricas sección compuesta ................................................................. 156 7.6. ANALISIS ESTRUCTURAL POR MÉTODO SIMPLIFICADO .......................................... 158 7.6.1. Análisis de cargas .......................................................................................................... 158 7.6.2. Factores de corrección por curvatura ............................................................................ 161 7.6.3. Factor de distribución para viga interior ....................................................................... 164 7.6.4. Momentos de flexión en vigas interior y exterior ......................................................... 165 7.6.5. Verificación de la sección ............................................................................................. 166 7.7. ANALISIS ESTRUCTURAL POR METODO DE ELEMENTOS FINITOS ........................ 167 7.7.1. Modelos computacionales ............................................................................................ 167 7.8. FACTORES Y COMBINACIONES DE CARGA .................................................................. 173 7.8.1. Modificadores de carga ......................................................................................................... 173 7.8.2. Combinaciones de carga y factores de carga .............................................................. 173 7.9. PREEESFUERZO .................................................................................................................... 173 7.9.1. Preesfuerzo inicial ....................................................................................................... 173 7.9.2. Preesfuerzo en modelo estructural .............................................................................. 174 7.10. VERIFICACION A TORSION ............................................................................................. 175 7.10.1. Torsión en vigas ........................................................................................................ 175 7.11. DISEÑO A CORTE Y TORSION ......................................................................................... 177 7.11.1. Diseño a torsión ........................................................................................................ 177 7.11.2. Verificación a corte ................................................................................................... 181 7.12. PÉRDIDAS Y PREESFUERZO FINAL ............................................................................... 183
DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR 7.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................... 117 7.2. DESCRIPCION DEL PUENTE .............................................................................................. 118 7.2.1. Sección transversal ......................................................................................................... 118 7.2.2. Geometría en planta ....................................................................................................... 120 7.2.3. Materiales ....................................................................................................................... 120
7.3. ANALISIS Y DISEÑO DE LAS BARRERAS TIPO JERSEY .............................................. 121 7.3.1. Descripción .................................................................................................................... 121 7.3.2. Resistencia a flexión alrededor de un eje vertical de la barrera (Mw) ........................... 122 7.3.3. Resistencia a flexión alrededor de un eje paralelo al eje longitudinal (Mc) .................. 123 7.4. ANALISIS Y DISEÑO DEL TABLERO ................................................................................ 130 7.4.1. Dimensionamiento de la losa ......................................................................................... 130 7.4.2. Dimensionamiento de la losa interior ............................................................................ 130 7.4.3. Dimensionamiento de la losa voladizo curva exterior ................................................... 146 7.5. PROPIEDADES GEOMETRIAS ............................................................................................ 154 7.5.1. Propiedades geométrica viga BPR ................................................................................. 154 7.5.2. Propiedades geométricas sección compuesta ................................................................. 156 7.6. ANALISIS ESTRUCTURAL POR MÉTODO SIMPLIFICADO .......................................... 158 7.6.1. Análisis de cargas .......................................................................................................... 158 7.6.2. Factores de corrección por curvatura ............................................................................ 161 7.6.3. Factor de distribución para viga interior ....................................................................... 164 7.6.4. Momentos de flexión en vigas interior y exterior ......................................................... 165 7.6.5. Verificación de la sección ............................................................................................. 166 7.7. ANALISIS ESTRUCTURAL POR METODO DE ELEMENTOS FINITOS ........................ 167 7.7.1. Modelos computacionales ............................................................................................ 167 7.8. FACTORES Y COMBINACIONES DE CARGA .................................................................. 173 7.8.1. Modificadores de carga ......................................................................................................... 173 7.8.2. Combinaciones de carga y factores de carga .............................................................. 173 7.9. PREEESFUERZO .................................................................................................................... 173 7.9.1. Preesfuerzo inicial ....................................................................................................... 173 7.9.2. Preesfuerzo en modelo estructural .............................................................................. 174 7.10. VERIFICACION A TORSION ............................................................................................. 175 7.10.1. Torsión en vigas ........................................................................................................ 175 7.11. DISEÑO A CORTE Y TORSION ......................................................................................... 177 7.11.1. Diseño a torsión ........................................................................................................ 177 7.11.2. Verificación a corte ................................................................................................... 181 7.12. PÉRDIDAS Y PREESFUERZO FINAL ............................................................................... 183 7.12.1. Pérdidas del preesfuerzo ........................................................................................... 183 7.12.2. Perdidas dependientes del tiempo ............................................................................. 185 7.12.3. Acortamiento elástico............................................................................................... 186 7.12.4. Pérdidas por fricción ................................................................................................. 186 7.12.5. Pérdidas por acuñamiento de anclajes ....................................................................... 188 7.12.6. Pérdida total .............................................................................................................. 188 7.12.7. Preesfuerzo final ........................................................................................................ 189 7.13. VERIFICACION DE TENSIONES....................................................................................... 189 7.14. VERIFICACION ADICIONALES ........................................................................................ 191 7.14.1. Verificación a la rotura.............................................................................................. 191 7.14.2. Verificación a la fatiga .............................................................................................. 192 7.14.3. Límites de refuerzo ................................................................................................... 193 7.14.4. Refuerzo mínimo ....................................................................................................... 194 7.14.5. Armadura de piel ....................................................................................................... 195 7.14.6. Verificación de deflexiones ....................................................................................... 195 7.15. ARMADO Y TRAYECTORIA DE CABLES ...................................................................... 197 7.15.1. Armado viga postensada ............................................................................................ 197
VII
7.15.2. Coordenadas de vainas ............................................................................................... 198 7.15.3. Resumen de coordenadas de vainas ........................................................................... 200 7.16. ANALISIS Y DISEÑO DE DIAGRAGMAS ........................................................................ 201 7.16.1. Análisis y diseño estructural ...................................................................................... 201 7.16.2. Armadura de piel ........................................................................................................ 202 7.16.3. Armadura transversal ................................................................................................. 202
CAPITULO VIII DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON 8.1.INTRODUCCIÓN .................................................................................................................... 204 8.2.DATOS PRELIMINARES ....................................................................................................... 205 8.2.1. Normas de diseño ........................................................................................................... 205 8.2.2. Materiales ....................................................................................................................... 205 8.3. DIMENSIONES PUENTE CURVO ....................................................................................... 206 8.3.1. Dimensiones en planta ................................................................................................... 206 8.3.2. Dimensiones en elevación .............................................................................................. 207 8.3.3. Dimensiones de la sección transversal ........................................................................... 209 8.3.4. Peso y volúmenes de las dovelas ................................................................................... 214 8.4. DESCRIPCION DEL TRAZADO DE CABLES .................................................................... 215 8.4.1. Descripción de cables longitudinales ............................................................................. 215 8.4.2. Trazado de cables de voladizo ....................................................................................... 215 8.5. CALCULO DE PERDIDAS DE PREESFUERZO ................................................................. 218 8.5.1. Pérdidas por fricción ...................................................................................................... 218 8.5.2. Pérdidas por deslizamiento de anclaje ........................................................................... 220 8.5.3. Acortamiento elástico..................................................................................................... 222 8.5.4. Perdida dependientes del tiempo .................................................................................... 224 8.5.5. Perdida totales ................................................................................................................ 225 8.6. DISEÑO ETAPA DE CONSTRUCCIÓN ............................................................................... 225 8.6.1. Verificación de los esfuerzos admisibles para t = 0 ....................................................... 225 8.6.2. Verificación de los esfuerzos admisibles para t = ∞...................................................... 230 8.7. CONTROL DE FLECHAS ...................................................................................................... 232 8.7.1. Introducción ................................................................................................................... 232 8.7.2. Evaluación de las flechas debido a la deformación lenta ............................................... 233 8.7.3. Calculo de las flechas ..................................................................................................... 235 8.8. ANALISIS ESTRUCTURAL PUENTE CAJON CURVO ..................................................... 237 8.8.1. Análisis de cargas .......................................................................................................... 237 8.8.2. Modelos estructurales ................................................................................................... 241 8.9. DISEÑO EN ETAPAS PERMANENTES ............................................................................... 247 8.9.1. Redistribución de momentos por fluencia ..................................................................... 248 8.9.2. Combinaciones de carga en estado de servicio ............................................................. 249 8.9.3. Verificación de esfuerzos en etapas .............................................................................. 252 8.9.4. Diseño de cables solidarios ........................................................................................... 252 8.10. DISEÑO DE LA SECCION TRANSVERSAL ..................................................................... 254 8.10.1. Diseño a corte .............................................................................................................. 254 8.10.2. Diseño a torsión .......................................................................................................... 257 8.10.3. Análisis estructurales de sección transversales ........................................................... 258 8.10.4. Diseño a flexión en secciones transversales ................................................................ 260 8.11. DISEÑO DE DIAFRAGMAS ............................................................................................... 263 8.11.1. Análisis y diseño ......................................................................................................... 263 8.11.2. Armadura de piel ......................................................................................................... 264
VIII
CAPITULO IX PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS
9.1. VOLADOZ SUCESIVOS HORMIGONADOS IN SITU ....................................................... 266 9.1.1. Procedimiento constructivo ........................................................................................... 266 9.1.2. Ejecución de la dovela cero ........................................................................................... 268 9.1.3. Ejecución de dovelas ..................................................................................................... 269 9.1.4. Proceso de desmontaje del carro de avance .................................................................. 272 9.1.5. Dovela de cierre ............................................................................................................ 272 9.1.6. Tesado de cierre ............................................................................................................ 273 9.2. LANZAMIENTO DE VIGAS PREFABRICADAS ................................................................ 273 9.2.1. Procedimiento constructivo ............................................................................................ 273 9.2.2. Emplazamiento lugar de fabricación .............................................................................. 273 9.2.3. Colocación de armadura pasiva ..................................................................................... 274 9.2.4. Preparación de las vainas en el interior de las vigas ...................................................... 275 9.2.5. Encofrados y su colocación ............................................................................................ 276 9.2.6. Hormigonado ................................................................................................................. 277 9.2.7. Colocación de los torones y del anclaje activo .............................................................. 278 9.2.8. Tesado de los cables ....................................................................................................... 279 9.2.9. Inyección de lechada en la vaina .................................................................................... 280 9.2.10. Lanzamiento de vigas ................................................................................................... 280
CAPITULO X COMPARACIONES TÉCNICAS Y ECONÓMICAS 10.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 281 10.2. COMPARACION TECNICA ESTRUCTURAL ................................................................. 282 10.2.1. Deformaciones .......................................................................................................... 282 10.2.2. Reacciones ................................................................................................................ 285 10.2.3. Demandas .................................................................................................................. 287 10.3. COMPARACION ECONÓMICA ........................................................................................ 291 10.3.1 Costos de ítems superestructuras ............................................................................... 291 10.3.2 Costo de superestructuras .......................................................................................... 294 10.3.3 Análisis y comparaciones ........................................................................................... 295
CAPITULO XI CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
11.1. CONLUSIONES ........................................................................................................... 296
11.2. RECOMENDACIONES ................................................................................................ 299
IX
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1. 1: Viaduc du Quai de la Rapée (París, 1905) ............................................................... 3 Figura 1. 2: Puente Quebrada Honda (Camino Potosí-Tarija, 2012) ............................................ 4 Figura 2. 1: Puente Recto .............................................................................................................. 7 Figura 2. 2: Puente Oblicuo .......................................................................................................... 8 Figura 2. 3: Flechas diferentes de las Vigas Principales, en cortes ortogonales A y B ............... 8 Figura 2. 4: Losas Oblicuas, características más importantes ....................................................... 9 Figura 2. 5: Puente Curvo ........................................................................................................... 10 Figura 2. 6: Definición de Angulo Central ................................................................................. 11 Figura 2. 7: Modelo Tridimensional de columna vertebral puente curvo cajón ......................... 12 Figura 2. 8: Puente Antahuancana .............................................................................................. 13 Figura 2. 9: Dimensiones Viga Puente Antahuancana ................................................................ 14 Figura 2. 10: Puente Quebrada Honda ........................................................................................ 15 Figura 3. 1: Signos convencionales para la geometría y carga de viga curva ............................. 17 Figura 3. 2: Signos convencionales para las fuerzas seccionales................................................ 17 Figura 3. 3: Elemento diferencial de una viga curva .................................................................. 18 Figura 3. 4: Viga curva de un tramo y Esfuerzos........................................................................ 20 Figura 3. 5: Momentos de flexión y torsión en un elemento de viga diferencial ........................ 21 Figura 3. 6: Fuerzas de desviación debido a la viga curva ......................................................... 21 Figura 3. 7: Fuerzas de desviación de la compresión y tensión en una viga cajón .................... 22 Figura 3. 8: Flujo cortante en un elemento de viga curvada ....................................................... 23 Figura 3. 9: Fuerzas de Corte Torsionales .................................................................................. 23 Figura 3. 10: Fuerzas de Corte por Torsión y Fuerzas de desviación ......................................... 24 Figura 3. 11 Torsión de alabeo en una curva sección en doble T: .............................................. 24 Figura 3. 12: Torsión de St. Venant en una sección transversal cerrada ................................... 30 Figura 3. 13: Ejemplo de torsión Alabeada................................................................................. 32 Figura 3. 14: Torsión con alabeo ................................................................................................ 33 Figura 3. 15: Componentes de fuerza de pretensado .................................................................. 42 Figura 3. 16: Flujo cortante en una sección cajón....................................................................... 45 Figura 3. 17: Disposición de tendón viga isostática para compensar flexión y torsión .............. 47 Figura 3. 18: Fuerzas Transversales ............................................................................................ 47 Figura 3. 19: Fuerzas transversales en un elemento de viga ....................................................... 48 Figura 3. 20: Arreglo tendón Teórica en una viga compensar la flexión y torsión ..................... 49 Figura 3. 21: Disposición de los tendones de vigas continúas compensar la torsión .................. 50 Figura 3. 22: Conjunto de elementos de una viga cajón ............................................................. 50 Figura 3. 23: Ejemplos de secciones transversales de una sola célula ........................................ 51 Figura 3. 24: Ejemplos de secciones transversales multicelulares .............................................. 52 Figura 3. 25: Flexión de vigas cajón ........................................................................................... 53 Figura 3. 26: Distorsión de viga cajón ........................................................................................ 54 Figura 3. 27: Cargas excéntrica en secciones cajón .................................................................... 54 Figura 3. 28: Distorsión de sección cajón unicelular .................................................................. 55 Figura 3. 29: Arrastre por cortante en una viga cajón ................................................................. 56 Figura 3. 30: Factores anchura eficaces para arrastre por cortante en centro de vano ................ 57
X
Figura 4. 1. Arreglos de Vigas Prefabricadas de Puentes en Curvos .......................................... 61
Figura 4. 2. Desplazamiento de cuerda de arco .......................................................................... 63
Figura 4. 3. Efecto Filete en Vigas en I ...................................................................................... 65
Figura 4. 4: Efecto de la curva horizontal ................................................................................... 66
Figura 4. 5: Efectos de grado ...................................................................................................... 67
Figura 4. 6: Torcedura resultante del cambio de grado ............................................................... 68
Figura 4. 7: Centro de gravedad de Arco .................................................................................... 69
Figura 4. 8: Propiedades de una superficie curva plana .............................................................. 70
Figura 4. 9: Momentos extremo negativo que contrarrestar la torsión en vigas ......................... 71
Figura 4. 10: Torsión y curvatura ............................................................................................... 73
Figura 4. 11: Torsión de una viga simple curvada ...................................................................... 74
Figura 4. 12: Torsión de una viga continúa curvada ................................................................... 75
Figura 4. 13: Entramados simples ............................................................................................... 76
Figura 5. 1: Losa ortótropa.......................................................................................................... 81
Figura 5. 2: Laminada Plegada ................................................................................................... 82
Figura 5. 3: Emparrillado ............................................................................................................ 82
Figura 5. 4: Emparrillado y elemento finitos .............................................................................. 83
Figura 5. 5: Planta de la placa ortótropa ..................................................................................... 86
Figura 5. 6: Esfuerzos en un elemento diferencial de placa ........................................................ 87
Figura 5. 7: Matriz de rigidez de la viga j. Armónico n-simo. .................................................... 90
Figura 5. 8: Barra curva .............................................................................................................. 91
Figura 5. 9: Emparrillado plano .................................................................................................. 93
Figura 5. 10: Lamina tronco de cono .......................................................................................... 95
Figura 5. 11: Modelo de elementos finitos ................................................................................. 99
Figura 5. 12: Esfuerzos en placas ............................................................................................. 100
Figura 6. 1: Cargas de diseño AASHTO HL-93 ....................................................................... 109
Figura 6. 2: Diagrama de cuerpo libre de las fuerzas centrifugas ............................................. 111
Figura 6. 3: Elongación inducida por la temperatura ................................................................ 113
Figura 6. 4: Curvatura inducida por la temperatura .................................................................. 113
Figura 6. 5: Diseño del gradiente de temperatura ..................................................................... 115
Figura 7. 1: Sección transversal en mitad del tramo del puente................................................ 119 Figura 7. 2: Geometría en planta del puente ............................................................................. 120 Figura 7. 3: Dimensiones y armadura de barreras tipo jersey ................................................... 122 Figura 7. 4: Sección simplificada de barrera tipo jersey ........................................................... 122 Figura 7. 5: Flexión en secciones A1 y A2 de barreras jersey .................................................. 124 Figura 7. 6: Carga de choque en barreras jersey ...................................................................... 126 Figura 7. 7: Longitud de anclaje refuerzo de barreras jersey a losa .......................................... 128 Figura 7. 8: Detalle de barras de refuerzo barrera jersey ......................................................... 129 Figura 7. 9: Posición del máximo momento positivo ............................................................... 130 Figura 7. 10: Momentos por carga muerta en losa .................................................................... 131 Figura 7. 11: Momentos por barandas ...................................................................................... 132 Figura 7. 12: Momento por capa de rodadura ........................................................................... 132 Figura 7. 13: Línea de influencia apoyo B ................................................................................ 133 Figura 7. 14: Momento negativo por carga viva ....................................................................... 134 Figura 7. 15: Línea de influencia tramo AB ............................................................................. 136
XI
Figura 7. 16: Momentos positivos por carga viva ..................................................................... 137 Figura 7. 17: Espesor y peralte efectivo losa ............................................................................ 138 Figura 7. 18: Detalle de armado losa interior............................................................................ 142 Figura 7. 19: Sección fisura losa ............................................................................................... 143 Figura 7. 20: Momento producido por choque en losa ............................................................. 148 Figura 7. 21: Refuerzo de acero en losa exterior ...................................................................... 149 Figura 7. 22: Fuerzas de tensión en losa de borde .................................................................... 150 Figura 7. 23: Detalle de armado unión losa baranda ................................................................. 151 Figura 7. 24: Dimensiones viga ................................................................................................ 155 Figura 7. 25: Centro de Gravedad de la curva .......................................................................... 162 Figura 7. 26: Propiedades del grupo de apoyos viga ................................................................ 162 Figura 7. 27: Excentricidad carril cargado ................................................................................ 163 Figura 7. 28: Excentricidad de camiones de carga .................................................................... 163 Figura 7. 29: Modelo 1 emparrillado de vigas .......................................................................... 167 Figura 7. 30: Carga en joints modelo 3 ..................................................................................... 169 Figura 7. 31: Carril cargado ...................................................................................................... 171 Figura 7. 32: Características del camión de diseño ................................................................... 171 Figura 7. 33: Momento producido por fuerza centrifuga .......................................................... 172 Figura 7. 34: Cables de postensado en modelo computacional ................................................ 175 Figura 7. 35: Deformaciones y esfuerzos longitudinales seccion compuesta ........................... 177 Figura 7. 36: Coordenadas de vainas ........................................................................................ 197
Figura 8. 1: Vista en planta ....................................................................................................... 207 Figura 8. 2: Alturas h1, ho y h intermedias ................................................................................ 208 Figura 8. 3: Determinación ancho efectivo ............................................................................... 209 Figura 8. 4: Detalle geométrico de las cartelas ......................................................................... 212 Figura 8. 5: Sección transversal ................................................................................................ 213 Figura 8. 6: Posición de los cables en la sección cero .............................................................. 216 Figura 8. 7 Excentricidades por dovela ..................................................................................... 217 Figura 8. 8: Estados de carga para verificar esfuerzos .............................................................. 226 Figura 8. 9: Deformaciones y contra flechas de las dovelas ..................................................... 234 Figura 8. 10: Puente curvo continúo hiperestático .................................................................... 237 Figura 8. 11: Fuerza centrifuga ................................................................................................. 238 Figura 8. 12: Gradiente de temperatura vertical positivo en superestructuras de Hº ................ 240 Figura 8. 13: Modelo computacional por secuencia de construcción ....................................... 241 Figura 8. 14: Cargas debidas a barandas y rodadura en puentes ............................................... 243 Figura 8. 15: Posiciones de la carga viva en puentes ................................................................ 244 Figura 8. 16: Cargas por temperatura en CSiBridge ................................................................. 246 Figura 8. 17: Disposición de cables en modelo computacional ................................................ 247 Figura 8. 18: Momentos por fluencia lenta del concreto .......................................................... 248 Figura 8. 19: Fuerzas en Servicio I y II .................................................................................... 250 Figura 8. 20: Fuerzas en Servicio III y IV ................................................................................ 250 Figura 8. 21: Momentos por carga viva en dovelas .................................................................. 259 Figura 8. 22: Momentos por carga viva en dovelas .................................................................. 260 Figura 8. 25: Refuerzo requerido en alma interior .................................................................... 261
Figura 9. 1: Avance en forma de T ........................................................................................... 267 Figura 9. 2: Encofrado de la dovela 0 ....................................................................................... 267 Figura 9. 3: Ejecución de la dovela 0 etapa 1 ........................................................................... 268 Figura 9. 4: Ejecución de la dovela 0 etapa 2 ........................................................................... 268
XII
Figura 9. 5: Ejecución de la dovela 0 etapa 3 ........................................................................... 269 Figura 9. 6: Hormigonado de la dovela de cierre ...................................................................... 270 Figura 9. 7: Cables de pretensado en dovelas .......................................................................... 271 Figura 9. 8: Ejecución de la dovela de cierre ........................................................................... 272 Figura 9. 9: Mesa de apoyo ....................................................................................................... 274 Figura 9. 10: Enferrado de armadura pasiva ............................................................................. 274 Figura 9. 11: Replanteo de vainas ............................................................................................. 275 Figura 9. 12: Encofrados de viga .............................................................................................. 276 Figura 9. 13: Colocación de los cables de preesfuerzo en la viga............................................. 278 Figura 9. 14: Equipos de tesado ................................................................................................ 279
Figura 10. 1: Diagrama de barras de deformaciones en puentes curvos ................................... 283
Figura 10. 2: Deformaciones en z puentes curvos con sección cajón radio 50m ...................... 284
Figura 10. 3: Deformaciones en z puente curvo con vigas BPR radio 50m ............................. 284
Figura 10. 4: Deformaciones en z puentes curvos con sección cajón radio 100m .................... 284
Figura 10. 5: Deformaciones en z puente curvo con vigas BPR radio 100m ........................... 284
Figura 10. 6: Modelo puente curvo R=50m con vigas BPR ..................................................... 285
Figura 10. 7: Modelo puente curvo R=50m con sección cajón ................................................ 286
Figura 10. 8: Figura 10. 7: Modelo puente curvo R=100m con sección cajón ......................... 286
Figura 10. 9: Modelo puente curvo R=100m con vigas BPR ................................................... 287
Figura 10. 10: Momentos flextores en puentes curvo de R=50m ............................................. 289
Figura 10. 11: Momentos flextores en puentes curvo de R=100m ........................................... 290
Figura 10. 12: Cortantes y torsiones en puentes de curvos de R=50m y R=100m ................... 290
XIII
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 3- 1: Momentos flectores y torsores de Ejemplo 3.1 ........................................................ 22
Tabla 3- 2: Dominios de la torsión ............................................................................................. 41
Tabla 3- 3: Analogía de flexión y torsión alabeada .................................................................... 42 Tabla 4- 1 Radios y Desplazamientos de Diferentes Longitudes de Vigas ................................ 61 Tabla 4- 2: Radio mínimo absoluto en curvas horizontales ........................................................ 63 Tabla 4- 3: Ensanchamientos de calzadas ................................................................................... 64 Tabla 6- 1: Densidades de materiales ....................................................................................... 108 Tabla 6- 2: Combinaciones de carga y factores de carga .......................................................... 109 Tabla 6- 3: Valores de Vo y Zo de corrientes arriba ................................................................. 118 Tabla 6- 4: Presiones básicas PB correspondientes a VB = 160 km/h ....................................... 118 Tabla 6- 5: PB para diferentes ángulos de ataque (VB = 160 km/h) .......................................... 119 Tabla 6- 6: Rangos de temperatura ........................................................................................... 120 Tabla 6- 7: Gradientes de temperaturas .................................................................................... 121 Tabla 7- 1: Momentos flectores en losa interior ....................................................................... 134 Tabla 7- 2: Momento mayorados por resisttencia1 ................................................................... 137 Tabla 7- 3: Momentos estimados .............................................................................................. 166 Tabla 7- 4: Estimación del preesfuerzo fibra inferior ............................................................... 166 Tabla 7- 5: Cortantes y momentos modelo1 ............................................................................. 168 Tabla 7- 6: Modelo 2 losa curva por MEF ................................................................................ 168 Tabla 7- 7: Cortantes y momentos modelo2 ............................................................................. 169 Tabla 7- 8: Cortantes y momentos modelo3 ............................................................................. 170 Tabla 7- 9: Cortantes y momento modelo 4 y 5 ........................................................................ 172 Tabla 7- 10: Momentos torsores en vigas ................................................................................. 175 Tabla 7- 11: Deflexiones ........................................................................................................... 196 Tabla 7- 12: Coordenadas de vainas ......................................................................................... 200 Tabla 8- 1: Variación de la altura en función de la distancia .................................................... 208 Tabla 8- 2: Variación de espesores en la losa inferior .............................................................. 212 Tabla 8- 3: Tabla de propiedades de secciones transversales ................................................... 213 Tabla 8- 4: Propiedades físicas de las dovelas .......................................................................... 214 Tabla 8- 5: Excentricidades en secciones ................................................................................. 218 Tabla 8- 6: Perdidas por fricción en los cables ......................................................................... 220 Tabla 8- 7: Perdidas por deslizamiento de anclaje en los cables .............................................. 222 Tabla 8- 8: Pérdidas totales ....................................................................................................... 225 Tabla 8- 9: Esfuerzos en las fibras sección A ........................................................................... 228 Tabla 8- 10: Esfuerzos en las fibras sección B ......................................................................... 229 Tabla 8- 11: Esfuerzos en las fibras sección C ......................................................................... 229 Tabla 8- 12: Esfuerzos en las fibras sección D ......................................................................... 229 Tabla 8- 13: Esfuerzos en las fibras sección E.......................................................................... 229 Tabla 8- 14: Esfuerzos en las fibras sección F .......................................................................... 229 Tabla 8- 15: Esfuerzos en las fibras sección G ......................................................................... 230 Tabla 8- 16: Esfuerzos en las fibras sección H ......................................................................... 230
XIV
Tabla 8- 1: Variación de la altura en función de la distancia .................................................... 208 Tabla 8- 2: Variación de espesores en la losa inferior .............................................................. 212 Tabla 8- 3: Tabla de propiedades de secciones transversales ................................................... 213 Tabla 8- 4: Propiedades físicas de las dovelas .......................................................................... 214 Tabla 8- 5: Excentricidades en secciones ................................................................................. 218 Tabla 8- 6: Perdidas por fricción en los cables ......................................................................... 220 Tabla 8- 7: Perdidas por deslizamiento de anclaje en los cables .............................................. 222 Tabla 8- 8: Pérdidas totales ....................................................................................................... 225 Tabla 8- 9: Esfuerzos en las fibras sección A ........................................................................... 228 Tabla 8- 10: Esfuerzos en las fibras sección B ......................................................................... 229 Tabla 8- 11: Esfuerzos en las fibras sección C ......................................................................... 229 Tabla 8- 12: Esfuerzos en las fibras sección D ......................................................................... 229 Tabla 8- 13: Esfuerzos en las fibras sección E.......................................................................... 229 Tabla 8- 14: Esfuerzos en las fibras sección F .......................................................................... 229 Tabla 8- 15: Esfuerzos en las fibras sección G ......................................................................... 230 Tabla 8- 16: Esfuerzos en las fibras sección H ......................................................................... 230 Tabla 8- 17: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección A ....................................................................... 230 Tabla 8- 18: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección B ....................................................................... 231 Tabla 8- 19: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección C ....................................................................... 231 Tabla 8- 20: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección D ....................................................................... 231 Tabla 8- 21: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección E ....................................................................... 231 Tabla 8- 22: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección F........................................................................ 231 Tabla 8- 23: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección G ....................................................................... 232 Tabla 8- 24: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección H ....................................................................... 232 Tabla 8- 25: Planilla resumen deflexiones ................................................................................ 236 Tabla 8- 26: Bases para los gradientes de temperatura ............................................................. 239 Tabla 8- 27: Rangos de temperatura ......................................................................................... 240 Tabla 8- 28: Fuerzas en etapas de construcción ........................................................................ 242 Tabla 8- 29: Fuerzas debido a DC y DW .................................................................................. 243 Tabla 8- 30: Máximos y mínimos por carga viva y fuerza centrifuga ...................................... 245 Tabla 8- 31: Fuerzas debido a cargas de temperatura ............................................................... 246 Tabla 8- 32: Fuerzas debido al preesfuerzo .............................................................................. 247 Tabla 8- 33: Momentos por fluencia ......................................................................................... 249 Tabla 8- 34: Fuerzas en Resistencia I y II ................................................................................. 251 Tabla 8- 35: Fuerzas en Resistencia III y IV ............................................................................ 251 Tabla 8- 36: Verificación etapas de servicio ............................................................................. 252 Tabla 8- 37: Esfuerzos en cables solidarios .............................................................................. 253 Tabla 8- 38: Propiedades geométricas dovelas para torsión ..................................................... 256 Tabla 8- 39: Diseño a corte en dovelas ..................................................................................... 256 Tabla 8- 40: Calculo de refuerzo por cortante en dovelas ........................................................ 256 Tabla 8- 41: Calculo de refuerzo por torsión ............................................................................ 258 Tabla 8- 42: Refuerzo de acero provisto por corte y torsión .................................................... 258 Tabla 8- 43: Momentos flextores en dovelas ............................................................................ 259 Tabla 8- 44 Refuerzo requerido en losa superior ...................................................................... 260 Tabla 8- 45 Refuerzo requerido en losa inferior ....................................................................... 260 Tabla 8- 46 Refuerzo requerido en alma exterior ..................................................................... 261 Tabla 8- 47: Refuerzo de acero provisto en losa superior e inferior ......................................... 262 Tabla 8- 48: Refuerzo de acero provisto en alma interior y exterior ........................................ 262
Tabla 10- 1: Deformaciones en puentes curvo de R=50m y R=100m ...................................... 282 Tabla 10- 1: Deformaciones en puentes curvo de R=50m y R=100m ...................................... 282
Tabla 10- 2: Reacciones de apoyo puente curvo R=50m con vigas BPR ................................. 285
Tabla 10- 3: Reacciones de apoyo puente curvo R=50 con sección cajón ............................... 286
Tabla 10- 4: Reacciones de apoyo puente curvo R=100 con sección cajón ............................. 286
Tabla 10- 5: Reacciones de apoyo puente curvo R=100m con vigas BPR ............................... 287
Tabla 10- 6: Fuerzas máximas y mínimas en puentes curvos de R=50m y R=100m ............... 288
Tabla 10- 7: Costo de Hormigón tipo "A" R210 ...................................................................... 291
Tabla 10- 8: Costo de Hormigón tipo "P" ................................................................................. 291
Tabla 10- 9: Costo de Acero estructural ................................................................................... 292
Tabla 10- 10: Costo de Cable para pretensado 12v 1/2" ........................................................... 292
Tabla 10- 11: Costo de Inyección de cables ............................................................................. 293
Tabla 10- 12: Costo de barandas ............................................................................................... 293
Tabla 10- 13: Costo de lanzamiento de vigas ........................................................................... 293
Tabla 10- 14 Costo puente curvo con vigas BPR radio 100m .................................................. 294
Tabla 10- 15 Costo puente curvo cajo radio 100m ................................................................... 294
Tabla 10- 16 Costo puente curvo con vigas BPR radio 50m .................................................... 294
Tabla 10- 17 Costo puente curvo cajo radio 50m ..................................................................... 295
1
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Capítulo1
INTRODUCCIÓN
1.1. INTRODUCCIÓN
En el presente documento se propone una metodología para el análisis y diseño de
puentes curvos en vigas de sección cajón preesforzado y vigas BPR, basadas en el análisis
estructural mediante el método de elementos finitos MEF. Para efectuar tal desarrollo se
modelara los puentes con ayuda del programa CSiBridge con el cual se podrá obtener los
esfuerzos de las estructura y como también se podrá analizar la torsión de dichos
elementos. Una vez propuesta la metodología de análisis se procederá a estudiar el
comportamiento de las diferentes secciones para luego realizar el diseño de la viga cajón y
las vigas BPR para radios de curvatura horizontal de 50m y 100m.
Finalmente se realizara la comparación estructural de las dos secciones, después de un
análisis de procesos constructivos y costos para así poder determinar cómo conclusiones
cuál de las dos secciones es la que mejor se comporta en nuestro medio en radios
considerables y pequeños.
CAPITULO 1 INTRODUCCION
2
1.2. ANTECEDENTES
En los últimos años los diseños viales incluyen en sus propuestas la construcción de
puentes curvos esto como alternativa de solución a restricciones topográficas, urbanísticas y
geométricas. En grandes ciudades el puente es una necesidad latente específicamente en
zonas de gran cogestión vehicular y con grandes limitaciones geométricas.
Para el urbanista y el diseñador vial el puente curvo constituye una solución eficiente,
porque este permite cubrir grandes luces y proporcionar el peralte deseado a la vía al
tiempo que brinda condiciones estéticamente agradables.
No fue sino hasta la década de 1850 que se logró la construcción de la línea de
ferrocarriles Alpinos donde se podía ver que en su trazo se debían construir puentes en
curvas horizontales estos sin exceder los radios de curvatura mínima y asegurando siempre
la velocidad de transito atractivo, es así que en el puente Britania del Stephen se introdujo
por primera vez el hierro de soldadura. La aplicación inicialmente no coherente de las
florecientes teorías estáticas, y solo el conocimiento aproximado de los problemas de
estabilidad y los efectos dinámicos de las cargas ferroviarias afectaron a los puentes de
hierro provocando incertidumbres en los usuarios. Algunos desastres importantes, como el
colapso de la Taybrücke en Escocia en 1879 y la de la Birsbrücke Múnich en 1891 llevó a
un renacimiento de la construcción masiva de algunos puentes viejo los cuales fueron
sustituidos por puentes de hormigón [1].
Es así que a partir del siglo XX los puentes curvos han ganado popularidad ya que estos
se convirtieron en importantes elementos de enlaces de pasos elevados, autopista o
carreteras, un gran ejemplo es el Viaduc du Quai de la Rapée el cual fue construido para el
paso del metro de París en 1905, este está constituido por una curva cerrada con cerchas de
dos vanos continuos (Figura 1.1).
En la década de los años 30 el hormigón postensado es que entran en la construcción de
puentes y así también en la de puentes curvos estos en sección cajón comúnmente pero
también en emparrillados de vigas o trazos poligonales de vigas rectas las cuales
simplifican el trazo curvo.
CAPITULO 1 INTRODUCCION
3
Actualmente en Bolivia no existe una normativa para el diseño de puentes curvos
horizontales, por lo que convencionalmente se recurre al código de diseño AASTHO
(AASHTO, 2010) para su dimensionamiento. Las especificaciones para diseño de puentes
curvos horizontales del código AASHTO (en sus ediciones 1980, 1993 y 2003) es una de
las únicas normativas para este tipo de puentes, siendo el código japonés la otra alternativa
disponible a nivel mundial (Japan Road Association -JRA-, 1988) [2].
La Asociación Americana de Funcionarios de Carreteras y Transportación (AASHTO)
regula el diseño estructural de los puentes horizontalmente curvos a través Especificaciones
Guía para horizontalmente Curved. Esta guía fue desarrollada por el Consorcio de equipos
de investigación de la Universidad (CURT) en 1976 y fue publicado por primera vez por
AASHTO en 1980. En su primera edición, la guía de especificaciones incluye disposiciones
que se desarrolló por CURT y (LFD) las disposiciones que fueron desarrollados por
American Iron and Steel Institute bajo el proyecto 1900 de diseño factor de carga de diseño
por tensiones admisibles (ASD). Varios cambios se han hecho a las especificaciones de
guía desde 1981. En 1993 una nueva versión de las especificaciones de guía fue publicada
por AASHTO. Sin embargo, estas nuevas especificaciones no incluyen la última
investigación extensa en esta área [3].
El sistema de carretera de Bolivia en la Red Fundamental en los últimos tiempos se
podido observar que en sus trazos geométricos se incluyen puentes en curvas horizontales
Figura 1. 1: Viaduc du Quai de la Rapée (París, 1905)
CAPITULO 1 INTRODUCCION
4
estos como alternativa de pasos a quebradas pronunciadas o depreciaciones topográficas
uno de los recientes puentes curvos que se construyeron en nuestro país es el Puente
Quebrada Honda que se muestra en la (Figura 1.2).
La experiencia a lo largo de los años ha mostrado que la sección cajón unicelular ha
tenido un mejor desempeño esto por su gran rigidez a flexión y torsión, su naturalidad, y
esbeltez, además del efecto estético. Por otro lado, el cálculo y la dificultad de construcción
son parámetros que todavía siguen en estudio y debatidos.
1.3. JUSTIFICACIÓN
La investigación tiene como propuesta buscar, mediante la aplicación de la teoría y los
conceptos básicos de los puentes encontrar explicaciones a las diferentes situaciones,
limitantes en las dimensiones, ventajas y desventajas que ofrecen las secciones tipo cajón y
vigas BPR en puentes curvos horizontales.
Para lograr el cumplimiento de los objetivos de estudio se usaran técnicas de
investigación como instrumento para analizar la sección más adecuada en puentes curvos, a
través de comparaciones técnicas en base a comportamiento teóricos en la estructura de los
puentes curvos que se observaran a lo largo de la investigación, tomando en cuenta también
el tiempo y costo de ejecución de los mismos.
Figura 1. 2: Puente Quebrada Honda (Camino Potosí-Tarija, 2012)
CAPITULO 1 INTRODUCCION
5
De acuerdo con los objetivos de la investigación, su resultado permitirá encontrar
soluciones concretas a problemas en la selección de la sección más adecuada en puentes
curvos para radios de 50 – 100 m. que inciden en el correcto funcionamiento de dichos tipo
de puentes.
1.4. OBJETIVOS
1.4.1. Objetivo general
Realizar el análisis y diseño de secciones tipo cajón y vigas BPR, para determinar el
comportamiento estructural y ver cuál de ellas es la más apropiada para su construcción en
radios de curvatura de 50 y 100m
1.4.2. Objetivos específicos
Describir los conceptos de análisis estructural de puentes curvos y sus métodos
Analizar estructuralmente puentes curvos de radios de 50m y 100m con secciones
cajón y vigas BPR.
Diseñar las superestructuras de puentes curvos con secciones cajón y vigas BPR en
radios de 50m y 100m.
Describir un proceso constructivo para la ejecución de puentes curvos en sección
cajón y vigas BPR
Comparar técnica y económicamente las secciones cajón y las vigas BPR en puente
curvos de radio de 50 y 100 m.
6
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1Capítulo2
PUENTES
2.1.CLASIFICACION DE PUENTES SEGÚN SU TRAZO GEOMETRICO
2.1.1. Puentes Rectos
Un puentes es ortogonal (Figura 2.1) cuando el ángulo formado por el eje de la vía con
el eje del obstáculo es recto (∝ = 90º), estos son construidos generalmente en nuestro
medio de concreto armado o hormigón preesforzado. 111111111111111111111111
Los puentes 1rectos pueden presentar una variada forma en cuanto a su sección
transversal se refiera, pero esto dependerá mucho del claro que uno quiera salvar o el
obstáculo que quiera pasar, el uso del postensado es muy común en este tipo de estructura
pudiendo así poder alcanzar luces hasta 45m, su forma de sección de las vigas por lo
general son casi parecidas a las de una I dado le así un resistencia muy alta a la flexión, sin
1 La primordial ventaja de los tramos rectos de Hº ºAº sobre las bóvedas de fábricas o arcos de Hº ºAº, es
que aquéllos sólo producen reacciones verticales en los apoyos y permiten, por lo tanto, reducir sensiblemente
el volumen de pilas y estribos, y sobre todo el de sus cimientos, que suelen ser factores decisivos en los
presupuestos [6].
CAPITULO 2 PUENTES
7
embargo, vigas de fundición en el lugar monolíticas con la losa de cubierta (viga T) son
utilizadas en claros hasta 20m, pero en tramos relativamente menor a los 12 m los puente
losa suelen ser económicamente rentables. [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]
Figura 2. 1: Puente Recto
El análisis estructural de puentes ortogonales se lo puede realizar siguiendo métodos
tradicionales como el cálculo de líneas de influencia siguiendo el Teorema de Müller que
nos dice que la “Línea de Influencia es proporcional a la deformación producida por la
carga”. Sin embargo en los últimos tiempos gracias a los avances de los ordenadores es que
existe en el mercado programas computacionales que realizar el análisis estructural de
puentes mediante método de los elementos finitos los cuales son más precisos.
2.1.2. Puentes Oblicuos
Los puentes esviajados (Figura 2.2) son aquellos donde el eje de la estructura con el eje
del obstáculo forma un ángulo distinto a noventa (∝≠90º). Estos tipos de puentes no
presentan mucha dificultad si estos llevan vigas; sin embargo, cuando es el caso de una losa
la cual está simplemente apoyada los esfuerzos que se generan en ella se presentan de una
forma muy diferente a la de una losa recta, las fuerzas aumentan y todo esto dependerá del
ángulo de oblicuidad que tenga el puente.
CAPITULO 2 PUENTES
8
Para ángulos de cruce ∝ que estén en el rango de valores de 60 ≤∝≤ 90, puentes con
vigas-losa oblicuos pueden ser calculados y dimensionados, con suficiente exactitud, como
puentes rectangulares. Solamente en las esquinas obtusas, el apoyo extremo debería
dimensionarse con un incremento de las cargas verticales de aproximadamente 1/sen∝
según [7] . Para menores valores de ángulo ∝, las diferencias de flecha de las vigas
principales en sentido ortogonal como se los muestra en la Figura 2.3 adquiere mucha
importancia, porque según el grado de empotramiento que tenga la losa de tablero se
originara torsión en las almas de las vigas principales, todo esto dependerá de la relación de
rigidez a torsión entre la rigidez a la flexión de dichas vigas, mientras mayor sea el valor
mayor torsión abra en ellas. El analisis de estos tipos de puentes se lo puede realizar
mediante los métodos aproximado del reglamento (AASHTO-LRFD2012) o por métodos
más modernos como el de los elementos finitos los cuales son ampliamente explicados en
el Capitulo5
.
Figura 2. 3: Flechas diferentes de las Vigas Principales, en cortes ortogonales A y B
Figura 2. 2: Puente Oblicuo
CAPITULO 2 PUENTES
9
En los puentes de losas oblicuas las cargas que se transmiten a los apoyos tratando de
seguir el camino más corto para llegar a ellos. Entonces se puede observar que los planos
de esfuerzos máximos no son paralelos al eje del camión con lo que la deformación de losa
esviajada tendera a la de una superficie alabeada [8]. La determinación de esfuerzos de esta
estructura actualmente ya no es un problema eso gracias a los numerosos elementos
auxiliares que fueron elaborados con ayuda de los computadores, tales como líneas de
influencia de los momentos, hasta programas de elementos finitos. Por lo tanto el
proyectista y el constructor deben tener un conocimiento esencial sobre el comportamiento
de losas oblicuas, los valores que más influyen en el comportamiento estructural son los
que se muestra en la (Figura 2.4):
Angulo de cruce ∝ de aproximadamente 20º hasta 70º; para α>70º, la influencia
de la oblicuidad puede ser despreciada
Relación 𝑏/𝑙 donde 𝑏 = ancho de la losa perpendicular al eje del puente , 𝑙 =
luz perpendicular a la líneas de apoyo
Forma de apoyo: apoyo lineal que permite giro alrededor de línea del apoyo, o
apoyos individuales de libre giro y distancia entre estos apoyos, o
empotramientos extremos en las paredes de los estribos. En lo que sigue se ha
supuesto en primer lugar apoyos lineales articulares.
Figura 2. 4: Losas Oblicuas, características más importantes
CAPITULO 2 PUENTES
10
2.1.3. Puentes Curvos
Los 2puentes curvos (Figura 2.5) son aquellos donde el ángulo ∝ varia a lo largo del eje
del puente este puede ser construido con vigas curvas o rectas en función de su curvatura,
los puentes viga losa no son los más adecuados para este tipo, porque la curvatura origina
torsión que puede ser absorbida de mejor manera mediante una viga cajón o losas, pese a
ello se han construido muchos puentes curvos con viga placa en nuestro medio, por lo tanto
esto es posible dentro de ciertos límites determinados en primera instancia por el ángulo al
centro ∝ entre los apoyos, en tanto que el radio de curvatura influye menos.
Las características principales de este tipo de puentes son los exigidos radios de
curvatura; sus cantos deben estar desde 0.8m hasta 2.2m y la luz que puede cubrir debe
estar ente 20m y 42 m. Estas estructuras son utilizadas en esquemas isostáticos e
hiperestáticos, puentes curvos de radio constante y tramos rectos, se pueden realizar en
canto constante o variable.
En el caso de puentes curvos con viga losa de un solo tramo el ángulo al centro no debe
exceder a los veinte grados ∝≤ 20º, para viga continuas no se deberá ángulos al centro
mayores que cuarenta ∝≤ 40º por tramo. Robustas vigas transversales (diafragmas) en los
2 Los puentes con incluso ligera curvatura pueden desarrollar grandes fuerzas radiales en los cojinetes de
apoyo. Por lo tanto, Se recomienda el análisis térmico de todos los puentes curvos. [A2012]
Figura 2. 5: Puente Curvo
CAPITULO 2 PUENTES
11
apoyos son adecuados. Otro de los parámetros que deben ser tomar en cuenta en puentes
curvos con vigas sesgadas es el desplazamiento de la cuerda respecto al eje curvo el cual es
visto en el Capítulo 4.
Puentes Curvos con sección cajón son los más adecuados ya que estos siguen la curva y
además tienen una gran rigidez a la torsión. Según el reglamento AASTHO-LRFD 2012
estos puentes podrán ser calculados por los factores de dicha norma si este tiene un ángulo
central mostrado en la (Figura2.6) no mayor que 34º. En puentes donde el ángulo ∝ es
menor que 12º podrán ser estos calculados como si fueran rectos ya que la curvatura no
tiene mucha incidencia en ellos, un modelo estructural de marco plano podrían ser el más
ideal para este.
Figura 2. 6: Definición de Angulo Central
Múltiples vanos de puentes curvos de sección cajón que se encuentren en el rango
numérico de 12 ≤∝≤ 34 pueden ser calculados como una columna vertebral compuesta
por segmentos rectos los cuales tengan un ángulo central mayor que 3.5º mostrados en la
Figura 2.7. Los diafragmas en puentes curvos son considerados elementos importantes en la
estructura estos deben ser dispuestos tanto en el comienzo del tramo es decir en el apoyo
como en los tramos intermedios esto por el motivo de proporcionar resistencia a la torsión
y apoyar las losas en los puntos de discontinuidad o en los puntos angulares.
CAPITULO 2 PUENTES
12
Figura 2. 7: Modelo Tridimensional de columna vertebral puente curvo cajón
Puentes curvos metálicos son también utilizados, estos tienen un mejor comportamiento
que los puentes de concreto ya que con estos se puede reducir de gran manera el peso de la
estructura en consecuencia la torsión.
En diferentes estados de Norte América (USA) estos puentes son muy usados esto por
la facilidad del proceso constructivo ya que las piezas pueden ser acomodadas según la
curva sin ningún problema, sin embargo estas estructuras tienen un alto costo de
mantenimiento, al estar en la intemperie sufren de corrosión. Actualmente en nuestro medio
no existen puentes curvos metálicos por la razón del alto costo de perfiles metálicos y
además de no poseer en el mercado una variedad de secciones de perfiles, pero también se
puede mencionar que existe una gran cantidad de investigaciones sobre este tipo; además,
de existir normativas coma las especificaciones de las AASHTO CURVED STELL que
están siendo constantemente actualizadas.
CAPITULO 2 PUENTES
13
2.2. EJEMPLOS DE PUENTES CURVOS
2.2.1. Puente Antahuancana3
El puente Antahuancana (Figura 2.8) se encuentra ubicado sobre la ruta fundamental 4,
a 116 km desde la ciudad de Cochabamba. Esta estructura fue construida en la década de
los años setenta, está compuesto por tres tramos isostáticos, el primero (lado Cochabamba)
es de 26.00 metros, al medio de 20.00 metros y el ultimo (lado Santa Cruz) es de 20.00
metros, teniendo así el puente una longitud de 66 metros.
Figura 2. 8: Puente Antahuancana
La infraestructura está compuesta por dos estribos y dos pilas, la pila del lado de
Cochabamba tiene una altura de 19.80 metros y la del lado Santa Cruz tiene una altura de
14.70 metros. El puente se encuentra en una Curva horizontal de 114.59 m de radio donde
el peralte de la misma es del 10%, teniendo también una pendiente longitudinal 7%. El
ancho de carril del mismo es de 3.50 para un tránsito bidireccional, el sobre ancho de curva
exterior es de 1m. La superestructura está conformada por cuatro vigas BPR donde las
dimensiones de las mismas es mostrados en la (Figura 2.9) la separación de ellas son de 2m
la losa de tablero tiene un espesor de 20 cm y tiene la forma de curva en planta la mayor
longitud de voladizo en la curva exterior es de 80 cm y de 120 cm en la interior.
3 Los datos fueron obtenidos de diapositivas de la empresa ALVAREZ Ltda.
CAPITULO 2 PUENTES
14
Figura 2. 9: Dimensiones Viga Puente Antahuancana
El puente hasta antes del año 2012 sufría un deterioro en las pilas ya que estas tenían
deformación alta mente visibles, se presume que esto fue generado por un aparente
movimiento, o bien del talud del estribo lado Cochabamba o bien del talud del estribo lado
Santa Cruz, que genera un empuje sobre la superestructura del puente, sus apoyos y por
ende también la infraestructura para el cual no fueron diseñados. Es así que la empresa
Álvarez Ltda como manera de reforzar el puente implementa un arco con micro pilotes
lado Santa Cruz y fundación directa lado Cochabamba, donde este tiene la función de
estabilizar los apoyos intermedios.
2.2.2. Puente Quebrada Honda
El puente Quebrada Honda es una de las obras de arte del camino carretero Los
Libertadores está ubicado en la progresiva 43+300 del frente 1 tramo II Lecori – Camargo.
La estructura tiene una longitud de 190 m en tres tramos: tramo central de 80 m y tramos
extremos de 55 m. La infraestructura4 está constituida por dos pilas de hormigón armado de
16,36 m (lado Potosí) y 22,0 m (lado Tarija),cabezal o encepado de pilotes y pilotes de 1,20
m de diámetro con base ensanchada a 2,10 m y 10,0 m de longitud, en los extremos se
tienen estribos de hormigón armado con fundación directa.
4 Datos de la infraestructura en http://connalsrl.com/
CAPITULO 2 PUENTES
15
Figura 2. 10: Puente Quebrada Honda
La superestructura ejecutada mediante la técnica de volados sucesivos está constituida
por 11 dovelas que se ejecutan a ambos lados de las pilas partiendo de las dovelas de
arranque haciendo un total de 44 dovelas, adicionalmente se tiene la dovela clave o de
cierre, con lo cual se tiene un total de 45 dovelas de 3,0 m con una longitud de 135,0 m.
Las dovelas de arranque sobre ambas pilas tienen una longitud de 11,0 cada una,
haciendo un total de 22,0 m, con lo cual se tiene una longitud de 157,0 m. Finalmente se
tienen los tramos extremos vaciados en sitio con una longitud de 16,5 m cada uno haciendo
un total de 33,0 m, con lo cual se completa la longitud total de la superestructura a 190,0 m.
16
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1Capítulo3
PUENTES CURVOS DE SECCIÓN CAJÓN
3.1. VIGA CURVA
3.1.1. Ecuaciones de la Elástica
El método simplificado de análisis para una viga curva en esta sección es solamente
válido cuando el eje del puente es un arco circular de radio constante o cuando se tiene
curvas circulares simples. Sin embargo no es el único caso también existe curvas
horizontales donde el radio puede variar a lo largo de la longitud del puente, esto es el caso
de curvas circulares compuestas y curvas helicoidales. Para estos casos se puede considerar
un radio constante promedio que puede ser asumido por cada tramo, lo que hace posible el
uso de los cálculos simplificados propuestos.
Las convenciones de notación son mostradas en la (Figura 3.1) donde 𝑠 es el eje de la
viga curva, 𝑟 el radio de curvatura, 𝜑 ángulo de apertura, 𝑞 carga vertical, 𝑒 excentricidad
de la carga y 𝑡 el esfuerzo de torsión externa. .111111111111111111111111
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
17
Figura 3. 1: Signos convencionales para la geometría y carga de viga curva
Figura 3. 2: Signos convencionales para las fuerzas seccionales
Las ecuaciones de equilibrio para el elemento diferencial de una viga curva que se
muestra en la (Figura 3.3) son:
𝑑𝑉 + 𝑞𝑑𝑠 = 0 (a)
𝑑𝑇 + 𝑀𝑑𝜑 + (𝑒 ∙ 𝑞 + 𝑡)𝑑𝑠 = 0 (b)
𝑑𝑀 − 𝑇𝑑𝜑 − 𝑉𝑑𝑠 = 0 (c)
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
18
Figura 3. 3: Elemento diferencial de una viga curva
Si dividimos cada ecuación entre 𝑑𝑠 y sustituyendo 1/𝑟 por 𝑑𝜑/𝑑𝑠 se obtiene entonces
las siguientes tres ecuaciones:
𝑑𝑉
𝑑𝑠= −𝑞
(d)
𝑑𝑇
𝑑𝑠+
𝑀
𝑟= −𝑒 ∙ 𝑞 − 𝑡
(e)
𝑑𝑀
𝑑𝑠−
𝑇
𝑟= 𝑉
(f)
Derivando la ecuación (f) respecto de 𝑠 y sustituyendo la ecuación (d) en ella, se
obtiene el siguiente par de ecuaciones diferenciales:
𝑑2𝑀
𝑑𝑠2= − (𝑞 −
1
𝑟
𝑑𝑇
𝑑𝑠)
(g)
𝑑𝑇
𝑑𝑠= − (
𝑀
𝑟+ 𝑒 ∙ 𝑞 + 𝑡) = −𝑚𝑡
(3. 1)
donde 𝑚𝑡 es el momento de torsión total equivalente
Una solución iterativa de la ecuación (g) y (e) se puede desarrollar dividiendo la
expresión (e) entre 𝑟 donde:
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
19
−1
𝑟
𝑑𝑇
𝑑𝑠=
𝑀
𝑟2+
𝑒 ∙ 𝑞
𝑟+
𝑡
𝑟
(h)
si expresamos 𝑀 como una función lineal de 𝑞𝑙2, entonces podemos reescribir la ecuación
como:
−1
𝑟
𝑑𝑇
𝑑𝑠=
1
𝑟2
𝑞 ∙ 𝑙2
𝐶+
𝑒 ∙ 𝑞
𝑟+
1
𝑟= 𝑞 (
𝑙2
𝑟2𝐶+
𝑒
𝑟+
𝑡
𝑟 ∙ 𝑞)
Asumiendo 𝑙 < 𝑟, 𝑒 < 𝑟 y 𝑡/𝑟 < 𝑞, se deduce entonces que el lado izquierdo de la
ecuación (h) es pequeño en relación a 𝑞. Por lo tanto, el término 𝑑𝑇/𝑟 𝑑𝑠 pueden
despreciarse en la ecuación (g) que se transforma en:
𝑑2𝑀1
𝑑𝑠2= −𝑞
(i)
Entonces los momentos de flexión de la viga curva son igual a 𝑀1, los cuales son
aproximadamente iguales a los momentos en una viga recta de longitud igual al arco. Una
primera aproximación de los momentos de torsión se obtiene por la sustitución de la
solución de la ecuación (i) en la ecuación (e):
𝑑𝑇1
𝑑𝑠= −(
𝑀1
𝑟+ 𝑒 ∙ 𝑞 + 𝑡)
(j)
Esta es la ecuación de equilibrio de torsión de una barra recta, que de este modo se
puede resolver utilizando los métodos clásicos de la mecánica estructural. El término 𝑀1/𝑟
es normalmente la carga dominante en esta ecuación.
La estimación inicial de 𝑀1 puede ser refinado por la medio de la sustitución de 𝑇1 en la
ecuación (g)
𝑑2𝑀2
𝑑𝑠2= − (𝑞 −
1
𝑟
𝑑𝑇1
𝑑𝑠)
El cálculo iterativo converge rápidamente pero este método aproximado normalmente
no satisface la compatibilidad cuando se usa para los sistemas estáticamente
indeterminados, para los que se obtiene una solución exacta sólo cuando la relación de
rigidez a la flexión con la rigidez a la torsional 𝐸𝐼/𝐺𝐾 es igual a 0. El método hace; sin
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
20
embargo, satisfacer el equilibrio. La solución calcula utilizando el método aproximado por
lo tanto corresponde a una pequeña redistribución de las fuerzas en sección de la solución
exacta.
Ejemplo 3.1.
La viga se muestra en la figura 3.4a. Giro es restringido en ambos extremos; flexión
rotaciones son restringidos en un extremo. Una carga uniformemente distribuida se aplica
sobre toda la longitud. Se supone que 𝑙/𝑟 = 0.2 y 𝐼𝐸 / 𝐺𝐾 = 1.0. Los resultados de la
análisis se dan en la figura 3.4b, y en la tabla 7.1. Los resultados del aproximado análisis
coinciden estrechamente con la solución exacta.
Figura 3. 4: Viga curva de un tramo y Esfuerzos
Sección M1 T1 M T
A
1
2
3B
-125.00
0.00
62.50
62.50
0.00
0.00
2.87
0.78
-2.34
-4.17
-125.00
-0.28
62.46
62.55
0.00
-0.02
2.86
1.05
-2.34
-4.16 Tabla 3- 1: Momentos flectores y torsores de Ejemplo 3.1
3.1.2. Transformación de Torque en las fuerzas seccionales de torsión
La suma vectorial de los momentos de flexión 𝑀 y 𝑀 + 𝑑𝑀 en un elemento
diferencial de una viga curvada se denota 𝑚𝑡 𝑑𝑠 (Fig. 3.5). Debido a que es tangente al eje
longitudinal del elemento, 𝑚𝑡 𝑑𝑠 pueden considerarse como un par de torsión. Es evidente
que a partir del triángulo de fuerza se muestra en la figura 3.5 que 𝑚𝑡 = 𝑀/𝑟. Esta
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
21
expresión también se puede formular teniendo en cuenta las fuerzas de desviación que
actúan sobre el elemento, que se define como la suma vectorial de las fuerzas de
compresión y de tracción de flexión, respectivamente (Fig. 3.6). Las fuerzas de desviación
se formulan de la siguiente manera:
𝑞𝐷𝑑𝑠 = 𝐷𝑑𝜑 𝑞𝑧𝑑𝑠 = 𝑍𝑑𝜑
El brazo de palanca interno se denota z. Haciendo la sustitución 𝐷 = 𝑀/𝑧 ,𝑍 = −𝑀/𝑧,
y 𝑑𝜑 = 𝑑𝑠/𝑟, se obtienen las siguientes ecuaciones:
𝑞𝐷 =𝐷
𝑟=
𝑀
2𝑟 𝑞𝑧 =
𝑍
𝑟=
𝑀
𝑧𝑟
Figura 3. 5: Momentos de flexión y torsión en un elemento de viga diferencial
Figura 3. 6: Fuerzas de desviación debido a la viga curva
La pareja que se forme por 𝑞𝐷 y 𝑞𝑧 se denota por 𝑚𝑡
𝑚𝑡𝑑𝑠 = 𝑞𝐷 𝑧𝑑𝑠 = −𝑞𝑧 𝑧𝑑𝑠
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
22
𝑚𝑡 = 𝑞𝐷𝑧 = −𝑞𝑧𝑧 =𝑀
𝑟
(a)
que es el mismo resultado como se obtiene a partir del modelo de la figura 3.4
Figura 3. 7: Fuerzas de desviación de la compresión a flexión y tensión en una viga cajón
En la caja de secciones transversales, las fuerzas de desvío se localizan en las losas
superior e inferior (Fig. 3.7) Por lo tanto
𝑞𝑡𝑠 =𝑀
ℎ𝑜𝑟=
𝑚𝑡
ℎ𝑜 𝑦 𝑞𝑏𝑠 =
𝑀
ℎ𝑜𝑟=
𝑚𝑡
ℎ𝑜
(b)
Cuando 𝑒 y 𝑡 son cero en la ecuación (3.1), el momento 𝑚𝑡 𝑑𝑠 será en equilibrio con el
momento de torsión 𝑇:
𝑑𝑇
𝑑𝑠= −𝑚𝑡 =
𝑀
𝑟
(c)
Se supone que la torsión en secciones de caja es resistida principalmente por un flujo de
cizallamiento 𝜈 cerrado (Fig.3.8). Por consiguiente, la diferencia en 𝑑𝜈 flujo de
cizallamiento a través del elemento se puede expresar en términos de la diferencia en el
momento de torsión
𝑑𝜈 =𝑑𝑇
2𝑏𝑜ℎ𝑜
(d)
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
23
Figura 3. 8: Flujo cortante en un elemento de viga curvada
Combinando las ecuaciones (c) y (d), se obtiene la siguiente expresión para 𝑑𝜈/𝑑𝑠
como una función de M:
𝑑𝜈
𝑑𝑠=
𝑑𝑇
𝑑𝑠
1
2𝑏𝑜ℎ𝑜= −
𝑚𝑡
2𝑏𝑜ℎ𝑜= −
𝑀
2𝑏𝑜ℎ𝑜𝑟
Las fuerzas de corte corresponden por unidad de longitud en la losa superior, losa
inferior, y nervios se dan en la figura 3.9. Adición de la fuerzas de desvío 𝑞𝑡𝑠 y 𝑞𝑏𝑠
(ecuaciones (b)) produce el estado de equilibrio mostrado en la figura 3.9. Las fuerzas de
corte resultantes de la introducción de par de torsión producen transversal y flexión
longitudinal en la viga. Este fenómeno es discutido en detalle en la Sección 3.2. Si las
tensiones inducidas por la flexión transversal son altas, puede ser preferible proporcionar
diafragmas intermedios. Las fuerzas de desvío 𝑞𝑡𝑠 y 𝑞𝑏𝑠 continuación, se transferirán a
través de flexión longitudinal a los diafragmas, donde se introducen en la sección
transversal como un par concentradas.
