Capitulo 4 acoplados

Capítulo 4

Osciladores lineales con varios grados

de libertad

4.1. Osciladores con dos grados de libertad independientes

El estado de ciertos sistemas oscilantes simples no pueden denirse de manera única por una solafunción del tiempo. Consideremos por ejemplo un punto movil P de masa m que está relacionadocon un punto jo O por una fuerza ~F = k~r proporcional a la distancia OP = r (Fig.4.1a). Sea ~vla velocidad lineal de P. No existe razón alguna para que el movil salga del plano determinado porO y ~v. Su trayectoria está connada a este plano que designaremos xOy. El movimiento obedecea dos ecuaciones simultáneas independientes:

mx+ kx = 0 my + ky = 0 (4.1)

cuyas integrales son:

x(t) = Ax cos (ωt− ϕ1) y(t) = Ay cos (ωt− ϕ2)

Con ω2 = km . Sabemos que la trayectoria es una elipse de Lissajous. Tales elipses pueden ser

P

V

O

r

y’

y

xx’

l

O

Figura 4.1: Movimiento con dos grados de libertad independientes

trazadas, por ejemplo, por la masa de un pendulo simple conico que efectua pequeñas oscilacionesen la cercanias de la vertical (Fig. 4.1b). Las ecuaciones de movimiento son de la forma:

x+g

lx = 0 y +

g

ly = 0 (4.2)

1

CAPÍTULO 4. OSCILADORES LINEALES CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

Se puede considerar este movimiento como el resultante de dos pendulos simples isocronos, sininteracciónes mutuas.

Observación: La trayectoria de un punto P atraído por un centro jo O en proporción inversa alcuadrado de la distancia es igualmente una elipse. Pero el punto O ocupa uno de los focos de laelipse de Kepler y no su centro.

4.2. Oscilaciones libres de dos sistemas mecánicos acoplados

En los sistemas precedentes, las variables se encuentran separadas. No es más el mismo casoque nos ocupará a continuación donde dos osciladores lineales con un grado de libertad tienenmovimientos que no son independientes por que las fuerzas que actúan sobre ellos, cuando sedesplazan, las ejercen el uno sobre el otro. Se dice que estos osciladores están acoplados.

k1

k’ k2

x2

x1

m m21

Figura 4.2: Dos osciladores mecánicos acoplados

Dados dos osciladores constituídos por una masa m1 y un resorte de constante k1, el otro poruna masa m2 y de constante k2, ambos oscilando en la misma dirección xx′. Sus movimientos,idenpendientes, ya no son mas independientes si se une por un resorte de constante k′ (Fig.4.2).Este ejerce una fuerza sobre la masa m1; una fuerza proporcional a la variación de su longitud, esdecir x1 − x2, y sobre m2 una fuerza del mismo modulo pero en sentido contrario. Las ecuacionesde movimiento de cada una de las masas se escriben:

m1x1 + k1x1 + k′(x1 − x2) = 0m2x2 + k2x2 + k′(x2 − x1) = 0

(4.3)

o de manera equivalente:

m1x1 + (k1 + k′)x1 = k′x2

m2x2 + (k2 + k′)x2 = k′x1(4.4)

Las variables no son separables en las ecuaciones simultáneas (4.4). Investiguemos si una de lasmasas, por ejemplo, m1 efectua oscilaciones sinusoidales, es decir, sí:

x1 = X1ejΩt

De la primera de las ecuaciones se tiene:

x2 =k1 + k′ −m1Ω2

k′X1e

jΩt = X2ejΩt

La segunda masa ejecuta entonces oscilaciones sinusoidales de misma frecuencia Ω y una solucióncomún a ambas es:

−m1Ω2X1 + (k1 + k′) X1 = k′X2

−m2Ω2X2 + (k2 + k′) X2 = k′X1(4.5)

Supongamos que la masa m2 se encuentre bloqueada, es decir, mantenida en su posición de equi-librio. La masa m1 oscila cumpliendo la ecuación:

m1x1 + (k1 + k′)x1 = 0

Medina V. 2

4.2. OSCILACIONES LIBRES DE DOS SISTEMAS MECÁNICOS ACOPLADOS

que admite una solución sinusoidal donde la frecuencia ω1 está dada por la relación:

ω21 =

k1 + k′

m1(4.6)

