1B Mates Ud01

u Números reales

contenidos1. El conjunto de los números

reales

2. Representación de los números reales en la rectareal

3. Conjuntos en la recta real

4. Conjuntos acotados en larecta real

5. Aproximaciones decimales

6. Redondeos y truncamientos

7. Errores

8. Notación científica y ordende magnitud

9. Radicales

10. Operaciones con radicales

11. Racionalización de denominadores

1unidad 1

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Y

Las Matemática que desarrollaron los griegos nos muestra que yaconocían los números naturales y fraccionarios. Ellos fueron losprimeros en descubrir los números irracionales, es decir, aquellosnúmeros que no pueden ser expresados a través de una fracción,al comparar la diagonal y el lado de un pentágono regular o ladiagonal y el lado de un cuadrado.

Además de las griegas, otras civilizaciones utilizaron los númerosirracionales en sus construcciones. Los árabes usaron estos nú-meros en el diseño de elementos de la Alhambra de Granada y laMezquita de Córdoba, como ejemplos más significativos de susbellas edificaciones. Así, en la Mezquita de Córdoba podemos en-contrar la llamada bóveda cordobesa, que puedes observar enla imagen. La característica de esta bóveda es que en ella apare-ce el número cordobés, número irracional que es la relaciónexistente entre el radio de la circunferencia circunscrita al octó-gono regular y el lado de este. El número cordobés es:

Este conocimiento de los números por parte de las civilizacionesantiguas no fue superado hasta veinticuatro siglos más tarde. Losmatemáticos G. Cantor (1845-1918), R. Dedekind (1831-1916),K. Weierstrass (1815-1897) y B. Bolzano (1781-1848) fueronquienes culminaron el estudio, que duró medio siglo de investi-gaciones, sobre los números reales.

1��2 – �2��

9

1. Encuentra varios números que estén comprendidos entre:

a) �2

5� y �

3

5� b) 2,1 y 2,2 c) 2,01 y 2,1

2. Describe un procedimiento que calcule �3

10� utilizando solamente lasteclas de las operaciones elementales de tu calculadora.

3. Ordena de menor a mayor los siguientes números:

5,31; –4,21; 5,201; –4,201; 5,2101; –4,2101; 4,211; 4,201

4. Comprueba la siguiente igualdad elevando al cuadrado ambos miem-bros de la igualdad:

2 �2 – �3�� = �6� – �2�

5. ¿Para qué valores de n y a se cumple n

�a� X �?

cuestiones iniciales

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10 Unidad 1 Y

1. El conjunto de los números reales

1.1. El conjunto de los números racionalesExiste una relación entre los números racionales y los números decimales:

• Cualquier número racional se puede expresar como un número decimalexacto o periódico.

• Cualquier número decimal exacto o periódico se puede expresar como unnúmero racional.

A continuación damos la definición del conjunto de los números racionales ysu equivalencia con los números decimales.

• El conjunto de los números racionales se representa mediante la letra �y está formado por:

� = ��ab� � a Z Z; b Z Z y b ≠ 0�

• El conjunto de los números racionales equivale al conjunto formado porlos decimales exactos, los periódicos puros y los periódicos mixtos.

� = � � q � � q � �decimalesperiódicos

mixtos

decimalesperiódicos

purosdecimalesexactos

Unión de dos conjuntos A q B es el conjunto formado portodos los elementos de A y de B.

�

1.2. El conjunto de los números irracionalesLa Escuela Pitagórica pensaba que todo el Universo se podía expresar median-te números enteros o racionales. El famoso Teorema de Pitágoras contradijola doctrina básica de la Escuela al descubrir que existían números, como �2�,que no eran ni enteros ni racionales.

Los números que, como �2�, son decimales con infinitas cifras decimales noperiódicas se llaman números irracionales.

• Los números irracionales son aquellos números decimales que tieneninfinitas cifras decimales y no son periódicos.

� = � �decimales con infinitas cifrasdecimales y no periódicos

Algunos de los números irracionales más importantes y utilizados son:

• El Número de Oro Φ (Número Áureo). Es la razón entre la diagonal de unpentágono regular y su lado.

Para los antiguos griegos el rectángulo áureo, o rectángulo cuya razón en-tre sus lados es el número de oro, representaba la armonía y las dimensio-nes ideales de belleza.

a Monumento a Pitágoras en elpuerto Pythagorio de Samos, Grecia.

Φ = = 1,61803398...1 + �5��

2

Intersección de dos conjuntos A Q B es el conjunto formado porlos elementos comunes de A y de B.

A q B

A B

A B

A Q B

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Números reales 11

Y

• El número π. Es la razón entre la longitud de la circunferencia y su diáme-tro. Es el primer número irracional que manejamos.

• El número �2�. Aparece al calcular la medida de la diagonal de un cuadra-do de lado 1.

También son irracionales �3�, �5�, �7�, �3

2�, etc.

• El número e. Aparece en múltiples procesos biológicos, químicos, físi-

cos, etc. Es el número al que tiende la función �1 + �1x��

x

cuando x tiende

a +∞ ó –∞.

1.3. El conjunto de los números realesEl conjunto de los números racionales junto con los irracionales forma el con-junto de los números reales.

e = 2,71828182845904...

�2� = 1,41421356...

π = 3,14159265...

• El conjunto de los números reales se representa por �, y está formado porlos números racionales y los irracionales.

� = � � q � � = � q �númerosirracionales

númerosracionales

• Los números reales llenan por completo la recta, de ahí que la llamemosrecta real.

• Dado un origen y una unidad, a cada punto de la recta le corresponde unnúmero real, y a cada número real le corresponde un punto de la recta.

( )Y

X

e

y = 1 + —1x

x

+1

–1 0

A continuación podemos ver la relación que existe entre los distintos con-juntos numéricos.

Racionales �

Enteros �

Naturales �Enteros positivos �

+

Cero 0

Decimales exactosDecimales periódicos

Enteros negativos �–

Decimales

Irracionales �

Reales �

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12 Unidad 1 Y

2. Representación de los númerosreales en la recta real

Hasta ahora conocemos los procedimientos geométricos que nos permiten re-presentar números naturales, enteros y racionales en la recta real.

A continuación podemos ver los procedimientos más utilizados para repre-sentar los números irracionales.

2.1. Números irracionales de la forma �n� con n natural

Estos números los representamos en la recta real utilizando procedimientosgeométricos basados en el teorema de Pitágoras, como podemos ver en el ejem-plo siguiente:

Representación en la recta realdel número de oro Φ

�

El método se basa en construir triángulos rectángulos tales que su hipotenusamida el número irracional que queremos representar:

• �2� = �12 + 12� • �3� = �12 + (��2�)2�• �5� = �12 + 22� • �6� = �12 + (��5�)2�

2.2. Números irracionales cualesquiera

Un número irracional cualquiera se puede representar de forma aproximada enla recta real mediante aproximaciones decimales sucesivas.

Por ejemplo, vamos a representar el número π:

π = 3,14159265...

