Ayuda 7 - Corriente Alterna y Circuitos Eléctricos de CA
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Mg. John Cubas Sánchez FÍSICA III Módulo: 2 Unidad: 4 Semana: 7
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Mg. John Cubas Sánchez
FÍSICA III
Módulo: 2 Unidad: 4 Semana: 7
CORRIENTE ALTERNA
2Mg. John Cubas Sánchez
ORIENTACIONES
• Para la presente unidad se recomienda
revisar las Leyes de Kirchhoff.
• Revisar el concepto de Vectores rotantes
aprehendidos en Física I.
• Revisar los conceptos de resistencia,
capacitancia e inductancia.
• Revisar los conceptos de derivación e
integración.
3Mg. John Cubas Sánchez
CONTENIDOS TEMÁTICOS
• Corriente alterna
• Fasores
• Corriente trifásica
• Potencia eléctrica
• Oscilaciones eléctricas y circuitos
de corriente alterna
• Ejercicios de aplicación
4Mg. John Cubas Sánchez
Se denomina corriente alterna (abreviada CA en español y
AC en inglés, de Alternating Current) a la corriente eléctrica en
la que la magnitud y dirección varían cíclicamente. La forma de
onda de la corriente alterna más comúnmente utilizada es la
de una onda senoidal (figura 1), puesto que se consigue una
transmisión más eficiente de la energía. Sin embargo, en
ciertas aplicaciones se utilizan otras formas de onda
periódicas, tales como la triangular o la cuadrada.
La corriente eléctrica es el movimiento de electrones libres a
lo largo de un conductor que está conectado a un Circuito en
el cual existe una diferencia de potencial.
En tanto exista una diferencia de potencial, fluirá corriente,
cuando la diferencia de potencial no varía, la corriente fluirá
en una sola dirección, por lo que se le llama corriente
continua o directa (C.C. o C.D.).
Mg. John Cubas Sánchez 5
figura 1 a
figura 1 b
En 1882 el físico, matemático, inventor e ingeniero Nicola Tesla, diseñó y construyó
el primer motor de inducción de CA. Posteriormente el físico William Stanley,
reutilizó, en 1885, el principio de inducción para transferir la CA entre dos Circuitos
eléctricamente aislados.
La idea central fue la de enrollar un par de bobinas en una base de hierro común,
denominada bobina de inducción. De este modo se obtuvo lo que sería el precursor
del actual transformador. El sistema usado hoy en día fue ideado
fundamentalmente por Nicola Tesla; la distribución de la corriente alterna fue
comercializada por George Westinghouse. Otros que contribuyeron en el desarrollo
y mejora de este sistema fueron Lucien Gaulard, John Gibbs y Oliver Shallenger
entre los años 1881 y 1889. La corriente alterna superó las limitaciones que
aparecían al emplear la corriente continua (CC), el cual es un sistema ineficiente
para la distribución de energía a gran escala debido a problemas en la transmisión
de potencia, comercializado en su día con gran agresividad por Thomas Edison.
Nikola tesla William Stanley George Westinghouse Thomas Edison
Mg. John Cubas Sánchez 6
¿Que aplicación práctica tiene? Puede dar la sensación, que por el hecho de cambiar su dirección,
pareciera que lo que haya hecho en una, lo haría obsoleto al cambiar de dirección. Pero esto no
sucede. Cuando hablamos de un Circuito, los electrones no desarrollan, pudiéramos decir, un
trabajo útil. Aquí lo importante es el efecto que producen las cargas por las cuales fluyen.
El efecto es el mismo, no importando la dirección de la corriente, ejemplo: cuando por un resistor
fluye una corriente, produce calor, ya sea esta directa o alterna, entonces el calor es el efecto que
se producirá en el resistor, en el ciclo positivo o negativo de la corriente alterna.
La primera corriente descubierta y por lo mismo usada, fue la corriente directa (C.D.), pero en
cuanto se descubrió la corriente alterna, esta fue sustituyendo a la anterior. Hoy, el uso de la
corriente alterna podemos decir que es la que mayormente se usa en el mundo, aunque en
algunos lugares, se sigue usando corriente directa.
