Capitulo 5 ondas
43
n-1 x n x x n+1 k m k k k m m m k k k k m m m
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Capítulo 5
Ondas
Podemos ascender por encima de esta Tierra insípida y,contemplándola desde lo alto, considerar si la Naturalezaha volcado sobre esta pequeña mota de polvo todas susgalas y riquezas. De este modo, al igual que los viajeros
que visitan otros países lejanos, estaremos más capacitadospara juzgar lo que se ha hecho en casa, para poderlo
estimar de modo real, y dar su justo valor a cada cosa.Cuando sepamos que hay una multitud de Tierras tan habitadas
y adornadas como la nuestra, estaremos menos dispuestosa admirar lo que este mundo nuestro llama grandeza y
desdeñaremos generosamente las banalidades en lasque deposita su afecto la generalidad de los hombres.
Christiaan Huygens (1629 � 1695)
El estudio de los fenómenos de propagación ondulatorios es de fundamental importancia en lafísica y abarcan muchos casos interesantes: ondas sobre la super�cie del agua, ondas sísmicas,ondulaciones en resortes, ondas de radio y electromagnéticas; fenómenos luminosos, ondas sonoras,etc.La propagación de una onda puede interpretarse haciendo uso del modelo de una cadena lineal.Esta cadena está compuesta de una serie de partículas de igual masa separadas de resortes tambiéniguales. Este modelo permite explicar el comportamiento de los cuerpos elásticos y por lo tantola propagación de las ondas mecánicas. Y es por ello que comenzaremos nuestro estudio de lapropagación ondulatoria con este modelo sencillo.
5.1. Sistemas contínuos
De manera general, los fenómenos de propagación de ondas se relacionan con magnitudes escalaresy vectoriales que dependen de variables espacio-temporales, dando como resultado, ecuacionesdiferenciales en derivadas parciales ya que las variables están ligadas. Por ello, el valor de unavariable en un punto del espacio y en un instante de tiempo permite obtener el mismo valor de lavariable en algún otro instante de tiempo. Como primer ejemplo de ello, pretendemos estudiar una
n−1x
nx x
n+1
k
m
k kk
m mm
k k k k
m m m
Figura 5.1: Cadena de osciladores acoplados
1
CAPÍTULO 5. ONDAS
x+axx−a
(x+a,t)(x−a,t) (x,t)X X X
x
Figura 5.2: Osciladores acoplados (sistemas continuos)
cadena de osciladores acoplados donde el movimiento de uno de los osciladores tendrá repercusiónen los elementos vecinos y transmitirá, en este caso, su desplazamiento a los otros elementosconectados.
5.2. Cadena de Osciladores acoplados
Con el �n de estudiar la propagación de onda, tomaremos como ejemplo un modelo microscópicomuy sencillo de un sólido consistente en una cadena in�nita de osciladores acoplados de tipomasa-resorte (�g 5.1). Las masas representan los átomos del sólido y los resortes permiten teneren consideración las fuerzas a la que se someten estos átomos cuando se desplazan en la vecindadde su posición de equilibrio. En este modelo tan sencillo, no incluiremos las fuerzas disipativo deroce.
Podemos utilizar la imagen de la �gura 5.1, una cadena de osciladores muy grande, sin ningúnpunto �jo. Una perturbación del estado de equilibrio del oscilador 1, suponiendo que se le sepa-ra un poco de su posición original y sin velocidad inicial, lo pone en movimiento. Esta pequeñaperturbación se transmite al oscilador 2, que por intermedio del resorte los une, se pone en mo-vimiento oscilatorio. Por este mismo efecto, el oscilador 3 cambia su posición de equilibrio y enconsecuencia comienza a oscilar. Con este mecanismo, la perturbación inicial, repercutirá en todoslos osciladores de la cadena. Si seguimos este movimiento progresivo que se transmite a lo largode la cadena es como seguir una �la de �chas o piedras de dominós que se caen. Llegamos de estamanera a la noción de onda.
En el modelo precedente, cada resorte tiene una longitud natural a y las masas se encuentranafectadas por fuerzas elásticas de constante de elasticidad k. Si consideramos una masa cualquierade abscisa Xn, podemos escribir su ecuación de movimiento como
mXn = −k (Xn −Xn−1)− k (Xn −Xn+1) (5.1)
Esta ecuación no puede resolverse sin conocer el comportamiento dinámico de las masas adyacentesya que las masas de abscisas Xn−1 y Xn+1 están relacionadas con Xn−2 y Xn+2. Los movimientosde las masas de la cadena están relacionadas unas con las otras y la resolución de este sistemain�nito de ecuaciones acopladas se hace imposible de resolver. De hecho, en la realidad, la cadenaes necesariamente de dimensión �nita y el sistema se conforma con un numero �nito de ecuacionesN . Al considerar esta cadena de osciladores como un medio continuo podemos establecer la nociónde onda.
Para realizar este cambio de un sistema discreto a un sistema continuo, vamos a suponer que cadaoscilador está separado de su vecino una distancia a y que esta distancia es lo su�cientementepequeña en comparación con el movimiento realizado por cada oscilador X (x, t). Así en lugar deun índice discreto n que etiqueta o marca para cada oscilador, le asignamos la abscisa x. Si eloscilador n tiene como abscisa x, el oscilador n− 1 tendrá como abscisa x− a y para el osciladorn+ 1 tenemos ahora x+ a.
Cuando el oscilador está en movimiento, un oscilador posee, en su abscisa x una deformaciónX (x, t). La ecuación de movimiento de cada oscilador es, de manera similar a (5.1)
m∂2X
∂t2= −k [X (x, t)−X (x− a, t)]− k [X (x, t)−X (x+ a, t)] (5.2)
Medina V. 2
CAPÍTULO 5. ONDAS
realizando el desarrollo en torno a x = a, para un instante �jo t; se tiene:
X (x− a, t) ≈ X (x, t)− a∂X∂x
+a2
2
∂2X
∂x2+ · · · (5.3)
X (x+ a, t) ≈ X (x, t) + a∂X
∂x+a2
2
∂2X
∂x2+ · · · (5.4)
y sustituyendo en (5.2), se tiene
m∂2X
∂t2= −k [X (x, t)−X (x− a, t)]− k [X (x, t)−X (x+ a, t)]
≈ −k[a∂X
∂x− a2
2
∂2X
∂x2
]− k
[−a∂X
∂x− a2
2
∂2X
∂x2
]= ka2 ∂
2X
∂x2
Es decir, que hasta el término de 2. orden, la ecuación que satisface la perturbación de los átomosde un sólido, cumple con
∂2X
∂x2− m
ka2· ∂
2X
∂t2= 0 (5.5)
observemos que el término mka2 tiene dimensiones del inverso del cuadrado de una velocidad v y
por ello podemos escribir:
∂2X
∂x2− 1
v2· ∂
2X
∂t2= 0 (5.6)
donde
v = a
√k
m= aω0 (5.7)
la ecuación (5.6) se denomina Ecuación de Onda
Observaciones
1. La fuerza F del resorte a la izquierda del punto de abscisa x se escribe:
F = −k [X (x, t)−X (x− a, t)] = −ka∂X∂x
(5.8)
Como consecuencia de la linealidad, y por la conmutatividad del orden de la diferenciación,podemos concluir que la fuerza F , satisface la ecuación de onda: La fuerza F , el despla-zamiento X (x) y la velocidad de la perturbación X = ∂X
∂t , tienen todos una estructuraondulatoria.