Para ello, utilizamos el siguiente procedimiento:

• Aproximación a décimas. Dividimos el segmento entre 3 y 4 en diez partesiguales, y tomamos un punto cualquiera entre 3,1 y 3,2 como muestra la fi-gura. Este punto es la representación de π con error menor de 1 décima.

• Aproximación a centésimas. Dividimos el segmento entre 3,1 y 3,2 en diezpartes iguales, y tomamos un punto cualquiera entre 3,14 y 3,15 comomuestra la figura. Este punto es la representación de π con error menor de1 centésima.

• Continuando con este procedimiento obtenemos la aproximación de π quedeseemos.

1 + 5

1 2 3 40

1 + 52

=Φ

5

3 4

3,1 3,2

3,14 3,15

3,1 3,2

3,153,14

3,1423,141

2

0 1 2–1

1

3

2 3 5 6

1. Se dibuja �5� como la hipotenusade un triángulo rectángulo decatetos de longitud 1 y 2.

2. Se busca el punto de intersecciónde la recta real con la circunferen-cia de radio �5� y centro en 1. Elpunto obtenido es 1 + �5� .

3. Se busca el punto medio del seg-mento [0, 1 + �5�], para obtener:

1 + �5��

2

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Números reales 13

Y

3. Conjuntos en la recta real

Dentro de la recta real podemos definir una serie de subconjuntos, entre losque se encuentran los intervalos y los entornos. Estos subconjuntos tienengran importancia en el estudio de las funciones. Su definición está basada enla relación de orden de los números reales.

El símbolo BEste símbolo se lee «si y sólo si» eindica equivalencia.

Ejemplo:

n = 2•B n termina en 0 ó

en cifra par

�

• Un número real a es menor o igual que otro número real b cuando en larecta real a está a la izquierda de b o superpuesto con él. Simbólica ygráficamente:

ba a = bóa ≤ b ⇔

A continuación definimos y simbolizamos los subconjuntos más importantesde la recta real.

CONJUNTOS EN LA RECTA REAL

SUBCONJUNTOS SÍMBOLO DEFINICIÓN REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Intervaloabierto

(a, b)(a, b) = {x Z � | a < x < b}

El intervalo abierto de extremos a y b es el conjun-to de números reales comprendidos entre a y b.

Intervalocerrado

[a, b]

[a, b] = {x Z � | a ≤ x ≤ b}

El intervalo cerrado de extremos a y b es el conjun-to de números reales comprendidos entre a y b e in-cluidos estos.

Entornosimétrico

E (a, r )E(a, r) = (a – r, a + r) = {x Z � | |x – a| < r}

El entorno simétrico de centro a y radio r positivo esel intervalo abierto de extremos a – r y a + r.

Entornoreducido

E*(a, r ) E*(a, r) = E(a – r) – {a}

Entornolateral a

la izquierdaE

–(a, r ) E –(a, r) = (a – r, a)

Entornolateral a

la derechaE

+(a, r ) E+(a, r) = (a, a + r)

Intervalosemiabierto osemicerrado

[a, b)

(a, b]

[a, b) = {x Z � | a ≤ x < b}

(a, b] = {x Z � | a < x ≤ b}

ba

ba

ba

a + raa – r

r r

a + raa – r

aa – r

a + ra

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14 Unidad 1 Y

4. Conjuntos acotados en la recta real

4.1. Conjuntos acotados superiormente

Si en un conjunto de números reales podemos encontrar una barrera de formaque todos los números del conjunto estén a la izquierda de esta barrera, afir-mamos que ese conjunto está acotado superiormente.

• Un conjunto A de números reales está acotado superiormente por unnúmero real S si todos los elementos de A son menores o iguales que S.

A está acotado superiormente por S B x ≤ S, ∀x Z A

El número S se llama cota superior de A. Si A está acotado superior-mente, existen infinitas cotas superiores.

• La más pequeña de las cotas superiores se llama supremo del conjunto A,sup A. Si el supremo pertenece al conjunto A se le llama máximo delconjunto A, máx A.

• Un conjunto A de números reales está acotado inferiormente por un nú-mero real I si todos los elementos de A son mayores o iguales que I.

A está acotado inferiormente por I B x ≥ I, ∀x Z A

El número I se llama cota inferior de A. Si A está acotado inferiormen-te, existen infinitas cotas inferiores.

• La más grande de las cotas inferiores se llama ínfimo del conjunto A,ínf A. Si el ínfimo pertenece al conjunto A se le llama mínimo del con-junto A, mín A.

• Un conjunto A de números reales está acotado si lo está superior e infe-riormente.

A está acotado por S e I B I ≤ x ≤ S, ∀x Z A

• Todo conjunto de números reales acotado tiene supremo e ínfimo.

4.2. Conjuntos acotados inferiormente

Si en un conjunto de números reales podemos encontrar una barrera de formaque todos los números del conjunto estén a la derecha de esta barrera, afirma-mos que ese conjunto está acotado inferiormente.

4.3. Conjuntos acotados

Si todos los elementos de un conjunto de números reales se encuentran entredos barreras afirmamos que el conjunto está acotado.

Cuando afirmamos que un conjunto no está acotado puede ocurrir:• Que no esté acotado ni superior ni inferiormente.• Que esté acotado superiormente pero no inferiormente.• Que esté acotado inferiormente pero no superiormente.

Acotación superior

�

S

«BARRERA» ocota superior

Los elementosde A están a

la izquierda dela BARRERA

Acotación

�

"BARRERAS"

Los elementosde A estánentre las

BARRERAS

Acotación inferior

�

I

«BARRERA» ocota inferior

Los elementosde A están ala derecha dela BARRERA

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Números reales 15

Y

1. Define y representa cada uno de los siguientes conjuntos:

E(1, 3) [–1, 3] E+(–1, 3) (–∞, 3] E*(1, 3)

A partir de las definiciones dadas en el epígrafe 3, obtenemos:

A C T I V I D A D E SRESUELTAS

4– 2

3– 1

–1 + 3 = 2– 1

r = 3

3

1 + 3 = 4

r = 3

1 – 3 = – 2 1

r = 3

DEFINICIÓN REPRESENTACIÓN GRÁFICA

E(1, 3) = (1 – 3, 1 + 3) = (–2, 4)

[–1, 3] = {x Z � | – 1 ≤ x ≤ 3}

E+(–1, 3) = (–1, –1+3) = (–1, 2)

(–∞, 3] = {x Z � | x ≤ 3}

E*(1,3) = (1 – 3, 1+3) – {1} = (–2, 4) – {1}

2. Estudia la acotación de cada uno de los siguientes conjuntos y halla en los casos que sea posible el supremo, el ínfimo,el máximo y el mínimo.

a) A = {x Z � | x ≤ –4} q {x Z � | x > –3}

• Para calcular la intersección o la unión de dos conjuntos es conveniente representar cada conjunto en una recta real y en otrala unión o intersección de ellos.

