Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión11 Unidad IAnálisis de CA en estado estable...

Análisis de CA en estado Análisis de CA en estado estableestable

C. R. Lindo CarriónC. R. Lindo Carrión 1111C. R. Lindo CarriónC. R. Lindo Carrión

Unidad IUnidad I Análisis de CA en estado Análisis de CA en estado estableestable

Conferencia 2Conferencia 2


C. R. Lindo CarriónC. R. Lindo Carrión 22

ObjetivosObjetivos

Utilizar correctamente las relaciones de Impedancia y Utilizar correctamente las relaciones de Impedancia y Admitancia para los elementos : resistores, capacitores Admitancia para los elementos : resistores, capacitores e inductores.e inductores.

Aplicar adecuadamente los conceptos de: relaciones de Aplicar adecuadamente los conceptos de: relaciones de fases, adelanto y atraso entre las variables de corriente fases, adelanto y atraso entre las variables de corriente y voltaje a través de un elemento eléctrico.y voltaje a través de un elemento eléctrico.

Aplicar las técnicas de análisis y teoremas de redes lineales para redes excitadas senoidalmente, compuestas por elementos resistivos, capacitivos e inductivos. ContenidoContenido

1.51.5 Impedancia y Admitancia.Impedancia y Admitancia.1.61.6 Técnicas de Análisis. (redes en escalera, análisis Técnicas de Análisis. (redes en escalera, análisis

nodal, análisis de malla)nodal, análisis de malla)



La impedancia se define como la razón del voltaje fasorial La impedancia se define como la razón del voltaje fasorial VV a la corriente fasorial a la corriente fasorial II, así:, así:

1.4 Impedancia y Admitancia1.4 Impedancia y Admitancia

ZZ(jω) = R(ω) + jX(ω), la parte real es la que hasta ahora (jω) = R(ω) + jX(ω), la parte real es la que hasta ahora conocíamos y es la Resistencia y la parte compleja que es conocíamos y es la Resistencia y la parte compleja que es conocida como Reactancia. conocida como Reactancia.

Entonces la impedancia tiene dos componentes:Entonces la impedancia tiene dos componentes:

ImpedanciaImpedancia

zivM

M

iM

vM ZI

V

I

V

)(I

VZ [Ohms[Ohms

] ]

Como puede ser visto, una Como puede ser visto, una característica importantecaracterística importante de la de la Impedancia es que Impedancia es que depende de la frecuenciadepende de la frecuencia..

XjRZ z Z



y la fase es: y la fase es:

entonces la magnitud de la entonces la magnitud de la impedancia es: impedancia es:

podemos escribir que la Resistencia y la Reactancia serán:podemos escribir que la Resistencia y la Reactancia serán:

R = ZcosθR = Zcosθzz y X = Zsenθ y X = Zsenθzz..

En la siguiente tabla resumimos la impedancia para cada En la siguiente tabla resumimos la impedancia para cada uno de los elemento pasivos conocidos hasta el momento.uno de los elemento pasivos conocidos hasta el momento.

22 XRZ

R

Xz

1tan

Elementos Elementos pasivos pasivos

Impedancia Impedancia

RR ZZ = R = R

LL ZZ = jωL = jX = jωL = jXLL = ωL = ωL|90|90oo, , X XLL = ωL = ωL

CC ZZ = 1/jωC = -jX = 1/jωC = -jXCC = (1/ωC) = (1/ωC)|-90|-90oo, , X XCC = = 1/ωC1/ωC



Las Leyes de Kirchhoff de los Voltajes y las Corrientes, son Las Leyes de Kirchhoff de los Voltajes y las Corrientes, son válidas en el dominio de la frecuenciaválidas en el dominio de la frecuencia. También podemos . También podemos decir que las impedancias en serie al igual que las decir que las impedancias en serie al igual que las Resistencias en serieResistencias en serie, se suman, es decir,, se suman, es decir,