La razón de esta diferencia en el uso, se debe a que se aplica lo mismo que la corriente directa,
con la ventaja que producirla y llevarla hasta los hogares es más barato y fácil, otra de las razones
es que la corriente alterna se puede aplicar donde no lo podemos hacer con la C.D. Hay que hacer
la salvedad que la corriente alterna no es adecuada para algunas aplicaciones, solamente se
puede usar corriente directa, por ejemplo en los Circuitos de los equipos electrónicos no
funcionarían con corriente alterna, por lo mismo se hace la conversión a corriente directa por
medio de rectificadores y filtros.
Mg. John Cubas Sánchez 7
Figura 2: Parámetros característicos de una onda
senoidal
Una señal sinusoidal, a(t): tensión, v(t), o corriente, i(t),
se puede expresar matemáticamente según sus
parámetros característicos, como una función del tiempo
por medio de la siguiente ecuación:
donde
A0 es la amplitud en volts o amperes (también llamado valor máximo o de pico),
w la frecuencia angular o pulsación en radianes/segundo,
t el tiempo en segundos, y
β el ángulo de fase inicial en radianes.
Dado que la frecuencia angular es más interesante para matemáticos que para
ingenieros, la fórmula anterior se suele expresar como:
donde f es la frecuencia normal en hertz (Hz) y equivale a la inversa del período:
Los valores más empleados en la distribución son 50 Hz y 60 Hz
Mg. John Cubas Sánchez 8
)()( w tsenAta o
)2()( tfsenAta o
Tf
1
A continuación se indican otros valores significativos de una señal sinusoidal:
Valor instantáneo (a(t)): Es el que toma la ordenada en un instante, t,
determinado, “a” puede ser tensión v(t) o corriente eléctricas i(t).
Valor pico a pico (App): Diferencia entre su pico o máximo positivo y su pico
negativo. Dado que el valor máximo de sen (x) es +1 y el valor mínimo es -1, una
señal sinusoidal que oscila entre +A0 y –A0. El valor de pico a pico, escrito como
AP-P, es por lo tanto (+A0) – (– A0) = 2 A0.
Valor medio (Amed): Valor del área que forma con el eje de abscisas partido por
su período. El área se considera positiva si está por encima del eje de abscisas
y negativa si está por debajo. Como en una señal sinusoidal el semiciclo positivo
es idéntico al negativo, su valor medio es nulo. Por eso el valor medio de una
onda sinusoidal se refiere a un semiciclo. Mediante el cálculo integral se puede
demostrar que su expresión es la siguiente:
Mg. John Cubas Sánchez 9
o
med
AA
2
VALORES SIGNIFICATIVOS:
Valor eficaz (A): su importancia se debe a que este valor es el que produce el
mismo efecto calorífico que su equivalente en corriente continua. Matemáticamente,
el valor eficaz de una magnitud variable con el tiempo, se define como la raíz
cuadrada de la media de los cuadrados de los valores instantáneos alcanzados
durante un período:
En la literatura inglesa este valor se conoce como R.M.S. (root mean square, valor cuadrático
medio), y de hecho en matemáticas a veces es llamado valor cuadrático medio de una
función.
En el campo industrial, el valor eficaz es de gran importancia ya que casi todas las
operaciones con magnitudes energéticas se hacen con dicho valor. De ahí que por rapidez y
claridad se represente con la letra mayúscula de la magnitud que se trate (I, V, P, etc.).
Matemáticamente se demuestra que para una corriente alterna senoidal el valor eficaz viene
dado por la expresión:
El valor A, tensión o intensidad, es útil para calcular la potencia consumida por una
carga. Así, si una tensión de corriente continua (CC), VCC, desarrolla una cierta
potencia P en una carga resistiva dada, una tensión de CA de Vrms desarrollará la
misma potencia P en la misma carga si Vrms = VCC.
