208001 Unidad 1 Modulo

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 208001 –Sistemas Avanzados De Trasmisión I

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

PROGRAMA INGENIERIA ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES

MODULO DEL CURSO ACADEMICO

208001 – SISTEMAS AVANZADOS DE

TRASMISION I

Ing. CAMILO ACUÑA CARREÑ O

AUTOR / DIRECTOR DE CURSO

Santa Marta, 2.012



INTRODUCCIÓN

Sistemas Avanzados de Transmisión I es un curso de carácter teórico, de tres (3)

créditos académicos, que se oferta de manera optativa a los estudiantes de

pregrado de Electrónica y Telecomunicaciones en la UNAD.

El modulo se desarrolla en tres unidades didácticas así:

Unidad 1: Aspectos Generales Sobre Guías de Onda

Unidad 2: Guías de Onda y Línea de Transmisión

Unidad 3: Circuitos en Sistemas Microondas

En cada unidad se desarrollaran actividades de carácter individual, fomentando el

aprendizaje autónomo, y trabajos en grupos colaborativos, moderados por el tutor

asignado.

Las actividades individuales como: Lecciones Evaluativas y Quices son de

carácter independiente en donde el estudiante realiza de manera autónoma

lecturas, revisión del material de apoyo suministrado en el módulo y el aula virtual.

También en este proceso el estudiante tiene la oportunidad de interactuar, con

medios tecnológicos y simulaciones que le permiten el adecuado desarrollo del

aprendizaje significativo, dado que desde esta práctica, el estudiante es el

constructor de sus nuevos conocimientos por medio de la relación entre sus

presaberes y la nueva información.

A través de los trabajos colaborativos se fomenta la interacción de los grupos. Los

estudiantes socializan con los integrantes de los pequeños grupos colaborativos,

sus conocimientos, nuevos aportes y opiniones sobre temas asignados, ejercicios



y prácticas; que a través de consensos ofrecen como producto final un trabajo

bien estructurado y sustentado por sus integrantes.

Los Elementos del Proceso de Aprendizaje (Grafico No.1) necesarios para

interactuar en el modulo son: Las TIC, Docente – Tutor, Grupos Colaborativos,

Material Escrito y Digital, Conocimientos.



INDICE DE CONTENIDO

UNIDADES CAPITULOS TEMAS

1. ASPECTOS

GENERALES SOBRE

GUÍAS DE ONDA

1. ONDAS GUIADAS

Lección 1. Principio de Operación y Análisis de las Guías de Onda

Lección 2. Modos de Propagación y Ecuaciones Generales de las Ondas

Guiadas

Lección 3. Ondas Electromagnéticas Planas

Lección 4. Clasificación y Características de las soluciones TEM, TE y TM.

Lección 5. Guía Conductora Ideal.

2. GUÍAS DE ONDA

CONDUCTORAS

Lección 6. Guías Conductoras de Sección Rectangular

Lección 7. Potencia Transmitida y Atenuación

Lección 8. Guías Conductoras de Sección Circular

Lección 9. Cavidades resonantes de paredes conductoras

Lección 10. Manejo de la Unidad Decibel (Db).

3. GUÍAS DE ONDA DE

CONDUCTORES REALES

Lección 11. Sistemas de transmisión con condiciones de conductor no

perfecto.

Lección 12. Disipación en los conductores: constante de atenuación

Lección 13. Constante de atenuación para diferentes modos.

Lección 14. Variación de la constante de atenuación con la frecuencia

Lección 15. Modos Degenerados

2. GUÍAS DE ONDA

Y LÍNEAS DE

TRANSMISIÓN

1. GUÍAS DE ONDA

CERRADAS

MULTIDIELECTRICAS Y

DIELECTRICAS

Lección 16. Guía de Ondas Dieléctricas

Lección 17. Fibras Ópticas

Lección 18. Fibra Óptica Multimodo y Monomodo

Lección 19. Pérdida de Potencia Óptica (Atenuación)

Lección 20. Ancho de Banda en Fibras Ópticas

2. LÍNEAS DE

TRANSMISIÓN

Lección 21. Descripción física de la propagación en las Líneas de

Transmisión

Lección 22. Solución de la Ecuación de Onda para la Línea de Transmisión



Lección 23. Definición del Punto Referencia en la Línea de Transmisión

Lección 24. Onda Estacionaria y Relación de Onda Estacionaria ROE/SWR

Lección 25. Fundamentación Teórica sobre Cálculo de Potencia en Líneas

de Transmisión

3. ADAPTACIÓN DE

IMPEDANCIAS

Lección 26: Adaptación de Impedancias

Lección 27: Carta Smith

Lección 28. Transformador Lamda/4

Lección 29. Teoría de Pequeñas Reflexiones

Lección 30. Criterio Bode - Fano

3. CIRCUITOS EN

SISTEMAS DE

MICROONDAS

1. TEORIA DE

CIRCUITOS EN

SISTEMAS DE

MICROONDAS

Lección 31. Circuitos en Sistemas Microondas

Lección 32. Voltaje y Corriente Equivalentes

Lección 33. Matriz de Impedancia y Admitancias

Lección 34. Matriz S (Parámetros S)

Lección 35. Flujo grama de Señales

2. ANÁLISIS DE

CUADRIPOLOS

Lección 36. Características de un Cuadripolo

Lección 37. Relación entre Parámetros de un Cuadripolo

Lección 38. Cuadripolo Recíproco y Simétrico

Lección 39. Conexión de Cuadripolos

Lección 40. Cuadripolos Cargados

3. CIRCUITOS PASIVOS

DE MICROONDAS Y

CIRCUITOS

RESONANTES

Lección 41. Circuitos Pasivos de Microondas

Lección 42. Acopladores Direccionales

Lección 43. Divisor Wilkinson

Lección 44. Circuitos Resonantes

Lección 45. Líneas de Transmisión Resonantes



UNIDADES 1. ASPECTOS GENERALES SOBRE GUIAS DE ONDA.

Introducción. El método matemático que se utiliza para analizar una determinada línea o ducto

de transmisión depende fundamentalmente del tamaño eléctrico del espacio por el

cual se propagan las ondas electromagnéticas. Utilizando las ecuaciones de

James Clark Maxwell, podemos representar, analizar y evaluar las ondas

electromagnéticas.



CAPÍTULO 1- Ondas Guiadas.

Parece evidente que, en cualquier situación realista en la que se quieran estudiar

los campos dependientes del tiempo, deben existir límites o paredes en la región

bajo análisis. En estos casos las soluciones para los campos en el medio no

podrán ser, en general, ondas planas uniformes de extensión infinita, ya que,

además de satisfacer las ecuaciones de Maxwell, deben cumplir las condiciones

de frontera en los límites de la región que se considera. En este capítulo,

avanzando un paso más en el grado de confinamiento de los campos respecto a

las situaciones que se vieron en el capítulo anterior (con la presencia de medios

semiinfinitos), se van a estudiar las guías de onda. Una guía de onda puede ser

definida como una estructura destinada a la propagación dirigida y acotada de

radiación electromagnética. El medio dieléctrico en el que esta propagación se

produce está limitado, ya sea por un material conductor (para microondas y

radiofrecuencia), ya sea por otro dieléctrico (para frecuencias ópticas). Desde el

punto de vista geométrico las formas más comunes, aunque no únicas, de guías

de onda tienen secciones rectangulares o cilíndricas.

Lección 1. Principio de operación y análisis de las guías de onda:

1.1 Onda Electromagnética:

Una onda electromagnética es la forma de propagación de la radiación

electromagnética a través del espacio. y sus aspectos teóricos están relacionados

con la solución en forma de onda que admiten las ecuaciones de Maxwell. A

diferencia de las ondas mecánicas, las ondas electromagnéticas no necesitan de

un medio material para propagarse; es decir, pueden desplazarse por el vacío.

James Clerk Maxwell fue el primero en hacer la observación teórica de que un

campo electromagnético variable admite una solución cuya ecuación de



movimiento se corresponde a la de una onda. Eso sugería que el campo

electromagnético era susceptible de propagarse en forma de ondas, tanto en un

medio material como en el vacío. Esas observaciones llevaron a Maxwell a

proponer que la luz visible realmente está formada por ondas electromagnéticas.

La trascendencia de la teoría de Maxwell estriba en que proporcionaba una

descripción matemática del comportamiento general de la luz. En particular este

modelo describe con exactitud cómo se puede propagar la energía en forma de

radiación por el espacio en forma de vibración de campos eléctricos y magnéticos.

Sin embargo, las propuestas de Maxwell ocasionaron cierto debate, especialmente

dos cuestiones:

La posibilidad de la propagación de las ondas en el vacío suscitó ciertas dudas en

su momento. Ya que la idea de que una onda se propagara de forma auto

sostenida en el vacío resultaba extraña, razón por la cual años antes había nacido

la teoría del éter.

Además las ecuaciones de Maxwell sugerían que la velocidad de propagación en

el vacío era constante, para todos los observadores. Eso llevó a interpretar la

velocidad de propagación constante de las ondas electromagnéticas como la

velocidad a la que se propagaban las ondas respecto a un supuesto éter inmóvil

que sería un medio material muy sutil que invadiría todo el universo. Sin embargo,

el famoso experimento de Michelson y Morley descartó la existencia del éter y

quedó inexplicado hasta que Albert Einstein, Poincaré, H. Lorentz y otros,

explicarían la constancia de la velocidad de la luz como una constante de las leyes

de la Física. (la teoría especial de la relatividad extiende la constante de

propagación de la luz a todo fenómeno físico, no sólo las ondas

electromagnéticas).

Sin embargo a pesar de todas esas cuestiones los primeros experimentos para

detectar físicamente las ondas electromagnéticas, diferentes de la luz, fueron



llevados a cabo por Heinrich Hertz en 1888, gracias a que fue el primero en

construir un aparato que emitía y detectaba ondas electromagnéticas VHF y UHF.

1.2 Espectro Electromagnético:

Se denomina espectro electromagnético a la distribución energética del conjunto

de las ondas electromagnéticas. Referido a un objeto se denomina espectro

electromagnético o simplemente espectro a la radiación electromagnética que

emite (espectro de emisión) o absorbe (espectro de absorción) una sustancia.

Dicha radiación sirve para identificar la sustancia de manera análoga a una huella

dactilar. Los espectros se pueden observar mediante espectroscopios que,

además de permitir observar el espectro, permiten realizar medidas sobre éste,

como la longitud de onda, la frecuencia y la intensidad de la radiación.