• En la representación gráfica adjunta observamos que A no está acotado superior ni inferiormente.

b) B = [–5, 3] q (1, + ∞)

• El conjunto B no está acotado, puesto que está acotado inferiormente pero no superiormente.

• El ínfimo de B es: ínf B = –5. Como pertenece a B es mínimo de B, mín B = –5.

– 4

– 4

– 4

– 3 …2…

10– 1– 2

2…

10– 1– 2A

– 5

– 5

1

B

3

– 5

C

5

630

30 5

c) C = E[0, 5] Q E*(3, 3)

El conjunto C, en virtud de la definición de entornos es:

C = (–5, 5) � [(0, 6) – {3}]

• El conjunto C está acotado.

• El ínfimo de C es ínf C = 0, y el supremo es sup C = 5. No tiene máximo ni mínimo.

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16 Unidad 1 Y

5. Aproximaciones decimalesLos números irracionales y los números decimales periódicos tienen infinitascifras decimales por lo cual, para trabajar con ellos, necesitamos utilizar apro-ximaciones de los mismos.

El número irracional π es:

π = 3,14159265358979323846...

por lo que podemos considerar las siguientes desigualdades:

3 < π < 4

3,1 < π < 3,2

3,14 < π < 3,15

3,141 < π < 3,142

3,1415 < π < 3,1416

…

Los números que aparecen a la izquierda de estas desigualdades son aproxi-maciones de π por defecto, pues son menores que π. Los números que apare-cen a la derecha de estas desigualdades son aproximaciones de π por exceso,pues todas ellas son mayores que π.

3. Dado el número de oro Φ = 1,61803398…, calcula las siguientes aproximaciones decimales:

a) Aproximación decimal a unidades por exceso. La aproximación es 2.

b) Aproximación decimal a centésimas por defecto. La aproximación es 1,61.

c) Aproximación decimal a millonésimas por exceso. La aproximación es 1,618034.

4. Halla dos números que puedan ser valores exactos en cada una de las siguientes aproximaciones decimales:

a) 432 es la aproximación a unidades por exceso. Los números pueden ser 431,74…; 431,2…

b) 432,25 es la aproximación a centenas por exceso. Los números pueden ser 432,247…; 432,244…

c) 432,266 es la aproximación a milésimas por defecto. Los números pueden ser 432,2667…; 432,2662…


�

• Una aproximación decimal de orden n por defecto es una estimación enla cual todas las cifras, incluida la que indica el orden, son las mismas queen el número original, y las demás son cero.

• Una aproximación decimal de orden n por exceso es una estimación enla cual todas las cifras, excluida la que indica el orden, son las mismas queen el número original; la que indica el orden es una unidad más y el res-to de ellas son cero.

El número πExiste un poema de Manuel Golma-yo que permite recordar las 20 pri-meras cifras de π, contando el núme-ro de letras de cada palabra:

“Soy y seré a todos definible

3 1 4 1 5 9

mi nombre tengo que daros,

2 6 5 3 5

cociente diametral siempre inmedible

8 9 7 9

soy de los redondos aros”.

3 2 3 8 4

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Números reales 17

Y

6. Redondeos y truncamientos

6.1. Redondeos

• Los números 3,14 y 3,15 son aproximaciones decimales por defecto y porexceso, respectivamente, del número π = 3,14159... Observa que el núme-ro π se encuentra comprendido entre ellas.

En este caso, la aproximación por defecto está más próxima a π que la apro-ximación por exceso. Decimos, por tanto, que 3,14 es un redondeo de π acentésimas.

• Los números 3,1415 y 3,1416 son aproximaciones decimales por defecto ypor exceso de π respectivamente. Observa que el número π se encuentracomprendido entre ellas.

En este caso, el número π está más próximo a la aproximación por exceso,por tanto 3,1416 es un redondeo de π a diezmilésimas.

3,1415( )

3,1416

π

3,14( )

3,15

π

• El redondeo de orden n de un número es la mejor aproximación decimalde orden n que se puede dar de ese número.

• En la práctica se escribe el número exacto en forma decimal. Observa-mos la cifra que ocupa el lugar de orden n, objeto del redondeo; si la ci-fra siguiente es inferior a 5, el redondeo es la aproximación decimal pordefecto y, si es mayor o igual que 5, el redondeo coincide con la aproxi-mación decimal por exceso.

• El truncamiento de orden n de un número es su aproximación decimalpor defecto de orden n.

• En la práctica, para hacer truncamiento de orden n se eliminan todas lascifras a partir de ese orden. Cuando el redondeo es la aproximación pordefecto del número, coincide con el truncamiento en forma decimal.

6.2. TruncamientosLas aproximaciones decimales por defecto del número π:

3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; ...

son truncamientos del número π.

3,14Redondeo = Trucamiento

( )3,15

π

3,1415Truncamiento

( )3,1416

Redondeo

π

Redondeos y calculadoraLas calculadoras redondean los resul-tados presentados en la pantalla a laúltima cifra.

Ejemplo: π = 3,141592653589...

Si pedimos este resultado a la calcu-ladora nos da 3,141592654, que esel redondeo a milmillonésimas.

Muchas calculadoras tienen la op-

ción que nos permite

hacer redondeos con el orden de-seado.

Así, con el número π en pantalla, te-cleamos:

• y aparece en

pantalla 3,1 que es el redondeo adécimas.

• y aparece en

pantalla 3,142 que es el redon-deo a milésimas.

Para volver la calculadora al modonormal, se pulsa:

9MODE

37MODE

17MODE

7MODE

�

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18 Unidad 1 Y

7. Errores• Cuando tomamos 3,14 como aproximación decimal por defecto de

π = 3,141592… estamos cometiendo un error.

|3,141592… – 3,14| = 0,001592… < 0,01

Dicho error es 0,001592…, y la cota de error es 1 centésima.

• A la vista del dibujo anterior podemos observar que, si tomamos 3,15 comoaproximación decimal por exceso de π, estamos cometiendo un error.

|3,141592… – 3,15| = 0,008407… < 0,01

Este error es 0,008407… y la cota de error es también de 1 centésima.

3,14( )

3,15

π

Error

Cota de error

• El error absoluto de una aproximación es la diferencia, en valor absolu-to, entre el valor real y el aproximado.

|valor real – valor aproximado| = error absoluto

• La cota del error absoluto es un número que verifica:|valor real – valor aproximado| < cota de error

• La cota de error de una aproximación decimal de orden n, por defecto o porexceso, es una unidad de ese orden. Cuando la aproximación decimal seaun redondeo de orden n, la cota de error es media unidad de ese orden.

Tanto por ciento o porcentajede error

• El error relativo, o error por cadaunidad, es un tanto por uno. Aveces este error relativo se expresaen tantos por ciento.

• Por lo anterior, el tanto por cien-to o porcentaje de error se obtie-ne multiplicando el error relativopor 100.