2. Sin entrar en detalles de la ecuación, podemos a�rmar por la expresión (5.7), que el valor dev representa la velocidad de propagación de la perturbación que se estudia.
3. Podemos considerar toda la cadena como un único resorte continuo sobre el que está distri-buida toda la masa m. Es decir, que toda la masa m se convierte en una masa distribuidade manera continua a razón de una densidad lineal de masa µI = m
a .
4. Cada resorte tiene una longitud a y en el equilibrio y una constante de elasticidad k. O demanera equivalente, un único resorte que posee una constante inversamente proporcional asu longitud de tal manera que k = κI
a , donde κI es una magnitud característica del resortedado, e independiente de su longitud (κI no representa una constante de elasticidad, tienedimensiones de una fuerza y se expresa en Newtons). Por ello, la velocidad asociada a unresorte, considerada como un continuo, con características κI y µI es:
v2 =ka2
m=kama
=κIµI
(5.9)
Medina V. 3
CAPÍTULO 5. ONDAS
5.3. Modelo macroscópico de un sólido
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Xδ
dS
dF
x
Figura 5.3: Propagación de una deformación enun sólido
El estudio de la propagación de las ondas sono-ras en un sólido se puede enfocar a partir de unmodelo que permita utilizar magnitudes ma-croscópicas de un sólido; como por ejemplo lamasa volúmica ρ (que tendrá el rol de la distri-bución lineal de masa µI del modelo preceden-te) y el módulo de Young Y (que hará las vecesdel valor κI). El módulo de Young está de�nidoa partir de la Ley de Hooke, que establece quela fuerza aplicada dF a una porción de sólidode super�cie dS creará un alargamiento rela-tivo ∂X
∂x en la dirección de x perpendicular adS.
dF = Y
(∂X
∂x
)dS (5.10)
donde X representa la posición de la super�cie dS, respecto a la posición de equilibrio (Figura5.3). Al aplicar la 2. Ley de Newton a una porción de sólido de super�cie S y grosor dx :
ρSdx∂2X
∂t2= −Y S
(∂X
∂x
)(x, t) + Y S
(∂X
∂x
)(x+ dx, t)
= Y S
[(∂X
∂x
)(x+ dx, t)−
(∂X
∂x
)(x, t)
]≈ Y S · dx ·
(∂2X
∂x2
)y se tiene que
ρ∂2X
∂t2= Y ·
(∂2X
∂x2
)(5.11)
al proceder como en el caso anterior
( ρY
) ∂2X
∂t2− ∂2X
∂x2= 0
1
v2· ∂
2X
∂t2− ∂2X
∂x2= 0 (5.12)
donde podemos deducir que la velocidad del sonido en el sólido esta dada por
v =
√Y
ρ(5.13)
5.4. Ondas de tensión y de corriente en una línea eléctrica
Consideremos una línea eléctrica coaxial o bi�lar que le sirve de medio para transportar unacorriente: En el caso de la línea bi�lar los dos hilos transportan corrientes en uno u otro sentido.Se supone que la línea no tiene pérdidas (resistencia despreciable).
Medina V. 4
CAPÍTULO 5. ONDAS
���������������
���������������
CargageneradorV
+q
−q
i
(a) Línea bi�lar o coaxial
L L L L L L
C
L
C C C C C C
(b) Diagrama esquemático de una línea de transmisión.
Figura 5.4: Línea de transmisión y modelo para su estudio
Considerando una pequeña porción de la línea, sabemos que el conductor que transporta la co-rriente, posee una inductancia propia LI y al considerar que los dos elementos de la línea estánsometidos a una tensión V , podemos imaginar el par de líneas, como las armaduras de un con-densador de capacidad CI : La línea constituye un medio continuo unidimensional caracterizadospor una inductancia LI y una capacidad CI por unidad de longitud. Notaremos como variables ala abscisa x y al tiempo t, a la corriente que �uye en los conductores como i (x, t) y a la diferenciade potencial V (x, t).
L
CV(x,t) V(x+dx,t)
i(x,t) i(x+dx,t)
Figura 5.5: Porción de una línea de transmisión
Una porción dx de la línea se puede representaren la �gura (5.5); y la línea completa, se puedesimular a partir de una serie completa de os-ciladores eléctricos de manera similar como lososciladores mecánicos acoplados estudiados enla sección (5.2). (ver Figura 5.4b).A partir de la ley de Faraday, podemos con-cluir que la fuerza electromotriz (o diferenciade potencial) en los extremos de la porción dxde la línea se puede escribir a partir del valorde la inductancia LI , por unidad de longitud,como:
∂V
∂x= LI
∂i
∂t(5.14)
Por otra parte, la carga almacenada en el condensador, es proporcional al voltaje. Como la capa-cidad CI está de�nida por unidad de longitud, la carga por unidad de longitud, se puede escribircomo
∂q
∂x= CIV (5.15)
Si recordamos la de�nición de intensidad de corriente eléctrica, tenemos que i = ∂q∂t :
∂
∂t
(∂q
∂x
)= CI
∂V
∂t
∂
∂x
(∂q
∂t
)=
∂i
∂x= CI
∂V
∂t
y por la conmutatividad del orden de la diferenciación (Teorema de Schwarz):
∂i
∂x= CI
∂V
∂t(5.16)
Medina V. 5
CAPÍTULO 5. ONDAS
Ahora si, por ejemplo, tomamos (5.16) y la derivamos respecto al tiempo t, se obtiene:
∂2i
∂t∂x= CI
∂2V
∂t2(5.17)
y derivando (5.14), respecto a la abscisa x :
1
LI
∂2V
∂x2=
∂2i
∂x∂t(5.18)
combinando (5.17) y (5.18), tenemos
1
LI
∂2V
∂x2= CI
∂2V
∂t2
∂2V
∂x2= LICI ·
∂2V
∂t2
de manera similar se puede mostrar que la corriente satisface
∂2i
∂x2= LICI ·
∂2i
∂t2
y de nuevo una ecuación de onda donde la velocidad de propagación es
v =1√LICI
así una onda asociada a cada cantidad característica de la línea de transmisión: la tensión entredos elementos de la línea y la corriente de la línea tienen ambas estructuras ondulatorias.