El espectro electromagnético se extiende desde la radiación de menor longitud de

onda, como los rayos gamma y los rayos X, pasando por la luz ultravioleta, la luz

visible y los rayos infrarrojos, hasta las ondas electromagnéticas de mayor longitud

de onda, como son las ondas de radio. Se cree que el límite para la longitud de

onda más pequeña posible es la longitud de Planck mientras que el límite máximo

sería el tamaño del Universo (véase Cosmología física) aunque formalmente el

espectro electromagnético es infinito y continuo.

1.3 Rango energético del espectro:

El espectro electromagnético cubre longitudes de onda muy variadas. Existen

frecuencias de 30 Hz y menores que son relevantes en el estudio de ciertas

nebulosas. Por otro lado se conocen frecuencias cercanas a 2,9×1027 Hz, que han

sido detectadas provenientes de fuentes astrofísicas.

La energía electromagnética en una particular longitud de onda λ (en el vacío)

tiene una frecuencia f asociada y una energía de fotón E. Por tanto, el espectro

electromagnético puede ser expresado igualmente en cualquiera de esos

términos. Se relacionan en las siguientes ecuaciones:



Donde c=299.792.458 m/s (velocidad de la luz) y h es la constante de Planck,

Por lo tanto, las ondas

electromagnéticas de alta frecuencia tienen una longitud de onda corta y mucha

energía mientras que las ondas de baja frecuencia tienen grandes longitudes de

onda y poca energía.

Por lo general, las radiaciones electromagnéticas se clasifican en base a su

longitud de onda en ondas de radio, microondas, infrarrojos, visible –que

percibimos como luz visible– ultravioleta, rayos X y rayos gamma.

El espectro electromagnético se divide en segmentos o bandas, aunque esta

división es inexacta. Existen ondas que tienen una frecuencia, pero varios usos,

por lo que algunas frecuencias pueden quedar en ocasiones incluidas en dos

rangos.



Lección 2. Modos De Propagación Y Ecuaciones Genera les De Las Ondas

Guiadas.

Podemos identificar las Ondas Guiadas cuando la dirección principal del flujo de la

energía electromagnética que transporta coincide con la del eje de la guía de

onda; en una guía real puede existir una pequeña parte de la energía que fluye

transversalmente dentro de dieléctricos o conductores imperfectos.

El encarrila miento de la onda que se logra mediante alguna reflexión peculiar

sobre la interfaz y una conexión intima entre las intensidades del campo

electromagnético de la onda que se propagan y las corrientes o cargas inducidas

en aquella. Una característica importante de la onda guiada es que cuando la

dirección del eje de la guía cambia, dentro de los límites razonables, la onda sigue

la nueva orientación.


ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 208001

2.1 MODOS DE PROPAGACION EN LAS GUÍAS.

En el vacío y en medios ilimitados

son ondas electromagnéticas

y magnéticos (H) son perpendiculares a la dirección de propagación (y

perpendiculares entre sí). Esta situación es una consecuencia matemática de las

ecuaciones de la divergencia nula

una única coordenada (ondas elementales).

En la propagación en recintos limitados no es posible describir los campos como

funciones de una única coordenada por la existencia de condiciones de contorno

que imponen las fronteras del recinto y entonces existen o

cuales uno (o los dos) campos tienen componentes en la dirección de

propagación.

Convencionalmente se llama

situación donde los campos son ambos transversales a la dirección de

propagación, modo TE (Transversal Eléctrico) cuando sólo el campo eléctrico es

transversal y modo TM (Transversal Magnético) cuando sólo el campo magnético

es transversal. Se puede demostrar que cualquier tipo de propagación se puede

resolver como la superposici

Figura 2. Representación Gráfica de los Modos de Propagación


AS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA DIDÁCTICO DEL CURSO: 208001 –Sistemas Avanzados De Trasmisión I

MODOS DE PROPAGACION EN LAS GUÍAS.

medios ilimitados, las soluciones de las ecuaciones de Maxwell

son ondas electromagnéticas transversales, es decir, ambos campos eléctricos (E)

son perpendiculares a la dirección de propagación (y


ecuaciones de la divergencia nula . E . H 0 para campos que dependen de

coordenada (ondas elementales).



que imponen las fronteras del recinto y entonces existen otras posibilidades, en las


Convencionalmente se llama modo TEM (Transversal Electromagnético) a la


(Transversal Eléctrico) cuando sólo el campo eléctrico es

(Transversal Magnético) cuando sólo el campo magnético


resolver como la superposición de un modo TE y un modo TM.

Figura 2. Representación Gráfica de los Modos de Propagación

, las soluciones de las ecuaciones de Maxwell

campos eléctricos (E)

son perpendiculares a la dirección de propagación (y


para campos que dependen de



tras posibilidades, en las


(Transversal Electromagnético) a la


(Transversal Eléctrico) cuando sólo el campo eléctrico es

(Transversal Magnético) cuando sólo el campo magnético




2.2 ECUACIONES GENERALES DE LAS ONDAS GUIADAS

Consideraremos campos que se propagan a lo largo del eje z de un sistema de

referencia. También supondremos campos armónicos, de manera que las

expresiones de los campos deben incorporar el factor: . La "constante" de

propagación a lo largo de z, γz, dará información sobre el tipo de propagación (si

hay o no atenuación, las velocidades de fase y de grupo, etc.).

Las ecuaciones de campos pueden escribirse así:

, , , ,

. 1.1

Dentro del sistema de guiado supondremos que no existen fuentes de campo

(cargas y corrientes, independientes o inducidas por el campo eléctrico presente,

por lo que suponemos σ = 0). Las ecuaciones de Maxwell llevan en tal caso a ecuaciones

de onda y éstas, en la hipótesis de campos armónicos, a ecuaciones de Helmholtz:

∇ + γ = 0∇ + γ = 0; !" = #$%&,. 1.2

Donde, en general, µ y ε pueden ser complejos para medios con pérdidas. El

estudiante debe tener en cuenta que en algunos text os se trabaja la ecuación

con ( y no con ).

Dado que suponemos conocido el comportamiento de los campos según z, nos

conviene separar el operador laplaciano en una parte transversal y otra

longitudinal a la propagación:

∇ = ∇ + *+,*+

= ∇ − " = −" → ∇ = −(" − ") = −". 1.3

Por otra parte, las ecuaciones de Maxwell del rotacional quedan así:



Debe recordarse que las componentes de los campos son funciones solamente de

las variables espaciales x e y, ya que z y t aparecen en el factor de propagación.

De las ecuaciones precedentes es posible despejar las componentes

transversales del campo en función de las longitudinales:

En conclusión Por medio de estas expresiones surge un método de cálculo de los

campos dentro de una guía de ondas:

1. Resolver la ecuación de Helmholtz 0 + "0

0 + "0 0 para la

componente longitudinal, sabiendo que la dependencia respecto de z

(coordenada de propagación) y del tiempo es ( )

2. Usar las condiciones de contorno sobre las paredes de la guía para hallar

las constantes de la solución de la ecuación de Helmholtz.

3. Calcular las otras componentes del campo.



Lección 3. Ondas Electromagnéticas Planas.

En la física de propagación de ondas (especialmente ondas electromagnéticas),

una onda plana o también llamada onda monodimensional , es una onda de

frecuencia constante cuyos frentes de onda (superficies con fase constante) son

planos paralelos de amplitud constante normales al vector velocidad de fase. Es

decir, son aquellas ondas que se propagan en una sola dirección a lo largo del

espacio, como por ejemplo las ondas en los muelles o en las cuerdas. Si la onda

se propaga en una dirección única, sus frentes de ondas son planos y paralelos.

Por extensión, el término es también utilizado para describir ondas que son

aproximadamente planas en una región localizada del espacio. Por ejemplo, una

fuente de ondas electromagnéticas como una antena produce un campo que es

aproximadamente plano en una región de campo lejano. Es decir que, a una

distancia muy alejada de la fuente, las ondas emitidas son aproximadamente

planas y pueden considerarse como tal.

3.1 Expresión matemática de la onda plana

Matemáticamente, una onda plana es una solución de la ecuación de onda de la

siguiente forma:

Dónde i es la unidad imaginaria, k es el vector de onda, ω es la frecuencia angular

y a es la amplitud compleja. La solución física es usualmente encontrada tomando

la parte real de la expresión.

Esta es la solución para una ecuación de onda escalar en un medio homogéneo.

Para ecuaciones de onda vectoriales, como las que describen a la radiación

electromagnética o las ondas en un medio elástico, la solución para un medio



homogéneo es similar: multiplicado por un vector constante a. (Por

ejemplo, en electromagnetismo a es típicamente el vector para el campo eléctrico,

campo magnético, o el potencial vectorial). Una onda transversal es aquella en

que el vector amplitud es ortogonal a k (por ejemplo, para ondas

electromagnéticas en un medio isotrópico), mientras que una onda longitudinal es

aquella en que el vector amplitud es paralelo a k (por ejemplo en ondas acústicas

propagándose en un gas o fluido).

En esta ecuación, la función ω(k) es la relación de dispersión del medio, con el

radio ω/|k| dando la magnitud de la velocidad de fase y dω/dk dando la velocidad

de grupo. Para el electromagnetismo en un medio isotrópico con índice de

refracción n, la velocidad de fase es c/n (la cual iguala a la velocidad de grupo

solamente si el índice no depende de la frecuencia).

3.2 Onda plana uniforme.

Se dice que una onda plana electromagnética es uniforme si en ella, las

intensidades de campo eléctrico y magnético presentan amplitudes constantes en

las superficies equifase. Ondas de este tipo sólo pueden encontrarse en el espacio

libre a una distancia infinita de la fuente.

3.2.1 Condiciones de contorno

Un posible procedimiento para resolver las ecuaciones de maxwell es dividir el

espacio en dos regiones. Una con las fuentes que generan los campos (región I) y

otra donde no hay cargas ni corrientes (región II). Por ello suponemos que en esta

última región el campo será una combinación de ondas planas. La solución exacta

será la que cumpla las siguientes condiciones de contorno en la superficie de

separación (S) entre las dos regiones.



Donde S es la superficie de separación (véase la figura 3.0) y

perpendicular a ella y dirigida al interior de la región II. A partir de la medida de las

componentes tangenciales del campo electromagnético, generado por las fuentes

de la región I, podemos determinar exactamente que ondas habrá en la región II,

hallando su dirección de propagación y su amplitud de onda. Incluso podemos

considerar que es el campo electromagnético en S el que excita una serie de

ondas planas en la región II

propagación dependerá de la variación temporal y espacial del campo que las ha

creado.