�

El error cometido por cada unidad se llama error relativo, y viene dado por:

error relativo = error absoluto��

valor real

5. Completa la siguiente tabla:


Valor exacto

Aproximación decimal a décimaspor exceso y cota

de error

Aproximación decimal a centésimas

por defecto y cota de error

Redondeo a milésimas y cota

de error

Truncamiento a milésimas y cota

de error

F = 1,61803…aproximación: 1,7 cota de error: 0,1

aproximación: 1,61 cota de error: 0,01

redondeo: 1,618 cota de error: 0,0005

truncamiento: 1,618 cota de error: 0,001

p = 3,14159…aproximación: 3,2 cota de error: 0,1




´ = 2,71828…

�2� = 1,41421…









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Números reales 19

Y

8. Notación científica y orden de magnitud

8.1. Notación científicaEn la práctica es muy útil escribir los números muy grandes o muy pequeñosen notación científica. Así:

Expresión decimal Notación científica

523 000 000 000 5,23 · 1011

–134 500 000 000 000 –1,345 · 1014

0,00 000 000 009 235 9,235 · 10–11

–0,000 000 791 –7,91 · 10–7

• Expresar un número en notación científica es ponerlo como un produc-to cuya cifra de unidades es un dígito del 1 al 9 seguido de una partedecimal, por una potencia de base 10 y exponente entero. Simbólica-mente:

a,bcd … · 10n

• El orden de magnitud de un número es la potencia de 10 más cercana adicho número.

Cuando la calculadora ha de presentar en la pantalla un número muy grandeo muy pequeño, con más cifras de las que puede mostrar en su visor lo presen-ta automáticamente en notación científica. La calculadora presentará los nú-meros que aparecen en el ejemplo anterior en notación científica de la si-guiente forma:

8.2. Orden de magnitud

Para calcular el orden de magnitud de un número se pueden utilizar los si-guientes procedimientos:

• La definición, como podemos ver en el margen.

• La notación científica. El orden de magnitud de un número, escrito en no-tación científica, es el producto del orden de magnitud de la parte enterapor la potencia de 10 correspondiente. Así por ejemplo:

– El orden de magnitud de 6 572 = 6,572 · 103 es: 10 · 103 = 104

– El orden de magnitud de 0,000042 = 4,2 · 10–5 es: 1 · 10–5 = 10–5

– El orden de magnitud de –364 = –3,64 · 102 es: 1 · 102 = 102

– El orden de magnitud de 62 milésimas es: 10 · 10–2 = 10–1

Calculadora y notacióncientífica

�

Para introducir en la calculadora nú-meros en notación científica se utili-za la tecla .

Así el número –9,423 · 10–20 se in-troduce en la calculadora de la si-guiente forma:

y aparecerá en pantalla:

+/–02EXP

+/–324.9

EXP

Cálculo del orden de magnitud

Para hallar el orden de magnitud deun número hay que situarlo entredos potencias consecutivas de 10 y,después, observar a cuál de ellas seaproxima más.

Observa los ejemplos:

• Orden de magnitud de 6 572:

1 000 < 6 572 < 10 000

Como está más próximo a 10 000(104) que a 1 000 (103), el ordende magnitud es 104.

• Orden de magnitud de 0,000042:

0,00001 < 0,000042 < 0,0001

Como está más próximo a0,00001 (10–5) que a 0,0001(10–4), el orden de magnitud es10–5.

�

1 000 5 000 10 000

↑6 572

0,00001 0,00005 0,0001

↑0,000042

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20 Unidad 1 Y

9. RadicalesComo recordarás del curso pasado, decimos que �9� = 3 y �3 125� = 5 porque:

�9� = 3 ⇔ 9 = 32

�3 125� = 5 ⇔ 125 = 53

• Raíz enésima de un número a, se escribe �n

a�, es otro número b que cum-ple a = bn.

�n

a� = b ⇔ a = bn

• Radicales equivalentes son los que tienen las mismas raíces. Para obte-ner un radical equivalente a otro se multiplican, o se dividen, el índice yel exponente por el mismo número.

�n

am� = �pn

apm�

El símbolo �n

a� se llama radical:

• a es el radicando.• n es el índice.

a =n b raíz

enésima

radicandoradicalíndice �

Observa que un mismo radical puede ser escrito de diferentes formas:

2 = �4� = �3

8� = �4

16� = �5

32�

A todos estos radicales que dan lugar a la misma raíz se les llama radicalesequivalentes.

El concepto de radicales equivalentes es muy útil en la simplificación deradicales.

Como ejemplo, vamos a simplificar los radicales siguientes:

• �3

4 096� = �3

212� = �3

24 · 3� = 24

• �8

x6� = 2 · 4�x2 · 3� = �

4x3�

• �5

–243� = �5

(–3)5� = –3

• a3 b6 = �3·3

a3 b2 · 3� = �3ab2�

• �3n26n x3� = �n

22n x� = 22 �nx�

Raíces cuadrada y cúbicaen la calculadora

�

Las calculadoras nos ofrecen lassiguientes funciones para el cálculode raíces cuadradas y cúbicas:

• Permite calcular las raíces cua-dradas de radicando positivo.��

Así, para calcular �576� debes eje-cutar:

y obtienes:675

• Permite calcular las raíces cú-bicas de cualquier radicando.

��

Para calcular �3

60� debes ejecutar:

y obtienes:06 �3

�

�3

�

También puedes calcular �3

–60� eje-cutando:

y obtienes:06 +/– �3

�

UNIDAD 01 26/2/08 14:13 Página 20

Números reales 21

Y

Los radicales como potencias de exponente fraccionarioPara trabajar con radicales, en ocasiones resulta muy útil escribir estos comopotencias de exponente fraccionario.

x1/y

Para calcular �5

12� debes efectuar:

y obtienes521

Otras raíces de la calculadora

Con tu calculadora científica puedesencontrar el valor de la raíz de cual-quier índice de un número dado.

Para calcular raíces de cualquier índi-ce, y, utilizamos

la tecla puesto que:

x = �y

x�1y

�

x1/y

• Todo radical se puede escribir como una potencia de exponente fraccio-nario de la siguiente forma:

�n

am� = am––n

1. a · a = a 4. �a � = a

2. a : a = a 5. (a · b) = a · b

3. a = 6. (a : b) = a : bm––n

m––nm––n1

��a

m––n–

m––nm––n

m––np––q–m––n

p––qm––n

p––q·m––np––q

m––np––q+

m––np––q

m––n

Escribimos los radicales en forma de potencia cuando queremos simplificar ra-dicales y cuando operamos con ellos:

Ejemplos:

• �3

2 187� = �3

37� = 3 = 3 = 32 · 3 = 9 �3

3�

• �4

4 · a2� = (22 · a2) = (2a) = (2a) = �2a�

• �3

52� : �5� = 5 : 5 = 5 = 5 = �6

5�

Las propiedades de las potencias con exponente entero son también válidascon exponente fraccionario.

