ANÁLISIS DIMENSIONAL

Es una rama de la matemática aplicada a la Física que se encarga de estudiar las distintas formas en que se relacionan las magnitudes fundamentales con las magnitudes derivadas y éstas con sus unidades; lo que ha provocado el desarrollo de leyes, reglas y propiedades entre éstas.

Un análisis correcto de las unidades y/o dimensiones de las magnitudes físicas nos permitirá:1º Relacionar una magnitud física derivada con otras elegidas como fundamentales.2º Establecer el grado de verdad de una fórmula.3º Elaborar fórmulas empíricas para fenómenos de simple desarrollo.

FÓRMULAS DIMENSIONALES

EXPRESIONES MATEMÁTICAS IDENTIFICAR

MAGNITUD FÍSICA DERIVADA

MAGNITUDES FÍSICAS

MULTIPLICACIÓNDIVISIÓNPOTENCIACIÓN RADICACIÓN

OPERADOR DIMENSIONAL : [ ]

MAGNITUDES FÍSICAS FUNDAMENTALES

DIMENSIONES(EXPONENTES)

son nos permiten utilizan operaciones de

por medio de un

La relación entre una

y las

que relacionan

teniendo en cuenta sus

FÓRMULAS DIMENSIONALESLas fórmulas dimensionales son aquellas relaciones de igualdad mediante la cuáles una magnitud derivada queda expresada en base a las magnitudes fundamentales de un modo general.

Así, si x es una magnitud derivada, se establece que [x] es la fórmula dimensional de x , tal que:

[x]=LaMbTc θdIeJfNg En ésta relación general se pueden identificar a los exponentes a, b, c, d, e, f, g ; quienes en adelante se llamarán las dimensiones de “x”, las cuáles serán siempre números reales. En principio una dimensión nos indica el número de veces que una magnitud fundamental está presente en una fórmula dimensional.

Las fórmulas dimensionales se obtienen a partir de fórmulas matemáticas o físicas

ECUACIONES DIMENSIONALES

Son aquellas relaciones de igualdad en donde algunas magnitudes físicas son conocidas y otras, o no lo son, o tienen dimensiones desconocidas.

L3M[X] – L3[Y]=L3MT-1 Incógnitas:[X], [Y] (Magnitudes)

LsT3θ-2=L4Trθ2r-u Incógnitas: r,s,u (Números)

REGLAS IMPORTANTES

• Las magnitudes físicas así como sus unidades no cumplen con las leyes de la adición o sustracción, pero sí con las demás operaciones aritméticas.

Ejemplo: L2+ L2+L2+L2= L2

LT-2+ LT-2+LT-2+LT-2= LT-2

• Todos los números en sus diferentes formas son cantidades adimensionales, y su fórmula dimensional es la unidad. Es aquella que carece de dimensiones, es decir el exponente de las magnitudes fundamentales en la fórmula dimensional es cero (0). De este modo se tiene que la fórmula dimensional de una cantidad adimensional es:

[ cantidad adimensional]= 1

Cantidades adimensionales: Números reales, funciones numéricas (trigonométricas, algorítmicas, exponenciales, etc), ángulos planos y sólidos.

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD

“Toda ecuación será dimensionalmente correcta si los términos que componen una adición o sustracción son de iguales dimensiones, y si en ambos miembros de la igualdad aparecen las mismas magnitudes afectadas de los mismos exponentes”

[A]+[B]=[C]+[D] [A]=[B]=[C]=[D]

FÓRMULA EMPÍRICA

• Es aquella relación obtenida en base a una comprobada dependencia de una magnitud (a) con otras (b,c,d), las mismas que se podrán mediante una resultante numérica (k), tal que:

a=k.bx.cy.dz

donde x, y, z tienen valores apropiados que permiten verificar la igualdad.

Este tipo de relación nos permite establecer fórmulas físicas antes de someterse a su validación experimental.

• El fenómeno de la figura nos permite establecer una fórmula empírica para la fuerza F que recibe el boxeador.

F= k.m2.vy.tz

FV

mF v t

PARA RECORDAR

MAGNITUDES FÍSICAS

Es todo aquello que se puede expresar cuantitativamente, es decir; que es susceptible a ser medido.

¿Para qué sirven las magnitudes físicas? Sirven para traducir en números los resultados de las

observaciones.

CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES FÍSICAS POR SU ORIGEN A) Magnitudes Fundamentales Son aquellas que sirven de base para escribir las

demás magnitudes. Las magnitudes fundamentales en el sistema internacional (S.I) son:

Magnitud fundamental

Símbolo Unidad en el S.I

Longitud L metroMasa M kilogramoTiempo T segundoTemperatura termodinámica

Kelvin

Intensidad de corriente eléctrica

I Amperio

Intensidad luminosa J candelaCantidad de sustancia

N mol

B) Magnitudes Derivadas Son aquellas magnitudes que están

expresadas en función de las magnitudes fundamentales. Ejemplos son:

Magnitud derivada Fórmula dimensional

Unidad en el S.I

Área L2 m2

Volumen L3 m3

Densidad ML-3 kg/m3

Velocidad LT-1 m/sAceleración LT-2 m/s2

Fuerza MLT-2 NewtonTrabajo ML2T-2 JoulesPotencia ML2T-3 WattPresión ML-1T-2 PascalVelocidad angular T-1 rad/sAceleración angular

T-2 rad/s2

Frecuencia T-1 HertzImpulso MLT-1 mkg/sCaudal L3T-1 m3/sCarga eléctrica IT A.s