Donde S es la superficie de separación (véase la figura 3.0) y un vector unitario



a región I, podemos determinar exactamente que ondas habrá en la región II,



ondas planas en la región II donde la amplitud, frecuencia y dirección de


Figura 3.0

un vector unitario



a región I, podemos determinar exactamente que ondas habrá en la región II,



donde la amplitud, frecuencia y dirección de




3.3 Caracterización de los medios

Los medios, naturales o no, de propagación de onda se caracterizan por tres

parámetros y se clasifica en:

Donde:

σ: es la conductividad del medio y se mide en S/m

ε: es la permitividad o constante dieléctrica del medio y se mide en F/m

µ: es la permeabilidad o constante magnética y se mide en H/m

La velocidad de propagación de una onda plana en un medio dieléctrico (σ=0)

viene dada por:



La impedancia intrínseca o característica de un medio dieléctrico es:

3.3.1 Propagación de medios sin pérdidas

Tener un medio sin pérdidas significa que no existe la conductividad en ese medio,

o que la conductividad es cero.

Las condiciones que se dan en este medio son las que se muestran en las

siguientes ecuaciones:

α = 0

La impedancia intrínseca se vuelve un numero real.

Ya que la conductividad se vuelve cero. Por lo tanto, solo tiene una parte real y no

parte imaginaria. La velocidad de fase de la onda se vuelve:

La siguiente ecuación nos dice como se propaga el campo eléctrico:

Ex = Emcos(ωt − βz + θ)



A continuación, la propagación del campo magnético:

Consideraciones para la propagación en el espacio libre:

µ0 = 4πx10 − 7 H/m Permeabilidad en el espacio libre

V0 = 3x108 m/s Velocidad de Propagación en el espacio libre

Para cualquier otro tipo de material

m/s

Ω

rad/m

m

3.3.2 Propagación en medios con perdidas

Un medio con perdida existe cuando hay conductividad aunque sea mínima, y

como existe conductividad dentro de ese medio

dejar bien claro que existen dos diferencias muy notables entre las ondas planas

uniformes en medios sin pérdidas y las ondas planas uniformes en medios con



A continuación, la propagación del campo magnético:

onsideraciones para la propagación en el espacio libre:

Permeabilidad en el espacio libre

F/m Permitividad en el espacio libre

m/s Velocidad de Propagación en el espacio libre

Para cualquier otro tipo de material y µ = µrµ0

Propagación en medios con perdidas


como existe conductividad dentro de ese medio la onda va a cambiar. Debemos




la onda va a cambiar. Debemos





pérdidas. La primera es que la parte real de la constante de propagación se vuelve

distinta de cero, y por lo tanto se divide en dos como se muestra a continuación:

Podemos ver que la gamma se dividió en su parte real alpha se le conoce como

constante de atenuación y sus unidades están dadas en Np/m, su parte imaginaria

beta que se le conoce como constante de fase y está dada en rad/m.

La otra diferencia es la impedancia intrínseca que para medios con pérdidas

también se vuelve compleja y no tiene los mismos valores que para un medio sin

pérdidas. La impedancia intrínseca se calcula de la siguiente manera:

Y ahora las ecuaciones de onda:

Ex = Eme( − αz)cos(ωt − βz + θ)

3.4 Teorema de Poynting.

Desarrollado por John Henry Poynting, expresa la ley de conservación de la

energía. Establece que la disminución de energía electromagnética en una región

se debe a la disipación de potencia en forma de calor (por efecto Joule) y al flujo

hacia el exterior del vector de Poynting.

Relaciona la derivada temporal de la densidad de energía electromagnética con el

flujo de energía y el ritmo al que el campo realiza un trabajo. Puede resumirse

mediante la fórmula.



donde U es la densidad de energía, S es el vector de Poynting, J la densidad de

corriente y E el campo eléctrico. Dado que el campo magnético no realiza trabajo

la parte derecha de la ecuación incluye todo el trabajo realizado por el campo

electromagnético.

De forma integral, se puede expresar como:

donde:

Pd : potencia disipada por efecto Joule

W : energía electromagnética

En términos generales el Vector Poynting indica la dirección del flujo de energía

(1) de una onda electromagnética. Este vector se determina por su valor

promedio y siempre apunta en sentido de la propagación de la onda. 2 3

456 el

promedio del vector de poynting nos determina la intensidad lumínica (I) de la

onda electromagnética, o sea: ⟨28⟩ : ;<5=

También debemos tener en cuenta el flujo de potencia que transporta una onda

electromagnética. Para cualquier onda con campo eléctrico E y campo magnético

H, el vector de Poynting S se define como S = E x H (W/m2). Ec. 3.0

La unidad de S es (V/m) x (A/m): (Wm2) y la dirección de S es a lo largo de la

dirección de propagación de la onda >?. Por lo tanto, S representa la potencia por

unidad de área (densidad de potencia) que transporta la onda, y si ésta incide en

una abertura de área A con vector unitario superficial !@ como se ilustra en la figura



3.1, entonces la potencia total que fluye a través de la abertura o que es

interceptada por ella es

A B2. !@CD(E). 3.1

Para una onda plana uniforme que se propaga en una dirección >? que forma un

ángulo F con !@, G = HIJKLM, NKONPH = |H|.

Excepto por el hecho de que las unidades de S se dan por unidad de área, la

ecuación Ec.3.0 es el análogo vectorial de la expresión escalar para la potencia

instantánea P(z, t), que fluye a través de una línea de transmisión: es decir.

G(R, S) = T(R, S)U(R, S)VJ. W. X

Donde Y(Z, )[(Z, ) son el voltaje y corriente instantáneos en la línea.

Como E y H son funciones de tiempo, también lo es el vector de Poynting S. Sin

embargo, en la práctica, la cantidad de mayor interés es la densidad de potencia

promedio de la onda Sprom. Que el valor promedio con respecto al tiempo de S.

Lección No 4. Clasificación Y Características De Las Soluciones TEM , TE Y TM

Un punto importante y el cual abordaremos a continuación es las características

de la guía de onda Dado que la energía se transporta por ondas

electromagnéticas, las características de las guías de ondas tales como

Figura 3.1



impedancia, potencia y atenuación se expresan mediante campos eléctricos

y magnéticos característicos de la guía en consideración.

Por lo general, las guías de onda poseen una sección transversal rectangular,

pero pueden tenerla circular ó elíptica. En las Figuras 4.1 y 4.2, se

muestran tanto una guía de onda rectangular como circular en una vista en

sección transversal.

Figuras 4.1. Guía de onda rectangular.

Figuras 4.2. Guía de onda circular.

Las dimensiones de la sección transversal se escogen de tal manera que la

onda electromagnética se propague en el interior de la guía de onda. Una guía

no está diseñada para conducir corriente, sino que sirve como límite que

confina a la onda en su interior, debido a que la guía de onda se encuentra



compuesta de un material conductor se refleja la energía

electromagnética que choca con la superficie. Si la pared de la guía de onda

es un conductor muy delgado en sus paredes fluye poca corriente y como

consecuencia se disipa poca potencia. La conducción de la energía, en la

realidad no ocurre en las paredes, sino en el dieléctrico que se encuentra dentro

de la guía.

El análisis de las guías de onda se da en términos de los campos magnético y

eléctrico que se propagan en su interior y los cuales deben cumplir con las

condiciones de frontera dadas por las paredes conductoras.

Ya que la guía de onda se encuentra compuesta por un material real, la onda

electromagnética penetra en las paredes de ésta provocando que la onda ceda

energía al material de la guía, es por ello que la onda pierde amplitud conforme

a la distancia que avanza.

4.1 Clasificación de impedancias en una guía de onda.

Las impedancias en una guía de onda se pueden clasificar en:

o Impedancia característica se refiere a la relación de los fasores de

tensión y de corriente en una línea de transmisión infinita de dos

conductores.

o Impedancia intrínseca se refiere a la razón de campos fasoriales E y H

para una onda plana (TEM) en un medio no limitado.

o Impedancia de onda se refiere a la relación de una componente del campo

eléctrico a una del campo magnético en el mismo punto de la misma onda

TEM, la impedancia de onda es la misma impedancia intrínseca, pero para

modos de orden superior.



4.2 Modos de propagación.

Las ondas electromagnéticas viajan a través de las guías por medio de

diversas configuraciones a las que llamamos modos de propagación. Un

modo es la manera en la que la energía se puede propagar a lo largo de la guía

de onda, cabe aclarar que todos estos modos deben satisfacer ciertas

condiciones de frontera para que se puedan dar. En teoría existen un

número infinito de modos de propagación y cada uno tiene su frecuencia de

corte a partir de la cual existe. En otras palabras a medida que se va

aumentando la frecuencia se irá incrementando el número de modos a partir de

cada frecuencia de corte de cada modo respectivamente. Específicamente una

guía soporta tres modos de propagación y los cuales son:

•Modo transverso magnético (TMmn), también denominado modo E, en el

cual las soluciones se derivan a través de la componente del campo

eléctrico Ez, con la condición de que Hz = 0, esto es, la componente axial del

campo magnético es cero, por lo cual se asegura la transmisión de la potencia en

la dirección z que es la que se ha seleccionado como la dirección de propagación

de la línea.

•Modo transverso eléctrico (TEmn) o modo H. En este caso las soluciones se

derivan de la componente del campo magnético Hz, con la condición Ez = 0.

•Modo transverso eléctrico magnético (TEM), en el cual Ez = Hz = 0. Este

modo tiene la característica de que no se puede propagar en una guía, debido a la

estructura misma de ésta, puesto que no puede transmitir ondas

electromagnéticas de baja frecuencia, la transmisión tiene lugar a un valor

determinado de frecuencia que depende de las dimensiones de la guía.

Sin embargo, es la representación por medio de campos electromagnéticos de

una línea de transmisión de baja pérdida.



La notación TMmn y TEmn implica guías de onda rectangulares y TMmn, TEmn

circulares. Los subíndices m y n en rectangulares designan números enteros que

denotan el número de medias longitudes de onda de intensidad de campo

magnético para él TE y eléctrico para el TM, entre cada par de paredes. El

subíndice m se mide a lo largo del eje x y el n sobre el eje y. Las siglas TM

tanto TE significan que las líneas del campo magnético como el eléctrico son

transversales en todos los puntos, lo que quiere decir que todas las líneas son

perpendiculares a las paredes de la guía.

Dentro de una guía es posible la propagación de varios modos de ondas

electromagnéticas. Cada modo tiene una frecuencia de corte asociada, de

manera que si la frecuencia de la señal a transmitir es mayor que la frecuencia de

corte, la energía electromagnética se transmitirá a través de la guía sin

atenuación. En otro caso, si la frecuencia de la señal es menor que la de corte, la

energía se atenuará exponencialmente con la distancia, teniendo un valor

extremadamente bajo a una distancia muy corta (este caso se denomina onda

evanescente).