1––6

1––2

–2––3

1––2

2––3

1––2

2––4

1––4

1––3

1––3

2+7––3

m––n

6. Expresa en forma de potencia:

a) �4

x� = x b) (�x3�)5

= x c) ��3

x�� = x d) �n

�m

xk�� = x

7. Expresa de forma radical:

a) x = �11x5� b) (x3 · y3) = �5 x3 · y3� c) x · y = �x��3

y� d) (x3) = �10

x3�

8. Halla radicales equivalentes con índice común para los radicales �5�, �4

73� y �6

35�.

Consideramos el menor índice común, es decir, el mínimo común múltiplo de los índices que, en este caso, es el mcm (2, 4, 6) = 12.Los radicales buscados son:

�5� = 5 = 5 = �12

56� �4

73� = 7 = 7 = �12

79� �6

35� = 3 = 3 = �12

310�

Es decir, �12

56�, �12

79� y �12

310� son radicales con igual índice, y respectivamente equivalentes a los dados.

10––12

5––6

9––12

3––4

6––12

1––2

1––5

1––2

1––3

1––2

1––5

5––11

k–––mn

1––6

15––2

1––4


UNIDAD 01 26/2/08 14:13 Página 21

22 Unidad 1 Y

10. Operaciones con radicalesRecuerda que, para operar con radicales, podemos poner estos en forma de po-tencia y utilizar las propiedades de las potencias, o bien mantener los radica-les y utilizar las siguientes propiedades.

10.1. Radicales de igual índice• El producto de dos radicales del mismo índice es otro radical que tiene por

índice el índice común y por radicando, el producto de los radicandos.

• El cociente de dos radicales del mismo índice es otro radical que tiene por ín-dice el índice común y por radicando, el cociente de los radicandos.

• La potencia de una raíz es otra raíz que tiene por índice el mismo, y por ra-dicando, la potencia del radicando.

• La raíz de una raíz es otra raíz que tiene por índice el producto de los índi-ces y por radicando, el mismo.

10.2. Radicales de distinto índicePara multiplicar o dividir radicales con distinto índice podemos operar de dosformas:

• Transformando los radicales en potencias de exponente fraccionario.

• Hallando los radicales equivalentes a los dados con igual índice y aplican-do las propiedades anteriores.

�m�n

a�� = �a�

(�n

a�)m

= �n

am�

�n

a� : �nb� = �

na : b�

�n

a� · �nb� = �

na · b�

Niccolò Fontana (hacia 1500-1557)

�

Conocido con el apodo de Tartagliadebido a su tartamudez a conse-cuencia de un golpe en la cabezadurante la infancia. Entre sus muchasaportaciones a las Matemáticas estáel haber resuelto la ecuación cúbica:

x3 + px = q

x = �3 ��p

3��

3�+ ��q

2��2� +��

q

2�� –

– �3 ��p

3��

3�+ ��q

2��2� –��

q

2��

Así, por ejemplo, la ecuación:

x3 + 6x = 2

tiene como solución:

x = �3

4� – �3

2�

9. Efectúa y da el resultado en forma de radical:

a) �3

5� · �3

25� = �3 5 · 25� = �3 5 · 52� = �3 53� = 5

b) �2� · �4

8� = �4

22� · �4

8� = �4

22 · 8� = �4

22 · 23� = �4

25� = 2�4

2�

�2� · �4

8� = 2 · 8 = 2 · 2 = 2 = 2 = 2 = 2�4

2�

c) �3

81� : �3

3� = �3

81: 3� = �3

27� = �3

33� = 3

d) �3

27� : �3

9� = �12

273� : �12

94� = �12

39 : 38� = �12

3�reducimos a

índice común

1––4

+15––4

3––4

+1––2

3––4

1––2

1––4

1––2

utilizamos potenciasde exponente fraccionario

reducimos aíndice común


m · n

UNIDAD 01 26/2/08 14:13 Página 22

Números reales 23

Y

11. Racionalización de denominadoresSe llama racionalización de denominadores al procedimiento por el cual ha-cemos desaparecer los radicales del denominador de una fracción

En la siguiente tabla mostramos los casos más usuales de racionalización consus respectivos procedimientos.

10. Racionaliza:

a) = · =

b) = · = = 3(�6� – �2�)

c) = = =

d) = =

11. Opera y simplifica las expresiones siguientes:

a) 3�3

16� – �3

250� + 2�3 �584�� = 3�

324� – �

32 · 53� + 2�3 � = 6�

32� – 5�

32� + �

32� = 4�

32�

b) = = �12 � = �12 � = �12

35�

c) �3

5�45�5�52�� = �

35� · �

125� · �

6052� = 5 · 5 · 5 = 5 = 5 = 5 = �

2059�

9––20

27––60

2––60

+1––12

+1––3

2––60

1––12

1––3transformamos en potencias

de exponente fraccionario

314

�39

36 · 38

�39

�12

36� · �12

38��

�12

39�

reducimos aíndice común

�3� · �3

32��

�4

33�

6�2

33 · 2�

23

2 � x – 2��

x – 22 �x – 2�

��x – 2� · �x – 2�

2��x – 2�

10 + 3�5��

11

10 + 3�5��

20 – 9

�5�(2�5� + 3)��(2�5� – 3)(2�5� + 3)

�5��2�5� – 3

12(�6� – �2�)��

6 – 2�6� – �2��6� – �2�

12��6� + �2�

12��6� + �2�

3�5

72��

7�5

72��5

72�3

��5

73�3

��5

73�


Expresiones conjugadasLas expresiones del tipo:

a + �b� y a – �b�así como las del tipo:

�a� + �b� y �a� – �b�se llaman conjugadas.

Las segundas son conjugadas de lasprimeras, y estas son conjugadas deaquellas.

�

con m < n

a��b� ± �c�

a�b ± �c�

a��b�

Multiplicamos numerador y denominador por �b�.

Multiplicamos numerador y denominador por �n

bn – m�.

Multiplicamos numerador y denominador por la expresiónconjugada del denominador.

Multiplicamos numerador y denominador por la expresiónconjugada del denominador.

EXPRESIONES MÁS PROCEDIMIENTOSFRECUENTES

a��n

bm�

UNIDAD 01 26/2/08 14:13 Página 23

24 Unidad 1 Y

Un triángulo en un cuadradoEn el cuadrado ABCD dibujamos un punto P como indica la figura.¿Cómo te parece que es el triángulo APD?

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

FAMILIARIZACIÓN CON EL PROBLEMA

Se trata de conseguir tener una idea clara sobre el problema en cuanto adatos, incógnitas, relaciones, etc. La idea clave de esta fase es: antes de ha-cer, tratar de entender. Esta fase es clara en el problema que nos ocupa yse percibe sin dificultad lo que el problema enuncia y pide.

BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS

Una vez que nos hemos familiarizado con el problema, buscamos las es-trategias que nos permiten resolverlo. En nuestro problema las estrategiasque se nos ocurren son: resolución por trigonometría, resolución por mé-todos analíticos y resolución por medio de simetrías del cuadrado y de lafigura propuesta.