ZZss = = ZZ11 + + ZZ22 + + ZZ33 + ∙∙∙ + + ∙∙∙ +ZZnn

Para el caso de las impedancias en paralelo, es igual al Para el caso de las impedancias en paralelo, es igual al caso de las Resistencias en paralelo, La caso de las Resistencias en paralelo, La impedancia impedancia equivalente paraleloequivalente paralelo, es el inverso de la suma de todos los , es el inverso de la suma de todos los inverso, es decir,inverso, es decir,

n

p

ZZZZ

Z1111

1

321



Ejemplo:Ejemplo:

Primero encontraremos las impedancias de cada elemento, Primero encontraremos las impedancias de cada elemento, para el caso para el caso a)a) f = 60Hz, tenemos: f = 60Hz, tenemos:

Para el circuito que se muestra en la Figura Para el circuito que se muestra en la Figura 1.12 encuentre la corriente i(t) para las 1.12 encuentre la corriente i(t) para las frecuencias: frecuencias: a)a) f = 60Hz y f = 60Hz y b)b) f = 400Hz. f = 400Hz. Considere v(t) = 50cos(ωt + 30º) V, R = Considere v(t) = 50cos(ωt + 30º) V, R = 25Ω, L = 20mH y C = 50µF.25Ω, L = 20mH y C = 50µF.Solución:Solución:

ZZRR = = 25Ω25Ω, , ZZLL = jωL = j(2 = jωL = j(2*60)(20m)= *60)(20m)= j7.54Ωj7.54Ω, y , y ZZCC = 1/jωC = 1/jωC = -j/(2= -j/(2*60)(50µ) = *60)(50µ) = -j53.05Ω-j53.05Ω

Ahora como las tres impedancias están en serie, se suman Ahora como las tres impedancias están en serie, se suman para obtener la impedancia equivalente, así:para obtener la impedancia equivalente, así:



ZZss = = ZZRR + + ZZLL + + ZZCC = 25 – j45.51Ω = 25 – j45.51Ω

Aplicando la ley de Ohm al circuito final, tenemos:Aplicando la ley de Ohm al circuito final, tenemos:

así la corriente i(t) será:así la corriente i(t) será:

Aoo

s

22.9196.022.6192.51

30500

Z

VI

i(t) = 0.96cos(120i(t) = 0.96cos(120t + 91.22º) At + 91.22º) A

para el caso para el caso b)b) f = 400Hz, tenemos: f = 400Hz, tenemos:

ZZRR = = 25Ω25Ω, , ZZLL = jωL = j(2 = jωL = j(2*400)(20m)= *400)(20m)= j50.27Ωj50.27Ω, y , y ZZCC = 1/jωC = -j/(2= 1/jωC = -j/(2*400)(50µ)= *400)(50µ)= -j7.96Ω-j7.96Ω



Ahora como las tres impedancias están en serie, se suman Ahora como las tres impedancias están en serie, se suman para obtener la impedancia equivalente, así:para obtener la impedancia equivalente, así:

ZZss = = ZZRR + + ZZLL + + ZZCC = 25 + j42.31Ω = 25 + j42.31Ω

Aplicando la ley de Ohm al circuito final, tenemos:Aplicando la ley de Ohm al circuito final, tenemos:

así la corriente i(t) será:así la corriente i(t) será:

Aoo

s

42.2902.142.5914.49

30500

Z

VI

i(t) = 1.02cos(800i(t) = 1.02cos(800t – 29.42º) At – 29.42º) A

Es importante notar que a la frecuencia de Es importante notar que a la frecuencia de 60Hz, la 60Hz, la reactancia del circuito es capacitivareactancia del circuito es capacitiva, ya que la parte , ya que la parte imaginaria es negativa, sin embargo, imaginaria es negativa, sin embargo, en f = 400Hz la en f = 400Hz la reactancia es inductivareactancia es inductiva, ya que la parte imaginaria es , ya que la parte imaginaria es positiva.positiva.