5.5. Ondas transversales en una cuerda
Τ (x, t)
Τ (x+dx,t)
Ψ (x+dx,t)
Ψ (x, t)
δΨ
x x+dx
dl´
Figura 5.7: Fuerzas que actúan en unaporción dx de una cuerda
Consideremos ahora estudiar las oscilaciones que se pro-ducen en una cuerda extendida (Figura 5.6). Ella presen-ta una densidad lineal de masa ρ y se encuentra exten-dida por la aplicación de una fuerza T , que en el reposo,su dirección coincide con el eje horizontal. Trataremosde estudiar los desplazamientos transversales Ψ (x, t) delos puntos de la cuerda y tomaremos en consideración lascondiciones siguientes:
Los movimientos a considerar, son únicamente losproducidos en el plano vertical y de amplitudes pe-queñas: es decir, Ψ (x, t)� x y ∂Ψ
∂x � 1 (la cuerdase deforma muy poco en el eje horizontal)
Se desprecia el peso
Con estas condiciones podemos decir que la longitud de la cuerda, varía muy poco. Un elemento delongitud dx de la cuerda en reposo, tiene casi la misma longitud dl cuando se desplaza transversal-mente. Considerando un punto sobre la cuerda deformada de ordenadaΨ (x, t) y otro Ψ (x+ dx, t),la longitud dl del elemento, (Figura 5.7) es tal que
dl2 = dx2 + [δΨ]2
= dx2 + [Ψ (x+ dx, t)−Ψ (x, t)]2
= (dx)2
[1 +
(∂Ψ
∂x
)2]≈ (dx)
2
Medina V. 6
CAPÍTULO 5. ONDAS
��������������������������
��������������������������
������������������������
������������������������
v
Ψ (x,t)
Ψ (x´,t´)
x
x´
t´ > 0
Figura 5.6: Desplazamiento de un pulso en una cuerda
Para estudiar la dinámica de la porción deformada de la cuerda, tenemos considerar las compo-nentes horizontal y vertical de las fuerzas que se aplican en los extremos de la porción deformadade la cuerda:
Fx = T (cos θ (x+ dx)− cos θ (x))
Fy = T (sin θ (x+ dx)− sin θ (x))
Como consecuencia de las condiciones impuestas anteriormente, tenemos que θ (x)� 1 y θ (x+ dx)�1 y cos θ (x+ dx) ≈ cos θ (x) = 1. La componente horizontal de las fuerzas que actúan sobre lacuerda, es cercana a 0
Fx ' 0
En cuanto a la componente vertical de la fuerza, sin θ (x+ dx) ' sin θ (x) ' θ (x) ∼ tan θ (x) y
Fy = T (sin θ (x+ dx)− sin θ (x)) ≈ θ (x+ dx)− θ (x) = T∂θ
∂x· dx
La expresión de la deformación de la cuerda es Ψ (x, t) y como θ (x) ∼ tan θ (x) = ∂Ψ∂x (x, t)
Fy = T∂
∂x
(∂Ψ
∂x
)· dx = T
(∂2Ψ
∂x2
)dx (5.19)
Podemos razonar de la manera siguiente, a partir de la Segunda Ley de Newton: Si ρ es la densidadlineal, y un pequeño elemento de longitud de la cuerda es dx, tenemos que la masa contenida enesa pequeña porción de cuerda es ρ · dx y como la aceleración del movimiento transversal de lacuerda, la podemos expresar a partir de su deformación:
Fy = (ρ · dx)
(∂2Ψ
∂t2
)(5.20)
Medina V. 7
CAPÍTULO 5. ONDAS
Tomando en consideración (5.19) y (5.20),
T
(∂2Ψ
∂x2
)dx = (ρ · dx)
(∂2Ψ
∂t2
)∂2Ψ
∂x2=
ρ
T· ∂
2Ψ
∂t2(5.21)
Las dimensiones de la cantidad ρT corresponden a inverso de una velocidad al cuadrado
kgm
N=
kgm
kg · ms2=
s2
m2=(ms
)−2
podemos escribir (5.21) como
∂2Ψ
∂x2=
1
v2· ∂
2Ψ
∂t2(5.22)
Esto se puede comprobar si observamos que ∀t ∈ R tenemos que
Ψ (x− vt, t) = Ψ (x, t) (5.23)
al de�nir
α (x, t) = x− vt
las derivadas parciales se escriben:
∂α
∂t= −v, ∂α
∂x= 1
y por ello
∂2Ψ
∂α2=
∂2Ψ
∂x2
∂Ψ
∂t=
∂Ψ
∂α
∂α
∂t= −v ∂Ψ
∂α
y para la derivada segunda temporal
∂2Ψ
∂t2=
∂
∂t
(∂Ψ
∂t
)=
∂
∂t
(−v ∂Ψ
∂α
)=
∂
∂α
(−v ∂Ψ
∂α
)(∂α
∂t
)=
∂
∂α
(−v ∂Ψ
∂α
)(−v)
= v2 ∂2Ψ
∂α2
concluimos que∂2Ψ
∂t2= v2 ∂
2Ψ
∂α2=∂2Ψ
∂x2(5.24)
Si comparamos (5.24) con (5.22), podemos escribir
1
v2=ρ
T⇒ v =
√T
ρ(5.25)
Es importante entender que es una onda, o como lo indicamos en esta sección, la perturbación:Es la que se propaga a la velocidad v y NO es el soporte material que se traslada (el medio),cuando exista. La cuerda misma no se traslada. En la línea de transmisión, no son los electronesde conducción que se trasladan a la velocidad de propagación de la onda solo se transporta lainformación que representa una variación de la tensión. La onda, si utiliza un soporte material, notraslada materia y no se puede encontrar ondas donde su velocidad de propagación sea superior ala de la velocidad de la luz en el vacío.
