ANLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZAS.El anlisis dimensional es un mtodo para verificar ecuaciones y planificar experimentos sistemticos. A partir del anlisis dimensional se obtienen una serie de grupos adimensionales, que van a permitir utilizar los resultados experimentales obtenidos en condiciones limitadas, a situaciones en que se tengan diferentes dimensiones geomtricas, cinemticas y dinmicas; y muchas veces en casos en que las propiedades del fluido y del flujo son distintas de las que se tuvieron durante los experimentos. La importancia del anlisis dimensional viene dada por la dificultad del establecimiento de ecuaciones en determinados flujos, adems de la dificultad de su resolucin, siendo imposible obtener relaciones empricas y teniendo que recurrir al mtodo experimental. HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL. En toda ecuacin fsica, cada trmino deber tener las mismas dimensiones: la ecuacin debe ser dimensionalmente homognea; adems la divisin de todos los trminos por uno cualquiera de ellos, hara la ecuacin adimensional, y cada cociente sera un grupo adimensional. Las dimensiones de las magnitudes empleadas normalmente en Mecnica de Fluidos, incluyen slo una o ms de las siguientes 4 dimensiones: M (masa), L (longitud), T (tiempo) y T (temperatura):

TEOREMA II DE BUCKINGHAM. El teorema 3 de BUCKINGHAM establece que en un problema fsico en que se tengan n variables que incluyan m dimensiones distintas; las variables se pueden agrupar en mini grupos adimensionales independientes. Siendo V1, V2,..., Vn las variables que intervienen en el problema, se debe tener una funcin que las relacione: f(V1, V2, ..., Vn) = 0; si G1,G2,...,Gn-m, representan los grupos adimensionales que representan a las variables V1, V2, ..., Vn; el teorema de BUCKINGHAM tambin establece que existe una funcin de la forma: g(G1,G2,...,Gn-m) = 0. El mtodo para determinar, los grupos adimensionales (Gi, i=1,...,n-m); consiste en la seleccin de hmi de las hni variables, con diferentes dimensiones, de manera que contengan entre todas las hmi dimensiones, y emplearlas como variables repetitivas, formando cada uno de los hn-mi grupos adimensionales a partir de la siguiente expresin genrica:

A los grupos adimensionales, se les suele denominar parmetros adimensionales 3 de BUCKINGHAM, al ser su expresin un producto ro adimensional (smbolo de productoro) Los exponentes se determinan por la condicin de que cada grupo resulte adimensional; se sustituyen las dimensiones de las variables por ellas mismas y los exponentes de M,L,T,-,..., se igualan a cero (adimensional dado del parmetro). Consideremos como ejemplo, la fuerza de arrastre en flujo externo, de un fluido sobre un determinado objeto. Se tiene que la fuerza de arrastre (FD) depende de: la viscosidad absoluta del fluido (P), la densidad del fluido (U), la velocidad relativa entre fluido y objeto (v) y de una longitud caracterstica del objeto (L). Las cinco variables: FD, P, U,v, y L, aportan 3 dimensiones distintas: M,L y T; con lo que por el teorema de BUCKINGAM se tendrn 5-3=2 grupos adimensionales:

Los exponentes de cada grupo se determinan a partir de sus ecuaciones dimensinales:

Con lo que el grupo adimensional G1 es:

Que da lugar al denominado coeficiente de arrastre CD; en donde se introduce el factor (1/2) para tener la presin dinmica:

De forma anloga se obtiene el segundo parmetro adimensional: G2=PL-1v-1U-1; que da lugar al nmero de REYNOLDS Re:

PARMETROS ADIMENSIONALES. Las magnitudes que intervienen en el movimiento de un fluido, se pueden agrupar en tres tipos: - magnitudes mecnicas del fluido - magnitudes trmicas del fluido - magnitudes del flujo

Los parmetros adimensionales asociados a las magnitudes anteriores, vienen determinados por relaciones entre los diversos efectos que se pueden considerar:

NORMALIZACIN DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACIN. Un mtodo para obtener los parmetros adimensionales que controlan un determinado flujo, es el de normalizacin, en donde se rescriben las ecuaciones diferenciales de conservacin, de forma que aparezcan variables adimensionales, y adems que su orden de magnitud sea la unidad. Para la normalizacin de las ecuaciones, se adimensionalizan todas las variables por un valor caracterstico, de tal forma que los valores adimensionales (*) sean prximos a la unidad:

NORMALIZACIN DE LA ECUACIN DE NAVIER-STOKES:Nmeros de REYNOLDS, de EULER, de FROUDE y de STROUHAL ECUACION DE NAVIER-STOKES

Queda la ecuacin de navier-stokes normalizada y adimensional es

Los nmeros adimensionales que se tienen son:

NMERO DE REYNOLDS: Controla el trmino de los efectos de la viscosidad;

Re es pequeo, se tiene flujo con viscosidad dominante, y el termino al que afecta el Re es importante; en el movimiento de las partculas, las altas interacciones por viscosidad las ordenan en la direccin del flujo, con lo que sus trayectorias no se cruzan, se tiene rgimen laminar.

Si el Re es elevado, en principio los efectos viscosos son despreciables, excepto en las zonas del flujoDonde se tengan altos gradientes de velocidad; las partculas se mueven desordenadamente, entrecruzndose continuamente las trayectorias, se tiene rgimen turbulento.

NUMERO DE EULER:Controla el trmino de los efectos de la presin termodinmica con respecto a la presin dinmica. Por ejemplo en flujos confinados que trabajan a alta presin, se tienen Eu grande; en cambio en flujo con superficie libre el Eu es pequeo. En el flujo en turbo mquinas hidrulicas, es importante para evaluar los efectos de la cavitacin, el denominado nmero de cavitacin

En flujo externo, se evala la resultante de las fuerzas de superficie sobre un determinado objeto, con los coeficientes de sustentacin y de arrastre, que derivan del nmero de Euler:

NUMERO DE FROUDE: Controla los efectos del campo central de fuerzas en donde pueda estar el fluido, lo ms normal es que sea exclusivamente el campo gravitacional. Cuanto mayor ser el Fr menor ser la importancia de la fuerza gravitacional.

En flujo confinado (limitado por una superficie rgida). El orden de magnitud de las fuerzas de inercia es mayor que el de las fuerzas gravitacionales, con lo que se tiene Fr altos, y por lo tanto son poco importantes los efectos gravitacionales.

En flujo con superficie libre,Se tiene Fr bajos del orden de la pequea perturbacin en la superficie libre, la velocidad de propagacin de las ondas superficiales unidad; y su valor determina el diverso comportamiento del flujo ante perturbaciones. Si se introduce una que se producen vienen determinadas por:

Con lo que el nmero de Froude3 es el cuadrado de la relacin entre la velocidad del flujo y la velocidad de las perturbaciones en la superficie libre:

TEORA DE MODELOS.En los ensayos experimentales del flujo en un determinado prototipo, a veces no es posible realizar los Ensayos con el propio prototipo, por su tamao o por la dificultad de reproducir las condiciones reales de flujo, con lo que se realizan los ensayos con modelos a escala (geomtricamente semejantes), Por ejemplo, en el estudio experimental de hlices marinas, se realizan dos tipos fundamentales de ensayos con hlices modelo a escala reducida: los de autopropulsin en un canal de agua dulce y los de cavitacin en un tnel de cavitacin cerrado con agua caliente y a depresin; en la evaluacin del Comportamiento de una carena, se realizan ensayos de arrastre con modelos a escala reducida en agua dulce, tanto en canales de aguas tranquilas como en piscinas con generadores de olas. La teora de modelos permite obtener las condiciones de ensayo del modelo a partir de las condiciones de flujo del prototipo y las magnitudes del prototipo a partir de las medidas experimentales del modelo.