Figura 3. 9: Fuerzas de Corte Torsionales
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
24
Figura 3. 10: Fuerzas de Corte por Torsión y Fuerzas de desviación
En vigas curvadas con sección transversal abierta, 𝑚𝑡 puede resolverse en un par
estáticamente equivalente de fuerzas verticales aplicadas en el plano de los elementos
laminares (fig. 3.11c):
Figura 3. 11 Torsión de alabeo en una curva sección en doble T:
a, fuerzas de desvío debido a la tensión a la flexión y compresión; b, transversal aproximada momentos de flexión
debido a las fuerzas de desviación; c, diferencial web de carga debido a la mt torque
�̅� =𝑚𝑡
𝑏𝑜=
𝑀(𝑞)
𝑟𝑏𝑜
(3. 2)
donde q es la carga dada, aplicada simétricamente alrededor del eje longitudinal de la viga.
El momento de flexión longitudinal en cada mitad de la viga se puede suponer igual a la
mitad el momento debido a 𝑞,𝑀(𝑞)/2 más el momento debido a �̅� 𝑀(𝑞):
𝑀𝑖𝑛𝑡 =𝑀(𝑞)
2− 𝑀(�̅�) 𝑀𝑒𝑥𝑡 =
𝑀(𝑞)
2+ 𝑀(�̅�)
donde "interior" y "exterior" se definen en relación con el centro de curvatura. Cuando
𝑀(𝑞) es positivo |𝑀𝑖𝑛𝑡| < |𝑀𝑒𝑥𝑡|; cuando 𝑀(𝑞) es negativo |𝑀𝑖𝑛𝑡| > |𝑀𝑒𝑥𝑡| . (Como una
primera aproximación, se puede suponer que 𝑀𝑖𝑛𝑡 = 𝑀𝑒𝑥𝑡 = 𝑀(𝑞)/2 ).
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
25
Las fuerzas de desvío 𝑞𝑧 y 𝑞𝐷 se calculan para el extensible de flexión y fuerzas de
compresión de cada medio de la viga. Suponiendo que 𝑀(𝑞) es positivo, las fuerzas de
tracción se dan por las ecuaciones siguientes:
𝑍𝑖𝑛𝑡 =1
𝑧(
𝑀(𝑞)
2− 𝑀(�̅�)) 𝑀𝑒𝑥𝑡 =
1
𝑧(
𝑀(𝑞)
2+ 𝑀(�̅�))
donde 𝑧 es el brazo de palanca interno. Las fuerzas de desvío correspondientes son
𝑞𝑧,𝑖𝑛𝑡 =𝑍𝑖𝑛𝑡
𝑟 𝑞𝑧,𝑒𝑥𝑡 =
𝑍𝑒𝑥𝑡
𝑟
Estas fuerzas inducen flexión transversal en las redes y en la losa superior. En la
intersección de las redes y la losa superior, los momentos transversales están dados por las
siguientes ecuaciones:
𝑚𝑖𝑛𝑡 ≅ 𝑞𝑧,𝑖𝑛𝑡𝑧 =1
𝑟(
𝑀(𝑞)
2− 𝑀(�̅�))
(3. 3)
𝑚𝑒𝑥𝑡 ≅ 𝑞𝑧,𝑒𝑥𝑡𝑧 =1
𝑟(
𝑀(𝑞)
2+ 𝑀(�̅�))
(3. 4)
Ejemplo 3.2
Para un puente de un solo tramo simplemente calcular la flexión y torsión fija en ambos
extremos. El intervalo 𝑙, es 30 m, y el radio de curvatura, 𝑟, es de 200 m. La distancia entre
las líneas centrales de las almas, bo, es de 6,5 m. Una carga uniforme de 150 kN / m, denota
por g, se aplica. El momento de flexión en centro de la luz se calcula aproximadamente por
una viga recta:
𝑀(𝑔) =𝑔𝑙2
8=
(150)(30)2
8= 16900 𝐾𝑁 ∙ 𝑚
El par de torsión en centro de la luz se calcula mediante la ecuación (3.1):
𝑚𝑡 =𝑀(𝑔)
𝑟=
16900
200= 84.5 𝐾𝑁 ∙ 𝑚/𝑚
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
26
y se resuelve en los pares �̅�:
�̅� =𝑚𝑡
𝑏𝑜=
84.5
6.5= 13.0 𝐾𝑁/𝑚
La carga �̅� se distribuye de manera parabólica a lo largo de la longitud de la viga. El
momento M (�̅�) se puede aproximar como sigue:
𝑀(�̅�) =�̅�𝑙2
9.6=
(13.0)(30)2
9.6= 1220 𝐾𝑁 ∙ 𝑚
Se calculan los momentos transversales en la intersección de las bandas y la losa superior
utilizando las ecuaciones (7.3) y (7.4)
𝑚𝑖𝑛𝑡 =1
200(
16900
2− 1220) = 36.2 𝐾𝑁 ∙ 𝑚/𝑚
𝑚𝑒𝑥𝑡 =1
200(
16900
2+ 1220) = 48.4 𝐾𝑁 ∙ 𝑚/𝑚
3.2.TORSION EN SECCION DE PARED DELGADA
3.2.1. Torsión Uniforme
Teoría de Saint Venant
Una pieza prismática está sometida a torsión uniforme cuando el momento torsor que en
ella actúa es constante a lo largo de la misma y además los alabeos que se producen en las
secciones no tienen ninguna coacción que impida su libre movimiento.
Lógicamente las anteriores condiciones son ideales, por lo que en la práctica rara vez se
presentan en toda su pureza. Sin embargo, aparecen multitud de casos en que, con un grado
de aproximación razonable, su estado de torsión puede ser asimilado a torsión uniforme.
Ello sucede fundamentalmente, tal como se analizará más adelante, con piezas de sección
maciza y con perfiles cerrados de pared delgada.
Las hipótesis básicas para la torsión uniforme son las siguientes:
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
27
a) Todas las secciones rectas de la pieza giran un ángulo φ1 alrededor de un eje, paralelo al
eje de la pieza, denominado eje de torsión. Al punto situado en la intersección de dicho eje
de torsión con una sección recta se le denomina centro de torsión.
b) El giro θ = dφ1/dx1 por unidad de longitud es constante para toda la pieza. Esto significa
que, dada una rebanada diferencial, el giro relativo entre las dos secciones es constante.
c) Cada punto de una sección recta experimenta un alabeo (movimiento en dirección x1) de
valor u1(x2, x3). Dicho alabeo no es función de x1, sino que es el mismo para cualquier
sección. Por este motivo, las tensiones normales σ1 en la sección son nulas.
Formulación de la Torsión de Saint Venant
Se supone que no se produce tensiones longitudinales de flexión al actuar un momento
torsor 𝑀𝑧, la sección gira un ángulo 𝜃 alrededor del eje z (normal al plano de la sección)
que pasa por el centro de cortantes.
Los desplazamientos en el plano de la sección de un punto de coordenadas (x, y) son:
𝑣 = 𝑥𝜃 (e)
𝑢 = −𝑦𝜃 (f)
Con 𝑢 y 𝑣 desplazamiento según los ejes 𝑥 e 𝑦 respectivamente. Se supone que 𝜃 depende
de 𝑧 únicamente y no de 𝑥 e 𝑦.
El movimiento longitudinal (según el eje z) del mismo punto se denota por 𝑤.
Las deformaciones de corte 𝛾𝑥𝑧, 𝛾𝑦𝑧 son:
𝛾𝑥𝑧 =𝜕𝑢
𝜕𝑧+
𝜕𝑤
𝜕𝑥= −𝑦𝜃′ +
𝜕𝑤
𝜕𝑥
(k)
𝛾𝑦𝑧 =𝜕𝑣
𝜕𝑧+
𝜕𝑤
𝜕𝑦= 𝑥𝜃′ +
𝜕𝑤
𝜕𝑥
(b)
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
28
Las relaciones tensión-deformación son para un material isótropo son:
𝜏𝑥𝑧 =1
𝐺𝛾𝑥𝑧 𝑦 𝜏𝑦𝑧 =
1
𝐺𝛾𝑦𝑧
(c)
Donde la condición de equilibrio de una fibra implica que:
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑦= 0
(d)
Por otra parte, el momento exterior de torsión es equilibrado por las tensiones cortantes 𝜏𝑥𝑧
y 𝜏𝑦𝑧 es decir:
𝑀𝑧 = ∬ (𝑦𝜏𝑥𝑧 − 𝑥𝜏𝑦𝑧)𝑑𝐴1
𝐴
(e)
El problema se resuelve introduciendo la función de tensión∅, definido como sigue:
𝜏𝑥𝑧 =𝜕∅
𝜕𝑦 ; 𝜏𝑦𝑧 = −
𝜕∅
𝜕𝑥
(f)
Con lo que resulta la ecuación diferencial:
𝜕2∅
𝜕𝑥2+
𝜕2∅
𝜕𝑦2= −2𝐺𝜃
(3. 5)
Con las pertinentes condiciones de contorno. Normalmente borde libre, implica la
anulación de la tensión tangencia:
𝜎𝑥𝑧 =𝜕∅
𝜕𝑦cos 𝛼 +
𝜕∅
𝜕𝑥𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝜕∅
𝜕𝑛= 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 (𝑥, 𝑦) ∈ �̅�
El valor del ángulo 𝜃 se deduce de la condición de equilibrio global del momento torsor, es
decir:
𝑀𝑧 = ∬ (𝑦𝜕∅
𝜕𝑦+ 𝑥
𝜕∅
𝜕𝑥) 𝑑𝐴 = 2 ∬ ∅𝑑𝐴
1
𝐴
1
𝐴
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
29
Se designa como constante torsional de Saint Venant J a las características de la sección
definida por la relación:
𝑀𝑧 = 𝐺𝐽𝑑𝜃
𝑑𝑍
(3. 6)
Con 𝐺 =𝐸
2(1+𝑣) módulo de elasticidad transversal
La expresión de J, es entonces:
𝐽 = −4 ∬ ∅𝑑𝐴
1
𝐴
𝜕2∅𝜕𝑥2 +
𝜕2∅𝜕𝑦2
(3. 7)
El valor de J puede ser aproximado para secciones macizas mediante la expresión:
𝐽 =𝐴4
40 𝐼𝑝
(3. 8)
Donde A= área de la sección transversal, 𝐼𝑝 =momento polar de inercia respecto al
centro de cortantes (que se puede suponer coincide con el centro de gravedad), con
𝐼𝑝 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦
Las deformaciones de la viga debido a la torsión inducida a flexión transversal y
longitudinal, sin embargo, son pequeñas en relación con las deformaciones debidas a flujo
de cizallamiento de torsión. La deformación total debido a la torsión por lo tanto se puede
suponer igual a la deformación en torsión pura 𝜃, definido por la siguiente ecuación:
𝜃(𝑥) = ∫𝑇(𝑥)
𝐺𝐽𝑑𝑥 + 𝐶
(3. 9)
donde se obtiene C de las condiciones de contorno y 𝐽 se define como la constante de
torsión de la sección.
Entonces el valor de J para una sección cajón no fisurado puede ser obtenida usando el
método de trabajo A. segmento de viga Virtual de la longitud dx es considerado. La
longitud y el grosor de la sección del elemento i se denotan b y t, respectivamente. El
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
30
verdadero momento de torsión T se supone para producir el giro d. la correspondiente
deformación de corte de sección de elemento i es
𝛾𝑡𝑑𝑥 =𝑇
2𝐴𝑜𝐺𝑡𝑡𝑑𝑥
El momento de torsión virtual de T = 1 produce el flujo de tensiones 𝑢 = 1/2𝐴𝑜. El
esfuerzo cortante en la sección correspondiente elemento 𝑖 es
�̅�𝑏𝑖 =𝑏𝑖
2𝐴𝑜
El trabajo externo e interno de las fuerzas virtuales y desplazamientos reales se puede
equiparar
1 ∙ 𝑑𝜃 = ∑(�̅�𝑏𝑖)(𝛾𝑖𝑑𝑥) = ∑ (𝑏𝑖
2𝐴𝑜) (
𝑇
2𝐴𝑜𝐺𝑡𝑖𝑑𝑥)
𝑖𝑖
Resulta que
𝑑𝜃
𝑑𝑥= ∑
𝑏𝑡
2𝐴𝑜
𝑇
2𝐴𝑜𝐺𝑡𝑖= ∑
𝑇
4𝐺𝐴𝑜2
𝑏𝑖
𝑡𝑖=
𝑇
𝐺𝑖
∑ (𝑏𝑖/𝑡𝑖)𝑖
4𝐴𝑜2
𝑖
donde J se define como la constante de torsión
𝐽 =4𝐴𝑜
2
∑ 𝑏𝑖/𝑡𝑖𝑖
(3. 10)
Figura 3. 12: Torsión de St. Venant en una sección transversal cerrada
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
31
3.2.2. Torsión Alabeada
Teoría de Vlassov
En la teoría de la torsión uniforme (también llamada torsión según Saint-Venant), cada
punto de las correspondientes secciones rectas alabea libremente sin que exista ninguna
coacción a dicho movimiento. Ello comporta que el ángulo específico de torsión sea el
mismo para todas las secciones de la pieza y que la distribución de tensiones tangenciales
tampoco dependa de la coordenada x1.
Si se considera, sin embargo, la pieza como formando parte de todo un conjunto
estructural, los mencionados alabeos no serán en general libres, sino que normalmente
existirá algún tipo de coacción. De esta forma, los alabeos pueden dejar de ser uniforme a
lo largo del eje de la pieza. Lógicamente, si dichos alabeos están coaccionados aparecerán
unas tensiones normales 𝜎1 variables punto a punto en la sección y función de la sección
que se considere. Además, y como consecuencia de la variabilidad a lo largo del eje de la
pieza de las tensiones normales, aparecerán asimismo unas tensiones tangenciales 𝜏 (que,
como se verá más adelante, son constantes en el espesor) que producirán un momento
torsor 𝑀𝑤 denominado momento de alabeo. Lógicamente, el momento torsor total 𝑇 que
actúa en una sección es la suma del mencionado torsor 𝑀𝑤 y del producido por la torsión
uniforme 𝑀𝑡. Es decir, 𝑇 = 𝑀𝑧𝑣 + 𝑀𝑧𝑤
Formulación de la Torsión de Vlassov
Como se ha indicado anteriormente, cuando existe, en los extremos de la viga, coacción
al alabeo de la sección aparece una tensiones longitudinales que induce, otras cortantes, las
cuales integradas producen una torsión adicional a la anteriormente estudiada o de Saint
Venant. Ahora las secciones planas no permanecen planas después de la formación. Por lo
tanto, un momento torsor total 𝑇 se descompone ahora en la siguiente forma Figura 3.12a:
𝑇 = 𝑀𝑧𝑣 + 𝑀𝑧𝑣 (3. 10)
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
32
en donde 𝑀𝑧𝑣 corresponde al momento torsor de Saint Venant o sin alabeo, y 𝑀𝑧𝑤 es el
debido a la coacción al alabeo. Para la determinación de estos dos sumandos se considera
primeramente el caso sencillo de la sección abierta y pared delgada de la Figura 3.13.
La línea media de la sección referida a un sistema de ejes coordenados de origen C es:
𝑥 = 𝑥(𝑠) 𝑦 = 𝑦(𝑠)
con parámetros del arco s medido desde un borde. Sean (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜) las coordenadas del centro
de la sección O. La distancia 𝜌𝑜desde este punto a la tangente en un punto genérico P(x, y)
de la línea media dada por la expresión:
𝜌𝑜 = 𝜌 + 𝑥𝑜𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑦𝑜 cos 𝛼 = 𝜌 − 𝑥𝑜
𝑑𝑦
𝑑𝑠+ 𝑥𝑜
𝑑𝑥
𝑑𝑠
(3. 11)
Figura 3. 13: Ejemplo de torsión Alabeada
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
33
Sea 𝜃 el ángulo de giro de torsión de la sección alrededor de O. Se desprende de la
Figura 3.4 la siguiente igualdad:
𝜕�̅�
𝜕𝑠+
𝜕𝑣
𝜕𝑧= 𝜇 = 0
es decir:
𝑑�̅� = −𝛾𝑑𝑠 = −𝜌0
𝑑𝜃
𝑑𝑧𝑑𝑠 = −𝜌𝑜𝜃′𝑑𝑠
(3. 12)
En donde los movimientos �̅� se miden en el sentido de la z creciente. El acento
significa derivada respecto a la dirección longitudinal (luz) z. De la ecuación (3.12) se
deduce:
�̅� = −𝜃′ ∫ 𝜌𝑜𝑑𝑠 + 𝑘𝑜(𝑧)𝑠
0
con 𝑘𝑜(𝑧) una constante función de la distancia z
Figura 3. 14: Torsión con alabeo
La tensión longitudinal 𝜎𝑠(𝑠) se obtiene mediante la ecuación de Hooke a nivel de
rebanada elemental, es decir:
𝜎𝑧 = 𝜎𝑧(𝑠) = 𝐸𝛿𝑧(𝑠) = 𝐸𝑑�̅�
𝑑𝑧= 𝐸{−𝜃′′ ∫ 𝜌𝑜𝑑𝑠 + 𝑘′
𝑜(𝑧)𝑠
0
}
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
34
El equilibrio de un elemento de pared se puede deducir de la inspección de la figura
3.14 b en donde ahora las tensiones cortantes debidas al alabeo se designara por 𝜏𝑤,
obteniéndose la siguiente ecuación.
𝜏𝑤𝑒 = − ∫𝜕𝜎𝑧
𝜕𝑧𝑒 𝑑𝑠
𝑠
0
(3. 13)
Por otra parte, el equilibrio de tensiones en toda la sección conduce a las igualdades:
𝑍 = ∫ 𝜎𝑧 𝑒 𝑑𝑠𝑙
0
= 0 = −𝜃′′ ∫ 𝐸𝑙
0{∫ 𝜌0𝑑𝜉
𝑠0
}𝑒 𝑑𝑠 + 𝑘′
0 ∫ 𝐸 𝑒 𝑑𝑠 = 0𝑙
0
𝑀𝑥 = ∫ 𝜎𝑧 𝑒𝑦 𝑑𝑠𝑙
0
= 0 = −𝜃′′ ∫ 𝐸𝑙
0
{∫ 𝜌0𝑑𝜉𝑠
0
} 𝑒 𝑑𝑠 + 𝑘′0 ∫ 𝐸 𝑒𝑦 𝑑𝑠 = 0
𝑙
0
(3. 14)
𝑀𝑦 = ∫ 𝜎𝑧 𝑒𝑥 𝑑𝑠𝑙
0
= 0 = −𝜃′′ ∫ 𝐸𝑙
0{∫ 𝜌0𝑑𝜉
𝑠0
}𝑒 𝑑𝑠 + 𝑘′
0 ∫ 𝐸 𝑒𝑥 𝑑𝑠 = 0𝑙
0
con objeto de simplificar estas ecuaciones de equilibrio se considera la integral:
𝑤𝑜 = ∫ 𝜌𝑜𝑑𝑠𝑠
0
y la igualdad (3.11) obteniéndose:
𝑤𝑜 = ∫ 𝜌𝑜𝑑𝑠 = ∫ 𝜌𝑑𝑠 − 𝑥𝑜{𝑦 − 𝑦(0)} + 𝑦𝑜{𝑥 − 𝑥(0)}𝑠
0
𝑠
0
= 𝑤 − 𝑥0{𝑦 − 𝑦(0)} + 𝑦𝑜{𝑥 − 𝑥(0)} se define que:
𝑤 = ∫ 𝜌𝑠
0
𝑑𝑠
La segunda ecuación se transforma:
𝜃′′ {∫ 𝐸𝑤𝑒𝑦𝑑𝑠 − ∫ 𝐸𝑙
0
𝑦0{𝑥𝑙
0
− 𝑥(0)} 𝑒𝑦 𝑑𝑠
− ∫ 𝐸𝑥0{𝑦 − 𝑦(0)} 𝑒𝑥𝑑𝑠 − 𝑘′𝑜 ∫ 𝐸𝑒𝑦𝑑𝑠 = 0
𝑙
0
𝑙
0
(3. 15)
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
35
pero si se elige como el origen C de coordenadas el cdg se tiene:
∫ 𝐸 𝑒𝑥 𝑑𝑠 = 0𝑙
0
, ∫ 𝐸 𝑒𝑦 𝑑𝑠 = 0𝑙
0
y por otra parte se escribe los momentos de segundo orden:
𝐼𝑥𝑦 = ∫ 𝐸 𝑒𝑥 𝑑𝑠; 𝐼𝑥𝑥 = ∫ 𝐸 𝑒𝑥2 𝑑𝑠; 𝐼𝑦𝑦 = ∫ 𝐸 𝑒𝑦2𝑑𝑠𝑙
0
𝑙
0
𝑙
0
Finalmente, considerando las definiciones dadas la ecuación (3.15) se convierte en la
siguiente
𝜃′′{𝐼𝑤𝑦 + 𝑦(0)𝐼𝑥𝑦 − 𝑥(0)𝐼𝑦𝑦} = 0
y análogamente con la ecuación tercera de las (3.14) se deduce:
𝜃′′{𝐼𝑤𝑥 + 𝑦(0)𝐼𝑥𝑥 − 𝑥(0)𝐼𝑥𝑦} = 0
Estas dos ecuaciones permiten determinar las constantes de integración x (0), y (0), que
se comprueban corresponden a la situación del centro de esfuerzos cortantes. De la primera
de las (A.16) se obtiene:
−𝜃´´ ∫ 𝐸 𝑒 𝑤𝑜𝑑𝑠 + 𝐸0 𝐴0 𝑘´0
𝑙
0
= 0
con
𝐸0𝐴0 = ∫ 𝐸 𝑙
0
𝑒𝑑𝑠 𝑦 𝑤𝑜 = ∫ 𝜌0 𝑑𝑠𝑙
0
La expresión de la tensión longitudinal ahora se puede escribir como sigue:
𝜎𝑧 = 𝐸{−𝜃′′ ∫ 𝜌𝑜 𝑑𝑠 + 𝑘′0} = −𝐸𝜃′′ ∫ 𝜌0𝑑𝑠 +𝐸 𝜃′′
𝐸0𝐴0∫ 𝐸 𝑒 𝑤 𝑑𝑠
𝑙
0
𝑙
0
𝑙
0
es decir:
𝜎𝑧𝑤 = 𝜎𝑠 = 𝐸𝜃′′ (1
𝐴𝑜𝐸𝑜∫ 𝐸 𝑒 𝑤𝑜𝑑𝑠 − 𝑤𝑜
𝑙
0
) = 𝐸𝜃′′𝑤1
(3. 16)
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
36
Por último, la ecuación de equilibrio (A.15) se puede escribir como se indica a
continuación
𝜏𝑤𝑒 = −𝜃′′′ ∫ 𝐸 𝑒 𝑤1 𝑑𝑠𝑠
0
= −𝜃′′′𝑆𝑤 (3. 17)
el momento torsor que produce estas tensiones cortantes 𝜏𝑤, del alabeo es directamente
𝑀𝑧𝑤 = ∫ 𝜏𝑤𝑒𝜌𝑜𝑑𝑠𝑙
0
= −𝜃′′′ ∫ 𝑆𝑤𝜌0𝑑𝑠𝑙
0 = −𝜃′′′𝐸𝑜𝐼𝑤 (3. 18)
en donde 𝐼𝑤 se denomina la constante de alabeo y 𝐸𝑜 es el valor medio 𝐸, es decir,
𝐸𝑜 =1
𝑙∫ 𝐸 𝑑𝑠
𝑙
0
El momento de alabeo 𝐸𝐼𝑤 constituye una constante importante en la sección. Su
expresión puede ser obtenida de una forma cómoda, como sigue:
𝐼𝑤 = ∫ 𝑤12 𝑒 𝑑𝑠
𝑙
0
(3. 19)
Se suele definir el bimomento como 𝐵𝑖 = 𝐸𝐼𝑤𝜃′′. Su interpretación física, en una
sección en doble te, puede se los dos momentos flectores (de signos opuestos) actuando en
los planos de las alas de la viga. Las tensiones longitudinales de flexión se deducen en
función del bimomento al considerar (3.16), resulta:
𝜎𝑧 =𝐵𝑖 ∙ 𝑤1
𝐼𝑤
que constituye una fórmula similar a la de flexión de vigas.
𝑀𝑧 = 𝑀𝑧𝑤 + 𝑀𝑧𝑣
𝑀𝑧𝑣 = 𝐺𝐽𝜃′ (Torsor de Saint Venant)
𝑀𝑧𝑤 = −𝐸𝑜𝐼𝑤𝜃′′′ (Torsor producida por el Alabeo)
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
37
3.2.3. Torsión Mixta
La interacción de la torsión de Saint-Venant 𝑀𝑧𝑣 y torsión alabeo 𝑀𝑧𝑤 requiere tener
en cuenta cada vez que ambos efectos son del mismo orden de magnitud. En cualquier
punto z a lo largo del miembro, el momento de torsión 𝑀𝑧 es igual a la suma de los dos
efectos como se muestra en la ecuación (3.10)
La parte de Saint-Venant del momento de torsión es proporcional a la primera derivada
del ángulo de giro como se muestra en la expresión (3.6)
La deformación de torsión, por otro lado, es proporcional a la primera derivada de la
deformación momento 𝑀𝑧𝑤. El momento deformación se define en la ecuación (3.18)
Los signos de los momentos de torsión se determinan por la siguiente convención: Un
momento de torsión que actúa sobre una sección transversal con un positivo normal
exterior es positivo siempre que provoca una rotación positiva (en + 𝜃-sentido) de la
sección transversal. Por el contrario, un momento de torsión que actúa sobre una sección
transversal con un negativo normal exterior debe girar en el negativo 𝜃 - el sentido de ser
positivo.
El símbolo 𝑚𝑡 denota una carga de torsión aplicada externamente por unidad de
longitud y es positivo si se aplica en el sentido positivo de 𝜃.
La condición de equilibrio para un elemento de la longitud del miembro de 𝑑𝑧 puede así
ser formulada como sigue:
−𝑇 + 𝑚𝑡𝑑𝑧 + (𝑇 +𝑑𝑇
𝑑𝑧𝑑𝑧) = 0
lo que simplifica a:
−𝑑𝑇
𝑑𝑧= 𝑚𝑡
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
38
Si el momento de torsión que es, de acuerdo a la ecuación (3.10), dividido en los dos
componentes del 𝑀𝑧𝑣 y 𝑀𝑧𝑤 y si este último se introducen de acuerdo con las expresiones
(3.6) y (3.18), la siguiente ecuación diferencial fundamental para la torsión mixta resulta:
(𝐸𝐼𝑤𝜃′′′)
′− (𝐺𝐽𝜃′)′ = 𝑚𝑡
Desde la siguiente teoría se limita a los miembros prismáticos, esta lineal ecuación
diferencial de cuarto orden tendrá coeficientes constantes, entonces estas queda definida
como:
𝐸𝐼w
𝑑4𝜃
𝑑𝑧4− 𝐺𝐽
𝑑2𝜃
𝑑𝑧2= 𝑚𝑡
(3. 20)
donde 𝜃(𝑧) es el giro de una sección cualquiera respecto al centro de esfuerzos cortantes, E,
G son el módulo de Young y el módulo de rigidez a cortante, J es el módulo de torsión y 𝐼𝑤
es el módulo de alabeo, m(t) es el momento distribuido a lo largo de la viga. La ecuación
(3.20) se reorganiza introduciendo un parámetro denominado esbeltez torsional
𝜆 = 𝐿√𝐺𝐽/𝐸𝐼w (3. 21)
que mide la proporción entre la rigidez seccional de ambos mecanismos de torsión: la
torsión uniforme GJ y la torsión alabeada EI. La ecuación se hace adimensional haciendo
x= Lξ e introduciendo la coordenada relativa ξ 𝜖 [0; 1]. Así, la Ecuación (3.20) se puede
escribir como
𝐸𝐼ΩΩ
𝐿4(
𝑑4𝜃
𝑑𝜉4− 𝜆2
𝑑2𝜃
𝑑𝜉2) = 𝑚(𝜉)
La solución general de la ecuación es de la forma
𝜃(𝜉) = 𝛼 + 𝛽 sinh(𝜆𝜉) + 𝛾 cosh(𝜆𝜉) + 𝜃𝑝(𝜉)
Donde ∝, 𝛽, 𝛾 son constantes de integracion a obtener con las condiciones de contorno y
𝜃𝑝(ξ ) es una solución particular de la ecuación completa. Obtenida la solución en giros los
esfuerzos asociados al problema de torsión se obtienen como Torsor uniforme, torsor de
alabeo y Bimomento explicado en las ecuaciones:
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
39
Torsor uniforme: 𝑇𝐽(𝜉) =𝐺𝐽
𝐿
𝑑𝜃
𝑑𝜉
Torsor de alabeo: 𝑇𝐼(𝜉) = −𝐸𝐼𝑤
𝐿3
𝑑3𝜃
𝑑𝜉3
Bimomento: 𝐵(𝜉) =𝐸𝐼𝑤
𝐿2
𝑑2𝜃
𝑑𝜉2
El parámetro 𝜆 gobierna el reparto del torsor total en cada sección 𝑇𝐽 + 𝑇𝐼 entre cada una de
sus componentes. En las zonas cercanas a secciones con alabeo coartado es predominante el
comportamiento alabeado mientras que en las zonas alejadas el reparto dependerá de la
longitud de la viga respecto al radio de giro a torsión 𝑖𝑇 = √𝐸𝐼w/𝐺𝐽 = 𝐿/𝜆. En general
para el análisis de la torsión de una viga de longitud L y con condiciones de contorno en los
extremos, un criterio para veri car que mecanismos de torsión son predominantes es el dado
por la Tabla 3-2. Se comprueba que valores bajos de la esbeltez torsional se corresponden a
secciones esbeltas (se asume abiertas) en vigas cortas en relación al radio de giro de la
sección.
Dominio de la Torsión Esbeltez torsional Ecuación de la Torsión
Alabeada pura 𝜆 = 0 𝐸𝐼w𝜃𝑖𝑣 = 𝑚𝑡
Alabeada dominante
Mixta
Uniforme
0 < 𝜆 < 2.0
0 ≤ 𝜆 < 5.0
5 ≤ 𝜆 ≤ 10
𝐸𝐼ΩΩ𝜃𝑖𝑣 + 𝐺𝐽𝜃′′ = 𝑚𝑡
Uniforme pura 𝜆 → ∞ 𝐺𝐽𝜃′′ = −𝑚𝑡
Tabla 3- 2: Dominios de la torsión
A partir de la división presentada en la Tabla 3-2, obtener la solución de torsión en
vigas con esbeltez torsional nula se reduce a resolver una viga a flexión pues la ecuación
que gobierna el fenómeno de la torsión alabeada pura, 𝐸𝐼w𝜃𝑖𝑣 = 𝑚𝑡 es exactamente igual a
la de la flexión en vigas de Euler-Bernouilli, 𝐸𝐼𝑤𝑖𝑣 = 𝑞(𝑥): es lo que se denomina
analogía de la flexión. Básicamente, se trata de traducir condiciones de contorno, fuerzas y
variables a un problema analogía de flexión. En la Tabla 3-3 se muestra la correspondencia
entre los dos problemas.
Es obvio que resulta mucho más intuitivo obtener estas variables que los torsores y
bimomentos asociados, cuya naturaleza es bastante más complicada de entender. Resulta en
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
40
general más cómodo trabajar en la obtención de movimientos o en la resolución de vigas
hiperestáticas a flexión mediante métodos clásicos como los teoremas de Mohr o los
teoremas de Castigliano [16], por mencionar alguno. Además el problema de
éxito nos ayuda enormemente a interpretar físicamente el problema de la torsión, pues
esfuerzos análogos producen tensiones de la misma naturaleza. Esto se puede visualizar con
las tensiones normales:
En el problema de la flexión se calculan a partir de los sectores, por lo que en el
problema de la torsión tienen exactamente la misma expresión pero en función de los
bimomentos, tal y como se observa en la Tabla 3-2. La misma analogía se puede realizar
entre tensiones tangenciales, torsores y cortantes. Esta analogía es muy útil pues nos
permite predecir a priori las secciones más solicitadas por simple observación de los
diagramas de cortantes y flectores de la analogía de la flexión.
Esto es especialmente útil cuando tenemos una viga con múltiples apoyos intermedios y
diferentes configuraciones de carga. Nótese que la analogía de la flexión tal y como la
hemos presentado no podemos usarla para obtener la respuesta en torsión para el caso
general de la torsión mixta 𝜆 ≠ 0, pues aparece el término de la torsión uniforme.
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
41
Tabla 3- 3: Analogía de flexión y torsión alabeada
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
42
3.3. FUERZAS DEL PREESFORZADO
3.3.1. Pretensado
En sistemas estáticamente determinadas, las fuerzas en el acero de pretensado están en
equilibrio con las fuerzas seccionales en el hormigón. Por consiguiente, las últimas fuerzas
se pueden obtener directamente a partir de los componentes correspondientes de la primera.
Suponiendo que el ángulo de inclinación del tendón es pequeño, los componentes de fuerza
de tensión previa relativa al centro del sistema de coordenadas de la figura 3.15 son los
siguientes.
𝑃𝑥 ≅ 𝑃 𝑀𝑥 = 𝑃𝑧𝑎𝑦 − 𝑃𝑦𝑎𝑧
𝑃𝑧 = 𝑃𝑥
𝑑𝑎𝑦
𝑑𝑥 𝑀𝑦 = 𝑃𝑥𝑎𝑧
𝑃𝑧 = 𝑃𝑥
𝑑𝑎𝑧
𝑑𝑥 𝑀𝑧 = −𝑃𝑥𝑎𝑦
The torsional moment is defined with respect to the shear center:
𝑇 = 𝑀𝑥 − 𝑃𝑥𝑐𝑦 + 𝑃𝑦𝑐𝑧 = 𝑃𝑧(𝑎𝑦 − 𝑐𝑦) − 𝑃𝑦(𝑎𝑧 − 𝑐𝑧)
Figura 3. 15: Componentes de fuerza de pretensado
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
43
Cada uno de estos componentes corresponde a una fuerza de corte igual y opuesta en el
hormigón:
𝑁𝑐 = −𝑃𝑥 𝑀𝑐,𝑥 = −𝑃𝑥 (𝑎𝑦
𝑑𝑎𝑧
𝑑𝑥− 𝑎𝑧
𝑑𝑎𝑦
𝑑𝑥)
𝑉𝑐,𝑦 = −𝑃𝑥
𝑑𝑎𝑦
𝑑𝑥 𝑀𝑐,𝑥 = −𝑃𝑥𝑎𝑥
𝑉𝑐,𝑧 = −𝑃𝑥
𝑑𝑎𝑦
𝑑𝑥 𝑀𝑐,𝑥 = −𝑃𝑥𝑎𝑥
𝑇𝑐 = −𝑃𝑥 [(𝑎𝑦 − 𝑐𝑦)𝑑𝑎𝑧
𝑑𝑥− (𝑎𝑧 − 𝑐𝑧)
𝑑𝑎𝑦
𝑑𝑥]
(3. 22)
Las fuerzas seccionales de hormigón producidas por varios tendones se obtienen a partir
de la superposición de las componentes de fuerza de cada tendón individual.
La curvatura del perfil de tendón o curvatura de la misma, produce fuerzas de desvío
normales al eje longitudinal de la viga. Estos deben ser equilibrados en la sección de
hormigón, ya sea por flujo de cizallamiento diferencial o por las fuerzas de desviación de
las tensiones normales. Aunque la fuerza de desviación del tendón se puede suponer
concentrado en un solo lugar, las tensiones de hormigón equilibrarte se distribuyen
típicamente sobre toda la sección. Flexión transversal en la sección transversal será por lo
tanto ser inducida. Desde los momentos transversales de flexión son necesarios para el
equilibrio, deben ser consideradas en estado límite último.
La fuerza de desviación de los tendones debido a la curvatura de la viga en el plano xy
está en equilibrio con las fuerzas de desvío de las tensiones normales en el hormigón
debido a 𝑁𝑐,𝑀𝑐,𝑦 y 𝑀𝑐,𝑧:
𝑞𝑃,𝑦𝑐𝑔
= 𝑞𝑃,𝑦𝑐𝑔
Donde
𝑞𝑃,𝑦𝑐𝑔
= −𝑃𝑥
𝑟 𝑞𝑃,𝑦
𝑐𝑔= −
1
𝑟𝜎𝑥(𝑁𝑐, 𝑀𝑐,𝑦, 𝑀𝑐,𝑧)
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
44
Las fuerzas de desvío de los tendones debido al perfil del tendón con respecto al eje de
la viga están dadas por las siguientes expresiones:
𝑞𝑃,𝑦𝑝𝑡 =
𝑑𝑃𝑦
𝑑𝑥= 𝑃𝑥
𝑑2𝑎𝑦
𝑑𝑥2 𝑦 𝑞𝑃,𝑧
𝑝𝑡 =𝑑𝑃𝑧
𝑑𝑥= 𝑃𝑥
𝑑2𝑎𝑧
𝑑𝑥2
Se supone que 𝑞𝑃,𝑦𝑝𝑡
y 𝑞𝑃,𝑧𝑝𝑡
se aplican en el centro de corte. Por consiguiente, el par
correspondiente es:
𝑚𝑡,𝑃 = −𝑞𝑃,𝑦𝑝𝑡 (𝑎𝑧 − 𝑐𝑧) + 𝑞𝑃,𝑧
𝑝𝑡 (𝑎𝑦 − 𝑐𝑦)
𝑚𝑡,𝑃 = 𝑃𝑥[−𝑑2𝑎𝑦
𝑑𝑥2(𝑎𝑧 − 𝑐𝑧) +
𝑑2𝑎𝑧
𝑑𝑥2(𝑎𝑦 − 𝑐𝑌)
Estas fuerzas se equilibran en la sección de hormigón por el flujo de cizallamiento
diferencia 𝑑𝑣/𝑑𝑥 debido a 𝑉𝑐,𝑦,𝑉𝑐,𝑧, y 𝑇𝑐. En una viga prismática, la distribución de los
𝑑𝑣/𝑑𝑥 en la sección transversal es geométricamente similar a la distribución 𝑉𝑐,𝑦,𝑉𝑐,𝑧 y 𝑇𝑐
se muestran en la Figura 3.16. Para el elemento de viga debe ser considerado en el cálculo
de 𝑑𝑣/𝑑𝑥.
La distribución exacta del flujo de cizallamiento diferencial a menudo no es necesaria
para el cálculo de los momentos de flexión transversales. No es suficiente en casos para
calcular las fuerzas de corte en la losa superior, losa inferior, y las telas por equilibrar 𝑞𝑃,𝑦𝑝𝑡
,
𝑞𝑃.𝑧𝑝𝑡
, y 𝑚𝑡.𝐹. Así, las fuerzas de corte en el balance losa superior e inferior 𝑞𝑃.𝑦𝑝𝑡
, las fuerzas
de corte en el balance redes 𝑞𝑃.𝑧𝑝𝑡
, y 𝑚𝑡.𝐹 se equilibra con un flujo cerrado alrededor de la
caja.
En sistemas estáticamente indeterminada, los momentos redundantes debido a la tensión
previa se pueden determinar fácilmente utilizando el método aproximado presentado en la
Sección 3.1 La ecuación (3.1) se utiliza para calcular el par debido al momento redundante
debido a pretensado en la viga recta, 𝑀𝑠𝑃,1:
𝑚𝑡,𝑠𝑃 =𝑀𝑠𝑃,1
𝑟
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
45
Figura 3. 16: Flujo cortante en una sección cajón
a, debido a 𝑽𝒄,𝒚; b, debido a 𝑽𝒄,𝒙; c, debido a 𝑻𝒄
Los momentos de torsión redundantes debido a la tensión previa,𝑇𝑠,𝑝, se calculan a
partir de 𝑚𝑡,𝑠𝑃 y de los momentos de torsión debido a la tensión previa en el sistema
estáticamente determinado, 𝑇𝑜𝑝
3.3.2. Tendones en puentes curvos
El concepto pretensado para puentes curvos se basa normalmente en las mismas
consideraciones que para los puentes rectos. Como mínimo, las tensiones de tracción en la
losa de la cubierta debido a la carga permanente deben ser prevenidas. La torsión, que
aumenta los esfuerzos de tracción a la flexión, debe ser considerado en el cálculo de la
fuerza de pretensado requerido. Los tendones de los puentes curvos se pueden organizar
igual que los puentes rectos. Es también posible, sin embargo, disponer los tendones para
mejorar el comportamiento de la estructura no sólo en la flexión y cortante, sino también
en torsión.
En vigas cajón, los tendones que contrarrestan la torsión pueden estar dispuestos en los
elementos laminares o en las losas superior e inferior. El perfil requerido tendón puede ser
elegido, por ejemplo, para equilibrar alguna fracción de los momentos de torsión debido a
la carga muerta. En un sistema estáticamente determinado, el momento de torsión inducida
por un tendón individuo está dado por la siguiente expresión:
𝑇𝑐(𝑃) = −𝑃𝑥 [(𝑎𝑦 − 𝑐𝑦)𝑑𝑎𝑧
𝑑𝑥− (𝑎𝑧 − 𝑐𝑧)
𝑑𝑎𝑦
𝑑𝑥]
(3. 23)
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
46
Cuando el tendón se encuentra en una red y (𝑎𝑦- 𝑐𝑦) es constante, de la pendiente,
𝑑𝑎𝑧/𝑑𝑥 puede ser elegido para que coincida con el diagrama de momento de torsión
debido a las cargas en cada punto a lo largo de la viga. Del mismo modo, cuando el tendón
está situado en la losa superior o inferior y (𝑎𝑧- 𝑐𝑧) es constante, de torsión puede ser
equilibrada por una elección apropiada de 𝑑𝑎𝑦/𝑑𝑥.
En vigas simplemente apoyadas, es posible disponer los tendones para equilibrar un
diagrama de momento de torsión sin que se modifique el efecto del pretensado en la
flexión. Esto se logra mediante la localización de los tendones en el alma exterior por
encima, y los tendones en los nervios interiores a continuación, el perfil determinado para
el comportamiento a la flexión (fig. 3.17). Como se muestra en la figura 3.18, el equilibrio
de la torsión de esta manera aumenta la flexión transversal. Ahorro en el refuerzo de torsión
se consiguen por lo tanto en el coste de refuerzo adicional para el curvado transversal.
Los tendones en las losas superior e inferior pueden compensar la torsión y la flexión
transversal (fig. 3.19). En esta disposición, los ahorros en el refuerzo de la torsión y la
flexión transversal se obtienen a costa de pretensado adicional.
Por estas razones, por lo tanto, el equilibrio de la torsión por pretensado se evita
normalmente. Independientemente de la disposición del tendón, el ahorro en refuerzo son
pequeñas y casi siempre compensado, cabo por las dificultades en la construcción. En vigas
continuas, es imposible equilibrar un diagrama de momento de torsión dada ajustando el
perfil de los tendones en las redes sin reducir el efecto de flexión del pretensado (fig. 3.20).
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
47
Figura 3. 17: Disposición de tendón viga isostática para compensar flexión y torsión
a, modelo; b, momentos de torsión debido a la carga muerta, Tc; c, arreglo tendón para equilibrar Tc; d, arreglo
de tendón para equilibrar los momentos de flexión debido a la carga muerta; e; superposición de arreglos (d) para
equilibrar la torsión y flexión
Figura 3. 18: Fuerzas Transversales
a, debido a la carga; b, debido al pretensado con tendones
en las bandas dispuestos como en la figura 3.17
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
48
Si la torsión en vigas continuas debe ser compensada por pretensado, es preferible utilizar
tendones adicionales en las losas superior e inferior (fig. 3.21). En vigas rectas con soportes
no sesgar, el efecto de pretensado longitudinal se limita esencialmente al comportamiento
estructural longitudinal. Pretensado contribuye directamente a la resistencia a la flexión de
las secciones transversales; la fuerza de los rendimientos de los tendones en tanto,
considera en el cálculo de Mg. La componente vertical del pretensado, Vp, normalmente
actúa contra la fuerza cortante debido a la carga. Se puede añadir a la resistencia de la
sección transversal, o, de manera equivalente, a la cortante de diseño.
𝑉𝑑,𝑒𝑓𝑓 = 𝑉𝑑 + 𝑉𝑝
Cualquier fuerza transversal seccionales inducidas por el pretensado de vigas rectas son
pequeñas y pueden despreciarse
Figura 3. 19: Fuerzas transversales en un elemento de viga
a, debido a la carga; b, debido al pretensado con
tendones en las losas superior e inferior
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
49
Figura 3. 20: Arreglo tendón Teórica en una viga continua para compensar la flexión y torsión
a, modelo; b, momentos de torsión debido a la carga muerta, Tc; c, disposición de tendón para equilibrar Tc; d,
arreglo de tendón para equilibrar los momentos de flexión debido a la carga muerta; e, superposición de arreglos
(c) y (d) para equilibrar la torsión y flexión
En vigas curvadas, el efecto de pretensado longitudinal es más penetrante. Como se
muestra en las figuras 3.18 y 3.19, de pretensado también induce la torsión y la flexión
transversal. El momento de torsión inducido por pretensado, Tp, se puede añadir a la
torsión de diseño de una manera similar a la cortante longitudinal:
𝑇𝑑,𝑒𝑓𝑓 = 𝑇𝑑 + 𝑇𝑝
Fuerzas de sección transversal efectiva también se utilizan para el diseño de elementos
de sección transversal bajo los efectos combinados de flexión y cizalladura transversal:
𝑚𝑑,𝑒𝑓𝑓 = 𝑚𝑑 + 𝑚𝑝
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
50
Figura 3. 21: Disposición de los tendones de vigas continúas para compensar la torsión
Los componentes de las fuerzas seccionales efectivos debido al pretensado (Vp, Tp,
mp) deben calcularse utilizando Po cuando la fuerza de corte de diseño se reduce el
pretensado y 1.2Po, cuando se aumenta el pretensado.
3.4. SECCIONES CAJÓN
3.4.1. Secciones Cajón y Tipos
La alta resistencia a la torsión de vigas cajón hace ideales para vigas curvadas en planta.
En su placa de forma y caja vigas simples se puede considerar como un conjunto de
membranas y bridas como se muestra en la Figura 3.22
Figura 3. 22: Conjunto de elementos de una viga cajón
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
51
Con el fin de reducir el peso propio de estas vigas y así lograr economía, se emplean
secciones de placa delgadas (que tienen dimensiones laterales grandes en comparación con
sus espesores). De ahí pandeo y de la reserva de post-pandeo fortalezas locales de placas
son criterios de diseño importantes. Bridas en una viga de telas caja y en la placa y la caja
de vigas a menudo se refuerzan con refuerzos para permitir el uso eficiente de placas
delgadas. El diseñador tiene que encontrar una combinación de espesor de la placa y el
espaciamiento de refuerzo que se traducirá en la sección más óptima con un costo reducido
peso y la fabricación. Estados límite de códigos de diseño han puesto un mayor énfasis en
el desarrollo de nuevos enfoques basados en la resistencia a la rotura de la placa y la caja de
vigas y sus componentes.
Secciones transversales huecas en comparación con proporciones de sección-transversal
completa de gran inercia y módulo de sección con respecto al área de sección transversal.
Esto da como resultado una buena utilización del material y puede ser debido a los grandes
diámetros de núcleo consiguientes parece ser particularmente adecuado para construcciones
pretensadas, estas secciones transversales. Debido a la relativamente gran rigidez a la
torsión de la viga de caja es particularmente favorable para puentes de ferrocarril y para
puentes horizontalmente curvadas. Al ser cerrado provoca un flujo de corte donde al mismo
tiempo una reducción de la flexión y por lo tanto tiene una buena distribución para el
resultado fuera del centro de carga.
Figura 3. 23: Ejemplos de secciones transversales de una sola célula
En la formación de secciones huecas es en principio diferente y unicelular secciones
transversales multicelulares (Figuras 3.23 y 3.24)
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
52
Figura 3. 24: Ejemplos de secciones transversales multicelulares
Otra característica distintiva es la inclinación de las barras. Esto puede sondear
dispuesto o inclinado. Cantos perpendiculares son ventajas durante la instalación de la
armadura y hormigonado. Debido a la inclinación de las bandas (normalmente 4:1 o 3:1),
reduce el lapso de la placa inferior. También se puede lograr que la viga cajón se apoyar
directamente sobre el pilar (transferencia de carga directa) o pilares estrechos son posibles.
El análisis elástico lineal para el caso de vigas de planteados, tales como la que se
muestra en la Figura 3.25 la vertical (Figura 3.25 (a)) y horizontales (Figura 3.25 (d))
componentes de las cargas aplicadas producen tensiones de flexión elásticas (Figura 3.25
(b) y (e)) y tensiones de cizallamiento (Figura 3.25 (c) y (f)) cuando actúan a través del
centro de corte. Estas fuerzas producen par de torsión sobre la sección transversal si actúan
excéntricamente con respecto al centro de corte. Secciones de la caja son muy fuertes en
comparación con perfiles en I en la resistencia de torsión.
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
53
Figura 3. 25: Flexión de vigas cajón
El supuesto de la teoría de la flexión simple es razonablemente precisa si la relación-
lapso-a la profundidad de la placa o cuadro vigas excede de aproximadamente 4. Sin
embargo, a causa de diferencial flexión en planos verticales, las secciones transversales
son sometidas a la deformación. Otro aspecto de la conducta no permitida para en el
simple tratamiento de la torsión es la posible distorsión de la sección transversal.
Distorsión introduce adicional estrés de varios tipos, y estos tienen que ser permitido para.
Sin embargo, el efecto de la distorsión puede ser controlado por el la rigidez y el
espaciamiento de los marcos transversales o diafragmas. En el caso de secciones en la que
la anchura entre las redes es muy, surge la pregunta grande y casi igual a la duración
acerca de la efectividad de la anchura completa de la brida. Hay, evidentemente, tiene que
haber alguna limitación en el 'ancho efectivo' de bridas de relaciones ancho / longitud
superiores. Estas limitaciones son debido a la intrusión de arrastre por cortante.
3.4.2. Distorsión de Secciones Cajón
La distorsión de una sola célula de caja viga puede ser sustancialmente mayor que la de
una estructura multicelular porque las bridas superior e inferior son capaces de doblarse en
el plano de lado Figura 3.26 (a) ilustra la distorsión de una caja-viga. La brida superior se
mueve hacia arriba y la banda izquierda se mueve hacia abajo. Figura (Una fotografía de la
distorsión de modelos de plástico de longitudes cortas de la caja se muestra en la figura.
3.26.) Figura 3.26 (b) muestra los momentos transversales de flexión debido a la flexión
fuera del plano de las placas, mientras que la fig. 3.26 (c) muestra los esfuerzos
longitudinales debido a la flexión en el plano.
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
54
Figura 3. 26: Distorsión de viga cajón
(b) distorsión viga fuera del plano de flexión y (c) en el plano de flexión (alabeo) tensiones
La figura 3.27 muestra cómo las fuerzas de distorsión se desarrollan en la estructura. La
carga excéntrica en la fig. 3.27(a) puede ser considerado como un componente anti
simétrica en (b) y un componente simétrico en (c). El componente simétrico provoca
flexión vertical del conjunto viga-cajón. El componente anti simétrica no puede equipararse
directamente a la torsión en la caja porque torsión pura implica un sistema de flujos de
cizallamiento alrededor de la celda como se muestra en la figura. 3.27 (e). La carga anti
simétrica en la fig. 3.27 (b), que se vuelve a dibujar en (d) es equivalente a la combinación
de los flujos de cizallamiento torsión pura en (E) y los flujos de cizallamiento distorsión en
(f). El par de torsión que participan en la torsión pura en (e) es igual al par de la carga anti
simétrica (d). El cizallamiento distorsión fluye en (f) se equilibran entre sí y no tienen
resultante red, pero, al mismo tiempo que causan distorsión de la celda como se muestra en
la figura 3.23. Una viga-cajón es muy rígida en torsión pura y la mayor parte del giro de la
plataforma se debe a la distorsión, a menos que la caja se apoya con diafragmas o refuerzos
transversales.
Figura 3. 27: Cargas excéntrica en secciones cajón
(b) componente antisimétrica; (c) componente simétrica; (d) = (b);
(e) los flujos de cizalla torsión pura; y (f) los flujos de cizalla distorsión
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
55
Arriostra miento transversal o marcos proporcionan un método muy eficaz para
rigidizar una caja-viga contra la distorsión. La cantidad de refuerzo que es apropiada
involucra un compromiso entre rigidez a la torsión, lo que es beneficioso para la
distribución de la carga eficiente, y la flexibilidad de distorsión que ayuda a la estructura
extendió las cargas entre los soportes. Una estructura de caja que es muy rígida contra la
distorsión y de torsión no puede descansar cómodamente sobre cojinetes en virtud de
bandas adyacentes, y la distribución de las reacciones entre redes podría ser muy sensible a
la compresibilidad y asentamiento diferencial de los cojinetes. Si los cojinetes están cerca
de toda la reacción se puede entrar en un rodamiento.
Un marco transversal o diafragma es casi sin duda requieren entre telarañas en cada
soporte. La sección de la caja es poco probable que tenga la rigidez suficiente para
controlar las deformaciones de distorsión en las cargas concentradas de las reacciones de
apoyo, o la fuerza suficiente para transferir cargas de corte entre webs. Un diafragma
proporciona una acción de atar apuntalamiento diagonal que reacciona con la cizalla
distorsión de flujos mostrado en la figura. 3.27 (f).
Distorsión de la curva vigas cajón es más complicada porque la torsión y la flexión
interactúan a lo largo del tramo y todas las cargas contribuyen a desviaciones de distorsión
y tensiones.
Figura 3. 28: Distorsión de sección cajón unicelular
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
56
3.4.3. Efectos arrastre por cortante
Estructuras de viga cajón en puentes están sometidas a esfuerzos de flexión de modo
que la distribución de la tensión normal en una sección transversal debe tener en cuenta el
fenómeno de arrastre por cortante, que influye tanto en tensión y compresión. Debido a la
acción de la gran deformación por cizallamiento en el plano de las bridas, las cepas
longitudinales en las áreas centrales son menos que en las áreas adyacentes a la unión de
web de brida, y la deflexión vertical de las áreas centrales son menos de la deflexión en la
unión de web-brida. El resultado es que la distribución de esfuerzos de compresión a través
de la brida no es uniforme durante las primeras etapas de carga, y el efecto de esto es
reducir la rigidez elástica de la viga en flexión. Este fenómeno de primer orden induce una
distribución de tensión normal no uniforme a través de la anchura de las alas, siendo mayor
a lo largo de la unión de web-brida de las tensiones debido a los requisitos de
compatibilidad.
La distribución de la tensión no uniforme a través de la anchura de la brida se ilustra en
la Figura 3.29. El procedimiento comúnmente adoptado en el diseño es para reemplazar la
anchura real de la brida por una amplitud efectiva que, cuando se utiliza junto
Figura 3. 29: Arrastre por cortante en una viga cajón
Con la teoría de viga simple, conduce a una estimación correcta del máximo las
tensiones de la brida o el desvío del haz como se requiera. El factor de amplitud eficaz para
una brida rígida depende en la geometría de la caja, la relación del área de refuerzo a área
de la placa (As = btf), condiciones de apoyo y la distribución de carga. Moffat y Dowling
CAPITULO 3 PUENTES CURVOS CAJÓN
57
(1975) han aportado, en base en extensos estudios que utilizan el método de elementos
finitos, una imagen completa del efecto arrastre por cortante en el comportamiento de la
caja de vigas.
Figura 3. 30: Factores anchura eficaces para arrastre por cortante en el centro de vano
Un estudio paramétrico detallado que tiene ha llevado a cabo es muy útil para los
diseñadores para el cálculo de los anchos de ala efectivo en todas las posiciones en el lapso
de una viga cajón de dimensiones en planta dadas y transversal proporciones, sometidos a
punto o distribuidos carga. La variación del factor de amplitud eficaz con relación de
aspecto de B / L por la amplitud eficaz en la mitad del tramo, debido a una carga puntual en
se muestra la mitad del tramo y debido a una carga uniformemente distribuida en la figura
3.30 para dos valores de As = BTF (0 y 1,0).
El efecto más significativo de arrastre por cortante en el comportamiento del punto de
vigas cargadas es reducir la rigidez total. Si la viga sigue cargado después de ceder tiene
ocurrido cerca de la interfaz ala-alma, entonces el rendimiento se extenderá a través de la
pestaña, dando así un sistema más uniforme distribución de la tensión. Resultados de las
pruebas han demostrado que la redistribución completa de tensión a través de la brida se
han llevado a cabo como viga se acerca a su resistencia a la rotura y el descuido de efecto
arrastre por cortante no tiene efecto significativo debilitamiento de la resistencia a la rotura
de las bridas de compresión rígidas. .
58
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Capítulo 4
PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
4.1. CONFIGURACION DE PUENTES CURVOS
4.1.1. Uso de Acordes
Los puentes curvos horizontales pueden ser diseñados y construidos como una serie de
segmentos rectos cortos, o acordes, los cuales se aproximan el arco teórico. Estas vigas son
fabricadas en tramos rectos, con un pequeño ángulo en las articulaciones de forma. La
excepción es viga monorriel, en la que la superficie de viga de hormigón es la superficie de
rodadura de las ruedas del vehículo monorraíl. Dichas vigas monorriel se hacen en una
forma ajustable que se puede doblar para formar un arco suave.
Estas estructuras pueden ser ejecutadas si el desplazamiento entre el arco y su cuerda
máxima es igual a 𝐿𝑐2/8𝑅, donde Lc es la longitud de cuerda y R es el radio de curvatura,
aunque se trata de una aproximación, es una buena forma de determinar la misma. Debido a
CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
59
que la longitud puede ser o bien la longitud del arco La, o la longitud de la cuerda Lc,
esta fórmula muestra que el desplazamiento varía con el cuadrado de la longitud de cuerda.
La forma más sencilla para apoyar un camino curvado es usar vigas rectas debajo de
una cubierta curvada. Si el desplazamiento entre la cuerda y el arco es demasiado grande, la
apariencia será pobre, y la viga exterior en la parte exterior de la curva será requerida para
soportar demasiada carga adicional. Es deseable que el desplazamiento arco y cuerda se
limite a 1.5 pies, (0.5 m.) y que el borde de la brida superior de la viga esté a menos de 0,5
pies, (0,15 m.) hasta el borde de la losa. Tabla 4.1 muestra los radios de curva mínimo que
se ajusta al requisito 1.5 pies de desplazamiento máximo. Este límite es a menudo
excedido, pero cada caso debe ser examinado por la aceptabilidad.
Longitud
Viga
[m]
Radio [m]
Desplazamiento [m]
50.00 100.00 150.00 200.00
13.50 0.4584 0.2282 0.1520 0.1139
15.00 0.5668 0.2818 0.1877 0.1407
20.00 1.0136 0.5017 0.3338 0.2502
25.00 1.5962 0.7854 0.5220 0.3911
30.00 2.3209 1.1335 0.7525 0.5636
Tabla 4- 1 Radios y Desplazamientos de Diferentes Longitudes de Vigas
La forma más sencilla y rentable de construir puentes curvos es utilizar vigas rectas
prefabricadas y pretensadas. El análisis y el diseño son idénticos a la de una viga recta con
la única diferencia del cálculo de cargas en la viga exterior. La "regla de la palanca" [LRFD
Art. C4.6.2.2.1] puede ser utilizado de la misma manera como para un puente recto,
siempre y cuando el voladizo variable se represente. Además, la longitud del tramo extra en
el exterior de la curva debe, por supuesto, ser utilizado en el diseño de estas vigas.
Para situaciones en las que el desplazamiento supera los 1,5 pies (0,5 m.), puede ser
necesario aumentar el número de acordes, es decir el número de vigas. Un método consiste
en combinar vigas tipo I y con vigas tipo T, este método es descrito más adelante y se
CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
60
puede tener mayor referencia sobre esto en [20]. Con dos vigas, la compensación se
reducirá a un factor de 4; y con tres vigas, la compensación se reducirá en un factor de 9.
4.1.2. Configuración de Vigas I
El uso del hormigón postensado requiere que el ancho del nervio sea más grueso que 6
pulg. AASHTO-PCI indica que en vigas T y otras estándar vigas I, para acomodar los
conductos de postensado y refuerzo de estribos de corte o torsión, el espesor del alma
mínimo debe ser de 7 a 8 pulg. (20 cm.), según [20].
La continuidad es muy deseable en los puentes curvos, porque esta reduce en gran
medida la torsión resultante de las cargas aplicadas, y reduce el exceso de carga sobre la
viga exterior en el exterior de la curva. Esta continuidad se puede lograr vaciando la losa
monolíticamente con las vigas, para así poder tener continuidad del tablero del puente.
Los diafragmas a menudo se omiten en los puentes rectos cortos. Sin embargo, en
puentes curvados, los miembros transversales, que se hará referencia como travesaños en
este capítulo debido a su papel único, se requieren para contrarrestar tanto los efectos de
torsión y las fuerzas laterales que resultan de la curvatura. Los travesaños también deben
ser lo suficientemente profundos como para sujetar el reborde inferior.
En las alineaciones curvas.
Las vigas prefabricadas se pueden disponer a lo largo de las cuerdas del arco, resultando
así un voladizo de ancho variable. Los ejes de los apoyos se pueden establecer paralelos
entre sí o radiales a la alineación de la misma (Figura 4.1).
CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
61
Figura 4. 1. Arreglos de Vigas Prefabricadas de Puentes en Curvos
La primera disposición permite que todas las vigas de un lapso determinado tengan la
misma longitud [9]. Esta se prefiere para viaductos a lo largo de laderas de montañas, en
donde las bases normalmente deben estar alineadas paralelas al vector gradiente del vector
gradiente de la pendiente. Vigas de longitudes desiguales por lo general se pueden hacer sin
demasiada dificultad y con menor costo
4.1.3. Súper elevación y Sobreancho de curva
En puente curvos horizontales se deberá tener una sobre elevación o peralte todo esto
por el hecho de contrarresta la fuerza centrífuga que se ejerce hacia los vehículos por
encontrarse en un curva horizontal, este valor es medido en porcentaje, el cual es calculado
y depende del radio. Para lo cual la referencia [21] nos muestra una tabla en la que la
velocidad de transito está en función del peralte.