Medina V. 8
CAPÍTULO 5. ONDAS
5.6. Solución general de la ecuación de onda
A partir de la ecuación (5.22) y la (5.23) podemos demostrar que
Ψ (x, t) = f (x+ vt) + g (x− vt) (5.26)
si de�nimos
α = x+ vt → x =α+ β
2
β = x− vt → t =α− β
2v
podemos escribir
Ψ (x, t) = Ψ (α (x, t) , β (x, t))
en consecuencia
∂Ψ
∂x=
∂Ψ
∂α
∂α
∂x+∂Ψ
∂β
∂β
∂x
=∂Ψ
∂α+∂Ψ
∂β
∂Ψ
∂t=
∂Ψ
∂α
∂α
∂t+∂Ψ
∂β
∂β
∂t
=∂Ψ
∂αv +
∂Ψ
∂β(−v)
= v
[∂Ψ
∂α− ∂Ψ
∂β
]las derivadas segundas de la perturbación Ψ (x, t) se escriben, en términos de α y β como:
∂2Ψ
∂x2=
∂
∂x
(∂Ψ
∂α+∂Ψ
∂β
)=
∂
∂α
(∂Ψ
∂α+∂Ψ
∂β
)∂α
∂x+
∂
∂β
(∂Ψ
∂α+∂Ψ
∂β
)∂β
∂x
=∂2Ψ
∂α2+
∂2Ψ
∂α∂β+
∂2Ψ
∂β∂α+∂2Ψ
∂β2
=∂2Ψ
∂α2+ 2
∂2Ψ
∂α∂β+∂2Ψ
∂β2
para la derivada temporal se tiene
∂2Ψ
∂t2=
∂
∂t
(∂Ψ
∂t
)= v
[∂
∂α
(∂Ψ
∂t
)− ∂
∂β
(∂Ψ
∂t
)]= v
{∂
∂α
[v
(∂Ψ
∂α− ∂Ψ
∂β
)]− ∂
∂β
[v
(∂Ψ
∂α− ∂Ψ
∂β
)]}= v2
{∂
∂α
(∂Ψ
∂α− ∂Ψ
∂β
)− ∂
∂β
(∂Ψ
∂α− ∂Ψ
∂β
)}= v2
{∂2Ψ
∂α2− ∂2Ψ
∂α∂β− ∂2Ψ
∂β∂α+∂2Ψ
∂β2
}1
v2
∂2Ψ
∂t2=
∂2Ψ
∂α2− 2
∂2Ψ
∂α∂β+∂2Ψ
∂β2
Medina V. 9
CAPÍTULO 5. ONDAS
como Ψ (x, t) satisface la ecuación de ondas
∂2Ψ
∂x2=
1
v2
∂2Ψ
∂t2
∂2Ψ
∂α2+ 2
∂2Ψ
∂α∂β+∂2Ψ
∂β2=
∂2Ψ
∂α2− 2
∂2Ψ
∂α∂β+∂2Ψ
∂β2
4∂2Ψ
∂α∂β= 0 (5.27)
de la expresión (5.27), podemos concluir que
∂Ψ
∂α
(∂Ψ
∂β
)=∂Ψ
∂β
(∂Ψ
∂α
)= 0 (5.28)
es decir, que de la primera igualdad de (5.28)
∂Ψ
∂β= G (β) (5.29)
que al integrar, respecto de β, se tiene:
Ψ (α, β) =
ˆG (β) dβ + C0 = g (β) + C0 (5.30)
de la segunda igualdad, de (5.28), se obtiene:
∂Ψ
∂α= F (α) (5.31)
que al integrar se tiene
Ψ (α, β) =
ˆF (α) dα+ C1 = f (α) + C1 (5.32)
Si derivamos (5.32), respecto a β y consideramos ahora a C1 como una función de β, de (5.29) setiene:
∂Ψ
∂β= C ′1 (β) = G (β)
es decir, que de (5.30), obtenemos:
C1 (β) =
ˆG (β) dβ = g (β)
y podemos concluir de (5.32):
Ψ (x, t) = f (α) + g (β) = f (x+ vt) + g (x− vt)
encontrando la expresión (5.26). Se interpreta en este caso y con la condición (5.23) que la magnitudg (x− vt) representa una onda que se propaga en la dirección de los x crecientes, que se denominadirección de propagación sin deformación y con una velocidad igual a v. La función f (x+ vt)corresponde a a una onda en dirección de los x decrecientes. Se habla entonces de una onda
progresiva y de una onda regresiva.
5.6.1. Solución con simetría esférica
Medina V. 10
CAPÍTULO 5. ONDAS
Figura 5.8: Perturbación con simetría esférica
Vamos a suponer que tenemos una onda es-férica como se aprecia en la �gura 5.8. Si segeneraliza la ecuación de onda a tres dimensio-nes se puede escribir
4Ψ ≡ ∂2Ψ
∂x2+∂2Ψ
∂y2+∂2Ψ
∂z2= (5.33)
=1
v2
∂2Ψ
∂t2
donde hemos tomado en consideración la con-tribución de los tres ejes cartesianos. La canti-dad de lado izquierdo de la ecuación (5.33), re-cibe el nombre de Laplaciano en coordenadascartesianas. Sin embargo, debido a la simetríaesférica del problema, es conveniente expresarla función de onda Ψ, en términos de la coor-denadas esféricas. En este caso, la función deonda Ψ tendrá una representación en coorde-nadas esféricas Ψ (r, θ, ϕ) y el tiempo. Por ello la expresión para la componente espacial de la ondase convierte en el Laplaciano 4Ψ, que en coordenadas esféricas se representa como
4Ψ =1
r2
∂
∂r
(r2 ∂Ψ
∂r
)+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
(sin θ
∂Ψ
∂θ
)+
1
r2 sin2 θ
∂2Ψ
∂ϕ2(5.34)
si la función de onda Ψ ≡ Ψ (t, r) depende solamente de las coordenadas temporal y radial, laecuación se reduce a:
4Ψ =1
v2
∂2Ψ
∂t2
1
r2
∂
∂r
(r2 ∂Ψ
∂r
)=
1
v2
∂2Ψ
∂t2(5.35)
si suponemos que la solución de la ecuación de onda es de la forma
Ψ (t, r) =ψ (t, r)
r(5.36)
obtenemos:
∂
∂r
(r2 ∂Ψ
∂r
)=
∂
∂r
[r2 ∂
∂r
(ψ
r
)]=
∂
∂r
[r2
(r · ∂ψ∂r − ψ
r2
)]
=∂
∂r
[r · ∂ψ
∂r− ψ
]=
[∂ψ
∂r+ r
∂2ψ
∂r2− ∂ψ
∂r
]= r · ∂
2ψ
∂r2(5.37)
sustituyendo (5.37) y (5.36) en la ecuación de ondas (5.35), obtenemos:
1
r· ∂
2ψ
∂r2=
1
v2
∂2
∂t2
(ψ
r
)∂2ψ
∂r2=
1
v2
∂2ψ
∂t2(5.38)
obteniendo de nuevo una onda unidimensional cuya solución general ya ha sido determinada por(5.26). En consecuencia, la solución de la ecuación de onda en coordenadas esférica, se puedeexpresar como:
Ψ (t, r) =ψ (t, r)
r=
1
r[f (r + vt) + g (r − vt)]
Medina V. 11
CAPÍTULO 5. ONDAS
Los dos términos de la suma representan ondas esféricas progresivas y regresivas. La onda no sepropaga sin deformación ya que existe un factor de atenuación de la amplitud de 1
r . Cuando nosalejamos de la fuente que genera las ondas esféricas, las super�cies de las ondas son esferas degran radio que se pueden confundir con las super�cies de sus planos tangentes. Si estudiamos lapropagación de las perturbaciones ondulatorias a distancias pequeñas, comparadas con el radio, lasvariaciones de la amplitud de la onda son relativamente pequeñas y se puede aproximar localmentea una onda plana. Se dice así que la onda es localmente plana.