Mg. John Cubas Sánchez 10
T
o
dttaT
A )(1 2
2
orms
AA
Para ilustrar prácticamente los conceptos anteriores se considera, por ejemplo, la
corriente alterna en la red eléctrica doméstica en Europa: cuando se dice que su
valor es de 230 V CA, se está diciendo que su valor eficaz (al menos nominalmente)
es de 230 V, lo que significa que tiene los mismos efectos caloríficos que una
tensión de 230 V de CC. Su tensión de pico (amplitud), se obtiene despejando de la
ecuación antes reseñada:
Así, para la red de 230 V CA, la tensión de pico es de aproximadamente 325 V y de
650 V (el doble) la tensión de pico a pico.
Su frecuencia es de 50 Hz, lo que equivale a decir que cada ciclo de la onda
sinusoidal tarda 20 ms en repetirse. La tensión de pico positivo se alcanza a los 5
ms de pasar la onda por cero (0 V) en su incremento, y 10 ms después se alcanza
la tensión de pico negativo. Si se desea conocer, por ejemplo, el valor a los 3 ms de
pasar por cero en su incremento, se empleará la función sinusoidal:
Mg. John Cubas Sánchez 11
2rmso VV
VsensentfsenVtv o 93,262)3,0(325)10.3.50.2(325)2()( 3
REPRESENTACIÓN FASORIAL:
Una función senoidal puede ser representada por un vector giratorio (figura 3), al que
se denomina fasor o vector de Fresnel, que tendrá las siguientes características:
Girará con una velocidad angular ω.
Su módulo será el valor máximo o el eficaz, según convenga
Figura 3: Representación fasorial de una onda senoidal
La razón de utilizar la representación fasorial está en la simplificación que ello supone.
Matemáticamente, un fasor puede ser definido fácilmente por un número complejo, por
lo que puede emplearse la teoría de cálculo de estos números para el análisis de
sistemas de corriente alterna.
Mg. John Cubas Sánchez 12
Consideremos, a modo de
ejemplo, una tensión de CA cuyo
valor instantáneo sea el siguiente:
Figura 4: Ejemplo
de fasor tensión
(E. P.: eje polar).
Tomando como módulo del fasor
su valor eficaz
En forma polar:
Específicamente
binómica.
Mg. John Cubas Sánchez 13
)4
1000(4)(
tsentv
45/2222 4j
eV
)44
(cos22 jsenV
jV 22
VV
V orms
2
222
4V
En forma trigonométrica:
En forma polinómica:
la representación gráfica de la
anterior tensión será la que se
puede observar en la figura 4, y se
anotará:
Mg. John Cubas Sánchez 14
La generación trifásica de energía eléctrica es la forma más común y la que provee un uso
más eficiente de los conductores. La utilización de electricidad en forma trifásica es común
mayoritariamente para uso en industrias donde muchas de las máquinas funcionan con
motores para esta tensión.
La corriente trifásica está formada por un conjunto de tres
formas de onda, desfasadas una respecto a la otra 120º,
según el diagrama que se muestra en la figura.
Las corrientes trifásicas se generan mediante alternadores
dotados de tres bobinas o grupos de bobinas, arrolladas
sobre tres sistemas de piezas polares equidistantes entre sí.
El retorno de cada uno de estos Circuitos o fases se acopla en un
punto, denominado neutro, donde la suma de las tres corrientes, si
el sistema está equilibrado, es cero, con lo cual el transporte puede
ser efectuado usando solamente tres cables.
Esta disposición sería la denominada conexión en estrella,
existiendo también la conexión en triángulo o delta en las que las
bobinas se acoplan según esta figura geométrica y los hilos de
línea parten de los vértices.
En los Circuitos tipo estrella, las corrientes de fase y las corrientes de línea son
iguales y los voltajes de línea son veces mayor que los voltajes de fase y están
adelantados 30° a éstos:
En los Circuitos tipo triángulo o delta, pasa lo
contrario, los voltajes de fase y de línea, son iguales y
la corriente de fase es veces más pequeña que la
corriente de línea y está adelantada 30° a ésta:
Mg. John Cubas Sánchez 15
3
)30(3 faselínea VV
3
)30(3
líneafase
II
Existen por tanto cuatro posibles interconexiones entre generador y carga:
Estrella - Estrella
Estrella - Delta
Delta - Estrella
Delta - Delta
es el valor máximo que obtiene la onda y Q es una distancia angular y se mideen grados sexagesimales.
Aclarando un poco esta última parte y analizando el gráfico, se ve que la ondasenoidal es periódica (se repite la misma forma de onda continuamente)
Si se toma un período de ésta (un ciclo completo), se dice que tiene unadistancia angular de 360 grados.