Caminos Colectores – Locales – Desarrollo
Vp emáx f Rmin
Km/h (%) (m)
30 7 0,215 25
40 7 0,198 50
50 7 0,182 80
60 7 0,165 120
70 7 0,149 180
80 7 0,132 250
Carreteras – Autopistas Autorrutas - Primarios
80 8 0,122 250
90 8 0,114 330
100 8 0,105 425
110 8 0,096 540
120 8 0,087 700
Tabla 4- 2: Radio mínimo absoluto en curvas horizontales
CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
62
Cuando un vehículo circula por una curva horizontal ocupa un ancho de calzada mayor
que en recta, esto debido a que por rigidez y dimensiones del vehículo sus ruedas traseras
siguen una trayectoria distinta a la de las ruedas delanteras, ocasionando dificultad a los
conductores para mantener su vehículo en el eje del carril de circulación. En estas
circunstancias y con el propósito de que las condiciones de operación de los vehículos en
las curvas sean similares, este aumento del ancho se denomina sobreancho de curva.
El cálculo del sobreancho se desarrolla mediante el análisis geométrico de las
trayectorias que describen los diferentes vehículos. La tabla 4-3 permite calcular el
ensanchamiento total de la calzada (Em), donde Lt es el largo total del vehículo, L1 la
distancia entre para choques delantero y el ultimo eje camión tractor, y L2 distancia entre
pivote mesa de apoyo y ultimo eje del tándem trasero. El ensanchamiento de la curva
interior (e.int) es del 65 al 70% según Tabla 4-3 y exterior (e.ext) del 30 al 35%.
TIPO DE
VEHÍCULO
(Lt en m)
PARÁMETRO
DE CÁLCULO
(m)
E
(m)
e.int
(m)
e.ext
(m)
RADIOS LIMTE
(m)
CALZADA EN RECTA 7,0 m (n = 2) 0,5 ≤ E ≤ 3,0 m E=e.int + e. ext h1 = 0,6 m h2= 0,4 m
Camión Unid. Simple
Lt=11,0*
Bus Corriente
Lt = 12,00
Lo = 9,5 (Lo2/R) – 0,2 0,65 E 0,35 E 30 ≤ R ≤ 130
Bus de Turismo
Lt=13,2*
Bus de Turismo
Lt = 14,00*
Lo = 10,5
Lo = 10,6 (Lo2/R) – 0,2 0,65 E 0,35 E 35 ≤ R ≤ 160
Semitrailer
Lt=16,4
L1 = 5,6
L2 = 10,0
((L12+ L22)/R) – 0,2
0,70 E 0,30 E
45 ≤ R ≤ 190
Semitrailer
Lt=18,6*
L1 = 5,6
L2 = 12,2 60 ≤ R ≤ 260
Semitrailer
Lt=22,4*
L1 = 5,6
L2 = 15,5 ((L12+ L22)/R) – 0,2 85 ≤ R ≤ 380
Tabla 4- 3: Ensanchamientos de calzadas
CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
63
4.2. DISEÑO PRELIMINAR
4.2.1. Desplazamiento Cuerda Arco
A pesar de la inmensa potencia de cálculo disponible, aproximaciones simples siguen
siendo de gran utilidad para el diseño preliminar. Son rápidos de usar, y le dan al diseñador
una "sensación" de cómo un cambio en un parámetro afecta a otros parámetros.
El desplazamiento entre arco y cuerda máxima se llama la ordenada media o la
"Sagitta" (Sagitta en latín significa "flecha") y representado por el símbolo, s. Como se
indicó en la Sección 4.1.1, la Sagitta es aproximadamente igual a 𝐿𝑐2/8𝑅. La derivación es
simple y se muestra en la Figura 4.2. Una vez más, ya que estos son aproximaciones, no es
importante si se utiliza la longitud de arco o longitud de la cuerda.
Figura 4. 2. Desplazamiento de cuerda de arco
Por teorema de Pitágoras se tiene:
𝑎2 + (𝐿𝑐
2)
2
= 𝑅2 (a)
También se tiene del grafico
𝑎 = 𝑅 − 𝑠 (b)
CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
64
Reemplazando (b) en (a) se tiene:
𝑅2 − 2𝑅𝑠 + 𝑠2 +𝐿𝑐
2
4= 𝑅2 (b)
Pero s es pequeño en comparación con R y Lc. Por lo tanto, ignoramos s2 y resolviendo
para s se tiene:
𝑠 =𝐿𝑎
2
8𝑅
(4. 1)
𝑠 = 𝑅 (1 − cos∆
2)
(4. 2)
La fórmula subestima ligeramente la distancia, s. La aproximación es ligeramente mejor
si la longitud es tomada como la longitud del arco, 𝐿𝑎 .Sin embargo para un cálculo más
preciso se puede tomar en cuenta la ecuación 4.2 mostrado en [19], la cual está en función
del ángulo de deflexión ∆ y el radio de curvatura R.
𝐿𝑐 = 2𝑅𝑠𝑒𝑛∆
2
(4. 3)
4.2.2. Profundidad de Filete
La cartela losa es la distancia entre la parte superior de una viga y la parte inferior de la
losa de calzada. La cartela varía en profundidad a lo largo de la longitud de la viga para
acomodar la curvatura de la viga y los efectos geométricos de la superficie de la carretera
incluyendo peraltes, curvas verticales y curvas horizontales.
El concepto básico en la determinación de la dimensión "A" requerida es proporcionar
una apoyo sobre la viga de tal manera que la parte superior de la viga no sea menor que la
profundidad de filete (típicamente de 2 cm) por debajo de la parte inferior de la losa en el
centro del vano. Esto establece que la inclinación real de la viga podría ser superior al valor
calculado por 1 ¾" (4,5 cm.) antes de que la parte superior de la viga interfiera con la
colchoneta inferior de refuerzo de la losa. Es deseable disponer de puntos de curvatura
horizontal y vertical en las transiciones de súper elevación fuera de la estructura del puente,
CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
65
ya que esto simplifica en gran medida los requisitos geométricos en la pierna de la losa. Sin
embargo se puede ver que puentes se aprietan en las infraestructuras existentes, teniendo así
transiciones geométricas en su estructura.
Cada efecto geométrico es considerado independientemente de los otros. El efecto
geométrico total es la suma algebraica de cada efecto individual. La distancia entre la parte
superior de la viga y la parte superior de la superficie de la calzada, debe ser al menos el
espesor de la losa de calzada más la profundidad de filete.
Figura 4. 3. Efecto Filete en Vigas en I
∆= 𝑡𝑙𝑜𝑠𝑎 + 𝑡𝑓𝑖𝑙𝑒𝑡𝑒 (4. 4)
El perfil de efectos toma en cuenta los cambios en el perfil de la carretera a lo largo de
la longitud de la viga. Estos cambios incluyen cambios de grado, efectos de la curva
vertical, y las desviaciones de desplazamiento entre la línea central de la viga y la
alineación causada por vigas y/o curvatura acompañadas en la alineación. Cuando todas las
vigas en un tramo son paralelas y la duración está contenida enteramente dentro de los
límites de una curva vertical y/o horizontal, el efecto del perfil es simplemente la suma de
la curva efecto vertical y el efecto de la curva horizontal.
CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
66
Figura 4. 4: Efecto de la curva horizontal
𝜙 =Δ
𝑅
𝜙 =𝑠
4𝑅
tan 𝜙 ≈ 𝜙
tan 𝜙 ≈2𝐻
𝑠
𝐻 =𝑠
2tan 𝜙 ≈
𝑠
2𝜙 =
𝑠
2∙
𝑠
4𝑅=
𝑠2
8𝑅
∆ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑒 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡=𝑠2
8𝑅∙ 𝑚 (4. 4)
CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
67
4.2.3. Exceso de inclinación
Los efectos de grado afectan a la geometría de la viga prefabricada. La longitud de
inclinación se incrementa a lo largo del plano en una cantidad 𝛾2𝐿/2 donde 𝛾 es expresado
con un decimal. La viga prefabricada se hace normalmente en forma de un rectángulo como
se ve en la elevación de la figura 4.5. Es decir los extremos de la viga son generalmente
perpendiculares al eje a lo largo de la viga, en lugar de ser verticales en la posición final de
la viga. Del mismo modo los diafragmas son perpendiculares con el eje de la viga.
Figura 4. 5: Efectos de grado
La longitud de la inclinación de una viga en un grado es mayor que la longitud en planta
por una cantidad 𝐻2/2 𝐿, donde 𝐻 es la diferencia en la elevación de los dos extremos de la
viga. Esta es una fórmula bien conocida, y es idéntica a la anterior explicada, (𝛾 es igual a
𝐻/𝐿). La derivación es similar a la del desplazamiento cuerda arco. Se utiliza el teorema de
Pitágoras, descuidando una pequeña cantidad de segundo orden.
CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
68
Figura 4. 6: Torcedura resultante del cambio de grado
La longitud de un arco es más largo que su cuerda por una cantidad 8𝑠2/3𝐿𝑐, donde s es
el desplazamiento de cuerda de arco y Lc la longitud de la cuerda. El exceso de longitud
también se puede expresar como 𝐿𝑐3/24𝑅2. Esta fórmula se deriva mediante la
aproximación de la longitud de arco como una serie de acordes cortos, a continuación, se
toma el límite como la longitud de cuerda se aproxima a cero. Como resultado de la
torcedura de grado la forma de una viga curvada en un grado es una hélice, que tiene la
misma forma de una barandilla en una "espiral" (más correctamente, helicoidales).
Para comprender mejor el giro en una viga curva causada por el grado, se considere la
posibilidad de una viga curvada a 90 grados (1.57 radianes) en planta, hecha sin torsión,
con extremos cuadrados como se ilustra en la figura 4.6. El apoyo en el punto B se eleva
CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
69
más alto que en el punto A en un importe de 1,57 𝛾𝑅 como se muestra en la elevación B-B.
Por lo tanto, la viga se inclinó en un ángulo de 1,57 𝛾𝑅. En el punto B, los lados de la viga
no están en plomada; ellos serán inclinados en un ángulo 1,57 𝛾𝑅. Además se debe tener en
cuenta que en el punto C, el punto medio de la viga, la elevación de esta no será la mitad de
1,57 𝛾𝑅 como debe ser.
Elevación B'-B, Figura 4.6, muestra la elevación de la viga fabricada a una hélice
verdadera. Los extremos y los lados de la viga estarán en plomada en los apoyos A y B, y la
elevación en C estará correcta. La viga debe estar retorcida por un importe 1,57 𝛾𝑅.
Generalizando para ángulos distintos de 1,57 radianes, la cantidad de giro es 𝜓𝛾, o (La/R) 𝛾
donde La es la longitud del arco.
La aproximación es la siguiente: El ángulo de torsión es suficientemente pequeño para
ser ignorado en la fabricación de la viga. Si el giro se ignora en la fabricación de la viga,
deberá tenerse en cuenta que cuando la viga se encuentra en el campo, no será posible
conseguir la verticalidad de los extremos. Si el giro aparentemente es lo suficientemente
grande como para ser medible, la viga deberá dividirse en la diferencia de la fuerza vertical
de los dos extremos. Esto dará como resultado que el punto medio de la viga este en la
elevación adecuada.
4.2.4. Centro de gravedad de un arco
El centro de gravedad de un arco y de una carga aplicada a lo largo del arco está
desplazado de la cuerda a 2𝑠/3 o 𝐿𝑐2/12𝑅. Ver figura 4.7.
Figura 4. 7: Centro de gravedad de Arco
CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
70
El área de una superficie curva con extremos radiales, tales como una cubierta de
puente, es igual a 𝐵𝐿𝑎, donde B es el ancho y 𝐿𝑎 es la longitud de arco a lo largo de la línea
central. Ver Figura 4.8. El centro de gravedad de una superficie curva se encuentra fuera
del centro de gravedad de la línea central del arco, porque hay más área fuera de la línea
central que dentro. Esta excentricidad adicional, 𝑒 es igual a 𝐵2/12𝑅. Por consiguiente, el
desplazamiento de la cuerda para el centro de gravedad de la superficie total es de
(𝐿𝑐2 + 𝐵2)/12𝑅. Cuando los extremos del puente no son radiales, se requiere un cálculo
más detallado para el área y centroide de la superficie.
Figura 4. 8: Propiedades de una superficie curva plana
4.3. ANALISIS ESTRUCTURAL APROXIMADO
4.3.1. Análisis como un perfil de marco recto
Los momentos de flexión en una viga curvada debido a las cargas verticales pueden
analizarse teniendo en cuenta que la viga sea recta de amplitud igual a la longitud de arco
de la viga curva. Esta aproximación es muy buena, y lo suficientemente precisa para el
diseño preliminar.
CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
71
4.3.2. Torsión
Aunque los momentos de flexión se pueden estimar mediante el análisis de una viga
recta de longitud igual a la longitud del arco de la viga curva, lo mismo no se puede decirse
de los momentos de torsión.
Momentos de torsión son necesarios para el equilibrio de una viga curvada. Figura 4.7
muestra que, como se señaló en el subtítulo 4.2.4, el centro de gravedad de un arco (y de las
cargas aplicadas a lo largo de ese arco) está desplazado desde una línea a través de los
soportes de una viga en un lapso de cantidad igual a 𝐿𝑐2/12𝑅. Entonces el momento del
peso, W, sobre los soportes es 𝑊𝐿𝑐2/12𝑅. Este es resistido por momentos de torsión en
cada extremo de la viga, aproximadamente igual a 𝑊𝐿𝑐2/24𝑅. Una vez más, debido a que
estos son aproximaciones, un valor conocido de 𝐿𝑎 se puede utilizar en lugar de 𝐿𝑐.
4.3.3. Momentos finales
La presencia de momentos en los extremos de las vigas continuas reduce
significativamente los momentos de torsión en el soporte. Como se muestra en la Figura
4.9, momentos en los extremos tienen un componente que ayuda a resistir la excentricidad
del peso, W, aplicada al arco.
Para una viga cargada uniformemente, termina fijo el momento final de WLa/12 el
reduce el momento de torsión en el apoyo aproximadamente igual a cero. Para vigas
continuas, el momento de torsión en el apoyo no será cero, pero por lo general será menos
de la mitad de la duración de momento de torsión sencilla en el soporte. Esto se discute en
más detalle en la Sección 4.4.2.
Figura 4. 9: Momentos extremo negativo que contrarrestar la torsión en vigas continuas
CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
72
4.4.ANALISIS ESTRUCTURAL DE PUENTES CURVOS VIGA LOSA
4.4.1. Flexión Longitudinal
El análisis de un perfil como marco recto es idéntico como se señaló anteriormente, los
momentos de flexión longitudinal son prácticamente los mismos que los de una viga recta
de longitud desarrollada. Sin embargo, la distribución de las cargas a las vigas será
diferente en puentes curvos.
Las cargas sobre la viga exterior Los cortantes y momentos en la viga exterior en el
exterior de la curva son sustancialmente mayores que para otras vigas en el puente. Esto es
causado por los siguientes factores:
• La longitud del arco en el exterior de la curva es más largo que la longitud nominal en
la línea central del puente. Esto aumenta los momentos de flexión en el exterior de la viga
por (aproximadamente) el cuadrado de la relación de las longitudes de arco.
• La proyección a mediados de arco puede ser aumentado en una cantidad igual al
desplazamiento de la cuerda arco.
• Otras vigas arrojarán algo de su momento de torsión al desplazar la carga hacia la
siguiente viga exterior. El elemento externo es el lugar de descanso final para este
desplazamiento de cargas.
4.4.2. Torsión
Es útil examinar con más detalle la forma en momentos de torsión que se desarrollan en
una viga curva. Se verá que los momentos de torsión están relacionados con el momento de
flexión M dividido por el radio de curvatura R.
CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
73
Figura 4. 10: Torsión y curvatura
El desarrollo de momentos de torsión en una viga curva se puede pensar de la siguiente
manera. Considere un segmento corto cerca del centro del vano de la viga curva en
sencillos tramos como se muestra en la Figura 4.10.
Al centro de la luz, el momento de flexión es 𝑊𝐿𝑎/8, y el momento de torsión es cero
(por simetría). En un pequeño ángulo 𝜓, y lejos del centro de la luz, el momento de flexión
debe "encender" a través del ángulo 𝜓, un momento de torsión (aproximadamente) igual a
𝑥𝑊𝐿𝑎/8𝑅 donde este es necesario para el equilibrio. Alrededor de la curva en el apoyo, el
momento de torsión aumenta por incrementos de 𝑥𝑀/𝑅. Sin embargo, 𝑀 cambia entre
centro de la luz y el soporte.
Integrando el diagrama 𝑀/𝑅 de centro de la luz de apoyo, como se muestra en la Figura
4.11, un momento de torsión de 𝑊𝐿𝑎2/24𝑅 se obtiene. Esta es idéntica a la obtenida a
partir de equilibrio en la Sección 4.3.2
CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
74
Figura 4. 11: Torsión de una viga simple curvada
La torsión en vigas continuas puede ser comprendida por la primera torsión examinada
anteriormente en una viga isostática.
En la Figura 4.12 se muestra el diagrama 𝑀/𝑅 para una viga de tramos continuos.
Debido a que el área bajo el diagrama 𝑀/𝐸𝐼 para viga de tramos continuos se debe
integrar a cero, el área bajo el diagrama 𝑀/𝑅 también se integra a cero, dado constante 𝐸𝐼
y 𝑅. De este modo, la torsión en el apoyo será cero. El momento máximo de torsión se
produce en el punto de inflexión, y es 19% del momento de torsión máximo en una viga
simplemente apoyada.
Las vigas continuas son intermedios entre simplemente apoyadas y fijas. Las vigas
interiores suelen parecerse más al caso fijo, y las vigas exteriores pueden estar más cerca
del caso simplemente apoyado. La continuidad puede reducir significativamente los
momentos de torsión.
CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
75
Figura 4. 12: Torsión de una viga continúa curvada
Puentes curvos con vigas rectas en forma de red pueden resistir cargas excéntricas sin
torsión. La Figura 4.13 muestra un puente sencillo de dos vigas, el cual se encuentra en tres
tramos.
El momento de la viga en una articulación debe "dar vuelta la esquina." En este caso, el
equilibrio es suministrado por un momento de flexión en la viga transversal. Este momento
de flexión en la viga transversal es igual al ángulo (en radianes) entre los dos segmentos de
viga multiplicada por el momento de flexión en la viga principal.
Un bosquejo de equilibrio de la viga transversal se muestra en la Figura 4.13. Los
momentos en los dos extremos de la viga se equilibran por fuerzas de corte, que transfieren
la carga desde el interior al exterior de la viga. Tomando en cuenta que para un
emparrillado de dos vigas, las reacciones pueden ser determinadas por la estática, porque la
resultante de las reacciones en cada extremo debe estar en una línea a través de la ubicación
resultante de las cargas.
CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
76
Para múltiples puentes curvos de vigas de red, las reacciones pueden ser estimadas
asumiendo una distribución lineal de las reacciones que produce la ubicación correcta de la
resultante. Un procedimiento similar al descrito en el LRFD Especificaciones Comentario
[artículo C4.6.2.2.2d], puede ser utilizado. Esto se ilustra en el acápite 7.
Figura 4. 13: Entramados simples
Después de la estimación de las reacciones de la viga exterior, uno puede estimar el
momento de flexión en la viga exterior. Esto se hace por comparación con el momento de
flexión en una viga recta de longitud igual a la del arco de la línea central del puente.
Dos factores de corrección se aplican entonces a este momento de flexión. La primera
corrección es la relación de la reacción final estimado en el trabajo de emparrillado de viga
del puente curvado para un puente recto.
Una suposición simplificadora hace que el momento de flexión sea proporcional a la
reacción final multiplicado por la longitud; dando el segundo factor de corrección, la
relación de la longitud de la viga debe tomar el valor de la longitud de la línea central. El
CAPITULO 4 PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
77
momento de flexión de una viga recta de longitud igual a la longitud de la línea central del
puente se multiplica entonces por estos dos factores para obtener la estimación del
momento de flexión en la viga exterior.
Las cargas aplicadas después de que se complete la rejilla teóricamente pueden ser
soportadas sin torsión.
Aunque el equilibrio puede ser obtenido sin torsión, un análisis mostrará una pequeña
cantidad de torsión compatible. Si la torsión compatible factorizada es inferior a la indicada
en las Especificaciones LRFD [Ecuación 5.8.2.1-3], la torsión se puede ignorar sin ningún
problema.
78
9111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Capítulo 5
MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS
5.1. INTRODUCCION
En este acápite se procederá a desarrollar muy resumidamente los métodos de análisis
estructural aceptables según [LRFD Art. 4.4], donde estos también pueden ser aplicables a
puentes curvos y ser programados en computadoras. Los métodos de análisis que
desarrollaremos son: Método de losa ortótropa, que no es nada más que la idealización del
tablero en una estructura plana de rigidez equivalente, la cual tiene características
elastomecánicas constantes o variables, el método de lámina plegada que corresponde a una
estructura compuesta por diferentes elementos no coplanarios pero paralelos a una
dirección determinada, el método de emparrillado que puede ser empleado cuando la
separación de vigas no es muy grande y por último el método de los elementos finitos, el
cual es un proceso de idealización o discretización en pequeños elementos específicos.
Todos los métodos de análisis mencionados anteriormente son expuestos en los apartados,
donde se desarrolla su formulación general, sus aplicaciones, ventajas y desventajas que
tienen cada uno de estos.
CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS
79
5.2. FORMAS DE CALCULO DE TABLEROS DE PUENTES
En este subtitulo se procederá a explicar en términos generales las idealizaciones y
métodos de cálculo más usuales en puentes, con especial referencia al tipo y categoría de
los mismos.
Los puentes constituidos por elementos en forma de viga con secciones transversales
prácticamente de geometría indeformable, pueden ser analizados de las siguientes maneras.
Cálculo del tablero, fundamentalmente bajo acciones de cargas
concentradas: efectos locales.
Cálculo del sistema estructural primario como un sistema de elementos
monodimensionales1, los cuales puedes ser de directriz recta o curva.
Es muy típico ver esto en pasarelas donde el ancho es pequeño, en consecuencia se lo
analiza como una estructura de barras y nudos. Sin embargo si el puente está constituido
por elementos con apariencia de viga, pero de modo que su ancho es apreciable y que ya no
se puede suponer una indeformabilidad transversal de la sección bajo la acción de cargas
excéntricas, el análisis anterior se modifica a:
Cálculo del tablero a efectos locales.
Cálculo del tablero como elementos bidimensionales2.
Cálculo del sistema estructural primario, como un sistema de elementos
monodimensionales.
El análisis como elemento bidimensional se lo realiza para poder obtener los esfuerzos
transversales en particular momentos flectores y el reparto transversal de los esfuerzos
longitudinales principalmente momentos flectores, cortantes y reacciones, en el análisis
monodimensional del sistema estructural primario resulta ser el cálculo de esfuerzos
1 Elemento monodimensional constituye una idealización con dos dimensiones muy pequeñas respecto a su
longitud la cual se sustituye por una línea donde está es el lugar de los centros de gravedad de las secciones
normales a la misma, las cantidades escalera de inercias y área la definen como estructura. 2 El modelo bidimensional se compone de sistemas de placas y barras, el cual se caracteriza por una superficie
y un elemento o elementos monodimensionales a lo largo de su contorno.
CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS
80
aplicados en todo el largo, los cuales deben ser mayor por coeficientes de excentricidad
deducidos de la parte del cálculo del tablero.
Existen situaciones de tableros de características claramente tridimensionales, en estos
casos, se debe realizar el cálculo tridimensional completo de la estructura análoga a viga, es
decir, con variaciones suaves de la sección transversal, y sistemas de apoyo homogéneos
(planta regular y soportes distribuidos en forma uniforme en cada sección de apoyos), en la
cual se puede realizar la siguiente simplificación del cálculo tridimensional.
Cálculo del tablero a efectos locales.
Cálculo del tablero como elemento tridimensional para obtener los esfuerzos
transversales, en particular momentos flectores y distribución de tensiones
tangenciales y el reparto transversal de los esfuerzos longitudinales,
fundamentalmente flectores, cortantes, torsores y reacciones.
Cálculo de la estructura primaria del puente como un conjunto de elementos
monodimensionales, afectando a los esfuerzos medios obtenidos de los
correspondientes factores de excentricidad.
5.3. MÉTODOS DE CÁLCULO
El análisis de puentes y el estudio estructural del tablero representa probablemente la
parte más característica de su cálculo a excepción de tipos muy particulares de tableros por
ejemplo, los de pasarelas los cuales constituyen estructuras en forma de viga. Pero sin
embargo el problema es más agudo cuando se exige recursos de cálculo de estructuras más
específicos, correspondiente al estudio transversal del tablero, en este análisis transversal se
puede exigir modelos estructurales bidimensionales o tridimensionales según los siguientes
casos:
1. El modelo estructural de losa ortótropa consiste en idealizar el tablero en una estructura
(2-D) plana, con característica elastomecánicas constantes (placa homogénea) o
variables (heterogénea) en los distintos puntos de la placa, o variables en cada punto
con la dirección de la sección, pero conservando dos direcciones principales
(ortotropía). El cálculo es bidimensional (3 grados de libertad por nudo) y existen
CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS
81
numerosas técnicas de solución (exactas y aproximadas). Su rango de aplicación viene
limitado por el carácter (2D) del modelo estructural.
Figura 5. 1: Losa ortótropa
2. El modelo estructural de lámina plegada corresponde a unas estructuras compuestas por
distintos elementos (2-D) no coplanarias, todos ellos paralelos o fundamentalmente
paralelos a una dirección determinada, que corresponde a la idealización de la luz del
tablero del puente. Si todos los elementos 2-D son exactamente paralelos a la dirección
citada, la lámina plegada se denomina prismática y no prismática en caso contrario. El
cálculo de esta estructura es en general tridimensional, si bien el número de grados de
libertad por nudo puede reducir en algunos casos a cuatro, cuando la lámina es
suficientemente regular en su geometría y por lo tanto, susceptible de ser tratada con
cierta aproximaciones adecuadas. Constituye un modelo estructural mu y potente en el
campo de aplicaciones a las estructuras de los tableros de geometría irregular, que
exigen el recurso de métodos numéricos y en particular el de los elementos finitos para
la obtención de las respuestas estructurales.
CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS
82
Figura 5. 2: Laminada Plegada
3. El emparrillado plano es un modelo estructural (1-D), si bien el cálculo es
bidimensional, ya que existe tres grados de libertad por nudo, como en la placa
ortótropa, de la que a veces se constituye una idealización de más fácil análisis
estructural. Aunque existe y se han desarrollado varios procedimientos más o menos
aproximados para su cálculo (iterativo, desarrollado en series, etc.), actualmente tras la
aparición de los computadores electrónicos y el desarrollo de los métodos matriciales de
análisis de estructuras, se puede decir que solamente estos últimos son utilizados en la
práctica profesional. El campo de aplicación del emparrillado presenta el mismo tipo de
limitaciones que la placa ortótropa, si bien el carácter numérico general de cálculo
permite el tratamiento unificado de geometrías y la no homogeneidad del tablero
arbitrario.
Figura 5. 3: Emparrillado
CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS
83
4. El método de los elementos finitos es actualmente una las potentes herramientas de
cálculo que existe a disposición del ingeniero. El proceso de idealización estructural
consiste en discretizar con la menor complicación el problema. En el caso de
representación de estructuras bidimensionales generales, es decir, compuesta de
elementos (1D) y (2D) sin un plano común, la idealización y cálculo estructural
posterior se lleva a cabo mediante elementos finitos específicos: elementos viga, placas,
laminas planas y curvas. La facilidad de adaptación a las diferentes problemáticas
estructurales hace muy atractivo este método, pero su principal inconveniente reside en
el elevado costo de aplicación.
Figura 5. 4: Emparrillado y elemento finitos
5.4. METODOS DE REPARTO TRANSVERSAL
El reparto transversal de las cargas concentradas constituye un problema característico
de ciertos tipos de puente, particularmente los de vigas donde se interesa conocer la
proporción de carga que resiste cada una, cuando la sobrecarga se encuentra en posición
excéntrica transversal.
Este problema ha sido estudiado desde hace muchos años donde la solución se dirigía a
modelar el tablero como una estructura continua. Actualmente los tableros son modelados
CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS
84
como un conjunto discreto de elementos estructurales vigas y losas. Esta última
metodología es posible gracias a la enorme capacidad de cálculo que representa el
computador.
Dentro del primer tipo de modelos diseñados para el estudio del reparto transversal,
ocupa un lugar importante el método de Guyon-Massonnet-Rowe. Este hecho se debe sin
duda alguna, a la facilidad que representó la existencia de una cómoda tabulación, que
permitió en épocas antiguas donde los recursos de cálculo eran escasos, la posibilidad de
análisis de tableros rectos con un número de vigas elevado. Y es precisamente este hecho,
la existencia de muchas vigas cercanas, lo que permite utilizar con confianza y gran
exactitud el método. En caso contrario, su fiabilidad se deteriora ya que, con un número
pequeño de vigas, separadas entre sí, no es adecuado asimilar el tablero a una losa
homogénea ortótropa.
Pero sí lo es, en cambio, en estos casos, la simulación del comportamiento del tablero
como un conjunto discreto de elementos estructurales, como ocurre con el método del
emparrillado, elementos finitos o lámina plegada que permite distinguir vigas y losas en la
sección del puente. A continuación se procede a describir las características de los métodos
anteriormente mencionados estos aplicados a placas curvas viendo estas su formulación y
sus restricciones de aplicación en el análisis de puentes curvos
5.5. MÉTODO DE ANALISIS PUENTES CURVOS
5.5.1. Losa Ortótropa Circular
La diferencia de comportamiento estructural entre un tablero con planta curva y otro
recto es importante. Ello es debido a la mayor flexibilidad que presenta el borde externo
con respecto al interno, ya que su longitud es mayor.
El cálculo de estos tableros curvos pueden llevarse a cabo mediante un modelo
monodimensional (viga curva).
CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS
85
Sin embargo, a medida que decrece el radio de curvatura y aumenta la relación
ancho/luz, el cálculo monodimensional es menos adecuado.
De análoga manera a los tableros de puentes rectos, es posible analizar los de planta
curva, en ciertos casos, mediante un análisis bidimensional y, en particular, usando el
modelo losa ortótropa. Como entonces, la máxima dificultad estriba en traducir las
propiedades reales de la sección del tablero, en las características de ortotropía adecuadas.
Los tableros curvos cuya sección transversal es susceptible de ser modelada mediante
una losa ortótropa, puede ser calculado introduciendo un sistema adecuado de coordenadas.
Se supone que los extremos del tablero son normales a la directriz del puente, es decir, son
radios de la planta circular y además éste, se encuentra simplemente apoyado en los
mismos.
A continuación se estudia el caso general de una losa ortótropa circular, cuya planta se
presenta en la figura 5.5. Se darán aquí únicamente los resultados más importantes del
análisis. Se utilizará como técnicas de solución el procedimiento en serie trigonométrica
(solución Levy) y se considera una formulación matricial, que permite una descripción
compacta y además adecuada para una programación directa en computadora.
Ecuación General
La ecuación general de la losa ortótropa en desplazamiento vertical (w) es la siguiente:
Dx
∂4w
∂w4+2H
∂4w
∂x2∂y2+Dy
∂4w
∂y4=p(x,y) (5.1)
con 2H= Dxy+Dyx+D1+D2
donde:
Dx, Dy, Dxy, Dyx, D1, D2 son constantes elásticas de la placa y p(x,y) es la fuerza vertical por
unidad de área actuando en el punto (x,y)
CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS
86
Para la losa circular ortótropa se adoptan coordenadas cilíndricas (r,𝜃, z) como se indica
en la figura 5.5. La superficie media corresponde a z = 0. La ecuación general de la losa
ortótropa es:
1
r4[ko
∂4w
∂θ4+2(ko-k)
∂2w
∂θ2]+
1
r3[-2k
∂3w
∂θ2∂r+ko
∂w
∂r]+
1
r2[2k
∂4y
∂θ2∂r2-ko
∂2w
∂r2]+
2
rkr
∂3w
∂r3+kr
∂4w
∂r4=p(r,θ)
(5.2)
Figura 5. 5: Planta de la placa ortótropa
Siendo:
2k=dr+dθ+krθ+kθr ; kr=h3Er
12(1-vθvr); dθ=vrkθ ; kθ=
h3Eθ
12(1-vθvr);dr=vθkr ; krθ=
h3
12 Erθ; kθr=
h3
12 Eθr
Estas constantes, son la contrapartida de ortotropia de las correspondinentes en coordenadas
rectangulares. Entonces si se supone que existe conservación de la energia, se debe
cumplir: 𝑑𝑟 = 𝑑𝜃 = 𝑑. Los esfuerzos en un punto genérico de la placa estan relacionados
con los movientos de acuerdos con la siguiente formulacion:
Mθ=-kθ (∂y
r∂r+
∂2w
r2∂θ2) -dθ
∂2w
∂r2
CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS
87
Mr=-kr
∂2w
∂r2-dr (
∂w
r∂r+
∂2w
r2∂θ2)
Mθr=-Kθr
r(
∂2w
∂θ∂r-∂w
r∂θ)
mθr=-Krθ
r(
∂2w
∂θ∂r-∂w
r∂θ)
(5.3)
Qθ=- kθ∂
3w
r3∂r3-
∂2w
r2∂θ∂r-
k∂3w
r∂θ∂r2
Qθ= kθ+k ∂2w
r3∂θ2-1
r2(k∂3w
∂θ2∂r+
kθ∂θ
∂r) -
kr∂2w
r∂r2-kr∂
3w
∂r3
Figura 5. 6: Esfuerzos en un elemento diferencial de placa
A partir de las relaciones de Kirchoff se puede definir las siguientes igualdades:
Sr=Qr+∂Mrθ
r∂θ y Sr=Qθ+
∂Mθr
∂r
entoces se puede decir que:
Sr=kθ+k+krθ
r3-1
r2(k+krθ)
∂3w
∂θ2∂r+kθ
∂w
∂r-kr∂
2w
∂r2-kr
∂3w
∂r3
(5.4)
CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS
88
Sθ=-1
r3(kθ
∂3w
∂θ3+2kθr
∂w
∂θ)+
1
r2(kθ-2kθr)
∂2w
∂θ∂r+
(k+kθr)∂3w
r∂θ∂r2
Las condiciones de contorno a lo largo de los apoyos θ=0 y θ=α son: w=0 y Mθ=0.
Los otros bordes r=r1 y r=r2, presentan condiciones generales de contorno.
La solucion complementaria y particular en funcion R(r, θ), de la ecuación 5.1 se
muestra detalladamente en la referencia [21]. Entonces la solucion final queda definida de
la siguiente manera:
R(θ, r) = Rc(θ, r) + Ro(θ, r) (5.5)
Aplicando las condiciones de borde se obtiene el vector de constantes A de la solución
complementaria para cada armonico n, mediante la resolucion del sistema de ecuaciones
siguiente:
KA= -H (5.6)
K = [kd1 [
−g12
g11] + kp1 [
g14
g110]
kd2 [−g22
g21] + kp2 [
g24
g210]]
H =
[ kd1 [
−g012
g011
] + kp1 [g0
14
g0110
]
kd2 [−g0
22
g0210
] + kp2 [g0
24
g0210
]]
Siendo gjk el vector de dimension 1 x 4 correspondiente a la fila k de Fn para β =
β𝑗(j = 1 ,2, 3, 4 y k = 1, 2, 4, 10), y g0jk
es el elemento k de R0𝑛 para β = β𝑗.
Determinado A para cada armonio, se calcula R𝑐𝑛(𝑟) mediante las formulas de la
solucion complementaria y por ultimo se encuentra la solucion final.
Para la cual se debe tomar en cuenta las siguientes condiciones:
a) Condicones homogeneas de borde
CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS
89
Todas las condiciones de borde libres, apoyados, empotrados, etc., de la placa pueden
formularse de un modo general mediante la siguiente ecuacion matricial, para cada borde
j(j = 1,2):
kdj [−∂w
∂rw
] + kpj [Mr
Sr] = 0
(5.7)
El borde j se refiere al radio rj = βjrm. Las matrices kdj y kpj están formadas por ceros
y unos exclusivamente, de modo que kdj + kpj = I1 (matriz unidad de dimension 2 x 2).
Esto implica que al imponer una coaación (1 en la diagonal de la kdj), la reacción es
desconocida y no puede ser especificada (es decir, el correspondiente elemento kdj es
nulo).
b) Vigas de borde
Se supone que existen en los bordes j=1,2 vigas definidas por sus rigideces de flexion
(EIj) y torsion (GJj).
La matriz de rigidez, Rj, en ejes locales de la viga existente en el borde j, se puede
expresar, para el armonico n-ésimo, según la figura 5.7, como sigue:
[𝐺1𝑗
𝑍1𝑗] =
[ 1
𝑟𝑗2(𝜆2𝐺𝐽𝑗 − 𝐸𝐼𝑗)
𝜆2
𝑟𝑗3(𝐸𝐼𝑗 − 𝐺𝐽𝑗)
𝜆2
𝑟𝑗3(𝐸𝐼𝑗 − 𝐺𝐽𝑗)
𝜆2
𝑟𝑗3(𝜆2𝐸𝐼𝑗 − 𝐺𝐽𝑗)
]
[𝜙𝑗
𝑤𝑗]
O en forma más compacta:
[𝐺1𝑗
𝑍1𝑗] = [𝑅𝑗] [
𝜙𝑗
𝑤𝑗]
(5.8)
Suponiendo que la viga de borde presenta un eje principal de inercia perpendicular al
eje de coordenadas r, y su centro de gravedad esta situado en el plano de la placa, la
transformación de ejes de la viga a ejes de la placa es, para el borde j:
CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS
90
⌊Mr
Sr⌋ = (−1)jTJRJTJ
T [−∂w
∂rw
]
j
(5.9)
En donde ahora, (Mr, 𝑆𝑟) y (−∂w
∂r, w) son las amplitudes del armonico n de los
esfuerzos y movimientos de la losa en el borde j(j=1,2).
La expresion de la mtraiz de transformacion de ejes se obtiene analogamente al caso de
la placa ortótropa rectangular, alcanzandose el resultado:
TJ = [1 dj
0 1]
con dj = distacia del centro de gravedad de la viga al borde de j de la losa.
La ecuación 5.9 presenta la misma estructura matematica que 5.7 considerando:
kpj = I2 y kpj = (−1)jTj Rj Tj
Por lo tanto se puederealizar el calcculo de la forma analoga a la anteriormente
explicada.
Figura 5. 7: Matriz de rigidez de la viga j. Armónico n-simo.
CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS
91
APLICACIÓN
La teoria de la losa ortótropa circular expuesta anteriormente puede aplicarse al cálculo
de tablero de puentes, siguiendo la misma pauta que en el caso de losa rectangular. Es
decir, puede realizarse el análisis de acuerdo con uno de los dos objetivos:
a) Estudio del reparto transversal
b) Cálculo directo bidimensional
En el primer caso, se debera determinar los esfuerzos a todo el ancho, considerando el
tablero como una barra curva (circular). Se comprende que normalmente este cálculo
representa mayor dificultad que en el caso de la barra recta. Por ello, en general, parece más
adecuado un cálculo directo bidimensional del tablero abandonando intentos que han sido
escasos debido a la anterior dificultad de tabulaciones del tipo de Guyon-Massonet-Rowe.
5.5.2. Método Emparrillado Plano Circular
Un emparrillado plano es una estructura de barras contenidas en un plano e
interconectadas entre sí en puntos denominados nudos [skeleton]. Esta estructura se
encuentra sometida a la clase de acciones normales a su plano, es decir, los grados de
libertad son los tres que se representan en la Figura 5.8.
Figura 5. 8: Barra curva
CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS
92
Las cantidades cinemáticas3 relacionadas con estos grados de libertad en el nudo i se
recogen en un vector di(i = 1.2) y son:
di = [θxi
θyi
wi
] = [
giro de torsióngiro de flexión
desplazamiento vertical]
y las correspondiente magnitudes estáticas4 se resumen en un vector 𝑝𝑖 , siendo:
pi = [
Mxi
Myi
Zi
] = [acción de torsiónacción flectoraacción cortante
]
La matriz de rigidez de una barra es una matriz k de dimensión (6 x 6) y que normalmente
se particiona como sigue:
k = [k11 k12
k21 k22]
La ecuación fundamental está definida como:
p = [p1
p2] = [
k11 k12
k21 k22] [
d1
d2] = k ∗ d
(5.10)
Se debe suponer que la sección de las barras del emparrillado con su eje principal de
inercia contenido en el plano de la estructura, y que su centro de esfuerzo cortante
coinciden con el de gravedad. No se considera el alabeo de la sección (torsión pura), en el
caso de viga recta sometida a torsión con alabeo, el número de grados de libertad por nudo
se incrementa a cuatro, ya que se considera un nuevo grado de libertad correspondiente al
alabeo (cinemático) y al bimomento (estático) como se ha expuesto en el capítulo 3. En el
caso de una viga circular de emparrillado, denominada I1 y J1 a las inercias a flexión y
torsión, respectivamente. El coeficiente de Poisson del material del material se designa por
ν. (No se considera el alabeo de la sección).
3 Magnitudes cinéticas, referentes a desplazamientos y deformaciones
4 Magnitudes estáticas, tales como fuerzas y tensiones
CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS
93
Dada la figura 5.9. se tiene:
k22 =
k11 = −μ1∆1 + μ2T∆2T − μ3T∆3T
k2T = −μ1∆1 + μ2T∆2 − μ3T∆3
k12 = −μ1∆1 + μ2∆2 + μ3∆3
Con
∆1= [1 0 10 0 01 0 1
] ; ∆2= [1 A 0A A2 00 0 0
] ; ∆3= [C2 −4C −2C
−4C ψ2 2ψ−2C 2ψ 4
]
Figura 5. 9: Emparrillado plano
T = diag. (1, −1,1)
μ1 =GJ1ψR
μ2 =s
A
1
(ψ − s)R
GJ1+ (ψ − s)
REI1
μ3 =1
ψ
1
(B + C)R
GJ1− (B − C)
REI1
A =1 + c
s ; B =
ψ2
1 − c− 2 ; C =
ψs
1 − c− 2
Se puede observar en la matriz de rigidez de la barra circular de emparrillado, los
esfuerzos de flexión y torsión, lo que no ocurre en la barra recta. Por ello, la simulación de
CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS
94
una barra curva mediante una poligonal inscrita implica que este acoplamiento de esfuerzo
solo tiene lugar en los nudos intermedios de la poligonal. Como consecuencia, esta
simulación, mejora a medida que crece el número de estos nudos intermedios. En general,
el error que representa la sustitución, en el cálculo de un emparrillado, de una barra circular
por la viga recta que une sus extremos es función del ángulo del segmento circular que
constituye la viga (θ) y de la relación de rigidez (EI
GJ). Según Da Cunha y Matesanz (1978)
5.5.3. Lamina Plegada Circular
El planteamiento llevado a cabo en el análisis de las láminas plegadas es posible
aplicarlos al caso de directriz circular en planta como así lo determino Rudinger (1957) la
matriz de flexibilidad de un sector de placa circular como el indicado en la figura 5.10
considerando tanto la flexión de la placa como la extensión de la losa. La técnica de cálculo
de esta matriz de flexibilidad es en esencia idéntica a la utilizada anteriormente en losa
ortótropa circular. De modo análogo, Rudinger dedujo los coeficientes de flexibilidad para
la viga curva y lo desarrolló por serie de Fourier, pudiendo alcanzar la compatibilidad total
a lo largo de cada arista curva, ya que consideraba la amplitud de cada término. Así pues es
posible analizar, mediante esta teoría, tableros con sección alveolar arbitraria, compuestos
de losas verticales y horizontales, pero no inclinadas. Las primeras las asimila a vigas
circulares y las losas horizontales las estudia exactamente dentro de la teoría elástica.
Primitivamente Rudinger aplicó la teoría a secciones abiertas, si se utiliza un método en
rigidez es posible tratar todo tipo de sección transversal.
La extensión de este análisis a elementos inclinados, que constituirán segmentos de
tronco de cono, podría llevarse a cabo como lo han demostrado Popoy y otro (1964), para
un problema ligeramente diferente la deducción de la matriz de rigidez para cada armónico
representa una penosa tarea
CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS
95
Figura 5. 10: Lamina tronco de cono
Por ello es más aconsejable recurrir a técnicas numéricas, tales como bandas finitas o
bien elementos finitos.
La determinación de la matriz de rigidez del tronco de cono 5.10 se lleva a cabo según
el siguiente procedimiento.
La ecuación de la superficie media a los ejes curvilíneos por los subíndices 1 y 2
r̅(x2 tan β cos ∝1, ∝2 tan β sin ∝1 , ∝2)
siendo ∝1 𝑦 ∝2 parámetros sujetos a las condiciones
∝̅1(1)
≤∝1≤∝̅1(2)
y 0 <∝2<∝̅0< 𝜋
que definen la altura de la lámina y el ángulo del circulo en planta.
Las ecuaciones generales de las láminas rebajadas son:
1
𝐸ℎ∇2∇2𝜓 − ∇𝑘
2 𝑤 = 0 (5.10)
∇k2ψ +
Eh3
12(1 − ν2)∇2∇2w − Z −
K1
A2∫A1A2X1d ∝1−
K2
A1∫A1A2X2 d ∝2 = 0
CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS
96
Siendo
∇2=1
A1A2[(
A2
A1
∂
∂ ∝1)1
+ (A1
A2
∂
∂ ∝2)2
] (operador eliptico)
∇k2=
1
A1A2[(
A2
A1K2
∂
∂ ∝1)1
+ (A1
A2K1
∂
∂ ∝2)2
] (operador mixto)
𝐴1 y 𝐴2 son los coeficiente de la primera forma fundamental y 𝐾1 y 𝐾2 las curvaturas
principales.
Se designa por i a la derivada parcial respecto a la variable ∝i, Z, X1 y X2 que son los
componentes de la carga distribuida según la normal y las dos tangentes a las líneas
coordenadas ∝1 y ∝2, respectivamente.
En este caso
A1 =∝2 tan β ; A2 =1
cos β ; K1 = −
cos2 β
∝2 sin β ; K2 = 0
La determinación de la matriz de rigidez exige el conocimiento de las expresiones de los
movimientos en cada nudo i (u1, u2, w, θ =∂w
A2 ∂∝2) y de los correspondientes esfuerzos
(N22, N12, R2,M22) en función de w y ψ.
No existe, en este caso, carga interiores, es decir, 𝑍 = 𝑋1 = 𝑋2 = 0
Se tiene:
N11 =1
A1(ψ,2
A2),2
+A2,1
A1A2
ψ,1
A1=
Eh
1 − ν2(ε11 + υε22)
N22 =1
A1(ψ,1
A1),2
+A1,2
A1A2
ψ,2
A1=
Eh
1 − ν2(ε22 + υε11)
(5.11)
ε11 =u1,1
A1+
A1,2
A1A2u2 − K1w
ε22 =u2,2
A2+
A2,1
A1A2u1 − K2w
M11 =Eh
12(1 − ν2)(k11 + υk22)
(5.12)
Las ecuaciones constituyen en realidad una ecuación diferencial única de octavo orden, si
se introduce la función W, definida como sigue:
CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS
97
w =1
Eh∇4 W y ψ = ∇k
2 W
que satisface idénticamente la primera ecuación de 5.10 y que sustituida en la segunda
resulta:
∇8W +12(1 − ν2)
h2∇k
4 W = 0 (5.13)
Como las condiciones en los bordes ∝1= 0 y ∝1=∝̅0, se supone un desarrollo en serie
de Fourier para la solución, es decir.
W=W̅(∝2) sinmπ∝1
∝̅0
que, sustituida en (5.13), conduce a una ecuación diferencial ordinaria de octavo orden. La
solución general presenta ocho constante Ci(i=1,2,…,8).
Se pueden determinar en funciones de estas ocho constantes los movimientos (sus
amplitudes) en los bordes curvos, ∝2=∝1(1)
y ∝1=∝2(2)
, mediante las expresiones (5.11).
Sean estos movimientos 𝑑1 y 𝑑2, respectivamente; se puede escribir:
[d1
d2] = GdC
con C = (C1, C2, … , C8)T
Análogamente se procede con las ocho fuerzas que actúan en el conjunto de dichos dos
bordes, es decir:
⌊p1
p2⌋ = GpC
La matriz de rigidez se define mediante la ecuación
⌊p1
p2⌋ = k [
d1
d2]
siendo k = GpGd−1 la matriz de rigidez de dimensiones (8x8).
CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS
98
Se observa que en este caso no existe el desacoplamiento de los esfuerzos de flexión y
extensión a diferencia de la lámina plegada recta.
Se comprende que para evitar el análisis anterior se recurra frecuentemente al uso de los
métodos numéricos.
5.5.4. Método de los Elementos Finitos
El método de los elementos finitos puede extenderse al cálculo tridimensional ya que
una vez desarrollado el análisis bidimensional correspondiente a los casos de placas
sometidas a cargas en su plano y normales al mismo, la matriz de rigidez de un elemento
lamina plano puede ser obtenida como se verá a continuación, por simple superposición de
las matrices de rigidez de los elementos a extensión (membrana) y flexión (placa).
En el método de los elementos finito, como en toda técnica numérica, aparecen una
serie de cuestiones en conexión con la propia discretización de la estructura y los datos de
entrada, así como con el tipo de interpretación de resultados que se obtiene en el cálculo.
Ambas clases de problemas serán tratados. También se indicará aquí cuál es la posición del
método de los elementos finitos en relación con los restantes procedimientos de análisis
numérico de tableros de puentes.
En el cálculo de tablero de puente existen numerosos métodos especiales de análisis de
esquemas estructurales particulares como emparrillados, ortotropía y otros. El carácter
general del método de los elementos finitos presenta posibilidades únicas, ya que permite
manejar de un modo unificado las anteriores situaciones. En efecto, si se desarrollan
elementos de configuración general se pueden tratar sin dificultad contornos generales y
reproducir variaciones locales de espesor y ortotropía, puesto que se pueden especificar de
modo arbitrario las características en cada elemento. Incluso, si se acoplan dentro del
mismo cálculo, las conocidas rigideces de los elementos columna y viga con las de los
elementos finitos, se puede estudiar de un modo conjunto el tablero y los apoyos y
considerar de esta forma la interacción de toda la estructura.
CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS
99
El elemento finito básico que se utiliza en este subtitulo es rectangular esto se obtiene
al dividir la losa de la lámina plegada, longitudinalmente así como transversalmente, en un
conjunto de elementos finitos rectangulares, como se muestra en la figura 5.11. El tamaño,
espesor y propiedades elásticas pueden ser distintos en cada uno de estos elementos.
Normalmente en zonas donde se apreciar la existencia de cambios rápidos de tensiones y
momentos se debe utilizar una malla más refinada de elementos.
Figura 5. 11: Modelo de elementos finitos
El cálculo se supone tridimensional, es decir en cada elemento existen en general seis
grados de libertad. Para cada grado de libertad se conoce la fuerza actuante o el
desplazamiento, siendo objetivo del cálculo estructural la determinación de la incógnita
correspondiente. Es decir que si en un grado de libertad se especifica el valor de la fuerza,
la incógnita corresponde al desplazamiento y viceversa. Una vez conocidos los
desplazamientos en todos los grados de libertad de la estructura, si se utiliza la formulación
en desplazamientos del método de los elementos finitos, es posible obtener las tensiones y
esfuerzos en cada elemento.
La etapa característica del método reside en la determinación de las matrices de rigidez
de cada elemento y en especial en la elección de las funciones de forma o interpolación.
Las hipótesis básicas utilizadas en el desarrollo del cálculo han sido las siguientes:
CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS
100
1. Los elementos son rectangulares y de propiedades elásticas, y espesor constante en
cada uno de ellos.
2. El cálculo es lineal y elástico, es decir el principio de superposición es válido.
3. Los seis grados de libertad existentes en cada nudo de un elemento puede
clasificarse de acuerdo al modo de trabajo como losa o placa.
4. En la determinación de los esfuerzos y tensiones dentro de cada elemento se
utilizaran las relaciones de las placas delgadas, con la hipótesis adicional de
Kirchoff.
Figura 5. 12: Esfuerzos en placas
El cálculo de la matriz de rigidez del método de los elementos finitos supone las
siguientes etapas:
1) Las cargas exteriores distribuidas en superficie se transforman en cargas
equivalentes nodales o actuando en los nudos mediante la utilización del simple
concepto de área tributaria. Las cargas así obtenidas se suman a las posibles cargas
existentes en los nudos para formar las cargas conocidas de la estructura.
2) A partir de los modos seleccionados de movimiento en cada elemento, se pueden
deducir en coordenadas locales, las matrices de rigidez de la acción membrana km y
de la acción de flexión (placa) kf de un elemento típico es decir:
[pm pf
] = [km 00 kf
] [dm df
]
o bien simplemente
CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS
101
p=k d
Al ser las acciones membranas y de flexión de un elemento desacopladas, las
matrices km y k𝑝, ambas de dimensión 12x12 pueden ser deducidas
independientemente una de la otra mediante la solución correspondiente de los
problemas de tensión plana y de flexión en placas.
3) Las fuerzas p y desplazamientos d del elemento referido al sistema local de
coordenadas se transforman respectivamente en las fuerzas p, y desplazamientos d,
mediante la matriz de transformación T y su transpuesta.
d = TT d,
p, = T p
4) La matriz de rigidez del elemento en coordenadas generales se determina mediante
la expresión:
k, = T k TT (5.13)
La matriz k, es de dimensión 24x24 y se avalúa para cada elemento de la estructura.
5) La ecuación 5.13 puede particionarse como sigue:
[
p,i
p,j
p,k
p,l
] =
[ k,
ii k,ij
k,ji k,
jj
k ,ik k,
il
k,jk k ,
jl
k,ki k,
kj
k ,li k ,
lj
k,kk k,
kl
k,lk k,
ll ]
[ d,
i
d,j
d,k
d,l ]
En donde i, j, k, l representan los cuatro nudos de los vértices del elemento
finito rectangular de la figura-11.2. Cada una de las submatrices resultante;
𝑘′𝑚𝑚, de dimensibn 6x6 relaciona las seis fuerzas que apurecen en el nudo m
bajo un conjunto de movimientos unidad d' en el nudo n.
6) La consideración del equilibrio (suma de todas las fuerzas exteriores e interiores en
cada nudo igual a cero) y de la compatibilidad (igualdad entre todos los movimientos
de los vértices de elementos que coinciden en un nudo común) permite plantear el
sistema:
CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS
102
P'=K'D' (5.14)
con P’ es vector de dimensión (6Nx 1) que contiene correlativamente (n-1, 2,..,N)
todos los vectores fuerzan p’n, actuando en cada nudo n, N es el número total de
nudos.
d‘ es un vector de dimensiones (6Nx1) que contiene correlativamente (r= 1, 2,.., N)
todos los desplazamientos dn′ , que aparecen en cada nudo n.
K’ constituye la matriz de rigidez de toda la estructura y puede formarse a partir de
las matrices k’ de cada elemento, mediante un procedimiento automático de
ensamblaje de sus submatrices k′mm.
Para este tipo de problema la dimensión de la matriz es muy grande (6Nx6N), por lo
que es muy interesante la numeración adecuada de los nudos de la estructura con
objeto de conseguir que ancho de banda máxima diferencia entre los números de dos
nudos de cualquier elemento finito sea mínimo. Por otra parte dada la característica
prismática de la estructura es posible obtener la numeración automática de todos sus
nudos, si se especifica únicamente esta numeración en una sección determinada.
7) La resolución del sistema de ecuaciones lineal representa el máximo esfuerzo
computacional, por lo que técnicas específicas y eficientes de resolución que tengan
en cuenta el carácter simétrico y en banda de la matriz K` son importantes.
8) Una vez conocidos los desplazamientos D`, se pueden determinar los
desplazamientos en ejes locales en los nudos de todos los elementos, haciendo uso
de la matriz de transformación T.
9) A partir del conocimiento de los movimientos en los nudos de cada elemento se
obtienen los esfuerzos internos en el mismo, que constituyen el resultado importante
del cálculo.
A continuación se describe las matrices de rigideces de la laja y la placa.
La matriz de rigidez de una la laja la cual se encuentra bajo acciones de tensión es la
siguiente:
pm = kmdm (5.15)
CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS
103
Con pm vector de fuerzas para un elemento placa, dm vector de desplazamientos y km
matriz de rigidez definida de la siguiente manera:
km = (Am−1)T [∫ ∫ (Hm
∗)TDm
a
0
b
0
Hm∗dxdy]Am
−1 (5.14)
Donde Am es la matriz cuadrada de las dimensiones (a, b) del elemento placa, Dm es la
matriz de propiedades del elemento y Hm∗ es la matriz obtenida de las funciones de
interpolación. Todos los elementos de la matriz km deben ser multiplicados por la constante
elástica de la placa, es decir cada elemento es:
kmij =Eh
1 − ν2kmij
∗
Con km= {kmij} matriz cuadrada de dimensión 12x12, para mayor referencia se puede
consultar con [21].
Entonces la matriz kf de flexión para una placa queda definida de la siguiente manera:
pf = kf df
pf y df quedaron definidos anteriormente, pero kf lleva la siguiente forma:
kf = Af−1 [∫ ∫ (Hf
∗)TDf
a
0
b
0
Hf∗dxdy]Af
(5.14)
Donde todas las expresiones son similares a las de la placa sometida a tensión plana,
donde esta se debe multiplicar por: Eh3/12(1-v
2) para obtener los resultados finales de estos
componentes. Es decir
kf = [kfij]
con
kfij =𝐸ℎ3
12(1 − 𝜈2)∗ kfij
∗
CAPITULO 5 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE PUENTES CURVOS
104
Este método permite tratar de un modo unificado y simple, condiciones arbitrarias,
geométricas y de sustentación que desafían a los métodos analíticos de cálculo y a los
procedimientos numéricos, aunque presenta una problemática especial relacionada con el
proceso de discretización estructural, modelización e interpretación de resultados obtenidos
y cuyo conocimiento es indispensable para un correcto uso del mismo.
El fundamento científico del método se basa de un modo fundamental en varias disciplinas
como ser: Análisis funcional, algebra lineal, análisis numérico, teoría de la aproximación e
informática, y depende de estas para su desarrollo en el futuro.
105
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1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Capítulo6
CARGAS EN PUENTES CURVOS
6.1. INTRODUCCION
Las cargas que se apliquen al puente durante su vida útil, se pueden dividir en dos
grandes categorías: Cargas permanentes y cargas transitorias. Las cargas permanentes
permanecen en el puente durante un periodo prolongado, por lo general para toda la vida de
servicio, tales cargas incluyen el peso propio de las vigas y tablero, bordillos, barandillas y
pasamanos, servicios públicos, luminarias y presiones de tierra. Cargas transitorias suelen
incluir cargas de gravedad debido a vehículos, ferrocarriles y tránsito de peatones así como
también cargas laterales tales como las causadas por el agua y el viento, colisiones y
terremotos. Los puentes también experimentan fluctuaciones de temperatura sobre una base
diaria y estacionaria y tales efectos deben ser considerados. Dependiendo del tipo de
estructura otras cargas como la de fluencia y retracción pueden ser importantes y
finalmente los soportes pueden mover la superestructura. El propósito principal de este
capítulo es definir y explicar la razón de ser de los requisitos de carga AASHTO.
CAPITULO 6 CARGAS EN PUENTES CURVOS
106
6.2. CARGAS PERMANENTES
6.2.1. Cargas muerta de los componentes estructurales
Las cargas permanentes son aquellas que permanecen en el puente para un extendido
periodo de tiempo, tal vez para toda la vida de servicio, tales cargas incluyen:
Carga muerta de los componentes estructurales y no estructurales adjuntos (DC).
Carga muerta de la superficie de desgaste (DW).
Carga muerta de relleno de tierra (EV).
Carga de presión de tierra (EH).
Sobrecarga de tierra (ES).
Tabla 6- 1: Densidades de materiales
CAPITULO 6 CARGAS EN PUENTES CURVOS
107
La carga muerta de los componentes estructurales y no estructurales adjuntos son sin
duda las cargas permanentes y deben ser incluidas. Los componentes estructurales se basan
en aquellos elementos que forman parte de la resistencia de carga del sistema, adjuntos no
estructurales se refiere a partidas tales como bordillos, rieles de barreras, señales,
iluminadores y barandillas. El peso de dichos artículos se puede estimar mediante el uso de
la unidad de peso del material combinado con la geometría, la literatura a menudo se puede
encontrar información de pesos de barandillas en caso de ausencia de estas más
información precisa sobre pesos unitarios se pude consultar con la tabla 6.1.
6.2.2. Carga de superficie de desgaste
La carga muerta de superficie de desgaste se calcula tomando el peso por la unidad de
espesor de la superficie este valor se combina con la carga DC por la tabla 6.2. Se be tener
en cuenta que los factores de carga son diferentes para las cargas DW y DC, los factores
mínimos de carga para DC son 1,25 y 0,90 respectivamente y los factores máximo y
mínimos de carga para DW son 1,5 y 0,65 respectivamente. Los diferentes factores se
utilizan debido a que la carga DW se ha determinado que es una carga que puede variar con
el tiempo.
Tabla 6- 2: Combinaciones de carga y factores de carga
CAPITULO 6 CARGAS EN PUENTES CURVOS
108
En resumen se puede afirmar que es difícil estimar el momento de diseño de cuantas
capas y espesor asociado a la superficie de desgaste pueden ser aplicados por el personal de
mantenimiento durante la vida útil pero es bastante fácil determinar el peso de otros
componentes.
6.3. CARGAS TRANSITORIAS
6.3.1. Cargas Vehiculares
Un estudio realizado por la Junta de Investigación del Transporte (TRB) se utilizó como
base para las cargas de AASHTO (TRB, 1990). El panel TRB esbozó muchos temas
relacionados con el desarrollo (revisión) de una política nacional de los pesos de camiones.
Por lo tanto, un modelo más manejable más simple fue desarrollado llamado HL-93
(carga de carretera, desarrollado en 1993). El objetivo de este modelo es prescribir un
conjunto de cargas tales que los mismos efectos extremas de carga del modelo HL-93 son
aproximadamente los mismos que los vehículos de exclusión. Este modelo consiste en tres
cargas vivas claramente diferentes:
❑ Diseño de camiones
❑ Diseño tándem
❑ Diseño de carril
Como se ilustra en la Figura 6.3, el camión de diseño (el primero de tres
configuraciones de carga viva separadas) es un modelo de carga que se asemeja el camión
típico semirremolque [LRFD Art.3.6.1.2]. El eje delantero es de 8 kips (35 kN), el eje de
tracción de 32 kips (145 kN) se encuentra 14 pies (4300 mm) detrás, y el remolque de eje
trasero es también de 32 kips (145 kN) y se coloca a una distancia variable que oscila entre
14 y 30 pies (4300 y 9000 mm). El rango variable significa que el espacio usado debe
causar el efecto de carga crítica. La larga separación típica sobre los controles, donde las
partes delantera y trasera de la camioneta se puede posicionar en vanos adyacentes
estructuralmente continuos como en puentes continuos de tramos cortos. El camión de
diseño es la misma configuración que se ha utilizado por AASHTO (2002)
CAPITULO 6 CARGAS EN PUENTES CURVOS
109
Especificaciones estándar desde 1944 y se conoce comúnmente como HS20. La H indica
autopista, el S denota semirremolque y el 20 es el peso del tractor en toneladas. Las nuevas
combinaciones de vehículos que se describen en AASHTO (2004) LRFD Bridge
especificaciones son designados como HL-93.