LLEVAR ADELANTE LA ESTRATEGIA

A la vista de las estrategias que hemos encontrado, llevamos adelante laque nos parece más oportuna y directa, sin descartar las otras, pues ellaspueden resultar útiles en caso de fallar la elegida.En nuestro problema vamos a seguir la tercera estrategia puesto que, porla experiencia acumulada sabemos que los procedimientos geométricossuelen ser más sencillos y más elegantes que los analíticos.

Comenzamos por dibujar en cada lado del cuadrado un triángulo isósceles,como el que figura verde en el dibujo adjunto. De forma sencilla, obtene-mos los valores de los ángulos que se señalan en el dibujo y que corres-ponden a los ángulos de los 4 triángulos isósceles, de los 4 triángulos equi-láteros y del cuadrado figuras estas que componen el cuadrado inicial dado.

A partir de este dibujo, podemos razonar como sigue: el triángulo ATP esigual que el triángulo BPC, ya que tienen dos lados iguales (AT = BP yTP = PC) e igual el ángulo comprendido, cuyo valor común es de 150°; dela igualdad de estos dos triángulos obtenemos que AP = BC. Por la sime-tría de la figura podemos establecer que: AP = PD = AD, de lo que se si-gue que el triángulo APD es equilátero.

REVISAR EL PROCESO Y SACAR CONSECUENCIAS DE ÉL

Tanto si hemos resuelto el problema como si no, debemos reflexionar sobre todos los in-cidentes que nos han surgido en el camino seguido. Si nos es posible, resulta convenien-te trasladar las ideas que hemos tenido a otras situaciones, modificar el problema, gene-ralizarlo, etc.

Ante el problema que hemos resuelto, se nos ocurren las ideas siguientes: ¿qué sucede sitrazamos triángulos con ángulos mayores o menores de 15°?, ¿y qué pasa si dividimos otropolígono regular en vez de un cuadrado?

A

B

D

C

P

15° 15°

A

B

D

C15°

60°

90°

150°

P

T

UNIDAD 01 26/2/08 14:13 Página 24

Números reales 25

A C T I V I D A D E S

� Clasifica las siguientes tareas en problemas o ejercicios e intenta resolverlas:

1. Sumas. Considera la serie de números pares 2, 4, 6, 8, etc. ¿Cuánto vale la suma de los m primeros?

2. El camello sediento. El beduino Ali-kan desea transportar 100 bidones llenos de agua desde Kamal hasta Wadi, pue-blos separados por 100 km de desierto. Para ello, dispone de un camello capaz de andar descargado indefinidamente,o, de cargar con un solo bidón, siempre y cuando beba una cantidad de agua igual a la que contiene el bidón cada vezque completa 100 km cargado.

El beduino no dispone de más agua para el camello que la contenida en los bidones. ¿Cuántos de estos 100 bidones po-drán llegar a Wadi?

¿Qué es un problema?

Un problema matemático es una situación que plantea unameta a conseguir. Para llegar a esta hay que superar numerososobstáculos. El resolver un problema, o intentarlo, requiere unatoma de decisiones por parte de quien lo afronta, ya que no co-noce ninguna receta o procedimiento para resolverlo.

Las principales características que debe reunir un problema son:

• Suponer un reto adecuado a las capacidades de quien in-tenta resolverlo.

• Atraer por sí mismo, aunque no tenga utilidad.

• No ha de plantear un bloqueo inicial a la persona que lointente resolver.

• Proporcionar satisfacción al intentar resolverlo.

• Hacer nacer el deseo, en quien intenta resolverlo, de pro-ponerlo a los demás.

Puedes observar que la tarea planteada en la página anterior esrealmente un problema, pues cumple con las características quelos definen. Esta misma tarea, que en estos momentos es parati un problema, se convertirá en ejercicio en cuanto amplíes tusconocimientos sobre Trigonometría. En ese estadio poseerás

recetas que te facilitarán su resolución en poco tiempo. Estas re-cetas son las que diferencian un problema de un ejercicio. Po-demos, pues, concluir que un ejercicio es una tarea en la que deantemano se percibe en qué consiste y cuál es el medio para re-solverla.

BIBLIOGRAFÍALas ideas, textos y enunciados de los problemas que aparecen en los apartados que llevan por título Resolución de Problemas,están tomados de los siguientes libros o revistas:

– CALLEJO, M. L. (1994). Un club matemático para la diversidad. Narcea. Madrid.

– CERO, Grupo (1984). De 12 a 16. Un proyecto de currículum de Matemáticas. Edición propia. Valencia.

– FERNÁNDEZ, S.; ALAYO, F.; BASARRATE, A.; FOUZ, F. (1991). Revista Sigma nº 10. Servicio Central de Publicaciones del Gobierno Vas-co. Bilbao.

– GARDNER, M. Varios títulos. Labor y Alianza.

– GUZMÁN, M. de (1991). Para pensar mejor. Labor. Barcelona.

– MASON, J.; BURTON, L. STACEY, K. (1988). Pensar matemáticamente. Labor-MEC. Barcelona.

– WOOD, L. E. (1987). Estrategias de pensamiento. Labor. Barcelona.

Y

UNIDAD 01 26/2/08 14:13 Página 25

26 Unidad 1 Y

Derive es un programa fácil de utilizar;como todo programa que funciona bajoel entorno Windows, utiliza ventanascon barras de título, barra de menús, ba-rras de herramientas y área de trabajo.En la parte inferior del área de trabajoaparecen una barra con el editor de ex-presiones y una serie de herramientaspara utilizar con él.

NUEVAS TECNOLOGÍAS

Aritmética con DeriveDerive es un programa informático que permite realizar todo tipo de cálculoscon números y con expresiones algebraicas, por lo que es una potente herra-mienta para trabajar en Aritmética y Álgebra.

A continuación, vamos a ver cómo efectuar operaciones con radicales utilizando Derive.Antes de comenzar la sesión de trabajo conviene restablecer sus opciones iniciales,puesto que a veces cambian, y para ello se selecciona lo siguiente en el menú:

OPERACIONES CON RADICALES

Para racionalizar la expresión hemos de seguir los siguientes pasos:

1. En el Editor de expresiones introducimos la expresión y, pulsando la tecla

aparece la expresión en el área de trabajo.

2. Si la expresión no es la correcta la corregimos en el Editor de expresiones, y si es co-rrecta, tenemos dos opciones:

a) Pulsar la tecla con lo que se muestra el resultado en forma decimal.

b) Pulsar la tecla con lo que se muestra el resultado en forma de raíz.

Estas teclas están situadas a la izquierda del Editor de expresiones, como puedescomprobar en la imagen.

Del mismo modo podemos calcular el valor de la potencia �2�3� – �3

sin más que

introducir en el Editor de expresiones, (2�3� – 1/3)^3 como vemos en la parte inferiorde la figura.

1�3

INTRO

3�2��2�3� – 3

3�2��2�3� – 3

Definir + Restablecer todas las preferencias

PRACTICA con Derive la resoluciónde las actividades número 15, 23 y28.