El modo dominante en una guía determinada es aquél que tiene la frecuencia de

corte más baja. Las dimensiones de la guía pueden escogerse de modo que para

una señal dada, sólo el modo principal pueda transmitirse por ella.

Los modos de orden superior son todas aquellas formas en que la energía se

propaga por arriba de la frecuencia de corte del modo dominante. Sin embargo

no es recomendable operar en frecuencias donde éstos tipos de modos se

presenten, puesto que no acoplan bien a la carga, ocasionando reflexiones y la

aparición de ondas estacionarias.



Lección No 5. Guía Conductora Ideal.

Las líneas de transmisión spara transmitir, con más o de frecuencias desde aproximadament10GHz (1GHz) y superioreslíneas de transmisión uniformetransmisión de dos conductoreparalelos, se muestran enconductores paralelos muy líneas operan, generalmentemecánicamente en intervalotransmisión coaxial consistedieléctrica coaxial, que puedinterno y la pared interna desección transversal circular.dieléctrico, o región del espaciparalelos. En el caso de latodo el espacio; en todosconfinado al espacio limitado pootro de línea de transmisiónoperación y la capacidad de

La teoría de líneas de transmisió

teoría de campos electromagnético

circuitos eléctricos. La primer

en resolver las ecuacione

condiciones de contorno adecuadas

seguiremos en este tema



Lección No 5. Guía Conductora Ideal.

se usan básicamente para conducir potenci menos perfección, información y se utilizan

aproximadamente 60 Hz, en electrónica de potenciasuperiores, en ingeniería de microondas. Algunos de

uniformes más usuales, tales como la dos conductores (línea bifilar), la línea coaxial y la guí

n la figura 1. La línea bifilar está formad próximos normalmente de sección recta circular

generalmente, en el espacio libre estando intervalos regulares por dieléctricos aislantes.

consiste, como su propio nombre indica, enpuede ser el vacío, entre la pared exterior de

del conductor externo hueco. Ambos conductore. La guía de planos paralelos consiste en unespacio libre, colocada entre dos conductorea línea bifilar el campo electromagnético se s los demás casos el campo electroma

limitado por los contornos metálicos. La elección transmisión, entre otros factores, depende de la frecuenci

e potencia requerida.

transmisión se puede desarrollar desde el punto

electromagnéticos o desde el punto de vista d

primera opción, que veremos en un tema posterior

las ecuaciones de Maxwell del problema concreto junt

contorno adecuadas. En la segunda opción, que

tema, la línea de transmisión se trata como un

potencia eléctrica y en un rango

potencia, hasta e los tipos de a línea de

guía de planos formada por dos

circular. Estas o sujetadas

. La línea de una región del conductor

conductores son de una lámina de

conductores planos extiende por

electromagnético está n de un tipo u frecuencia de

o de vista de

de teoría de

posterior, consiste

junto con las

e es la que

n circuito de



parámetros distribuidos formado por ciertos valores de inductancias y resistencias

en serie y capacitancia y conductancia en paralelo. Los valores de estos

parámetros dependen de la geometría de la línea de transmisión y se tienen que

obtener, necesariamente, mediante la aplicación de la teoría de campos

electromagnéticos. Estudiaremos líneas de transmisión uniformes, esto es, todas y

cada una de las secciones de una línea son iguales entre sí. Este requerimiento de

uniformidad excluye líneas de transmisión de longitud finita, puesto que en ese

caso una sección cercana al final de la línea no sería igual que una sección en el

medio, por ejemplo. Así, la teoría que vamos a ver es estrictamente aplicable sólo a

líneas de transmisión de longitud infinita. En la mayoría de los casos prácticos, los

"efectos de borde" son suficientemente pequeños y su omisión queda justificada.

Siendo más específicos en referencia a una guía de onda ideal; En la figura 2a se

muestra una línea de transmisión uniforme de dos conductores cilíndricos (hilos)

paralelos. Consideraremos los conductores perfectos, es decir, con conductividad

infinita. Los conductores se extienden desde z=0 hasta infinito, formando una línea de

transmisión semiinfinita. En z=0 se aplica una tensión vg(t); si se conecta el

generador en t=0, a lo largo del conductor superior fluye una corriente i(t). Además,

debe retornar una corriente -i(t) por el conductor inferior, ya que la corriente en el

generador debe ser continua. Esta corriente que retorna, se produce por la acción

del campo eléctrico que se establece entre los dos conductores. Puesto que la línea

de transmisión es semiinfinita, no existe un camino directo entre los conductores

superior e inferior, por lo que supondremos que hay una capacitancia distribuida "C",

por metro, entre los dos conductores; así, tenemos una corriente de desplazamiento

que fluye desde el conductor superior hacia el inferior.

La corriente eléctrica provoca un campo magnético alrededor de los conductores,

por lo que la línea de transmisión también tendrá una inductancia serie distribuida L,

por metro. Podemos, entonces, modelar una sección diferencial dz de esta línea

de transmisión como una inductancia serie Ldz y una capacitancia paralelo Cdz, tal y

como se muestra en la figura 2b. Si los conductores tuviesen conductividad finita,



se debería incluir, además

sección diferencial C. Lo

estuviera lleno con un material dieléctric

considerar una conductanci

no vamos a considerar, por

Puesto que los efectos electromagnético

(velocidad de la luz en el

punto arbitrario "z" de la líne

tiempo z/c después de qu

generador lanza ondas de

propagan con velocidad finita

obtienen aplicando las leye

sección diferencial de la líne

(condiciones de contorno) qu

Sean v(z,t) e i(z,t) la tensió

"z" de la línea de transmisión

y la corriente habrán cambiad

tensión y la corriente en z+dz Serán



además, una resistencia serie en el circuito equivalent

o mismo sucedería si el espacio entre los

material dieléctrico con pérdidas; tendríamos, entonces

conductancia paralelo "G" en el circuito equivalente. Si

r ahora, estos dos últimos efectos.

electromagnéticos se propagan a una velocida

vacío), la tensión v(z,t) y la corriente i(z,t)

línea de transmisión serán cero hasta que hay

que el generador se haya conectado. Veremo

e tensión y corriente a la línea de transmi

finita. Las ecuaciones que describen esta

leyes circuitales de Kirchoff al circuito equivalent

línea de transmisión, junto con las relacione

que se deben cumplir en el generador.

tensión y la corriente, respectivamente, en un punto arbitrari

transmisión. A una distancia diferencial "dz" más allá

cambiado una pequeña cantidad tanto

tensión y la corriente en z+dz Serán

equivalente de una

s conductores

entonces, que

Sin embargo,

velocidad finita "c"

) en un

ya pasado un

Veremos que el

transmisión que se

estas ondas se

equivalente de una

relaciones terminales

punto arbitrario

allá, la tensión

la



La suma de todas las caídas

entonces:

y operando

La suma de las corrientes

podemos escribir

y operando



s de potencial a lo largo del circuito deben ser

(1.a)

s en el nudo de salida debe ser cero; po

(1.b)

r cero;

por lo tanto



Estas dos ecuaciones diferenciale

tensión y de corriente en la

para la tensión v(z,t) diferenciand

para eliminar la corriente; así

O

De manera similar se obtiene

El producto LC tiene dimensione

ecuaciones son ecuacione

propagándose a una velocida

Consideremos la ecuación

Dos funciones arbitrarias d

ecuación, es decir, de

demostramos en temas anteriore



diferenciales describen la relación entre la

a línea de transmisión. Podemos obtener un

diferenciando la ecuación (1.a) respecto a z y utilizand

así

(2.a)

e la ecuación diferencial para la corriente

(2.b)

dimensiones de inverso de velocidad al cuadrado

ecuaciones de onda unidimensionales y describe

velocidad (línea de transmisión ideal en aire)

(3)

de la forma f (t-z/c) y f (t-z/c) son solucione

la ecuación de ondas unidimensional

anteriores para una onda plana.

las ondas de

una ecuación

utilizando (1.b)

cuadrado. Estas dos

describen ondas

soluciones de esta

unidimensional, como ya



+ -

La función f (t-z/c) es la mism

una cantidad z/c, que es igua

generador hasta que alcanz

solución puede, entonces

dirección z positiva, por lo

solución representa una onda

superíndice "-".

La solución general para la

Donde V son amplitudes constantes

Si consideramos que la corrient

Entonces

sin más que utilizar la relación

Inspeccionado estas ecuaciones

compatible con que la de la tensió



misma que la función f (t) pero retrasada en el

igual al tiempo que tarda la señal desde

alcanza la posición marcada por la coordenad

entonces, interpretarse como una onda propagándos

cual se identifica con el superíndice "+"

onda propagándose en la dirección -z, y se identific

onda de tensión en la línea de transmisión es

(4)

constantes. Usando la ecuación (1.b) podemos

corriente es de la forma

relación

ecuaciones, vemos que la solución considerada par

tensión v(z,t) si escogemos

tiempo

e que sale del

coordenada z. Esta

ándose en la

"+". La otra

identifica con el

es

s poner

para i(z,t) es



El parámetro cC tiene dimensione

La admitancia característica

parámetro. Su inverso se

trasmisión y vale

Utilizando este parámetro, la

transmisión se puede expresa

Como puede observarse d

de la línea es el cociente entr

viajan en un punto e instan

sentido negativo de z es lógico

y nuestro convenio de corrient



dimensiones de admitancia y es también

a Yc de la línea de transmisión viene definida

denomina impedancia característica de la

(5)

a solución para las ondas de corriente en la

expresar como

(6)

de las ecuaciones (4) y (6) la impedancia característica

entre la tensión y la corriente para una de la

ante dados. El signo negativo para la onda vi

lógico, puesto que la onda se propaga hacia

corriente positiva es viajando hacia la derecha.

n igual a

a por este

a línea de

a línea de

característica

las ondas que

viajando en el

a la izquierda



CAPÍTULO 2- Guías De Onda Conductoras.

Algunos sistemas de comunicaciones utilizan la propagación de ondas en el

espacio libre, sin embargo también se puede transmitir información mediante la

confinación de las ondas en cables o guías. En altas frecuencias las líneas

de transmisión y los cables coaxiales presentan atenuaciones muy elevadas

por lo que impiden que la trasmisión de la información sea la adecuada, son

imprácticos para aplicaciones en HF o de bajo consumo de potencia,

especialmente en el caso de señales cuyas longitudes de onda son del orden de

centímetros, esto es, microondas.

La transmisión de señales por guías de onda reduce la disipación de energía,

es por ello que se utilizan en las frecuencias denominadas de microondas con el

mismo propósito que las líneas de trasmisión en frecuencias más bajas, ya que

presentan poca atenuación para el manejo de señales de alta frecuencia.