Figura 6. 1: Cargas de diseño AASHTO HL-93
La segunda configuración es el tándem de diseño y se ilustra en la figura 6.3 (b). Se
compone de dos ejes con un peso de 25 kips (110 kN) cada uno espaciados a 4 pies (1200
mm), que es similar a la del eje tándem utilizado en anteriores especificaciones AASHTO
estándar, excepto la carga que se cambia de 24 a 25 kips (110 kN).
La tercera carga es la carga de diseño de carril que consta de una carga uniformemente
distribuida de 0.064 kips/ft (9,3 N/mm) y se supone que ocupará una región de 10 pies
(3000 mm) transversalmente. Esta carga es lo mismo que una carga de presión uniforme de
64 lb/ft2 (3,1 kPa) aplicada en un carril de diseño de 10 pies (3000 mm). Esta carga es
similar a la carga carril que se indica en las especificaciones AASHTO estándar para
muchos años con la excepción de que la carga carril LRFD no requiere ninguna cargas
concentradas.
CAPITULO 6 CARGAS EN PUENTES CURVOS
110
Los efectos de carga del camión de diseño y el tándem de diseño deben superponerse
con los efectos de la carga de diseño de carril. Esta combinación de carriles y la carga sobre
los ejes es una desviación importante de los requisitos de las Especificaciones AASHTO
estándar anteriores, en los que se consideraron por separado las cargas. Estas cargas no
están diseñadas para modelar cualquier vehículo o combinación de vehículos, sino más bien
el espectro de cargas y sus efectos de las cargas asociadas.
6.3.2. Fuerza Centrifuga
La aceleración es la derivada de tiempo del vector de velocidad y como tal resultado
procedente de un cambio de magnitud o dirección de la velocidad. Un camión puede
aumentar la velocidad, disminuir la velocidad y/o cambiar de dirección mientras se mueve a
lo largo de una trayectoria curvilínea. Todos estos efectos requieren una aceleración del
vehículo que provoca una fuerza entre la cubierta y el camión. Debido a que su masa es
grande en comparación con la potencia disponible, un camión no puede aumentar su
velocidad a una velocidad lo suficientemente grande como para imponer una fuerza
significativa en el puente. A la inversa, una disminución en la velocidad debido al frenado
puede crear una importante aceleración (desaceleración) que causa grandes fuerzas en el
puente en la dirección del movimiento. El efecto de frenado se describe en la siguiente
sección. Por último, cuando un camión se mueve a lo largo de una trayectoria curvilínea, el
cambio en la dirección de la velocidad causa una aceleración centrífuga en la dirección
radial. Esta aceleración es:
αr=V2
r (6. 1)
Donde V es la velocidad del camión, y r es el radio de curvatura del movimiento del
camión. Las fuerzas y aceleraciones implicadas se ilustran en la Figura 6.4.
La segunda ley de Newton requiere
F = m a (6. 2)
CAPITULO 6 CARGAS EN PUENTES CURVOS
111
Figura 6. 2: Diagrama de cuerpo libre de las fuerzas centrifugas
donde m es la masa. La sustitución de la ecuación. 6.1. en la ecuación. 6.2 nos da que:
Fr =mV2
r (6. 3)
donde Fr es la fuerza sobre el camión dirigida hacia el centro de la curva (hacia el exterior
sobre el puente). La posición de esta fuerza está en el centro de la masa, se asume que a los
6 pies (1800 mm) por encima de la superficie de la calzada se encuentre éste, [LRFD
Art.3.6.3] nótese que la masa m es igual a:
m =W
g (6. 4)
donde W es el peso del vehículo, y g es la aceleración de la gravedad: 32.2 ft/s2 (9,807
m/s2). Sustituyendo la ecuación. 6.3 en la ecuación. 6.4 se tiene que:
Fr = (V2
rg) ∙ W (6. 5)
CAPITULO 6 CARGAS EN PUENTES CURVOS
112
que es similar a la expresión dada en AASHTO [LRFD Art.3.6.3] donde:
Fr = C ∙ W (6. 6)
Donde
C = f (ν2
Rg) (6. 7)
f = 4/3 es para las distintas combinaciones de la fatiga y es f =1,0 para fatiga; ν es la
velocidad de diseño de la carretera, en pies/segundo (m/s), R es el radio de curvatura del
carril de circulación en pies (metros), y Fr es aplicado en el centro de masa a una distancia
de 6 pies (1800 mm) por encima de la superficie del tablero.
Debido a que las combinaciones de diseño con la carga de diseño de carril da una carga
de aproximadamente 4/3 del efecto del camión de diseño considerado independientemente,
un factor de 4/3 se utiliza para modelar el efecto de un tren de cargas. La ecuación 6.5
puede ser utilizado con cualquier sistema de unidades consistentes. Los múltiples factores
de presencia [LRFD Art.3.6.1.1.2] se pueden aplicar a esta fuerza, ya que es poco probable
que todos los carriles estén a plena carga.
Por último se puede concluir que la fuerza centrífuga es directamente proporcional a la
fuerza del vehículo como también el peso del vehículo es proporcional a la misma sin
embargo, a menor radio de curvatura se tendrá un valor mucho mayor de dicha fuerza
concluyendo que esta es inversamente proporcional a ella.
6.4. FUERZAS DEBIDAS A DEFORMACIONES
6.4.1. Temperatura
Dos tipos de cambio de temperatura deben ser incluidos en el análisis de las
superestructuras (ver [LRFD Art.3.12.2] y [LRFD Art.3.12.3]). El primero es un cambio de
temperatura uniforme donde toda la superestructura sufre cambios de temperatura en una
cantidad constante. Este tipo de cambio alarga o acorta el puente, o si bien se ven limitados
los soportes induciendo reacciones a los apoyos y a las fuerzas en las estructuras, este tipo
de formación se ilustra en la Figura 6.3.
CAPITULO 6 CARGAS EN PUENTES CURVOS
113
Figura 6. 3: Elongación inducida por la temperatura
Figura 6. 4: Curvatura inducida por la temperatura
El segundo tipo de cambio de temperatura es un gradiente o calentamiento no uniforme
(enfriamiento) de la superestructura a través de su profundidad figura 6.4. Sometidos a luz
solar el tablero del puente se calienta más que las vigas de abajo, este calentamiento no
uniforme provoca que la temperatura aumente más en la parte superior del sistema que en
las vigas interiores.
Como era de esperarse, el rango de temperatura se considera una función del clima. La
guía AASHTO define dos condiciones climáticas: templado y frío. Un clima moderado es
cuando el número de días de congelación por año es inferior a 14. Un día de congelación es
cuando la temperatura promedio es de menos de 32 °F (0°C). Tabla 6.6 da los rangos de
temperatura. El rango de temperatura se utiliza para establecer el cambio en la temperatura
utilizada en el análisis. Por ejemplo, si un puente de hormigón se construye a una
temperatura de 68 ° F (20 °C), entonces el aumento en un clima moderado para el hormigón
es ∆T = 80 - 68 = 12 ° F (27 - 20 = 7 °C), y la disminución de la temperatura es T = 68 -
(10) = 58 °C (~ 41 ° C).
Clima Acero o aluminio °F
(°C)
Concreto
°F (°C)
Madera
°F (°C)
Templado 0-120 (-18-50) 10-80 (-12-27) 10-75 (-12-24)
Frio -30-120 (-35-50) 0-80 (-18-27) 0-75 (-18-24)
Tabla 6- 3: Rangos de temperatura
CAPITULO 6 CARGAS EN PUENTES CURVOS
114
Teóricamente, la gama de temperatura climática no es una función del tipo de
estructura, pero la temperatura de la estructura es una función del registro de temperatura
climática y el calor específico del material, masa, relación de volumen de superficie,
conductividad de calor, las condiciones del viento, sombra, y así sucesivamente. Debido a
que los puentes de hormigón son más masivos que los de acero y el calor específico del
hormigón es menos que el acero, un aumento en la temperatura climática provoca un
aumento de temperatura menor en la estructura de hormigón que en el acero. La estructura
de hormigón tiene mayor inercia térmica (sistemas con una gran inercia térmica son
resistentes a los cambios de temperatura) que su contraparte de acero. El gradiente de
temperatura es una función de la ganancia solar a la superficie del tablero. Las gradientes
de temperatura se describen en la Tabla 6.7 que da referencia de estos parámetros según la
zona de emplazamiento.
Zona Superficie de concreto °F (°C)
T1 T2
1 54 (30) 14 (7,8)
2 46 (25) 12 (6,7)
3 41 (23) 11 (6)
4 38 (21) 9 (5) Tabla 6- 4: Gradientes de temperaturas
El gradiente de temperatura se considera además como un incremento de temperatura
uniforme. Típicamente estos dos efectos se separan en el análisis. La AASHTO [LRFD
Art.3.12.3] muestra el diseño del gradiente de temperatura figura 6.5.
El aumento de la temperatura se considera positivo en AASHTO. La temperatura T3 es
cero a menos que se determine a partir del estudio de sitio específico, pero en ningún caso
T3 excederá de (3 °C) 5 °F. En la figura 6.5, la dimensión A se determina de la siguiente
manera:
Figura 6. 5: Diseño del gradiente de temperatura
CAPITULO 6 CARGAS EN PUENTES CURVOS
115
A = 12 pulgadas (300 mm) para estructuras de hormigón cerradas que tengan 16
pulgadas (400 mm) o más de profundidad. Para secciones menos profundas A será 4
pulgadas (100mm) menos que la profundidad real.
A = 12 pulgadas (300 mm) para superestructuras de acero, y la distancia t se tomará
como la profundidad del tablero de hormigón.
6.4.2. Fluencia y Retracción
Los efectos de fluencia y retracción pueden tener un efecto sobre la resistencia, fatiga y la
capacidad de servicio sobre la estructura. Tradicionalmente, la fluencia se considera en el
concreto donde su efecto puede conducir a problemas de facilidad de servicio imprevistos
que puedan posteriormente dar lugar a problemas de resistencia secundaria. Sin embargo, la
fluencia es también motivo de preocupación en las estructuras de madera. La fluencia y
retracción son altamente dependientes de los materiales y los sistemas involucrados.
Movimientos de apoyo pueden ocurrir debido a la deformación elástica e inelástica de la
fundación. Deformaciones elásticas incluyen movimientos que afectan la respuesta del
puente a otras cargas, pero no conlleva acciones permanentes. Tales deformaciones pueden
ser modelados mediante la aproximación de la rigidez del soporte en el modelo de análisis
estructural. Este tipo de arreglo no es una carga, sino más bien una característica de apoyo
que deben ser incluidos en el modelo estructural. Deformaciones inelásticas son
movimientos que tienden a ser permanentes y crear locked-in acciones permanentes. Estos
movimientos pueden incluir el asentamiento debido a la consolidación, inestabilidades o el
fracaso de las fundaciones. Algunos de estos movimientos son los resultados de las cargas
aplicadas al puente, y estos efectos de carga se pueden incluir en el modelado de los
soportes estructurales. Otros movimientos se atribuyen al comportamiento de la fundación
independiente de las cargas aplicadas al puente. Estos movimientos deben ser tratados
como una carga y en lo sucesivo se denominan deformaciones de apoyo.
Las acciones debidas a las deformaciones impuestas en las estructuras de apoyo
estáticamente indeterminadas son proporcionales a la rigidez. Por ejemplo, para una
deformación dada en una estructura rígida esta desarrolla acciones más grandes que una
CAPITULO 6 CARGAS EN PUENTES CURVOS
116
flexible. Las estructuras estáticamente determinadas no desarrollan acciones internas
debidas al asentamiento, que es una de las pocas ventajas inherentes de los sistemas
estáticamente determinados. Estas deformaciones de apoyo se estiman en base a las
características geotécnicas del sitio y sistema involucrado. Sugerencias detalladas se dan en
AASHTO, Sección 10.
117
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Capítulo7
DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
7.1. INTRODUCCIÓN
En el presente capítulo se procederá a explicar detalladamente la forma de calcular
todos los valores necesarios para el análisis y diseño estructural de puentes curvos con
vigas BPR.
La primera parte de este acápite se desarrollará el análisis estructural, mostrando así
cinco tipos de modelos computacionales en puentes curvos con vigas rectas BPR, todos
estos análisis son desarrollado por el método de los elementos finitos, los cálculos son
desarrollados ampliamente para el puente de radio de 100m, sin embargo para el de radio
de 50m se muestra en [Anexo1] la planilla de cálculo.
Finalmente se desarrolla el cálculo de las tensiones en la viga y las verificaciones de las
fibras en tiempos iniciales y finales de acuerdo al código ASSHTO LRFD.
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
118
7.2. DESCRIPCION DEL PUENTE
7.2.1. Sección transversal
El puente de radio de curvatura horizontal de 100m tiene una longitud total de 60m, la
velocidad de proyecto es de 50 Km/h según la tabla 4-2, compuesto por dos carriles
bidireccionales de ancho igual a 3.5m, el peralte de la curva es del 7 por ciento esto según
el manual de diseño de Geométrico de la A.B.C.
Los sobreanchos de curva son calculados siguiendo las recomendaciones de [19]. Para
un tipo de vehículo tipo Semitrailer de largo total igual a "L" _"t" "=16.40m" se tiene que:
E=L1
2 +L22
R- 0.20 (7. 1)
donde L1 es la distancia entre el parachoques delanteros y ultimo eje del camión tractor y
L2 es la distancia entre pivote mesa de apoyo y ultimo eje del tándem trasero, todos estos
valores son tabulados en la tabla 4-3. Para el caso nuestro tendremos que L1=5.60m y
L2=10.00m entonces el ensanchamiento de la curva es E=1.10m, teniendo así un ancho de
calzada total de B=8.10m.
Debido a que la norma AASHTO LRFD, ni las especificaciones no especifica
claramente la separación entre vigas de las secciones habituales, salvo el cumplimiento del
rango de aplicabilidad de los factores de distribución de momento y corte que involucran la
geometría del puente. Se realiza un análisis estático para la determinación de la separación
de los nervios utilizando los factores de carga presentados por la norma AASHTO
ESTÁNDAR. Por otro lado se adoptó valores en la sección transversal del puente que
cumplan los rangos de aplicabilidad de los factores de distribución.
Según las especificaciones estándares de la norma AASHTO LFD el factor de carga
para secciones BPR es: fi=fe=0.596∙S.
A partir de la figura 7.1 se puede definir que:
2a + 4s = 8.10 ( a)
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
119
entonces:
a=8.10-3S
2=4.05-1.5S
( b)
Determinando los momentos en el punto M.
3a+4.5∙S-6.6=2∙fe∙S ( c)
Sustituyendo las ecuaciones (a) y (b) en (c) se tiene que:
1.192S2 = 24.30 − 6.60 ( d)
Resolviendo la ecuación se tiene: S=2.20m y a=0.75m
Entonces se puede decir que la superestructura está formada por cuatro vigas espaciadas
a 2.20 m. de los centros, como se muestra en la figura 7.1. El tablero está conformado por
una losa de espesor de 20cm la cual es moldeada para así formar la curva, esta cumple
esencialmente la función de transmitir las cargas muertas, vivas y de impacto hacia las
vigas. La superficie de desgaste tiene un espesor de 5cm. El diseño y análisis estructural se
realiza de acuerdo con las Especificaciones LRFD, segunda edición 2012, carga viva
vehicular HL-93.
0.07 Peralte
3 Espacios c/ 2.20m=6.600.750.75
8.10
8.85
0.375 0.375
0.20 Espesor Unifome
M
fife
Figura 7. 1: Sección transversal en mitad del tramo del puente
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
120
7.2.2. Geometría en planta
Para ver si podría utilizarse vigas rectas en puentes curvos se debe verificar el valor de
la sagita, donde el desplazamiento de la cuerda arco no deberá ser mayor a 1.5 ft (0.50m)
según el manual de diseño de puentes de la PCA [14]. Este cálculo se lo realiza a partir de
la ecuación 4.1 donde s=Lc2/8R=(60)2/(8∙100)=4.5m. Este valor es mucho mayor al
admisible, entonces con la finalidad de entrar dentro del rango se divide el puente en tres
tramos de 20m en consecuencia se tiene que s=0.5m aproximadamente casi igual al valor
admisible.
Con la finalidad de minimizar el voladizo en el exterior de la curva, el voladizo de
1.1 m se fijará en el centro de cada vano. En los extremos de los vanos, el voladizo de la
viga central en el exterior será 0.60m y 1.6m en el interior. La Figura 7.2 muestra la
geometría en planta.
0.5
1.6
0.6
L
L
Borde losa
1.6
0.6
1.6
0.6
1.6
0.61.1
1.1
R100.0
L
L
La=20m
Figura 7. 2: Geometría en planta del puente
7.2.3. Materiales
Losa vaciada in situ: Espesor real, ts=200mm
Resistencia del hormigón a los 28 días, f'c=21 MPa
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
121
Vigas Prefabricadas: BPR Tipo IV [PCI] como se muestra en la Figura 7.2
Resistencia del hormigón de la viga en el postensado, f'ci=28 MPa
Resistencia del hormigón a los 28 días, f'c=35 MPa
Peso específico del concreto, γc=2400 Kg/m3
Longitud de la viga =20m
Cables de postensado: 12 Torones de ½” de baja relajación
Área de un Torón =98.7mm2
Tensión ultima fpu=1860 MPa
Tensión de fluencia fpy=0.9∙fpu=1674 MPa [LRFD Tabla 5.4.4.1-1]
Límites de estrés para torones de postensado: [LRFD Tabla 5.9.3-1]
en elevación: fpi=0.80fpu=1488 MPa
en el estado límite de servicio (después de todas las pérdidas):
fpc<0.80fpy=1339.20 MPa
Módulo de elasticidad, Ep=197000 MPa [LRFD Tabla 5.4.4.2]
Barras de refuerzo: Fluencia del acero, fy=420 MPa
Módulo de elasticidad, Es=200000 MPa [LRFD Tabla 5.4.3.2]
Capa rodadura: 50 mm concreto asfaltico, peso específico=22.5 KN/m3
Baranda tipo Jersey: Peso por unidad de longitud = 6 KN/m
7.3. ANALISIS Y DISEÑO DE LAS BARRERAS TIPO JERSEY
7.3.1. Descripción
Se propone en este caso un modelo de barrera de concreto con perfil basado en la
barrera de New Jersey. Cabe destacar que un sistema de barreras y su conexión a la cubierta
sólo se autorizan después de demostrar que es satisfactorio a través de pruebas de choque
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
122
en barreras a escala natural para el nivel de prueba deseado [LRFD Art. 13.7.3.1]. Si se
realizan modificaciones menores a modelos ya probados, que no afectan su resistencia,
pueden utilizarse sin las pruebas de impacto requeridas.
7.3.2. Resistencia a flexión alrededor de un eje vertical de la barrera (Mw)
La resistencia a los momentos positivo y negativo que actúan alrededor de un eje
vertical se determina tomando como base el mecanismo de falla en este tipo de barreras; se
determina así el refuerzo horizontal en la cara vertical de la barrera (en este caso 4Ø16).
Para determinar el momento resistente se dividirá la sección de barrera en tres partes:
A1, A2 y A3, tal como se observa en el gráfico.
Figura 7. 3: Dimensiones y armadura de barreras tipo jersey
Para este cálculo se utilizara un método alternativo simplificado, trabajando con una
área equivalente como se muestra en la figura
Figura 7. 4: Sección simplificada de barrera tipo jersey
A1 = 822.50 cm2
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
123
A1 = 718.75 cm2
A1 = 487.50 cm2
AT = 2028.75 cm2
Para una altura de barrera de 0.85 m se tendrá un grosor de:
h= 2028.75 cm2
85 cm=23.87 cm
z = Rec. + ∅v + ∅/2" = 2” + ½” + (3/8”)/2 = 2.6875”
z =6.83 cm
d = 23.87 – 6.83 = 17.04 cm
As= 4∅3/8” = 4 (0.71 cm2) = 2.84 cm2
a=As∙fy
0.85∙f'c∙b=0.59 cm
Mu=∅ Asfy (d-a
2)
Mu= 199.73 kg-cm = 20 KN- m
7.3.3. Resistencia a flexión alrededor de un eje paralelo al eje longitudinal (Mc)
Se calcula de acuerdo a las líneas de rotura con el momento de flexión negativo. Éste
produce esfuerzos de tensión en la cara inclinada de la barrera, determinando el refuerzo de
la barrera para esa cara.
Utilizando 1Ø12 c/ 17cm (As = 1.29cm²/17 cm = 7.59 cm²/m), considerando fajas de
1m de ancho:
Sección A1
z = Rec.+ Ø/2 = 5.08 + (1.2)/2 = 5.72cm
d = h – z = 17.9 – 5.72 = 12.18 cm
a=As fy
0.85 f´c b
Mc,1=∅Asfy (d-a
2) = 36.7 KN- m
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
124
Figura 7. 5: Flexión en secciones A1 y A2 de barreras jersey
Sección A2
d = (20+37.5)/2 + 5.72 = 23.03 cm
Mc,2=∅Asfy (d-a
2) = 71.3 KN- m.
Sección A3
d = 37.5 - 5.72 = 31.78 cm
Mc,2=∅Asfy (d-a
2) = 99.2 KN- m.
El momento promedio es:
Mc= 36.7 (0.47)+71.3 (0.25)+99.2 (0.13)
0.85=56.4 KN-m
7.3.4. Longitud crítica de la línea de rotura (Lc) según el patrón de falla
Lc=Lt
2+√(
Lt
2)
2
++8H(Mb+Mw)
Mc (7. 2)
Siendo:
Lt = longitud de distribución longitudinal de la fuerza de impacto Ft
Mb= 1.07m, para el nivel TL-4 [LRFD A13.2-1]
H = altura de la barrera = 0.85m
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
125
Mb = resistencia flexional adicional en la parte superior del murob= 0
Mw= resistencia flexional del muro respecto de su eje vertical= 18.80 KN-m
Mc= resistencia flexional de los muros en voladizo respecto de un eje paralelo al eje
longitudinal del puente = 56.40 KN-m
Lc = longitud crítica de la línea de rotura en el patrón de falla
Lc=1.07
2+√(
1.07
2)
2
++8(0.85)(0+1.88)
5.64= 2.13m
7.3.5. Resistencia nominal a la carga trasversal Rw
Rw= (2
2Lc-Lt) (8Mb+8Mw+
McLc2
H) (7. 3)
Siendo:
Ft = 240,000N para el nivel TL-4 = 24.47T (Tabla A13.2-1)
Rw = resistencia del parapeto
Rw= (2
2∙2.13-1.07) (8(0)+8(1.88)+
5.64∙(2.13)2
0.55)
Rw=283.00KN>Ft =244.70 KN Ok!
7.3.6. Resistencia nominal a la carga trasversal
Cortante actuante
Vct=Rw
Lc+2H
(7. 4)
Vct=283.00 KN
2.13m+2∙0.85m=73.90KN/m
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
126
Figura 7. 6: Carga de choque en barreras jersey
Cortante resistente
Para dos concretos colocados en diferentes momentos
Vn=cAcv+μ(Avffy+Pc)≤0.2f 'cAcv ó 5.5Acv (7. 5)
Acv = área de corte en contacto = 0.375 m x 1 m = 0.375 m²
Avf= área del dowel en el plano de corte= 1Ø1/2”c/17 (en razón de que sólo una pata está
anclada) = 1.29cm²/0.17m = 7.59cm²/m
c = factor de cohesión (5.8.4.2)
= 0.52MPa (Caso 3)
μ = 0.6l = 0.6 (1.0) = 0.6 (Caso 3)
f´c= 21 MPa
fy= 420 MPa
Pc = fuerza de compresión permanente perpendicular al plano de corte peso de la baranda
= 0.202875m² x 24 KN/m2= 48.7 KN
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
127
En 1m de ancho de barrera:
Vn = 0.52 MPa (375m²) + 0.6(7.59cm² x 4200kg/cm² + 487kg)
= 39,294 kg ≤0.2(280kg/cm²)(3750cm²)
ó 5.5(375,000mm²)N x 0.10197 kg
= 39.29T/m ó 210.3 T/m
= 39.29T/m > Vct=7.39T/m OK!
7.3.7. Chequeo de Dowel
Avf≥0.35bv
fy (7. 6)
Siendo:
bv = ancho de la interfase = 375mm
fy = 4200 kg/cm² = 412MP
Avf=0.35∙375mm
412MPa ×
1000mm
1000mm= 318.60mm2/m=3.19cm2/m
Usar: Ø1/2”c/17cm = 7.59cm²/m > 3.19cm²/m OK!
7.3.8. Longitud de anclaje
La longitud básica de anclaje (lhb) para una barra terminada en gancho es:
lhb =100 db
√f´c
(7. 7)
Siendo db = 12” = 12.7 mm, f´c = 21 MPa
lhb =100 (12.7)
√21= 242 mm
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
128
Considerando que el recubrimiento lateral perpendicular al plano del gancho es mayor o
igual que 64mm, la longitud básica de anclaje se afectará por el factor 0.7 [LRFD Art.
5.11.2.4.2].
Figura 7. 7: Longitud de anclaje refuerzo de barreras jersey a losa
Luego:
ldh = 0.7 lhb = 0.7 x 24.2 cm = 17 cm
La longitud de anclaje ldh no debe ser menor que 8db ó 15cm (5.11.2.4.1)
ldh = 17 cm ≥ 8 db = 10.16 cm y 15 cm
Se dispone para la longitud de desarrollo sólo de 15 cm, lo cual no es satisfactorio. Sin
embargo, considerando que cuando hay más armadura que la requerida la longitud básica
de desarrollo disminuye según la relación:
(Asrequerida
As provista) x lhb
Tendremos:
Asrequerida = As provista (15
17) = 7.59 cm2 ∗ (
15
17) = 6.70 cm2
Usaremos esta área de acero para recalcular la capacidad de la barrera:
Mc1 = 1.0 (6.70)(4200) (12.18 −1.18
2) = 32.6 KN- m/m
Mc1 = 1.0 (6.70)(4200) (12.18 −1.18
2) = 63.1 KN- m/m
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
129
Mc1 = 1.0 (6.70)(4200) (12.18 −1.18
2) = 87.8 KN- m/m
El momento promedio es:
Mc = 32.6 (0.47) + 63.1 (0.25) + 87.8 (0.13)
0.85= 50.0 KN − m/m
Lc = Lt
2+ √(
Lt
2)
2
+8H(Mb + Mw)
5.00 (7. 8)
Lc = 1.07
2+ √(
1.07
2)
2
+8(0.85)(0 + 1.88)
5.00= 2.22m
Rw = (2
2Lc − Lt) (8 Mb + 8 Mw +
McLc2
H) (7. 9)
Rw = (2
2x2,2 − 1.07) (8(0) + 8(1.88) +
5.00 (2.22)2
0.85)
Rw = 26.13 T > Ft = 24.47 T OK
Con lo que la longitud de desarrollo ldh = 15 cm, es adecuada. Las barras terminadas en
ganchos deben además extenderse 12 db + 4db = 16 (1.27) = 21cm [LRFD Art. 5.11.2.41].
Figura 7. 8: Detalle de barras de refuerzo barrera jersey
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
130
7.4. ANALISIS Y DISEÑO DEL TABLERO
7.4.1. Dimensionamiento de la losa
El diseño de la losa se hizo siguiendo las especificaciones de la norma AASHTO LRFD
que específica que la losa o tablero no debe ser menor que:
𝑆 + 3000
30≥ 165 (7. 10)
Para nuestro caso el espesor mínimo de la losa es 184.33 mm, lo que nos lleva a adoptar un
espesor de losa de 20 cm.
7.4.2. Dimensionamiento de la losa interior
Determinamos un espesor de losa de 20 cm, la luz libre de nuestra losa es (2.20m-0.50)=
1.7 m., los criterios de diseño utilizados en esta ocasión son Resistencia I y Servicio I
conforme a la norma LRFD, además cabe recalcar que no es necesario realizar el cálculo
del estado de fatiga para tableros de concreto con vigas múltiples.
Figura 7. 9: Posición del máximo momento positivo
Cálculo de momentos
Sabiendo que la carga que determina el diseño es la carga viva antes que las cargas muertas
ya que son significativamente menores calcularemos el momento negativo en el apoyo
interior para franjas de losa de 1m.
Carga Muerta (DC)
Resolviendo la losa continua sobre cuatro apoyos se tiene:
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
131
Peso propia losa: wlosa = 0.20m(1.0m)(24KN/m3) =4.8 KN/m
El Art. 4.6.2.1.6 especifica que para momento negativo en construcciones monolíticas de
concreto se puede tomar la sección de diseño en la cara del apoyo. Tomamos entonces con
respecto al apoyo A, los siguientes resultados del diagrama de momentos:
MDC=-3.04 KN-m
MDC,izq= -0.70 KN-m
MDC,der= -0.55 KN-m
Figura 7. 10: Momentos por carga muerta en losa
Peso barreras
PB = 0.202875m2 ∗ (1.0m)(24KN/m3) = 4.869KN aplicado a (x = 13cm)
MDC = +0.97 KN − m
MDC,izq = +0.31 KN − m
MDC,der = +0.97KN − m
En la mayoración de cargas para el estado límite de Resistencia I, los valores positivos de
momento serán multiplicados por γ= 0.9 para obtener en la combinación de cargas el
máximo momento negativo.
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
132
Figura 7. 11: Momentos por barandas
Carga por superficie de rodadura (DW)
wDW = 0.05m(1.0m)(22.5KN/m3) = 1.125 KN/m
Tomamos del diagrama los siguientes momentos:
MDW= -0.48 KN-m
MDW,izq= -0.19 KN-m
MDW,der=-0.21 KN-m
Figura 7. 12: Momento por capa de rodadura
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
133
Carga viva y efecto de carga dinámica (LL+IM)
Haciendo uso de la línea de influencia para momento flector en el apoyo B calculamos el
momento por carga viva en la sección de máximo momento negativo (apoyo B) colocando
los ejes de carga de camión en posiciones críticas:
Para un carril cargado y afectado del factor de presencia múltiple m [LRFD Art. 3.6.1.1.2]
M(-)= [72.5 (-0.2256)+ 72.5 (-0.1757)] 1.2= -34.91 KN-m
Para dos carriles cargados
M(-)=[72.5 (-0.2256)+72.5 (-0.1757)+72.5 (-0.0142)+72.5 (0.0316)] 1.0= -27.83 KN-m
Figura 7. 13: Línea de influencia apoyo B
El ancho de franja en que se distribuye es:
E(-) = 1220+0.25 S [LRFD Tabla 4.6.2.1.3-1]
= 1220+0.25 (2200)= 1770mm = 1.77m
Entonces, el momento negativo crítico en B, incluido el efecto de carga dinámica y el
ancho de franja es:
MB(-)LL+IM=-34.91
1.77×1.33=-26.23 KN-m
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
134
Conociendo la posición de cargas que genera el máximo momento negativo en B,
calculamos también los momentos en la cara de la viga a la izquierda y derecha resolviendo
la losa hiperestática apoyada sobre las cuatro vigas:
Figura 7. 14: Momento negativo por carga viva
De donde se obtiene:
M(-)LL+IM=-29.09×1.2×1.33
1.77=-26.23 KN-m
M(-)LL+IM,izq=-15.08×1.2×1.33
1.77=-13.60 KN-m (cara izq, de B)
M(-)LL+IM, der=-15.79×1.2×1.33
1.77=-14.24 KN-m (cara der, de B)
Resumen de Momentos negativo por cada carga en B
Carga Tipo M(-) izq
KN-m
M(-) eje B
KN-m
M(-) der
KN-m 𝛾(Resistencia I)
Losa DC1 -0.70 -3.04 -0.55 1.25
Barrera DC2 -0.31 -0.97 -0.97 0.90
Asfalto DW -0.19 -0.48 -0.21 1.50
Carga Viva LL+IM -13.30 -26.23 -14.24 1.75
Tabla 7- 1: Momentos flectores en losa interior
Para el Diseño por Estado Limite de Resistencia I, con n=nDnRnL=1
Mu=n[(1.25 ó 0.9)MDC+(1.50 ó 0.65) MDW+1.75M(LL+IM)]
En el eje B
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
135
Mu= 1.25(-3.04)+0.9(-0.97)+1.5(-0.48)+1.75(-26.23)=-51.30 KN-m
En cara de viga izquierda
Mu= 1.25(-0.70)+0.9(-0.31)+1.5(-0.19)+1.75(-13.30)=-24.71 KN-m
En cara de viga derecha
Mu= 1.25(-0.55)+0.9(-0.97)+1.5(-0.21)+1.75(-14.24)=-26.80 KN-m
El acero negativo será diseñado con este último valor de momento que es el mayor de las
dos caras de viga.
CALCULO DE MOMENTOS POSITIVOS
Carga Muerta (DC):
Del diagrama de momentos en losa por peso propio, en la sección F (x = 0.4L):
MDC1 = 0.28 KN-m
Igualmente para las barreras:
MDC2 = 2.52 KN-m
En la mayoración de cargas para el estado límite de Resistencia I, a este último valor por
ser negativo lo multiplicaremos por = 0.9, para obtener en la combinación de cargas el
máximo momento positivo
Carga superficie de rodadura (DW):
Del diagrama de momentos en losa por carga de asfalto, en la sección F (x = 0.4L):
MDW=0.15 KN-m
Carga viva y efecto de Carga Dinámica
Para un carril cargado y afectado del factor de presencia múltiple m ( Art. 3.6.1.1.2)
M(-)= [72.5 (0.4492)+72.5 (-0.0591)] 1.2= 33.94 KN-m
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
136
Figura 7. 15: Línea de influencia tramo AB
Para dos carriles cargados
M(-)= [72.5 (0.4492)+72.5 (-0.0591)+72.5 (0.0193)+72.5 (-0.0040)] 1.0= 29.39 KN-m
El ancho de franja en que se distribuye es:
E(-) =1220+0.25 S [LRFD Tabla 4.6.2.1.3-1]
= 1220+0.25 (2200)= 1770 mm = 1.77m
Entonces, el momento positivo crítico en F, incluido el efecto de carga dinámica y el ancho
de franja es:
MB(+)LL+IM=-33.94
1.77× 1.33 = 25.50 KN − m
Conociendo la posición de cargas que genera el máximo momento negativo en B,
calculamos también los momentos en la cara de la viga a la izquierda y derecha resolviendo
la losa hiperestática apoyada sobre las cuatro vigas:
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
137
Figura 7. 16: Momentos positivos por carga viva
De donde se obtiene:
M(-)LL+IM=-28.28×1.2×1.33
1.77= 25.50 KN-m
Resumen de Momentos positivo en la sección F
Carga Tipo M(+) eje
KN-m 𝛾(Resistencia I)
Losa DC1 0.28 1.25
Barrera DC2 -2.52 0.90
Asfalto DW 0.15 1.50
Carga Viva LL+IM 25.20 1.75 Tabla 7- 2: Momento mayorados por resisttencia1
Para el Diseño por Estado Limite de Resistencia I, con n=nDnRnL=1
Mu=n[(1.25 ó 0.9)MDC+(1.50 ó 0.65) MDW+1.75M(LL+IM)]
En la sección F
Mu= 1.25(0.28)+0.9(-2.52) +1.5(0.15)+1.75(25.20)
Mu= 42.41 KN-m
Calculo del acero
Acero negativo
Mu = -26.80 KN-m
Utilizando As ∅12 y recubrimiento r = 25 mm
z = 25 + 12/2 = 31 mm
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
138
d = 200 – 31 = 169 mm
Figura 7. 17: Espesor y peralte efectivo losa
∅Mn=∅ 0.85 f´c b a (d-a
2)
26.80x106=0.9∙0.85∙21∙1000∙ a (169-a
2)
a = 10.19mm
As=0.85∙f´c∙a∙b
fy
As=0.85 21∙ 10.19∙1000
420=433.07 mm2=4.33 cm2
Utilizando varillas de 12 mm la separación será:
s=1.13
4.33=0.26m
Usar ∅12c/26 cm
Acero máximo
Una sección no sobre reforzada cumple con: c/de < 0.42
Como:
c = a/β1 = 10.19/0.85 = 11.99 mm.
de = 169 cm
c/ de = 11.99/169 = 0.07 < 0.42 OK!
As mínimo
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
139
La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor de 1.2Mcr y
1.33 Mu:
a) 1.2 Mcr = 1.2 (fr S) = (1.2) (2.89) (6666666.67) = 23.12 KN – m
Siendo:
fr=0.63 √f´c =0.63√21=2.89 MPa
S = bh2/6 = 1000(200)2/6 = 0.00667 m3
b) 1.33 Mu = 1.33 (26.80) = 35.64 KN-m
El menor valor es 23.12 KN-m y la cantidad de acero calculada (4.33 cm2) resiste:
Mu = 26.80 KN-m > 23.12 KN-m OK!
Acero positivo
Mu = 42.41 KN-m
Utilizando As ∅12 y recubrimiento r = 25 mm
z = 25 + 12/2 = 31 mm
d = 200 – 31 = 169 mm
∅Mn=∅∙0.85∙f´c ∙b∙a∙ (d-a
2)
42.41x106 = 0.9 ∙ 0.85 ∙ 21 ∙ 1000 ∙ a ∙ (169 −a
2)
a = 16.42mm
As=0.85 ∙f´c ∙a∙b
fy
As=0.85 ∙21∙ 16.42∙1000
420=697.85 mm2=6.98 cm2
Utilizando varillas de 12 mm la separación será:
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
140
s=1.13
6.98=0.16m
Usar ∅12c/16 cm
Acero máximo
Una sección no sobre reforzada cumple con: c/de < 0.42
Como:
c = a/β1 = 16.42/0.85 = 19.32 cm.
de = 169 cm
c/ de = 19.32/169 = 0.11 < 0.42 OK!
As mínimo
La cantidad de acero proporcionado debe ser capaz de resistir el menor valor de 1.2Mcr y
1.33 Mu:
a) 1.2 Mcr = 1.2 (fr S) = (1.2)(2.89)(6666666.67) = 23.12 KN – m
Siendo:
fr = 0.63 √f´c = 0.63√21 = 2.89 Mpa
S = bh2/6 = 1000(200)2/6 = 0.00667 m3
b) 1.33 Mu = 1.33(42.41) = 56.40 KN-m
El menor valor es 23.12 KN-m y la cantidad de acero calculada (6.98 cm2) resiste:
Mu = 42.41 KN-m > 23.12 KN-m OK
Acero por temperatura
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
141
As temp =0.756 Ag
fy (7. 11)
As temp=0.756(200)1000
420=360 mm2=3.60 cm2
En dos capas se colocará: 3.60/2 = 1.80 cm2/capa
Utilizando varillas ∅10, la separación será: s=0.79/1.80 = 0.44 m.
Smax = 3t = 3(0.20) = 0.60 m.
Smax = 0.45 m.
Usar: ∅10 c/44 cm.
Acero de distribución
En la parte inferior de las losas se coloca armadura en la dirección secundaria en un
porcentaje del acero positivo igual a:
%=3840
√S≤67% (7. 12)
S = distancia entre cara de vigas = 1.692m=1692 mm
% =3840
√1692= 93.35% > 67% ∴ % = 67
As reparto = 0.67 (6.98 cm2) = 4.68 cm2
Utilizando varillas ∅12, la separación será: s = 1.13/4.68 = 0.24m
Usar: ∅12c/24cm
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
142
Figura 7. 18: Detalle de armado losa interior
Revisión de fisuración por distribución de armadura
Acero negativo
Esfuerzo máximo del acero
fsa =Z
(dcA)1/3≤ 0.6 fy (7. 13)
dc=Rec. +∅
2
dc=25 +12
2
dc=31 mm
b = espaciamiento del acero = 260 mm
nv = número de varillas = 1
A =(2dc)b
nv=
2(31)(260)
1= 16120 mm2
Z = 30000 N/mm (condición de exposición moderada) LRFD 5.7.3.4
fsa=30000
[31(12400)]1/3=378.05 N/mm2
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
143
fsa≤0.6 (420)=252 N/mm2
fsa=252 N/mm2
Esfuerzo del acero bajo cargas de servicio
fs =Ms c
I n
Para el diseño por estado límite de servicio con n = 1
Ms = η(1.0 MDC + 1.0 MDW + 1.0 MLL+IM)
Ms=1[1.0 (-0.70-0.97)+1.0 (-0.21)+1.0 (-14.24)]
Ms=-16.12 KN-m para un metro de franja
Luego:
Ms=(-16.12)(0.26)=-4.19 KN-m
Es=200000 MPa
E=0.043 γc1.5√f´c
Ec=23168.34 MPa
η = Es
Ec=
200000
23168.34≈ 9
Figura 7. 19: Sección fisura losa
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
144
Área de acero transformada
Ast = relacion modular x area de acero
Ast = 9 (1.13 cm2) = 10.17 cm2
Momentos respecto del eje neutro para determinar y:
26y(y/2) = 10.17 (16.9-y)
y = 3.27 cm, c = 13.63cm.
Inercia respecto del eje neutro de sección transformada:
I= Astc2+
b y3
3
I= 10.17 (13.63)2+26 (3.27)3
3
I = 26054.89 cm4
Luego
fs=Ms c
I n=
16.62 (106)136.3
26054.89(104) (9)=78.25 MPa
fs=78.25< fsa=252 OK!
Acero positivo
Esfuerzo máximo del acero
fsa=Z
(dcA)1/3≤0.6 fy
dc=rec +∅
2
dc=25 +12
2
dc=31 cm
b = espaciamiento del acero = 16 cm
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
145
nv = número de varillas = 1
A=(2dc)b
nv=
2(31)(16)
1=992 mm2
Z = 30000 N/mm (condición de exposición moderada) LRFD 5.7.3.4
fsa=30000
[31(992)]1/3=957.55
fsa≤0.6 (420)=252
fsa=252.0 MPa
Esfuerzo del acero bajo cargas de servicio
fs=Ms c
I n (7. 14)
Para el diseño por estado límite de servicio con n = 1
Ms=η(1.0 MDC+1.0 MDW+1.0 MLL+IM)
Ms=1[1.0 (0.28-2.52)+1.0 (0.15)+1.0 (25.20)]
Ms=23.11 KN-m
Luego:
Ms = (23.11)(0.16) = 3.70 KN − m
Es = 200000 MPa
𝐸 = 0.043 𝛾𝑐1.5√𝑓´𝑐
Ec = 23168.34 MPa
η = Es
Ec=
200000
23168.34≈ 9
Área de acero transformada
Ast = relacion modular x area de acero
Ast = 9 (1.13 cm2) = 10.17 cm2
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
146
Momentos respecto del eje neutro para determinar y:
16y(y/2) = 10.17 (16.9-y)
y = 4.04 cm, c = 12.86cm.
Inercia respecto del eje neutro de sección transformada:
I= Astc2+
b y3
3
I = 10.17 (12.86)2 +16 (4.04)3
3= 1768.96 cm4
Luego
fs=Ms c
I n=
23.11 (105)12.86
1768.96(104) (9)=15.12
fs=15.12< fsa=252 OK
7.4.3. Dimensionamiento de la losa voladizo curva exterior
Para el diseño de la losa en voladizo se siguen los criterios de LRFD aplicables:
Resistencia I
Evento Extremo II
Momentos de flexión por Vargas (franja de 1 m. de ancho)
Considerando el momento flector en la cara de la viga se tiene:
Carga muerta (DC)
wlosa=0.20 (1.0)(24 KN/m3)=4.8 KN/m
MDC,1=wlosa (L)2
2=
4.8 (0.875)2
2=1.84 KN-m
El peso de la barrera es:
Pb=0.202875m2(1.0) (24 KN
m3) =4.87 KN
MDC,2=Pb(L-x)=4.87 (0.875-0.13)=3.63 KN-m
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
147
Entonces:
MDC = 1.84 + 3.63 = 5.47 KN − m
Carga por superficie de rodadura (DW)
wDW=0.05(1.0)(22.5)= 1.125 KN-m
MDW=1.125 (0.50)2
2=0.14 KN-m
Carga viva (LL)
Para el cálculo de la carga viva se recomienda el método de franja equivalente donde:
E=1140+0.833 X [LRFD Tabla 4.6.2.1.3-1]
donde X es la distancia entre la carga y el punto de apoyo (mm) = 450mm.
E = 1140 + 0.833 (450) = 1514.85 = 1.51 m.
El momento del eje de rueda vehicular distribuido en un ancho E=1.51 m, afectado por el
factor de presencia múltiple (m=1.2), y el incremento por carga dinámica (I = 0.33) es:
MLL+IM =72.5 KN (1.2)(1.33)
1.51(0.20) = 15.32 KN − m
Colisión vehicular
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
148
Figura 7. 20: Momento producido por choque en losa
MCT= (Rw
Lc+2H) (H)=
256.18
3.92(0.85)=55.55 KN-m
Cálculo del Acero
Para el estado límite de resistencia I, con n = 0.95
Mu = η[1.25 MDC + 1.50 MDW + 1.75 M(LL+IM)]
η = ηDηRηI = (0.95)(1)(1) = 0.95
Mu = 0.95[1.25 (5.47) + 1.50 (0.14) + 1.75 (15.32)]
Mu = 32.16 KN − m
Para el Estado Límite de Evento Extremo II, con η =1
Mu = η[1.25 MDC + 1.50 MDW + 1.00 Mcr]
Mu = 1.00[1.25 (5.47) + 1.50 (0.14) + 1.00 (55.55)]
Mu = 62.60 KN − m
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
149
Figura 7. 21: Refuerzo de acero en losa exterior
Siendo el último el que rige el diseño de la losa en voladizo, usaremos 3∅12c/26cm.
Mu=62.60 KN-m
As(-)=3.39 cm2/0.26m=13.04 cm2/m
Rec. = 25 mm.
z = 25 + 12/2 = 31 mm
d = 200mm – 31mm = 169 mm.
∅=1.0 (Caso de Eventos Extremos)
a=As∙fy
0.85∙f´c∙b
∅Mn=∅Asfy (d-a
2) =1.0 (1304)(420) (169-
30.68
2) =84.16 Tn-m
Este momento debe reducirse por la fuerza de tensión axial ejercida por la colisión en el
volado.
T = Rw
Lc + 2H (7. 15)
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
150
Figura 7. 22: Fuerzas de tensión en losa de borde
T= 266.53 KN
2.22+2(0.85)=67.99 KN/m
Resolviendo como un caso de momentos de flexión y tensión combinados:
Pu
∅Pn+
Mu
∅Mn≤ 1.0
Luego la capacidad es:
Mu = ∅Mn (1 −Pu
∅Pn)
Siendo:
Ast=As (-)+As (+)= 13.04 cm2/m + 5.95cm2/m = 18.99 cm2/m
Pu = T = 67.99 KN/m
∅Pn = ∅Astfy = 1.0 (1899mm2)(420MPa)= 797580 N = 797.58 KN
∅Mn=84.16 KN-m
Mu = 84.16 (1 −67.99
797.58) = 76.99 KN − m > 62.60 𝐾𝑁 − 𝑚 (OK)
Usar: 3∅12c/26 cm.
Longitud de desarrollo
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
151
Figura 7. 23: Detalle de armado unión losa baranda
El refuerzo negativo en el volado, inmediatamente debajo de la barrera, debe resistir MCT =
55.55 KN-m. Luego se verificara la longitud de desarrollo en esa zona:
ldh = lhb ∙ factor de modificacion
Siendo la longitud básica de desarrollo:
lhb =100 d𝑏
√21 (7. 16)
lhb =100 (12mm)
√21= 261.86mm = 26.2 cm
Considerando que la relación de acero requerido sobre el acero provisto es similar al
momento último requerido sobre el momento ultimo provisto y que el recubrimiento lateral
perpendicular al plano del gancho es mayor que 64 mm (factor 0.7), la longitud de anclaje
es:
ldh = 26.2 (0.7) (55.55
76.99) = 13.23 cm
Se dispone de: 37.5 – 2 (5) = 27.5 cm. (OK)
Longitud de las barras adicionales del volado
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
152
Las barras de ∅12 adicionales colocadas en la parte de la losa deben extenderse más allá del
eje central de la viga T exterior hacia el primer tramo interior de la losa. Para determinar la
longitud de esta extensión es necesario encontrar la distancia donde las barras adicionales
Ø12 ya no son requeridas. Esta distancia teórica ocurre donde el momento debido a la
colisión más la carga muerta, iguala al momento negativo resistente de las barras 2Ø12c/26
cm.
d = 200 – 25 – 12/2 = 169mm
As = 2.26 cm2/20 cm = 11.30cm
2/m=1130 mm
2
a =1130 ∙ 420
0.85 ∙ 21 ∙ 1000= 26.59mm
La resistencia del momento negativo de la losa es:
Mu=0.90 (1130)(420) (169-26.59
2) =68.54 KN-m
Para el estado límite de Evento Extremo II, el momento negativo con ∅ = 1.0 se incrementa
a:
Mu=68.54 (1.0
0.9) =76.15 KN-m
Asumiendo un factor de transporte de 0.5 y ninguna otra posterior distribución de
momento, el diafragma de momento por la colisión en el primer tramo interior de la losa es:
MCT = -(1.467-x)(55.55/1.467)
La carga por la carpeta de rodadura se desprecia por ser muy pequeña
Resolviendo para encontrar el momento en el tramo interiores tenemos que: x = 0.225m.
Se agregará además (5.11.1.2) la longitud de 15db = 15(1.2cm) = 19 cm.
Se tiene 22.5 + 19 = 41.50cm
La longitud básica en tensión es:
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
153
ldb=0.02 Abfy
√f´c
≥0.06 dbfy (7. 17)
dónde:
Ab =1.13 cm2 = 113 mm2
fy = 420 MPa
f´c =21 MPa
db = 12 mm
ldb =0.02 (113)(420)
√21
ldb = 207.13 ≥ 302.4 mm
La longitud de desarrollo será:
ldh = ldb = 30.24 cm = 31 cm
El acero 1∅12c/20cm adicional al acero negativo del primer tramo interior de la losa
(∅12c/20cm) se entiende entonces del siguiente modo:
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
154
7.5. PROPIEDADES GEOMETRIAS
7.5.1.1.Propiedades geométrica viga BPR
A= área de la sección transversal de viga prefabricada =5090.31 cm2
h= altura total de la viga= 137.16 cm
Ix= momento de inercia alrededor del centroide de la viga =10852843.43 cm4
yb= distancia del centroide a la fibra inferior de la viga = 62.82 cm
yt= distancia del centroide a la fibra superior de la viga= 74.34 cm
Wb= módulo de la sección de la fibra inferior de la viga= 172750.08 cm3
Wt= módulo de la sección de la fibra superior de la viga =145997.05 cm3
Iy= momento de inercia lateral de viga = 1014501.67 cm4
qpp= peso propio de la viga por unidad de longitud = 12.22 KN/m
En LRFD Especificaciones, Comentario C5.4.2.4, indica que la unidad de peso de
hormigón normal es 24 KN/m3.
Por lo tanto, el módulo de elasticidad para:
Losa vaciada in situ: Ecs=0.043(2400)1.5√21=23168.34 MPa
viga prefabricada en la transferencia de postensado (a los 28 días como mínimo)
Eci=0.043(2400)1.5√35=29910.20 MPa
viga prefabricada en cargas de servicio, Ec=0.043(2400)1.5√35=29910.20 MPa
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
155
Figura 7. 24: Dimensiones viga
La constante torsional J, se calcula de conformidad a las especificaciones LRFD y la
Sección 7.6.5. o con lo dicho en la sección 3.2.1 del acápite 3.
J≈A4
40.0∙Ip
El momento de inercia polar Ip es igual a la suma de Ix+Iy entonces Ip=5834787.61 cm4
J=5090.314
40.0∙(1186735.10)=1414373.73 cm4
Propiedades de las vigas transversales (diafragmas 20x90)
A=1800 cm2
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
156
Ix=1215000.00 cm4
Iy=60000.00 cm4
J=205835.29cm4
qdiaf=4.32 KN/m
7.5.2. Propiedades geométricas sección compuesta
Debido a que este es un diseño preliminar, es razonable asumir las mismas propiedades
para vigas interiores y exteriores. Por lo tanto, se utilizan las propiedades para una viga
típica interior.
Ancho de ala efectivo (b) para vigas interiores será el menor de: [LRFD Art. 4.6.2.6.1]
1/4(Long tramo) b = 1/4 (2000) = 500 cm
12ts más el semiancho del ala superior de la viga
b=(12∙20)+(50.80)=290.80 cm
Espaciamiento promedio entre las vigas b=(2.53∙100)=253 cm
Por lo tanto, el ancho de ala efectivo es b=253 cm para las vigas interiores.
Se debe tener en cuenta que la viga transversal en un puente curvo no es una viga
ordinaria o común esta se extiende entre las vigas principales a (6.60m en este caso). Estas
transfieren su carga hasta el final a través del puente desde el interior a las vigas exteriores.
Relación de módulos entre los materiales de la losa y de la viga
η=Ecs
Ec=
23168.34
30752.91=0.775
Base equivalente de la losa be=η∙b
be=(0.753)(220)=195.97 cm
Área equivalente de la losa Ae=be∙he
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
157
Ae=(195.97)(20)=3919.46 cm2
Un espesor mínimo de anca en el medio es considerado en las propiedades estructurales
de la sección compuesta. El peralte hará que el espesor medio del anca sea mayor que 1/2".
El peso extra será contabilizado, pero el grosor adicional causado por el peralte se
despreciará en el cálculo de propiedades de la sección de material compuesto. Además, el
ancho del anca debe ser transformado.
Ancho de anca transformado = (0.775) (50.80)=39.35 cm
Área de anca transformada = (39.35) (1.27)=49.97 cm2
A continuación se muestran las propiedades de la sección compuesta.
Ac= área total de la sección compuesta =9059.75 cm2
hc= profundidad total de la sección compuesta = 158.43 cm
Ixc= momento de inercia de la sección compuesta =27282273.61 cm4
ybc= distancia desde el centroide de la sección compuesta a la fibra inferior
de la viga = 100.27 cm
ytg= distancia desde el centroide de la sección compuesta a la fibra superior
de la viga = 36.89 cm
ytc= distancia desde el centroide de la sección compuesta a la fibra extrema de la parte
superior de la losa = 58.16 cm
Wbc= módulo de la sección compuesta de la fibra inferior de la viga= 272080.80 cm3
Wtg= módulo de la sección compuesta de la fibra superior de la viga =739611.32 cm3
Wtc= módulo de la sección compuesta para la fibra extrema superior de la losa
de tablero = 469111.67 cm
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
158
Iyc = momento de inercia de sección compuesta para flexión lateral de viga
= 12610481.25 cm4
Para el cálculo de Jc, la constante de torsión para la sección compuesta se necesita calcular
el área Ac y el momento de inercia polar Ipc y sustituir los valores en la ecuación.
C4.6.2.2.1-2 en las Especificaciones LRFD. El área Ac es 9059.75 cm2 y Ipc es
39892754.87 cm4. Esto resulta en un valor de Jc igual a 4221919.59 cm
4
7.6. ANALISIS ESTRUCTURAL POR MÉTODO SIMPLIFICADO
7.6.1. Análisis de cargas
Cargas muertas
Peso de vigas BPR y diafragmas:
Vigas = (4) (20 m) (12.22KN/m) = 977.34 KN
Diafragmas = (4) (7.58 m) (4.32 KN/m) = 131.16 KN
Peso total de vigas y diafragmas = 977.34 + 131.16 = 𝟏𝟏𝟎𝟖. 𝟓𝟎 KN
Peso del tablero y anca:
Superficie total tablero = (20 m) (9.30 m) = 186.00 m2
Espesor real = 20.00 cm.
Peso del tablero = (0.20 m) (186 m2) (24 KN/m3) = 892.80 KN
Para un espesor mínimo de 0,5 in del anca, el peralte de 0,07 hará que el espesor medio
del anca sea 1.27 + 0.07 (50.80) = 4.826, es decir 4.83 cm.
El peso de anca es 24 KN/m3 (0.0483m) (0.508 m) = 0.588 KN/m
Peso Anca = (4) (20 m) (0.588 KN/m) = 47.04 KN
Peso de la losa, incluyendo anca = 892.8 + 47.04 = 𝟗𝟑𝟗. 𝟖𝟒 𝐊𝐍
Peso barreras y acera:
Peso lineal de las barreras y acera es de 0.57 KN/m
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
159
Peso barreras = (2)(20m)(0.57 KN/m) = 22.8 KN
Peso de la acera = (2)(20m)(3.6 KN/m2)(0.6 m) = 86.40 KN
Peso capa rodadura:
Peso capa de rodadura = (22.5 KN/m3)(0.05 m) (20m) (8.10 m) = 182.25 KN
Peso barreras + acera + capa rodadura = 22.80 + 86.40 + 182.25 = 𝟐𝟗𝟏. 𝟒𝟓 𝐊𝐍
CARGA MUERTA TOTAL = 𝟏𝟏𝟎𝟖. 𝟓𝟎 + 𝟗𝟑𝟗. 𝟑𝟒 + 𝟐𝟗𝟏. 𝟒𝟓 = 𝟏𝟕𝟗𝟑. 𝟐𝟗 𝐊𝐍
Cargas vivas
La carga viva vehicular es designada como HL-93 que consiste en una combinación de
[LRFD Art. 3.6.1.2.1]:
1. Diseño camión o diseño tándem con asignación dinámica.
• El camión de diseño es el mismo que el camión de diseño HS20 especificado por las
Especificaciones. [Art LFRD. 3.6.1.2.2]
• El tándem diseño consiste en un par de ejes de 110.0 KN espaciadas a 1.2 m de
distancia. [Art LFRD. 3.6.1.2.3]
2. Diseño de carga carril de 9.3 KN/m sin asignación dinámica. [LRFD Art. 3.6.1.2.4]
IM = 33% [LFRD Tabla 3.6.2.1-1]
donde IM = incremento por carga dinámica aplicada al diseño de camiones o el diseño
único tándem.
El número de carriles de diseño se calcula como:
Número de carriles de diseño = la parte entera de la relación de B/3.60, donde B es el ancho
de la calzada en metros, entre los bordillos: [LRFD Arte. 3.6.1.1.1]
B = 8.10 m
Número de diseño de carriles = entero de parte de (8.10/3.6) = 2 carriles.
Factor de presencia múltiple m: [Tabla LRFD 3.6.1.1.2-1]
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
160
Para 2 carriles, m = 1.00
Las cargas de carril obtenidos del análisis refinado se multiplicarán por 1.
La carga de carril se coloca sobre un ancho de 10 pies (3m), en el diseño de carril de 12
pies (3.6m). [Art LRFD. 3.6.1.3.1]
Para maximizar el efecto de la carga viva, la anchura de 10 pies cargado se desplaza a la
izquierda dentro de cada carril de diseño. Esto hace que el carril de carga tenga una
excentricidad de 1 m con respecto a la línea central del carril, y las cuatro cargas del carril
también presenten una excentricidad de 1 m con respecto a la línea central del puente.
La carga de carril total para los dos carriles de diseño es:
(2) (20 m) (9.3 KN/m) (1.00) = 𝟑𝟕𝟐 𝐊𝐍.
El factor de 1.00 fue descrito anteriormente.
El peso total del camión diseño es 35 + 145 + 145 = 𝟑𝟐𝟓 𝐊𝐍
Incluyendo el 33% por impacto 1.33 x 325 = 𝟒𝟑𝟐. 𝟐𝟓 𝐊𝐍
Tenga en cuenta que debido a que esto es un diseño preliminar de los principales miembros
de una longitud de 20 m, la carga tándem no necesita ser considerada en este momento.
CARGA VIVA TOTAL = 𝟑𝟕𝟐. 𝟎𝟎 + 𝟒𝟑𝟐. 𝟓 = 𝟖𝟎𝟒. 𝟐𝟓 𝐊𝐍
Fuerza Centrifuga
La velocidad de diseño según tabla 4-2 es de 50 km/hr. El coeficiente de fuerza centrífuga
está dado por la ecuación 6.7:
C= (4
3)
v2
g∙R
Dónde:
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
161
C = coeficiente para calcular la fuerza centrífuga.
v = velocidad de diseño, m/seg.
g = aceleración gravitacional, 9.807 m/seg2.
R = radio de curvatura del carril de tráfico, m
La velocidad de diseño es de 50 Km/h = 13.89 m/s
C= (4
3)
13.892
9.807∙100= 0.2623
Esto se aplica solamente a las cargas por eje del camión, sin el incremento por carga
dinámica, y con el factor, m. La fuerza centrífuga de dos camiones es de:
2 (325 KN) (0.2623) (1.00) = 𝟏𝟕𝟎. 𝟒𝟕 𝐊𝐍
7.6.2. Factores de corrección por curvatura
Los momentos de flexión en la viga exterior en el exterior de la curva serán mayores
que en un puente recto por tres razones:
1. La longitud de tramo adicional en el exterior de la curva.
2. El centro de gravedad de la línea central curvada se encuentra fuera de una línea a
través del eje de los soportes.
3. El centro de gravedad de un área de carga se desplaza más hacia fuera porque no
hay más área fuera de la línea central.
La viga exterior está en un radio de 103.30 m. Esto aumenta la longitud del tramo por
un factor de 103.30/ 100 = 1.033.
El centro de gravedad (en planta) del arco central está desplazado de una línea a través
del centro de los apoyos en una cantidad igual a 2/3 del desplazamiento de la cuerda = (2/3)
(0.50 m) = 0.33m. La excentricidad adicional causado por el área adicional fuera de la línea
central es igual a 2∙B/12∙R = 2(8.85 m)/(12)(100) = 0.015 m, como se muestra en la Figura
7.4. Para la simplificación inicial de que toda la carga muerta es un área de carga, la
excentricidad de la carga muerta es 0.345 m.
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
162
Figura 7. 25: Centro de Gravedad de la curva
El siguiente paso es encontrar cuánto se aumenta la carga sobre la viga exterior por su
excentricidad. El procedimiento es análogo al que se describe en el Comentario LRFD [Art.
C4.6.2.2.2d] (ver Figura 7.5). Teniendo cuatro áreas unitarias con una de separación de
2.20 m, el momento de inercia es 242000 cm4 y el módulo de sección es de 733.33 cm
3.
