Circuitos Eléctricos II

Análisis de estado senoidal permanente Objetivos: Al terminar podrá:

1. Describir las propiedades fundamentales de las funciones senoidales

2. Graficar funciones senoidales en Matlab.

3. Describir el concepto de atraso y adelanto de fase

4. Manejar la respuesta forzada a señales senoidales en circuitos eléctricos

5. Resolver usando Matlab problemas de la respuesta forzada a señales senoidales

2

Función de tensión senoidal

v(t) = Vm sen ωt

Vm – amplitud de la onda

ωt – argumento

La función se repite cada 2π radianes y por lo tanto el

periodo (T) de la senoidal es de 2π radianes.

La frecuencia es f = 1/T, así que

ωT = 2π

ω = 2πf

Grafica de la función seno

Función senoidal en función de ωt.

Función senoidal en función de t.

Grafica de la función seno en matlab

Código en Matlab

>> fplot('sin',[-pi/2 2*pi+0.1 -1.5 1.5])

Retraso y adelantoForma general de la senoide v(t) = Vm sen (ωt + θ)

θ – ángulo de fase.

Se dice que v(t) = Vm sen (ωt + θ) adelanta a v(t) = Vm sen (ωt) en θ

radianes. Las señales se encuentran fuera de fase.

Retraso y adelanto

En la Ingeniería, se acostumbra indicar el ángulo de fase en grados, en

vez de hacerlo en radianes; para evitar confusiones debemos

asegurarnos de usar siempre el símbolo de grados. Por lo tanto, en

lugar de escribir:

Podemos emplear:

Al evaluar esta expresión en algun instánte de tiempo, por ejemplo en

t=10−4s, 2π1000t se convierte en 0.2 π radianes, lo cual debe

expresarse como 36 ° antes de que se le resten 30°.

Dos ondas senoidales cuyas fases se van a comparar deben:

1. Escribirse como ondas senoidales o como cosenoidales.

2. Expresearse como amplitudes positivas.

3. Tener cada una la misma frecuencia.

v(t) = 100 sen (2π1000t − )6

π

v(t) = 100 sen (2π1000t − 30°)

Conversión de senos a cosenos

Se cumple que

Vm sen ωt = Vm cos(ωt – 90°)

En general

– sen ωt = sen(ωt ± 180°)

– cos ωt = cos(ωt ± 180°)

sen ωt = cos(ωt ± 90°)

± cos ωt = sen(ωt ± 90°)m

Ejemplo

Determinar el ángulo mediante el cual i1 está retrasada respecto a

v1, si v1 = 120 cos(120πt – 40°) e i1 = 1.4 sen(120πt – 70°)

1.4 sen(120πt – 70°) = 1.4 cos(120πt – 70° – 90°)

= 1.4 cos(120πt – 160°)

la diferencia de fases es

120πt – 40° – 120πt + 160° = 120°

por tanto el retraso es de 120°.

Tarea 4

Determinar el ángulo mediante el cual i1 está retrasada respecto a v1,

si v1 = 120 cos(120πt – 40°) e i1 es igual a:

a) 2.5 cos(120πt + 20°)

b) –0.8 cos(120πt – 110°)

En general

– sen ωt = sen(ωt ± 180°)

– cos ωt = cos(ωt ± 180°)

sen ωt = cos(ωt ± 90°)

± cos ωt = sen(ωt ± 90°)

Respuesta forzada a funciones senoidales

Se utilizan los términos respuesta forzada o respuesta en estado

permanente.

Considere el circuito serie RL con una fuente senoidal v(t) = Vm cos ωt.

Aplicando LVK

VL + VR = v(t)VL

VR

–

–++

Se debe cumplir con la ecuación diferencial

tVRidt

diL m ω=+ cos

La corriente debe ser senoidal, en general puede ser de la forma:

i(t) = I1cos ωt + I2 sen ωt

Donde I1 e I2 dependen de Vm , R, L, y ω y no pueden estar

presentes una función constante o exponencial.