El nombre de guías de onda se utiliza para designar los tubos de un material

conductor de sección rectangular, circular o elíptica, en los cuales la dirección

de la energía electromagnética debe ser principalmente conducida a lo largo de

la guía y limitada en sus fronteras. Las paredes conductoras del tubo confinan la

onda al interior por reflexión en la superficie, donde el tubo puede estar vacío o

relleno con un dieléctrico. El dieléctrico le da soporte mecánico al tubo (las

paredes pueden ser delgadas), pero reduce la velocidad de propagación.

En las guías los campos eléctrico y magnético están confinados en el espacio

que se encuentra en su interior, de este modo no hay pérdidas de potencia por

radiación y las pérdidas en el dieléctrico son muy bajas debido a que suele

ser aire. Este sistema evita que existan interferencias en el campo por otros

objetos, al contrario de lo que ocurría en los sistemas de transmisión abiertos.



La guía de onda se puede visualizar de una manera simplificada en la

Figura 5.1, suponiendo que está formada por dos láminas conductoras y que

el transporte de la energía electromagnética se lleva a cabo mediante

reflexiones continuas y no por medio de corrientes superficiales, como en el caso

de las líneas de transmisión.

Figura 5.1. Transporte de la energía en la guía de onda.

La guía está diseñada fundamentalmente para operar un solo modo de

propagación con el ancho de banda requerido, atenuando los demás modos de

orden superior. En otras palabras, esto quiere decir que transmite óptimamente la

frecuencia portadora, para la cual se ha seleccionado la guía con su respectivo

ancho de banda de transmisión.



Lección 6. Guías Conductora De Sección Rectangular

Vamos a considerar el

dimensiones transversales

como perfecto) y en cuyo interior

e isótropo (Fig. 6.1). La expresión

fasorial, excluyendo las

guiada), es:

Si el dieléctrico interior es

situación habitual, puede sustituirse

De las anteriores se obtiene

onda, para uno u otro campo:



Lección 6. Guías Conductora De Sección Rectangular :

caso de una guía de onda limitada en

transversales por un material conductor (que aproxi

cuyo interior existe un medio dieléctrico lineal,

expresión de las ecuaciones de Maxwell

fuentes (que son las que rigen para la propagación

no magnético, lo que, por otra parte, es

sustituirse en todas las expresiones µ por µ0

Figura No 6.1

obtiene inmediatamente, como ya sabemos, la ecuación

po:

en sus dos

aproximaremos

homogéneo

en notación

la propagación

una

0.

ecuación de



Tomaremos el eje Z como

de la guía, y las direcciones

la propagación. El tipo de

arriba se escribe, en forma

Donde β es la llamada constante

ecuación anteriormente vista,

y se caracteriza porque su

la dirección de propagación,

Independiente de ella.

completamente

Generales, pero constituy

onda que pueda propagarse en la

combinación lineal de esas funciones.

Lección No 7- Potencia T ransmitida

7.1 Potencia Transmitida

A partir de la expresión de la

la potencia que transporta un

las direcciones transversales

flujo neto de potencia

Si recordamos que para modos



o dirección de propagación de las ondas en

direcciones X e Y serán siempre las direcciones trans

de soluciones que buscamos para las ecuaciones

fasorial:

constante de propagación. A una solución del

ecuación anteriormente vista, se le denomina modo de propagación

su fase depende linealmente de z, la coordenada

ación, pero su amplitud es

Este tipo de soluciones no son, por

yen un conjunto completo, esto es: cualquier

arse en la guía puede escribirse mediante la

esas funciones.

ransmitida Y Atenuación

de la densidad media de potencia podrá

un modo a lo largo de la guía (eje Z). Es claro

direcciones transversales la situación es estacionaria y no puede haber

odos TE y TM se cumplen las relaciones

en el interior

transversales a

ecuaciones de

del tipo de la

propagación de la guía,

coordenada en

sí mismas,

cualquier posible

la adecuada

podrá calcularse

claro que en

haber ningún



(donde Zmn = ZTEmn o

respectivas), podemos escribir

La potencia media transportada

del vector de Poynting a través

7.2 Atenuación

En la práctica, la propagación

pérdidas, que se ponen

transmitida. Las pérdidas en una

causas: al hecho de que

caracterizarse más cuidadosa

conductor tiene una conducti

Como ya se había visto en lecciones anteriores

dieléctrico real debe escribirse

la permitividad del materia

lado, se define la impedancia



Zmn = ZTMmn son las impedancias de

s escribir la densidad de potencia como:

transportada se obtiene, finalmente, como la integral

a través de una sección cualquiera de la guía:

ación guiada de la energía electromagnética

de manifiesto en una disminución de

Las pérdidas en una guía de paredes conductoras se deben a dos

el dieléctrico interior no es perfecto, (lo

cuidadosamente con una permitividad compleja),

conductividad finita.

Como ya se había visto en lecciones anteriores que la permitiv

escribirse en la forma

terial sin pérdidas y su conductividad efectiv

pedancia superficial de un conductor no perfecto

de onda

integral del flujo

la guía:

nética presenta

la potencia

uía de paredes conductoras se deben a dos

(lo cual debe

a), y a que el

vidad de un

, donde es

va. Por otro

perfecto como:



La definición de esta impedancia

conductor no perfecto la

estrictamente nula en su superficie

cuestiones seguiremos considerándola

densidad de corriente que

estrictamente superficial, sino que

del conductor. Esa corriente

las pérdidas, que dan pie a

Lección No 8- Guía Conductora De Sección Circular.

Las leyes que rigen la

independientes de la forma

dimensiones, debido a esto

como la frecuencia de corte

guías de onda rectangulares se

exceptuando que el problema

se presentan en coordenadas

La guía de onda rectangul

no se puede doblar, lográndose que

circular es un ducto flexible

puede doblarse sin exces



(7.1)

pedancia está relacionada con el hecho de

componente tangencial de campo eléctrico

superficie (aunque es tan pequeña que para

os considerándola despreciable) y, como consecuencia,

que se induce en la pared del conductor ta

ente superficial, sino que logra penetrar en alguna medida en

corriente (y el propio campo eléctrico) es la responsable

a la expresión (7.1).

Guía Conductora De Sección Circular.

la propagación de las ondas en las

la forma de la sección transversal de la guía

esto el concepto de campos eléctricos y magnéticos, así

corte y en general todos lo parámetros presentados

rectangulares se cumplen también para guías de onda

problema de los modos de transmisión para guías

en coordenadas cilíndricas Figura.8.1.

rectangular se utiliza en distancias cortas y debido

lográndose que la señal se refleje en otra dirección.

flexible de uno cuantos centímetros de diámetro,

sivas reflexiones.

de que en un

eléctrico no es

para el resto de

consecuencia, la

induce en la pared del conductor tampoco es

en el interior

la responsable de

guías son

guía y de sus

magnéticos, así

parámetros presentados en

onda circulares

guías circulares

a su rigidez

rección. La guía

diámetro, el cual



A continuación se muestra

Fig.

Para evitar confusiones c

una guía rectangular, los

en coordenadas cilíndricas

TEnm. En las guías circulares,

de la intensidad de campo

subíndice m representa el

en λ/2 en dirección radial.

Las guías de ondas circulares tienen

son muy importantes, se

útiles para propagar ondas polarizadas

verticalmente en la mism

flexibilidad en su manejo, la

que la rectangular y sus conexiones son

éste tipo de guía presenta

frecuencia.

Para encontrar la frecuenc

circular se utilizan las funciones

Es importante tener en cuenta que el caso de cualquier guías o en especial las



el sistema de referencia de la guía.

Fig. 8.1 Geometría de la guía circular

con la presentación de los modos de transmisión

cuales han sido representados como TMmn

cilíndricas se invierten los subíndices m y n; es decir,

circulares, el subíndice n denota el número de

ampo en una longitud de onda, o sea, en 2

el número de variaciones de la intensidad

dirección radial.

circulares tienen aplicaciones específicas

se usan en radar y microondas terrestres,

propagar ondas polarizadas tanto horizontalmente

sma guía. Además de la ventaja mencionada de

la guía de onda circular es de fabricación más

conexiones son más fáciles de realizar; sin

guía presenta más área que la rectangular que opera en

cia de corte así como la longitud de onda

funciones de Bessel.


transmisión de

mn y TEmn,

decir, TMnm y

de variaciones

2 π rad y el

intensidad de campo

específicas las cuales

terrestres, pues son

horizontalmente como

ventaja mencionada de la

más sencilla

sin embargo,

en la misma

en una guía




circulares, Las guías de onda operan (propagan ondas) dentro de los

límites de un rango de frecuencias determinado por sus dimensiones. Para

que la propagación tenga lugar en la guía de onda, la configuración de campos

eléctricos y magnéticos de las ondas debe satisfacer ciertas condiciones.

Hay muchas posibles configuraciones, llamadas modos. Los modos se designan

según las direcciones que los campos eléctrico y magnético de la onda

electromagnética asumen respecto de la dirección de propagación. Así tenemos

modos "transversal-electromagnéticos" (TEM) donde tanto el campo eléctrico

como el magnético son perpendiculares a la dirección de propagación de la onda,

modos "transversales eléctricos" (TE) donde solo el campo eléctrico de la onda es

perpendicular a la dirección de propagación y modos "transversales magnéticos"

(TM) donde sólo el campo magnético es perpendicular a la dirección de

propagación.

El componente no transversal de campo eléctrico o magnético está asociado a

fenómenos de pérdidas inherentes a la interacción de la onda con materiales no

ideales. Pero pueden ocurrir varios modos TEM, TE, y TM diferentes en una

guía de ondas circular, según las veces que el campo eléctrico varíe a lo largo

de la circunferencia de la guía de ondas, o a lo largo de un radio de la misma.

La Figura 8.2, muestra algunas configuraciones de campo (modos) en guías de

onda circulares y la correspondiente designación. Lo que se observa son

configuraciones de ondas estacionarias dentro de la guía de onda, con las líneas

de puntos representando las líneas de fuerza del campo magnético y las líneas

continuas al campo eléctrico.



Se puede observar que las líneas de fuerza del campo magnético y del eléctrico

son perpendiculares entre sí en cualquier punto de la guía de onda y que se

cumplen las condiciones de contorno del campo eléctrico y magnético.

Figura 8.2. Algunos modos de propagación.

Lección No 9- Cavidades Resonantes De Paredes Condu ctoras.

Una cavidad resonante de este tipo consiste en un volumen dieléctrico

(normalmente el aire) completamente rodeado de paredes conductoras.