Para una carga arbitraria de 1 KN por viga, o 4 KN, a 0.3045m de excentricidad,
P/A + Pe/W=1+ 4(30.45)/733.33 = 1.1661. Este es el aumento de la carga sobre la
viga exterior fuera causado por la excentricidad de la carga. El factor de corrección total de
momento de flexión debido a la carga muerta es: (1,033) (1.1661) = 1.2046
Para la carga de carril, el requisito LRFD indica que la carga fuera del centro del carril
añade 3000mm a la excentricidad. Ver Figura 7.6. Para una carga de 4KN a 0.65m de
excentricidad, la carga sobre la viga exterior es 1+4(65)/733.33 = 1.3545. El factor de
corrección total de pista de carga es (1,033) (1.3545) = 1.3992
Figura 7. 26: Propiedades del grupo de apoyos viga
A=4 cm2
I=Σ[(Área Unitaria)(y2)]
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
163
I=242000 cm4
W=I/ymax
W=733.33 cm3
Figura 7. 27: Excentricidad carril cargado
Para la carga de camiones, LRFD artículo 3.6.1.3.1 específica que el centro de la carga
de la rueda se coloca a 600mm de la acera. Esto hace que el centro del vehículo se
encuentre a 1500mm desde la acera (también el borde del carril), de modo que la
excentricidad de la línea central del carril es de 300mm. Los camiones están en el centro
del puente, que tiene una excentricidad de 900mm con respecto al eje de los soportes. Por
lo tanto, la carga de camiones vertical tiene una excentricidad de 1200mm como se muestra
en la Figura 7.7
Los efectos de la fuerza centrífuga también deben tenerse en cuenta. La fuerza
centrífuga total de 170.47 KN actúa a una altura de 1800 mm [LRFD Art. 3.6.3]. La carga
de camiones vertical es 864.50 KN.
Figura 7. 28: Excentricidad de camiones de carga
La fuerza horizontal que actúa en 1800mm aumenta la excentricidad de la carga vertical
por (170.47/864.50) (1.8m) = 0.355 m. La excentricidad total de la carga de camiones
vertical es 1.56 m, y la corrección es 1 + 4 (156) / 733.33 = 1,8509, como se muestra en la
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
164
Figura 7.7. El factor de corrección total, debido a la fuerza centrífuga y la carga de
camiones es (1,033) (1.8509) = 1.912.
7.6.3. Factor de distribución para viga interior
Para determinar los momentos en una viga interior determinamos:
Kg = n(I + Aeg2) (7. 18)
donde I es la inercia de la viga, A es el área de la viga, n es la relación modular Eviga/Etablero,
eg es la distancia entre el centro de gravedad de la viga y el tablero
Kg = 1.291 ∙ (108528434340 + 509031,24 ∙ 856,12)
Kg = 6,217x1011
DFM = 0.06 + (S
4300)
0.4
∙ (S
L)
0.3
∙ (Kg
L ts3)
0.1
(1 carril de diseño cargado) (7. 19)
DFM = 0.075 + (S
2900)
0.6
∙ (S
L)
0.2
∙ (Kg
L ts3)
0.1
(2 carril de diseño cargado) (7. 20)
DFM = 0.56 (1 carril)
DFM = 0.63 (2 carril)
Luego procedemos a calcular los momentos máximos de acuerdo a las cargas lineales
ya obtenidas.
qDCviga = 12.22 KN/m
qDClosa = 12.29 KN/m
qDCbarandas = 3.00 KN/m
qDW = 2.78 KN/m
Mi =q ∙ L2
8
P = 10.93 KN (Diafragmas)
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
165
MDCdiaf =P ∙ L
4=
10.93 ∙ 20
4= 54.65 KN − m
MDClosa =12.29 ∙ 202
8= 614.94 KN − m
MDCviga =12.22 ∙ 202
8= 610.84 KN − m
MDCbarandas =3.00 ∙ 202
8= 150.00 KN − m
MDW =2.78 ∙ 202
8= 139.15 KN − m
Para la carga vivía determinamos los momentos de [Anexo 3]
MLL+IM = 2170.90 KN − m
Carga de carril = 9,30 KN/m
Mcarril = 465.00 KN − m
MLL+IM = 1705.90 KN − m
7.6.4. Momentos de flexión en vigas interior y exterior
Los momentos de flexión en la viga exterior en la parte exterior de la curva ahora
pueden ser estimados. Para todas las cargas, el momento de flexión se puede estimar para
una viga recta de 20m multiplicado está por sus factores de corrección. Para todas las
cargas excepto las cargas de camiones, el momento de flexión de la viga recta de 20m es
WL/8 dividido por cuatro vigas en el puente. Para la carga de camiones, el momento de
flexión se escala de la de un camión estándar en una envergadura recta de 20m. La Tabla
7-1 es un resumen de los momentos tanto para la viga exterior e interior. Comparando
estas estimaciones a los valores en la columna de la derecha tomado de la tabla 7.1, puede
verse que los momentos de carga muertas se incrementan sustancialmente, en comparación
con la viga interior de un puente recto.
Sin embargo, las cargas vivas se redujeron considerablemente, debido al factor, m
[LRFD art. 3.6.1.1.2], que no se utiliza en el método de distribución aproximada. También
debe tenerse en cuenta que la viga curva es casi 20% más pesado que la viga recta.
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
166
Peso
Total W
[KN]
Momentos
de Vigas
Recta de 20
m
[KN-m]
Factor de
Corrección
Momento
viga en
Curva
[KN-m]
Puente
Recto,
Viga
Interior,
[KN-m]*
Vigas y
Diafragmas 1108.50 692.809 1.2046 834.539 416.60
Losa y Anca 939.84 587.400 1.2046 707.566 384.96 Barreras 240.00 150.000 1.2046 180.686 93.90 Superficie de
desgaste 182.25 113.906 1.2046 137.208 87.11
Carga de camión,
e impacto 864.50 540.313 1.9120 1033.072 1358.99
Carril Cargando 372.00 232.500 1.3992 325.325 291.09 Total 2004.61
Tabla 7- 3: Momentos estimados
7.6.5. Verificación de la sección
El siguiente paso es verificar que la sección de la viga elegida es adecuada. Se supone
que la tensión de la fibra inferior deberá ser compensada con el postensado, el cual tendrá
que ser menor que 0.6 f`ci.
CARGAS Momento
Flexionantes
[KN-m]
Sb, Sbc
(cm3)
Esfuerzo en
la fibra
inferior
[MPa]
1. Peso propio de Vigas y Diafragmas 834.539 172750.08 4.831
2. Losa y Anca 707.566 172750.08 4.096
3. Carga Muerta superpuesta 317.894 272080.80 1.168
4. Carga Viva (0.8) 1086.717 272080.80 3.994
5. Suma de 1+ 2 + 3 + 4 14.09
El esfuerzo admisible en la
transferencia de postensado = (0.60)
f `c = (0,6) (35) [LRFD Art. 5.9.4.1.1] 21.00
Tabla 7- 4: Estimación del preesfuerzo fibra inferior
La Tabla 7-2 muestra la resistencia en la fibra inferior causado por el peso de las vigas,
diafragmas, tablero, carga muerta superpuesta y la carga viva. Para el servicio de controles
de tensión a la tracción de carga, la carga viva puede ser tomado como un 80 por ciento de
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
167
la carga viva total [LRFD Arte. 3.4.1, limitar Servicio del Estado III]. La resistencia en la
fibra inferior para estas cargas aplicadas a las vigas y diafragmas de la Tabla 7-2 es 14.09
MPa. Este esfuerzo temporal permitido después del postensado es de 21.00 MPa. Por lo
tanto, porque no hay suficiente margen entre la tensión real después de las pérdidas y la
tensión admisible antes de las pérdidas, la sección de la viga es la adecuada y el modelo
puede ser construido usando esta viga.
7.7. ANALISIS ESTRUCTURAL POR METODO DE ELEMENTOS FINITOS
7.7.1. Modelos computacionales
Modelo 1
Vigas y diafragmas
El primer modelo no es nada más que un emparrillado de vigas longitudinales y
transversales, las vigas principales son definidas con las propiedades geométricas de la viga
BPR y por lo tanto las transversales como diafragmas de 20x90. La longitud de ejes de cada
viga es de 20 m. esta es definida en el programa CSI Bridge a partir del comando Layout
line, la trayectoria de las vigas son parecidas a la de un polígono inscrito en una
circunferencia esto por el tema de que el puente es curvo, la separación de las vigas es de
2.20 m. la cual puede ser definida en la ventana Deck section del programa, para mayor
referencia de ingreso de datos al programa se puede consultar (Anexo 3).
Figura 7. 29: Modelo 1 emparrillado de vigas
Los apoyos son paralelos entre sí, esto hace que la longitud de las vigas sea la misma
tanto en el interior como en el exterior del puente. Los diafragmas son dispuestos tanto al
inicio como al final del puente como en el intermedio de los tramos.
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
168
Este primer modelo tiene como por objeto determinar los momentos de peso propio
tanto de las vigas como del diafragma.
Momentos flectores máximos (KN-m)
Cargas Viga Viga Viga Viga
Exterior 1 Interior 2 Interior 3 Exterior 4
Peso propio viga 516.68 650.87 657.19 526.68
Peso propio diafragmas 57.55 73.32 74.37 60.26
Cortantes máximos (KN)
Peso propio viga 104.83 154.89 149.09 108.98
Peso propio diafragmas 32.83 28.81 28.73 31.57
Tabla 7- 5: Cortantes y momentos modelo1
Modelo 2
Losa
Este modelo es una losa dibujada con elemento shell siguiendo la trayectoria curva de
radio exterior igual a 140.42m. e interior de 95.58m como se muestra en la figura 7.9. Los
elemento shell son rectangulares de aproximadamente de 0.50 por 0.50 m, salvo en las
esquina donde tienen dimensiones variadas.
Tabla 7- 6: Modelo 2 losa curva por MEF
El espesor del anca es introducido en el programa con la opción Slab Thickness. Las
losas son cargadas uniformemente por una carga de losa de 4.80 KN/m2 se deberá tomar en
cuenta que los elemento shell solo nos servirá para distribuir las cargas, es por eso que el
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
169
programa no debe tomar el peso propio de los elementos. Este modelo nos permite
encontrar los momentos máximos debido al peso propio de la losa circular y el peso del
anca de apoyo entre la losa y las vigas BPR.
Momentos flectores máximos (KN-m)
Cargas Viga Viga Viga Viga
Exterior 1 Interior 2 Interior 3 Exterior 4
Peso propio losa 480.14 548.66 549.66 473.44
Cortantes máximos (KN)
Peso propio losa 126.93 124.40 118.73 99.39
Tabla 7- 7: Cortantes y momentos modelo2
Modelo 3
Barreras y capa de rodadura
Para este modelo las barreras se tomaron como fuerzas puntuales en los “joints”, de
modo que la carga lineal de 6 KN/m fue distribuida en todos los puntos exterior e interiores
de la losa curva. Es decir a cada “joints” se le aplicó una carga igual a la multiplicación de
(6KN/m) (1m) ya que este último es la separación aproximada entre “joints” a “joints”.
Figura 7. 30: Carga en joints modelo 3
Para la carga de la capa de rodadura se le cargo a los elementos Shell una carga
distribuida igual al peso específico del asfalto multiplicada por el espesor de la losa, es
decir (22.5KN/m3)x(0,2m) = 4.5 KN/m
2 aplicado a cada “shell” que comprende la calzada.
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
170
Este modelo nos permite determinar los momentos máximos producidos por la acción de la
capa de rodadura y el peso de las barreras.
Momentos flectores máximos (KN-m)
Cargas Viga Viga Viga Viga
Exterior 1 Interior 2 Interior 3 Exterior 4
Barandas Tipo Jersey 152.65 150.89 149.35 147.79
Capa de rodadura 110.36 128.85 129.86 112.00
Cortantes máximos (KN)
Barandas Tipo Jersey 55.21 25.24 23.02 40.57
Capa de rodadura 25.30 28.27 27.67 25.40
Tabla 7- 8: Cortantes y momentos modelo3
Modelo 4
Carga de carril y carga de camión
Como se señaló en la Sección 7.5.3 [LRFD Artículo 3.6.1.3] especifica la carga carril de
diseño se aplica en un ancho de 3000 mm. Dentro del ancho de diseño carril (de 3600 mm.,
en este caso). Esto hace que la resultante de las cargas de carril se desplace 300mm. Hacia
el exterior de la curva. La parte superior de la Figura 7.30 muestra la ubicación especificada
de las cargas de carril en una sección transversal a través del puente. La parte inferior de la
Figura 12.9.8.5-1 muestra las cargas reales aplicadas al modelo. Las cargas se eligen de
modo que los elementos de cubierta se pueden cargar de manera uniforme y la carga total
tendría la ubicación correcta de la carga resultante.
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
171
Figura 7. 31: Carril cargado
El camión de diseño se muestra en la Figura 7.31, que es la figura. 3.6.1.2.2-1 de la
Especificaciones LRFD. Para el máximo momento positivo, espaciando el eje trasero
mínimo 4300mm. El momento de flexión máxima se produce con la carga del eje medio
colocado a 0.71 m desde el centro de la luz. Las principales cargas de las ruedas del eje son
145 KN cada una, más una asignación dinámica de un 33 por ciento
Figura 7. 32: Características del camión de diseño
Modelo 5
Fuerza centrifuga
Para la velocidad de diseño de 50 km/hr o 13.89 m/seg, el coeficiente de la fuerza
centrífuga es del 0.2623 el cual es multiplicado por el peso del camión (sin asignación
dinámica), esta fuerza actúa a 1800 mm por encima de la calzada.
El momento de vuelco por eje principal es la multiplicación del factor C igual a
(0.2623) por el peso de la rueda trasera (72.50 KN) y el brazo de (1800mm.), que es igual a
34.23 KN-m, para las ruedas delanteras el peso de la rueda del camino es de 17.50 KN el
cual produce un momento de vuelco igual a 8.26 KN-m.
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
172
Figura 7. 33: Momento producido por fuerza centrifuga
Los momentos son colocados de manera radial como se muestra en la figura 7.13, los
cuales fueron colocados en los lugares donde producirán los máximos momentos torsores
hacia las vigas principales.
C= (4
3)
v2
g∙R
C= (4
3)
13.892
9.807∙100= 0.2623
F1=F2=17.5 (0.2623)=4.59 KN
F3=F4=17.5 (0.2623)=19.02 KN
F5=F6=17.5 (0.2623)=19.02 KN
M1=M2=9.92 KN-m
M3=M4=M5=M6=41.08 KN-m
Momentos flectores máximos (KN-m)
Cargas Viga Viga Viga Viga
Exterior 1 Interior 2 Interior 3 Exterior 4
Carga viva + impacto 1147.50 1147.99 1148.43 1142.68
Fuerza centrifuga 24.20 19.65 20.48 25.36
Cortantes máximos (KN)
Carga viva + impacto 320.61 292.98 292.11 345.09
Fuerza centrifuga 4.44 3.20 3.20 5.19
Tabla 7- 9: Cortantes y momento modelo 4 y 5
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
173
7.8. FACTORES Y COMBINACIONES DE CARGA
La solicitación mayorada Q se toma como:
Q = ∑ ηi ∙ γi ∙ Qi (7. 21)
Donde ηi es el modificador de carga y γi es el factor de carga.
7.8.1. Modificadores de carga
Modificador Resistencia Servicio
Ductilidad ηD 0.95 1
Resistencia ηR 0.95 1
Importancia ηI 1.05 1
ηD ∙ ηR ∙ ηI 0.95 1
7.8.2. Combinaciones de carga y factores de carga
Estado Limite Combinación
Resistencia I 1.25 DC+1.75 DW + 1.75 IM + 1.75 LL + 1.75 CE+0.9 PR
Servicio I 1.00 DC+1.00 DW + 1.00 IM + 1.00 LL + 1.00 CE
Fatiga
7.9. PREEESFUERZO
7.9.1. Preesfuerzo inicial
El preesfuerzo es la fuerza de tesado que resistirá las cargas y combinaciones de cargas
en la etapa de servicio del puente, para el cálculo del preesfuerzo inicial se tiene que:
e= yb-0.1∙h
e=0.6282-0.1∙1.372
e=0.491 m.
fcb= Po
A+
Po*e
Wb-
MDCviga
Wb-
MDCdiaf
Wb´-
MDClosa
Wb´-
MDCbar.
Wb´-
MDW
Wb´-
MLL+IM
Wb´-
MCE
Wb´=0
Po
0.509+
Po*0.491
0,173-
657.19
0,173-
73.32
0.272-
549.66
0.272-
152.65
0.272-
125.86
0.272-
1148.43
0.272-
25.36
0.272=0
Po=2432.34 KN
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
174
El área de torones requerido para soportar las cargas esta se obtienen
fs=0.6∙fpu
fs=0.6∙(1860)=1116.00 MPa
As torones=Po
fs=
2432340
1116.00=2179.52 mm2
N°torones=As
Au
N°torones=2179.52
98.7=22.08→23
ASR=N°torones∙Au=23∙98.7=2270.10 mm2
7.9.2. Preesfuerzo en modelo estructural
Para el modelo computacional de preesfuerzo se comenzó el cálculo con la
excentricidad calculada anteriormente en el apartado 1.5.3. Las coordenadas de ingreso en
el programa CSI Bridge parte desde la fibra superior, la ecuación de la parábola de ingreso
viene definida por las dos coordenadas extremas de los apoyos y la coordenada del centro
de la parábola que coincide con el centro de la viga.
El cálculo de las coordenadas extremas y central se determina como:
y`1=hc-yb=157.16-62.82=94.34 cm
Para el cálculo de la altura en el centro de la viga tenemos:
∑ MEN =As1y1+As2y2=eASR
donde: As1=As2=10.857 cm2
y teniendo la separación entre y1 y y2 de 7.3 cm. determinado del diámetro de la vaina.
a= yb-y1
b= yb-y2
a=10.07 cm
b=17.37 cm
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
175
y`2=hc-a+b
2=157.16-
10.07+17.37
2=143.44 cm
Obtenidas las alturas se introduce al programa las coordenadas (0.00; -93.43), (10.00; -143.44) y
(20.00; -93.43).
Figura 7. 34: Cables de postensado en modelo computacional
7.10. VERIFICACION A TORSION
7.10.1. Torsión en vigas
Momentos torsores máximos (KN-m)
Cargas Viga Viga Viga Viga
Exterior 1 Interior 2 Interior 3 Exterior 4
Viga 19.70 17.53 15.55 13.61
Diafragma 13.55 10.62 9.21 13.31
Losa 17.47 8.71 8.70 13.86
Rodadura 2.75 1.67 1.63 3.54
Barandas 31.36 4.86 4.97 22.79
Viva 118.49 98.44 107.63 139.52
Centrifuga 4.10 2.32 2.68 4.13
Preesfuerzo -41.44 -21.71 -16.25 -40.94
Tabla 7- 10: Momentos torsores en vigas
De acuerdo a [LRFD Art. 5.8.2.1.] se tiene la resistencia mayorada Tr = ∅Tn, donde Tn
es la resistencia nominal a la torsión, la misma deberá ser investigada solo cuando la
relación Tu > 0.25 ∙ ∅ ∙ Tcr realizando la verificación se tiene:
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
176
Tu = η[1.25(TPP + TLH + TDC) + 0.9(TES) + 1.5(TDW) + 1.75(TLL+IM + TCE) − 0.9(Tp)]
Tu = 0.95[1.25(40.78) + 0.90(22.79) + 1.5(3.54) + 1.75(139.52 + 4.13) − 0.9(40.94)]
𝐓𝐮 = 𝟐𝟕𝟔. 𝟕𝟕 𝐊𝐍 − 𝐦
∅=0.9 (Factor de resistencia a torsión)
Tcr = 0.328 ∙ √f`c ∙Acp
2
pc∙ √1 +
fpc
0.328 ∙ √f`c
(7. 22)
donde Tcr es el momento de fisuración por torsión, Acp es el área total encerrada por el
perímetro exterior de la sección transversal del hormigón, pc es la longitud del perímetro
exterior de la sección y fpc es la tensión de compresión después de las perdidas.
fpc =Po
Acp=
2432.34 ∙ 1000
905975= 2.68 MPa
Tcr = 0.328 ∙ √35 ∙9059752
7530.7∙ √1 +
2.68
0.328 ∙ √35
Tcr = 326.36 KN − m
Verificamos:
Tu > 0.25 ∙ ∅ ∙ Tcr
276.77 > 0.25 ∙ 0.90 ∙ 326.36
276.77 > 73.43 Diseñar a torsión.
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
177
7.11. DISEÑO A CORTE Y TORSION
7.11.1. Diseño a torsión
Para diseñar corte y torsión es necesario determinar β y θ, donde β es el factor que indica
la capacidad del hormigón fisurado diagonalmente de trasmitir tracción y θ es el ángulo de
inclinación de las tensiones de compresión diagonal.
La determinación de estos valores se lo realiza siguiendo un procedimiento general de
cálculo iterativo en los que se adopta el valor de θ y se lo va refinando mediante un proceso
iterativo, donde se determina εs que es la mayor deformación especifica longitudinal y el
coeficiente Vu/f´c.
Para nuestro diseño se toma la ecuación [LRFD Ec.5.8.3.4.2-1] para secciones sin armadura
transversal ya que esperamos que los torones contrarresten todas las cargas a flexión.
εx =
((Mu
dv+ 0.5 Nu + 0.50(Vu + Vp)) cot θ − Apsfpo)
2(EsAs + EpAps)< 0.001 (7. 23)
θ = 40° (Asumido)
dv = 1383.6 mm
Figura 7. 35: Deformaciones y esfuerzos longitudinales seccion compuesta
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
178
Mu = η[1.25(MPP + MLH + MDC) + 0.9(MES) + 1.5(MDW) + 1.75(MLL+IM + MCE)]
Mu = 0.95[1.25(1281.22) + 0.90(149.35) + 1.5(129.86) + 1.75(1148.43 + 20.48)]
𝐌𝐮 = 𝟑𝟕𝟏𝟔. 𝟔𝟓 𝐊𝐍 − 𝐦 = 𝟑. 𝟕𝟐𝐱𝟏𝟎𝟗 𝐍 − 𝐦𝐦
Vu = η[1.25(VPP + VLH + VDC) + 0.9(VES) + 1.5(VDW) + 1.75(VLL+IM + VCE)]
Vu = 0.95[1.25(239.94) + 0.90(40.57) + 1.5(25.40) + 1.75(345.09 + 5.19)]
𝐕𝐮 = 𝟗𝟑𝟖. 𝟏𝟓 𝐊𝐍 = 𝟗. 𝟑𝟖𝐱𝟏𝟎𝟓𝐍
𝐓𝐮 = 𝟐𝟕𝟔. 𝟕𝟕 𝐊𝐍 − 𝐦 = 𝟐. 𝟕𝟕𝐱𝟏𝟎𝟖 𝐍 − 𝐦𝐦
Nu = 0
Vp = Po ∙ sin α = 2432.34 ∙ sin (5.6269) = 238.49 KN = 2.385x105 N
Aps = 21.71 cm2 = 2171 mm2
fpo = 0.7 fpu = 0.7(1860) = 1302 MPa
Es = 200000 MPa
As = 0
Ep = 197000 MPa
Remplazando en la ecuación tenemos que:
εs =
((3.72x109
1383.6 + 0.5(0) + 0.50(9.38x105 + 2.385x105)) cot 40 − 2171 ∙ 1302)
2(197000 ∙ (0) + 200000(2171))< 0.001
εs = 0.000618 el cual es menor que 0.001 que es el valor límite para este valor.
Con este valor determinamos β y θ con las siguientes ecuaciones:
β= 4.8
(1+750∙εs) (7. 24)
θ=29+3500∙εs (7. 25)
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
179
β= 4.8
(1+750∙0.000618)=3.28
θ=29+3500∙0.000618=31.16º
Con estos valores recalculamos εs:
εs=
((3.72x109
1383.6+0.5(0)+0.50(9.38x105+2.385x105)) cot (31.16) -2171∙1302)
2(197000∙(0)+200000(2171))
εs=0.00086
β= 4.8
(1+750∙0.00086)=2.92
θ=29+3500∙0.00086=32.01º
Corte y torsión combinados
Para realizar el cálculo de corte y torsión combinados se realiza una corrección de los
valores β y θ de acuerdo a las especificaciones de [LRFD Art.5.8.3.6]
Vu=√Vu2+ (
0.9∙ph∙Tu
2∙Ao)
2
(7. 26)
donde ph es el perímetro del eje de la armadura transversal de torsión cerrada, Ao es el área
encerrada por el recorrido del flujo de corte, incluyendo el área de cualquier abertura que
hubiera.
ph≈(dv-2∙rec)∙2+(bv-2∙rec)∙2
ph≈(138.36-2∙2.5)∙2+(20-2∙2.5)∙2=296.72 cm
Aoh≅(dv-2.rec)(bv-2∙rec)
Aoh≅133.36∙15=2000.4 cm2
Ao=0.85∙Aoh=0.85∙2000.4=1700.34 cm2
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
180
Remplazando los valores en las ecuaciones tenemos que:
Vu = √(9.38x105)2 + (0.9 ∙ 2967.2 ∙ (2.77x108)
2 ∙ 170034)
2
= 2073.26 KN
εs=
(3.72x109
1383.6 +0.5(0)+0.50(20.73x105+2.385x105)) cot 32.01 -2171∙1302
2(197000∙(0)+200000(2171))<0.001
εs=0.00187>0.001
∴ εs=0.001
β= 4.8
(1+750∙0.001)=2.74
θ=29+3500∙0.001=32.5º
Resistencia nominal a torsión
De acuerdo a [LRFD Art. 5.8.3.6.2] la resistencia nominal está definida por:
Tn=2∙Ao∙At∙fy∙ cot θ
s
(7. 27)
donde At es el área de una rama de la armadura transversal de torsión cerrada, que es
similar a Av de la resistencia a corte.
At
s=
Tu
2∙∅∙Ao∙fy∙ cot θ=
2.77x108
2∙0.9∙170034∙420∙ cot 32.5
At
s=1.3728 mm2/mm
Para At = 157 mm2 (barras ∅10) entonces
∴ 𝑠 = 114 mm = 11.4 cm
Utilizar estribos ∅10c/11 cm
Verificando la condiciones de resistencia Tu ≤ ∅Tn
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
181
Tn =2 ∙ 200040 ∙ 157 ∙ 420 ∙ cot 32.5
110
2.77x108 ≤ 0.9(3.76x108)
2.77x108 ≤ 3.39x108 (Resiste a torsión)
7.11.2. Verificación a corte
Sección critica
Sc = 0.5 ∙ dv ∙ cot θ (7. 28)
Sc = 0.5 ∙ 1383.6 ∙ Cot (32.5)
Sc = 1085.91 mm
x
L= 0.0543
Vc = 0.083 ∙ β ∙ √f´c ∙ bv ∙ dv (7. 29)
Vc=0.083(2.74)√35(200)(1383.6)=372308.74 N
Vc=372.31 KN
Vu<0.5∙∅∙(Vc+Vp)
938.15<0.5∙0.9∙(372.31+222.31)
938.15 < 267.58 (Necesita refuerzo por corte)
Utilizando estribos ∅10c/11 cm tenemos que:
Vs =Av
s∙ fy ∙ dv ∙ cot θ (7. 30)
Vs=157
110∙420∙1383.6∙ cot 32.5 =13011905.55 N
Vs=1301.91 KN
Vu≤∅Vn
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
182
Vu≤∅(Vs+Vc+Vp)
938.15≤0.9(1301.91+372.31+222.31)
938.15 ≤ 1706.88 Cumple a cortante
Resistencia a corte
νu =Vu − ∅Vp
∅ ∙ dv ∙ bv (7. 31)
νu=9.38x105-0.9∙2.22x105
0.9∙1383.6∙200=2.96 MPa
νu=0.125 ∙f´ c
νu=0.125∙35
νu=4.38 MPa
Separación de estribos
Para νu<0.125 ∙f´ c (2.96<4.38)
smax=0.8∙dv≤60
smax=110.69≤60
∴smax=60
Resistencia nominal de corte
Según LRFD Art. 5.8.3.3 la resistencia al corte se deberá determinar como el menor valor
entre:
Vn=Vc+Vs+Vp
Vn=0.25∙f´c∙bv∙dv+Vp
Para la primera ecuación:
Vn=372.31+1301.91+222.31
Vn=1896.53 KN
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
183
Para la segunda ecuación:
Vn=0.25∙35∙200∙1383.6
1000+222.31
Vn=2641.61 KN
Tomamos verificamos que la ecuación adoptada para el cálculo de la resistencia nominal es
la correcta.
Verificación de armadura longitudinal
As∙fy+Aps∙fps≥Mu
∅dv+
0.5∙Nu
∅+ cot θ√(
Vu
∅-0.5Vs-Vp)
2
+ (0.45∙ph∙Tu
2∙Ao∙∅)
2
(7. 30)
Aps=
3.72x109
1(1383.6)+ cot 32.5√(
9.38x105
0.9-0.5(13.01x105)-2.22x105)
2
+ (0.45∙2967.2∙2.77x108
2∙170034∙0.9)
2
1648.92
Aps=2792.22 mm2=27.92 cm2
∴Usar 6torones más
7.12. PÉRDIDAS Y PREESFUERZO FINAL
7.12.1. Pérdidas del preesfuerzo
Las pérdidas en la fuerza de preesforzado se pueden agrupan en dos categorías: aquellas
que ocurren inmediatamente durante la construcción del miembro y aquellas que ocurren a
través de un extenso periodo de tiempo. La fuerza de preesfuerzo del gato Pf, puede
reducirse inmediatamente debido a las pérdidas por fricción, deslizamiento del anclaje y el
acortamiento elástico del concreto comprimido. A medida que transcurre el tiempo la
fuerza pretensora reduce más gradualmente, primero rápidamente y luego más lentamente
debido a los cambios de longitud provenientes de la contracción, el flujo plástico del
concreto y debido al relajamiento del acero altamente esforzado. Después de unos meses
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
184
estas pérdidas llegan a ser insignificantes y se alcanza una fuerza pretensora casi constante
(Po).
A principios de 1958, el comité Conjunto 423 del ACI-ASCE reconoció la necesidad de
poseer expresiones aproximadas a usarse en la estimación de pérdidas de preesfuerzo en los
casos rutinarios de diseño, en la que recomiendan los siguientes valores:
Para pretensado: 241 MPa.
Para postensado: 172 MPa.
La AASHTO (Ref. 6.6.) recomienda pérdidas totales de preesfuerzo, excluyendo las
pérdidas por fricción, en la cual para f`c = 35 MPa recomienda una perdida aproximada de
227.53 MPa.
Para el cálculo de las perdidas tomamos en cuenta el añadido de 6 torones obtenidos en
la verificación de armadura longitudinal donde se determinó que se necesitan 6 torones que
serán añadidos a los ya obtenidos anteriormente.
Nº torones = 22 + 6 = 28 torones
ASR = N°torones ∙ Au = 28 ∙ 98.7 = 2763.6 mm2
Po = Astorones ∙ 0,6 ∙ fpu = 2763.6 ∙ 0.6 ∙ 1896.68 = 3144998.91 N = 3144.99 KN
Según [LRFD Art. 5.9.5.1] para elementos postensados la ecuación que se debe aplicar es la
siguiente:
∆fpT = ∆fpA + ∆fpF + ∆fpES + (∆fpSR + ∆fpCR + ∆fpR2) (7. 31)
∆fpT = Perdida total (MPa)
∆fpA = Perdida por acuñamiento de anclajes (MPa)
∆fpF = Perdida por fricción (MPa)
∆fpES = Perdida por acortamiento elastico (MPa)
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
185
∆fpSR = Perdida por contracción (MPa)
∆fpCR = Perdida por fluencia lenta del hormigon (MPa)
∆fpR2 = Perdida por relajacion del acero despues de la transferencia (MPa)
7.12.2. Perdidas dependientes del tiempo
El cálculo de las pérdidas dependientes del tiempo puede ser determinado según [LRFD
Art. 5.9.5.3], donde se aplica una estimación aproximada de estas pérdidas debidas a
fluencia lenta, contracción del hormigón y relajación del acero.
∆fpSR + ∆fpCR + ∆fpR2 = 230 [1 − 0,15 ∗f´c − 41
41] + 41PPR (7. 32)
La relación de pretensado parcial (PPR) utilizada en [LRFD Tabla 5.9.5.3-1] se define
como:
PPR = Aps ∙ fpy
Aps ∙ fpy + As ∙ fy (7. 33)
PPR = Relajación de pretensado parcial
As = Area de la armadura de traccion no pretensada (mm2)
Aps = Area de acero de pretensado (mm2)
fy = Tension de fluencia especificada del acero de pretensado (MPa)
Para nuestro proyecto no reforzamos con acero de tracción, con esta consideración tenemos
que PPR = 1, para cables de baja relajación los valores de las perdidas pueden reducirse en
41 MPa en el caso de vigas tipo I de acuerdo a la recomendaciones de LRFD.
∆fpSR + ∆fpCR + ∆fpR2 = 230 [1 − 0,15 ∗35 − 41
41] + 41(1) − 41
∆fpSR + ∆fpCR + ∆fpR2 = 235.05 MPa
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
186
7.12.3. Acortamiento elástico
En los elementos postensados la pérdida por acortamiento elástico se puede tomar
como:
∆fpES =N − 1
2N∙
Ep
Eci∙ fcgp (7. 34)
N = Número de tendones de pretensado idénticos
fcgp = Sumatoria de las tensiones del hormigón en el centro de gravedad de los tendones de
pretensado debidas a la fuerza de pretensado después del tesado y al peso propio del
elemento en las secciones de máximo momento (MPa).
fgcp =Pi
A+
Pi ∗ e2
I−
MPP ∗ e
I
Pi = Po + (∆fpSR + ∆fpCR + ∆fpR2) ∙ As torones
Pi = 3144990 + (235.05) ∙ 2764 = 3794568.97 N
Pi = 3794.57 KN
fgcp =Pi
A+
Pi ∗ e2
I−
MPP ∗ e
I
fgcp =3794568.97
509031+
3794568.97 ∗ 0.4912
108528434340.3−
657.19x107 ∗ 0.491
I108528434340.3= 15.88 Mpa
∆fpES =28 − 1
2(28)∙
197000
29910.20∙ 15.88
∆fpES = 50.43 MPa
7.12.4. Pérdidas por fricción
Para elementos postensados las pérdidas por fricción entre los tendones de pretensado
interno y la pared de la vaina se pueden tomar como:
∆fpF = fpj ∙ (1 − e−(Kx+μα) (7. 35)
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
187
dónde:
fpi = tension en el acero de pretensado en el momento del tesado (MPa)
x = Longitud de un tendón de pretensado desde el extremo del gato de tesado hasta
cualquier punto considerado (mm)
K = Coeficiente de fricción por desviación de la vaina de pretensado (por mm de tendón).
μ = Coeficiente de fricción.
α = Sumatoria de los valores absolutos de la variación angular del trazado del acero de
pretensado entre el extremo del gato de tesado, o entre el extremo del gato de tesado
próximo si el tensado se realiza igualmente en ambos extremos, y el punto investigado
(radianes).
e = Base de los logaritmos neperianos.
Los valores de K y μ se presentan en [LRFD Tabla 5.9.5.2.2B-1]
K = 6.610−7
μ = 0.25
Además tenemos que:
tan α =4 ∙ e
L=
4 ∙ 0.491
20= 0.0982
α = 5.608º
x = 10.0 m.
∆fpF = 1488 ∙ (1 − e−6.61x10−7(10)+0.25(0.0982))
∆fpF = 45.64 MPa.
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
188
7.12.5. Pérdidas por acuñamiento de anclajes
La perdida por acuñamiento de anclajes es provocada por el movimiento del tendon
antes del asiento de las cuñas o el dispositivo de agarre del anclaje, la magnitud del
acuñamiento mínimo depende del sistema de preesfuerzo utilizado. El valor de
acuñamiento de 6mm es a veces el que se asume en el cálculo de los alargamientos, aunque
aun así es un número aproximado. La ecuación de cálculo de esta pérdida es:
∆fpA =2 ∙ Ep ∙ h
x− 2 ∗ ∆fpF (7. 36)
x = √Ep ∙ h ∙ l
∆fpF
(7. 37)
Asumiendo 6 mm de acuñamiento.
x = √197000 ∙ 6 ∙ 20000
45.64= 22758.98 mm
x >l
2
22758.98 > 10000 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
∆fpA =2 ∙ 197000 ∙ 6
22758.98− 2 ∗ 45.64
∆fpA = 12.59 MPa
7.12.6. Pérdida total
Como vimos anteriormente la pérdida total de preesfuerzo viene dado por la suma de
todas las perdidas instantáneas y dependientes del tiempo.
∆fpT = 12.59 + 45.64 + 50.43 + (235.05)
∆fpT = 343.72 MPa
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
189
%∆fpT =∆fpT
Po∙ ASR =
343.72
3144990∙ 2764 ∙ 100 = 30.21 %
7.12.7. Preesfuerzo final
Para el cálculo del preesfuerzo final se suma el porcentaje de pérdidas y se lo multiplica
por el preesfuerzo inicial, el preesfuerzo final se puede definir como la fuerza de tesado de
los torones, con lo cual tenemos que:
Pf = P0(1 + %∆fpT) = 1.302(3144.99) = 4094.78 KN
7.13. VERIFICACION DE TENSIONES
Las verificaciones de esfuerzos son en las fibras extremas a comprensión y a tracción en
el momento que se tesan los cables y en el momento en que alcanzan la reducción total
debido a las pérdidas calculadas.
Para la verificación en la transferencia (compresión +, tensión -) la norma LRFD
especifica que la compresión en el concreto se limita a: 0.60 f´ci= 16.8 MPa, además que la
tensión está limitada a 0.25 √f´ci = 0.25 √0.8(35) = 1.32 MPa.
Para las tensiones en la viga en la etapa de tesado tenemos que:
Fibra superior
fct =Pf
A−
Pf ∗ e
Wt+
MDC viga
Wt≥ −0,79 √f´ci
fct =4.09x106
509000−
4.09x106 ∗ 409
1.46x108+
6.572x108
1.46x108≥ −0,79 √28
fct = −1.23 ≥ −4.18 OK
Fibra inferior
fcb =Pf
A+
Pf ∗ e
Wt−
MDC viga
Wt≤ 0,6 ∙ f´ci
fcb =4.09x106
509000+
4.09x106 ∗ 409
1.46x108−
6.572x108
1.46x108≤ 0.6 ∙ 𝑓´𝑐𝑖
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
190
fcb = 15.88 ≤ 16.8 OK
Para las tensiones en la viga compuesta en la etapa de servicio tenemos que:
Fibra superior de la losa
ft = η MP
W´b
N = 0.775
Mp = Momentos por carga viva + losa + diafragma + barandas + capa de rodadura.
Mp = 2072.15 KN − m
ft =2.07x10x109
2.72x1080.775 ≤ 0.60 (35)
5.90 MPa ≤ 21 MPa Cumple
Fibra inferior de la losa
fb = ηMP
Ix(y´b − ts)
fb = 7.71 Mpa.
Fibra superior de la viga
ft =Po
A−
Poe
Wt+
MDC,viga
Wt+
MP
W´t≤ 0.45 f ´c
ft =3144990
509000−
3144990(409)
1.46x108+
6.57x108
1.46x108+
20.72x108
4.69x108≤ 0.45 (35)
ft = 3.19 MPa ≤ 15.75 Mpa
Fibra inferior de la viga
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
191
fb =Po
A+
Poe
Wb−
Mviga
Wb−
MP
W´b≥ 0 ≥ −1.59 ∙ √f´c
fb =3144990
509000+
3144990(409)
1.46x108−
6.57x108
1.46x108−
20.72x108
4.69x108≥ 1.59 ∙ √35
fb = 8.26 Mpa. ≥ 0 ≥ −9.41 Mpa Cumple
7.14. VERIFICACION ADICIONALES
7.14.1. Verificación a la rotura
Para esta verificación se debe determinar la altura de compresión del hormigón armado a
partir de [LRFD Eq. 5.7.3.1.1-3] o [LRFD Eq. 5.7.3.1.1-4], para nuestro caso tenemos:
c =Apsfpu
0,85β1b + kAps
fpu
dp
(seccion rectangular)
dónde:
β1 = 0,85 − f´c−28
7∙ 0,05 = 0,85 −
35−28
7∙ 0,05 = 0.8 [LRFD Art. 5.7.2.2].
dp = (hviga + ts) − d = 137.16 + 20 − 13.72 ≈ 143.44 cm
b = be = 195.97 cm
k = 2 (1,04 −fpy
fpu) [LRFD Tabla C. 5.7.3.1.1 − 1]
k = 2 (1,04 −1506.6
1674) = 0.28
c =2764(1674)
0,85(0.80)(1959.7) + (0.28)2764 (1674
1434.4)
c=97.3 mm.
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
192
a=c∙β1
a=0.80∙97.3=77.8 mm
fps=fpu (1-kc
dp)
fps=1674 (1-0.28 (97.3
1434.4))
fps=1642.2 MPa
Entonces tenemos que:
∅Mn = ∅ [Apsfps (dp −a
2)]
∅Mn = 1.0 [2764(1642.2) (1434.4 −77.8
2)] = 6.33x109 N − mm
∅Mn = 6334.23 KN − m
La ecuación que se debe verificar es:
Mu ≤ ∅Mn
Mu refiere el momento último en el estado de Resistencia I definido calculado
anteriormente y Mn se refiere a la resistencia nominal exclusivamente del postensado.
Mu = 3716.65 KN − m
3716.65 ≤ 6334.23 Cumple
Por tanto se cumple con la desigualdad, cumpliendo así el estado límite de rotura.
7.14.2. Verificación a la fatiga
Según [LRFD A5.5.3.1], el estado de fatiga se debe considerar si el esfuerzo de compresión
es menos de dos veces la tensión máxima de tracción debido a la sobrecarga resultante de la
combinación correspondiente a fatiga.
Mfatiga = 0.75 (MLL+IM)
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
193
MLL = 1148.43 − 0.33 ∙ 1148.43
MLL = 769.45 KN − m IM = 15% (Para estado límite de fatiga)
Mfatiga = 884.86 KN-m
Tensión en la fibra inferior debido a la carga muerta y el momento de fatiga
fb =Po
A+
Po e
Wb−
MDC,viga
Wb−
MDC,losa
W´b−
MDC,diaf
W´b−
MDC,bar+DW
W´b−
MLL+IM
W´b
fb =3.145x106
5.09x105+
3.145x106 ∙ 491.0
1.73x108−
6.57x108
1.73x108−
5.50x108
2.72x108−
0.74x108
2.72x108−
2.79x108
2.72x108−
8.85x108
2.72x108
fb = 4.73 MPa. (Compresión)
0.75 ∗ Mf
W´b=
0.75 ∗ 9.24x108
2.72x108= −2.55 MPa. (Tracción)
4.59 > 2(−2.55)
4.59 > − 5.1 No se debe verificar a fatiga
Por lo tanto la verificación de la fatiga no es necesaria. La sección se encuentra en estado
comprimido por lo tanto el estado límite de fatiga no será investigado.
7.14.3. Límites de refuerzo
Para el refuerzo máximo se debe cumplir que c/de < 0.42.
de =ASRfpsdp + Asffds
ASRfps + Asff
Ya que no se coloca acero de tracción y teniendo los datos acero de preesfuerzo que es de
27.64 cm2 y la altura dp = 143.44 cm, concluimos que dp = de.
c
de=
9.73
143.44= 0.068 ≤ 0.42
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
194
7.14.4. Refuerzo mínimo
El refuerzo mínimo para cualquier sección de un elemento flexionado pretensado o no
pretensado deberá ser adecuado para desarrollar una resistencia a la flexión mayorada Mr
como mínimo igual al valor entre:
1.2 veces el momento de fisuración Mcr determinado en base a la distribución
elástica de tensiones y el módulo de rotura fr, donde Mcr es:
Mcr = Sc ∙ (fr + fcpe) − Mdnc (Sc
Snc− 1) ≤ Sc fr
1.33 veces el momento mayorado requerido por las combinaciones de carga para los
estados límites de resistencia aplicables.
donde fr es el módulo de rotura, fcpe es la tensión de compresión del hormigón debido a las fuerzas
de pretensado efectivo,
Snc = Wb = 1.73x108 N − mm
Sc = Wb´ = 2.72x108 N − mm
fr = 0.97 ∙ √f´c
fr = 0.97 ∙ √35
fr = 5.74 MPa
Mdnc = MDC,viga + MDC,losa + MDC,diaf = 657.19 + 473.44 + 60.26 = 1190.89 KN − m
fcpe =Pf
A+
Pf ∙ e
Wb
fcpe =4.09x106
5.09x105+
4.09x106 ∙ 491
1.73x108= 19.64 Mpa
Mcr = (2.72x108)(5.74 + 19.64) − 1.19x109 (2.72x108
1.73x108− 1) ≤ 2.72x108(5.74)
6222.38 ≤ 1561.28
∅Mn ≥ 1.2Mcr
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
195
∅Mn = 6334.23 > 1.2(1561.28)
∅Mn = 6334.23 > 1873.54
∅Mn ≥ 1.33MU
∅Mn = 6334.23 > 1.33(3716.65)
∅Mn = 6334.23 > 4943.14
Por lo tanto cumple las dos condiciones de refuerzo mínimo.
7.14.5. Armadura de piel
Según [LRFD Ec. 5.7.3.4-4] en cada cara lateral el área de armadura superficial, en
mm2/mm de altura, deberá satisfacer la siguiente condición:
Ask ≥ 0.001(de − 760) ≤As + Aps
1200
Ask ≥ 0.001(1383.6 − 760) ≤0 + 2764
1200
Ask ≥ 0.624 ≤ 2.303
Sin embargo, no es necesario que el área total de armadura superficial longitudinal (por
cara) sea mayor que un cuarto de la armadura de tracción por flexión requerida As + Aps. La
máxima separación de la armadura superficial no deberá ser mayor que d/6 ó 300 mm. Por
lo tanto calculamos 1/4 Aps.
2764/4 = 691 mm2
∴ Usar 7∅10 = 691 mm2
7.14.6. Verificación de deflexiones
Según [LRFD Art. 5.7.3.6.2] y [LRFD Art. 2.5.2.6.2] especifica el control de la deflexión por carga
viva, de acuerdo a los datos obtenidos del análisis por elementos finitos tenemos que:
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
196
Deflexiones máximas
Cargas Deflexión
(mm)
Viga 3.97
Losa 3.88
Diafragmas 0.55
Barandas 1.66
Capa de rodadura 0.85
Carga viva + impacto 8.94
Centrifuga 0.15
Preesfuerzo - 9.24
Tabla 7- 11: Deflexiones
Etapa de tesado
∆inicial= ∆pf − ∆viga
∆pf=Pf ∙ e
8 ∙ E ∙ IL2 =
4.09x106 ∙ 491
8 ∙ 29910.20 ∙ 10852843.43 ∗ 10000 200002 = 30.93 mm
∆inicial= 30.93 − 3.97 = 26.96 mm
Etapa final de servicio
∆final= ∆po − ∆DC,viga − ∆DC,losa − ∆DC,diaf − ∆DC,bar − ∆DW − ∆LL+IM − ∆EC
∆final= 9.24 − 3.97 − 3.88 − 0.55 − 1.66 − 0.85 − 8.94 − 0.15
∆final= −10.76 mm
El límite de deflexión para la carga viva definida en [LRFD Art.2.5.2.6.2] es:
L
800=
20000
800= 25mm. > 9.09 𝑚𝑚. 𝑂𝐾
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
197
7.15. ARMADO Y TRAYECTORIA DE CABLES
7.15.1. Armado viga postensada
Como se definió anteriormente en el diseño estructural el número de torones es de 28,
de acuerdo a este número se define la cantidad de vainas y la configuración de cables en el
centro y en los apoyos de la viga.
Figura 7. 36: Coordenadas de vainas
Nvainas = Ntorones
12=
28
12= 2.33
Entonces se determina que se distribuirán los cables en 3 vainas.
Asi = Ni ∗ Au
Nº Tor.
Au (cm2)
Asi (cm2)
Vaina 1 8 0.987 7.896
Vaina 2 8 0.987 7.896
Vaina 3 12 0.987 11.844
En el apoyo
∑ MEN = As1y + As2(y − 30) − As3(y − 60) = 0
As1y + As2(y − 30) − As3(y − 60) = 0
y =30 ∙ As2 − 60 ∙ As3
As1 + As2 + As3
y =30 ∙ 7.896 − 60 ∙ 7.896
11.844 + 7.896 + 7.896
y = 34.3 cm
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
198
Entonces determinamos las alturas con referencia a la base del apoyo.
y1 = yb + y = 62.82 + 34.3 = 97.11
y2 = y1 − 30 = 97.11 − 30 = 67.11
y3 = y1 − 60 = 97.11 − 30 = 37.11
En el apoyo
ASR = 27.64 cm2
e = 49.1 cm
∑ MEN = As1y´1 + As2(y´1 + 7.3) + As2(y´1 + 14.6) = e ∙ ASR
y´1 =49.1 ∙ 27.636 − 7.896 (7.3) − 7.896 (14.6)
11.844 + 7.896 + 7.896
y´1 = 40.77 cm
y´2 = y´1 + 7.3 = 40.77 + 7.3 = 48.0.7 cm
y´3 = y´1 + 14.6 = 40.77 + 14.6 = 55.37 cm
Entonces determinamos las alturas con referencia a la base en el centro de la viga.
a = yb − y´3 = 62.82 − 55.37 = 7.46 cm
b = yb − y´2 = 62.82 − 48.07 = 14.76 cm
c = yb − y´1 = 62.82 − 40.77 = 22.06 cm
7.15.2. Coordenadas de vainas
Vaina 1
X (cm) Y (cm)
A = 0 37.11
B = 1000 7.46
C = 2000 37.11
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
199
Ecuación de la parábola
Y = 2
l2(YA − 2YB + YC) ∗ X2 +
1
l(−3YA + 4YB − YC)X + YA
Y = 2
20002(37.11 − 2(7.46) + 37.11) ∙ X2 +
1
2000(−3(37.11) + 4(7.46) − 37.11)X + 37.11
Y = 0.296508 ∙ X2 − 5.93016 ∙ X + 37.11
Vaina 2
X (cm) Y (cm)
A = 0 67.11
B = 1000 14.76
C = 2000 67.11
Ecuación de la parábola
Y = 2
l2(YA − 2YB + YC) ∗ X2 +
1
l(−3YA + 4YB − YC)X + YA
Y = 2
20002(67.11 − 2 ∙ 14.76 + 67.11) ∙ X2 +
1
2000(−3 ∙ 67.11 + 4 ∙ 14.76 − 67.11)X + 67.11
Y = 0.523508 ∙ X2 − 10.47016 ∙ X + 67.11
Vaina 3
X (cm) Y (cm)
A = 0 97.11
B = 1000 22.06
C = 2000 97.11
Ecuación de la parábola
Y = 2
l2(YA − 2YB + YC) ∗ X2 +
1
l(−3YA + 4YB − YC)X + YA
Y = 2
20002(97.11 − 2 ∙ 22.06 + 97.11) ∙ X2 +
1
2000(−3 ∙ 97.11 + 4 ∙ 22.06 − 97.11)X + 97.11
Y = 0.750508 ∙ X2 − 15.01016 ∙ X + 97.11
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
200
7.15.3. Resumen de coordenadas de vainas
X Vaina 1 Vaina 2 Vaina 3 0.00 67.11 97.11 37.11 0.50 62.01 89.79 34.22 1.00 57.16 82.85 31.48 1.50 52.58 76.28 28.88 2.00 48.26 70.09 26.44 2.50 44.21 64.27 24.14 3.00 40.41 58.83 21.99 3.50 36.88 53.77 19.99 4.00 33.61 49.08 18.13 4.50 30.59 44.76 16.43 5.00 27.85 40.82 14.87 5.50 25.36 37.26 13.46 6.00 23.13 34.07 12.20 6.50 21.17 31.25 11.09 7.00 19.47 28.81 10.13 7.50 18.03 26.75 9.31 8.00 16.85 25.06 8.64 8.50 15.94 23.75 8.13 9.00 15.28 22.81 7.76 9.50 14.89 22.25 7.53
10.00 14.76 22.06 7.46 10.50 14.89 22.25 7.53 11.00 15.28 22.81 7.76 11.50 15.94 23.75 8.13 12.00 16.85 25.06 8.64 12.50 18.03 26.75 9.31 13.00 19.47 28.81 10.13 13.50 21.17 31.25 11.09 14.00 23.13 34.07 12.20 14.50 25.36 37.26 13.46 15.00 27.85 40.82 14.87 15.50 30.59 44.76 16.43 16.00 33.61 49.08 18.13 16.50 36.88 53.77 19.99 17.00 40.41 58.83 21.99 17.50 44.21 64.27 24.14 18.00 48.26 70.09 26.44 18.50 52.58 76.28 28.88 19.00 57.16 82.85 31.48 19.50 62.01 89.79 34.22 20.00 67.11 97.11 37.11
Tabla 7- 12: Coordenadas de vainas
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
201
7.16. ANALISIS Y DISEÑO DE DIAGRAGMAS
7.16.1. Análisis y diseño estructural
El diseño de los diafragmas se lo realiza a través de los datos obtenidos de esfuerzos
tomados de la combinación de resistencia 1 del modelo computacional completo, para los
esfuerzos positivos que son los del concreto es necesario verificar para todos los esfuerzos
en todas las direcciones, tomando en cuenta realizamos la comprobación solo en la
dirección más crítica (S1-1).
Para el diseño a tracción los campos más críticos son los que se toman en cuenta diseñando
el elemento shell como si fuera una losa comprimida, además se debe diseñar los estribos,
verificar acero mínimo y armadura de piel.
Tensión S1-1
Compresión
S1-1 máx. = 10.44 MPa
Tracción
S1-1 min. = -5.10 MPa
Flexión
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
202
Compresion:
10.44 < 21 OK
Tracción
Fu = σ1−1 ∙ b ∙ d
As =Fu
0.9 ∙ fy
Datos:
b = 200 [mm]
h = 950 [mm]
fy = 420 [MPa]
rec = 30 [mm]
Resultados:
Fu = 918000 [N]
As = 2428.57 [mm2]
As. real = 2457.00 [mm2]
As. min= 313.20 [mm2]
Usar: 2∅20 + 3∅16 c/lado
7.16.2. Armadura de piel
La armadura de piel se verifica con el acero adoptado para los diafragmas, la expresión
debe cumplir con ser menor a 0.05 con lo que se comprueba que se cumple con los
requisitos de armadura.
100 ∙ As
b ∙ (2d − h)≥ 0.05
1.463 > 0.05 OK
7.16.3. Armadura transversal
𝜏1-2 = 3.12 MPa.
CAPITULO 7 DISEÑO DE PUENTES CURVOS CON VIGAS BPR
203
Vu = τ1−2 ∙ b ∙ h
Vu = 561600 N
Vc = 0.083 ∙ β ∙ √f´c ∙ b ∙ d
Vc = 56254.32 N
Vs =Vu − ∅ ∙ Vc
∅
Vs = 567745.68 N
∴ Usar ∅10 c/10 cm
204
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Capítulo8
DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
8.1. INTRODUCCIÓN
En el presente acápite se desarrollara el análisis y diseño estructural de puentes curvos
horizontales de sección cajón en voladizos sucesivos. Los puentes que son construidos por
segmentos incrementales, en cuanto a su diseño se distinguen dos importantes etapas las
cuales son las constructivas y de servicio. El análisis de las mismas se desarrollan siguiendo
el método de elementos finitos, esto con ayuda del programa CSiBridge, en el cual se
modela tanto las etapas constructivas con las opciones de secuencias de construcción del
programa donde en este se toma en cuenta la fluencia concreto y el análisis en el tiempo, en
cuanto a las etapas permanentes el modelo a tomar en cuenta será estructura continua
hiperestática donde los cables y cargas de preesfuerzo ayudaran a contrarrestar las flechas.
Los diseño de los puentes curvos de radio de 100m y 50m son desarrollado en el
presente capitulo y en planilla electrónicas las cuales son mostradas en [Anexo2]
respectivamente.
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
205
8.2. DATOS PRELIMINARES
8.2.1. Normas de diseño
AASHTO LRFD Bridge Design Specifications 2012
AASHTO Guide Specification for Design and Construction of Segmental
Concrete Bridges 2003
AASHTO Guide Specification for Horizontally Curved Highway Bridges 1997
8.2.2. Materiales
Hormigón Postensado
Hormigón:
Resistencia a la compresión cilíndrica a los 28 días: f´c= 35 MPa
Resistencia nominal a la compresión del concreto en momento de aplicar fuerza a los
tendones f´ci= 28 MPa
Peso específico: γc=2400 Kgf/m3
Módulo de elasticidad: Ec=29910.20 MPa
Tensiones admisibles [LRFD Art. 5.9.4]:
T=0 Compresión menor a: 0.60 f´ci = 16.80 MPa
Tracción mayor a: -0.50√f´ci= - 2.65 MPa
T=∞ Compresión menor a: 0.45f´c = 15.75 MPa
Tracción mayor a: -0.50√f´c= - 2.96 MPa
Acero de Preesfuerzo:
Tendones de preesfuerzo Grado 270 de 12 torones de baja relajación
Área de un Torón: AuT =98.7mm2
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
206
Tensión ultima: fpu=1860 MPa
Tensión de fluencia: fpy=0.90∙fpu= 1674 MPa
Módulo de elasticidad: Ep= 197000 MPa
Tensiones admisibles para postensado:
Antes del acuñamiento: 0.90∙fpy=1506.60 MPa
En anclajes y acoplamiento inmediatamente después del acuñamiento de los anclajes:
0.70∙fpu=1674 MPa
En el extremo de la zona de pérdida por asentamiento inmediatamente después del
acuñamiento del anclaje:
0.74∙fpu=1376.40 MPa
En estado límite de servicio después de pérdidas:
0.80∙fpy=1339.20 MPa
Área de un tendón: Au =1184.40mm2
8.3. DIMENSIONES PUENTE CURVO
8.3.1. Dimensiones en planta
La geometría que se establece en planta se determina en función del radio de curva,
haciendo un análisis se obtuvo que las dovelas de arranque serán de 3.65m de largo y las
demás de 3m. El ángulo de deflexión del puente curvo es de 35º7´20´´ (Figura 8.1) las
dovelas serán divididas cada 1º4´38´´; sin embargo, las dovelas del centro serán
seccionadas cada 2º52´39´´, el puente tiene una longitud total de 61.30 m y presenta un
único apoyo intermedio dividendo así el puente en dos tramos de 30.65m.
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
207
1°4
3'8
"
8 E
lem
ento
s d
e
1°4
3'8
"
2°5
'29"
35°7
'20"
61.3
0
R100.00
N
Figura 8. 1: Vista en planta
8.3.2. Dimensiones en elevación
Los puentes construidos por la técnica de volados sucesivos conformados por tableros
de sección transversal variable construidos con hormigón postensado son aplicados para
puentes de luces libres superiores a 40 m. hasta un máximo de 250m. Debido a que la
geometría de nuestro puente es curva y que solo tendremos dos tramos unidos por una pila
de apoyo intermedio determinamos que la longitud del puente es adecuada.
La relación de canto sobre el apoyo a la luz o esbeltez (h1/L) varia regularmente entre
1/16 a 1/20; económicamente se utiliza un valor próximo a 1/17.
h1
L=
1
17 => h1 =
61.30
17≈ 3.5 m.
El canto de la viga en el centro del tramo no debe ser menor que 1.6 m debido a que se
debe permitir la circulación de trabajadores en el interior de las vigas para realizar la
retirada de encofrados, tesado de tendones, inspecciones y el paso de canalizaciones. En la
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
208
práctica el canto en el centro (ho) debe estar comprendido entre 1/30 y 1/60, empleando una
relación intermedia de 1/30 tendremos que:
ho
L=
1
30 => h1 =
61.30
30≈ 2.00 m.
La altura de las dovelas varía según la ecuación de la parábola semejante a la catenaria
la cual está dada por la siguiente ecuación característica:
Z = y = a ∙ x2 (8. 1)
Donde Z = es la altura de la dovela adicional tomado desde la altura ho en la sección i.
Con el eje de coordenadas invertido en la última dovela y reemplazando el punto de la
dovela 0 (1.5; 24) determinamos la constante a = 0.0026041667 y tenemos la ecuación de la
parábola, en la cual reemplazamos los valores. Donde la altura de la dovela total en la
sección i será:
H = ho + Z (8. 2)
Según estas ecuaciones tenemos la siguiente tabla resumen:
N° Sec A B C D E F G H I J
Z (m) 1.500 1.148 0.844 0.586 0.375 0.211 0.094 0.023 2.000 2.000
H (m) 3.500 3.148 2.844 2.586 2.375 2.211 2.094 2.023 2.000 2.000
Tabla 8- 1: Variación de la altura en función de la distancia
Figura 8. 2: Alturas h1, ho y h intermedias
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
209
8.3.3. Dimensiones de la sección transversal
La sección transversal tipo que mejor se adapta en la construcción por voladizos es la
sección hueca ya que puede resistir esfuerzos elevados a compresión en la parte inferior ya
que posee una excelente resistencia mecánica y gran resistencia a la torsión.
El número de cajones y su forma depende del ancho del tablero, si el tablero no
sobrepasa los 13 m. se recomienda la viga cajón única con dos almas de forma clásica. Las
almas de las vigas pueden ser verticales o inclinadas. La separación de las almas está
limitada por la resistencia de la losa a la flexión transversal bajo el efecto de las cargas
vivas. Esto se puede determinar con un análisis de fracción de carga del tren tipo de la
siguiente manera:
La fracción de carga para vigas exteriores es:
∑ Mm=0
(a+s
2-0.975) ∙P+ (a+
s
2-2.775) ∙P+ (a+
s
2-3.975) ∙P=fe∙
s
2
6∙a+3∙s-15.45=fe∙s
La fracción de carga para vigas interiores es fi = 0.469 ∙ s (Sección cajón). De la
geometría tenemos (Figura 8.3) que 2 ∙ a + s = 8.85. Resolviendo estas ecuaciones
tenemos que:
s = 4.85 m.
a = 2 m.
Figura 8. 3: Determinación ancho efectivo
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
210
El alma debe asegurar la resistencia a los esfuerzos de cizallamiento y permitir la buena
colocación del hormigón, ya que las almas están sometidas a tensiones tangenciales debido
al esfuerzo cortante y al momento de torsión. Para el dimensionamiento del mismo se
tomara:
eN≥h
36+5+∅ (Para h < 6 m )
Entre 24 a 30 cm (Para 6 < h < 7 m.)
eN≥h
22+8+ ∅ (Para h > 7 m )
Donde ∅ es el diámetro de las vainas.
eN ≥h
36+ 5 + ∅
Para un espesor de h < 6 tenemos que:
eN ≥350
36+ 5 + 7.3
eN ≥ 22 cm
Por la presencia de anclajes en el nervio el espesor que adoptaremos será de 35 cm.
Para determinar las dimensiones de la losa superior que trabajara como tablero se
deberá cumplir que la altura del tablero de hormigón, excluyendo cualquier tolerancia para
pulido, texturado o superficie sacrificable deberá ser mayor o igual que 175mm.
ef = 20 cm.