5.7. Ondas planas armónicas
Ya que una onda esférica puede considerarse como una onda localmente plana, nos proponemosestudiar algunas propiedades de las ondas planas sinusoidales. Otra de las razones importantespara estudiar las ondas sinusoidales es que cualquier función, que cumpla ciertas condiciones, puedeser descrita mediante sumas continuas de funciones sinusoidales (Descomposición de Fourier). Concierta regularidad este tipo de onda se denominan también onda plana monocromática y esto sedebe a la relación existente entre frecuencia y el color de la luz visible.
5.7.1. Vector de onda
Una onda plana está caracterizada por su pulsación ω, y tiene la forma:
s (x, t) = A cos (kx− ωt+ φ) (5.39)
se denomina fase a la cantidad kx− ωt+ φ, y los puntos del espacio en los cuales este valor es elmismo, se denominan plano de fases. La magnitud k que hemos introducido aquí se denominanúmero de onda y tiene el inverso de una longitud. Cuando representamos esta onda plana enel espacio, el valor que está en la fase cambia y en este caso escribimos ~k ·~r−ωt+ φ, y ~k recibe elnombre de vector de onda. En el caso general se puede usar la notación compleja y representaruna onda plana como
s (x, t) = Aej(~k·~r−ωt) (5.40)
que se reduce al caso mono dimensional si ~k = kı ; ~r = xı y en este caso volvemos a la representaciónde la ecuación (5.39).
5.7.2. Longitud de onda
Se denomina periodo temporal de la onda al valor T y está de�nido por la relación
T =2π
ω(5.41)
La función de onda precedente posee igualmente una periodicidad espacial denominada longitudde onda
λ =2π
k(5.42)
5.7.3. Velocidad de fase
Esta es por de�nición, la velocidad de los planos de fases. Para una onda plana monocromática unplano de fase está de�nido por los lugares tales que la fase es constante. Es decir ϕ = kx−ωt = cteo de manera equivalente:
x =ω
k· t+
ϕ
k(5.43)
Medina V. 12
CAPÍTULO 5. ONDAS
esta forma de observar los puntos donde la fase es constante, nos indica que ellos se desplazana la velocidad vf = ω
k , que podemos denominar velocidad de fase. Por ello, una onda planamonocromática tomará la forma
s (x, t) = A cos(~k · ~r − ωt+ φ
)con ~k =
ω
vfu (5.44)
donde u es el vector unitario en la dirección de propagación de la onda y vf es la velocidad defase, correspondiente a v en la ecuación de onda (5.22). En los ejemplos precedentes, la velocidadde fase es una característica de los medios de propagación, independiente de la forma de onda y enparticular de su frecuencia. Un medio se le identi�ca como no dispersivo cuando el modulodel vector de onda es directamente proporcional a la pulsación. Volveremos a esta distinción entremedios dispersivos y no dispersivos en la sección 5.12.
5.7.4. Uso de la notación compleja
Al utilizar la notación compleja, se puede escribir
s (x, t) = Ae(~k·~r−ωt+φ) = Aej(kx−ωt) (5.45)
al denominar comox la dirección de propagación. Lo interesante de ésta notación es que
∂s
∂t= −jω · s = −
(ωk
)· (jk · s)
∂s
∂x= jk · s
y podemos escribir
−1
v
∂s
∂t=
∂s
∂x(5.46)
a este tipo de ecuación se le denomina ecuación de onda viajera: El valor que tenga s (x, t) setrasladará en el eje Ox con velocidad constante v. A las ondas que tengan esta propiedad se ledenominan ondas viajeras.