Evidentemente los campos que pueda haber en el interior de la cavidad no

tienen el carácter de una onda viajera, con un término de propagación

(exponencial compleja), en la forma en que acabamos de ver en el estudio de las

guías de onda, puesto que ya no existe una dirección en la que puedan

extenderse ilimitadamente. En esta nueva situación las paredes conductoras

imponen condiciones adicionales. Se puede considerar que las ondas

experimentan reflexiones continuas sobre las superficies del sistema y

tienden a adoptar la forma de ondas estacionarias, en correspondencia con la

geometría de la cavidad. El estudio de los modos de vibración propios y de sus

frecuencias características se realiza mediante la superposición de los modos

de propagación de las guías abiertas, que interfieren al viajar en sentidos

opuestos.



Las estructuras aquí descritas se deno

resonadores de cavidad, y tienen

frecuencia. Se utilizan en

con paredes dieléctricas). Presentan

aunque los principios generales

Como ejemplo específico de ca

generalidad de los resultados,

cavidad en forma de paralelepípedo

Sea, pues, el sistema representado

conductoras que encierran

dieléctrico, de dimensiones

respectivamente.

Fig.

Los fusores de campo eléctrico y magnético deben de satisfacer la ecuación de

onda:

Por lo que en coordenadas cartesianas cada

campos deben de cumplir la ecuación escalar:



Las estructuras aquí descritas se denominan cavidades resonantes o,

y tienen interés como sintonizadores y medidores

radiofrecuencia y a frecuencias ópticas (en

dieléctricas). Presentan gran variedad de formas y di

enerales de funcionamiento son siempre los mi

plo específico de cavidad resonante y, teniendo en cuenta la

eneralidad de los resultados, vamos a considerar un caso simple

de paralelepípedo regular.

representado en la figura 5.8, con seis

que encierran en su interior un volumen de cierto

ensiones a, b y c, según las direcciones

Fig. 5.8 Cavidad resonante rectangular


Por lo que en coordenadas cartesianas cada una de las componentes de ambos

campos deben de cumplir la ecuación escalar:

idades resonantes o, también,

edidores de

(en este caso

y dimensiones,

ismos.

, teniendo en cuenta la

como es la

seis paredes

cierto medio

X, Y y Z


una de las componentes de ambos



Si, como en nuestro caso,

aplicar la técnica de separación

Sustituyendo esta expresión

inmediatamente la solución

Con la condición adicional:

y donde A, B, C, D, E y F son

Lección No 10- Manejo De La Unidad Decibel (Db).

En el caso del manejo de las unidades de decibeles es importante referirnos al

factor de atenuación y carga resistiva de la onda, para determinar dichos

comportamiento de las guías de ondas se inicia con el factor de la

las guías de onda el cual es

• Obstáculos o discontinuidades.

• Pérdidas inherentes

• Pérdidas en los dieléctricos,

La medida de la atenuación

parámetro α, de tal manera



el problema tiene simetría rectangular, pode

separación de variables:

expresión en la ecuación de arriba se obtiene

la solución como:

son constantes.

Manejo De La Unidad Decibel (Db).



comportamiento de las guías de ondas se inicia con el factor de la a

es causada por los siguientes factores:

o discontinuidades.

a las corrientes que pasan por las paredes

dieléctricos, si es que los hay en el interior de la

atenuación QdB, de la guía en decibles queda determinada

manera que:

rectangular, podemos



atenuación de

de la guía.

la guía.

erminada por el



donde z es la longitud de la

alfa es igual a:

Por otro lado, de las ecuaciones

la cual se reduce a:

Las pérdidas por atenuac

plantea la guía. Otro elemento

éste tipo de cargas de material dieléctrico

perfecto que suelen ubicarse

energía absorbida por estas



la guía y α el factor de atenuación, donde

ecuaciones (3.2.3 –1) y (3.2.3 –2) se tiene que para

ción se reducen de manera considerable

elemento importante en las guías son las cargas

material dieléctrico resulta ser un acoplamiento

ubicarse al final de la guía para evitar reflexiones.

tas cargas se disipa por medio de radiadores.

tenemos que

para QdB

nsiderable cuando se

cargas resistivas,

acoplamiento casi

reflexiones. La

radiadores.



Interferometría

Un dispositivo que utiliza la interferencia de ondas para realizar mediciones de

alguna naturaleza es un interferómetro. Hasta mediados del siglo veinte, la

interferometría se realizaba exclusivamente con ondas de luz, pero luego se han

utilizado ondas electromagnéticas de múltiples frecuencias para diversos

propósitos, como veremos al final de esta sección. Aunque el modelo de

interferómetro más conocido es el de Michelson, conectado con la búsqueda de

las propiedades del “éter luminífero” y la historia de la teoría de la relatividad, el

sistema más simple es el modelo de Fabry-Perot, que consiste (en forma

simplificada) en un par de espejos paralelos de alta reflectividad. Cuando uno de

los espejos es móvil, modificando, como vemos más abajo, la longitud de onda de

la radiación a usar, se dice que el aparato es un interferómetro, mientras que

cuando la distancia entre los espejos es fija, pero se dispone de un mecanismo

para asegurar el paralelismo de los espejos, se dice que el aparato es un etalon.

Este tipo de aparato está ligado al desarrollo y construcción de la mayoría de los

láseres, incluidos los láseres semiconductores, que desempeñan un rol

fundamental en las comunicaciones ópticas. En el caso ideal, la radiación consiste

en ondas planas que viajan entre los dos planos espejados según una dirección

perpendicular a ellos. Los espejos son perfectos (es decir, la reflexión es total).

Esto se logra con espejos hechos de un material conductor perfecto. Dentro del

interferómetro se producen ondas estacionarias porque los espejos se colocan en

los nodos de la onda de campo eléctrico, tomando la distancia entre los espejos

como un múltiplo entero de media longitud de onda: L = N λ Si esta relación no se

cumple, los campos en el interior del aparato no satisfacen las condiciones de

contorno y no pueden existir. Para que la radiación pueda entrar y salir del aparato

en una aplicación práctica, se usan espejos imperfectos, de modo que tenemos

radiación reflejada y transmitida por el aparato. Dentro del interferómetro se

producen ahora ondas cuasi-estacionarias para la condición: L = N λ Si esta

relación no se cumple, la mayor parte de la energía incidente a la izquierda se



refleja. En la figura se muestra una disposición donde la radiación incide formando

una ángulo θ con el eje óptico del sistema. La radiación que sale se enfoca sobre

una pantalla (o un dispositivo de foto detección) mediante una lente. La condición

de interferencia constructiva es ahora

Dado que los espejos no son perfectam

estacionaria no se cumple exactamente, como tampoco se cumple si la longitud de

onda se varía. Si se grafica la intensidad de la radiación transmitida en función de

la longitud de onda se observa una curva continua co

onda de resonancia. El ancho de estos picos depende de la reflectividad

espejos. Cuando mayor es la reflectividad, el sistema se acerca más al caso ideal

y los picos tienden a deltas centradas en las posiciones de

muestra en la gráfica de la figura. Las ecuaciones que describen esta gráfica son:




óptico del sistema. La radiación que sale se enfoca sobre


de interferencia constructiva es ahora 2Lcosθ = N λ .

Dado que los espejos no son perfectamente reflectores, la condición de onda



la longitud de onda se observa una curva continua con picos en las longitudes de

onda de resonancia. El ancho de estos picos depende de la reflectividad


y los picos tienden a deltas centradas en las posiciones de resonancia, como se



óptico del sistema. La radiación que sale se enfoca sobre


ente reflectores, la condición de onda



n picos en las longitudes de

onda de resonancia. El ancho de estos picos depende de la reflectividad R de los


resonancia, como se




Es la fineza o resolución del interferómetro, que es una medida de la habilidad del

aparato para resolver o distinguir entre longitudes de

mayor es la reflectividad de los espejos, mayor será el cambio en la intensidad

transmitida para un cambio en la longitud de onda (o la frecuencia) de la onda

incidente. Otra figura de mérito usada en el interferómetro es el

libre (FSR), que se define como la separación en longitud de onda entre dos

máximos sucesivos, y vale:

banda” del aparato, ya que si se varía la longitud de onda más allá de la distancia

entre máximos sucesivos se repite la respuesta y no es posible distinguir entre

longitudes de onda separadas más allá de este rango.



o resolución del interferómetro, que es una medida de la habilidad del

aparato para resolver o distinguir entre longitudes de onda cercanas. Cuanto



incidente. Otra figura de mérito usada en el interferómetro es el rango es

(FSR), que se define como la separación en longitud de onda entre dos

máximos sucesivos, y vale: Este parámetro indica el “ancho de


sucesivos se repite la respuesta y no es posible distinguir entre

longitudes de onda separadas más allá de este rango.

o resolución del interferómetro, que es una medida de la habilidad del

onda cercanas. Cuanto



rango es pectral

(FSR), que se define como la separación en longitud de onda entre dos

Este parámetro indica el “ancho de


sucesivos se repite la respuesta y no es posible distinguir entre



CAPÍTULO 3- Guías De Onda De Conductores Reales.

Parece evidente que, en cualquier situación realista en la que se quieran estudiar

los campos dependientes del tiempo, deben existir límites o paredes en la región

bajo análisis. En estos casos las soluciones para los campos en el medio no

podrán ser, en general, ondas planas uniformes de extensión infinita, ya que,

además de satisfacer las ecuaciones de Maxwell, deben cumplir las condiciones

de frontera en los límites de la región que se considera. En este capítulo,

avanzando un paso más en el grado de confinamiento de los campos respecto a

las situaciones que se vieron en el capítulo anterior (con la presencia de medios

semi infinitos), se van a estudiar el comportamiento de las guías de ondas en

conductores reales y conductores no perfectos los cuales determinamos como

medio dieléctrico y por el cual esta propagación se produce está limitado, como

es el caso de dieléctrico.

Lección 11. Sistemas De Trasmisión Con Condiciones De Conductores No Perfectos.

Para entender más claramente un Sistemas De Trasmisión Con Condiciones De

Conductores No Perfectos, que en la mayoría de autores o libros de

telecomunicaciones se trata dicho tema como GUÍAS DIELÉCTRICA, para ser

más específico en el tema debemos tomar como base un modelo simplificado, que

para este caso se aplicaría uno de dos dimensiones. Esto es necesario para tener

soluciones analíticas que nos permitan comprender el fundamento y las

características de la propagación en este tipo de estructuras. En numerosos casos

se obtiene, de esta forma, una buena aproximación al dispositivo real. Como ya se

ha visto en otras lecciones anteriores y al estudiar las guías de paredes

conductoras, el problema que debemos resolver se reduce a obtener soluciones

de la ecuación de onda que satisfagan las condiciones de contorno del problema.