Para la parte central el espesor deberá ser:
Según lo requerido para anclaje y recubrimiento del pretensado transversal, si
corresponde; y no menor que 1/20 de la longitud libre entre chaflanes,
acartelamientos o almas, a menos que se utilicen nervios transversales con una
separación igual a la longitud libre o que se provea pretensado transversal.
es =1
20 (s − en) (8. 3)
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
211
La separación que se tomara será el ancho entre almas y restando una longitud
aproximada de chaflanes de 1.0 m.
es =1
20 (485 − 100 − 35) = 17.5 cm
Adoptamos para nuestra sección es = 20.0 cm
La losa transversal debe llevar cartelas importantes en la unión con las almas de la
siguiente forma:
La cartela 1 debe ser trazada de forma que envuelva las líneas de presión posibles
creadas por las cargas vivas colocadas en la zona central de la losa (En el tercio medio
central de la luz). Esta mejora el empotramiento de la losa sobre las almas.
La cartela 2 facilita el hormigonado y permite colocar cables pretensados
longitudinalmente que aseguren la resistencia de las ménsulas. Este se coloca formando un
ángulo de 60° con la horizontal.
La longitud aproximada de las cartelas está dada por:
c = 2 L
3∙ (1 −
es
e1)
(8. 4)
El espesor e1 corresponde a uno de los extremos de la cartela 1 se dispone de la
siguiente manera:
es ≤ e1 ≤ 4 es
Lo aconsejable es tomar e1 < 2es
Adoptamos e1 = 1.5 (20) = 30 cm.
Por lo tanto c = 100 cm.
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
212
Detalle geométrico de la disposición de la losa superior y las cartelas
Figura 8. 4: Detalle geométrico de las cartelas
El espesor de la losa inferior no deberá ser menor que: 140 mm.
1/16 de la distancia entre chaflanes o almas en el caso de vigas no preesforzadas; o
1/30 de la longitud libre entre chaflanes, acartelamientos o almas en el caso de vigas
preesforzadas, a menos que se utilicen nervios transversales con una separación
igual a la longitud libre.
Es necesario aumentar este espesor cuando la luz de la losa es superior a los 6 m.
La losa inferior también baja el centro de gravedad de la sección, aumentando así el
brazo de los cables que se encuentran en el borde superior, haciendo más efectiva la
sección. Por esta razón el espesor de la losa deberá guardar cierta relación con los
momentos producidos por la carga muerta, de la misma forma que la altura de la
dovela, el espesor de la losa inferior será variable.
N° Sec. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
X (m) 5.15 8.15 11.15 14.15 17.15 20.15 23.15 26.15 29.15 30.65
e(cm) 40.0 35.31 31.25 27.81 25.00 22.81 21.25 20.10 20.0 20.0
Tabla 8- 2: Variación de espesores en la losa inferior
El espesor mínimo que podemos adoptar tomando en cuenta la presencia de cables en la
losa, será de 20cm., y el espesor máximo que adoptaremos será de 40 cm. Teniendo la
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
213
siguiente variación según la ecuación parabólica ya definida anteriormente determinamos
los espesores variable (Tabla 8.2)
La losa inferior esta generalmente empotrada en las almas por intermedio de cartelas
fuertemente inclinadas sobre la horizontal para poder facilitar la puesta en obra del
hormigón. Esta cartela se tomara de 30 cm. a una inclinación de 45°.
Figura 8. 5: Sección transversal
Sección X Altura
Esp.
Losa e Área Yt Yb Wt Wb
[m] [m] [cm] [m2] [m] [m] [m
3] [m
3]
0 0.00 3.500 0.4000 6.6264 1.6451 1.8549 7.6592 6.7928
A 0.00 3.500 0.4000 6.6264 1.6451 1.8549 7.6592 6.7928
B 3.00 3.148 0.3531 6.1698 1.4325 1.7155 6.5771 5.4934
C 6.00 2.844 0.3125 5.7744 1.2535 1.5905 5.6735 4.4711
D 9.00 2.586 0.2781 5.4395 1.1052 1.4808 4.9324 3.6816
E 12.00 2.375 0.2500 5.1655 0.9871 1.3879 4.3430 3.0890
F 15.00 2.211 0.2281 4.9524 0.8976 1.3134 3.8953 2.6620
G 18.00 2.094 0.2125 4.8002 0.8352 1.2588 3.5816 2.3755
H 21.00 2.024 0.2032 4.7090 0.7985 1.2255 3.3960 2.2113
I 24.00 2.000 0.2000 4.6785 0.7857 1.2143 3.3345 2.1578
J 27.00 2.000 0.2000 4.6785 0.7857 1.2143 3.3345 2.1578
Tabla 8- 3: Tabla de propiedades de secciones transversales
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
214
8.3.4. Peso y volúmenes de las dovelas
Después de determinar las propiedades geométricas de las secciones se determina un
área de dovela promedio el cual es multiplicado por el ancho de dovela respectivo y se
obtiene el volumen de hormigón para dicha dovela. Luego se multiplica el volumen de
dovela por el peso específico del mismo y se obtiene el peso de la dovela.
Para la dovela 1, entre las secciones A y B se tiene:
Área de la sección A: A1 = 6.6264 m2
Área de la sección B: A2 = 6.1698 m2
Peso unitario del hormigón: 𝛾= 24 KN/m3
𝑉1 = (A1 + A2
2) ∙ Ancho dovela = (
6.6264 + 6.1698
2) ∙ 3 = 19.194 m3
P1 = V1 ∙ γ = 19.194 ∙ 24 = 460.656 KN
Dovela Área i Área j Ancho Vol. Peso dovelas
m2 m
2 m m3 KN/m
3 Peso KN
0 6.6264 6.6264 3.65 24.186 24 580.473
1 6.6264 6.1698 3.00 19.194 24 460.663
2 6.1698 5.7744 3.00 17.916 24 429.991
3 5.7744 5.4395 3.00 16.821 24 403.700
4 5.4395 5.1655 3.00 15.908 24 381.780
5 5.1655 4.9524 3.00 15.177 24 364.244
6 4.9524 4.8002 3.00 14.629 24 351.094
7 4.8002 4.709 3.00 14.264 24 342.331
8 4.709 4.6785 3.00 14.081 24 337.950
9 4.6785 4.6785 3.00 14.036 24 336.852
30.65 166.212 3989.079
Tabla 8- 4: Propiedades físicas de las dovelas
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
215
8.4. DESCRIPCION DEL TRAZADO DE CABLES
8.4.1. Descripción de cables longitudinales
Los cables que se disponen longitudinalmente tienen como objetivo contrarrestar los
momentos negativos producidos por el peso propio de las dovelas, estos cables se tesan a
medida que avanza la construcción los cuales deben ser tesados de manera simétrica a cada
lado de la pila, la cantidad de cables a tesar debe ser al menos igual al número de dovelas a
pretensar por cada alma.
Existen otros cables (solidarios) que son colocados en la mitad de cada vano para
conseguir una continuidad en el tablero y resistir los momentos flectores.
8.4.2. Trazado de cables de voladizo
Los cables son colocados en las cartelas superiores de donde se distribuyen a las almas
de la dovela respectiva, los cables deben ser colocados lo más cerca posible del eje del alma
de manera que se facilite su descenso y se anclan muy a menudo en los extremos de las
dovelas a una altura media de los nervios. Los cables en elevación acompañan la geometría
de un eje recto en principio, luego descienden con una trayectoria parabólica. La geometría
debe cumplir con los requisitos especificados en la norma AASHTO LRFD que especifica
que:
El número de cables de voladizo debe ser al menos en cada alma igual al número
de dovelas a pretensar. Para nuestro proyecto tesaremos cuatro cables por dovela
como se especifica.
El radio de curvatura mínimo es de 6.0 m. excepto en las áreas de anclaje que se
permite hasta 3.6 m.
La separación libre entre vainas de postensado rectas debe ser de 3.0 cm. o 1,33
veces el tamaño máximo del agregado grueso como mínimo.
Las vainas se pueden empaquetar en grupos de no más de tres cables.
El recubrimiento de las vainas metálicas para tendones de postensado aplicado
en tableros expuestos al tránsito vehicular no deberá ser menor que:
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
216
El valor especificado para armadura principal, 2.5 cm.
Un medio del diámetro de la vaina, 3.65 cm.
El valor especificado en la tabla 5.12.3-1 “Superficies de tablero con
tránsito de neumáticos con clavos o cadenas”, 6.0 cm.
Por tanto para nuestro proyecto adoptaremos un recubrimiento de 9 cm.
Figura 8. 6: Posición de los cables en la sección cero
De acuerdo a referencia [28] las trayectorias de los cables provocan excentricidades en
las secciones transversales, en las secciones se tienen 3 excentricidades, e1 es la
excentricidad de equilibrio la cual es la que se calculó primero, los cables que provocan
esta excentricidad parten de una dovela anterior a la que se anclan en el inicio de la misma,
estos cables casi siempre coinciden con el centro de gravedad de la dovela lo que facilita el
cálculo haciendo que sea nula, en nuestro proyecto tenemos que tesar dos cables por alma y
cuatro por dovela esto hace que exista excentricidad ya sea por encima o por debajo del
centro de gravedad, pero si se coloca los cables a la misma distancia por encima y debajo
del centro de gravedad se podría calcular directamente con un cable equivalente que
coincidiría con el centro de gravedad, e2 es la excentricidad que provocan los cables que se
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
217
anclan a una distancia ≥ 6 m. de la sección considerada, es decir son los cables que se
tesaran en las siguientes dovelas solo provocan excentricidad cuando esos cables son
tesados en las dovelas siguientes.e3 es la excentricidad de corte que se determina a partir del
cálculo de e1 que es provocada por el cable de la dovela siguiente ya que pasa por encima
del centro de gravedad de la dovela.
A continuación mostramos a detalle el cálculo de las excentricidades de los cables en la
sección B que se encuentra entre la dovela 1 y la dovela 2.
3,65m. 3m. 3m. 3m.
3,5
m.
0 A B C D
1,2
33
m.0
,96
9m
.
12
0
3
Figura 8. 7 Excentricidades por dovela
La determinación de e2 es de forma directa mediante la siguiente expresión:
e2B = yt
B − 0.20
donde 0.20 es la distancia comprendida por los ejes de los cables y la fibra superior de la
viga.
e2B = 1.4325 − 0.20 = 1.2325 m.
la excentricidad e3 se determina con la ecuación de la parábola de los cables de la siguiente
dovela.
y = a ∙ x2
Remplazando datos de (x, y), donde x es la longitud del cable que en nuestro proyecto
es de 2 dovelas, y = ytC − 0.20 tenemos que:
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
218
a = yt
C − 0.20
(3 + 3)2=
1.254 − 0.20
62= 0.02977777778
Entonces la ecuación de la parábola es:
y = 0.0297777778 ∙ x2
Remplazando x por el ancho de la dovela anterior de la sección tenemos que:
y´ = 0.0297777778 ∙ 32 = 0.2635 𝑚.
e3B = yt
B − 0.20 − y´
e3B = 1.4325 − 0.20 − 0.2635 = 0.969 m.
La determinación de los ángulos verticales de obtiene derivando la ecuación de la parábola
y sustituyendo el valor de x por el de la longitud desde el centro de la parábola hasta el
punto en cuestión.
Sección 𝐞𝟐 𝐞𝟑 𝛂𝐕 𝛂𝐇 𝜶
0 1.6451
A 1.6451 1.0737
B 1.4325 0.9690 20.32 6.758 21.414
C 1.2535 0.8270 19.34 6.758 20.487
D 1.1052 0.71848 16.80 20.10 26.196
E 0.9871 0.6127 14.70 20.10 24.902
F 0.8976 0.5888 13.09 32.83 35.343
G 0.8352 0.4856 11.95 32.83 34.937
H 0.7985 0.4521 11.28 20.10 23.049
I 11.05 6.758 12.953
J
Tabla 8- 5: Excentricidades en secciones
8.5. CALCULO DE PERDIDAS DE PREESFUERZO
8.5.1. Pérdidas por fricción
La pérdida de la fuerza de presforzado ocurre entre los elementos postensado debido a
la fricción entre los tendones y los ductos. La magnitud de esta fuerza es función de la
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
219
forma del tendón o alineación, llamado efecto por curvatura, y de las desviaciones locales
en el alineamiento llamado efecto por deformación no intencional
Pérdidas de esfuerzo se puede expresar por la siguiente ecuación:
∆fpF=fpj*(1-e-(kx+μα)) (8. 5)
Esta expresión en porcentaje será:
%∆PpF=(1-e-(μ∙α+k∙x))∙100
donde
fpj = tensión en el acero de pretensado en el momento del tesado (MPa)
e = base del logaritmo natural
x = longitud de un tendón de pretensado desde el extremo del gato de tesado hasta
cualquier punto considerado (mm)
K = coeficiente de fricción por desviación de la vaina de pretensado (por mm de tendón)
[Tabla LRFD 5.9.5.2.2b-1]
μ = coeficiente de fricción [Tabla LRFD 5.9.5.2.2b-1]
α = sumatoria de los valores absolutos de la variación angular del trazado del acero de
pretensado entre el extremo del gato de tesado, o entre el extremo del gato de tesado más
próximo si el tesado se realiza igualmente en ambos extremos, y el punto investigado
(radianes)
α = √αv2 + αH
2 (8. 6)
Cable 1
αv = 20.32º
αH = 6.994º
α = √20.322 + 6.9942
α = 21.49º = 0.37507 rad
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
220
x = 6.797 m. (Medio tramo)
μ = 0.25
k = 6.6x10−7 1/mm
μ ∙ α + k ∙ x = 0.25 ∙ 0.375 + 6.6x10−7 ∙ 6797 = 0.0983
%∆PpF = (1 − e−(0.0983)) ∙ 100 = 9.36 %
Cable
Nº
Promedio L. Cable Coeficientes
𝝁 𝜶 + 𝒌 𝒙
∆P
α [º] α [rad] [m] 𝝁 k [%]
1 21.414 0.374 6.797 0.25 6.60E-07 9.79E-02 9.33
2 20.487 0.358 9.770 0.25 6.60E-07 9.58E-02 9.14
3 26.196 0.457 12.739 0.25 6.60E-07 1.23E-01 11.55
4 24.902 0.435 15.718 0.25 6.60E-07 1.19E-01 11.22
5 35.343 0.617 18.703 0.25 6.60E-07 1.67E-01 15.34
6 34.937 0.610 21.694 0.25 6.60E-07 1.67E-01 15.36
7 23.049 0.402 24.689 0.25 6.60E-07 1.17E-01 11.03
8 12.953 0.226 25.188 0.25 6.60E-07 7.31E-02 7.05
Tabla 8- 6: Perdidas por fricción en los cables
8.5.2. Pérdidas por deslizamiento de anclaje
Una vez que se libera el gato, la tensión del acero se transfiere al concreto mediante los
anclajes. Existe de forma irremediable una cantidad pequeña de deslizamiento después de
la transferencia. A medida en que las cuñas se acomodan dentro de los tendones, o a
medida en que se deforma el dispositivo de anclaje
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
221
El valor esperado oscila entre 3 a 10 mm. Tomando un valor promedio aproximado de 6
mm en la mayoría de los casos. La perdida por deslizamiento en el anclaje en cantidad y en
porcentaje se puede calcular con las expresiones:
∆fanc =∆l
l∙ Ep
(8. 7)
Cuando existe está perdida hay que recalcular la longitud (l) con la siguiente expresión:
li = √∆l ∙ Ep
fi ∙ (μ ∙ α
l+ k)
(8. 8)
∆fanc = Perdida debido al deslizamiento del anclaje
∆l = Cantidad de deslizamiento (valor recomendado 6 mm)
l = Longitud del torón (elemento).
Ep = Modulo de elasticidad del acero de preesfuerzo
fi = Preesfuerzo inicial
En el cable 1 tenemos que:
∆l = 6 mm
Ep = 197000 MPa.
l = 6.797 m.
fi = 0.6 ∙ fpu = 0.6 ∙ 1860 = 1116 MPa
li = √6 ∙ 197000
1116 ∙ (0.25 ∙ 0.375
6797 + 6.66x10−7)= 8559.74 mm
%∆fanc =∆l ∙ Ep ∙ fi
l
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
222
%∆fanc =6 ∙ 197000 ∙ 1116
8559.74= 15.58%
Nº L. Cable Ep fi ∆L α Coeficientes Li ∆P
[m] [MPa] [MPa] [mm] [rad] 𝝁 k [m] [%]
1 6797.000 197000 1116 6 0.374 0.25 6.60E-07 8574.22 15.58
2 9769.500 197000 1116 6 0.358 0.25 6.60E-07 10390.61 10.84
3 12738.500 197000 1116 6 0.457 0.25 6.60E-07 10485.70 8.31
4 15718.000 197000 1116 6 0.435 0.25 6.60E-07 11826.28 6.74
5 18703.000 197000 1116 6 0.617 0.25 6.60E-07 10905.63 5.66
6 21694.000 197000 1116 6 0.610 0.25 6.60E-07 11738.19 4.88
7 24689.000 197000 1116 6 0.402 0.25 6.60E-07 14958.44 4.29
8 25187.500 197000 1116 6 0.226 0.25 6.60E-07 19097.92 4.21
Tabla 8- 7: Perdidas por deslizamiento de anclaje en los cables
Debido a que las pérdidas por fricción máximas calculadas se dan en el centro de cada
viga, en sus extremos los valores son despreciables. En cambio las pérdidas por anclaje
máximas se dan en los extremos, en el centro su valor tiende a cero. Por estas dos razones
es que se tomara el máximo valor entre anclajes y fricción para el cálculo final.
8.5.3. Acortamiento elástico
Cuando la fuerza pretensora se transfiere a un miembro, existirá un acortamiento
elástico en el concreto a medida en que se comprime. La AASHTO LRFD sugiere que la
pérdida debida al acortamiento elástico en miembros postensado, distintos de los sistemas
de losa, puede tomarse como
∆fpES= (N-1
2N)
Eps
Eci *fgcp (8. 9)
Dónde:
N = número de tendones de pretensado idénticos
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
223
fgcp = sumatoria de las tensiones del hormigón en el centro de gravedad de los tendones
de pretensado debidas a la fuerza de pretensado en el momento de la transferencia y al
peso propio del elemento en las secciones de máximo momento (MPa)
Para nuestro cálculo tenemos los siguientes datos:
N = 4
Ac = 6.1698 m2
Mo = 460.663 ∙ (6 ∙ 2) = 5527.96 KN − m
Ep = 197000 MPa.
Po = 4 ∙ 1321790.4 = 5287161.6 N = 5287.162 KN
e = 1.43225m.
ASR = 98.7 ∙ 12 ∙ 4 = 4737.6 mm2
Wt = 6.5771 m3
fcgp =Po
A+
Po ∙ e
Wt−
Mo
Wt=
5287162
6169800+
5287162 ∙ 1432.25
6.5771x109−
5527.96 ∙ 10002
6.5771x109
fcgp = 1.168 MPa
E = 0.043 ∙ 2.41.5√28 = 26752.50 MPa
PES= (4-1
2(4))
197000
26752.50∙1.168∙4737.6 = 15280.39 N
En función del porcentaje de perdida tenemos:
%∆fpES =15280.39
1321790.4∙ 100 = 1.16%
Los valores pueden ser calculados usando una tensión en el acero reducida por debajo
de su valor inicial para dar cuenta de acortamiento estimado elástico, la relajación, y los
efectos de fricción.
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
224
8.5.4. Perdida dependientes del tiempo
Perdidas por contracción del hormigón
La deformación por contracción es la deformada del concreto que se presenta en los
miembros de concreto sin someterse a esfuerzos.
La contracción del concreto se debe principalmente a la evaporación del agua de
mezclado. En consecuencia, la cantidad de agua colocada a la mezcla y la humedad del aire
altera la magnitud de la contracción resultante. Otros factores que influyen es la proporción
de mezcla, las condiciones de fraguado, el tamaño y forma del miembro del concreto.
Perdida por relajación o deformación plástica del acero
Este fenómeno es la perdida de esfuerzo en el acero que se presenta a deformación
constante. El relajamiento continúa durante muchos años, aunque la tasa se reduce
considerablemente durante el primer año.
Perdidas por fluencia del hormigón
El flujo plástico es la propiedad de los materiales mediante la cual ellos continúan
deformándose a través de lapsos de tiempo considerables bajo un estado constante de
esfuerzo o carga. La velocidad del incremento de la deformación es grande al principio,
pero disminuye con el tiempo, hasta que después de unos meses alcanza un valor casi
constante.
En [LRFD Tabla 5.9.5.3-1] se muestra el método aproximado de cálculo de pérdidas
dependientes del tiempo, en la cual nos basaremos.
∆fpSR + ∆fpCR + ∆fpR1 + ∆fpR2 = 145 + 28 PPR = 145 + 28(1) = 173 MPa
Como anteriormente se demostró PPR se considera 1, ya que no existe acero a tracción
que resiste las cargas.
%∆fp(SR+CR+R1+R2) =173 ∙ 100
1116 = 15.50 %
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
225
8.5.5. Perdida totales
El resumen de todas las pérdidas se describe a continuación:
PERDIDA Porcentaje
Perdida deslizamiento anclajes %∆fanc+fr 15.58 %
Perdida acortamiento elástico %∆fpES 1.16 %
Perdidas dependientes del tiempo %∆fp(SR+CR+R1+R2) 15.50 %
PERDIDAS TOTALES %∆fpT 32.24 %
Tabla 8- 8: Pérdidas totales
8.6. DISEÑO ETAPA DE CONSTRUCCIÓN
8.6.1. Verificación de los esfuerzos admisibles para t = 0
En este apartado se comprobara las tensiones admisibles en la sección cajón debido a la
etapa de construcción, según [LRFD Art. 5.9.4.1] y [LRFD Art. 5.9.4.2] los esfuerzos
admisibles en la etapa de construcción se definen como:
Etapa inicial (sin perdidas)
fbi ≤ 0.6 ∙ f´ci
fti ≤ −0.25 ∙ √f´ci
Para el pretensado se usará la tensión de tesado de:
0.6 fpu = 0.6 ∙ 1860 = 1116 MPa
Teniendo la fuerza de tesado para un cable de:
P = fps ∙ AsR ∙ Nºtorones
P = 1116 ∙ 98.7 ∙ 12 = 1321790.4 N = 1321.79 KN
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
226
A continuación se mostrara el cálculo para la sección B, en la construcción de las dos
primeras dovelas y para las ultimas dovelas, el cálculo completo de esfuerzos y momentos
se lo realizó en planillas de Excel.
Sección B
Datos:
Módulos resistentes: Wt = 6.5771 m3 Wb = 5.4934 m3
Área: A = 6.1698 m2
Peso del carro: Wc = 550 KN
Peso de las dovelas definido en la Tabla 8.4
Fuerza de un cable: 1321.79 KN
Figura 8. 8: Estados de carga para verificar esfuerzos
Mmin = W2 ∙ 1.5 + Wc ∙ 1.5 = 429.991 ∙ 1.5 + 550.00 ∙ 1.5
Mmin = 1469.99 KN − m
Mmax = W2 ∙ 1.5 + W3 ∙ 4.5 + Wc ∙ 4.5 = 429.991 ∙ 1.5 + 403.70 ∙ 4.5 + 550.00 ∙ 4.5
Mmax = 4936.64 KN − m
Para el Mmin se verifica las tensiones superior e inferior.
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
227
fct =P
A+
P3 ∙ e3
Wt+
P2 ∙ e2
Wt+
P1 ∙ e1
Wt−
Mmin
Wt
fcb =P
A−
P3 ∙ e3
Wb−
P2 ∙ e2
Wb−
P1 ∙ e1
Wb+
Mmin
Wb
Donde P es la fuerza de los cables que se tesan hasta la dovela 2, ya que son ocho cables
tenemos P = 10574.32 KN, debido a que solo tomamos en cuenta los cables que pasan por
esta sección a una distancia e3 debido a que las demás excentricidades no se toman en
cuenta porque la e1 pasa por encima y por debajo y se iguala con el tesado, e2 tampoco lo
tomamos en cuenta porque recién se tesaran en la siguiente dovela y no resistirá cargas en
nuestra sección en estudio. El preesfuerzo que se toma a una excentricidad e3 es la
correspondiente a cuatro torones ya que estos resistirán cargas, con estas consideraciones
tenemos que:
fct =10574.32
6.1698+
5287.16 ∙ 0.9690
6.5771+
0
6.5771+
0
6.5771−
1469.99
6.5771
fct = 2269.30 KN/m2 = 2.269 MPa
fcb =10574.32
6.1698−
5287.16 ∙ 0.9690
5.4934−
0
5.4934−
0
5.4934+
1469.99
5.4934
fcb = 1048.86 KN/m2 = 1.049 MPa
Para Mmax siguiendo el mismo procedimiento tenemos:
fct = 1.742 MPa
fcb = 1.680 MPa
A continuación se mostrara la verificación durante la construcción de la dovela 8 y 9 que es
donde se puede presentar los esfuerzos máximos en las fibras extremas.
Mmin = W2 ∙ 1.5 + W3 ∙ 4.5 + W4 ∙ 7.5 + W5 ∙ 10.5 + W6 ∙ 13.5 + W7 ∙ 16.5 + (W8 + Wc) ∙ 19.5
Mmin = 36852.80 KN − m
Mmax = W2 ∙ 1.5 + W3 ∙ 4.5 + W4 ∙ 7.5 + W5 ∙ 10.5 + W6 ∙ 13.5 + W7 ∙ 16.5 + W8 ∙ 19.5 +
(W9 + Wc) ∙ 22.5
Mmax = 46081.97 KN − m
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
228
Como P es acumulativo tenemos que para la dovela 8 y 9 que:
P = 42297.28 KN
P3 = 5287.16 KN
De acuerdo a estos valores obtenemos para Mmin que:
fct =42297.28
6.1698+
5287.16 ∙ 0.9690
6.5771+
0
6.5771+
0
6.5771−
36852.80
6.5771
fct = 2031.29 KN/m2 = 2.031 MPa
fcb =42297.28
6.1698−
5287.16 ∙ 0.9690
5.4934−
0
5.4934−
0
5.4934+
36852.80
5.4934
fcb = 12631.47 KN/m2 = 12.631 MPa
y para Mmax:
fct =42297.28
6.1698+
5287.16 ∙ 0.9690
6.5771+
0
6.5771+
0
6.5771−
46081.87
6.5771
fct = 628.06 KN/m2 = 0.628 MPa
fcb =42297.28
6.1698−
5287.16 ∙ 0.9690
5.4934−
0
5.4934−
0
5.4934+
46081.97
5.4934
fcb = 14311.31 KN/m2 = 14.31 MPa
Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo
f t f b f t f b
1 1515.99 5100.95 1.341 0.185 0.873 0.713
2 5100.95 9778.70 1.671 1.511 1.060 2.200
3 9778.70 15437.39 1.858 2.998 1.119 3.831
4 15437.39 22004.69 1.917 4.628 1.060 5.595
5 22004.69 29447.74 1.858 6.393 0.886 7.489
6 29447.74 37773.19 1.684 8.287 0.597 9.512
7 37773.19 47027.07 1.395 10.310 0.186 11.673
8 47027.07 57266.79 0.984 12.471 -0.353 13.978
Tabla 8- 9: Esfuerzos en las fibras sección A
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
229
Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo
f t f b f t f b
2 1469.99 4936.64 2.269 1.049 1.742 1.680
3 4936.64 9449.99 2.599 2.537 1.913 3.358
4 9449.99 14924.55 2.770 4.215 1.938 5.212
5 14924.55 21314.32 2.794 6.069 1.823 7.232
6 21314.32 28612.78 2.680 8.089 1.570 9.418
7 28612.78 36852.80 2.427 10.275 1.174 11.775
8 36852.80 46081.97 2.031 12.631 0.628 14.312
Tabla 8- 10: Esfuerzos en las fibras sección B
Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo
f t f b f t f b
3 1430.55 4798.56 3.265 2.089 2.672 2.842
4 4798.56 9180.39 3.587 3.758 2.815 4.738
5 9180.39 14516.88 3.731 5.653 2.790 6.847
6 14516.88 20788.35 3.706 7.763 2.600 9.165
7 20788.35 28014.52 3.516 10.081 2.242 11.697
8 28014.52 36233.13 3.158 12.613 1.709 14.451
Tabla 8- 11: Esfuerzos en las fibras sección C
Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo
f t f b f t f b
4 1397.67 4686.77 4.375 3.236 3.708 4.129
5 4686.77 8969.97 4.680 5.101 3.812 6.265
6 8969.97 14214.45 4.784 7.237 3.720 8.661
7 14214.45 20426.77 4.692 9.633 3.433 11.320
8 20426.77 27634.83 4.405 12.292 2.943 14.250
Tabla 8- 12: Esfuerzos en las fibras sección D
Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo
f t f b f t f b 5 1371.37 4601.29 5.548 4.513 4.804 5.559 6 4601.29 8818.77 5.828 6.582 4.857 7.948 7 8818.77 14017.25 5.880 8.971 4.683 10.654 8 14017.25 20214.75 5.707 11.678 4.280 13.684
Tabla 8- 13: Esfuerzos en las fibras sección E
Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo
f t f b f t f b 6 1351.64 4542.13 6.858 5.744 6.039 6.942 7 4542.13 8726.76 7.106 8.010 6.032 9.582 8 8726.76 13913.70 7.100 10.650 5.768 12.598
Tabla 8- 14: Esfuerzos en las fibras sección F
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
230
Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo
f t f b f t f b
7 1338.50 4509.27 8.053 7.193 7.168 8.528
8 4509.27 8685.66 7.999 9.358 6.833 11.116
Tabla 8- 15: Esfuerzos en las fibras sección G
Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo
f t f b f t f b
8 1331.93 4497.76 9.252 8.568 8.320 10.000
Tabla 8- 16: Esfuerzos en las fibras sección H
Como se puede observar en las tablas resúmenes los valores de esfuerzos en las fibras
superiores e inferiores cumplen con los esfuerzos admisibles especificados en [LRFD Art.
5.9.4.1] y [LRFD Art. 5.9.4.2], es decir que en la etapa de construcción considerando las
pérdidas no existirán fallas en las secciones.
8.6.2. Verificación de los esfuerzos admisibles para t = ∞
En este apartado se comprobara las tensiones admisibles en la sección cajón debido a la
etapa de servicio, según [LRFD Art. 5.9.4.1] y [LRFD Art. 5.9.4.2] los esfuerzos
admisibles en la etapa de construcción se definen como:
Etapa inicial (con pérdidas)
fci ≤ 0.45 ∙ f ′𝑐 ; fti ≤ −0.50 ∙ √f′𝑐
Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo
f t f b f t f b
1 1515.99 5100.95 0.966 0.195 0.498 0.722
2 5100.95 9778.70 1.101 1.326 0.490 2.014
3 9778.70 15437.39 1.094 2.618 0.355 3.451
4 15437.39 22004.69 0.958 4.054 0.101 5.021
5 22004.69 29447.74 0.704 5.624 -0.267 6.720
6 29447.74 37773.19 0.336 7.323 -0.751 8.549
7 37773.19 47027.07 -0.148 9.152 -1.356 10.515
8 47027.07 57266.79 -0.753 11.118 -2.089 12.625
Tabla 8- 17: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección A
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
231
Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo
f t f b f t f b
2 1469.99 4936.64 1.662 0.858 1.135 1.489
3 4936.64 9449.99 1.783 2.137 1.096 2.959
4 9449.99 14924.55 1.744 3.607 0.912 4.604
5 14924.55 21314.32 1.560 5.252 0.588 6.415
6 21314.32 28612.78 1.236 7.063 0.127 8.391
7 28612.78 36852.80 0.775 9.039 -0.478 10.539
8 36852.80 46081.97 0.170 11.187 -1.233 12.868
Tabla 8- 18: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección B
Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo
f t f b f t f b
3 1430.55 4798.56 2.408 1.658 1.814 2.411
4 4798.56 9180.39 2.507 3.103 1.734 4.083
5 9180.39 14516.88 2.427 4.776 1.486 5.969
6 14516.88 20788.35 2.178 6.662 1.073 8.064
7 20788.35 28014.52 1.765 8.757 0.492 10.373
8 28014.52 36233.13 1.184 11.065 -0.264 12.903
Tabla 8- 19: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección C
Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo
f t f b f t f b
4 1397.67 4686.77 3.239 2.539 2.572 3.433
5 4686.77 8969.97 3.307 4.168 2.439 5.331
6 8969.97 14214.45 3.174 6.066 2.111 7.491
7 14214.45 20426.77 2.846 8.226 1.586 9.913
8 20426.77 27634.83 2.321 10.648 0.860 12.606
Tabla 8- 20: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección D
Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo
f t f b f t f b
5 1371.37 4601.29 4.118 3.521 3.375 4.567
6 4601.29 8818.77 4.149 5.341 3.178 6.706
7 8818.77 14017.25 3.952 7.480 2.755 9.163
8 14017.25 20214.75 3.529 9.937 2.102 11.943
Tabla 8- 21: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección E
Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo
f t f b f t f b
6 1351.64 4542.13 5.101 4.467 4.282 5.666
7 4542.13 8726.76 5.090 6.473 4.015 8.045
8 8726.76 13913.70 4.823 8.852 3.491 10.801 Tabla 8- 22: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección F
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
232
Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo
f t f b f t f b
7 1338.50 4509.27 5.999 5.577 5.113 6.911
8 4509.27 8685.66 5.742 7.539 4.576 9.298
Tabla 8- 23: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección G
Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo
f t f b f t f b
8 1331.93 4497.76 6.901 6.626 5.968 8.058
Tabla 8- 24: Esfuerzo fibras en t = ∞ sección H
Como se puede observar en las tablas resúmenes los valores de esfuerzos en las fibras
superiores e inferiores cumplen con los esfuerzos admisibles especificados en [LRFD Art.
5.9.4.1] y [LRFD Art. 5.9.4.2], es decir que en la etapa de construcción sin considerar las
pérdidas no existirán fallas en las dovelas.
8.7. CONTROL DE FLECHAS
8.7.1. Introducción
Las dovelas actúan como ménsulas la cual producen grandes deformaciones debido a
las extensas longitudes que deben cubrir, es necesario verificar las deformaciones en estos
elementos debido a que se exige un estricto control en la etapa de construcción y además es
una forma de verificar el cálculo realizado y hacer las correcciones necesarias.
Durante la etapa de construcción las dovelas presentan deformaciones debido a los
siguientes factores:
Peso propio de las dovelas
Peso del carro móvil de hormigonado.
Al pretensado que asegura la unión de las dovelas
Después de la etapa constructiva el tablero continúa sufriendo deformaciones debido a
los siguientes factores:
Tesado de los cables de solidarización
Retirada de los equipos móviles
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
233
Colocación de los elementos de la superestructura.
8.7.2. Evaluación de las flechas debido a la deformación lenta
El cálculo de las perdidas diferidas a consecuencia de la fluencia del hormigón es
afectado por múltiples factores. La estimación de las flechas debido a la deformación lenta
de acuerdo con la hipótesis usual considera cierto factor 𝜑(𝑡) de la deformación instantánea
inicial. Así en una cierta sección de la superestructura, la flecha 𝜔(𝑡) para el tiempo t está
dada por:
𝜔(𝑡) = 𝜔𝑖 + 𝜑(𝑡) ∙ 𝜔𝑖 = (1 + 𝜑(𝑡)) ∙ 𝜔𝑖 (8. 10)
Siendo 𝜔𝑖 la flecha inicial.
Las flechas son calculadas a través de las fórmulas de Resistencia de Materiales, con un
valor de módulo de elasticidad de concreto Ei correspondiente al instante de su análisis, el
cual depende de su edad (en días).
El factor:
φ(t) =ω(t) − ωi
ωi (8. 10)
Caracteriza la relación entre las flechas diferidas 𝜔(𝑡) − 𝜔𝑖 y las flechas iniciales dependen
de varios factores como se presenta a continuación:
φ(t) = β1 ∙ β2 ∙ β3 ∙ β4 ∙ β5 (t) (8. 11)
Siendo los factores βi dependientes de:
β1: Condiciones climáticas
β2: La edad del concreto al instante de la aplicacion de la carga
β3: Composicion del concreto
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
234
β4: El espesor de la placa
β5: Una funcion del tiempo que define la deformacion lenta.
Figura 8. 9: Deformaciones y contra flechas de las dovelas
Según el grafico la flecha definida para una distancia x del apoyo será dada por la siguiente
expresión:
ω(t) = ∑M ∙ (x − y)
E ∙ J∙ ∆y ∙ (1 +
x
0
φ(t)) (8. 12)
Dónde:
Mij = Representa el momento resultante producido por el peso de la dovela y el preesfuerzo
de la dovela j en el centro de la dovela i.
∆yi = Ancho de la dovela i.
yi = Distancia del centro del apoyo al c.g. de la dovela i
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
235
E1,2,3..= Modulo de elasticidad del concreto a distintas edades
φ1,2,3.. = Coeficiente de deformación lenta del concreto
ωn (t) = Flecha total en la abscisa xn
8.7.3. Calculo de las flechas
Para comenzar el cálculo de las flechas se debe definir las etapas de estudio, el módulo
de elasticidad está en función del tiempo así también como el factor de deformación lenta
los cuales están definidos en las normas AASHTO y ACI los cuales mostraremos a
continuación.
𝐸 = 𝜔𝑐1,5 ∙ 𝐶 ∙ √𝑓´𝑐 (8. 13)
Como se observa en la ecuación el módulo de elasticidad depende de la resistencia del
hormigón cuyo valor corresponde al instante de acción de cargas, es decir es dependiente
del tiempo, sin embargo para la estimación de la resistencia del hormigón es necesario
tomar en cuenta el uso de aditivos y acelerantes.
Por tanto tomaremos en cuanta que la resistencia necesaria para soportar el esfuerzo de
compresión ocasionado por el preesfuerzo (estimado de 28 MPa) se obtendrá al tercer día.
La resistencia proyectada a partir de esta para los siguientes días según la propuesta de la
Norma ACI es la siguiente:
F = 1.35 t + 10
t + 20 (8. 14)
R28 = Rt
F (8. 15)
Dónde:
Rt = Resistencia antes de los 28 días
t = Número de días antes de los 28 días
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
236
R28 = Resistencia probable a los 28 días
F = Factor de tiempo
Fluencia lenta
ψ (t, ti) = 1.9 ∙ kvs ∙ khc ∙ kf ∙ ti−0.118 (8. 16)
khc = 1.56 − 0.008 ∙ H
kvs = 1.45 − 0.13 (V
S) ≥ 1.0
kf = 35
7 + f´ci
Dónde:
H es la humedad relativa, kvs es el factor del volumen en proporción a la superficie del
componente, kf es el factor de resistencia del concreto, khc es el factor por fluencia, ktd factor del
desarrollo del tiempo, 𝑡𝑖 es la edad del concreto al aplicar el preesfuerzo inicial, 𝑡𝑓 edad final del
concreto.
Como V/S es muy grande se puede adoptar un valor de kvs = 1
khc = 1.56 − 0.008 ∙ (60) = 0.936
ktd =t
61 − 0.58 ∙ f´ci + t
Planilla resumen
Dovela 𝐯𝐢
∑ 𝐯𝐢 Nº 1 0.03831 0.03831 2 0.03533 0.07364 3 0.03056 0.10420 4 0.02364 0.12784 5 0.01499 0.14284 6 0.00745 0.15029 7 0.00256 0.15284 8 0.00056 0.15340 9 0.00000 0.15340
Deflexión 0.15340
Tabla 8- 25: Planilla resumen deflexiones
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
237
8.8. ANALISIS ESTRUCTURAL PUENTE CAJON CURVO
8.8.1. Análisis de cargas
Finalizado el diseño en la etapa constructiva del puente con el apoyo de la dovela de
cierre en el estribo nos topamos con un nuevo sistema estructural hiperestático como se
muestra en la Figura 8.10, donde el puente es parecido a un modelo de vigas continuas.
Ahora se puede hablar de vigas continuas de sección e inercia variable para el cálculo de la
carga muerta, además se debe analizar las cargas de vivas de servicio (Carga de camión y
carga de carril), las cargas por rodadura y por las barandas también deben tomarse en
cuenta aunque no sean muy significantes cuando se realiza las combinaciones de carga. En
nuestro proyecto para el diseño en las etapas de servicio se modela en el programa CSI
Bridge el modelo del puente curvo, en el cual se hará afectar las cargas por unidad de
superficie, las secciones cajón serán definidas con elementos shell, este elemento es usado
para modelar estructuras tridimensionales el cual es nuestro caso siendo un tipo de objeto
área. Dependiendo de las propiedades de la sección que se le asignen al área, el objeto
puede ser usado para modelar comportamiento de esfuerzo/deformación plana y de sólidos
axisimétricos.
Figura 8. 10: Puente curvo continúo hiperestático
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
238
Cargas muertas DC
La carga muerta para el diseño del puente solo toma en cuenta el peso propio de la sección
variable cajón del puente además de la carga ocasionada por el peso de la baranda. La
baranda como se especificó en el acápite anterior para el diseño se lo representa con el
siguiente valor:
qbaranda = 6 KN/m
La carga por peso propio de la sección cajón es calculada directamente por el programa
computacional previa entrada de datos de la geometría.
Fuerza centrifuga
Para la velocidad de diseño de 50 km/hr o 13.89 m/seg, el coeficiente de la fuerza
centrífuga es del 0.2623 el cual es multiplicado por el peso del camión (sin asignación
dinámica), esta fuerza actúa a 1800 mm por encima de la calzada.
El momento de vuelco por eje principal es la multiplicación del factor C igual a
(0.2623) por el peso de la rueda trasera (72.50 KN) y el brazo de (1800mm.), que es igual a
34.23 KN-m, para las ruedas delanteras el peso de la rueda del camino es de 17.50 KN el
cual produce un momento de vuelco igual a 8.26 KN-m.
Figura 8. 11: Fuerza centrifuga
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
239
Los momentos son colocados de manera radial como se muestra en la Figura 8.11, los
cuales fueron colocados en los lugares donde producirán los máximos momentos torsores
hacia las vigas principales.
C= (4
3)
13.892
9.807∙100= 0.2623
F1=F2=17.5 (0.2623)=4.59 KN
F3=F4=17.5 (0.2623)=19.02 KN
F5=F6=17.5 (0.2623)=19.02 KN
M1=M2=9.92 KN-m
M3=M4=M5=M6=41.08 KN-m
Gradiente de temperatura
En [LRFD 3.12.2] y [LRFD 3.12.3] se presenta el modelo del gradiente de temperatura
para distintas zonas de Estados Unidos. Para estas zonas se toman las temperaturas
positivas según lo especificado en la Tabla 8-27 para diferentes condiciones superficiales
del tablero. Las temperaturas negativas se deberán obtener multiplicando los valores
especificados en la Tabla 8-26 por -0,30 en el caso de tableros de hormigón simple y por -
0,20 en el caso de tableros con carpeta asfáltica.
ZONA T1 (ºC) T2(ºC)
1 30 7.8
2 25 6.7
3 23 6
4 21 5
Tabla 8- 26: Bases para los gradientes de temperatura
El gradiente de temperatura vertical en superestructuras de hormigón y acero con
tableros de hormigón se puede tomar como se indica en la Figura 8.13
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
240
Figura 8. 12: Gradiente de temperatura vertical positivo en superestructuras de Hº
La dimensión "A" de la Figura 2 se deberá tomar como:
• Para superestructuras de hormigón de 400 mm o más de profundidad - 300 mm
• Para secciones de hormigón de profundidad menor que 400 mm - 100 mm menos que
la profundidad real
• Para superestructuras de acero, la distancia "t" se deberá tomar igual a la altura del
tablero de hormigón.
El valor de T3 se deberá tomar como 0ºC, a menos que se realice un estudio específico
in situ para determinar un valor adecuado. En ningún caso deberá ser mayor que 3ºC.
CLIMA ACERO O ALUMINIO HORMIGON MADERA
MODERADO -18ºC a 50ºC -12ºC a 27ºC -12ºC a 24ºC
FRIO -38ºC a 50ºC -18ºC a 27ºC -18ºC a 24ºC
Tabla 8- 27: Rangos de temperatura
Si se considera el gradiente de temperatura, las tensiones internas y deformaciones de la
estructura provocadas tanto por gradientes de temperatura positivos como por gradientes
negativos se podrán determinar de acuerdo con los requisitos del Artículo 4.6.6.
Para nuestro proyecto adoptaremos la Zona 1 la cual es semejante a la del trópico
boliviano el cual es uno de los casos más extremos debido a su gran variación de
temperatura.
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
241
8.8.2. Modelos estructurales
En los siguientes puntos se muestra cinco modelos estructurales computacionales en el
cual se puede observar las diferentes etapas de diseño del puente como las que son las
constructivas. La versatilidad del software nos permite analizar en el tiempo los puentes, es
por eso que los efectos de carga por fluencia son modeladas con la opción de secuencia de
construcción donde el programa analiza la estructura de forma no lineal. Las etapas
constructivas se modela al puente como una estructura de viga continua modela con
elementos shell esto por tratarse de una estructura tridimensional.
Modelo 1 Secuencia de construcción
La definición de la geometría del modelo por secuencia de construcción se lo debe
realizar primeramente definiendo el modelo completo para después ir creando grupos los
cuáles serán las dovelas que serán ejecutadas según el tiempo dado. En nuestro caso
comenzamos de la dovela cero desde la pila que se encuentra en la mitad del tramo la cual
esta marca de verde en la Figura 8.14, consecutivamente se va creando grupos para
culminar así el puente. El material para este análisis debe modificar en las opciones
avanzadas se deberá activar las propiedades dependientes del tiempo en esta opción se
podrá activar el creep los valores de humedad relativa asumidos para este análisis serán del
88%
Figura 8. 13: Modelo computacional por secuencia de construcción
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
242
La única finalidad de este modelo es obtener los esfuerzos de cada dovela en el tiempo e
instante que será construido además de ver el comportamiento de la estructura en el tiempo
que se esté ejecutando el mismo, como también la deformación que presenta este en el
transcurso de la ejecución de las dovelas.
Los momentos, cortantes y torsores son tabulados en la tabla 8-28
Distancia Cortantes
V2 Torsores
T Momentos M3
m KN KN-m KN-m
0 0.00 0.00 0.00
3 824.41 -33.40 -1238.07
6 1649.66 2.94 -4949.62
9 2479.59 191.66 -11139.04
12 3429.25 609.85 -20018.19
15 4282.58 1354.49 -31555.16
18 5154.61 2500.89 -45652.65
21 6197.80 4120.24 -62439.62
24 7121.27 6337.28 -82245.53
27 8077.49 9036.38 -104685.60
30.65 9261.16 13853.72 -136154.25
Tabla 8- 28: Fuerzas en etapas de construcción
Modelo 2 Peso propio mas barandas y rodadura (DC, DW)
El modelo dos ya se trata de una estructura de viga continua, para este se define la
sección cajón mediante elementos shell esto porque estos elementos nos ayudara a modelar
la estructura de forma tridimensionales y así poder ver las distorsión de dicha sección.
Al ser los elementos shell elementos área, en consecuencia las cargas que se aplican a
ellos deberán ser de carga por superficie o puntuales aplicadas en los nudos del elemento.
En el caso de la carga muerta por peso propio de los elementos el programa ya lo toma
de forma automática, sin embargo, para la carga debido a las barandas estas serán
ingresadas de forma puntual a los nudos esta fuerza P no será nada más que el producto de
la carga de 6KN/m por la separación de los elementos shell en el nuestro por 1m entonces
DC=6(1)= 6KN por nudo. Para la carga debida a la rodadura no será nada más que la
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
243
multiplicación del espesor del asfalto por su peso específico en nuestro caso DW=22.5
(0.05)=1.125 KN/m2
Figura 8. 14: Cargas debidas a barandas y rodadura en puentes
La tabla 8-29 muestra un resumen de los datos de salida del modelo los momentos,
cortantes y torsores para las diferentes estados son mostrado solo para un tramo del puente
esto porque este es simétrico por ende se repetirá lo mismo en el otro extremo.
Dist DC(PESO PROPIO) DC(BARANDA) DW(RODADURA)
V2 T M3 V2 T M3 V2 T M3
m KN KN-m KN-m KN KN-m KN-m KN KN-m KN-m
0 -1562.62 324.90 -1914.41 -124.11 49.15 -148.02 -86.94 16.58 -107.63
3 -1150.41 243.37 2162.13 -89.23 37.30 184.85 -62.90 12.06 125.63
6 -737.79 138.95 5015.43 -62.23 25.25 410.56 -44.30 6.52 285.25
9 -322.83 -50.75 6661.00 -25.69 4.65 530.86 -19.12 -4.04 372.29
12 152.00 -266.23 6986.67 10.04 -17.41 545.32 5.50 -15.84 386.59
15 578.67 -469.07 6007.16 46.97 -44.90 454.01 30.92 -28.78 328.22
18 1014.68 -623.61 3767.27 82.16 -54.41 257.14 55.20 -34.98 197.30
21 1536.28 -693.78 196.94 119.99 -63.63 -45.01 81.26 -38.25 -5.98
24 1998.02 -638.67 -4875.89 156.22 -62.16 -452.06 106.23 -34.54 -281.36
27 2476.13 -418.31 -11311.48 189.80 -46.82 -963.57 129.36 -21.74 -628.53
30.65 3067.95 140.89 -21435.61 235.25 -6.51 -1757.78 160.68 9.34 -1170.15
Tabla 8- 29: Fuerzas debido a DC y DW
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
244
Modelo 3 Carga Viva y fuerza centrífuga (LL+IM) (CF)
En cuanto al modelo carga viva se asigna a la estructura tres camiones los cuales el
programa los nombra como HL-93 M , HL-93 S y HL-93 K donde no son nada más que el
camión tándem con dos ejes de peso de 110KN, triden con tres ejes de 35KN y dos de
145KN y un especial que es la combinación de ambos cabe recalcar que al ser una camión
tipo HL-93 lleva aparte del peso de los ejes una carga distribuida sobre toda el ancho de
calzada, además se incrementa el 33% a cada carga de carril por efectos dinámicos .
El análisis que hace netamente el programa es de forma iterativa posicionando asi las
cargas vehiculares en puntos donde el momento flector será el máximo positivo como el
mínimo negativo para después nos muestre una envolvente de dichas fuerzas, en cuanto al
cortante y la torsión se realiza la misma iteración.
Figura 8. 15: Posiciones de la carga viva en puentes
La carga por fuerza centrífuga no es nada más que un momento que va en dirección
hacia el centro de curvatura, estos momentos fueron calculados en la sección 8.8.1. El
resumen de la envolvente de momentos, cortantes y torsión debido a carga viva vehicular y
fuerza centrífuga son detallados en la tabla 8-30
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
245
Dist. Typo
LL(VIVA+IMPACTO) CF(FUERZA
CENTRIFUGA)
V2 T M3 V2 T M3
m KN KN-m KN-m KN KN-m KN-m
0 Max 133.82 1226.76 154.21
0 Min -958.26 -1199.58 -925.97 13.39 39.27 23.45
3 Max 136.63 1225.50 2147.22 13.39 39.52 -16.14
3 Min -837.83 -1148.14 -717.75 13.39 39.70 -15.69
6 Max 170.23 1147.99 3823.40 13.39 40.60 -55.32
6 Min -686.34 -1159.96 -1026.39 13.39 41.32 -54.78
9 Max 272.64 1112.82 4781.83 13.39 42.90 -94.86
9 Min -527.81 -1272.68 -1397.55 13.39 44.06 -94.33
12 Max 402.31 1141.55 5282.13 13.39 45.00 -122.57
12 Min -426.00 -1493.24 -1777.87 13.39 42.67 -94.90
15 Max 538.10 1136.32 5192.45 13.39 45.38 -135.63
15 Min -317.94 -1675.26 -2155.81 13.39 47.08 -135.05
18 Max 666.85 1210.34 4652.14 13.39 20.96 -14.58
18 Min -223.71 -1789.63 -2528.97 13.39 21.14 -14.32
21 Max 804.91 1323.95 3664.13 13.39 -11.76 104.31
21 Min -147.49 -1873.01 -2906.02 13.39 -12.68 104.20
24 Max 925.82 1455.66 2377.50 13.39 -13.60 61.01
24 Min -88.14 -1892.19 -3621.24 13.39 -14.29 60.85
27 Max 1029.35 1596.24 1207.02 13.39 -13.92 17.24
27 Min -43.54 -1856.81 -5293.07 13.39 -14.12 17.07
30.7 Max 1164.08 1852.89 285.47 13.39 -13.65 -32.15
30.7 Min -12.15 -1754.60 -8261.60 9.39 89.85 -36.92
Tabla 8- 30: Máximos y mínimos por carga viva y fuerza centrifuga
Modelo 4 Carga por temperatura
Para el modelo por carga de temperatura se lo realiza con la opción de “Temperature
load” de la venta Bridge del programa en el cual nos permite ingresar tanto el gradiente de
temperatura como la temperatura uniforme.
El ingreso del gradiente de temperatura se puede realizar siguiendo dos caminos el
primero es eligiendo los gradientes que se tiene en la biblioteca que son de la AASHTO que
con solo seleccionar la zona ya este nos dará el gradiente del mismo otra opción es
ingresando un gradiente por defecto donde deberemos asignar los valores de “d y T” para
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
246
asi forma el gradiente. Para el caso de temperatura consta en el mismo menú solo se deberá
asignar la temperatura máxima.
En el caso de nuestro proyecto se ingresó el gradiente de forma automática
seleccionando la zona 1 ya que esta es la más crítica como se muestra en la Figura 8.17
para el caso de temperatura uniforme la temperatura asignada es de 30ºC, los datos de
salida son mostrados en la tabla 8-31
Figura 8. 16: Cargas por temperatura en CSiBridge
Dist. TC(TEMPERATURA +) TC (TEMPERATURA -)
V2 T M3 V2 T M3 m KN KN-m KN-m KN KN-m KN-m
0.00 -451.57 837.02 -1826.89 135.47 -251.11 548.07 3.00 -451.57 849.13 -450.09 135.47 -253.20 137.89 6.00 -451.57 829.68 947.95 135.47 -252.60 -281.11 9.00 -451.57 777.55 2376.58 135.47 -241.92 -710.08 12.00 -451.57 695.81 3837.27 135.47 -220.31 -1149.02 15.00 -451.57 555.95 5334.02 135.47 -186.89 -1597.98 18.00 -451.57 385.78 6861.92 135.47 -140.77 -2057.02 21.00 -451.57 195.66 8422.66 135.47 -81.04 -2526.18 24.00 -451.57 -91.32 10017.87 135.47 -6.74 -3005.48 27.00 -451.57 -413.16 11645.50 135.47 83.13 -3494.86 30.65 -451.57 -732.10 13285.10 135.47 219.63 -3983.85
Tabla 8- 31: Fuerzas debido a cargas de temperatura
Modelo 5 Carga por preesfuerzo
En el modelo con cables preesforzados es casi similar al descrito en el capítulo anterior
solo que en esta vez los tendones siguen la trayectoria mostrada en la Figura 8.18, se
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
247
dispones 4 cables por dovela contando desde la dovela 2 cada uno con su fuerza de
preesfuerzo
Figura 8. 17: Disposición de cables en modelo computacional
Dist. P V2 T M3
m KN KN KN-m KN-m
0 6698.10 1199.76 -2213.74 6907.57
3 1742.42 534.32 -2333.19 3257.05
6 -3291.01 -41.02 -2399.46 1443.06
9 -8315.03 -105.19 -2355.86 1261.18
12 -13312.36 -130.36 -2168.04 1407.03
15 -18242.86 -247.20 -1971.99 1939.34
18 -23143.97 -502.18 -1642.74 3230.95
21 -27950.32 -725.07 -1161.78 5754.20
24 -32649.04 -1145.86 -635.17 9680.72
27 -32711.79 210.33 93.94 16451.83
30.65 -32301.40 -1084.06 -1119.81 13404.10 Tabla 8- 32: Fuerzas debido al preesfuerzo
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
248
8.9.DISEÑO EN ETAPAS PERMANENTES
8.9.1. Redistribución de momentos por fluencia
Según la expresión de Dischinger el cual expresa que:
M∞=MII+(MI+MII)e-φ (8. 17)
donde M∞ representa el momento flector final, MI y MII son momentos al inicio de la construcción
y durante la etapa de ejecución de los mismos respectivamente. El valor de φ es el coeficiente de
deformación lenta la cual es dependiente del tiempo total de culminación del puente.
En el Figura 8.19 se muestra la envolvente de momento flextor debido a la construcción
de voladizos y la inclusión de los flextores debido a la fluencia del concreto (Creep). Para
ampliar más sobre el tema se puede consultar con [31] [36].
Figura 8. 18: Momentos por fluencia lenta del concreto
-20000.00
-10000.00
0.00
10000.00
20000.00
30000.00
40000.00
50000.00
60000.00
0 10 20 30 40 50 60 70
M (
KN
-m)
x(m)
M (II)
M (I)
Mfinal
Mcreep
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
249
Distance M (II) M (I) Mfinal Mcreep
m KN-m KN-m KN-m KN-m
0 0.00 1,914.41 1,753.41 1,753.41
3 1,330.28 -2,159.25 1,036.82 -293.45
3 1,330.28 -2,162.13 1,036.58 -293.70
6 1,331.93 -5,015.43 798.14 -533.79
6 1,331.93 -5,016.81 798.03 -533.90
9 4,509.27 -6,661.00 3,569.90 -939.37
9 4,509.27 -6,659.89 3,569.99 -939.28
12 8,726.76 -6,986.67 7,405.33 -1,321.43
12 8,726.76 -6,983.64 7,405.58 -1,321.18
15 14,017.25 -6,007.16 12,333.28 -1,683.97
15 14,017.25 -6,000.79 12,333.82 -1,683.43
18 20,426.77 -3,767.27 18,392.16 -2,034.61
18 20,426.77 -3,759.40 18,392.82 -2,033.95
21 28,014.52 -196.94 25,642.06 -2,372.46
21 28,014.52 -190.80 25,642.57 -2,371.95
24 36,852.80 4,875.89 34,163.68 -2,689.12
24 36,852.80 4,882.82 34,164.26 -2,688.54
27 47,027.07 11,311.48 44,023.54 -3,003.53
27 47,027.07 11,315.59 44,023.89 -3,003.18
30.65 54,025.20 21,435.61 51,284.56 -2,740.64
34.3 47,027.10 11,304.18 44,022.96 -3,004.14
37.3 36,852.80 4,874.73 34,163.58 -2,689.22
37.3 36,852.80 4,866.74 34,162.91 -2,689.89
40.3 28,014.52 -197.99 25,641.97 -2,372.55
40.3 28,014.52 -201.91 25,641.64 -2,372.88
43.3 20,426.77 -3,768.22 18,392.08 -2,034.69
43.3 20,426.77 -3,774.94 18,391.51 -2,035.26
46.3 14,017.25 -6,007.99 12,333.21 -1,684.04
46.3 14,017.25 -6,013.83 12,332.72 -1,684.53
49.3 8,726.76 -6,987.39 7,405.27 -1,321.49
49.3 8,726.76 -6,989.48 7,405.09 -1,321.67
52.3 4,509.27 -6,661.62 3,569.85 -939.42
52.3 4,509.27 -6,661.78 3,569.83 -939.44
55.3 1,331.93 -5,015.92 798.10 -533.83
55.3 1,331.93 -5,013.78 798.28 -533.65
58.3 1,330.28 -2,159.61 1,036.79 -293.48
58.3 1,330.28 -2,155.33 1,037.15 -293.12
61.3 0.00 1,918.84 161.37 161.37
Tabla 8- 33: Momentos por fluencia
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
250
8.9.2. Combinaciones de carga en estado de servicio
Servicio I = 1.0DC+1.0DW + 1.0 (LL+IM)+1.0 CF +1.0 TU +0.5 TG+ 1.0 CU +1.0 PF
Servicio II = 1.0DC+1.0DW + 1.3 (LL+IM)+1.3 CF +1.0 TU+ 1.0 CU +1.0 PF
Servicio III = 1.0DC+1.0DW + 0.8 (LL+IM)+0.8 CF +1.0 TU+ 1.0 CU +0.5 TG +1.0 PF
Servicio IV = 1.0DC+1.0DW +1.0 TU+ 1.0 CU +1.0 PF
Distancia SERVICIO I SERVICIO II
V2 T M3 V2 T M3
m KN KN-m KN-m KN KN-m KN-m
0.00 -1042.89 1726.86 -12303.86 -1074.87 1490.56 -12604.14
3.00 -582.38 1823.65 -7501.36 -613.55 1575.18 -6990.57
6.00 -657.74 1953.19 -1848.42 -678.23 1676.98 -1134.55
9.00 -460.71 2036.90 4198.85 -744.17 1789.33 4357.70
12.00 163.34 2196.76 8978.51 211.89 1924.94 8532.92
15.00 818.98 2257.21 12484.92 908.30 2022.57 11181.64
18.00 1363.09 2604.12 15420.97 1491.19 2437.82 13147.32
21.00 2026.04 3022.25 18050.84 2195.75 2961.96 14647.96
24.00 1791.48 3547.51 20412.50 2010.21 3763.03 15484.01
27.00 3087.89 4339.05 23425.55 3327.07 4654.96 17462.01
30.65 5141.79 5606.39 11416.85 5419.59 6078.60 4260.24
Figura 8. 19: Fuerzas en Servicio I y II
Distancia SERVICIO III SERVICIO IV
V2 T M3 V2 T M3
m KN KN-m KN-m KN KN-m KN-m
0.00 -1070.36 1399.66 -12323.90 -1253.43 -636.27 -12734.36
3.00 -1261.31 1553.79 -7907.65 -795.62 -522.58 -9669.82
6.00 -692.86 1647.63 -2594.72 -1548.75 -250.52 -5986.71
9.00 -516.07 1753.35 3261.79 -1137.61 -37.16 -1736.84
12.00 82.18 1924.22 7946.38 -315.65 153.38 1824.03
15.00 710.64 1999.49 11474.99 204.11 347.37 4617.07
18.00 1228.91 2356.49 14494.79 618.97 828.20 7127.17
21.00 1864.11 2776.86 17300.72 1143.21 1366.92 9772.19
24.52 1596.88 3273.63 19983.46 745.26 1982.82 12695.26
27.00 2879.65 4045.75 23188.24 1973.51 2748.47 15919.51
30.65 -3607.18 -2399.89 11282.19 3898.68 3872.63 4028.80
Figura 8. 20: Fuerzas en Servicio III y IV
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
251
Resistencia I = 1.25DC+1.50DW+1.75(LL+IM)+1.75CF+0.50TU+0.50CR+0.50TG+PF
Resistencia II = 1.25DC+1.50DW+1.35 (LL+IM)+1.35CF+0.50TU+0.50CR+0.50TG+PF
Resistencia III = 1.25DC+1.50DW +0.50TU+0.50CR+0.50TG+PF1.