Y con ayuda de la fórmula que ya dimos, e incluyendo Q (distancia angular para
la cual queremos saber el voltaje) obtenemos el voltaje instantáneo de nuestrointerés.
Para cada distancia angular diferente el valor del voltaje es diferente, siendo enalgunos casos positivo y en otros negativo (cuando se invierte su polaridad).
El sistema trifásico es un tipo particular dentro de los
sistemas polifásicos de generación eléctrica, aunque con
mucho el más utilizado.
El voltaje varía continuamente, y para saber quevoltaje tenemos en un momento específico,utilizamos la fórmula;
V = Vp Sen (Q)
Donde: Vp = V pico (ver gráfico)
Mg. John Cubas Sánchez 16
El Circuito ideal sería aquel que aprovechara
toda la energía que produce la fuente, o sea,
no habría pérdida, pero en la práctica esto no
es posible. Parte de la energía producida se
pierde en los conductores en la misma fuente.
En lo posible se trata de minimizar este
consumo inútil. La mayor parte de la potencia
se pierde en forma de calor.
Mg. John Cubas Sánchez 17
Mg. John Cubas Sánchez 18
01. Circuito LC. Oscilaciones libres
02. Circuito LCR. Oscilaciones amortiguadas.
03. Circuito LCR conectado a un fem alterna. Oscilaciones forzadas
05. Elementos de un Circuito de corriente alterna
06. Resistencia conectada a un generador de corriente alterna
07. Condensador conectado a un generador de corriente alterna
08. Bobina conectada a un generador de corriente alterna
09. Circuito en serie LRC
10. Resonancia en un Circuito LCR en serie
Mg. John Cubas Sánchez 19
El equivalente mecánico del Circuito LC son las oscilaciones de un
sistema formado por una masa puntual unida a un resorte
perfectamente elástico y liso.
El equivalente hidráulico es un sistema formado por dos vasos
comunicantes.
En primer lugar, estudiamos las oscilaciones que se producen en un
Circuito LC
En la figura de la derecha, se muestra el Circuito cuando el
condensador se está descargando, la carga q disminuye y la
intensidad i aumenta.
Mg. John Cubas Sánchez 20
La fem en la bobina se opone
al incremento de intensidad
La ecuación del Circuito es :
Vab + Vba = 0
Como i = - dq / dt, ya que la carga q disminuye con el tiempo, llegamos a
la siguiente ecuación diferencial de segundo orden
Esta es la ecuación diferencial
de un Movimiento Armónico
Simple de frecuencia angular
propia o natural:
Mg. John Cubas Sánchez 21
0C
q
dt
diL
02
2
C
q
td
qdL
CLo
1w
01
2
2
qLCtd
qd
02
2
2
xtd
xdow
Carga:
La solución de la ecuación diferencial es: q = Q sen ( wo t + ),
donde la amplitud Q y la fase inicial se determinan a partir de las condiciones
iniciales, la carga del condensador q0 y la intensidad de la corriente eléctrica en el
Circuito i0 en el instante inicial t = 0.
Intensidad:
Derivando la expresión de la carga q obtenemos la intensidad i
i = dq / dt = Q wo cos (wo t + )
Energía:
La energía del Circuito en el instante t es la suma de la energía del campo eléctrico
en el condensador y la energía del campo magnético en la bobina.
Se puede fácilmente comprobar que la suma de
ambas energías es constante e independiente
del tiempo.
Mg. John Cubas Sánchez 22
22
2
1
2
1Li
C
qEEE BE
Las figuras representan el estado del oscilador cada cuarto de periodo.
1. En un instante inicial el condensador está
completamente cargado con una carga Q. Toda la
energía está acumulada en el condensador en
forma de campo eléctrico.
2. El condensador se empieza a descargar, la
intensidad aumenta, en la bobina se produce
una fem autoinducida que se opone al
incremento de intensidad. Al cabo de un cuarto
de periodo, se alcanza la intensidad máxima :
i = Qwo
Mg. John Cubas Sánchez 23
3. La intensidad empieza a disminuir, en la bobina se
produce una fem que se opone a que la intensidad
disminuya. El condensador se empieza a cargar, el
campo en el condensador cambia de sentido. Al
cabo de un cuarto de periodo más, el condensador
ha adquirido la carga máxima Q, y la intensidad en
la bobina se ha reducido a cero.