SEMEJANZA...Prototipo, modelo y sus respectivos flujos considerados, estn relacionados entre si por tres tipos de semejanza: geomtrica, cinemtica y dinmica. Semejanza geomtrica, con un factor de escala de longitudes constante6 entre modelo y prototipo (NL):

Semejanza cinemtica del campo de velocidades, con un factor de escala de velocidades entre modelo y prototipo

La relacin entre los dos factores de escala: de longitudes y de velocidades, viene determinada por el factor de escala de tiempos:

Semejanza dinmica de los campos de las distintas fuerza que pueden intervenir en el flujo, con un factor de escala de fuerzas, que debe ser constante, entre modelo y prototipo:

El factor de escala de fuerzas, es el que va a permitir establecer las condiciones del flujo en el ensayoDel modelo a partir de las condiciones del flujo en el prototipo, y obtener. Fuerzas, potencias y rendimientos. Del prototipo a partir de sus correspondientes valores experimentales en el modelo.Los campos de fuerzas que pueden aparecer en la interaccin de un fluido y un objeto, pueden ser:

Fuerzas de inercia, determinadas por la variacin temporal de la cantidad de movimiento, y cualitativamente podemos expresarlas por:

Fuerzas de rozamiento por viscosidad, determinadas por el campo de tensiones, que a su vez viene determinado por la viscosidad y el campo de velocidades, y podemos expresarlas cualitativamente por:

Fuerzas gravitatorias, determinadas por la posicin en el campo gravitatorio, expresadas por:

Fuerzas de presin, determinadas por el campo de presiones:

Fuerzas de elasticidad, determinadas por la compresibilidad del fluido, o bien por la velocidad de pequeas perturbaciones en el seno del fluido:

Fuerzas de tensin superficial, determinadas por:

Para la semejanza dinmica total, el factor de escala de fuerzas debe ser constante, independientemente del campo de fuerzas considerado:

De la relacin anterior se obtienen los siguientes resultados

relacin entre fuerzas de inercia y fuerzas viscosas

Es decir, para la semejanza de los campos de fuerzas de inercia y de esfuerzos viscosos, entre modelo y prototipo, el nmero de REYNOLDS del modelo debe ser el mismo que el del prototipo.

(2) relacin entre fuerzas de inercia y fuerzas gravitatorias

Es decir, para la semejanza de los campos de fuerzas de inercia y fuerzas gravitatorias, entre modelo y prototipo, el nmero de FROUDE del modelo debe ser el mismo que el del prototipo.

(3) relacin entre fuerzas de inercia y fuerzas elsticas

Es decir, para la semejanza de los campos de fuerzas de inercia y de compresibilidad, entre modelo y prototipo, el nmero de MACH del modelo debe ser el mismo que el del prototipo.

(4) relacin entre fuerzas de inercia y fuerzas de tensin superficial

Es decir, para la semejanza de los campos de fuerzas de inercia y de fuerzas de tensin superficial, entre modelo y prototipo, el nmero de WEBER del modelo debe ser el mismo que el del prototipo.

(5) relacin entre fuerzas de inercia y fuerzas de presin

Es decir, para la semejanza de los campos de fuerzas de inercia y de fuerzas de presin, entre modelo y prototipo, el nmero de EULER del modelo debe ser el mismo que el del prototipo.Para la semejanza dinmica total entre modelo y prototipo, el factor de escala de fuerzas debe ser constante, y con ello se tiene las siguientes igualdades entre los parmetros adimensionales de modelo y prototipo:

NUMEROS ADIMENSIONALES CONTROLANTES EN SEMEJANZA.

A continuacin se establecen una pautas cualitativas en el anlisis dimensional de diversos flujos, paraEstablecer que nmeros adimensionales tienen mayor importancia y cuales se pueden no considerar.(1) En flujo incompresible, estacionario y sin superficie libre, el nmero adimensional controlante es el Re. Es decir se podr considerar semejanza si el nmero de Reynolds del modelo es el mismo que el del prototipo.