5.8. Separación de variables
Retornando a la ecuación de onda mono-dimensional, intentemos utilizar una técnica diferentepara encontrar soluciones, en términos de ondas planas monocromáticas. Si suponemos que lasolución de la ecuación de onda unidimensional se puede expresar como el producto de dos funcionesΨ(x, t) = p(x) · h(t) la ecuación de onda (5.24) es:
h(t) · p′′(x) =1
v2p(x) · h(t) =⇒ p′′(x)
p(x)=
1
v2
h(t)
h(t)(5.47)
donde las primas denotan derivación respecto de x y los puntos la derivada temporal. Como ellado izquierdo de la ecuación anterior (5.47) depende de x y el lado derecho de t podemos suponerque ambos términos son iguales a una constante. Denotemos a esta constante como −κ2:
p′′(x)
p(x)=
1
v2
h(t)
h(t)= −κ2
y de esta forma se obtienen dos ecuaciones ordinarias de segundo orden:
p′′(x) + κ2p(x) = 0
h(t) + (κv)2h(t) = 0
Medina V. 13
CAPÍTULO 5. ONDAS
Las soluciones de las ecuaciones anteriores se pueden expresar por :
p(x) = A cos (κx) +B sin (κx)h(t) = C cos (κvt) +D sin (κvt)
(5.48)
y los valores de las constantes A,B,C,D se determinarán de acuerdo a las condiciones del problemaa estudiar. Si efectuamos los productos Ψ(x, t) = p(x) · h(t), tenemos
Ψ(x, t) = AC · cos (κx) cos (κvt) +AD · cos (κx) sin (κvt) +
+ BC · sin (κx) cos (κvt) +BD · sin (κx) sin (κvt)
=AC
2[cos (κx− κvt) + cos (κx+ κvt)] +
+AD
2[sin (κx+ κvt)− sin (κx− κvt)] +
+BC
2[sin (κx+ κvt) + sin (κx− κvt)] +
+BD
2[cos (κx− κvt)− cos (κx+ κvt)]
y podemos veri�car de nuevo que estas soluciones se pueden escribir como combinación lineal defunciones del tipo fα (x± vt) como en (5.26) o en este caso particular en forma de onda planamonocromática como en la ecuación (5.39)
5.9. Ondas estacionarias
Un caso particular de ondas, es la que se generan en una cuerda con extremos �jos como enlos instrumentos musicales (pianos, guitarras, bandolas, cuatros etc). Para este caso particularestudiemos el caso de una sola cuerda de longitud L, que tiene una densidad lineal de masa ρ y seencuentra tensa con una fuerza constante T . La solución general de este tipo de problema la hemosencontrado con las ecuaciones (5.48) y nos falta, para este caso, los valores de las constantes. Para�jar los valores de las constantes, tomemos en consideración que para todo instante de tiempo t,los extremos de la cuerda se encuentran �jos. Si tomamos como referencia, la posición de la cuerdatotalmente extendida y tensa, podemos escribir
Ψ (0, t) = Ψ (L, t) = 0 (5.49)
al aplicar la primera condición Ψ (t, 0) = 0 a la solución (5.48) obtenemos
p (0) · h (t) = A = 0 (5.50)
para la segunda Ψ (t, L) = 0 tenemos
p (L) · h (t) = B sin (κL) = 0 (5.51)
y nos permite �jar el valor de κ :
κL = nπ ∀n ∈ N (5.52)
observamos que el valor de κ no es único y depende de los valores de n es decir:
κn =nπ
L
y tiene dimensiones del inverso de la longitud tal como se especi�ca en la subsección (5.7.1) y nosde�ne el número de onda. Podemos permitirnos escribir la solución:
Ψ (x, t) = p (x)h (t)
= B sin (κnx) [C cos (κnvt) +D sin (κnvt)]
= sin (κnx) [BC cos (κnvt) +BD sin (κnvt)]
= [a cos (κnvt) + b sin (κnvt)] sin (κnx)
Medina V. 14
CAPÍTULO 5. ONDAS
y notar que tanto los coe�cientes a y b pueden depender del valor de n, por ello:
Ψn (x, t) = [an cos (κnvt) + bn sin (κnvt)] sin (κnx)
como la ecuación de onda es una ecuación lineal, la combinación lineal de las soluciones, tambiénes solución. Por lo tanto, la solución general es
Ψ (x, t) =∑n∈N
Ψn (x, t)
=∑n∈N
[an cos (κnvt) + bn sin (κnvt)] sin (κnx) (5.53)
Aún nos falta calcular los coe�cientes an y bn. Para lograr calcular estos coe�cientes, podemosutilizar el hecho que la soluciones de una ecuación diferencial lineal, conforman un espacio vectorial.Signi�ca que si podemos �jar una base en este espacio, todas las soluciones las podemos expresarcomo una combinación lineal de las componentes de esta base. Si la forma inicial de la onda,pertenece a dicho espacio, podemos escribir
Ψ (x, 0) =∑n∈N
an sin (κnx)
el producto escalar en un espacio de funciones:
f · g =
ˆ L
0
f (x) · g (x) dx
podemos utilizar el producto escalar para calcular los coe�cientes an:
ˆ L
0
Ψ (x, 0) · sin (κnx) dx =∑m∈N
am
ˆ L
0
sin (κmx) · sin (κnx) dx (5.54)
calculemos la integral
Imn =
ˆ L
0
sin (κmx) · sin (κnx) dx
=1
2
[ˆ L
0
cos (κm − kn)x · dx−ˆ L
0
cos (κm + kn)x · dx
]
=1
2
[ˆ L
0
cos (κm − κn)x · dx−ˆ L
0
cos (κm + κn)x · dx
]
=1
2
[sin (κm − κn)x
(κm − κn)
∣∣∣∣L0
− sin (κm + κn)x
(κm + κn)
∣∣∣∣L0
]
=L
2
[sin (m− n)π
(m− n)π− sin (m+ n)π
(m+ n)π
]= 0 si m 6= n
ahora calculemos el caso que n = m :
Imm =
ˆ L
0
sin2 (κmx) dx
=1
2
ˆ L
0
[1− cos 2 (κmx)] dx
=1
2
[ˆ L
0
dx−ˆ L
0
cos 2 (κmx) dx
]
=1
2
[L− sin 2 (κmL)
2κm
]=L
2si n = m
Medina V. 15
CAPÍTULO 5. ONDAS
de la de�nición del delta de Kronecker:
δnm =
{1 si n = m
0 si n 6= m
es decir que
Imn =L
2δmn
que al sustituir en (5.54) se tiene
ˆ L
0
Ψ (x, 0) · sin (κnx) dx =L
2
∑m∈N
amδmn
=L
2an
ahora si podemos escribir el valor del coe�ciente an
an =2
L
ˆ L
0
Ψ (x, 0) · sin (κnx) dx (5.55)
Para el cálculo de los coe�cientes bn, se puede utilizar la velocidad de la perturbación en el instanteinicial, derivando respecto al tiempo a (5.53) y luego evaluando en t = 0. Con esto se consigue
bn =2
ωnL
ˆ L
0
∂Ψ
∂t(x, 0) · sin (κnx) dx (5.56)
Aunque no es común, a veces es conveniente escribir el desarrollo de Fourier (5.53) bajo la forma
Ψ (x, t) = C0 +
∞∑n=1
Cn cos (ωnt+ ϕn) sin (κnx)
El valor ω1 = κ1v se denomina pulsación (frecuencia f1 = ω1
2π ) fundamental y las pulsacionesmúltiplos de ellas, se denominan armónicos. Volveremos con esta forma de expresar la suma deFourier en la sección (5.14). Es necesario utilizar un ejemplo sencillo para observar como se puedeutilizar la descomposición de una función cualquiera en su espectro de Fourier.