Igualmente si la masa m1 se bloquea la pulsación ω2 de las oscilaciones de m2 está dada por:

ω22 =

k2 + k′

m2(4.7)

Estas consideraciones físicas permiten colocar las ecuaciones (4.5) bajo la forma:(ω2

1 − Ω2)X1 = k′

m1X2(

ω22 − Ω2

)X2 = k′

m2X1

(4.8)

Tomando a X1 como origen de las fases

X2 = X2ejϕ = X2 (cosϕ+ jsenϕ)

e igualando las partes real e imaginarias en (4.8) se tiene:

senϕ = 0 (4.9)

(ω2

1 − Ω2)X1 = k′

m1X2 cosϕ(

ω22 − Ω2

)X2 cosϕ = k′

m2X1

(4.10)

Para que estas dos ecuaciones simultáneas tengan soluciones no nulas, es necesario que

(ω2

1 − Ω2) (ω2

2 − Ω2)− k′2

m1m2= 0 (4.11)

Ω4 − Ω2(ω2

1 + ω22

)+ ω2

1ω22

(1−K2

)= 0 (4.12)

Donde se ha denido

K2 =k′2

(k1 + k′)(k2 + k′)(4.13)

K es el coeciente de acoplamiento: está comprendido entre 0 (k′ = 0, osciladores independientes)y 1 (k′ = ∞, osciladores rígidamente ligados). La ecuación (4.12) se denomina ecuación de las

frecuencias propias y sus raíces en Ω2 son reales:

Ω2 =1

2

[ω2

1 + ω22 ±

√(ω2

1 − ω22)

2+ 4K2ω2

1ω22

](4.14)

Aunque hay dos valores para cada Ω solo tomaremos la que es positiva. El valor de la cantidadsubradical aumenta al aumentar la constante de acoplamiento. Si designamos como Ω1 y Ω2

respectívamente, a la más pequeña y la más grande de las raíces tales que:

Ω21 < ω2

1 < ω22 < Ω2

2 (4.15)

Ω1 y Ω2 son las frecuencias propias o principales, o fundamentales, del sistema de osciladoresacoplados. La gura (4.3) representa la variacion de Ω2 en función de K. Para K = 0, Ω1 =ω1, Ω2 = ω2. Para K pequeño (acoplamiento débil) .

Ω21 ' ω2

1

[1− K2ω2

2

2(ω22 − ω2

1)

]Ω2

2 ' ω22

[1 +

K2ω21

2(ω22 − ω2

1)

](4.16)

Cuando K tiende a 1 (acoplamiento fuerte) Ω21 tiende a cero (Fig. 4.3a), Ω2

2 tiende a ω21 + ω2

2 . El

Medina V. 3


0

0.5

1

1.5

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5K

Figura 4.3: Comportamiento de las frecuencias propias del sistema

acoplamiento separa entonces las frecuencias propias del sistema. La gura (4.3b) muestra comovaría Ω2 en función de ω2

2 cuando ω1 es constante.Las oscilaciones sinusoidales de frecuencias Ω1 y Ω2 son los modos normales de oscilación delsistema. Se tiene a partir de las ecuaciones (4.10):

X2

X1cosϕ =

(ω2 − Ω2

) m1

k′(4.17)

Para Ω = Ω1 el segundo miembro es positivo. Como de acuerdo a (4.9), cosϕ = ±1 es necesariotomar el signo positivo: m1 y m2 oscilan en fase. Para Ω = Ω2, es necesario tomar el signo negativoen (4.17) m1 y m2 oscilan en oposición de fase. Como las ecuaciones de movimiento son lineales,el movimiento más general de las masas acopladas es una combinación lineal de los dos modosnormales.Sus expresiones contienen cuatro términos determinados por las condiciones iniciales: Laamplitud y la fase en el origen de uno de los osciladores en cada uno de los modos normales y laexpresión (4.17). En general este movimiento no es sinusoidal y es únicamente periodico si Ω1 yΩ2 son conmesurables.