4. Ahora comienza de nuevo a descargarse el
condensador, la intensidad aumenta, el campo
en la bobina cambia de sentido. Al cabo de un
cuarto de periodo más, la intensidad alcanza
su valor máximo (en valor absoluto).
i = Qwo
5. La intensidad decrece, el condensador empieza a cargarse, el campo eléctrico
en el condensador cambia de sentido. Al cabo de un cuarto de periodo más, se
ha alcanzado la situación inicial de partida.
Mg. John Cubas Sánchez 24
Las oscilaciones libres no se producen en un Circuito real ya que todo Circuito presenta una
resistencia.
En la figura de la derecha, se muestra el Circuito cuando el condensador se está
descargando, la carga q disminuye y la intensidad i aumenta.
La fem en la bobina se opone al incremento de intensidad.
La ecuación del Circuito es :
Mg. John Cubas Sánchez 25
Vab + Vbc + Vca = 0 0C
q
dt
diLiR
Como i = - dq / dt, ya que la carga q disminuye con el tiempo, llegamos a la
siguiente ecuación diferencial de segundo orden:
Mg. John Cubas Sánchez 26
01
2
2
qLCtd
dq
L
R
td
qd
Se presentan tres casos particulares:
• cuando = w0, entonces la frecuencia de la oscilación w = 0, se
denomina oscilación críticamente amortiguada
• cuando > w0 , entonces la frecuencia de la oscilación w es un número
imaginario, y se denomina oscilación sobreamortiguada.
• cuando < w0, entonces la frecuencia de la oscilación w es un número
real, se denomina oscilación subamortiguada
22
0 ww
Donde:
CLo
1w
02
2
C
q
td
dqR
td
qdL
L
R
2
En las oscilaciones subamortiguadas,
* la carga máxima del condensador va disminuyendo.
* la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo.
• la energía del sistema disminuye debido a que se disipa en la
resistencia por efecto Joule.
Es fácil encontrar las relaciones que debe cumplir la capacidad C, resistencia R, y
autoinducción L del Circuito, para que se presenten los distintos casos de oscilación
- Subamortiguadas
- Críticamente amortiguadas
- Sobreamortiguadas
Mg. John Cubas Sánchez 27
La solución de la ecuación diferencial de las OSCILACIONES SUBAMORTIGUADAS es:
Donde:
la amplitud Q y la fase inicial , se determinan a partir de las condiciones iniciales,
* la carga del condensador qo y
* la intensidad de la corriente eléctrica en el Circuito io en el instante inicial t = 0.
)( w tseneQq t
Las oscilaciones amortiguadas desaparecen al cabo de cierto tiempo, para mantener la
oscilación en el Circuito podemos conectarla a una fem alterna de frecuencia w .
La ecuación del Circuito es
Como i = - dq / dt , si la carga q disminuye con el tiempo, llegamos a la siguiente ecuación
diferencial de segundo orden:Ecuación similar a la
estudiada para describir
las oscilaciones forzadas
de una masa unida a un
resorte elástico.
Mg. John Cubas Sánchez 28
Vab + Vbc + Vcd + Vda = 0 0)( C
qtsenV
dt
diLiR o w
)(1
2
2
tsenL
Vq
LCtd
dq
L
R
td
qd o w
L
R
2
CLo
1w
Donde:
Un Circuito de corriente alterna consta de una combinación de elementos (resistencias,
capacidades y autoinducciones) y un generador que suministra la corriente alterna.
Una fem alterna se produce mediante la rotación de una bobina con velocidad
angular constante dentro de un campo magnético uniforme producido entre los
polos de un imán.
v = Vo sen ( w t )
Mg. John Cubas Sánchez 29
Para analizar los Circuitos de corriente alterna, se emplean dos procedimientos,
* uno geométrico denominado de vectores rotatorios y
* otro, que emplea los números complejos.
Un ejemplo del primer procedimiento, es la interpretación geométrica del Movimiento
Armónico Simple como proyección sobre el eje X de un vector rotatorio de longitud
igual a la amplitud y que gira con una velocidad angular igual a la frecuencia angular.