Se verá que las guías planas son capaces de soportar los dos tipos de modos



estudiados anteriormente: TE y TM. La forma de una guía dieléctrica plana es la

que se muestra en la figura 1. Sobre un substrato de vidrio, o de algún material

transparente, se deposita una fina capa de otro dieléctrico, con un grosor del

orden de la longitud de onda de la radiación luminosa. A esta capa se la denomina

capa guiante y será, principalmente, la encargada de confinar las ondas en su

interior. Sobre la capa guiante habrá aire o, quizá, una segunda capa de

recubrimiento dieléctrico.

Fig. 1 Geometría de una guía de onda dieléctrica plana Existen diversos métodos para fabricar guías dieléctricas. Puede crecerse la capa

guiante sobre el substrato, depositando sobre él, a alta temperatura, los

microcristales del material cristalino elegido. Esto se hace en, por ejemplo, la

técnica de sputtering, que es una de las más habituales.

En otras ocasiones se procede a bombardear con iones el substrato, provocando

la aparición en la superficie, y hasta cierta profundidad, de una capa con

propiedades diferentes a las del substrato original (por ejemplo, con iones de

titanio sobre niobato de litio, LiNbO3, se crea una capa de Ti:LiNbO3). También se

pueden producir guías difundiendo térmicamente átomos de metal en el interior del

substrato.



Otro método es el de fotolitografía, utilizando máscaras y ataques químicos o

fotoquímicos, de igual forma que en la fabricación de circuitos electrónicos

integrados. Este procedimiento es habitual en guías fabricadas sobre

semiconductores. En cualquier caso la capa guiante debe tener mayor índice de

refracción que la cubierta o el substrato, para que sea capaz de confinar la luz. La

diferencia entre el índice de refracción de la capa guiante y el del substrato no es,

sin embargo, muy elevada: aunque podría llegar a ser del 10% en su valor

numérico en alguna ocasión, en otras no pasa del 1%, que es suficiente para que

se produzca la reflexión total.

En nuestro análisis vamos a suponer que todos los dieléctricos implicados son

lineales, homogéneos e isótropos, aunque hoy en día se fabrican frecuentemente

guías inhomogéneas, en su perfil transversal, y también con dieléctricos cristalinos

anisótropos, como el LiNbO3, que tiene otras interesantes propiedades.

Lección 12. Disipación De Los Conductores: Constant e De Atenuación

En la práctica, la constante De atenuación se define como la propagación guiada

de la energía electromagnética que presenta pérdidas, que se ponen de manifiesto

en una disminución de la potencia transmitida. Las pérdidas en una guía de

paredes conductoras se deben a dos causas: al hecho de que el dieléctrico interior

no es perfecto, (lo cual debe caracterizarse más cuidadosamente con una

permisividad compleja), y a que el conductor tiene una conductividad finita.

En conclusión La atenuación de las guías de onda es causada por los siguientes

factores:

• Obstáculos o discontinuidades.

• Pérdidas inherentes a las corrientes que pasan por las paredes de la guía.

• Pérdidas en los dieléctricos, si es que los hay en el interior de la guía.



La medida de la atenuación QdB, de la guía en decibles queda determinada por el

parámetro α, de tal manera que:

Q = eαZ (12 –1) Donde z es la longitud de la guía y α el factor de atenuación, donde tenemos que alfa es igual a:

α = 2π/ λc (12 –2)

Por otro lado, de las ecuaciones (12 –1) y (12 –2) se tiene que para QdB:

Q dB = 20 log e αZ = 40πz /λc* log e

La cual se reduce a:

Q dB = 54.5z /λc * dB

De tal forma que la constante de atenuación se reducen de manera considerable

cuando se plantea la guía. Otro elemento importante en las guías son las cargas

resistivas, éste tipo de cargas de material dieléctrico resulta ser un acoplamiento

casi perfecto que suelen ubicarse al final de la guía para evitar reflexiones. La

energía absorbida por estas cargas se disipa por medio de radiadores.

Lección 13. Constante De Atenuación Para Diferentes Modos.

Para entender un poco mas esta lección y resumiendo de la forma mas sencilla y

eficiente podemos afirmar que hay que tener en cuenta dos contantes mas de

atenuación en las guías de ondas y a su vez dichas constante se aplican a los

diferentes modos de comportamiento de las guías de ondas; cabe anotar que se

deben de trabajar por separados dichos modos como lo son “Perdidas Dieléctricas

En Una Guía De Onda”, y “Perdidas Óhmicas O De Conducción”, para avanzar en

dicha temática podemos considerar:



- Perdidas Dieléctricas En Una Guía De Onda:

de atenuación aplicada a diferentes modos de propagación guiada de la energía

electromagnética, el cual se considera para los modos

constante de propagación será dada por

Despejando dicho modo se obtendría:

Ahora podemos suponer que se cumple para buenos dieléctricos

Determinada y mediante un

cuadrada de la ecuación 2; llegamos a:

Entonces el término imaginario de

atenuación en la dirección Z

expresión de αmn:



Perdidas Dieléctricas En Una Guía De Onda: se considera como una constante


electromagnética, el cual se considera para los modos TEmn o TMmn

stante de propagación será dada por:

(Ecuación. 1)

cho modo se obtendría:

(Ecuación

que se cumple para buenos dieléctricos la ecuación

mediante un desarrollo en serie de Taylor de la segunda raíz

la ecuación 2; llegamos a:

Entonces el término imaginario de β provoca la aparición de un término de

dirección Z, del tipo exp (-jαmnZ), podemos simplificar la

se considera como una constante


TEmn o TMmn cuya

(Ecuación. 2)

la ecuación

segunda raíz

provoca la aparición de un término de

), podemos simplificar la



Que se ha escrito en función de

pérdidas). αmn recibe el nombre de constante de atenuación del medio para

pérdidas dieléctricas.

-Pérdidas óhmicas o de conducción:

disipada en forma de calor por cada una de las cuatro superficies

puede utilizarse una expresión análoga a la de pérdidas óhmicas debida a una

resistencia R utilizada en teoría de circuitos:

Donde

La determinamos como la

Con La suma de todas las pérdidas producidas sobre las cuatro

superficies puede ser relacionada posteriormente con un coeficiente de atenuación

αC, para conseguir una expresión más cómoda de manejar. Para ello

procederemos de la siguiente manera: si

transportada por un modo en un punto cualquiera de la guía, que tomamos como



Que se ha escrito en función de η, la impedancia intrínseca del medio (sin

recibe el nombre de constante de atenuación del medio para

Pérdidas óhmicas o de conducción: Para calcular la potencia WC

disipada en forma de calor por cada una de las cuatro superficies (S


utilizada en teoría de circuitos:

La determinamos como la densidad de corriente superficial se tiene:

(Ecuación. 3)

La suma de todas las pérdidas producidas sobre las cuatro


, para conseguir una expresión más cómoda de manejar. Para ello

procederemos de la siguiente manera: si W0 corresponde a la potencia


, la impedancia intrínseca del medio (sin

recibe el nombre de constante de atenuación del medio para

absorbida y

Si) de la guía


La suma de todas las pérdidas producidas sobre las cuatro


, para conseguir una expresión más cómoda de manejar. Para ello

corresponde a la potencia




Z=0 por sencillez, entonces, la potencia

anterior mediante la expresión habitual:

Donde el ‘2’ de la exponencial obedece a que se trata de la atenuación de la

potencia, que es cuadrática respecto a los campos.

La potencia disipada por el conductor durante una distancia de propagación

puede aproximarse en general en la forma:

Y de allí:

Expresión en la que WC pue

Lección 1 4. Variación De La Constante De

Variación De La Constante De

como una frecuencia de corte el cual se define como

ocurrir con muy baja pérdida si las longitudes de onda operativas son m

que un cierto valor crítico, llamado

longitud de onda es más larga, o la correspondiente frecuencia de operación es

mas baja que el valor de corte, ocurrirán pérdidas extremadamente altas.

Para cada modo de propagación, hay una frecuencia o longitud de onda de corte

diferente. En la guía de ondas circular, el límite está determinado por el diámetro

interno de la guía de onda. El modo con la frecuencia de corte más baja que se



por sencillez, entonces, la potencia W(z) en un punto z se relaciona con la

anterior mediante la expresión habitual:


potencia, que es cuadrática respecto a los campos.

La potencia disipada por el conductor durante una distancia de propagación

puede aproximarse en general en la forma:

puede calcularse a partir de la Ecuación 3.

4. Variación De La Constante De Atenuación Con La Frecuencia.

Variación De La Constante De Atenuación Con La Frecuencia es determinada

como una frecuencia de corte el cual se define como la propagación donde

ocurrir con muy baja pérdida si las longitudes de onda operativas son m

que un cierto valor crítico, llamado cuttoff (límite o corte) de longitud de onda. Si la



cada modo de propagación, hay una frecuencia o longitud de onda de corte



se relaciona con la


La potencia disipada por el conductor durante una distancia de propagación z=l

Atenuación Con La Frecuencia.

Atenuación Con La Frecuencia es determinada

donde puede

ocurrir con muy baja pérdida si las longitudes de onda operativas son más cortas

(límite o corte) de longitud de onda. Si la



cada modo de propagación, hay una frecuencia o longitud de onda de corte





propagará en la guía de onda circular es el modo "transversal eléctrico 11" (o

como le llamaremos de aquí en más TE11) y es por ello llamado el "modo

dominante". En la tabla #1, se muestra la comparación de las frecuencias y

longitudes de onda de corte para el caso de guías de onda circulares y para

distintos modos de propagación, en función del diámetro de la guía de onda, el

cual demuestra:

Tabla # 1 De longitudes de onda y frecuencias de corte en función del diámetro.

Notas:

1. D es el diámetro de la guía de ondas.

2. El verdadero valor de λc para el modo TE11 es 1,7065 × D pero lo he

redondeado.

Es mejor elegir un diámetro de guía de onda tal que la frecuencia de operación

deseada se encuentre entre la frecuencia de corte de los modos TE11 y TM01,

minimizando el diámetro. La frecuencia de operación debe quedar siempre debajo

de la frecuencia de corte del modo TE21. De esta forma, sólo el modo dominante

se propaga con muy poca atenuación. Los otros modos directamente no pueden



propagarse (o se propagan con una aten

sólo la propagación de un modo es que los elementos de excitación de la guía se

calculan con mayor facilidad y operan en condiciones más simples.

Como se había mencionado anteriormente para encontrar la frecuencia

así como la longitud de onda en una guía circular se utilizan las funciones de

Bessel. Las primeras cuatro funciones de Bessel de primera clase son mostradas

en la siguiente Figura 1.