AdmitanciaAdmitancia

Otra cantidad que es muy útil en el análisis de circuitos de Otra cantidad que es muy útil en el análisis de circuitos de corriente alterna es la admitancia. Es el recíproco de la corriente alterna es la admitancia. Es el recíproco de la Impedancia, es decir,Impedancia, es decir,

La parte real G, es la que hasta ahora conocíamos y es la La parte real G, es la que hasta ahora conocíamos y es la Conductancia y la parte compleja B, es conocida como Conductancia y la parte compleja B, es conocida como Susceptancia. Podemos entonces escribir,Susceptancia. Podemos entonces escribir,

entonces podemos encontrar cada una de las partes como: entonces podemos encontrar cada una de las partes como:

jBGY y V

I

ZY

1

jXRjBG

1

22 XR

RG

22 XR

XB

22 BG

GR

22 BG

BX



En la siguiente tabla resumimos la admitancia para cada En la siguiente tabla resumimos la admitancia para cada uno de los elemento pasivos conocidos hasta el uno de los elemento pasivos conocidos hasta el momento.momento.

Para el caso de las admitancias en paralelo es similar al de Para el caso de las admitancias en paralelo es similar al de las las Admitancias en paraleloAdmitancias en paralelo, se suman, es decir,, se suman, es decir,

Elementos Elementos pasivospasivos

AdmitanciaAdmitancia

RR YY = 1/R= G = 1/R= G

LL YY = 1/jωL = (1/ωL) = 1/jωL = (1/ωL)|-90|-90oo

CC YY = jωC = ωC = jωC = ωC|90|90oo

YYpp = = YY11 + + YY22 + + YY33 + ∙∙∙ + + ∙∙∙ +YYnn



Para el caso de las admitancias en serie, es igual al caso de Para el caso de las admitancias en serie, es igual al caso de las Admitancias en serie, La admitancia equivalente serie, las Admitancias en serie, La admitancia equivalente serie, es el inverso de la suma de todos los inverso, es decir,es el inverso de la suma de todos los inverso, es decir,

Ejemplo:

n

s

YYYY

Y1111

1

321

Para el circuito que se muestra en Para el circuito que se muestra en la Figura 1.13 encuentre la la Figura 1.13 encuentre la corriente fasorial corriente fasorial II. Considere . Considere VVss = 60= 60|45|45oo V. V.



Ahora aplicando la ley de Ohm al circuito final, tenemos:Ahora aplicando la ley de Ohm al circuito final, tenemos:

Primero encontraremos las admitancias de cada elemento:Primero encontraremos las admitancias de cada elemento:

Solución:

entonces:

SR

R 2

11

ZY S

j

LL 4

1

ZY

Sj

p 42

1Y

Aj oooosp 43.1854.33456057.2656.04560

4

1

2

1

VYI



Similar que el caso con las Resistencias, encontraremos Similar que el caso con las Resistencias, encontraremos circuitos en los cuales, cuando intentamos reducir el circuito circuitos en los cuales, cuando intentamos reducir el circuito a una impedancia equivalente a una impedancia equivalente ZZ, encontramos que en ningún , encontramos que en ningún lado hay una impedancia en serie o en paralelo con otra. lado hay una impedancia en serie o en paralelo con otra.

Transformaciones Y-Δ y Δ-YTransformaciones Y-Δ y Δ-Y

Entonces podemos resolver el problema usando Entonces podemos resolver el problema usando transformaciones Y a delta (transformaciones Y a delta () o delta a Y, según convenga. ) o delta a Y, según convenga. Estas conversiones pueden ser apreciadas en las Figuras 1.14 Estas conversiones pueden ser apreciadas en las Figuras 1.14 (a) y (b)(a) y (b)



Se procede de similar forma como lo hicimos con el caso de Se procede de similar forma como lo hicimos con el caso de las resistencias: de ambos circuitos tomemos las siguientes las resistencias: de ambos circuitos tomemos las siguientes impedancias:impedancias:

Ahora si resolvemos este conjunto de ecuaciones para Ahora si resolvemos este conjunto de ecuaciones para ZZaa, , ZZbb y y ZZcc, obtenemos:, obtenemos:

312

312

ZZZ

ZZZZZZ

baab

213

213

ZZZ

ZZZZZZ

cbbc

321

321

ZZZ

ZZZZZZ

acca

321

21

ZZZ

ZZZ

a

321

32

ZZZ

ZZZ

b

321

31

ZZZ

ZZZ

c



Una forma sencilla para recordar este procedimiento para Una forma sencilla para recordar este procedimiento para pasar de pasar de - Y es: insertar la Y dentro de la - Y es: insertar la Y dentro de la y la impedancia y la impedancia que se busca, será igual al producto de la impedancia entre que se busca, será igual al producto de la impedancia entre las cuales se encuentra (en la las cuales se encuentra (en la ) dividido entre la suma de ) dividido entre la suma de las tres impedancias.las tres impedancias.

De manera similar, si resolvemos ahora para De manera similar, si resolvemos ahora para ZZ11, , ZZ22 y y ZZ33 obtenemos:obtenemos:

b

cacbba

Z

ZZZZZZZ

1

c

cacbba

Z

ZZZZZZZ

2

a

cacbba

Z

ZZZZZZZ

3

Al igual que en el caso anterior, una forma sencilla para Al igual que en el caso anterior, una forma sencilla para recordar este procedimiento para pasar de Y -recordar este procedimiento para pasar de Y - es: insertar la es: insertar la en la Y y la impedancia que se busca, será igual a la suma en la Y y la impedancia que se busca, será igual a la suma de los producto de las combinaciones de dos impedancias de los producto de las combinaciones de dos impedancias (de la Y) dividido entre la impedancia del lado opuesto a la (de la Y) dividido entre la impedancia del lado opuesto a la que se esta encontrando (de la Y).que se esta encontrando (de la Y).



Para el caso balanceado en que Para el caso balanceado en que ZZaa = = ZZbb = = ZZcc y y ZZ11 = = ZZ22 = = ZZ33 entoncesentonces

y y ZZ = 3 = 3 ZZYY

Encuentre la impedancia equivalente del circuito que se Encuentre la impedancia equivalente del circuito que se muestra en la Figura 1.15muestra en la Figura 1.15

ZZ3

1Y

Ejemplo:Ejemplo:



Primero convertiremos la parte de arriba del Δ en Y, para ello Primero convertiremos la parte de arriba del Δ en Y, para ello comenzaremos con encontrar la impedancia entre el nodo a comenzaremos con encontrar la impedancia entre el nodo a y en centro de la Y, así:y en centro de la Y, así:

luego la impedancia entre el nodo b y el centro de la Y,luego la impedancia entre el nodo b y el centro de la Y,

Solución:Solución:

67.067.045493.04523

904

33

)2(2

11422

)42(2j

j

j

jjj

jj o

o

o

aZ

67.09067.003

902

)1(3

)1)(2(

11422

)1)(42(j

j

jj

jjj

jjj oo

o

bZ

luego la impedancia entre el nodo c y el centro de la Y,luego la impedancia entre el nodo c y el centro de la Y,

67.0

3

2

)1(3

)1(2

11422

)1(2

j

j

jjj

jcZ



Esto puede verse en la Figura 1.16, luego reducimos, las Esto puede verse en la Figura 1.16, luego reducimos, las impedancias que se encuentran en serie, como son: 0.67 - j1 impedancias que se encuentran en serie, como son: 0.67 - j1 Ω y 2 + j0.67 Ω, las cuales se encuentran ahora en paralelo, Ω y 2 + j0.67 Ω, las cuales se encuentran ahora en paralelo, y resolviendo nos da:y resolviendo nos da:

06.056.064.556.0

02.3215.3)52.1811.2)(18.562.1(

67.02167.0)67.02)(167.0(

jjjjj o

o

oo

pZ



Resultando el circuito equivalente de la Figura 1.17, que Resultando el circuito equivalente de la Figura 1.17, que como podemos observar, todas las impedancias se como podemos observar, todas las impedancias se encuentran en serie, entonces la impedancia equivalente encuentran en serie, entonces la impedancia equivalente ZZ es:es:

ZZ = 2 +0.67 +j0.67 +0.56 – j0.06 = = 2 +0.67 +j0.67 +0.56 – j0.06 = 3.23 + j0.61 Ω3.23 + j0.61 Ω

Figura Figura 1.171.17



Para el circuito que se muestra Para el circuito que se muestra en la Figura 1.18, encuentre en la Figura 1.18, encuentre cada una de las variables del cada una de las variables del circuito.circuito.