Resistencia IV = 1.50DC+1.50DW +0.50TU+0.50CR+PF
Dist. RESISTENCIA I RESISTENCIA II
V2 T M3 V2 T M3
m KN KN-m KN-m KN KN-m KN-m
0.00 -3,197.65 -2,760.13 -6,417.12 -2,819.70 -2,296.01 -6,056.11
3.00 -2,966.17 -2,886.37 2,951.90 -2,078.71 -2,403.34 2,097.17
6.00 -2,708.91 -3,319.03 9,432.96 -2,452.44 -2,850.92 7,925.29
9.00 -1,940.54 -3,836.75 14,979.55 -1,736.70 -3,306.12 13,105.40
12.00 -1,051.72 -4,252.58 18,397.72 -902.01 -3,651.35 16,323.27
15.00 1,426.46 -4,685.02 19,396.39 -277.34 -4,011.59 17,374.29
18.00 2,023.84 -4,820.89 19,005.08 1,737.78 -4,094.24 17,150.43
21.00 2,765.72 -4,628.00 17,332.61 3,184.12 -3,904.44 16,480.17
24.00 3,206.54 -4,145.79 14,324.77 2,822.33 -3,387.94 13,349.03
27.00 4,920.06 -3,530.99 12,647.69 5,013.99 -2,637.74 12,116.61
30.65 7,353.20 4,714.54 -28,342.40 6,882.21 3,978.85 -25,024.90
Tabla 8- 34: Fuerzas en Resistencia I y II
Dist. RESISTENCIA III RESISTENCIA IV
V2 T M3 V2 T M3
m KN KN-m KN-m KN KN-m KN-m
0.00 -1,544.12 -729.60 -4,837.69 -1,731.68 -319.07 -4,374.51
3.00 -1,612.73 -977.02 -1,075.14 -1,688.13 -627.71 -219.35
6.00 -1,586.85 -1,271.05 2,836.91 -916.02 -880.21 3,750.75
9.00 -1,048.72 -1,515.24 6,780.15 -898.36 -1,360.75 7,382.88
12.00 -396.73 -1,622.17 9,322.01 -118.42 -1,573.92 9,248.23
15.00 398.33 -1,738.79 10,549.68 499.38 -1,806.33 9,424.94
18.00 772.29 -1,641.83 10,891.00 991.71 -1,804.70 8,355.27
21.00 1,289.49 -1,310.32 10,739.13 1,649.14 -1,545.55 6,414.82
24.00 1,525.61 -830.19 10,055.90 3,152.38 -1,042.10 4,389.73
27.00 3,563.87 144.16 10,461.07 3,705.82 -360.95 1,372.37
30.65 5,292.62 1,495.87 -13,828.33 6,063.00 1,253.00 -17,923.85
Tabla 8- 35: Fuerzas en Resistencia III y IV
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
252
8.9.3. Verificación de esfuerzos en etapas permanentes
Para obtener el momento en etapas permanentes tenemos que distribuir en las secciones
los momentos por fluencia obtenidos anteriormente, de ese modo se tiene los momentos de
servicio reales. Como se muestra en la tabla los valores de esfuerzos son críticos en las
dovelas más pequeñas, es por ese motivo que debemos diseñar los cables solidarios de
manera que la tracción sea admisible o que sea positiva, es decir que trabaje a compresión.
MSERV I + CREEP Wt Wb ft fb Comprobación
KN-m m3 m3
-10550.45 3.3345 2.1578 -3.16 -4.89 Solidario Solidario
-7794.81 3.3345 2.1578 -2.34 -3.61 OK Solidario
-2382.32 3.396 2.2113 -0.70 -1.08 OK OK
3259.57 3.5816 2.3755 0.91 1.37 OK OK
7657.33 3.8953 2.6620 1.97 2.88 OK OK
10801.49 4.3430 3.0890 2.49 3.50 OK OK
13387.02 4.9324 3.6816 2.71 3.64 OK OK
15678.89 5.6735 4.4711 2.76 3.51 OK OK
17723.96 6.5771 5.4934 2.69 3.23 OK OK
20422.37 7.6592 6.7928 2.67 3.01 OK OK
8676.21 7.6592 6.7928 1.13 1.28 OK OK
Tabla 8- 36: Verificación etapas de servicio
8.9.4. Diseño de cables solidarios
Para el diseño de los cables solidarios partimos del esfuerzo requerido que se debe
contrarrestar, en nuestro caso tomaremos el valor del esfuerzo en la última dovela que es de
-4.89 [MPa] en la fibra inferior, con este valor determinamos una variación de preesfuerzo
requerido ∆Po, el modulo resistente y excentricidad se toman para la última dovela.
e = Yb −hlosa inf.
2
e = 1.2143 − 0.20
2= 1.1143 m.
Wb = 2.1578 m3
∆Po =∆fb ∙ Wb
e
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
253
∆Po =4.89∙2.1578
1.1143= 9469.30 KN
Teniendo la fuerzo necesaria tomamos como referencia el Po por cable de nuestros
cables longitudinales.
Po (1 cable) = 999.54 KN
Dividiendo estas dos fuerzas obtenemos 9.474 cables, que podría tomarse como 9 o 10
cables requeridos con los que cumpliría. Para nuestro puente adoptaremos solo 9 cables los
que distribuiremos de la siguiente manera: cinco cables en la antepenúltima dovela, luego
tesamos dos cables más en la penúltima y por último tesamos dos cables más que llegarían
a sumar los nueve cables para la sección más crítica. Con esta configuración obtenemos los
siguientes momentos para redistribuirlos en la tabla anterior para las últimas dovelas.
M1 = 10024.09 [KN]
M2 = 7796.51 [KN]
M3 = 5568.94 [KN]
A continuación mostramos la tabla de comprobación de esfuerzos con la redistribución
de momentos por los cables solidarios
MSERV I + CREEP Wt Wb ft fb
Comprobació
n KN-m m3 m3
-526.36 3.3345 2.1578 -0.16 -0.24 OK OK
1.70 3.3345 2.1578 0.00 0.00 OK OK
3186.62 3.396 2.2113 0.94 1.44 OK OK
3259.57 3.5816 2.3755 0.91 1.37 OK OK
7657.33 3.8953 2.662 1.97 2.88 OK OK
10801.49 4.343 3.089 2.49 3.50 OK OK
13387.02 4.9324 3.6816 2.71 3.64 OK OK
15678.89 5.6735 4.4711 2.76 3.51 OK OK
17723.96 6.5771 5.4934 2.69 3.23 OK OK
20422.37 7.6592 6.7928 2.67 3.01 OK OK
8676.21 7.6592 6.7928 1.13 1.28 OK OK
Tabla 8- 37: Esfuerzos en cables solidarios
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
254
8.10. DISEÑO DE LA SECCION TRANSVERSAL
8.10.1. Diseño a corte
Para el diseño a corte asumiremos que el acero de refuerzo necesario se lo obtendrá de
la suma algebraica de refuerzos necesarios obtenidos para corte y torsión respectivamente.
El cálculo de corte y torsión combinados sigue el siguiente procedimiento analítico:
Se realiza el cálculo de dv, adoptando el mínimo valor de los siguientes:
dt,c = de −a
2
0.9 ∙ de
0.72 ∙ h
Del modelo computacional se determina los valores de Mu, Vu, Tu, Vp que son
utilizados para el diseño de la sección transversal.
Según [LRFD Art. 5.8.3.6.2] se especifica la corrección de la fuerza de corte
adicionando el efecto de la torsión según:
Vu = √Vu2 + (
0.9 ∙ ph ∙ Tu
2 ∙ Ao)
2
Donde ph es el perímetro de la sección y Ao es el área encerrada por el
perímetro.
Para determinar el cortante para cada alma solo se divide Vu entre dos, para dividir el
corte con la misma magnitud para las dos almas.
A continuación se calculó el esfuerzo de corte del hormigón de acuerdo a:
νu =Vu − ϕ ∙ Vp
∅ ∙ bv ∙ dv+
Tu ∙ ph
∅ ∙ Ao2
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
255
Luego se determina 𝜀𝑥
εs =
Mudv
+ 0.5 ∙ Nu + 0.5 ∙ (Vu − Vp) ∙ cot θ − Aps ∙ fpo
2 ∙ (Es ∙ As + Ep ∙ Aps)
Si el resultado con la ecuación anterior es negativo, calcular 𝜀𝑥 como sigue.
εs =
Mudv
+ 0.5 ∙ Nu + 0.5 ∙ (Vu − Vp) ∙ cot θ − Aps ∙ fpo
2 ∙ (Es ∙ As + Ep ∙ Aps + Ep ∙ Aps)
Luego determinamos θ y β de acuerdo a [LRFD Tabla 5.8.3.4.2-1] o con las siguientes
ecuaciones:
β =4.8
(1 + 750 ∙ εs)
θ = 29 + 3500 ∙ εs
El parámetro hace referencia al ancho efectivo de refuerzo de acero determinado como
la suma de las dos almas, y quitándoles los recubrimientos totales.
A continuación determinamos la resistencia del concreto.
Vc = 0.083 ∙ β ∙ √f´c ∙ bv ∙ dv
Determinamos el refuerzo necesario de corte necesario para resistir el corte mayorado.
Vs =Av ∙ fy ∙ (cot θ + cot α) ∙ sin α
sv
Luego determinamos la resistencia nominal, adoptando la menor de las dos siguientes:
Vs + Vc
0.25 ∙ f´c ∙ bv ∙ dv
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
256
s (m)
Sec. dv1 dv2 dv3 dv bv ph Ao
3 I 1604.92 1620.00 1440.00 1620.00 640.00 13300.00 8730000
6 H 1490.03 1641.60 1457.28 1641.60 640.00 13348.00 8846400
9 G 1449.53 1704.60 1507.68 1704.60 640.00 13488.00 9185900
12 F 1467.13 1809.90 1591.92 1809.90 640.00 13722.00 9753350
15 E 1532.41 1957.50 1710.00 1957.50 640.00 14050.00 10548750
18 D 1639.31 2147.40 1861.92 2147.40 640.00 14472.00 11572100
21 C 1784.50 2379.60 2047.68 2379.60 640.00 14988.00 12823400
24 B 1965.74 2653.20 2266.56 2653.20 640.00 15596.00 14297800
27 A 2184.04 2970.00 2520.00 2970.00 640.00 16300.00 16005000 Tabla 8- 38: Propiedades geométricas dovelas para torsión
s (m)
Sec. Vu´ (KN) Vuw (KN)
Vp ϴ
(tanteo) ɛs ϴ β Vc (KN)
3 I 3565.64 1782.82 1199.76 28.91 -2.06E-05 28.93 4.73 2406.59
6 H 3523.75 1761.88 617.28 28.84 -3.71E-05 28.87 4.67 2409.21
9 G 3192.59 1596.29 236.45 28.74 -6.12E-05 28.79 4.59 2458.48
12 F 2890.46 1445.23 196.33 28.65 -9.53E-05 28.67 4.48 2548.11
15 E 3149.54 1574.77 227.07 28.51 -1.32E-04 28.54 4.37 2686.24
18 D 3384.75 1692.37 502.18 28.38 -1.70E-04 28.40 4.26 2872.94
21 C 3684.33 1842.16 725.07 28.28 -2.04E-04 28.29 4.16 3113.81
24 B 3797.78 1898.89 1145.86 28.12 -2.35E-04 28.18 4.08 3403.54
27 A 5179.35 2589.68 237.01 28.12 -2.45E-04 28.14 4.06 3785.57 Tabla 8- 39: Diseño a corte en dovelas
Sec. Vuw Vcw φ Av Sv Vs Vc+Vs 0.25fc… Vn φ Vn Av/sv
I 1782.82 1203.30 10 157.08 240 805.76 2009.06 9072.00 2009.06 OK 0.654
H 1761.88 1204.61 10 157.08 260 755.50 1960.11 9192.96 1960.11 OK 0.604
G 1596.29 1229.24 10 157.08 370 553.19 1782.43 9545.76 1782.43 OK 0.425
F 1445.23 1274.05 10 157.08 650 336.00 1610.06 10135.44 1610.06 OK 0.242
E 1574.77 1343.12 10 157.08 580 409.46 1752.58 10962.00 1752.58 OK 0.271
D 1692.37 1436.47 10 157.08 590 444.00 1880.47 12025.44 1880.47 OK 0.266
C 1842.16 1556.90 10 157.08 590 494.44 2051.35 13325.76 2051.35 OK 0.266
B 1898.89 1701.77 10 157.08 800 408.42 2110.19 14857.92 2110.19 OK 0.196
A 2589.68 1892.78 10 157.08 370 989.98 2882.76 16632.00 2882.76 OK 0.425 Tabla 8- 40: Calculo de refuerzo por cortante en dovelas
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
257
8.10.2. Diseño a torsión
La torsión según [LRFD Art. 5.8.2.1.] se debe verificar si solo se cumple la siguiente
desigualdad:
Tu ≥ 0.25 ∙ ∅ ∙ Tcr
Remplazando las formulas facilitadas por la norma AASHTO LRFD se tiene la
siguiente expresión:
Tu ≥ 0.25 ∙ ∅ ∙ 0.328 ∙ √f´c
Acp2
pc√1 +
fpc
0.358 ∙ √f´c
Donde todos los parámetros ya fueron mencionados en el anterior capitulo, además
debido a la curvatura del puente se debe asumir que el efecto de la torsión es muy grande y
es necesario hacer las verificaciones de torsiones para todos los elementos o dovelas.
Entonces se debe cumplir que:
∅Tn ≥ Tu
Tn =2 ∙ Ao ∙ At ∙ fy ∙ cot θ
st
Uniendo estas dos ecuaciones tenemos la siguiente expresión:
At
st≥
Tu
∅2 ∙ Ao ∙ fy ∙ cot θ
Con el cálculo de esta relación y sumándola con la de corte podemos obtener el refuerzo
requerido para una cierta separación.
At
st+
Av
sv
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
258
s Sec. Tu φ At St Tn (N-mm) TN (KN-m) At/St φ Tn
3 I 2886.37 10.00 157.08 640.00 3.257E+09 3256.63 0.245 OK
6 H 3319.03 10.00 157.08 570.00 3.714E+09 3714.19 0.276 OK
9 G 3836.75 10.00 157.08 510.00 4.326E+09 4325.50 0.308 OK
12 F 4252.58 10.00 157.08 490.00 4.804E+09 4803.82 0.321 OK
15 E 4685.02 10.00 157.08 490.00 5.224E+09 5223.64 0.321 OK
18 D 4820.89 10.00 157.08 520.00 5.430E+09 5429.55 0.302 OK
21 C 4628.00 10.00 157.08 610.00 5.154E+09 5154.27 0.258 OK
24 B 4145.79 10.00 157.08 760.00 4.634E+09 4633.53 0.207 OK
27 A 3530.99 10.00 157.08 1000.00 3.948E+09 3947.80 0.157 OK Tabla 8- 41: Calculo de refuerzo por torsión
Según [LRFD Art. 5.8.2.5] la armadura mínima transversal se especifica con la
siguiente ecuación:
Av
s≥ 0.083 ∙ √f´c ∙
bv
fy
De acuerdo a esta disposición se verifica que el acero adoptado para el refuerzo sea
mayor o igual a la armadura mínima transversal necesaria.
s Sec. Av/sv At/st Av/Sv+At/St Av/s
min A/s
Armado corte y torsión
3 I 0.654 0.245 0.900 0.748 0.900 Usar : ∅ 10 cada 17 cm
6 H 0.604 0.276 0.880 0.748 0.880 Usar : ∅ 10 cada 18 cm
9 G 0.425 0.308 0.733 0.748 0.748 Usar : ∅ 10 cada 21 cm
12 F 0.242 0.321 0.562 0.748 0.748 Usar : ∅ 10 cada 21 cm
15 E 0.271 0.321 0.591 0.748 0.748 Usar : ∅ 10 cada 21 cm
18 D 0.266 0.302 0.568 0.748 0.748 Usar : ∅ 10 cada 21 cm
21 C 0.266 0.258 0.524 0.748 0.748 Usar : ∅ 10 cada 21 cm
24 B 0.196 0.207 0.403 0.748 0.748 Usar : ∅ 10 cada 21 cm
27 A 0.425 0.157 0.582 0.748 0.748 Usar : ∅ 10 cada 21 cm
Tabla 8- 42: Refuerzo de acero provisto por corte y torsión
8.10.3. Análisis estructurales de sección transversales
Para el diseño en sección transversal se debe verificar los estados de corte, momento en
torsión en la etapa constructiva y en la etapa permanente de manera que se puede diseñar
óptimamente y no existan complicaciones ni en la primera ni la segunda etapa. Para ello se
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
259
desarrolla un modelo de sección transversal mediante el programa SAP2000 en el cual se
aplicara las cargas de flexión debido a las cargas de barandas, rodadura y cargas vivas.
El diseño por torsión y corte se los diseñara en conjunto de manera similar al realizado
para los puentes con la viga I postensada con los resultados obtenidos en los modelos
estructurales para la sección cajón.
Dovela Losa superior Losa inferior
Alma derecha
interior Alma izquierda
exterior M+
(KN-m) M-
(KN-m) M+
(KN-m) M-
(KN-m) M+
(KN-m) M-
(KN-m) M+
(KN-m) M-
(KN-m)
0 71.29 -209.07 56.33 -126.95 72.73 -104.25 98.46 -25.11
1 70.58 -122.33 56.38 -114.55 79.76 -102.89 96.18 -43.39
2 71.29 -136.49 9.4 -13.88 56.65 -37.55 61.76 -24.58
3 70.44 -172.49 18.28 -13.96 75.06 -27.68 44.36 -49.7
4 70.97 -132.12 12.25 -21.37 94.43 -53.44 71.43 -81.61
5 70.74 -143.91 14.47 -27.56 70.43 -79.31 115.58 -59.19
6 94.98 -122.44 23.81 -16.13 75.47 -49.58 72.52 -63.09
7 71.89 -180.86 18.8 -24.46 40.85 -60.12 62.79 -84.07
8 71.93 -212.06 27.44 -43.32 58.06 -132.26 84.39 -85.3
9 96.71 -207.53 63.39 -39.61 114.12 -137.97 119.73 -207.62 Tabla 8- 43: Momentos flextores en dovelas
Figura 8. 21: Momentos por carga viva en dovelas
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
260
Figura 8. 22: Momentos por carga viva en dovelas
8.10.4. Diseño a flexión en secciones transversales
El análisis por flexión se realizó por medio de los modelos computacionales, de los cuales
se obtuvo los siguientes resultados:
Dov. M (+) M (-) As + As - Acero requerido (+) Acero requerido (-)
(KN-m) (KN-m) (cm2) (cm2) Φ As (cm2) S (cm) Φ As (cm2) S (cm)
0 71.29 -209.07 4.75 14.16 10 0.79 17 16 2.01 15
1 70.58 -122.33 4.70 8.20 10 0.79 17 12 1.13 14
2 71.29 -136.49 4.75 9.17 10 0.79 17 12 1.13 13
3 70.44 -172.49 4.70 11.63 10 0.79 17 16 2.01 18
4 70.97 -132.12 4.73 8.87 10 0.79 17 12 1.13 13
5 70.74 -143.91 4.72 9.67 10 0.79 17 12 1.13 12
6 94.98 -122.44 6.35 8.21 10 0.79 13 12 1.13 14
7 71.89 -180.86 4.79 12.21 10 0.79 17 16 2.01 17
8 71.93 -212.06 4.80 14.37 10 0.79 17 16 2.01 14
9 96.71 -207.53 6.47 14.05 12 1.13 18 16 2.01 15 Tabla 8- 44 Refuerzo requerido en losa superior
Dov. M (+) M (-) As + As - Acero requerido (+) Acero requerido (-)
(KN-m/m) (KN-m) (cm2) (cm2) Φ As (cm2) S (cm) Φ As (cm2) S (cm)
0 56.33 -126.95 3.65 8.28 10 0.79 22 12 1.13 14
1 56.38 -114.55 3.65 7.46 10 0.79 22 12 1.13 16
2 9.4 -13.88 0.69 1.02 10 0.79 114 10 0.79 77
3 18.28 -13.96 1.55 1.18 10 0.79 51 10 0.79 67
4 12.25 -21.37 1.18 2.06 10 0.79 67 10 0.79 39
5 14.47 -27.56 1.57 3.01 10 0.79 50 10 0.79 27
6 23.81 -16.13 2.89 1.95 10 0.79 28 10 0.79 41
7 18.8 -24.46 2.47 3.23 10 0.79 32 10 0.79 25
8 27.44 -43.32 3.87 6.17 10 0.79 21 10 0.79 13
9 63.39 -39.61 9.18 5.66 10 0.79 9 10 0.79 14 Tabla 8- 45 Refuerzo requerido en losa inferior
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
261
Dov. M (+) M (-) As + As - Acero requerido (+) Acero requerido (-)
(KN-m) (KN-m) (cm2) (cm2) Φ As (cm2) S (cm) Φ As (cm2) S (cm)
0 72.73 -104.25 5.47 7.87 10 0.79 15 12 1.13 15
1 79.76 -102.89 6.00 7.77 10 0.79 14 12 1.13 15
2 56.65 -37.55 4.25 2.81 10 0.79 19 10 0.79 28
3 75.06 -27.68 5.64 2.07 10 0.79 14 10 0.79 38
4 94.43 -53.44 7.12 4.01 10 0.79 12 10 0.79 20
5 70.43 -79.31 5.29 5.97 10 0.79 15 10 0.79 14
6 75.47 -49.58 5.68 3.71 10 0.79 14 10 0.79 22
7 40.85 -60.12 3.06 4.51 10 0.79 26 10 0.79 18
8 58.06 -132.26 4.36 10.03 12 1.13 26 12 1.13 12
9 114.12 -137.97 8.63 10.47 12 1.13 14 12 1.13 11 Figura 8. 23: Refuerzo requerido en alma interior
Dov. M (+) M (-) As + As - Acero requerido (+) Acero requerido (-)
(KN-m) (KN-m) (cm2) (cm2) Φ As (cm2) S (cm) Φ As (cm2) S (cm)
0 72.73 -104.25 5.47 7.87 12 1.13 16 10 0.79 42
1 79.76 -102.89 6.00 7.77 12 1.13 16 10 0.79 25
2 56.65 -37.55 4.25 2.81 10 0.79 17 10 0.79 43
3 75.06 -27.68 5.64 2.07 10 0.79 24 10 0.79 22
4 94.43 -53.44 7.12 4.01 10 0.79 15 10 0.79 13
5 70.43 -79.31 5.29 5.97 12 1.13 13 10 0.79 18
6 75.47 -49.58 5.68 3.71 10 0.79 15 10 0.79 17
7 40.85 -60.12 3.06 4.51 10 0.79 17 10 0.79 13
8 58.06 -132.26 4.36 10.03 10 0.79 13 10 0.79 13
9 114.12 -137.97 8.63 10.47 12 1.13 13 16 2.01 13 Tabla 8- 46 Refuerzo requerido en alma exterior
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
262
Dov. Refuerzo (Losa superior) Refuerzo (Losa inferior)
Positivo Negativo Positivo Negativo
0 Φ10c/13cm Φ16c/13cm Φ10c/13cm Φ12c/13cm
1 Φ10c/13cm Φ12c/13cm Φ10c/13cm Φ12c/13cm
2 Φ10c/13cm Φ12c/13cm Φ10c/13cm Φ10c/13cm
3 Φ10c/13cm Φ16c/13cm Φ10c/13cm Φ10c/13cm
4 Φ10c/12cm Φ12c/12cm Φ10c/12cm Φ10c/12cm
5 Φ10c/12cm Φ12c/12cm Φ10c/12cm Φ10c/12cm
6 Φ10c/12cm Φ12c/12cm Φ10c/12cm Φ10c/12cm
7 Φ10c/12cm Φ16c/12cm Φ10c/12cm Φ10c/12cm
8 Φ10c/12cm Φ16c/12cm Φ10c/12cm Φ10c/12cm
9 Φ12c/12cm Φ16c/12cm Φ12c/12cm Φ10c/12cm
Tabla 8- 47: Refuerzo de acero provisto en losa superior e inferior
Dov.
Refuerzo (Alma interior) Refuerzo (Alma exterior)
Positivo Negativo Positivo Negativo
0 Φ10c/13cm Φ12c/13cm Φ12c/13cm Φ10c/13cm
1 Φ10c/13cm Φ12c/13cm Φ12c/13cm Φ10c/13cm
2 Φ10c/13cm Φ10c/13cm Φ10c/13cm Φ10c/13cm
3 Φ10c/13cm Φ10c/13cm Φ10c/13cm Φ10c/13cm
4 Φ10c/12cm Φ10c/12cm Φ10c/12cm Φ10c/12cm
5 Φ10c/12cm Φ10c/12cm Φ12c/12cm Φ10c/12cm
6 Φ10c/12cm Φ10c/12cm Φ10c/12cm Φ10c/12cm
7 Φ10c/12cm Φ10c/12cm Φ10c/12cm Φ10c/12cm
8 Φ12c/12cm Φ12c/12cm Φ10c/12cm Φ10c/12cm
9 Φ12c/12cm Φ16c/12cm Φ12c/12cm Φ16c/12cm
Tabla 8- 48: Refuerzo de acero provisto en alma interior y exterior
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
263
8.11. DISEÑO DE DIAFRAGMAS
8.11.1. Análisis y diseño
El diseño de los diafragmas se lo realiza a través de los datos obtenidos de esfuerzos
tomados de la combinación de resistencia 1 del modelo computacional completo, para los
esfuerzos positivos que son los del concreto es necesario verificar para todos los esfuerzos
en todas las direcciones, tomando en cuenta realizamos la comprobación solo en la
dirección más crítica (S1-1).
Para el diseño a tracción los campos más críticos son los que se toman en cuenta diseñando
el elemento shell como si fuera una losa comprimida, además se debe diseñar los estribos,
verificar acero mínimo y armadura de piel.
Tensión S1-1
Compresión
S1-1 máx. = 3.99 MPa
Tracción
S1-1 min. = -2.74 MPa
Flexión
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
264
Compresion:
3.99 < 21 OK
Tracción
Fu = σ1−1 ∙ b ∙ d
As =Fu
0.9 ∙ fy
Datos:
b = 450 [mm]
h = 1800 [mm]
fy = 420 [MPa]
rec = 30 [mm]
Resultados:
Fu = 2466000 [N]
As = 6523.81 [mm2]
As. real = 6836.11 [mm2]
As. min= 1595.7 [mm2]
Usar: 17∅16 c/lado
8.11.2. Armadura de piel
La armadura de piel se verifica con el acero adoptado para los diafragmas, la expresión
debe cumplir con ser menor a 0.05 con lo que se comprueba que se cumple con los
requisitos de armadura.
100 ∙ As
b ∙ (2d − h)≥ 0.05
0.783 > 0.05 OK
8.11.3. Armadura transversal
𝜏1-2 = 1.85 MPa.
CAPITULO 8 DISEÑO PUENTES CURVOS CAJON
265
Vu = τ1−2 ∙ b ∙ h
Vu = 1665000 N
Vc = 0.083 ∙ β ∙ √f´c ∙ b ∙ d
Vc = 286606.08 N
Vs =Vu − ∅ ∙ Vc
∅
Vs = 1563393.9 N
∴ Usar ∅12 c/12 cm
266
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
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Capítulo9
PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES
CURVOS
9.1. VOLADOZ SUCESIVOS HORMIGONADOS IN SITU
9.1.1. Procedimiento constructivo
El sistema constructivo por voladizos sucesivos con dovelas hormigonadas “In Situ”
consiste en la construcción equilibrada, a un lado y otro de cada pila, de tramos de tablero.
El tablero se subdivide en dovelas cuya longitud oscila entre 3 m y 5 m que se van
construyendo una a continuación de otra. De esta manera los voladizos van aumentando y
se ayudan de cimbras metálicas que encuentran su apoyo en la parte del tablero ya
construido.
Para construir las dovelas se utilizan carros que se apoyan en la parte que ya está
construida. Hormigonando las dovelas sucesivamente sobre los carros, se va avanzando en
forma de “T” desde las pilas hacia el centro de cada vano, conectando allí con el voladizo
CAPITULO 9 PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS
267
anterior mediante una dovela clave. Una vez terminados los voladizos de una pila, se pasa a
la pila siguiente y se repite todo el proceso descrito.
Figura 9. 1: Avance en forma de T
Al inicio de cada voladizo hay que construir la primera dovela sobre la parte superior de
la pila. Esta dovela, conocida como dovela 0 o dovela de pila, se construye con un
enconfrado convencional montado sobre la pila, y ha de tener la longitud suficiente para
que se puedan montar los carros de avance sobre ella. A partir de esta dovela, la
construcción se continúa con los carros de avance que cuelgan el encofrado para la
siguiente dovela de la parte ya construida. El hormigonado se hace de forma que no se
presente más del peso de una dovela como carga desequilibrada a cada lado de la pila.
Figura 9. 2: Encofrado de la dovela 0
CAPITULO 9 PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS
268
9.1.2. Ejecución de la dovela cero
Etapa 1: Consiste en la construcción de la solera o losa inferior de la sección, ésta, se
descompone en las siguientes operaciones: colocación de la plataforma de sustentación de
los encofrados de la dovela 0 incluyendo el montaje del encofrado inferior de la losa,
montaje de los encofrados laterales de los alzados de la losa, ferrallado de la losa y
hormigonado. Para todas estas se suele disponer de una grúa torre correspondiente,
colocada a pie de pila.
Figura 9. 3: Ejecución de la dovela 0 etapa 1
Etapa 2: Esta etapa comprende la ejecución de los alzados laterales y las riostras
transversales (diafragmas). Dado que en la etapa 1, ya se tiene encofrada la parte exterior,
las acciones a realizar son: ferrallado de los tabiques y alzados laterales de la sección,
encofrados interiores, hormigonado y retirada de los encofrados interiores.
Figura 9. 4: Ejecución de la dovela 0 etapa 2
Etapa 3: La tercera etapa de la ejecución de la dovela 0 consiste en la realización de la losa
superior de la sección de hormigón. Las operaciones a realizar en esta fase son: apeo
interior de la losa superior, colocación del encofrado interior sobre dicho apeo, ferrallado
de la losa y hormigonado, desencofrado y retirada del sistema de sustentación del
encofrado.
CAPITULO 9 PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS
269
Figura 9. 5: Ejecución de la dovela 0 etapa 3
9.1.3. Ejecución de dovelas
Avance y fijación del carro: El ciclo comienza cuando el hormigón alcanza la resistencia
de 28 MPa que se necesita para poder efectuar las operaciones de tesado. En ese instante se
procede a hacer la separación del encofrado y al tesado de los cables de pretensado. Luego
con el sistema hidráulico de avance se mueve el carro y los encofrados interior y exterior.
Tras el avance del carro, se anclan el encofrado inferior de la losa inferior y las alas de los
encofrados laterales a la sección recientemente ejecutada y, a continuación, se procede al
posicionamiento del carro, perfectamente horizontal y nivelado en su posición definitiva.
Ferrallado de la losa inferior y de los hastiales de la sección: La ferralla de la sección se
inicia montando la de la losa inferior sobre dicho encofrado disponiendo los separadores
oportunos. La ferralla se monta manualmente.
Encofrado del resto de la sección: Los encofrados interiores se encuentran abiertos y
limpios, con su correspondiente capa de desencofrante, durante las operaciones de avance
del carro y ferrallado de losa y hastiales. Cuando finaliza esta última operación, el
encofrado interior se despliega y se sitúa en posición, sujetándolo primeramente a la zona
delantera de la dovela anterior, tras lo cual se procede a referirlo al encofrado exterior de
hastiales.
Ferrallado y colocación de vainas de la losa superior: Primero se procede a colocar la
armadura inferior de la losa, con sus correspondientes separadores. Las vainas de los cables
de tesado del procedimiento constructivo se montan a continuación utilizando como
referencia la ferralla colocada y sujetándolas a ella, para evitar su flotación con la operación
CAPITULO 9 PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS
270
de hormigonado. El proceso de voladizos sucesivos precisa de dos grupos simétricos
respecto al eje del tablero de cables horizontales. Conforme avanza el proceso, se van
anclando cables por cada pareja de dovelas. Tras la colocación de las vainas de tesado del
proceso constructivo, se coloca la capa superior del armado de la losa.
Nivelación definitiva del carro: Cuando el tajo de la dovela está preparado para efectuar
el hormigonado de la misma, se debe de hacer una comprobación topográfica de la cota del
mismo, para proceder, a continuación, a levantar el carro hasta aproximarlo a las cotas
fijadas por el proyectista.
Hormigonado de la dovela: Durante este proceso, el carro de avance permanece apoyado
sobre gatos verticales situados bajo el pilar delantero y anclado al tablero en su parte
posterior mediante barras y yugos. La sustentación de los diferentes encofrados se
distribuye de forma que el frente delantero queda suspendido de la viga transversal
delantera, mientras el trasero se ancla directamente al tablero anterior. A medida que las
dovelas reducen el canto, la parte saliente del encofrado exterior aumenta respecto de la
solera, lo cual obliga a desmontar los paneles sobrantes. Sin embargo, el encofrado interior
debe ser cortado para adaptarlo a la disminución de cota en el interior de las dovelas.
Figura 9. 6: Hormigonado de la dovela de cierre
El hormigonado comienza en primer lugar con la ejecución de la losa inferior de la sección
transversal. En segundo lugar se hormigonan los hastiales de la sección lentamente y por
tongadas de 0.50m para evitar el sifonamiento del hormigón de la losa inferior. Finalmente
se hormigona la losa superior, llevándola a todo lo ancho de la dovela, comenzando por el
CAPITULO 9 PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS
271
extremo frontal libre de la dovela y avanzando hacia la zona contigua a la dovela anterior,
fratasando las superficies.
Desencofrado de las dovelas: Al día siguiente de hormigonar se procede al desencofrado
lateral.
Curado del hormigón: Las superficies expuestas del hormigón de la dovela (solera y losa
superior) deben curarse para evitar su fisuración por un proceso no controlado de
retracción. Este cuidado es tanto más necesario si tenemos en cuenta el tipo de hormigón
que constituye el tablero del puente: al tratarse de un hormigón de alta resistencia con un
alto contenido en cemento de altas resistencias iniciales, se producen fuertes calores de
hidratación a corto plazo. El curado del hormigón de la dovela debe de comenzar en el
momento en que se inicia el fraguado, lo cual se manifiesta por una pérdida del brillo
superficial.
Enfilado y tesado de los cables del proceso constructivo: Por lo general algunas
empresas dan un procedimiento de tesado del Proceso Constructivo, en el que se incluye un
programa de tesado completo, indicando: el orden de tesado, las fuerzas de tesado y las
presiones equivalentes según los equipos utilizados, así como los alargamientos teóricos
previstos y los valores de alarma.
Figura 9. 7: Cables de pretensado en dovelas
Inyección de las vainas: La lechada para la inyección de las vainas se fabrica sobre el
tablero, situando sobre el mismo la amasadora de lechada y la bomba de inyección. La
CAPITULO 9 PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS
272
inyección se introduce dentro de la vaina a través de los tubos de PVC de purga que se han
conectado a las vainas, sujetándolos a ellas con cinta aislante.
Algo importante a tener en cuenta en la construcción es el principio de voladizo cuando
el avance se realiza desde una sola pila hacia los lados. Para estos casos se recomienda
realizar un encofrado previo saliendo del pilar, permitiendo hacer un pequeño voladizo
lateral en donde pueda instalarse el carro de avance y así construir la primera dovela. Una
vez se tenga el primer voladizo, el carro de traslada y así se deja el espacio para el carro y
así seguir con la segunda dovela.
9.1.4. Proceso de desmontaje del carro de avance
Cuando se llega al centro del vano y después de ejecutar la última pareja de dovelas, se
continúa con el desmontaje de los carros de avance siguiendo el proceso inverso al montaje.
Los carros situados en estribos, se desmontan con la ayuda de grúas móviles, mientras que
los ubicados en el centro del tablero se desplazan hacia atrás, es decir a la pila respectiva,
para luego proceder a su desmontaje.
9.1.5. Dovela de cierre
Para la total finalización del tablero del puente, se ejecuta la dovela de cierre, en el vano
central del viaducto. Para ello, se inmovilizan los dos semivanos con vigas metálicas y se
utilizan la plataforma inferior de uno de los carros como superficie de trabajo. Los
encofrados exteriores se desmontan al igual que el interior del carro, para sustituirlos por
encofrados hechos “In Situ” pero más ligeros.
Figura 9. 8: Ejecución de la dovela de cierre
CAPITULO 9 PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS
273
9.1.6. Tesado de cierre
Como operación final de tablero se realiza el tesado de continuidad, produciéndose la
unión de los dos voladizos contiguos y convirtiendo a ambos en una viga continua, para
absorber las cargas de uso. Se introducen los equipos de enhebrado y de tesado dentro de la
zona hueca del tablero y se procede a enfilar dichos cables para luego tesar los cables de
continuidad. Para introducir los cables se utilizan los agujeros dejados en la losa superior a
tal efecto. Las vainas de los cables de continuidad se inyectan también desde la losa
superior del tablero. Por último y con respecto a la finalización del tablero se puede indicar
que se deben tapar los agujeros que se dejan para el anclaje del carro de avance, así como la
instalación de juntas de dilatación si están proyectadas sobre el tablero.
9.2. LANZAMIENTO DE VIGAS PREFABRICADAS
9.2.1. Procedimiento constructivo
Este procedimiento consiste en prefabricar la viga en un extremo de la obra para que
después con ayuda de una grúa se proceda posicionar la misma en los apoyos del puente
logrando asi construir tramos de vigas. Después de tener posicionada las vigas de forma
como lo exigen los planos constructivos se procede al enferrado de la armadura de losa
tablero del mismo posterior mente se hormigona y se concluye con la construcción de los
diafragmas y las estructura superior.
9.2.2. Emplazamiento lugar de fabricación
Se inicia este proceso primeramente compactando adecuadamente la zona de trabajo y
se procede a la ejecución de las respectivas mesas de apoyo de las vigas o radier las cuales
será la plataforma de trabajo para cada viga. Antes de la confección del radier se dejan
pasadas listones con el objetivo de generar aberturas que posteriormente serán para trabar la
mesa de apoyo al suelo para que no se mueva en conjunto con la viga cuando está sea
movida o deslizada a la zona de lanzamiento, así la mesa no sufrirá alteraciones en su
emplazamiento y geometría quedando disponible para ser nuevamente utilizada (ver figura
9.9).
CAPITULO 9 PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS
274
Figura 9. 9: Mesa de apoyo
Sobre la superficie del radier se aplica un aceite para asegurar que la viga pueda deslizar
previo a su alzado y al momento de generarse la contra flecha de la viga (debido a la carga
de preesfuerzo) pueda despegarse de la mesa a fin de no tener inconvenientes entre unión
mesa de apoyo y la viga.
9.2.3. Colocación de armadura pasiva
Las vigas llevan dos tipos de armaduras, armaduras activas y pasivas. Las armaduras
pasivas son las mismas que utilizamos en los elementos comunes de hormigón armado con
una calidad en su acero especificada en los planos, de diferentes diámetros según las
especificaciones del cálculo. La confección se lleva a cabo por maestros enferradores que
trabajan en mesas de doblado y corte de armaduras pasivas, terminada la geometría de
varias armaduras se transportan a las mesas de apoyo donde se armaran el esqueleto y
geometría completa de las armaduras pasivas (ver figura 9.10).
Figura 9. 10: Enferrado de armadura pasiva
CAPITULO 9 PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS
275
Estas armaduras, si bien no trabajan a tracción como usualmente se emplean las barras
de acero en el diseño de vigas y otros elementos estructurales, cumple una función de
montaje de viga para entregar soporte y estabilidad a la viga. Además la armadura pasiva es
utilizada para aportar al hormigón de resistencia de corte frente a los esfuerzos generados
en la pieza. El acero del ala superior que excede la altura de la viga son necesarios para
asegurar la adherencia en la superficie de contacto viga - losa, una vez que las vigas sean
montadas sobre las cepas del puente. La disposición de esta armadura es debidamente
inspeccionada por la asesoría del proyecto, quienes darán el visto bueno, si se cumple con
lo establecido en el diseño o planos de proyecto.
9.2.4. Preparación de las vainas en el interior de las vigas
Los cables que se tensarán posteriores al hormigonado de la viga, se disponen en el
interior de unos ductos llamados “vainas”, los cuales, en este caso están hechos de aluminio
como se puede apreciar en la figura 9.11. Las vainas se introducen en forma manual al
interior de la viga, pero teniendo en consideración una forma parabólica en toda la longitud
en base a un diseño previo. Para asegurar que estos ductos cumplan con esta forma
geométrica, se disponen de apoyos con barras de acero, en ciertos puntos a medida que
avanza en el interior de la viga. Así, los cuatro ductos o vainas se situarán en la zona
inferior de la viga justo al centro del vano (ver figuras 9.11).
Figura 9. 11: Replanteo de vainas
CAPITULO 9 PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS
276
Además, se debe disponer de unos resortes de acero en ambos extremos de los cuatro
ductos con objeto de ayudar en la transferencia de fuerza una vez aplicada la tensión final
en los cables. Dichos cables adoptan una función de amortiguador de carga distribuyendo
eficientemente la carga de tensión
9.2.5. Encofrados y su colocación
Los moldajes son de madera fabricados en obra, y se colocan una vez que la armadura
pasiva está completamente instalada y aceptada por la asesoría del proyecto, estos deben ser
estancos, indeformables y resistentes. Entre la armadura y el moldaje para asegurar el
recubrimiento especificado en los planos del proyecto se instalan separadores de hormigón
hechos en base a un producto “Sika”. El método empleado en la colocación de moldajes
consiste en disponer los moldajes laterales (o “costillas”) en cada lado del alma (ver figura
9.12a) y luego los moldajes en los extremos de las vigas (ver figura 9.12b), previamente se
cubre las caras internas de los moldajes con un producto desmoldante “sikaform” , cabe
señalar que la parte inferior la mesa de apoyo queda en contacto con el hormigonado de la
viga y para evitar su adherencia se le hecha aceite con petróleo y en la parte superior se deja
sin moldaje y la superficie lo más rugosa posible.
(a) (b)
Figura 9. 12: Encofrados de viga
Entre las caras de las costillas se deja pasado un tubo PVC para luego pasar una
“aguja” o barra de acero entre ellos, con un tope en un acara y desde la otra se aplica un
apriete comprimir y fijar dichos moldajes con el objetivo de resistir las fuerzas que le
provocara el hormigón.
CAPITULO 9 PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS
277
9.2.6. Hormigonado
El hormigón se distribuyó en todo el volumen de manera que no se produzca el
endurecimiento del hormigón colocado, antes de quedar cubierto por hormigón fresco, no
se aceptan pegas frías ya que atentan contra el monolitismo y la seguridad. La distribución
del hormigonado se realizó en forma ordenada y avanzando encapas de un espesor
compatible con los equipos de vibrado, de manera que no hayan puntos en que el hormigón
no haya recibido una adecuada compactación.
Compactación: El hormigón en el punto de colocación posee un alto contenido de aire, el
cual debe ser disminuido al mínimo posible, para lograr este objetivo se utilizó un vibrador
de inmersión. El vibrador de inmersión se sumerge comprometiendo una zona y reduciendo
el aire contenido.
El espesor de la capa que se está compactando debe ser adecuado al tipo de vibrador y la
vibración debe efectuarse en forma y sistemática introduciendo el vibrador de inmersión a
distancias similares a su radio de acción, el tiempo de vibración debe ser el estrictamente
necesario para lograr el afloramiento de pasta de cemento.
Curado: Para el curado se plante el sistema de riegos con agua cada 1hora por 3 días, este
proceso no se puede dejar de hacer ya que un mal curado nos puede provocar fisuras no
deseadas en las vigas.
Retiro de los moldajes.
El retiro de los moldajes debe realizar sin producir golpes, choques o sacudidas para no
destruir los bordes, las esquinas o la superficie del hormigón, para que quede en buenas
condiciones para su reutilización. Cada moldaje retirado pasa por una revisión de sus caras
y si no presenta defectos se vuelve a utilizar, sino se reparan y queda nuevamente utilizable
solo hasta que su uso sea menor a 3 veces.
CAPITULO 9 PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS
278
9.2.7. Colocación de los torones y del anclaje activo
Como se señaló anteriormente, cada torón o cable está conformado por 7cables de acero
enrollados helicoidalmente a la izquierda. Se hacen pasar los torones de acero de un
extremo de la viga al otro por el interior de las vainas ya instaladas. Para la colocación del
anclaje activo (ver figura 9.13a). Cada ducto o vaina tendrá12 torones que deberán pasar
por los agujeros de la placa de acuñamiento (ver figura 9.13 b), para lograr esto se fija un
cono de acero galvanizado al extremo de las vainas, luego una placa de acero con un
agujero en el centro por donde pasan los torones, posterior la placa de acuñamiento que
separa cada torón y finalmente las cuñas que impiden que el torón se recoja al aplicar la
carga de tensado.
La placa de acuñamiento mostrada en las figuras queda entonces sellada
herméticamente salvo un orificio. Este último constituye una entrada al interior de la vaina,
mediante el cual, se aplicará una lechada viscosa que rellenará su interior. Una vez
realizado la colocación del anclaje activo los cables quedan listos para la aplicación de la
carga de postensado.
(a) (b)
Figura 9. 13: Colocación de los cables de preesfuerzo en la viga
CAPITULO 9 PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS
279
9.2.8. Tesado de los cables
El proceso de tensado se divide en dos etapas, la primera corresponde a la aplicación de
una precarga y la carga final que debe ser aplicada al segundo día, dejando un día para que
la viga tome la precarga. La tensión total aplicada a cada torón o se lo estable en los planos
estructural, la primera pre-carga que se aplica servirá para sustentar el peso propio de la
viga y también para corregir cualquier imperfección en la posición de los cables al interior
de las vainas, en caso de encontrarse enredados o en una forma inadecuada. Al siguiente día
se aplicó la carga restante del el otro extremo de la viga quedando lista para su puesta en
servicio El tensado de los cables se hace mediante un sistema con gato hidráulico (ver
figura 9.13). Se utiliza un manómetro para medir las presiones inducidas en los cables. El
personal requerido son 3 personas para manipular el dispositivo de agarre del tendón,
denominado prensa (ver figura 9.13b) este tiene la función de estirar los cables y aplicar la
carga. Se necesita de una persona calificada para manipular la bomba portátil este debe ver
el manómetro e indicar cuando se alcanzan las fuerzas requeridas de diseño y finalmente un
supervisor que lleve un registro de la elongación real de los cables
(a) (b)
Figura 9. 14: Equipos de tesado
En primer lugar la prensa se debe instalar en un torón, el personal se aleja para que el
operador active la bomba hasta el valor de la precarga, se registra con huincha la
elongación del cable como forma de verificación, se repite esto para todos los cables. El
orden de tensado según la enumeración de los planos.
CAPITULO 9 PROCESOS CONSTRUCTIVOS DE PUENTES CURVOS
280
9.2.9. Inyección de lechada en la vaina
En primer lugar se debe introducir agua por un extremo de la viga con objeto de limpiar
el interior de la vaina. Esto se hace a través del orificio restante en la placa de acuñamiento
al que se le suelda un tubo de acero previamente. Luego se introduce la lechada o mortero
de alta fluidez de forma de rellenar todos los espacios interiores vacíos. Esto se hace hasta
el momento en que salga toda el agua retenida en el interior, luego se sellan los tubos de
acero en cada extremo de la viga.
9.2.10. Lanzamiento de vigas
El lanzamiento mediante grúas, será la operación de levantado esta debe ser cuidadosa y
en punto bien definido de la viga, de manera que en la misma no se introduzca esfuerzo
para los que no ha sido calculada, en la práctica se recurre a compensar los momentos y se
coloca una armadura adicional con los ganchos respectivos, por donde se hace pasar los
cables para dicha operación. En caso de usar obra falsa, una vez definidos el eje final, cotas
de fundación, coronamiento y rasante, así como cuantificado el terreno de fundación y
niveles de agua y otros aspectos necesarios.
281
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Capítulo10
COMPARACIONES TÉCNICAS Y ECONÓMICAS
10.1. INTRODUCCIÓN
Los parámetros de comparación que se tomaron en cuenta en este acápite fueron
principalmente los de la índole estructural, económica y la del tiempo de construcción de
cada uno de los puentes curvo. En el aspecto estructural se compara las deformaciones de
cada uno de los puentes en radio de 50m y 100m con las diferentes secciones transversales
para luego verificarlas si estas cumple con las flechas admisibles dadas por la normativa
AASTHO LRFD, los momentos, cortantes y torsiones son también son comparados en este
punto además de ver la capacidad resistente de cada estructura. La comparación económica
se la realiza calculando los volúmenes primeramente de los ítems correspondientes a la
etapa de la construcción de la superestructura de cada puente tanto en radio de 50m como el
de 100m en sus diferentes secciones transversales, después de un análisis costo directos se
determina cuál de las estructuras tiene costo mayor y menor.
CAPITULO 10 COMPARACIONES TECNICAS Y ECONOMICAS
282
10.2. COMPARACIÓN TÉCNICA ESTRUCTURAL
10.2.1. Deformaciones
La tabla 10.1 muestra un resumen de las deformaciones máximas de los puentes de
hormigón postensado tanto en radio de 50m como en 100 m cada uno de estos con
secciones transversales de vigas BPR y cajón.
Se puede observar que las deformaciones son mayor en los puentes con vigas BPR en
comparación con los de sección, además la combinación de servicio que nos da mayor
valor de deformación es la de servicio 2 estos porque en esta se incrementa un 30% a la
carga viva con la finalidad de ver el resbalamiento provocado por la sobrecarga vehicular
en las conexiones de resbalamiento crítico.
R=50 M R= 100 M
PUENTE CURVO DE
SECCION CAJON
PUENTE CURVO
CON VIGAS BPR
PUENTE CURVO DE
SECCION CAJON
PUENTE CURVO
CON VIGAS BPR
Ux
[mm]
Uy
[mm]
Uz
[mm]
Ux
[mm]
Uy
[mm]
Uz
[mm]
Ux
[mm]
Uy
[mm]
Uz
[mm]
Ux
[mm]
Uy
[mm]
Uz
[mm]
SERVICIO I SERVICIO I SERVICIO I SERVICIO I
10.31 7.15 -10.18 -4.20 9.32 -21.76 12.17 5.11 -7.68 -4.64 -6.27 -18.53
SERVICIO II SERVICIO II SERVICIO II SERVICIO II
9.65 6.61 -11.41 -4.84 10.60 -25.09 10.95 4.48 -8.15 -5.39 -6.65 -21.14
SERVICIO III SERVICIO III SERVICIO III SERVICIO III
10.19 7.07 -9.27 -3.77 8.48 -19.54 12.03 5.02 -7.39 -4.14 -6.01 -16.79
SERVICIO IV SERVICIO IV SERVICIO IV SERVICIO IV
8.85 6.09 -5.88 -2.27 5.10 -10.65 10.01 3.90 -6.05 -2.27 -5.00 -9.84
Tabla 10- 1: Deformaciones en puentes curvo de R=50m y R=100m
En la figura 10.1 se muestra un diagrama de barra comparativo donde se observan las
deformaciones máximas en los diferentes estados de servicio esto en puentes curvos de
radio de 50 y 100m, se ve claramente que las deformación de las estructuras con vigas
BPR se deforman dos veces más a comparación de los puentes de sección cajón esto en las
diferentes combinaciones, además el puente curvo de radio de 50m compuesta por 4 vigas
BPR separadas cada una respecto a su eje de 2.50m, es la que sufre las mayores
deformaciones en todas las combinas de servicio.
CAPITULO 10 COMPARACIONES TECNICAS Y ECONOMICAS
283
Figura 10. 1: Diagrama de barras de deformaciones en puentes curvos
Las mayores deformaciones en los puentes curvos de vigas BPR se producen en las
losas en voladizo de la curva exterior e interior esto puede verse con más detalle en la
gráfica de deformaciones mostrada por el programa CSiBridge de las figura 10.3 y 10.5.
Se puede decir que los puentes curvos de sección cajón muestra una deformación donde
tienden a distorsionar esta sección se puede ver esto en las figura 10.2 y 10.4 estos valores
de deformación son mucho menores a los puente curvos con vigas BPR por el motivo de
que esta es una estructura continua hiperestática a comparación de la otra que es un
estructura isostática.
Los anchos de calzada son otros de los factores de diferencia en los puentes de radio de
50m y 100m ya que el ancho de calzada dependerá no solo de las dimensiones de los
carriles sino también de los sobreanchos de curva los cuales son explicados en la sección
4.1.3 y son calculados en 7.2.1. En el radio de 50m se tiene una ancho total de 9.40m sin
embargo en radio de 100m el ancho de calzada es de 8.10m, entonces se puede concluir
diciendo que el ancho del puente de radio de 50m es 1.30m más que el del otro puente. Al
tener mayor ancho calzada se tendrá mayor longitud de voladizo en losa exteriores e
interior de la curva siendo esta una causa para producirse mayores deformaciones
10.18 21.76
9.69 18.53
11.41
25.09
10.76
21.14 9.27
19.54
8.63
16.79
5.88
10.65
6.66
9.84
SECCION CAJON RADIO50m
VIGAS BPR RADIO 50m SECCION CAJON RADIO100m
VIGAS BPR RADIO 100m
DEFORMACIONES EN EL EJE Z [mm]
SERVICIO I SERVICIO II SERVICIO III SERVICIO IV
CAPITULO 10 COMPARACIONES TECNICAS Y ECONOMICAS
284
Figura 10. 2: Deformaciones en z puentes curvos con sección cajón radio 50m
Figura 10. 3: Deformaciones en z puente curvo con vigas BPR radio 50m
Figura 10. 4: Deformaciones en z puentes curvos con sección cajón radio 100m
Figura 10. 5: Deformaciones en z puente curvo con vigas BPR radio 100m
CAPITULO 10 COMPARACIONES TECNICAS Y ECONOMICAS
285
10.2.2. Reacciones
Las reacciones de apoyo de los puentes curvos en radios de 50m y 100m son mostrados
en las tablas10.6, 10.7, 10.8 y 10.6 para el caso de la combinación por resistencia 1 ya que
esta es la que muestra los valores máximos en fuerzas.
Figura 10. 6: Modelo puente curvo R=50m con vigas BPR
RESISTENCIA 1
Rz [Ton]
Rx [Ton]
Ry [Ton]
Mx [Ton-m]
My [Ton-m]
T [Ton-m]
ESTRIBO
INICIAL
1 91.07 -22.46 -69.49 42.36 -13.69
2 69.98 -13.93 22.85 -13.93 -10.66
3 69.15 11.87 28.03 -17.09 7.24
4 89.10 -19.62 51.40 -31.33 -11.96
PILA 1 5 494.97 -39.78 -15.51 -83.93 137.59 -29.21
PILA 2 6 497.69 -42.34 13.73 -89.74 111.87 32.95
ESTRIBO FINAL
7 82.33 13.52 4.38 -2.67 8.24
8 70.52 -10.34 -3.35 2.04 -6.30
9 70.09 -12.57 -4.07 2.48 -7.66
10 86.76 -15.44 -5.00 3.05 -9.41
Tabla 10- 2: Reacciones de apoyo puente curvo R=50m con vigas BPR
Los puentes conformados con viga BPR tienes dos pilas intermedias por ende los
valores de la reacciones son menor, sin embargo, los puentes de sección cajón están
compuesto por solo una pila en el medio de tramo ocasionando que la reacción de apoyo
sean mucho mayores en estos. En consecuencia las reacciones en los extremos se pueden
ver que los puentes curvos cajón llevan valores muchos mayores de fuerzas en los apoyos
son casi el doble en comparación de puente de sección cajón con los de vigas BPR.
CAPITULO 10 COMPARACIONES TECNICAS Y ECONOMICAS
286
Figura 10. 7: Modelo puente curvo R=50m con sección cajón
RESISTENCIA 1
Rz
[Ton]
Rx
[Ton]
Ry
[Ton]
Mx
[Ton-m]
My
[Ton-m]
T
[Ton-m]
ESTRIBO INICIAL
1 143.59 -46.27 240.16 -103.12 -19.87
2 305.30 -289.36 535.74 -432.03 -233.34
PILA 1 5 1134.23 -91.18 2.43 -22.79 -365.17 2.10
ESTRIBO FINAL
7 142.67 -49.64 -234.89 100.85 -21.31
8 314.03 -299.08 -535.06 431.50 -6.30
Tabla 10- 3: Reacciones de apoyo puente curvo R=50 con sección cajón
Figura 10. 8: Figura 10. 7: Modelo puente curvo R=100m con sección cajón
RESISTENCIA 1
Rz
[Ton]
Rx
[Ton] Ry [Ton]
Mx
[Ton]
My
[Ton]
T
[Ton]
ESTRIBO INICIAL
1 191.78 119.93 206.21 -125.71 73.11
2 216.21 -242.73 476.20 -290.29 -147.97
PILA 1 5 1529.16 -116.91 -30.81 108.89 -431.00 1.54
ESTRIBO FINAL
7 193.22 116.39 -209.46 127.69 70.95
8 219.08 -247.79 -470.37 286.74 -151.05
Tabla 10- 4: Reacciones de apoyo puente curvo R=100 con sección cajón
CAPITULO 10 COMPARACIONES TECNICAS Y ECONOMICAS
287
Figura 10. 9: Modelo puente curvo R=100m con vigas BPR
RESISTENCIA 1
Rz
[Ton]
Rx
[Ton]
Ry
[Ton]
Mx
[Ton-m]
My
[Ton-m]
T
[Ton-m]
ESTRIBO
INICIAL
1 107.21 17.38 -79.61 48.53 10.59
2 85.58 -15.73 33.72 -20.56 -9.59
3 87.41 -9.22 37.37 -22.78 -5.62
4 103.62 -14.82 70.14 -42.76 -9.03
PILA 1 5 626.35 -34.18 14.25 -84.28 132.99 18.00
PILA 2 6 625.90 -34.42 17.04 -114.95 93.91 24.54
ESTRIBO
FINAL
7 97.94 13.52 4.38 -2.67 8.24
8 84.90 -8.54 -1.79 1.09 -5.20
9 87.67 -10.01 -2.09 1.28 -6.10
10 100.65 -13.54 -2.83 1.73 -9.41
Tabla 10- 5: Reacciones de apoyo puente curvo R=100m con vigas BPR
El hecho de tener reacciones en los apoyos de valor grandes da entender que las
dimensiones de la infraestructura tendrán volúmenes de hormigón y cuantías de acero
considerables, pero en los puentes curvos con vigas BPR al tener valores numéricos
inferiores pero al estar estructurados con mayores apoyos intermedios las cantidades de
concreto de refuerzo pueden igualarse con las de los otros puentes de sección cajón, pero
antes de considerar esto se debe tomar muy en cuenta la geotecnia de donde se dispondrán
las fundaciones de estas estructuras.
10.2.3. Demandas
Las cargas que deben ser resistidas por los puentes curvos principalmente son las
debidas a su peso propio, circulación de los vehículos especialmente como también la de
fuerza centrífuga esta debido a que estamos tratando de estructuras curvas, carga por
temperatura y fluencia lenta del hormigón son muy tomadas muy en cuenta en puente
cajones ya que en estos se aplica el proceso de construcción por volados sucesivos y es ahí
CAPITULO 10 COMPARACIONES TECNICAS Y ECONOMICAS
288
su importancia. El hecho de comparar las fuerza actúan en los puentes curvos es para tener
un panorama de cuáles serán las fuerzas resistentes, en la tabla 10.6 se muestra los valores
máximos y mínimos de momentos, cortantes y torsiones, en esta se puede apreciar que los
valor máximos los llevan los puentes de sección esto porque ellos están conformados por
solo dos tramos a comparación de los puentes curvos de vigas BPR los cuales están
formados por 3 tramos.
M
[Ton-m]
V
[Tom]
T
[T on-m]
M
[Ton-m]
V
[Tom]
T
[T on-m]
M
[Ton-m]
V
[Tom]
T
[T on-m]
M
[Ton-m]
V
[Tom]
T
[T on-m]
Max 527.73 246.80 111.72 248.90 69.93 11.83 717.89 312.85 71.59 466.38 97.01 5.82
Min -1205.83 -246.62 -109.20 -9.92 -69.41 -19.43 -2185.92 -312.84 -70.91 -10.76 -96.31 -12.11
Max 410.71 105.58 194.41 272.32 81.55 156.53 541.91 118.70 191.65 411.43 91.57 143.76
Min -514.40 -105.23 -192.24 -55.27 -81.01 -149.55 -842.52 -118.34 -192.79 -34.46 -89.99 -138.78
Max 9.77 2.83 13.99 8.83 2.83 5.86 12.56 1.37 10.34 6.83 0.91 2.21
Min -17.18 1.58 -24.28 -12.65 -6.78 -6.76 -13.83 0.96 -7.18 -3.92 -0.05 -2.35
Max 363.40 47.83 -141.71 11.10 59.15 19.09 1682.39 122.29 257.21 5.58 71.40 8.75
Min -7.95 -48.01 141.97 -437.75 -62.04 -9.70 67.22 -122.02 -245.56 -582.63 -79.48 -7.75
PUENTE CURVO CON VIGAS
BPR R=100
PUENTE CURVO SECCION
CAJON R=100
PUENTE CURVO SECCION
CAJON R=50
PUENTE CURVO CON
VIGAS BPR R=50
PESO PROPIO
VIVA+IMPACTO
FUERZA CENTRIFUGA
PREESFUERZO
Tabla 10- 6: Fuerzas máximas y mínimas en puentes curvos de R=50m y R=100m
Las fuerzas de preesforzado son modelas en el programa CSiBridge mediante el ingreso
de tendones con fuerza de preesfuerzo esta cumple una vital función de contrarrestar los
momentos debidos a flexión como también la fuerza debidas a los cortantes y la torsiones.
El puente de radio de 50m de sección cajón el presenta los mayores valores de torsión
sin embargo los puentes curvos de vigas BPR son los que tienen los menor valor de torsión.
La figura 10.10 muestra un diagrama de barras para puentes curvos de radio de 50m en
este se puede observar los valores máximos y mínimos de momentos flectores debidos a
cargas transitorias y muertas además de los momentos contrarrestados por fuerza de
preesfuerzo. Los máximos valores de momentos se los llevan las cargas por peso propio en
puentes curvos de sección cajón de radio 50m sin embargo los puentes de vigas BPR
CAPITULO 10 COMPARACIONES TECNICAS Y ECONOMICAS
289
curvos se tienen mayor momentos de flexión bajos cargas vivas y de impacto. Es muy
notorio observar que los preesfuerzo son vital ayuda a la flexión en los diferentes puentes.