(2) En flujo incompresible, estacionario y con superficie libre, los nmeros controlantes son el Re y el Fr. Pero normalmente no es posible mantener los dos nmeros simultneamente8 iguales; con lo que en este caso se considera controlante el nmero de Froude.

(3) En flujo compresible, estacionario y sin superficie libre, los nmeros controlantes son el Re y el Ma; porno poder mantener simultneamente las igualdades, se considera el ms controlante el nmero de Mach.

(4) En general si el Re es muy grande, se puede no considerar sus efectos, siendo controlantes el Ma o el Fr. No obstante el Re marca en que tipo de flujo se est, pero si se est en flujo turbulento completamente desarrollado, la influencia del Re es prcticamente constante.

(5) Si el flujo es no estacionario se debe considerar adems el nmero de Strouhal. Es importante destacar que se pueden tener dos tipos de procesos no estacionarios:

flujo no estacionario con condiciones de contorno estacionarias. flujo no estacionario con condiciones de contorno no estacionarias.

El primer caso de condicin de contorno estacionaria, se tiene en la formacin de la estela de torbellinosDe Von Karman, en el flujo externo de la interaccin de un flujo con un objeto. Aguas arriba del objeto, el flujo puede ser bastante uniforme, pero aguas abajo se origina una estela que integra una serie de vrtices contra rotantes, que van creciendo en el sentido del flujo, hasta alcanzar un tamao crtico, y son arrastrados por la propia corriente: el crecimiento y desprendimiento de vrtices es alternativo y no estacionario. La frecuencia de desprendimiento de vrtices es funcin de Re, y viene determinada por el nmero de Strouhal:

El segundo caso de condicin de contorno no estacionaria, se tiene cuando algunos de los contornosGeomtricos con los que interacciona el flujo, tiene posiciones no estacionarias (dependen del tiempo).

Procedimiento detallado para el empleo del Teorema de Buckingham

(1) Listar todos los parmetros significativos (donde n es el nmero de parmetros). Estos se seleccionan de acuerdo a la experiencia de la persona. Si se sospecha que una variable influye esta se debe colocar, ya que si no se incluyen todos los parmetros se obtendr una relacin que no podr ofrecer una imagen completa del fenmeno. Si este no afecta la variable dependiente aparecer un nmero adicional que los experimentos demostraran que se puede eliminar.

(2) Seleccionar un conjunto fundamental (primario) de dimensiones. Por ejemplo MLtT o FLtT (donde r es el nmero de dimensiones primarias presentes en el problema). Obsrvese que en problemas de transferencia de calor se debe incluir la temperatura T, y en sistemas elctricos la carga q.

(3) Listar las dimensiones de todos los parmetros expresndolos en funcin de las dimensiones primarias. Segn el sistema de dimensiones escogido.

(4) De la lista de parmetros elaborada en el paso 1, seleccionar aquellos que se repetirn en los parmetros adimensionales que se han de formar. Dichos parmetros repetitivos debern ser iguales en nmero a las dimensiones primarias r, y deber buscarse no dejar fuera ninguna dimensin. Los parmetros repetitivos no debern tener las mismas dimensiones netas, es decir no debern ser diferentes solo por el exponente. Por ejemplo no deber incluirse en los parmetros repetitivos a una longitud (L) y a un momento de inercia (L4 ). Los parmetros repetitivos podrn aparecer en todos los parmetros adimensionales que se obtengan; por lo tanto no deber incluirse el parmetro considerado como dependiente en estos parmetros repetitivos.

(5) Establecer ecuaciones dimensionales que combinen los parmetros repetitivos seleccionados en le paso 4 con cada uno de los parmetros restantes, buscando formar parmetros adimensionales, se obtendrn n m ecuaciones dimensionales. Se resuelven estas ecuaciones dimensionales para obtener la n m parmetros adimensionales.

(6) Verificar que cada parmetro obtenido resulte efectivamente adimensional. Para ello si inicialmente se escogi el sistema LMT, se recomienda verificar la adimensionalidad utilizando el sistema FLtT y viceversa.