Técnicas de análisisTécnicas de análisis

Ejemplo:Ejemplo:


Tenemos dos alternativas para resolverlo, primero, encontrar Tenemos dos alternativas para resolverlo, primero, encontrar la impedancia equivalente, vista por la fuente la impedancia equivalente, vista por la fuente VVss y luego y luego aplicar la ley de Ohm, para encontrar la corriente aplicar la ley de Ohm, para encontrar la corriente II11..

Segundo, encontrar la impedancia vista por Segundo, encontrar la impedancia vista por VV11 y luego hacer y luego hacer un divisor de voltaje, para encontrar un divisor de voltaje, para encontrar VV11. Procederemos . Procederemos haciendo lo primero.haciendo lo primero.



Para encontrar la impedancia vista por la fuente Para encontrar la impedancia vista por la fuente VVss, tenemos , tenemos la impedancia de 8Ω en serie con la impedancia de –j4Ω, esa la impedancia de 8Ω en serie con la impedancia de –j4Ω, esa impedancia equivalente queda en paralelo con la impedancia impedancia equivalente queda en paralelo con la impedancia de j6Ω y ese equivalente obtenido queda en serie con la de j6Ω y ese equivalente obtenido queda en serie con la impedancia de 4Ω, así:impedancia de 4Ω, así:

Ahora aplicamos la ley de Ohm, para obtener la corriente Ahora aplicamos la ley de Ohm, para obtener la corriente II11::

oo

o

eq j

j

j

j

jj

jj39.4951.64

04.1412.4

43.6383.264

4

24124

28

48244

486

)48)(6(4

Z

oeq jj 94.3061.994.424.894.424.44 Z

Aoo

o

eq

s 06.295.294.3061.9

60241

Z

VI

El voltaje El voltaje VV11 puede ser encontrado haciendo la LKV a la malla puede ser encontrado haciendo la LKV a la malla de la izquierda, así:de la izquierda, así:



VV11 = = VVss - 4 - 4 I I11 = 24| = 24|6060oo - 10| - 10|29.0829.08oo = 12 + j20.78 -8.74 – j4.86 = 12 + j20.78 -8.74 – j4.86 = 3.26 + j15.92 = 16.25|= 3.26 + j15.92 = 16.25|78.4378.43oo V V

Teniendo el voltaje Teniendo el voltaje VV11 podemos aplicar la ley de Ohm para podemos aplicar la ley de Ohm para encontrar la corriente encontrar la corriente II22, así:, así:

También podemos encontrar También podemos encontrar II33, a partir de , a partir de VV11, aplicando , aplicando también la ley de Omh, así:también la ley de Omh, así:

Aj

oo

o

58.1171.2906

42.7825.16

61

2

V

I

Aj

oo

o

10582.156.2694.842.7825.16

481

3

V

I

Ahora Ahora VV22, puede ser encontrado, aplicando nuevamente la , puede ser encontrado, aplicando nuevamente la ley de Ohm, así:ley de Ohm, así:

VV22 = (-j4) = (-j4)II33 = (4| = (4|9090oo)(1.82|)(1.82|105105oo) = 7.28|) = 7.28|1515oo V V



Usando el método de análisis Usando el método de análisis nodal, encuentre la corriente nodal, encuentre la corriente IIoo en el circuito mostrado en la en el circuito mostrado en la Figura 1.19Figura 1.19


Ejemplo:Ejemplo:


Primero ubicamos nuestra respuesta, es decir Primero ubicamos nuestra respuesta, es decir IIoo, para , para encontrarlo necesitamos el voltaje del nodo encontrarlo necesitamos el voltaje del nodo 22, entonces , entonces aplicando la ley de Ohm, la corriente aplicando la ley de Ohm, la corriente IIoo, será:, será:

Entre los nodos 1 y 2, existe un supernodo, cuya ecuación Entre los nodos 1 y 2, existe un supernodo, cuya ecuación será:.será:.