Figura 10. 10: Momentos flextores en puentes curvo de R=50m
En la figura 10.11 se puede ver el mismo de diagrama de barras mencionadas
anteriormente pero esta vez para radio de curvatura de 100m se nota nuevamente que la
carga muerta presenta mayores valores de momento en puentes de sección cajón, sin
embargo en los de vigas BPR los momentos de flexión son mayores debido a carga vivas y
de impacto. Si comparamos los puentes de sección cajón se puede observar que las cargas
permanentes son las que ocasionan momentos de flexión mayores a comparación de los
otros estados de carga, sin embargo en los puente con viga BPR las cargas por el camión de
diseño y el impacto son las que ocasiona mayores valores de momentos de flexión.
La figura 10.12 muestra las cortantes y torsores máximas nuevamente los puentes de
sección cajón son los que muestran los mayores valores de fuerzas de corte y torsión, las
fuerzas torsionales debido al peso propio de la estructura son mayores en los puentes de
radio de 50m porque la sección transversal tienen un ancho de dimensiones mucho mayor a
comparación con los de radio de 100m
527.73
-1205.83
410.71
-514.40
9.77
-17.18
363.40
-7.95
248.90
-9.92
272.32
-55.27
8.83
-12.65
11.10
-437.75
PESO PROPIO VIVA+IMPACTO FUERZA CENTRIFUGA PREESFUERZO
Momentos maximos y minimos [Ton-m]
PUENTE CURVO SECCION CAJON R=50 PUENTE CURVO CON VIGAS BPR R=50
CAPITULO 10 COMPARACIONES TECNICAS Y ECONOMICAS
290
Figura 10. 11: Momentos flextores en puentes curvo de R=100m
Figura 10. 12: Cortantes y torsiones en puentes de curvos de R=50m y R=100m
717.89
-2185.92
541.91
-842.52
12.56
-13.83
1682.39
67.22
466.38
-10.76
411.43
-34.46
6.83
-3.92
5.58
-582.63
PESO PROPIO VIVA+IMPACTO FUERZA CENTRIFUGA PREESFUERZO
Momentos maximos y minimos [Ton-m]
PUENTE CURVO CON VIGAS BPR R=100
PUENTE CURVO SECCION CAJON R=100
246.80 111.72
194.41 105.58
24.28
2.83 141.97
48.01
69.93
19.43
156.53 81.55
6.76
6.78
19.09 62.04
312.85
71.59
192.79 118.70
10.34 1.37
257.21
122.29
97.01 12.11 143.76 91.57
2.35 0.91 8.75
79.48
V [Ton] T [Ton-m] V [Ton] T [Ton-m] V [Ton] T [Ton-m] V [Ton] T [Ton-m]
PESO PROPIO VIVA+IMPACTO FUERZA CENTRIFUGA PREESFUERZO
Cortantes y Torsiones maximas
PUENTE CURVO SECCION CAJON R=50 PUENTE CURVO CON VIGAS BPR R=50
PUENTE CURVO SECCION CAJON R=100 PUENTE CURVO CON VIGAS BPR R=100
CAPITULO 10 COMPARACIONES TECNICAS Y ECONOMICAS
291
10.3. COMPARACIÓN ECONÓMICA
10.3.1 Costos de ítems superestructuras
Ítem : 1 Costo (Bs.) 2736.04
HORMIGON TIPO "A" R210 Unidad: m3
Descripción Unid Cant P.U. P.T.
MATERIALES
Cemento porland IP 30 kg 543.00 1.28 695.04
Arena m3 0.60 140.00 84.00
Grava m3 0.60 140.00 84.00
Madera de construcción pie 2 45.00 9.50 427.50
Madera multilaminada 15mm pie2 40.00 12.00 480.00
Clavos kg 4.00 12.00 48.00
Agua de Cisterna 100 lts 0.30 25.00 7.50
Sub total Materiales (Bs.) 1826.04
MANO DE OBRA
Albañil hrs 16.00 20.00 320.00
Ayudante hrs 15.00 15.00 225.00
Encofrador hrs 16.00 18.75 300.00
Sub total Mano de Obra (Bs.) 845.00
MAQUINARIA, HERRAMIENTAS Y EQUIPO
Hormigonera de 500 litros hrs 0.35 40.00 14.00
Vibradora hrs 0.35 25.00 8.75
Otros % 5.00 845.00 42.25
Sub total Mano de Obra (Bs.) 65.00
Tabla 10- 7: Costo de Hormigón tipo "A" R210
Ítem : 2 Costo (Bs.) 3197.52
HORMIGON TIPO "P" Unidad: m3
Descripción Unid Cant P.U. P.T.
MATERIALES
Cemento porland IP 30 kg 543.00 1.28 695.04
Arena m3 0.60 140.00 84.00
Grava m3 0.60 140.00 84.00
Madera de construcción pie 2 45.00 9.50 427.50
Madera multilaminada 15mm pie2 40.00 12.00 480.00
Clavos kg 4.00 12.00 48.00
Aditivo kg 5.04 40.00 201.60
Agua de Cisterna 100 lts 0.30 25.00 7.50
Sub total Materiales (Bs.) 2027.64
MANO DE OBRA
Albañil hrs 10.00 20.00 200.00
Ayudante hrs 32.00 15.00 480.00
Encofrador hrs 22.00 18.75 412.50
Sub total Mano de Obra (Bs.) 1092.50
MAQUINARIA, HERRAMIENTAS Y EQUIPO
Hormigonera de 500 litros hrs 0.35 40.00 14.00
Vibradora hrs 0.35 25.00 8.75
Otros % 5.00 1092.50 54.63
Sub total Mano de Obra (Bs.) 77.38
Tabla 10- 8: Costo de Hormigón tipo "P"
CAPITULO 10 COMPARACIONES TECNICAS Y ECONOMICAS
292
Ítem : 4 Costo (Bs.) 573.62
CABLEAJE PARA PRETENSADO 12v 1/2" Unidad: ml
Descripción Unid Cant P.U. P.T.
MATERIALES
Torones 12V 1/2" ml 1.00 224.96 224.96
Vaina ml 1.30 59.80 77.74
Cono anclaje freyssinet 12v13 pza 0.10 1602.92 160.29
Alambre galvanizado Nº 10 kg 0.10 14.85 1.49
Sub total Materiales (Bs.) 464.48
MANO DE OBRA
Enferrador hrs 1.84 20.00 36.80
Ayudante hrs 1.10 15.00 16.50
Operador de equipo hrs 1.10 20.00 22.00
Ayudante hrs 0.63 15.00 9.45
Sub total Mano de Obra (Bs.) 84.75
MAQUINARIA, HERRAMIENTAS Y EQUIPO
Gato hidráulico hrs 0.08 210.00 16.80
Bomba con manómetro hrs 0.08 42.00 3.36
Otros % 5.00 84.75 4.24
Sub total Mano de Obra (Bs.) 24.40
Tabla 10- 10: Costo de Cable para pretensado 12v 1/2"
Ítem : 3 Costo (Bs.) 19.03
ACERO ESTRUCTURAL Unidad: kg
Descripción Unid Cant P.U. P.T.
MATERIALES
Acero corrugado kg 1.05 9.50 9.98
Alambre de amarre kg 0.40 12.00 4.80
Sub total Materiales (Bs.) 14.78
MANO DE OBRA
Enferrador hrs 0.12 18.75 2.25
Ayudante hrs 0.12 15.00 1.80
Sub total Mano de Obra (Bs.) 4.05
MAQUINARIA, HERRAMIENTAS Y EQUIPO
Otros % 5.00 4.05 0.20
Sub total Mano de Obra (Bs.) 0.20
Tabla 10- 9: Costo de Acero estructural
CAPITULO 10 COMPARACIONES TECNICAS Y ECONOMICAS
293
Ítem : 5 Costo (Bs.) 7.09
INYECCION DE CABLES Unidad: ml
Descripción Unid Cant P.U. P.T.
MATERIALES
Cemento porland IP 30 kg 2.50 1.28 3.20
Aditivo kg 0.05 40.00 2.00
Sub total Materiales (Bs.) 5.20
MANO DE OBRA
Inyectora hrs 0.02 94.50 1.89
Sub total Mano de Obra (Bs.) 1.89
MAQUINARIA, HERRAMIENTAS Y EQUIPO
Sub total Mano de Obra (Bs.) 0.00
Tabla 10- 11: Costo de Inyección de cables
Ítem : 6 Costo (Bs.) 311.41
BARANDAS Unidad: ml
Descripción Unid Cant P.U. P.T.
MATERIALES
Hormigón simple tipo "A" m3 0.05 3950.00 197.50
Acero estructural kg 6.00 9.50 57.00
Sub total Materiales (Bs.) 254.50
MANO DE OBRA
Enferrador hrs 1.00 20.00 20.00
Ayudante hrs 1.00 15.00 15.00
Sub total Mano de Obra (Bs.) 35.00
MAQUINARIA, HERRAMIENTAS Y EQUIPO
Gato hidráulico hrs 0.08 210.00 16.80
Bomba con manómetro hrs 0.08 42.00 3.36
Otros % 5.00 35.00 1.75
Sub total Mano de Obra (Bs.) 21.91
Tabla 10- 12: Costo de barandas
Ítem : 7 Costo (Bs.) 54548.75
LANZAMIENTO DE VIGAS Unidad: tramo
Descripción Unid Cant P.U. P.T.
MATERIALES
Varios para lanzamiento glb 1.00 21000.00 21000.00
Sub total Materiales (Bs.) 21000.00
MANO DE OBRA
Operador equipo pesado hrs 60.00 22.50 1350.00
Maestro hrs 60.00 20.00 1200.00
Ayudante hrs 95.00 15.00 1425.00
Sub total Mano de Obra (Bs.) 3975.00
MAQUINARIA, HERRAMIENTAS Y EQUIPO
Grua de 34 ton hrs 31.25 560.00 17500.00
Pala frontal 170 HP hrs 31.25 380.00 11875.00
Otros % 5.00 3975.00 198.75
Sub total Mano de Obra (Bs.) 29573.75
Tabla 10- 13: Costo de lanzamiento de vigas
CAPITULO 10 COMPARACIONES TECNICAS Y ECONOMICAS
294
10.3.2 Costo de superestructuras
PUENTE CURVO CON VIGAS BPR DE RADIO 100M DE TRES TRAMOS
Item DESCRIPCION UNID CANT P. UNIT P. TOTAL
1 HORMIGON TIP "A" m3 134.88 2,736.04 369,037.08
2 HORMIGON TIP "P" m3 131.08 3,197.52 419,130.92
3 ACERO ESTRUCTURAL kg 26559.84 19.03 505,433.76
4 CABLEAJE PARA PRETENSADO 12V 1/2" ml 804.48 573.62 461,465.82
5 INYECCION ml 732.48 7.09 5,193.28
6 BARANDAS ml 122.10 311.41 38,023.16
7 LANZAMIENTO DE VIGAS tramo 3.00 54,548.75 163,646.25
COSTO TOTAL 1,961,930.26
Tabla 10- 14 Costo puente curvo con vigas BPR radio 100m
PUENTE CURVO CON VIGAS CAJON DE 100M DE DOS TRAMOS
Item DESCRIPCION UNID CANT P. UNIT P. TOTAL
1 HORMIGON TIP "A" m3 47.64 2,736.04 130,344.95
2 HORMIGON TIP "P" m3 332.42 3,197.52 1,062,932.39
3 ACERO ESTRUCTURAL kg 31682.92 19.03 602,925.97
4 CABLEAJE PARA PRETENSADO 12V 1/2" ml 665.18 573.62 381,560.55
5 INYECCION ml 615.18 7.09 4,361.63
6 BARANDAS ml 122.10 311.41 38,023.16
COSTO TOTAL 2,220,148.64
Tabla 10- 15 Costo puente curvo cajo radio 100m
PUENTE CURVO CON VIGAS BPR DE RADIO 50M DE TRES TRAMOS
Item DESCRIPCION UNID CANT P. UNIT P. TOTAL
1 HORMIGON TIP "A" m3 112.92 2,736.04 308,953.64
2 HORMIGON TIP "P" m3 72.12 3,197.52 230,605.14
3 ACERO ESTRUCTURAL kg 22494.54 19.03 428,071.10
4 CABLEAJE PARA PRETENSADO 12V 1/2" ml 416.04 573.62 238,648.86
5 INYECCION ml 368.04 7.09 2,609.40
6 BARANDAS ml 93.20 311.41 29,023.41
7 LANZAMIENTO DE VIGAS tramo 3.00 54,548.75 163,646.25
COSTO TOTAL 1,401,557.81
Tabla 10- 16 Costo puente curvo con vigas BPR radio 50m
CAPITULO 10 COMPARACIONES TECNICAS Y ECONOMICAS
295
PUENTE CURVO CON VIGAS CAJON DE 50 M DE DOS TRAMOS
Item DESCRIPCION UNID CANT P. UNIT P. TOTAL
1 HORMIGON TIP "A" m3 36.87 2,736.04 100,877.79
2 HORMIGON TIP "P" m3 247.22 3,197.52 790,490.89
3 ACERO ESTRUCTURAL kg 26322.04 19.03 500,908.42
4 CABLEAJE PARA PRETENSADO 12V 1/2" ml 474.67 573.62 272,280.21
5 INYECCION ml 410.67 7.09 2,911.65
6 BARANDAS ml 93.92 311.41 29,247.63
COSTO TOTAL 1,696,716.59
Tabla 10- 17 Costo puente curvo cajo radio 50m
10.3.3 Análisis y comparaciones
En las tablas 10-14 y 10-15 se muestran las cantidades y el costo total de las
superestructuras de radio de 100m se puede observar una clara diferencia en las cantidades
de cables y hormigón los cuales son ítems muy incidentes en el total. Los puentes con viga
cajo son los que llevan el mayor costo sin embargo la diferencia entre las dos estructuras en
cuanto a costo es de 258,218.38 Bs.
Las tablas 10-16 y 10-17 exponen los costos de los puentes curvos de radio de 50m
tanto en sección cajón como en vigas BPR, la estructura que lleva el mayor costo es la de
sección cajón con un incremento de 295,158.79 Bs. a comparación del otro.
Los puentes curvos de sección cajo son 11.63% más caros que los de vigas BPR en
radios de 100m y en de 50 m son 17.40 % más costos.
El costo del hormigón tipo “P” llega a ser el 46.59% y el 47.88 % del costo total de
las superestructuras de sección cajón curva en radio de 100m y 50m respectivamente, sin
embargo en los puentes curvos de vigas BPR el hormigón tipo “P” llega a ser el 21.36% y
16.45% del total de costo respectivamente, pero el costo de los cables de postensados en las
vigas BPR llegan a ser el 23.52% y 17.03% del total correspondientemente.
296
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
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Capítulo11
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
11.1. CONLUSIONES
En el presente trabajo se llegaron a las siguientes conclusiones:
1. Los puentes curvos son utilizados principalmente en el paso de quebradas
pronunciadas o pasos elevados donde en su diseño geométrico se requiera un
cambio de dirección.
2. La torsión no uniforme en secciones cajón unicelulares de concreto no es todavía
ampliamente estudiada en los códigos de diseño de la AASHTO, en
especificaciones de estos solo existen comentario donde indican que tal fenómeno
debe ser contrarrestado con rigidizadores o difragmas, sin embargo existen un
elevado número de contribuciones sobre las teoría de torsión, una de las
investigaciones pioneras es la de Vlasov, pero viendo esto desde un punto de vista
práctico estas teorías más avanzadas de vigas curva son probablemente adecuados
para puentes de vigas metálicas. 1
CAPITULO 11 CONLUSIONES Y RECOMENDACIONES
297
3. En puentes curvos con vigas sesgadas o vigas rectas posicionadas de formas
poligonal formando asi la curva se debe tener muy en cuenta el valor de la sagita ya
que si este valor es relativamente grande entonces se tendrá voladizos en la parte
exterior de la curva de dimensiones considerables
4. El valor del desplazamiento de la cuerda arco depende de la longitud de la viga y
del radio de curvatura, mientras mayor sea el radio de la curva y menor la longitud
de la viga entonces este valor será pequeño, el manual de la PCI recomienda que
este valor sea inferior a 1.5pies (0.5m)
5. Los métodos de análisis aceptados por la AASHTO son los de losa ortótropo el
cual es la idealización en una estructura plana de rigidez equivalente, emparrillado
el cual puede ser empleado cuando la separación de vigas no es muy grande,
lamina plegada la cual es una estructura compuesta por elementos no coplanarios
pero paralelos a una dirección determinada, elementos finitos y otros, los
mencionados fueron desarrollados en este documento.
6. El método de los elementos finitos requiere de una definición geométrica detallada
la cual ocasiona que requiera de muchos elementos, en comparación con los otros
métodos este es más exacto pero requiere de mayores procedimientos
computacionales, sin embargo los otros métodos utilizan procedimientos más
simplificados.
7. Las cargas que siempre se deben tomar en cuenta en puentes curvos ya que estas
producen los mayores esfuerzos son la fuerza centrífuga y en el caso de puentes de
sección cajón las cargas por temperatura
8. El análisis estructura de los puentes curvos con vigas sesgadas se los realizo por
MEF con ayuda del programa CSiBridge se tuvo principal cuidado en la
modelación de la losa de tablero a este se le dio la forma curva dividiendo los
CAPITULO 11 CONLUSIONES Y RECOMENDACIONES
298
elementos placa de 0.30x0.25 m. Los cables de postensado también son incluidos al
modelo, a estos se les da la trayectoria parabólica y la carga de preesfuerzo además
los diafragmas son distribuidos de forma radial y los apoyos se encuentran en
paralelo esto con la finalidad de que todas las vigas tengan la misma longitud.
9. El diseño de las vigas sesgadas se lo realizo de igual forma que una viga normal
postensada con la única excepción que en esta se verifica primeramente la torsión y
en caso de que el concreto no lo resista se refuerza con estribos transversales, el
cortante se lo verifica y en caso de no cumplir se lo refuerza.
10. Las cargas de preesfuerzo que son inducida a los cables ayudaron notablemente a
reducir los efectos por torsión ya que en las combinaciones de carga por resistencia
y servicio estos fueron restados.
11. Los puentes curvos cajón por volados sucesivos fueron modelados en el programa
CSiBridge tanto en etapas constructivas como en las de servicio, la primera etapa
fue modela por secuencia de construcción considerando el tiempo que se ejecutara
cada dovela en este se realizó un análisis no lineal en el tiempo, en etapa
permanentes se modelo todos los cables que componían el puente con sus
diferentes cargas de preesfuerzo y este se incluye las cargas por temperatura y
fuerza centrifuga
12. El diseño en etapas constructivas nos llevó a disponer 16 cables en puentes de radio
de 100m y 12 en puentes de radio de 50m cada tendón compuesto por 12 torones
de baja relajación, estos contrarrestarán el peso de las dovelas y las cargas en la
etapa de construcción.
13. En etapas de servicio se verifico las tensiones en la fibras para verificar estas se
tuvo que disponer de 10 y 9 cables solidarios en cada extremo en puentes curvos de
radio de 100m y 50m respectivamente. La armadura de la sección cajón por
CAPITULO 11 CONLUSIONES Y RECOMENDACIONES
299
cortante y torsión se la realizo siguiendo las especificaciones de la AASHTO, sin
embargo la armaduras debida a la flexión de la misma fueron la que destacaron.
14. En cuanto a las comparaciones se puedo ver que la sección cajón tiene un
comportamiento favorable a la torsión pero esta debe ser usada en curvas donde el
ángulo de inflexión se grande o mayor a 60º ya que asi se tendrá mayor longitud de
la curva y se podrá aplicar la técnica de volados sucesivos
15. Las vigas BPR en puentes curvo son adecuadas cuando se tienen radios de
curvatura mayores a 100m ya que asi se podrá usar vigas de mayor longitud y se
podrá reducir los apoyos intermedios.
16. El costo más elevado es el de las superestructuras de secciones cajón con costo de
2, 220,148.64 Bs. y 1, 696,716.593Bs. en radio de 100 y 50m respectivamente, sin
embargo los puentes curvos de vigas BPR tuvieron un costo de 1,961,930.26 Bs. y
1,401,557.81 Bs. siendo la sección cajón más 11.63 % y 17.39% más cara que el de
la vigas BPR
11.2. RECOMENDACIONES
1. En Puentes curvos que crucen quebradas muy pronunciadas el sistema constructivo
por volados sucesivos es el más conveniente ya que este no requiere de encofrados y
su ejecución por elementos prefabricados reduce los tiempos de ejecución
2. Puentes curvo de sección cajón ejecutados por la técnica de volados sucesivos son
aconsejable en longitudes curva mayores a los 40m y donde el ángulo de deflexión
es mucho mayor a 60º
3. En el diseño de puentes curvos con vigas BPR se debe tener en cuenta que antes de
calcular las tensiones en los cables se debe verificar la torsión y en caso de no
cumplir reforzar con armadura transversal.
CAPITULO 11 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
300
El presente trabajo abre campo de la investigación en los siguientes aspectos
1. Análisis y diseño de infraestructuras de puentes curvos, un estudio a detalle de los
cabezales, pilas estribos y fundaciones de estas estructuras.
2. Analizar puentes curvos bajo acción de carga laterales, ver sus efectos adversos y
formas de contrarrestar estos efectos.
3. Diseñar puentes curvos de un solo tramo con contrapeso en los apoyos de sección
cajón y compáralos con los puentes de múltiples tramos.
4. Ver las aplicaciones de las teorías avanzadas de torsión en secciones de pared
delgadas. Se podría crear un programa estructural que considera el séptimo grado de
libertad y comparar sus resultados con un programa de elementos finitos como el
ANSYS
5. Comparar puentes curvos de concreto postensado con los acero ver su factibilidad
económica en nuestro medio
Anexos
A1
Anexo A Análisis y Diseño Puente Curvo con vigas BPR R = 50m.
DATOS GENERALES DEL PUENTE
R= 50.00 [m] Radio de curva Horizontal
Vp= 40.00 [Km/h] Velocidad de Proyecto "Tabla 4-2"
n= 2
Número de Carriles
A= 3.50 [m] Ancho de Carril
e= 0.07 [m/m] Peralte de la curva "Tabla 4 -2"
L= 15.00 [m] Longitud de Viga por tramos
SECCION TRANSVERSAL
Sobreancho
Lt= 16.40 [m] Largo total Vehículo Semitrailer "Tabla 4- 3"
L1= 5.60 [m] "Tabla 4- 3"
L2= 10.00 [m] "Tabla 4 -3"
E= 2.40 [m] Ensanchamiento de Curva
B= 9.40 [m] Ancho de Calzada Total (ver figura 1)
Separación de vigas
S= 2.50 [m] Distancia de eje a eje de viga
a= 0.95 [m] Distancia de eje de viga a voladizo exterior
GEOMETRIA EN PLANTA
Lc= 15.06 [m] Longitud de curva
R= 50.00 [m] Radio de curvatura
s= 0.56 [m] Desplazamiento cuerda arco
OK! Cumple critio PCI
ANEXO A
A2
MATERIALES
Hormigones:
γc= 2400.00 [Kgf/m3] Peso específico hormigón
f´c= 21.00 [MPa] Resistencia a la compresión a los 28 días (losa)
f´c= 35.00 [MPa] Resistencia a la compresión a los 28 días (viga)
f´ci= 28.00 [MPa] Resistencia del concreto al tiempo del tesado
Ec= 23168.34 [MPa] Módulo de elasticidad hormigón losa
Ec= 29910.20 [MPa] Módulo de elasticidad hormigón losa
Cables de postensado (12 torones)
Au= 98.7 [mm] Área unitaria torones
fpu= 1860 [MPa] Tensión ultima
fpy= 1674 [MPa] Tensión de fluencia
fpi= 1488 [MPa] Límite de esfuerzo para postensar
fpc= 1339.2 [MPa] Límite de esfuerzo en estado límite de servicio
Ep= 197000 [MPa] Módulo de elasticidad torones
Acero de preesfuerzo
fy= 420.00 [MPa] Límite de fluencia acero
Es= 200000.00 [MPa] Módulo de elasticidad acero
Futura capa de rodadura
he = 50 [mm] Espesor rodadura
γ rod = 22.5 [MPa] Peso específico asfalto
Barandas Tipo New Jersey
w baranda= 6 KN/m Peso baranda
DISEÑO DE TABLERO PUENTE
Diseño losa interior
Momentos flectores
Descripción Tipo
M(-)
[KN-m]
M(+)
[KN-m]
γ(Resistencia I)
Losa DC1 1.44 1.49 1.25
Barrera DC2 3.38 0.75 0.90
Asfalto DW 0.37 0.40 1.50
Carga viva LL+IM 18.70 29.68 1.75
ANEXO A
A3
Acero por flexión
Descripción Momentos
[KN-m] As Calculado [cm2]
As
Provisto [cm2]
Mu(-) 38.12 6.24 Ø12C/18 cm
Mu(+) 55.08 9.21 Ø12C/12 cm
DISEÑO LOSA EXTERIOR
Momentos flectores
Descripción Tipo M(-) [KN-m] γ (Resis I)
Losa DC1 1.94 1.25
Barrera DC2 3.75 0.90
Asfalto DW 0.33 1.50
Carga viva LL+IM 22.35 1.75
Refuerzo de acero por flexión
Descripción Momentos
[KN-m] As Calculado [cm2]
As
Provisto [cm2]
Mu(+) 45.41 7.50 Ø12C/15 cm
PROPIEDADES GEOMETRICAS DE ELEMENTOS
Viga:
Dimensiones
h= 114.30 [cm]
b'= 17.78 [cm]
bt= 40.64 [cm]
b= 55.88 [cm]
t= 17.78 [cm]
t'= 11.43 [cm]
tb= 17.78 [cm]
t'b= 19.05 [cm]
b2= 11.43 [cm]
b1= 15.40 [cm]
ANEXO A
A4
PROPIEDADES GEOMETRICAS
A = 3540.14 [cm2]
h = 114.30 [cm]
Ix = 5164648.46 [cm4]
Yt = 62.27 [cm]
Yb = 52.03 [cm]
Wt = 82942.33 [cm3]
Wb = 99258.97 [cm3]
Iy = 514063.04 [cm]
Qpp = 8.50 [KN/m]
Ip = 5678711.50 [cm4]
J = 691465.99 [cm4]
Diafragmas
Dimensiones
h = 80 cm
b = 20 cm
PROPIEDADES GEOMETRICAS
A = 1600.00 [cm2]
I x = 853333.33 [cm4]
I y = 53333.33 [cm4]
Ip = 906666.67 [cm4]
J = 180705.88 [cm4]
Qdiaf = 3.84 [KN/m]
Sección compuesta
DIMENSIONES
n= 0.7746 R. modular
Ancho efectivo losa
b=L/4= 375.00 [cm]
b=12t+bt= 280.64 [cm]
b=S= 250.00 [cm]
he= 20.00 [cm]
be= 193.65 [cm]
Ae= 3873.0 [cm2]
Ancho efectivo anca
ha= 1.27 [cm]
ba= 31.48 [cm]
Aa= 39.98 [cm2]
ANEXO A
A5
PROPIEDADES GEOMETRICAS
A = 7453.10 [cm2]
hc = 135.57 [cm]
Ixc = 15319607.31 [cm4]
ybc= 90.58 [cm]
ytg= 23.72 [cm]
ytc= 44.99 [cm]
wbc= 169121.82 [cm3]
wtg= 645940.89 [cm3]
wtc= 340536.12 [cm3]
Iyc= 12159707.78 [cm4]
Ip= 27479315.09 [cm4]
J= 2807255.44 [cm4]
ANALISIS ESTRUCTURAL
Análisis de cargas
PDC1= 636.50 [KN] Peso total viga y diafragmas
PDC2= 754.86 [KN] Peso total tablero y anca
PDC3= 180.00 [KN] Peso total barreras
PDW= 158.63 [KN] Peso total rodadura
PDC+DW= 1729.99 [KN] CARGA MUERTA TOTAL
PLL1= 279.00 [KN] Carga de carril total (2 carriles)
PLL2= 650.00 [KN] Peso 2 camiones de diseño
PIM= 214.50 [KN] Peso por carga dinámica 33% PLL2
PLL1+LL2+IM= 1143.50 [KN] CARGA VIVA TOTAL
PCF= 218.2 [KN] Fuerza centrifuga
Factores de corrección por curvatura
FC V.EXT.= 1.0750 Factor de carga viva exterior
FCDC1 = 1.2535 Factor de corrección para carga muerta
FCDC2 = 1.4561 Factor de corrección (carga de carril)
FCDC3= 1.9897 Factor de corrección (F. cent. y camiones)
Factores de distribución para viga interior
S = 2500 mm Separación de vigas o almas
L = 15000 mm Longitud del tramo de la viga
ts = 200 mm profundidad de la losa de hormigón
n= 1.291 Relación (Eviga/Etablero)
A = 354013.77 mm2 Área de la viga
eg. = 735.38 mm Distancia centros de gravedad viga y tablero
ANEXO A
A6
I = 5.16E+10 (mm4) Inercia de la viga
Parámetro de rigidez longitudinal y factor curva interior
Kg 3.14E+11 Parámetro de rigidez longitudinal
DFM 0.578 Factor de distribución (1 carril)
DFM 0.631 Factor de distribución (2 carriles)
CALCULO DE MOMENTOS
Datos:
QDC1, viga = 8.50 KN/m
QDC2, losa = 12.00 KN/m
QDC2, anca = 0.12 KN/m
QDC3= 3.00 KN/m
QDW= 2.75 KN/m
Resumen de momentos obtenidos.
MDC1, viga = 238.96 KN-m Momento por peso propio viga
MDC1, Diaf. = 36.00 KN-m Momento diafragmas
MDC2= 340.98 KN-m Momento losa + anca
MDC3 = 84.38 KN-m Momento barreras
MDW = 77.34 KN-m Momento capa rodadura
MLL+IM = 2170.9 KN-m Momentos de cargas vivas
MLL1 = 261.56 KN-m Momento carga de carril
MLL2+LL3 = 1151.24 KN-m Momento carga viva + impacto
Momentos de flexión en vigas interior y exterior
Peso
Total W
[KN]
Momentos
de Vigas
Recta de 20
m [KN-m]
F. C. Momento viga
Curva [KN-m]
Puente Recto,
Viga Interior,
[KN-m]*
Vigas y Diafragmas 636.50 298.36 1.2535 374.008 274.96
Losa y Anca 754.86 353.84 1.2535 443.556 340.98
Barreras 180.00 84.38 1.2535 105.768 84.38
Superficie de
desgaste 158.63 74.36 1.2535 93.208 77.34
Carga de camión, e
impacto 864.50 405.23 1.9897 806.306 1412.80
Carril Cargando 279.00 130.78 1.4561 190.435 130.78
Total 1346.95
ANEXO A
A7
Verificación previa para tesado
CARGAS Momento
Flexionantes
[KN-m]
Wb, Wb´(cm3)
Esfuerzo en
la fibra
inferior
[MPa]
1. Peso propio de Vigas y Diafragmas 374.008 99258.97 3.768
2. Losa y Anca 443.556 99258.97 4.469
3. Carga Muerta superpuesta 198.976 169121.82 1.177
4. Carga Viva 797.393 169121.82 4.715
5. Suma de 1+ 2 + 3 + 4 14.13
El esfuerzo admisible en la transferencia de postensado
= (0.60) f 'ci = (0,6) (35) [LRFD Art. 5.9.4.1.1] 21.00
Momentos flectores en las vigas
Cargas
Momentos flectores máximos (KN-m)
Viga Viga Viga Viga
Exterior 1 Interior 2 Interior 3 Exterior 4
MODELO 1
Peso propio vigas 200.55 245.29 247.22 206.46
Peso propio diafragmas 55.84 75.63 75.98 55.75
MODELO 2
Peso propio losa 313.24 355.88 354.47 306.69
MODELO 3
Barandas Tipo Jersey 85.99 74.74 75.45 88.07
Capa de rodadura 67.07 78.53 78.18 65.91
MODELO 4
Carga viva + impacto 789.73 777.26 776.72 799.70
MODELO 5
Fuerza centrifuga 53.25 39.68 41.18 51.61
Cortante
Cargas
Cortante (KN)
Viga Viga Viga Viga
Exterior 1 Interior 2 Interior 3 Exterior 4
MODELO 1
Peso Propio 60.23 68.94 65.77 58.81
Peso propio diafragmas 21.58 27.96 24.42 15.83
MODELO 2
Peso propio losa 100.87 99.40 91.78 78.26
MODELO 3
Barandas Tipo Jersey 41.80 15.28 14.53 37.95
Capa de rodadura 20.90 22.29 20.62 15.88
MODELO 4
Carga viva + impacto 299.70 244.26 236.13 313.50
MODELO 5
Fuerza centrifuga 22.23 8.83 8.68 21.66
ANEXO A
A8
Preesfuerzo inicial
e = 0.406 [m] Excentricidad
Po = 1609.78 [KN] Preesfuerzo inicial
fpu= 1860.00 [MPa] Tensión ultima
fs = 1116.00 [MPa] Tensión de tesado
Au = 98.70 [mm2] Área unitaria de un torón
Asp = 1424.00 [mm2] Área requerida
No. torones= 15.00
Numero de torones
ASR = 1481.00 [mm2] Área de acero provista
Torsión
Cargas
Momentos torsores máximos (KN-m)
Viga Viga Viga Viga
Exterior 1 Exterior 2 Interior 1 Interior 2
Viga 9.86 5.78 7.81 9.74
Diafragma 6.31 3.27 3.63 6.01
Losa 20.41 10.56 13.21 17.08
Barandas 33.05 4.47 3.73 27.00
Rodadura 3.05 2.21 2.86 2.52
Viva 127.64 96.2 98.73 146.42
Centrifuga 18.62 11.98 10.91 18.32
Preesfuerzo -62.95 -30.26 -27.3 -79.85
Calculo de torsión crítica
Datos:
Acp = 7453.1 [cm2]
Pc = 691.50 [cm]
Esfuerzos
Cargas Esf. fibra superior
viga y diafragma 2.642
Losa y anca 3.090
Barrera y capa rodadura 0.910
Carga viva e impacto 5.339
fb = 11.981
Resumen
P = 1732.52 [KN]
fpc = 2.30 [MPa]
Tcr = 155880.00 [KN]
0,25 ∅ Tcr = 51.85 [KN]
ANEXO A
A9
Torsión ultima de diseño
Cargas T (KN*m) Factor de carga Tu (KN*m)
Viga 9.74 1.25 12.175
Diafragma 6.01 1.25 7.513
Losa 17.08 1.25 21.350
Barandas 27.00 0.9 24.300
Capa rodadura 2.52 1.50 3.780
Viva 146.42 1.75 256.235
Centrifuga 18.32 1.75 32.060
Preesfuerzo -79.85 1.00 -79.850
Tu = 277.56
Tu < 0,25 ∅ Tcr
277.56 < 51.850 No Cumple
Diseñar la sección a torsión y corte combinados
Diseño a corte y torsión combinados
Datos
Aps = 1776.6 [mm2] Área de acero de pretensado
Ep = 197000 [MPa] Módulo de elasticidad de los tendones
rec = 30 [mm] Recubrimiento
Mu = 2431.86 [KN-m] Momento ultimo de diseño
Vu = 806.40 [KN] Cortante ultimo de diseño
Tu = 277.56 [KN-m] Momento torsor ultimo de diseño
Vp = 213.44 [KN] Cortante de preesfuerzo
dv = 1245.70 [mm] Profundidad de corte efectiva
bv = 177.80 [mm] Ancho de alma ajustado para considerar la presencia de vainas
fpu = 1860.00 [MPa] Resistencia a la tracción del pretensado
ϴ = 34.00 [°] Angulo de inclinación de las tensiones diagonales (Asumido)
Resultados
Vu´ = 2127.00 [KN] Corte ultimo modificado
Ao = 181033.39 [mm2] Área encerrada por el recorrido de flujo de corte
Aoh = 212980.46 [mm2] Área encerrada por la armadura de torsión
ph = 2823.00 [mm] Perímetro del eje de la armadura de torsión cerrada
fpo = 1302.00 [MPa] Parámetro de deformación y elasticidad
εs = 0.00151 [mm/mm] Deformación longitudinal especifica
Determinación de los parámetros β y θ
ANEXO A
A10
β = 2.25
ϴ = 34.29 [°]
Resistencia nominal a torsión
Datos:
At = 157.08 [mm2] Área de una rama de la armadura transversal de torsión cerrada
s = 110 [mm] Separación de las barras de armadura
fy = 420 [MPa] Tensión de fluencia mínima de las barras de armadura
Tn = 318.48 [KN]
Verificación
∅ ∙ Tn ≥ Tu
286.63 > 277.56 ¡OK!
Verificación a corte
Vc = 244.73 [KN]
Vs = 1095.73 [KN]
Vs+Vc+Vp = 1553.90 [KN]
Vu ≤ ∅ (Vs + Vc + Vp)
806.40 < 1398.51 ¡OK!
Resistencia a corte
νu = 3.08 [MPa]
Resistencia nominal de corte
Vn2 = 1553.90 [KN]
Vn1 = 2151.44 [KN]
Resistencia asumida correcta
Verificación armadura longitudinal
Aps = 8.74 [cm2]
No requiere refuerzo longitudinal adicional (8.74 < 17.77)
Preesfuerzo en las vigas
ANEXO A
A11
DATOS
Wb = 0.1014560 m3
Wb` = 0.1722177 m3
MDC1, viga = 353.88 KN-m
MDC2 = 512.92 KN-m
MDC1, diaf = 163.11 KN-m
MDC3 = 137.40 KN-m
MDW = 230.36 KN-m
MLL+IM = 1362.64 KN-m
Wt = 0.0803 m3
W´t = 0.3272 m3
A = 0.3344 m2
Yb = 53.88 cm
h = 137.5 cm
e = 0.45 m
Perdidas de preesfuerzo
Resumen preesfuerzo
fpu = 1860.00 [MPa]
Au = 98.7 [mm2]
fs = 1116 [MPa]
Asp = 1776.6 [mm2]
No. torones = 18
Asr = 1974.00 [mm2]
Po = 2250.36 KN
Perdidas
Perdidas [MPa]
Fluencia [MPa]
235.05 Retracción [MPa]
Relajación del acero [MPa]
Fricción [MPa] 46.89
Acortamiento elástico [MPa] 43.48
Acuñamiento anclajes [MPa] 27.795
Total 328.25
Porcentaje de perdidas 35.166 %
Preesfuerzo final [KN] 2679.92
ANEXO A
A12
Verificaciones
Verificaciones de tensiones
En t = 0
Fibra superior
-2.59 > -4.18 Cumple a tracción
Fibra inferior
16.06 < 16.8 Cumple a compresión
En t = infinito
Fibra superior
2.97 < 15.75 Cumple a tracción
Fibra inferior
2.95 > -9.41 Cumple a compresión
Preesfuerzo final
Po = 2250.36 KN
∆P = 35.166 %
Pf = 2679.92 KN
Coordenadas de las vainas
DATOS
Nº de torones = 18
L =
15 m
Au = 0.987 cm2
En el apoyo
Y1 = 67.03 cm
Y2 = 37.03 cm
En el centro
b = 15.08 cm
a = 7.78 cm
Coordenadas intermedias y finales
Vaina 1
X (cm) Y (cm)
A = 0 37.03
B = 750 7.78
C = 1500 37.03
ANEXO A
A13
Vaina 2
X (cm) Y (cm)
A = 0 67.03
B = 750 15.08
C = 1500 67.03
Ecuación de la parábola
Vaina 1
Y = 0.520 X² + -7.80000 X + 37.03
Vaina 2
Y = 0.924 X² + -13.85333 X + 67.03
Coordenadas cada 50 cm.
X Vaina 1 Vaina 2 X Vaina 1 Vaina 2
0.00 37.03 67.03 7.50 7.78 15.08
0.50 33.26 60.33 8.00 7.91 15.31
1.00 29.75 54.10 8.50 8.30 16.00
1.50 26.50 48.33 9.00 8.95 17.16
2.00 23.51 43.02 9.50 9.86 18.77
2.50 20.78 38.17 10.00 11.03 20.85
3.00 18.31 33.78 10.50 12.46 23.39
3.50 16.10 29.86 11.00 14.15 26.39
4.00 14.15 26.39 11.50 16.10 29.86
4.50 12.46 23.39 12.00 18.31 33.78
5.00 11.03 20.85 12.50 20.78 38.17
5.50 9.86 18.77 13.00 23.51 43.02
6.00 8.95 17.16 13.50 26.50 48.33
6.50 8.30 16.00 14.00 29.75 54.10
7.00 7.91 15.31 14.50 33.26 60.33
7.50 7.78 15.08 15.00 37.03 67.03
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
-1.00 1.00 3.00 5.00 7.00 9.00 11.00 13.00 15.00
Coordenadas de las vainas
Vaina 1
Vaina 2
ANEXO A
A14
Verificación de estados límite de resistencia
Resumen de resultados 1
dp = 122.87 [cm] Distancia entre la fibra superior y el baricentro de los tendones
Asp = 17.766 [cm2] Área de acero de pretensado
β1 = 0.80
c = 7.055 [cm] Distancia del eje neutro a la fibra en compresión
a = 5.644 [cm] Altura de diafragma de tensiones equivalentes
k = 0.28 Factor que depende del tendón utilizado
fps = 1830.10 [MPa] Tensión del acero pretensado a la r. nominal con tendones.
Tp = 3251.35 [KN] Tensión del acero pretensado a la r. nominal con tendones.
∅Mn = 3903.18 [KN-m] Resistencia a la flexión mayorada
Mu = 2431.86 [KN-m] Momento ultimo para estados límite de resistencia
fr = 5.74 [MPa]
fcpe = 14.56 [MPa]
Mcr = 2956.15 [KN-m]
∅𝐌𝐧 ≥ 𝐌𝐔
3903.18 > 2431.86 OK!!
∅𝐌𝐧 ≥ 𝟏. 𝟐 ∙ 𝐌𝐜𝐫
3903.18 > 3547.38 OK!!
Armadura de piel
Ask ≥ 0.001(de − 760) ≤As + Aps
1200
Ask ≥ 0.4405 ≤ 1.4805
Usando barras ∅10 tenemos:
7∅10 barras por lado
Tomando armadura de piel 1/4 del acero de pretensado tenemos:
6∅10 barras por lado
∴ Usar 6∅10 barras por lado
ANEXO A
A15
Diafragmas
Tensión S1-1
Compresión
S1-1 máx. = 4.32 MPa
Envolventes
S1-1 min. = -5.65 MPa
Flexión
Compresion:
4.32 < 21 OK
Tracción
Fu = σ1−1 ∙ b ∙ d
As =Fu
0.9 ∙ fy
ANEXO A
A16
Datos:
b = 250 [mm]
h = 800 [mm]
fy = 420 [MPa]
rec = 30 [mm]
Resultados:
Fu = 1130000 [N]
As = 2989.42 [mm2]
As. real = 3163.84 [mm2]
As. min= 346.5 [mm2]
Usar: 2∅25 + 3∅16 c/lado
Armadura de piel
1.714 > 0.05 OK
Refuerzo transversal por corte
𝜏1-2 = 2.07 MPa.
Vu = τ1−2 ∙ b ∙ h
Vu = 414000 N
ANEXO A
A17
Diseño por corte
Vc = 0.083 ∙ β ∙ √f´c ∙ b ∙ d
Vc = 62235.39 N
Vs =Vu − ∅ ∙ Vc
∅
Vs = 397764.61 N
∴ Usar ∅10 c/12 cm
B1
Anexo B
Análisis Estructural puentes curvos con vigas BPR
DATOS GENERALES DEL PUENTE
R= 50.00 [m] Radio de curva Horizontal
Vp= 40.00 [Km/h] Velocidad de Proyecto "Tabla 4-2"
n= 2
Número de Carriles
A= 3.50 [m] Ancho de Carril
e= 0.07 [m/m] Peralte de la curva "Tabla 4 -2"
Dimensiones en elevación
h1 = 2.80 [m] Canto de la viga en el borde del tramo
ho = 1.80 [m] Canto de la viga en el centro del tramo
s = 5.70 [m] Longitud de nervio a nervio
a = 2.225 [m] Longitud del volado
eN = 0.30 [m] Espesor del nervio
ef = 0.25 [m] Espesor de la losa
e1 = 0.40 [m] Altura cartela 1
c = 0.25 [m] Longitud de las cartelas
Propiedades geométricas de las secciones
Sección X Altura
Esp.
Losa e Área Yt Yb Wt Wb
[m] [m] [cm] [m2] [m] [m] [m
3] [m
3]
0 0 2.6000 0.20 5.9267 0.9018 1.6982 6.1145 3.2470
A 2.475 2.6000 0.20 5.9267 0.9018 1.6982 6.1145 3.2470
B 5.475 2.3556 0.20 5.7801 0.8170 1.5386 5.3195 2.8246
C 8.475 2.1556 0.20 5.6601 0.7490 1.4066 4.6809 2.4927
D 11.475 2.0000 0.20 5.5667 0.6971 1.3029 4.1929 2.2434
E 14.475 1.8889 0.20 5.5000 0.6606 1.2283 3.8496 2.0703
F 17.475 1.8222 0.20 5.4600 0.6389 1.1833 3.6461 1.9685
G 20.475 1.8000 0.20 5.4467 0.6317 1.1683 3.5786 1.9349
H 23.475 1.8000 0.20 5.4467 0.6317 1.1683 3.5786 1.9349
ANEXO B
B2
Pesos y volúmenes de las dovelas
Dovela Área i Área j Ancho Vol. Peso dovelas
m2 m
2 m m
3 γ KN/m
3 Peso KN
0 5.9142 5.9142 2.475 14.64 24.00 351.30
1 5.9142 5.6023 3.000 17.27 24.00 414.59
2 5.6023 5.3470 3.000 16.42 24.00 394.17
3 5.3470 5.1485 3.000 15.74 24.00 377.84
4 5.1485 5.0067 3.000 15.23 24.00 365.59
5 5.0067 4.9216 3.000 14.89 24.00 357.42
6 4.9216 4.8932 3.000 14.72 24.00 353.33
7 4.8932 4.8932 3.000 14.68 24.00 352.31
30.65 123.61 2966.56
Excentricidades
Sección e2 e3 αV αH α
0 0.702
A 0.702 0.572
B 0.617 0.479 11.20 6.76 13.08
C 0.549 0.426 9.09 6.76 11.32
D 0.497 0.383 8.26 6.76 10.67
E 0.461 0.350 7.67 20.10 21.51
F 0.439 0.331 7.28 20.10 21.38
G 0.432 0 7.17 20.10 21.34
Calculo de perdidas
Fricción
Cable Promedio L. Cable
Coeficientes
μα + kx ∆P
α [º] α [Rad]. [m] μ k [%]
1 13.079 0.228 5.521 0.25 6.60E-07 6.07E-02 5.89
2 11.324 0.198 8.508 0.25 6.60E-07 5.50E-02 5.35
3 10.672 0.186 11.502 0.25 6.60E-07 5.42E-02 5.27
4 21.512 0.375 14.498 0.25 6.60E-07 1.03E-01 9.83
5 21.377 0.373 17.496 0.25 6.60E-07 1.05E-01 9.95
6 21.340 0.372 20.495 0.25 6.60E-07 1.07E-01 10.12
ANEXO B
B3
Deslizamiento de anclajes
Cable L. Cable Ep Po ∆L α Coeficientes Li ∆P
[mm] [MPa] [N] [mm] [Rad] μ k [m] [%]
1 5520.50 197000 1116 6 0.228 0.25 6.60E-07 9813.58 19.19
2 8507.50 197000 1116 6 0.198 0.25 6.60E-07 12796.82 12.45
3 11501.50 197000 1116 6 0.186 0.25 6.60E-07 14998.13 9.21
4 14498.00 197000 1116 6 0.375 0.25 6.60E-07 12184.28 7.31
5 17495.50 197000 1116 6 0.373 0.25 6.60E-07 13295.86 6.05
6 20495.00 197000 1116 6 0.372 0.25 6.60E-07 14267.29 5.17
Acortamiento elástico
∆fpES = 0.545 %
Perdidas dependientes del tiempo
∆fp(SR+CR+R1+R2) = 15.50 %
Resumen pérdidas totales
Perdidas Notación Porcentaje
Perdida deslizamiento anclajes y fricción %∆fanc+fr 19.19 %
Perdida acortamiento elástico %∆fpES 0.545 %
Perdidas dependientes del tiempo %∆fp(SR+CR+R1+R2) 15.50 %
PERDIDAS TOTALES %∆fpT 35.235 %
Diseño en la etapa de construcción
Tiempo inicial (t = 0)
Sección A
Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo
f t f b f t f b
1 1246.44 4960.48 1.295 0.133 0.688 1.277
2 4960.48 9641.72 1.580 2.169 0.814 3.611
3 9641.72 15474.93 1.706 4.503 0.752 6.299
4 15474.93 22451.49 1.644 7.192 0.503 9.340
5 22451.49 30580.07 1.395 10.232 0.066 12.736
6 30580.07 39877.23 0.958 13.628 -0.562 16.491
ANEXO B
B4
Sección B
Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo
f t f b f t f b
2 1442.77 4911.51 2.171 1.185 1.519 2.413
3 4911.51 9549.52 2.434 3.328 1.562 4.970
4 9549.52 15342.40 2.477 5.885 1.388 7.936
5 15342.40 22293.06 2.303 8.850 0.996 11.311
6 22293.06 30413.74 1.911 12.226 0.384 15.101
Sección C
Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo
f t f b f t f b
3 1431.25 4874.05 3.117 2.212 2.381 3.593
4 4874.05 9483.25 3.315 4.527 2.331 6.376
5 9483.25 15255.99 3.265 7.311 2.031 9.626
6 15255.99 22200.18 2.966 10.560 1.482 13.346
Sección D
Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo
f t f b f t f b
4 1422.60 4848.12 4.087 3.262 3.270 4.789
5 4848.12 9442.93 4.219 5.738 3.124 7.787
6 9442.93 15210.64 4.073 8.736 2.698 11.307
Sección E
Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo
f t f b f t f b
5 1416.84 4833.73 5.071 4.315 4.183 5.965
6 4833.73 9424.94 5.145 6.926 3.952 9.144
Sección F
Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo
f t f b f t f b
6 1413.96 4828.69 6.059 5.350 5.122 7.084
ANEXO B
B5
Tiempo inicial (t = inf)
Sección A
Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo
f t f b f t f b
1 1246.44 4960.48 0.905 0.199 0.297 1.342
2 4960.48 9641.72 0.957 2.002 0.191 3.444
3 9641.72 15474.93 0.851 4.103 -0.103 5.900
4 15474.93 22451.49 0.557 6.560 -0.584 8.708
5 22451.49 30580.07 0.075 9.368 -1.254 11.871
6 30580.07 39877.23 -0.595 12.531 -2.115 15.394
Sección B
Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo
f t f b f t f b
2 1442.77 4911.51 1.535 1.010 0.883 2.238
3 4911.51 9549.52 1.559 2.914 0.687 4.556
4 9549.52 15342.40 1.364 5.232 0.275 7.283
5 15342.40 22293.06 0.951 7.960 -0.355 10.420
6 22293.06 30413.74 0.321 11.097 -1.206 13.972
Sección C
Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo
f t f b f t f b
3 1431.25 4874.05 2.225 1.785 1.489 3.166
4 4874.05 9483.25 2.180 3.857 1.196 5.706
5 9483.25 15255.99 1.886 6.397 0.653 8.713
6 15255.99 22200.18 1.344 9.404 -0.140 12.189
Sección D
Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo
f t f b f t f b
4 1422.60 4848.12 2.934 2.577 2.117 4.104
5 4848.12 9442.93 2.819 4.806 1.723 6.855
6 9442.93 15210.64 2.425 7.557 1.050 10.128
Sección E
Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo
f t f b f t f b
5 1416.84 4833.73 3.654 3.369 2.766 5.019
6 4833.73 9424.94 3.477 5.730 2.285 7.948
ANEXO B
B6
Sección F
Dovela Mmin Mmax Momento mínimo Momento máximo
f t f b f t f b
6 1413.96 4828.69 4.379 4.143 3.443 5.878
Control de flechas (Etapa de construcción)
Etapas permanentes (Modelos computacionales)
Servicio 1
Distancia V2 T M3
m KN KN-m KN-m
0.000 -3152.684 -1187.8312 -14141.26
3.000 -1551.017 3164.9733 -5220.14
6.000 -1254.946 3212.5749 1275.78
9.000 -357.031 3105.9327 6644.98
12.000 -789.503 -405.8996 9403.60
15.000 1116.582 3152.3382 10493.40
18.000 938.376 -128.2138 605.32
21.000 1570.533 445.2581 -1864.82
23.475 2387.114 741.5081 -8971.49
Dovela Nº vi Sumatoria vi
1 0.05539 0.05539
2 0.04325 0.09864
3 0.02928 0.12792
4 0.01593 0.14384
5 0.00584 0.14969
6 0.00067 0.15036
7 0.00000 0.15036
Deflexión máxima 0.15036
ANEXO B
B7
Redistribución de momentos por fluencia
Mf = MII + (MI − MII)e−∅
Distancia M (II) M (I) Mfinal Mcreep
m KN-m KN-m KN-m KN-m
0.000 0.00 -1538.36 -1313.18 -1313.18
3.000 -588.24 2134.14 -189.76 398.48
6.000 -2353.69 4376.85 -1368.52 985.17
9.000 -5299.94 5170.60 -3767.34 1532.60
12.000 -9435.64 4505.25 -7395.08 2040.56
15.000 -14775.18 2370.03 -12265.59 2509.59
18.000 -21338.74 -1246.39 -18397.77 2940.97
21.000 -29152.23 -6356.06 -25815.50 3336.73
23.475 -34524.50 -11821.91 -31201.46 3323.04
Cables solidarios
M3+creep Wt Wb ft fb
KN-m m3 m3
-15454.45 3.5786 1.9349 -4.32 -7.99
-4821.66 3.5786 1.9349 -1.35 -2.49
2260.94 3.6461 1.9685 0.62 1.15
8177.58 3.8496 2.0703 2.12 3.95
11444.16 4.1929 2.2434 2.73 5.10
13002.99 4.6809 2.4927 2.78 5.22
3546.28 5.3195 2.8246 0.67 1.26
1471.92 6.115 3.247 0.24 0.45
-5307.65 6.115 3.247 -0.87 -1.63
Se adopta cables solidarios en las últimas dos dovelas por no cumplir con los esfuerzos
de tracción.
e = 1.0683 m
Wb = 1.9349 m3
∆fcb = 5.032 MPa
∆Po = 9113.94 KN
Po (1 cable) = 977.4 KN
Nº cables = 9.32
Nº cables = 10 cables
M 1 = 10441.56 KN
M 2 = 5220.78 KN
ANEXO B
B8
Comprobación con cables solidarios
M corregido Wt Wb ft fb
KN-m m3 m3
-5012.89 3.5786 1.9349 -1.40 -2.59
-645.03 3.5786 1.9349 -0.18 -0.33
2260.94 3.6461 1.9685 0.62 1.15
8177.58 3.8496 2.0703 2.12 3.95
11444.16 4.1929 2.2434 2.73 5.10
13002.99 4.6809 2.4927 2.78 5.22
3546.28 5.3195 2.8246 0.67 1.26
1471.92 6.115 3.247 0.24 0.45
-5307.65 6.115 3.247 -0.87 -1.63
Diseño corte y torsión
Resistencia 1
Mu Vu Tu
KN-m KN KN-m
2017.95 1291.98 4271.06
8693.39 807.24 3892.88
13406.68 303.47 3236.16
14589.61 1176.63 2929.91
13085.70 2259.68 2759.99
3454.89 1601.30 2947.65
9748.82 2399.34 2257.76
Resistencia del concreto
Sec. dv bv ph Ao V n+ T ϴt Vp εs ϴ β Vc
G 1440.00 540 14000 8640000 3371.67 28.91 595.47 -1.80E-05 28.94 4.74 1808.37
F 1459.98 540 14044.4 8759880 2922.30 28.84 78.01 -3.12E-05 28.89 4.69 1815.67
E 1459.98 540 14044.4 8759880 2354.43 28.74 229.96 -5.58E-05 28.80 4.61 1783.53
D 1520.01 540 14177.8 9120060 2363.36 28.65 197.15 -9.13E-05 28.68 4.49 1810.69
C 1620.00 540 14400 9720000 2914.06 28.51 867.35 -1.36E-04 28.52 4.36 1870.91
B 1760.04 540 14711.2 10560240 2445.13 28.38 1655.87 -2.08E-04 28.27 4.15 1937.47
A 1940.04 540 15111.2 11640240 2737.97 28.28 3299.76 -2.28E-04 28.20 4.10 2109.04
ANEXO B
B9
Diseño a corte
Sec. Vuw Vc φ Av Sv Vs Vc+Vs Vn φVn Av/sv
G 1685835.7 904184.7 10 157.08 170 1010781.9 1914966.7 1914966.7 OK 0.9240
F 1461148.7 907836.4 10 157.08 240 727293.0 1635129.5 1635129.5 OK 0.6545
E 1177214.0 891767.4 10 157.08 420 417075.7 1308843.2 1308843.2 OK 0.3740
D 1181682.0 905342.9 10 157.08 440 416620.3 1321963.4 1321963.4 OK 0.3570
C 1457028.6 935453.0 10 157.08 280 702318.5 1637771.6 1637771.6 OK 0.5610
B 1222563.8 968735.8 10 157.08 550 392567.1 1361302.9 1361302.9 OK 0.2856
A 1368982.6 1054519.3 10 157.08 510 467984.1 1522503.5 1522503.5 OK 0.3080
Verificación a torsión
Sec. Tu ∅ At St (mm) Tn TN (KN-m) At/St φ Tn
G 4271.06 10 157.08 430 4795337615 4795.34 0.36530 OK
F 3892.88 10 157.08 480 4363758145 4363.76 0.32725 OK
E 3236.16 10 157.08 580 3624244443 3624.24 0.27083 OK
D 2929.91 10 157.08 670 3283217158 3283.22 0.23445 OK
C 2759.99 10 157.08 760 3104987410 3104.99 0.20668 OK
B 2947.65 10 157.08 790 3279674653 3279.67 0.19883 OK
A 2257.76 10 157.08 1140 2512335818 2512.34 0.13779 OK
Sumatoria de acero por torsión y corte
Sec. Av/sv At/st Av/Sv+At/St Av/s min Av+t/s
Adoptado ∅ At+v S t+s
G 0.9240 0.3653 1.2893 0.631 1.2893 10 157.08 121.8
F 0.6545 0.3272 0.9817 0.631 0.9817 10 157.08 160.0
E 0.3740 0.2708 0.6448 0.631 0.6448 10 157.08 243.6
D 0.3570 0.2344 0.5914 0.631 0.6313 10 157.08 248.8
C 0.5610 0.2067 0.7677 0.631 0.7677 10 157.08 204.6
B 0.2856 0.1988 0.4844 0.631 0.6313 10 157.08 248.8
A 0.3080 0.1378 0.4458 0.631 0.6313 10 157.08 248.8
Acero por corte y torsión
Armado transversal dovelas
Usar : ∅ 10 cada 13 cm
Usar : ∅ 10 cada 16 cm
Usar : ∅ 10 cada 25 cm
Usar : ∅ 10 cada 25 cm
Usar : ∅ 10 cada 21 cm
Usar : ∅ 10 cada 25 cm
Usar : ∅ 10 cada 25 cm
Flexión transversal
ANEXO B
B10
Losa superior
M(+) M(-) As(+) As(-)
76.07 -216.13 127.22 410.45
83.31 -137.35 140.09 241.31
91.97 -161.3 155.68 289.57
88.28 -142.23 149.01 250.95
99.65 -160.68 169.69 288.29
77.73 -142.98 130.16 252.44
82.43 -145.63 138.52 257.73
97.21 -249.55 165.22 493.55
Losa inferior
M(+) M(-) As(+) As(-)
32.43 -74.81 81.17 202.79
11.68 -23.39 28.29 57.69
11.81 -32.29 28.61 80.80
11.70 -32.60 28.34 81.62
10.95 -26.56 26.49 65.84
13.41 -33.35 32.56 83.60
30.70 -73.61 76.62 199.03
33.77 -122.22 84.71 375.68
Alma interior
M(+) M(-) As(+) As(-)
32.48 -89.22 52.66 150.70
18.78 -89.14 30.17 150.56
32.91 -88.29 53.38 149.03
50.64 -90.26 83.15 152.58
60.17 -62.16 99.47 102.90
77.62 -69.65 129.96 115.93
75.88 -70.72 126.88 117.81
52.14 -54.32 85.70 89.42
ANEXO B
B11
Alma exterior
M(+) M(-) As(+) As(-)
30.31 -76.99 49.07 128.85
50.55 -84.54 82.99 142.29
67.89 -92.03 112.86 155.79
79.77 -64.82 133.78 107.51
72.32 -60.31 120.61 99.71
70.78 -45.20 117.91 73.93
41.74 -36.22 68.11 58.88
56.18 -45.71 92.60 74.79
Refuerzo requerido por flexión
Armado transversal dovelas (flexión)
Usar : ∅ 10 cada 19 cm
Usar : ∅ 10 cada 32 cm
Usar : ∅ 10 cada 27 cm
Usar : ∅ 10 cada 31 cm
Usar : ∅ 10 cada 27 cm
Usar : ∅ 10 cada 31 cm
Usar : ∅ 10 cada 30 cm
Usar : ∅ 10 cada 15 cm
Armadura adoptada para corte, torsión y flexión
Armado transversal dovelas
Usar : ∅ 10 cada 13 cm
Usar : ∅ 10 cada 13 cm
Usar : ∅ 10 cada 21 cm
Usar : ∅ 10 cada 21 cm
Usar : ∅ 10 cada 21 cm
Usar : ∅ 10 cada 21 cm
Usar : ∅ 10 cada 21 cm
Usar : ∅ 10 cada 15 cm
Diafragmas
Tensión S1-1
ANEXO B
B12
Compresión
S1-1 máx. = 15.10 MPa
S1-1 min. = -3.28 MPa
Flexión
Compresion:
15.10 < 21 OK
Tracción
Fu = σ1−1 ∙ b ∙ d
As =Fu
0.9 ∙ fy
Datos:
b = 450 [mm]
h = 1800 [mm]
fy = 420 [MPa]
rec = 30 [mm]
ANEXO B
B13
Resultados:
Fu = 2656800 [N]
As = 7028.57 [mm2]
As. real = 7202.16 [mm2]
As. min= 1433.7 [mm2]
Usar: 18∅16 c/lado
Armadura de piel
0.92 > 0.05 OK
Refuerzo transversal por corte
𝜏1-2 = 1.92 MPa.
Vu = τ1−2 ∙ b ∙ h
Vu = 1555200 N
Diseño por corte
Vc = 0.083 ∙ β ∙ √f´c ∙ b ∙ d
Vc = 257509.02 N
Vs =Vu − ∅ ∙ Vc
∅
Vs = 1470491 N
∴ Usar ∅12 c/11 cm
C1
Anexo C
MOMENTOS Y REACCIÓN MÁXIMAS POR CARGA HL-93
ANEXO C
C2