4.2.1. Osciladores idénticos

Si m1 = m2 = m, k1 = k2 = k de (4.13) se obtiene:

K =k′

k′ + k

y de (4.12):Ω2 = ω2(1±K)

Para Ω = Ω1

Ω2 = ω2(1−K) =k

m

X2

X1= +1

Para Ω = Ω2

Ω2 = ω2(1 +K) =k + 2k′

m

X2

X1= −1

En cuanto al movimiento más general, tiene por expresión

x1 = a sin(Ω1t− ϕ1) + b sin(Ω2t− ϕ2)x2 = a sin(Ω1t− ϕ1)− b sin(Ω2t− ϕ2)

(4.18)

los valores de a, b, ϕ1, ϕ2 se deben determinar por las condiciones iniciales. Si para t = 0: x1 =A; x1 = x2 = x2 = 0, se tiene

ϕ1 = ϕ2 = −π2, a = b =

A

2

Medina V. 4

4.3. DIVERSOS MODOS DE ACOPLAMIENTO

Ω2

k’k’

Ω1

Figura 4.4: Acoplamiento elástico entre dos péndulos simples

y

x1 = A cos(

Ω2−Ω1

2

)t · cos

(Ω1+Ω2

2

)t

x2 = A sin(

Ω2−Ω1

2

)t · sin

(Ω1+Ω2

2

)t

(4.19)

Si el coeciente de acoplamiento es inferior a 1.

Ω1 ' ω(

1− K

2

)Ω2 ' ω

(1 +

K

2

)

x1 = A cos(Kωt

2

)cos (ωt)

x2 = A sin(Kωt

2

)sin (ωt)

(4.20)

En estas condiciones el movimento de los osciladores acoplados puede ser descrito simplemente:ellos tiene una pulsación ω y están en cuadratura, con una amplitud lentamente variable conuna pulsación Kω (K 1). Esto produce en el movimiento de cada oscilador un batido con unperiodo de 2π

Kω (Fig. 4.5). Este batido está en si mismo en cuadratura. La existencia de estos dosmodos normales y este batido se verica por ejemplo para el caso de dos pendulos gravitatoriosidénticos donde sus barras se encuentrán unidas por un resorte de constante de elásticidad k′ (4.4)no extendido cuando las barras son paralelas.

4.2.2. Transferencia de energía

La energía cinética de los dos osciladores de la g.4.2 es:

2Wk = m1x1 +m2x2 (4.21)

Su energía potencial es:

2Wp = k1x21 + k2x

22 + k′(x1 − x2)2 (4.22)

Multiplicando los términos de la primera ecuación de (4.3) por x1 y la segunda por x2; sumandolas ecuaciones obtenidas se encuentra la ecuación de conservación de la energía mecánica.

d

dt(Wk +Wp) = 0

La energía mecánica total del sistema se conserva. Pero salvo en los modos normales, hay trans-ferencia de energía de forma alternativa de uno de los osciladores al otro. En los casos que seproduzca el batido de la gura (4.5) el periodo de estos cambios es 2π

Kω .

4.3. Diversos modos de acoplamiento

Medina V. 5


−Ω12

Ω

2( )sin t +Ω12

Ω

2( )sin t+Ω

12Ω

2

−Ω12

Ω

2(cos t) ( )cos t

Κω

2π

2π

ω

Figura 4.5: Superposición

3

3 m1

x1

k1

x2

2m

k2

x

m

Figura 4.6: Acoplamiento inercial

Los acoplamientos estudiados anteriormentese denominan acoplamiento por elásticidad. Elsistema de la gura puede ser considerado co-mo el conjunto de dos osciladores (m1,m2, k1)y (m2,m3, k2) acoplados por una masa comúnm2. Este tipo de acoplamiento se denominaacoplamiento inercial. En este caso las ecua-

ciones de movimiento de las masas son:

m1x1 + k1 (x1 − x2) = 0m3x3 + k2 (x3 − x2) = 0

m2x2 + k1 (x2 − x1) + k2(x2 − x3) = 0(4.23)

De manera similar a la sección (4.2), podemos suponer que las soluciones de (4.23), tienen solu-ciones sinusoidales de pulsación Ω que podemos escribir:

xi (t) = XiejΩt ∀i ∈ 1, 2, 3

que al sustituir en (4.23) obtenemos las ecuaciones(k1

m1− Ω2

)X1 =

k1

m1X2 (4.24)(

k1 + k2

m2− Ω2

)X2 =

k1

m2X1 +

k2

m2X3 (4.25)(

k2

m3− Ω2

)X3 =

k2

m3X2 (4.26)

despejando X1 en (4.24) en términos de X2, así como X3 en función de X2 en (4.26) y sustituyendoen (4.25): (