Mediante las representaciones vectoriales, la longitud del vector representa la
amplitud y su proyección sobre el eje vertical representa el valor instantáneo de
dicha cantidad. Los vectores se hacen girar en sentido contrario al las agujas del
reloj.
Mg. John Cubas Sánchez 30
La ecuación de este Circuito simple es (intensidad por resistencia igual a la fem)
iR R = V0 sen (w t)
La diferencia de potencial en la resistencia es vR = V0 sen (w t)
En una resistencia, la intensidad iR y la diferencia de potencial vR están en fase.
Mg. John Cubas Sánchez 31
)( tsenR
Vi oR w
La relación entre sus amplitudes es :
con VR = V0, la amplitud de la fem alterna
Vemos en la representación vectorial de la figura, al cabo de un cierto tiempo t,
los vectores rotatorios que representan a
* la intensidad en la resistencia ( IR )
* la diferencia de potencial entre sus extremos ( VR ) han girado un ángulo w t
Sus proyecciones sobre el eje vertical marcados por los segmentos de color azul y rojo
son respectivamente, los valores en el instante t de la intensidad que circula por la
resistencia y de la diferencia de potencial entre sus extremos.
Mg. John Cubas Sánchez 32
R
VI R
R
En un condensador la carga q, la capacidad C y diferencia de potencial v entre sus placas
están relacionadas entre sí:
q = C · v
Si se conecta las placas del condensador a un generador de corriente alterna
q = C · V0 · sen (w t )
La intensidad se obtiene derivando la carga respecto del tiempo, i = dq / dt
Mg. John Cubas Sánchez 33
)2
()(cos
wwww tsenCVtCVi ooC
Para un condensador, la intensidad iC está adelantada 90º respecto a la diferencia de
potencial vC.
La relación ente sus amplitudes es:
CC VCI w
con VC = V0 , la amplitud de la fem alterna
Mg. John Cubas Sánchez 34
Ya hemos estudiado la autoinducción y las corrientes autoinducidas que se producen en una
bobina cuando circula por ella una corriente i variable con el tiempo.
La ecuación del Circuito es (suma de fem igual a intensidad por resistencia), como
que la resistencia es nula:
Mg. John Cubas Sánchez 35
0)( tsenVtd
idL o w De donde:
)( tsenL
V
td
id o w
tdtsenL
Vid o )(w
Integrando esta ecuación obtenemos i en
función del tiempo
Así i está dado por:
La intensidad iL de la en la bobina está retrasada 90º respecto de la diferencia de potencial
entre sus extremos vL.
La relación entre sus amplitudes es:
con VL = Vo, la amplitud de la fem alterna
Mg. John Cubas Sánchez 36
)2
()(cos
ww
ww
tsenL
Vt
L
Vi ooL
L
VI L
Lw
Se ha estudiado el comportamiento de una bobina, un condensador y una resistencia
cuando se conectan por separado a un generador de corriente alterna.
Estudiaremos el comportamiento de un sistema formado por los tres elementos
dispuestos en serie y conectados a un generador de corriente alterna de amplitud V0 y
frecuencia angular w .
v = V0 sen ( w t )
Circuito LCR en serie
Mg. John Cubas Sánchez 37
Dibujamos el diagrama de vectores teniendo en cuenta que:
* la intensidad que pasa por todos los elementos es la misma,
* la suma (vectorial) de las diferencias de potencial entre los extremos de
los tres elementos nos da la diferencia de potencial en el generador de
corriente alterna.
El vector resultante de la suma
de los tres vectores es:
Mg. John Cubas Sánchez 38
LL w Reactancia inductiva
CC
w
1Reactancia capacitiva
22
CLRo VVVV
2
22
C
ILIRIV o
ooow
w
2
2 1
CLRIV oo
ww
Se denomina impedancia del Circuito al término
De modo que se cumpla una relación análoga a
la de los Circuitos de corriente continua Vo = Io · Z
El ángulo que forma el vector resultante
de longitud Vo con el vector que
representa la intensidad Io es
Las expresiones de la fem y de la
intensidad del Circuito son:
La intensidad de la corriente en el Circuito está
atrasada un ángulo Φ respecto de la fem que
suministra el generador.