UNIDAD 01 26/2/08 14:13 Página 26

Números reales 27

AMPLÍA CON…

EN RESUMEN

Hans Magnus Enzensberger nos muestra en El diablo de los números (Edicio-

nes Siruela) el mundo mágico que rodea a los números.

Los personajes son un niño, Robert, al que no le gustan las matemáticas porque

no las acaba de entender, y un diablillo que se le aparece en sueños y le conduce

por el mágico mundo de los números.

Las enseñanzas del diablillo a Robert duran doce sueños, y en ellas se van con-

tando anécdotas, conceptos, juegos e historias que muestran cómo todo encaja

en el mundo de las Matemáticas.

Además, el diablillo le muestra situaciones misteriosas que aún están por resolver.

Y

Rectareal

Números

Cantidades

Errores

Intervalos Entornos Conjuntosacotados

Medirmagnitudes

Operacioneselementales Radicación

Racionalización de los

denominadoresOperaciones

Radicalesequivalentes

Aproximacionesdecimales Redondeos Truncamientos

NÚMEROS REALES

todos son se hacen

clases

operaciones

se representan en

subconjuntos importantes

vienenafectadas de

se utilizan

parase obtienen

Aproximaciones

UNIDAD 01 26/2/08 14:14 Página 27

28 Unidad 1 Y

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1. Halla el menor conjunto numérico al que pertenecen los siguientes números:

2. Razona la verdad o la falsedad de las siguientes afirmaciones:

a) Algún número decimal es racional

b) Todo número entero es natural

c) Ningún número racional es entero

d) Algún número real es irracional

3. Representa en la recta real los siguientes números:

4. Dibuja sobre la recta real los siguientes conjuntos:

a) Los números reales mayores o iguales que 3 d) D = {d ∈ � | d > 1 ó d > –5}

b) B = {b ∈ � | b < 0 y b > –7} e) E (5, 2)

c) (–∞, –5] f) Los números enteros menores que –2

5. Expresa de forma simbólica los siguientes conjuntos; estudia su acotación y la existencia de supremo, ínfimo, máximo ymínimo:

a) d)

b) e)

c) f)

6. Estudia la acotación de los siguientes conjuntos; determina si existen supremo, ínfimo, máximo y mínimo:

a) E (5, 6) e) E+ (–5, 1) ∪ E– (–5, 1) ∪ {–5}

b) (–3, 1) ∩ [0, 3] f) F = {f ∈ � | f < 0 ó f < 5}

c) [–3, 0) ∪ (–1, 3] g) E*(2, 5) ∩ E (5, 4)

d) D = {n ∈ � | n > 3 y n < 9} h) I = � n ∈ � y n ≠ 0�7. Expresa en forma de intervalo los siguientes conjuntos; estudia su acotación y la existencia de máximo y mínimo:

a) E (–2, 4) ∩ E(2, 2)

b) {x ∈ � | x ≤ 2 y x ≥ –2} ∪ {x ∈ � | x > 0}

1�n

5– 5 71 4– 1– 4

5– 3 32– 2

– 1 0 1 2 31

ACTIVIDADES FINALES

3 4,23 �13� 0 – – �64� 1,03 – �3

– 8� – 1,3�0,5

1�π

12�3

3�7

)

– 32 2�3� – �8� – 1,6 0,7 �3

125� – 41––218

��9�

4�3

8�5

)

UNIDAD 01 26/2/08 14:14 Página 28

Números reales 29

9. Dado el número 1 724,157203...

Indica cuáles de las siguientes aproximaciones decimales del número anterior son redondeos. En los casos en que lo sean,anota la cota de error.

10. Calcula, aproximadamente, el error absoluto y relativo que se comete al tomar �2

7

2

1

1� como valor aproximado de π.

11. Calcula, aproximadamente, el error absoluto y relativo que se comete al redondear el número de oro Φ a centésimas.

12. Expresa en notación científica las siguientes cantidades, y determina el orden de magnitud:

a) Distancia Tierra-Luna: 384 000 km e) 57 billones

b) Distancia Tierra-Sol: 150 000 000 km f) 623 cienmilésimas

c) Virus de la gripe: 0,000 000 002 2 m g) 0,035 millones

d) Radio del protón: 0,000 000 000 05 m h) 12 centésimas

13. Un año-luz es la distancia recorrida por la luz en un año:

1 año-luz = 9,4605 · 1012 km

Sabiendo que:

distanciaTierra-Luna = 384 403 km y

distanciaTierra-Sol = 1,5 · 108 km

Calcula con redondeo a centésimas la distancia de la Tie-rra a la Luna en segundos-luz, y la distancia Tierra-Sol enminutos-luz.

14. En un supermercado nos presentan la cuenta a cobrar eneuros. Los productos que hemos comprado tienen los si-guientes precios:

a) 1,325 euros d) 122,553 euros

b) 0,477 euros e) 82,572 euros

c) 25,008 euros f) 7,634 euros

El supermercado redondea a centésimas de euro. ¿Cuán-tos euros pagaremos si el supermercado primero redon-dea y luego suma? ¿y si primero suma y luego redondea?

Valor exacto

Aproximación decimal a centési-mas por exceso y

cota de error

Aproximación decimal a milésimaspor defecto y cota

de error

Redondeo a décimas y cota

de error

Truncamiento a centésimas y cota

de error

2,236067...

3,4210,001

0,800,05

32,420,01

8. Rellena la tabla siguiente en tu cuaderno:

Y

1 725 1 724,16 1 724,2 1 724,1 1 720 1 724,158 1 724,1572

UNIDAD 01 26/2/08 14:14 Página 29

1 30 Unidad 1 Y

ACTIVIDADES FINALES

15. Efectúa las siguientes operaciones haciendo uso de la calculadora:

a) 1,57 · 10–5 + 4,325 · 10–2 d) 2,32 · 106 · 7,2 · 10–2

b) 6,215 · 105 : 3,25 · 10–1 e) 9,7 · 107 · (8,3 · 10–4 – 5,2 · 10–5)

c) 2,9 · 104 + 3,25 · 10–2 – 7,2 · 103 f) 5 · 107 · 4,5 · 10–3 : 1,5 · 102

16. Calcula las siguientes raíces:

a) �25a2b�4� c) �3

64a6b�3� e) �4

81a8�

b) �5

32x15� d) �4

625z8� f) �3

8x3y6�

17. Expresa en forma de potencia las raíces, o en forma de raíz las potencias siguientes:

a) �3

a� c) �4

a5� e) g)