Figura 1. Funciones de Bessel de primera clase, Jm(hp).

Como la naturaleza de estas funciones es oscilatoria, esto nos da la oportunidad

de tabular los argumentos para los cuales éstas valgan cero. Un ejemplo de esto

sería el siguiente, de acuerdo a la Figura 1; la función J0(hp) vale cero cuando hp

= 2.405, 5.520, 8.654. Estas raíces

modos de propagación en la guía y nos sirven para calcular los

tabla 2, nos muestra las raíces mencionadas.



propagarse (o se propagan con una atenuación altísima). La ventaja de permitir


calculan con mayor facilidad y operan en condiciones más simples.

Como se había mencionado anteriormente para encontrar la frecuencia



Figura 1. Funciones de Bessel de primera clase, Jm(hp).

o la naturaleza de estas funciones es oscilatoria, esto nos da la oportunidad



0, 8.654. Estas raíces (n = 1,2,3...) originan la nomenclatura de los

modos de propagación en la guía y nos sirven para calcular los modos TM

, nos muestra las raíces mencionadas.

uación altísima). La ventaja de permitir


Como se había mencionado anteriormente para encontrar la frecuencia de corte



o la naturaleza de estas funciones es oscilatoria, esto nos da la oportunidad



n = 1,2,3...) originan la nomenclatura de los

modos TM . La



Tabla 2. De raíces (hp)

Debido a que la derivada de cada función J

y mínimos. Así, podemos ver en el diagrama que J’(hp) = 0 cuando hp = 1.841,

5.331, 8.536,... Y que cada una de estas raíces tiene asociado un modo mn

determinado. Por ejemplo cuando n = 1, la raíz es 1.841, con n = 2 es 5.331 y así

sucesivamente, con ayuda de estas raíces podemos obtener los

donde sus raíces se muestran en la tabla 3

Tabla 3. de raíces (hp)

Teniendo conocimiento de e

circular y modo de propagación TE se obtiene de:

Donde fc es la frecuencia de corte y

función de Bessel y por último a es el radio interno de la guía y

onda. Para una guía circular la longitud de onda de corte se obtiene:



Tabla 2. De raíces (hp)mn para las cuales Jm(hp) = 0.

Debido a que la derivada de cada función Jm(hp) vale cero en sus puntos máximos



cuando n = 1, la raíz es 1.841, con n = 2 es 5.331 y así

sucesivamente, con ayuda de estas raíces podemos obtener los

se muestran en la tabla 3.

Tabla 3. de raíces (hp)mn para las cuales J’m(hp) = 0.

Teniendo conocimiento de esto, la frecuencia de corte para una guía de onda

circular y modo de propagación TE se obtiene de:

es la frecuencia de corte y Smn es la solución de una ecuación de la

función de Bessel y por último a es el radio interno de la guía y v la

onda. Para una guía circular la longitud de onda de corte se obtiene:

(hp) vale cero en sus puntos máximos



cuando n = 1, la raíz es 1.841, con n = 2 es 5.331 y así

sucesivamente, con ayuda de estas raíces podemos obtener los modos TE ,

sto, la frecuencia de corte para una guía de onda

es la solución de una ecuación de la

la velocidad de



El modo de propagación en éste tipo de guías, con la longitud de onda de corte

más grande es la que tiene el valor de S

tabla 3, en esta guía el modo dominante es el modo TE

Algo importante con respecto al modo dominante de una guía rectangular y de una

circular es que con el primer modo de propagación TE de la guía de onda

rectangular con el de la onda circular, se logra hallar que los patrones de

distribución de los campos d

de ambas guías, lo cual hace posible que el modo dominante de una guía

rectangular pueda generar el modo dominante dentro de una guía circular, y

viceversa. Esto se logra con una unión de transición deno

modos, donde podemos ver su aplicación en los atenuadores de rotación.

Ahora si deseamos propagar un modo TM la frecuencia de corte se obtiene de:

Donde es la solución de una ecuación de Bessel.




más grande es la que tiene el valor de Smn más pequeño, por lo tanto, revisado la

a 3, en esta guía el modo dominante es el modo TE11.




distribución de los campos de estos modos son similares, sobre todo en el centro



viceversa. Esto se logra con una unión de transición denominada transformador de



Donde es la solución de una ecuación de Bessel.


más pequeño, por lo tanto, revisado la




e estos modos son similares, sobre todo en el centro



minada transformador de





En matemática, las funciones de Bessel

más tarde generalizadas por Friedrich Bessel, son soluciones canónicas

diferencial de Bessel:

Donde es un número real o complejo. El caso más común es

aunque la solución para no enteros es similar. El número

funciones de Bessel asociadas a dicha ecuación.

Dado que la ecuación anterior es una

soluciones linealmente independientes. A aunque

es conveniente definir diferentes funciones de Bessel para estos dos parámetros, pues las

funciones de Bessel en función del parámetro

funciones de Bessel se denominan también funciones cilíndricas, o armónicos cilíndricos porque

son solución de la ecuación de Laplace

La Ecuación de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a la

la ecuación de Helmholtz por el

cilíndricas oesféricas. Por ello, las funciones de Bessel son especialmente importantes en muchos

problemas de propagación de ondas, potenciales estáticos y cualquier otro problema

las ecuaciones de Helmholtz o Laplace en simetrías cilíndricas o esféricas. Cuando se resuelven

sistemas en coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero (

en problemas resueltos en coordenadas esféricas, se obti

semientero ( ), por ejemplo:

Ondas electromagnéticas en

Modos transversales electromagnéticos

Conducción del calor en objetos cilíndricos.

Modos de vibración de una membrana

Difusión en una red.

También se usan funciones de Bessel en otro tipo de problemas como en procesado de

señales.



funciones de Bessel , primero definidas por el matemático Daniel Bernoulli

Friedrich Bessel, son soluciones canónicas y(x)

es un número real o complejo. El caso más común es cuando es un

no enteros es similar. El número se denomina orden de las

funciones de Bessel asociadas a dicha ecuación.

Dado que la ecuación anterior es una ecuación diferencial de segundo orden, tiene dos

linealmente independientes. A aunque y dan como resultado la misma función,


funciones de Bessel en función del parámetro son funciones suaves casi doquiera. Las


ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas.

La Ecuación de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a la ecuación de Laplace

por el método de separación de variables en

oesféricas. Por ello, las funciones de Bessel son especialmente importantes en muchos

propagación de ondas, potenciales estáticos y cualquier otro problema


sistemas en coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero (

en problemas resueltos en coordenadas esféricas, se obtienen funciones de Bessel de orden

), por ejemplo:

en guías de onda cilíndricas.

Modos transversales electromagnéticos en guías ópticas.

Conducción del calor en objetos cilíndricos.

Modos de vibración de una membrana delgada circular (o con forma de anillo).


Daniel Bernoulli y

de la ecuación

es un entero ,

se denomina orden de las

de segundo orden, tiene dos

dan como resultado la misma función,


son funciones suaves casi doquiera. Las


ecuación de Laplace o a

en coordenadas

oesféricas. Por ello, las funciones de Bessel son especialmente importantes en muchos

propagación de ondas, potenciales estáticos y cualquier otro problema descrito por


sistemas en coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero ( ) y

enen funciones de Bessel de orden




Lección 1 5. Modos Degenerados.

Es importante destacar la gran diferencia en este tema como

Para una mayor compresión en dicho tema debemos abordar en primera instancia

lo relacionado En guías de ondas el tema denominado como

modo fundamental, “Modo dominante TE

frecuencia de corte es menor. Si partimos de una frecuencia elevada y con

numerosos modos excitados en la guía, y vamos disminuyendo paulatinamente la

frecuencia, sería el último modo en desaparecer (en entrar en corte). A partir de la

ecuación:

Y si asumimos que las dimensiones transversales de la guía cumplen la relación

a>b según la siguiente figura 1:

Fig. 1 Guía de onda conductora de sección rectangular

Podemos ver que el modo de menor frecuencia de corte es el de orden 10 (uno

cero). Se comprueba, además, que los modos TM comienzan en el modo TM11

(en general no son posibles los modos TMm0 ni los TM0n), por lo que el modo

fundamental es el modo TE10. El siguiente modo será el de orden 01, 20 o,

incluso, 30, en función de cuál sea la relaci

de la guía. Las frecuencias de corte de los posibles primeros modos son:



5. Modos Degenerados.

Es importante destacar la gran diferencia en este tema como también lo influyente;


lo relacionado En guías de ondas el tema denominado como modo dominante, o

Modo dominante TE 10“; de la guía de onda a aquel cuya

ia de corte es menor. Si partimos de una frecuencia elevada y con




según la siguiente figura 1:

Guía de onda conductora de sección rectangular

Podemos ver que el modo de menor frecuencia de corte es el de orden 10 (uno

omprueba, además, que los modos TM comienzan en el modo TM11



incluso, 30, en función de cuál sea la relación concreta entre las dimensiones


también lo influyente;


modo dominante, o

de la guía de onda a aquel cuya

ia de corte es menor. Si partimos de una frecuencia elevada y con




Podemos ver que el modo de menor frecuencia de corte es el de orden 10 (uno-

omprueba, además, que los modos TM comienzan en el modo TM11



ón concreta entre las dimensiones a y b




En el caso particular en que

misma frecuencia de corte y, de hecho, la misma constante de propagación

(β10 = β01). Cuando esto sucede se dice que son

La expresión particular del modo dominante TE10 (si

Ejemplo 5.2: Sea una guía

cuyo interior es aire. Calcule la frecuencia de corte de los tres primeros modos

guiados.

-Podemos hacer una tabla con los primeros valores de

modos.

No es necesario calcular más

frecuencia de corte es 7,5 GHz Los dos siguientes son el TE

TM11).



En el caso particular en que a = b ocurre que los modos TE10 y TE


). Cuando esto sucede se dice que son modos degenerados

La expresión particular del modo dominante TE10 (si a>b) es:

Sea una guía rectangular, de dimensiones a=2,0 cm y b=1,3 cm,

interior es aire. Calcule la frecuencia de corte de los tres primeros modos

Podemos hacer una tabla con los primeros valores de m y n para los posibles

No es necesario calcular más valores. El modo fundamental es el TE

frecuencia de corte es 7,5 GHz Los dos siguientes son el TE01 y el TE

y TE01 tienen la


modos degenerados .

rectangular, de dimensiones a=2,0 cm y b=1,3 cm,

interior es aire. Calcule la frecuencia de corte de los tres primeros modos

para los posibles

valores. El modo fundamental es el TE10, cuya

y el TE11 (o el

208001 Unidad 1 Modulo

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