12VI o

VV22 – – VV11 = 6| = 6|00oo, , (1)(1) es la primera ecuación. es la primera ecuación.



La segunda ecuación la obtenemos de aplicar LKC al La segunda ecuación la obtenemos de aplicar LKC al supernodo, así:supernodo, así:

Como necesitamos encontrar Como necesitamos encontrar VV22, de la ecuación (1) , de la ecuación (1) despejamos despejamos VV11 en función de en función de VV22,,

reacomodando reacomodando tenemos:tenemos:

o

jj02

1

1

1

1

1

121

VV (2)(2)

VV11 = = VV22 - 6| - 6|00oo, y la insertamos en la ecuación (2), para tener:, y la insertamos en la ecuación (2), para tener:

oo

jj02

1

1

1

1

1

062

2

V

V

jjj

oo

1

0602

1

1

1

1

1

12V



efectuando operaciones efectuando operaciones tenemos:tenemos:

despejando el voltaje V2, será:

= 2.5 – j1.5 A = = 2.5 – j1.5 A = 2.92|2.92|-30.96-30.96oo A A

por lo tanto la corriente por lo tanto la corriente IIoo será: será:

j

jjj

1

622

2

1212V

j

j

1

282 2V Simplificando

tenemos:tenemos:

Vjj

j o

o

o

5.15.296.30915.2452

04.1417

1

42

V

12VI o



Ahora resolvamos el ejemplo Ahora resolvamos el ejemplo anterior, pero usando el anterior, pero usando el método de análisis de malla, método de análisis de malla, encontremos la corriente encontremos la corriente IIoo en en el circuito mostrado en la el circuito mostrado en la Figura 1.20Figura 1.20


Ejemplo:Ejemplo:


Primero tenemos que asignar las corrientes de llama, las Primero tenemos que asignar las corrientes de llama, las elegimos como se muestra en la Figura 1.21elegimos como se muestra en la Figura 1.21



Luego ubicamos nuestra Luego ubicamos nuestra respuesta, es decir respuesta, es decir IIoo, , para encontrarlo para encontrarlo necesitamos la corriente necesitamos la corriente malla malla II22 entonces entonces aplicando la LKV a la aplicando la LKV a la malla malla 22, así:, así:

necesitaremos aplicar la LKV a la supermalla 3, así,necesitaremos aplicar la LKV a la supermalla 3, así,

(2 – j)(2 – j)II22 + (1 – j) + (1 – j)II33 = 0, = 0, (1)(1), pero como nos interesa , pero como nos interesa II22, , despejamos despejamos II33 en función de en función de II22

23 )1(

)2(II

j

j

(1 + j +1 – j)(1 + j +1 – j)II33 + (1 + j) + (1 + j)II11 + (1 - j) + (1 - j)II22 = -6, pero = -6, pero II11 es una es una ecuación de restricción, ecuación de restricción, II11 = 2| = 2|00oo A, sustituyendo, A, sustituyendo, II11 e e II33 en en esta ecuación, tenemos:esta ecuación, tenemos:



resolviendo esto , obtenemos:resolviendo esto , obtenemos:

que es la respuesta encontrada en el ejercicio anterior.que es la respuesta encontrada en el ejercicio anterior.

(4 – j2)(4 – j2)II22 - 4 + j2 - 4 + j2II22 = 6 –j6, por lo tanto la corriente = 6 –j6, por lo tanto la corriente II22 será: será:

6)1(2)1()1(

)2(2 22

II jjj

j

Ajjj

5.15.22

3

2

5

4

6102

I

Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión11 Unidad IAnálisis de CA en estado estable...

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