b) 2 d) 5 f) 5 h) a

18. Pon las siguientes expresiones bajo un único radical:

a) ��3

8�� c) �3�3��3�� e) ��3

�a��b) ��

3a2b��5

d) ��a3�b��4f) �4

a�3

a8��

19. Extrae todos los factores posibles de los radicales siguientes:

a) �1 000� c) �3

8a5� e) �16a5b�7� g) �4a2 +�4�

b) �3

a4b3� d) �4

x8y5� f) �5

xy5z7� h) �a2 – a2�b�

20. Introduce los factores en el radical:

a) 4�2� c) 3�4

32� e) 3�3

a�

b) 2ab�3

a2� d) a2b4�2ab3� f) 4a�3

a2b�

21. Calcula, presentando el resultado en forma de raíz y en forma de potencia:

a) �3

2� · �3

22� c) �5

2a4� : �5

2a3� e) �6

35� : �6

33�

b) �a� · a2 d) a–1 · �3

a� f) a : �a�

22. Efectúa las siguientes operaciones:

a) 3�2� – �2� + 5�2� – �2�

b) �4

3� + �4

3� – �4

3�

c) �8� – �50� + �18� – �98�

d) 2�3

16� – 5�3

54� + �3

250�

e) 5�4x� – 3�36x� + �25x� – 6�x�

f) 6�3

x7� + x2�3

x� – 3x2 �3

27x�

1�5

3�4

7�2

4�5

3�2

1�4

1�3

4�5

2�3

–2––3

–3––2

1––2

2––3

1��3 a2�

1��a3�

UNIDAD 01 26/2/08 14:14 Página 30

Números reales 31

Y

23. Realiza las siguientes operaciones simplificando lo más posible los resultados:

a) �2 – �2

g) 2�12� · �15� · �20�

b) (2�7� + 3)2– 4�7� (�7� + 3) h) �3�(2�3� – �5�) – �5�(2�5� –�3�)

c) (2 + �2�) (2 – �2�) – (2 + �2�)2i) (3�2� + �3�)2

– 3(�2� – �3�)2

d) (4�18� – 2�12� + �32� ) · 2�2� j) (�75� – �27� + 2�12�) : 3�3�

e) (�3� + 2�2�) (�2� – �3�) �3� k) (4�63� – 5�28�) : (�343� – �175� )

f) (�72� – �20� – �2�) (�2� + 2�8� + 2�5�) l) ��2

3� �45� – �

3

2� �20�� · �

2

3� �125�

24. Reduce a índice común y ordena de menor a mayor las raíces de cada apartado:

a) �2�, �5

5� d) �3

10�, �5

100�

b) �4

4�, �6

6� e) �4

2�, �2�, �3

2�

c) �3

2�, �9

3�, �5� f) �3–1�, �4

5–3�

25. Opera:

a) �3

5� · �2� · �4

6� e) �3� · �4

27� · �8

243�

b) �6

a5� · �5

a3� : �10

a� f ) �8

ab3� · �6

2a2 b2�

c) �2ab� : �4

8a3b� g) �3 �3

32��

d) h)

26. Racionaliza las siguientes fracciones:

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)

27. Realiza las operaciones racionalizando previamente:

a) �96� – �189� c) �� – ��b) – d) – 2

�1 – �3�

2�1 + �3�

1��2�

3 + 2�2��3 – 2�2�

3�5

5�3

3��7�

5��2�

�7� + 1��2�7� + 5

11��3�5� – 2�7�

�5� – 2��5� + 2

�3��3 – 2�3�

3�2 + �2�

7��7� · �

33�

�5

2��5

3�1

�2�5�

2��2�

�3

4� · �4

8� · �6

2��

�2��4

4��12

64�

�2��

2

UNIDAD 01 26/2/08 14:14 Página 31

1 32 Unidad 1 Y

28. Calcula, simplificando al máximo el valor de:

a) – 5�4

1875� + c) 2�3

81� · � + �b) �2�45� + 5�80� – �125�� d) � �

5256� – � :

29. Racionaliza, efectúa y simplifica la expresión:

a) – (�6� – 2)2c) +

5�2�5�

�5��2�5� – 4

3�2��4�3� – 3�2�

�5

8��

22

��5

972�2

�3

4��5�

3�5

5��3

9�2�

364�

��3

3�2

��4

32�4�

4243�

��4

16�

ACTIVIDADES FINALES

b) – d) – ��30. Efectúa y simplifica:

a) �4�9��3 72�9�� c) �5�5��5��55�� e) (�3

250� – �3

16�) · �3

4�

b) �14 + ��7 – �4 8��1�� d) �7 – 2 ��6�� · �7 + 2��6�� f) ��31. Elevando al cuadrado ambos miembros, comprueba que �4 + 2��3�� – �4 – 2 ��3�� = 2.

32. Demuestra la identidad:

=

33. Racionaliza las siguientes fracciones:

a) b)

34. Efectúa la siguiente operación:

1 – � �2

35. Halla dos números racionales positivos x e y tales que:

�11 + ��112�� = �x� + �y�

36. Calcula el valor de la siguiente expresión:

� �2

– � �21 – �6�

�1 + �6�

1 + �6��1 – �6�

�5� + 2��5� – 2

�5� – �3� – 2��5� + �3� – 2

2��

�2 + ��3��

�2� + �6��

4�2 + ��3��

2

�3� – 1��3� + 1

4�7

�7��7� + 2

2�3� + 3��2�3� – 3

2�3� – 3��2�3� + 3

UNIDAD 01 26/2/08 14:14 Página 32

Números reales 33

Z

AUTOEVALUACIÓN

1. El redondeo a diezmilésimas del número e = 2,71828182... es:

a) 2,7182 b) 2,7183 c) 2,718 d) 2,71828

2. El valor de la expresión 3�27� – (2�3� –4)2 + �12� es:

a) 28 – 27�3� b) –28 + 27�3� c) 4 + 11�3� d) 28 + 27�3�

3. La representación gráfica corresponde a:

a) [–5, 4) ∩ (–7, 2] b) E(1, 6) c) (–5, 4) ∪ [2, 6) d) (–5, 4) ∩ (–7, 2]

4. La distancia al universo observable es 2,5 · 1010 años-luz. Si sabemos que 1 año-luz son 9,4 · 1012 km, la distancia dadaen kilómetros es:

a) 2,35 · 1022 b) 2,35 · 1023 c) 2,35 · 1024 d) 23,5 · 1023

5. El resultado de racionalizar es:

a) 17 + 12�2� b) 17 + 24�2� c) 29 d) 34 + 12�2�

6. La operación (3�4

32� + 2�4

162� ) : (2�4

2�) vale:

a) 10�4

2� b) 6�4

2� c) d) 6

7. Al calcular 4�4 –�� – obtenemos:

a) 0 b) 7 – 3�7� c) �7� d) –�7�

8. El producto �412 – 3��7�� · �4

12 + 3��7�� es igual a:

a) �12 – 3��7�� b) �4

123� c) 3 d) �207�

9. El valor de �49�3

�1

9�� es:

a) �4

3� b) 1 c) �3

3� d) 3

10. La expresión �3

�3�� : �4

33� · �3

32� equivale a:

a) �12

3� b) 3 c) �4

27� d) 3–5––4

21��7�

1�16

6��4

2�

3�2� + 4��3�2� – 4

UNIDAD 01 26/2/08 14:14 Página 33

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