Mg. John Cubas Sánchez 39
Frecuencia propia del circuito es:CL
o
1w
2
2 1
CLRZ
ww
Vo
VR
Io
R
CL
V
VVtg
R
CL ww
1
tsenVv o w w tsenIi o
Determine la desfase entre la intensidad y la ddp en un generador, sabiendo que:
Ejemplo:
R = 1,5 Ω
L = 5·10-3 H
C = 4·10-6 F
ω = 1,01·ω0
La frecuencia propia del Circuito es
La frecuencia del generador es ω = 1,01w0 = 7142 rad/s
La impedancia vale
El desfase es
Mg. John Cubas Sánchez 40
La potencia suministrada por el generador de corriente alterna es:
P = i ·v = V0 ·I0 sen (w t) · sen (w t – Φ )
P = V0 · I0 sen(w t) · [ sen (w t) · cos Φ – cos (w t) · sen Φ)]
P = V0 · I0 · [ sen2(w t) · cos Φ – sen (w t) · cos (w t) · sen Φ ) ]
Esta magnitud es una función complicada del tiempo que no es útil desde el punto de
vista práctico.
Lo que tiene interés es el promedio de la potencia en un periodo 2π / ω .
Mg. John Cubas Sánchez 41
< P > = V0 ·I0 ( < sen2(w t) > · cos Φ – < sen(w t) · cos(w t) > · sen Φ )
Se define como valor medio < f(t) > de una función periódica f(t) de periodo T a la integral:
El periodo de la función f(t) = sen2w t) es T = π / ω, su valor medio es
< sen2(w t) > = 1/2
El área de color rojo es igual al
área de color azul.
Mg. John Cubas Sánchez 42
T
dttfT
tf0
)(1
)(
El periodo de la función f(t) = sen(w t)· cos(w t) = sen(2w t) / 2 es T = π /ω,
< sen(w t) · cos(w t) > = 0su valor medio es :
El valor medio de la energía por unidad de tiempo, o potencia suministrada
por el generador es
El último término, cos Φ se denomina factor de potencia.
cos2
1P 00 VI
El valor de <P> es máximo cuando el ángulo de desfase Φ es cero, para ello se
tiene que cumplir que
es decir, la frecuencia w del generador de corriente alterna debe
coincidir con la frecuencia natural o propia w0 del Circuito oscilante.
Mg. John Cubas Sánchez 43
CL
ww
10
1
CL
ww 1. CLww
LC
12 w
LC
1w
Cuando w = w0 se cumple que
* La intensidad de la corriente I0 alcanza su valor máximo
* La energía por unidad de tiempo <P> suministrada por el generador es máxima
* La intensidad de la corriente en el Circuito i y la fem v están en fase
Mg. John Cubas Sánchez 44
Cuando la frecuencia w del generador de corriente alterna coincide con la
frecuencia natural del circuito w0 se denomina RESONANCIA.
=> Estas condiciones son las óptimas para la transferencia de energía.
Se representa también el intervalo de frecuencias Δw para los cuales la potencia
es mayor que la mitad de la máxima.
La agudeza de la curva de resonancia se describe mediante un parámetro
adimensional denominado factor de calidad Q0 que se define como el cociente
entre la frecuencia angular de resonancia w0 y el ancho de la curva de resonancia
Δw.
Mg. John Cubas Sánchez 45
R
LQ oo w
w
w
0
La amplitud de la intensidad I0 adquiere un valor máximo cuando la frecuencia del generador
w coincide con la frecuencia de resonancia w0
El valor de la impedancia Z es mínimo y vale Z = R.
Mg. John Cubas Sánchez 46
* La intensidad y la fem están en fase a esta frecuencia
* La diferencia de fase cambia de signo, cuando la frecuencia w es mayor que la
frecuencia de resonancia w0, y aumenta rápidamente cuando nos alejamos de
dicha frecuencia, sobre todo si la resistencia es pequeña.
Manteniendo fijos los valores de la capacidad del condensador y de la autoinducción de la
bobina, se modifica el valor de la resistencia R.