k1 + k2

m2− Ω2

)X2 =

k1

m2

k1

m1

1(k1m1− Ω2

)X2 +k2

m2

k2

m3

1(k2m3− Ω2

)X2

Medina V. 6

4.3. DIVERSOS MODOS DE ACOPLAMIENTO

simplicando(k1 + k2

m2− Ω2

)(k1

m1− Ω2

)(k2

m3− Ω2

)=

k21

m2m1

(k2

m3− Ω2

)+

k22

m2m3

(k1

m1− Ω2

)y al desarrollar se tiene[(

k1 + k2

m2

)(k1

m1

)−(k1 + k2

m2

)Ω2 − Ω2

(k1

m1

)+ Ω4

](k2

m3− Ω2

)=

=k2

1k2

m3m2m1− k2

1

m2m1Ω2 +

k22k1

m1m2m3− k2

2

m2m3Ω2

y(k1 + k2

m2

)(k1

m1

)(k2

m3

)−(k1 + k2

m2

)(k1

m1

)Ω2 −

(k1 + k2

m2

)(k2

m3

)Ω2 +

(k1 + k2

m2

)Ω4 +

−(k1

m1

)(k2

m3

)Ω2 + Ω4

(k1

m1

)+

(k2

m3

)Ω4 − Ω6 =

=k1k2 (k1 + k2)

m1m2m3− Ω2

m2

(k2

1

m1+k2

2

m3

)

k1k2 (k1 + k2)

m1m2m3− k1 (k1 + k2)

m1m2Ω2 − k2 (k1 + k2)

m2m3Ω2 +

(k1 + k2

m2

)Ω4 +

− k1k2

m1m3Ω2 +

(k1

m1+k2

m3

)Ω4 −Ω6 =

=k1k2 (k1 + k2)

m1m2m3− Ω2

m2

(k2

1

m1+k2

2

m3

)

−k1 (k1 + k2)

m1m2Ω2 − k2 (k1 + k2)

m2m3Ω2 − k1k2

m1m3Ω2 +

(k1 + k2

m2+k1

m1+k2

m3

)Ω4 −Ω6 =

= − k21

m1m2Ω2 − k2

2

m2m3Ω2

− k21

m1m2Ω2 − k1k2

m1m2Ω2 − k2k1

m2m3Ω2 − k2

2

m2m3Ω2 − k1k2

m1m3Ω2 +

[k1

(1

m1+

1

m2

)+ k2

(1

m2+

1

m3

)]Ω4 −Ω6

= − k21

m1m2Ω2 − k2

2

m2m3Ω2

ahora tenemos que al simplicar los términos de Ω2 se tiene:

−k1k2

(1

m1m2+

1

m2m3+

1

m1m3

)Ω2 +

[k1

(1

m1+

1

m2

)+ k2

(1

m2+

1

m3

)]Ω4 +

−Ω6 = 0(4.27)

al establecer la denición de masa reducida

1

µ1=

1

m1+

1

m2

1

µ2=

1

m2+

1

m3(4.28)

podemos escribir

1

µ1

1

µ2=

(m1 +m2) (m2 +m3)

m1m22m3

=m1m2 +m1m3 +m2

2 +m2m3

m1m22m3

=1

m2m3+

1

m22

+1

m1m3+

1

m1m2

Medina V. 7


2C

C1

L L21

C

C2

C1

L L21

L

b)

CC1

L L21

R

c)

2

Figura 4.7: Circuitos eléctricos acoplados

entonces1

µ1

1

µ2− 1

m22

=1

m2m3+

1

m1m3+

1

m1m2(4.29)

sustituyendo las expresiones (4.28) y (4.29) en (4.27); se encuentra que el sistema de ecuaciones(4.23) admite soluciones sinusoidales donde la pulsación Ω debe satisfacer la relación:

−Ω2

[k1k2

(1

µ1

1

µ2− 1

m22

)−(k1

µ1+k2

µ2

)Ω2 + Ω4

]= 0 (4.30)

Una de las frecuencias fundamentales es nula: Esta corresponde a la traslación del conjunto deosciladores en el eje xx'. Al denir las pulsaciones propias de los dos osciladores no acoplados comoω2

1 = k1µ1

y ω22 = k2

µ2; podemos escribir (4.30) como:

k1k2

µ1µ2

(1− µ1µ2

m22

)−(k1

µ1+k2

µ2

)Ω2 + Ω4 = 0

ω21ω

22

(1− µ1µ2

m22

)−(ω2

1 + ω21

)Ω2 + Ω4 = 0

y los modos normales de oscilación se pueden escribir como:

Ω2 =ω2

1 + ω22

2±

√(ω2

1 − ω22)

2

4+K2ω2

1ω22 (4.31)

El coeciente de acoplamiento tiene como expresión:

K2 =µ1µ2

m22

(4.32)

El sistema precedente juega un rol como modelo molecular.