Sustituyendo se obtiene

L(– I1ωsen ωt + I2ωcos ωt) +R(I1cos ωt + I2sen ωt) = Vmcos ωt

Respuesta forzada a funciones senoidales

Respuesta forzada a funciones senoidalesAgrupando términos coseno y seno, se obtiene

(–LI1 ω + RI2)sen ωt + (LI2ω + R I1 –Vm) cos ωt = 0

esto debe cumplirse para todo t, por lo tanto los coeficientes

del seno y del coseno deben ser cero. Es decir:

–LI1 ω + RI2 = 0 y LI2ω + R I1 –Vm = 0

despejando I1 e I2 se obtiene 22222221 ,LR

LVI

LR

RVI mm

ω+

ω=

ω+=

La respuesta forzada se escribe como:

tLR

LVt

LR

RVti mm ω

ω+

ω+ω

ω+= sencos)(

222222

Suponiendo una respuesta de la forma

i(t) = A cos (ωt – θ)

Procedemos a determinar A y θ, expandiendo la función cos (ωt – θ) e

igualando con la solución de la corriente i(t) obtenida anteriormente:

tLR

LVt

LR

RVtAtA mm ω

ω+

ω+ω

ω+=ωθ+ωθ sencossensencoscos

222222

de aquí encontramos que

222222sencos

LR

LVAy

LR

RVA mm

ω+

ω=θ

ω+=θ

dividiendo

R

L

A

A ω=θ=

θ

θtan

cos

sen

Una forma mas sencilla y compacta de la respuesta forzada

yxyxyx sensencoscos)cos( +=−

elevando al cuadrado las anteriores expresiones y sumando

( ) ( ) 222

2

2222

222

2222

2222222 sencos

LR

V

LR

VL

LR

VRAAA mmm

ω+=

ω+

ω+

ω+==θ+θ

En consecuenciaR

Lω=θ

−1tan222

LR

VA m

ω+=

ω−ω

ω+=

−

R

Lt

LR

Vti m 1

222tancos)(

Una forma mas sencilla y compacta de la respuesta forzada

La expresión anterior es la forma alternativa de la respuesta forzada

EjemploEncontrar iL en el siguiente circuito

iL

Si buscamos el equivalente de Thévenin entre a y b.

El voltaje de

circuito abierto

voc es:

( ) V 10cos825100

10010cos10 33

ttvoc =+

=

EjemploPuesto que no hay fuentes dependientes a la vista, calculamos Rth

Entonces el circuito equivalente de Thévenin.

Ω=+

×= 20

10025

10025Rth

−

+=

−

R

Lt

LR

Vti m ω

ωω

1

222tancos)(

( )

Ω−

××+Ω=

−

− 20

radH30tan10cos

H1030rad10)20(

V8)( 13

332tti

( ) mA 3.5610cos222)( 3 o−= tti

Entonces la respuesta forzada es:

respuesta forzada

Solución de la respuesta forzada en Matlab

Ejemplo 1 R = 20 Ω y L = 30mH, v(t) = 8 cos 103t.

R = 20;

L = 30e-3;

omega = 1000;

clf;

hold off;

tiempo = linspace(0,8.1*1e-3,1000);

v = 8*cos(1e3*tiempo);

a = 8/sqrt(R^2+omega^2*L^2);

fase = atan(omega*L/R);

i = a*cos(1e3*tiempo - fase);

plot(tiempo,v,'-b',tiempo,i,':b');

xlabel('tiempo (sec.)');

ylabel('v (volts), i(amps)');

legend('v(t)','i(t)',0);

Tarea 5

−

+=

−

R

Lt

LR

Vti m ω

ωω

1

222tancos)(

Sea vs = 40 cos 8000t V en el circuito de la figura. Recurra al

teorema Thévenin en los casos en que esté sea más adecuado, y

determine el valor en t = 0 para: a) iL, b ) vL ,b) iR , c) i1. Donde

vL es el voltaje en la bobina.

Respuesta: 18.71 mA, 15.97 V, 5.32 mA, 24.0 mA

Tarea 6

Resolver los ejercicios propuestos del libro de Análisis de

Circuitos en Ingeniería del autor W. H. Hayt

1,3,5,7 página 364

11, 12, 13, 14 y 15 página 365 y 366

20, 21, 22, 23, 24, 25 página 367

Guardar en un portafolio de evidencias para entrega al final del

parcial y posteriormente en el examen final.