Mg. John Cubas Sánchez 47
Mg. John Cubas Sánchez 48
55,360
)100300(30010001010
110003,0300
1 22
2
6
2
2
2
Z
CLRZ
ww
AZ
VIo
30 1093,355,360
2
833,055,360
300cos
Z
R rad586,0
Atsenti 586,010001093,3 3
ZL
R
C
L -L
1. Un Circuito serie de corriente alterna consta de una resistencia R de 300 , una
autoinducción de 0,3 H y un condensador de 10 m F. Si el generador suministra
una fuerza electromotriz V = 2 0,5 sen (1000 t), calcular :
a. la impedancia del Circuito
b. la intensidad de corriente eléctrica instantánea
b)
;
Es un Circuito inductivo, la Tensión adelantada respecto de I (Intensidad
retrasada respecto V)
a)
Mg. John Cubas Sánchez 49
w 2)02,0)(50(22 fLLL
w
2
101 3
CC
2,154
2
10220
23
222
CLRZ
WRZ
V
Z
R
Z
VVIVP ee
eee 7,40202,154
220cos
22
CL
2. Mediante la red eléctrica ordinaria de 220 V (eficaces) a 50 Hz, se alimenta un
Circuito R-L-C con una R=20 , L=0,02 H y C= 20 mF Calcular :
a. la potencia media disipada por el Circuito
b. deducir si se encuentra o no en resonancia.
;
b) Si está en resonancia
Podemos ver que no son iguales, por lo tanto no está en resonancia
a)
Mg. John Cubas Sánchez 50
3 Un Circuito serie R-L-C está formado por una bobina de coeficiente de
autoinducción L= 1 H y resistencia óhmica interna de 10 , un condensador de
capacidad C= 5 mF, y una resistencia de 90 . La frecuencia de la corriente es de
100 Hz. Si el Circuito se conecta a un generador de corriente alterna de 220 V de
tensión máxima, calcular:
a. la potencia disipada por el Circuito
b. la expresión de la intensidad instantánea
a)
b)
7,2253,3183,628902222
CLRZ
VVe 6,1552
220
WRZ
V
Z
R
Z
VVIVP ee
eee 8,22907,225
6,155cos
22
Z
XL
XC
R
XL -XC
1,3
R
XXtg CL
radarctg 26,1´12721,3
)261́200sen(680́)(
200sen220)(
ttI
ttV
ttI
ttV
200sen220)(
)261́200(220)(
Mg. John Cubas Sánchez 51
4. En un Circuito serie RLC se aplica una tensión alterna de frecuencia 50 Hz, de
forma que las tensiones entre los bornes de cada elemento son: VR = 200 V,
VL= 180 V y VC=75 V, siendo R= 100 . Calcular:
a.la intensidad que circula por el Circuito
b.el valor de L y de C
AR
VI R 2
5,37I
VX C
C
wCX C
1
mw
85502
11
CC XXC
90I
VX L
L
wLX L
HXX
L LL 29,0502
w
a)
b)
Mg. John Cubas Sánchez 52
5. Un condensador de 1 m F se carga a 1000 V mediante una batería . Se desconecta de
la batería, y se conecta inmediatamente a los extremos de otros dos condensadores,
previamente descargados, de 2 y 8 m F de capacidad, respectivamente, conectados
entre si como se muestra en la figura. Calcular :
a. la diferencia de potencial entre las placas del primer condensador después de la
conexión a los otros dos
b. la variación de energía electrostática asociada al proceso 1CFm1
2C
Fm2
3C
Fm8
´
1Q
´
2Q
a)
b)
0
11
V
QC
CVCQ 336
011 101010
FCC
CCC m6,1
82
82
32
3223
FCCC m6,26,11231123
´
2
´
1 QQQ
´´ 21 VVVF VC
QVF 385
106,2
106
3
123
JVCEA 5,0)10(102
1
2
1 236200
JVCE FD 192,0)385(106,22
1
2
1 232123
JEEE DA 308,0
Mg. John Cubas Sánchez 53
CONCLUSIONES Y/O ACTIVIDADES DE INVESTIGACIÓN
SUGERIDAS
• La corriente eléctrica domiciliaria se mide en
base a sus valores eficaces y no sus valores
medios.
• Cuando un circuito entra en resonancia se
satisfacen las condiciones propicias para la
transferencia máxima de energía.
GRACIAS
54Mg. John Cubas Sánchez