4.4. Oscilaciones libres de dos circuitos oscilantes acoplados

Las guras 4.7a, b y c representan algunos circuitos eléctricos oscilantes. Cada uno de los circui-tos están constituidos de dos mallas que tienen una rama en común: Las ecuaciones de Kirchhoestablecen dos relaciones simultáneas y la forma de dichas ecuaciones establecen algunos detallesanálogos a los sistemas mecánicos anteriormente descritos. En el caso de la gura 4.7a, con el sen-tido elegido de para las corrientes de mallas y despreciando la resistencia de los cables conductoresse tiene para la malla L1, C1 y C y para la malla L2, C2 y C las relaciones:

L1dI1dt + 1

C1

∫I1dt+ 1

C

∫(I1 − I2)dt = 0

L2dI2dt + 1

C2

∫I2dt+ 1

C

∫(I2 − I1)dt = 0

(4.33)

La búsqueda de una solución sinusoidal para I1 y I2 hecha como en la secciones anteriores conducea una ecuación de frecuencias propias idéntica a (4.12), las pulsaciones propias de las dos mallasse encuentran denidas por:

Medina V. 8

4.4. OSCILACIONES LIBRES DE DOS CIRCUITOS OSCILANTES ACOPLADOS

ω21 =

1

L1C′1

ω22 =

1

L2C′2

donde se ha denido:1

C ′1=

1

C1+

1

C

1

C ′2=

1

C2+

1

C

y el coeciente de acoplamiento está dado por la relación:

K2 =1C2

1C′

1

1C′

2

=C1C2

(C1 + C) (C2 + C)

El esquema del circuito de la gura (4.7b) conduce a una ecuación de pulsaciones propias:

Ω4(1−K2

)− Ω2

(ω2

1 + ω22

)+ ω2

1ω22 = 0

con

ω21 =

1

C1 (L1 + L)ω2

2 =1

C2 (L2 + L)K2 =

L2

(L1 + L) (L2 + L)

El esquema de los circuitos acoplados en la gura (4.8) no tiene equivalente mecánico. No existeconexión material entre los dos circuitos y el acoplamiento se realiza por inducción mutua (acopla-miento de Tesla). Las fuerzas electromotríz de inducción en las bobinas de los dos circuitos tienenpor expresión

M

L1 L

2C21

C

Figura 4.8: Acoplamiento de Tesla

U1 = −dΦ1

dtU2 = −dΦ2

dt

Φ1 y Φ2 designan los ujos de inducción magnética. Si las bobinas se encuentran desprovistas desustancias ferromagnéticas, se puede escribir:

Φ1 = L1I1 +MI2; Φ2 = L2I2 +MI1

Siendo M la inductancia mutua entre los dos circuitos. Es una constante para una posición de lasbobinas y puede ser tanto positiva como negativa, dependiendo si el ujo de uno de los circuitosal otro tiene el mismo signo que el ujo de autoinducción que pasa por cada uno de los circuitoso del signo opuesto. Tanto M como L se miden en Henrys. Las ecuaciones de Kirchho para losdos circuitos son:

L1dI1dt + 1

C1

∫I1dt+M dI2

dt = 0

L2dI2dt + 1

C2

∫I2dt+M dI1

dt = 0(4.34)

La ecuación para la pulsación propia es:

Ω4(1−K2

)− Ω2

(ω2

1 + ω22

)+ ω2

1ω22 = 0

con

ω21 =

1

C1L1ω2

2 =1

C2L2K2 =

M2

L1L2

Se puede demostrar que M2 < L1L2 de manera que que el coeciente de acoplamiento varía entre0 y 1. En el caso particular en que los dos circuitos son idénticos.

Medina V. 9

Capitulo 4 acoplados

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