5.9.1. Ejemplo
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
L
h
Figura 5.9: Forma inicial de la cuerda con extremos
�jos Ψ(x, 0)
Dada la forma inicial de la onda dada en lagrá�ca 5.9, encuentre los términos no nulosdel desarrollo de Fourier. Considere que inicial-mente que el per�l de velocidad de la cuerda esnulo.Sabemos que la función de onda satisface laecuación (5.22) se puede expresar como el desa-rrollo de Fourier
Ψ(x, t) =
∞∑n=0
[an cos (ωnt) + bn sin (ωnt)] sin (knx)
donde los coe�cientes de la expresión se puedendeterminar a partir de:
an =2
L
ˆ L
0
Ψ(x, 0) sin (knx) dx bn =2
ωnL
ˆ L
0
∂Ψ
∂t(x, 0) sin (knx) dx
Medina V. 16
CAPÍTULO 5. ONDAS
f(x,1)H(x,3)H(x,5)H(x,7)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1
(a) Primeros 4 armónicos de Ψ (x, 0)
f(x,1)f(x,10)
f(x,10000)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1
(b) Suma de algunos de los términos del desarrollo de Fourier
Figura 5.10: Algunos términos de la descomposición de Fourier para la forma de onda inicial dela �gura (5.9) y suma de algunos términos
donde kn = nπL ; ωn = vkn. De las condiciones del problema, los coe�cientes bn = 0, son nulos.
Por esto vamos a calcular los valores de los coe�cientes an. La ecuación Ψ(x, 0) se puede expresarcomo:
Ψ(x, 0) =
{2hL x x ∈
[0, L2
)− 2hL (x− L) x ∈
(L2 , L
] (5.57)
En este caso la expresión para los anse expresa como:
L
2an =
ˆ L
0
Ψ(0, x) sin (knx) dx =2h
L
ˆ L2
0
x sin (knx) dx− 2h
L
ˆ L
L2
(x− L) sin (knx) dx
o de forma equivalente:
L2
4han =
ˆ L2
0
x sin (knx) dx−ˆ L
L2
x sin (knx) dx+ L
ˆ L
L2
sin (knx) dx (5.58)
calculando la primitiva, se obtiene:
ˆx sin (knx) dx = −x cos (knx)
kn+
sin (knx)
k2n
y sustituyendo en los límites de integración, se obtiene:
ˆ L2
0
x sin (knx) dx = −L cos
(knL
2
)2kn
+sin(knL
2
)k2n
−ˆ L
L2
x sin (knx) dx =L cos (knL)
kn− sin (knL)
k2n
−L cos
(knL
2
)2kn
+sin(knL
2
)k2n
L
ˆ L
L2
sin (knx) dx = Lcos(knL
2
)kn
− Lcos (knL)
kn
Agrupando términos semejantes y efectuando las operaciones en (5.58), se obtiene:
L2
4han =
1
k2n
[2 sin
(knL
2
)− sin (knL)
]como knL = nπ y sin (nπ) = 0; ∀∈ N,
Medina V. 17
CAPÍTULO 5. ONDAS
an =8h
π2n2sin(nπ
2
)observando los términos de la serie, podemos concluir que para todo n par an = 0 y para lostérminos impares la serie es alterna. Sí de�nimos a1 = 8h
π2 ,
a3 = −a11
32; a5 = +a1
1
52;
a7 = −a11
72; a9 = +a1
1
92
observamos en la expresión anterior, cierta regularidad y los términos impares se pueden escribirbajo la forma:
a2n+1 = a1(−1)
n
(2n+ 1)2
podemos escribir:
Ψ(x, t) = a1
∞∑n=0
(−1)n
(2n+ 1)2 sin
[(2n+ 1)π
Lx
]cos (ω2n+1t)
Si tomamos en consideración que
sin (α) cos (β) =1
2[sin (α+ β) + sin (α− β)]
y como k2n+1 = (2n+1)πL y ω2n+1 = k2n+1v
Ψ(x, t) = a1
∞∑n=0
(−1)n
(2n+ 1)2 [sin (k2n+1x+ k2n+1vt) + sin (k2n+1x− k2n+1vt)]
= a1
∞∑n=0
(−1)n
(2n+ 1)2 {sin ([k2n+1 (x+ vt)]) + sin [k2n+1 (x− vt)]} (5.59)
= f (x+ vt) + g (x− vt)
podemos establecer una similitud de la ecuación (5.26) con (5.59).
5.10. Transporte de Energía
Un segmento de cuerda elástica almacena energía cinética y potencial al moverse al paso de unaperturbación ondulatoria. La expresión para la energía cinética transportada por un segmento delongitud dx se puede escribir como
dEcdx
=1
2ρ
(∂Ψ
∂t
)2
(5.60)
y para la energía potencial podemos considerar que cuando la cuerda se encuentra en reposo, lalongitud de un segmento cualquiera de ella es tal que dl = dx. (ver Figura 5.7) Al ponerse enmovimiento, la longitud del mismo trozo de ella, resulta ser:
dl′ = dl − dx =
√dx2 + [δΨ]
2 − dx (5.61)
donde dl es la longitud sobre el segmento de cuerda. y
δΨ = Ψ (x+ dx)−Ψ (x, t) ≈(∂Ψ
∂x
)dx
Medina V. 18
CAPÍTULO 5. ONDAS
H(x)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1 2 3 4 5 6 7 8
Figura 5.11: Espectro de frecuencia de la forma inicial de la �gura 5.9
es decir
dl′ =
√dx2 +
[(∂Ψ
∂x
)dx
]2
− dx
=
√√√√(dx)
2
[1 +
(∂Ψ
∂x
)2]− dx
=
√1 +
(∂Ψ
∂x
)2
− 1
· dxal aproximar la cantidad subradical como (1 + z)
n ≈ 1 + nz + · · ·
dl′ ≈ 1
2
(∂Ψ
∂x
)2
dx (5.62)
de la de�nición de trabajo de una fuerza:
dW = T · dl′ =1
2T
(∂Ψ
∂x
)2
dx (5.63)
y la energía potencial por unidad de longitud es
dEpdx
=1
2T
(∂Ψ
∂x
)2
y de (5.25), T = ρv2 y la densidad lineal de energía potencial se escribe:
dEpdx
=1
2ρv2
(∂Ψ
∂x
)2
(5.64)
Medina V. 19
CAPÍTULO 5. ONDAS
F T
θ
θ
T
Figura 5.12: Tren de ondas y componente transversal de la fuerza ~F aplicada en un extremo dela cuerda
sumando (5.60) y (5.64) obtenemos la densidad, por unidad de longitud, de la energía mecánica:
dEmdx
=dEcdx
+dEpdx
=1
2ρ
[v2
(∂Ψ
∂x
)2
+
(∂Ψ
∂t
)2]
(5.65)
5.10.1. Impedancia característica
En cualquier medio que se desplace una onda, existirá una impedancia (oposición) a la propagaciónde las ondas. Si el medio no tiene un mecanismo de disipación (ver sección5.12 ), la impedanciaestará determinada por la inercia y será un número real. La presencia de algún tipo de mecanismoque disipe la energía e introducirá un término complejo en la impedancia. Una cuerda, consideradacomo un medio, presenta una impedancia a un tren de ondas, que se de�ne como:
F⊥ = Z
(∂Ψ
∂t
)(5.66)
donde ∂Ψ∂t es la velocidad de la perturbación, F⊥ es la componente transversal de la fuerza apli-
cada en el extremo de la cuerda y Z se denomina impedancia característica. En la �gura (5.12)
consideramos un tren de ondas en una cuerda que son generadas por una fuerza ~F en uno de susextremos. La fuerza ~F actúa en el plano y la tensión de la cuerda se considera constan te y en elextremo, donde se aplica la fuerza, se tiene que ésta debe ser igual a la componente de la tensión:
F⊥ = −T sin θ ≈ T tan θ = −T · ∂Ψ
∂x
= −T ·(−1
v
∂Ψ
∂t
)=T
v
∂Ψ
∂t
donde hemos usado la ecuación (5.46). De la ecuación (5.25) se tiene
F⊥ =T
v
∂Ψ
∂t= ρv
∂Ψ
∂t=√Tρ · ∂Ψ
∂t= Z · ∂Ψ
∂t(5.67)
es decir, que
Z = ρv =√Tρ (5.68)
5.10.2. Re�exión y Transmisión de ondas
Ya hemos visto que en una cuerda (o cualquier medio de transmisión de una señal) presenta unaimpedancia característica (Z = ρv), al propagar un tren de ondas . Ahora queremos estudiar loque sucede si hay un cambio repentino del valor de la impedancia y como se comporta el tren
Medina V. 20
CAPÍTULO 5. ONDAS
ρ1
Z1
2Z
x
transmitida
incidente
reflejada
x=0
ρ2
Figura 5.13: Ondas incidente, transmitids y re�ejadas en una cuerda. Cada sección del mediotiene densidades diferentes al lado izquierdo(x→ 0−) y al lado derecho (x→ 0+) del punto dediscontinuidad x = 0.
de ondas con este cambio repentino. Podemos encontrar este tipo de problema al estudiar ondasacústicas, fuentes de voltaje ó de corriente y en ondas electromagnéticas.Vamos suponer que tenemos una cuerda que consiste en dos secciones unidas en x = 0 y condensidades lineales distintas ρ1 y ρ2 de tal forma que la tensión de la cuerda sea constante(T =
Z21
ρ1=
Z22
ρ2
), pero las velocidades de propagación de la onda en cada sección de la cuerda
son diferentes: v21 = T
ρ1y v2
2 = Tρ2.
Una onda incidente viaja a lo largo de la cuerda y se encuentra al punto de discontinuidad enx = 0 (ver �gura 5.13). Parte de la onda incidente, será re�ejada y otra será transmitida a la regióncon impedancia Z2. Las impedancias características de las dos regiones valen Z1 y Z2 . Podemos
describir la onda incidente como una onda plana (5.40) que viaja a la velocidad v1 =√
Tρ1
en la
dirección +x :
Ψi (x, t) = A1ej(ωt−k1x) (5.69)
la expresión para la onda re�ejada de amplitud B1 que viaja en la direccón negativa −x a unavelocidad v1 como
Ψr (x, t) = B1ej(ωt+k1x) (5.70)
y para la onda transmitida de amplitud A2 que se propaga en la dirección positiva +x a unavelocidad v2:
Ψt (x, t) = A2ej(ωt−k2x) (5.71)
Deseamos encontrar la relación existente entre los coe�cientes de las ondas transmitidas y re�eja-das con respecto a la amplitud de la onda incidente. En otras palabras la relación existente entreB1 y A1; como la razón entre A2 y A1. Esto lo podemos conseguir por medio de las condicionesde borde que deben ser satisfechas en la interface entre los dos medios ó como lo hemos llamado,el punto de discontinuidad x = 0. Estas condiciones de borde se expresan como:
1. En la interface, no puede haber discontinuidad en la perturbación ondulatoria para cualquierinstante de tiempo t.
2. Una condición dinámica es que las componentes transversales de la Fuerza F⊥ = T ∂Ψ∂x deben
ser contínuas en la interface (x = 0). Esto se debe mantener ya que si existen discontinuidaden la derivada, estariamos en presencia de valores in�nitos de la aceleración.
Medina V. 21
CAPÍTULO 5. ONDAS
La condición (1), establece que
Ψi (x, t) + Ψr (x, t) = Ψt (x, t) (5.72)
A1ej(ωt−k1x) +B1e
j(ωt+k1x) = A2ej(ωt−k1x) (5.73)
que al evaluar ∀t y en x = 0, se tiene
A1 +B1 = A2 (5.74)
la condición (2), establece que
T
(∂Ψi
∂x+∂Ψr
∂x
)(x, t) = T
∂xΨt
∂x(x, t) (5.75)
que al ser evaluada en x = 0, se obtiene:
−k1TA1 + k1TB1 = −k2TA2 (5.76)
como ω = vαkα , α ∈ {1, 2} entonces
− ωv1TA1 +
ω
v1TB1 = − ω
v2TA2 (5.77)
y puesto que Tvα
= ραvα = Zα ∀α ∈ {1, 2}, en términos de las impendancia, obtenemos de (5.77)
Z1 (A1 −B1) = Z2A2 (5.78)
al resolver el sistema de ecuaciones (5.74) y (5.78);
T =A2
A1= 2
1+Z2Z1
=2Z1
Z1 + Z2(5.79)
R =B1
A1= A2
A1− 1 =
Z1 − Z2
Z1 + Z2(5.80)
Podemos observar ue estos coe�cientes son independientes de la pulsación ω (o de la frecuencia)y dependen únicamente del cociente de las impedancias. En el vcaso que Z2 → ∞, se tiene quehemos alcanzado el �nal de la cuerda y no hay onda transmitida T → 0 y R = B1
A1= −1, es decir
que la onda incidente es completamente re�ejada con un cambio de fase de π, condición que debemantenerse para una onda estacionaria.
5.10.3. Re�exión y transmisión de energía
Vamos a determinar ahora que pasa en una onda con la energía al pasar ésta de un medio aotro.Sabemos que la densidad de energía por unidad de longitud, está dada por (5.65) y la potenciaestá de�nida por
P =dEmdt
=dEmdx
(dx
dt
)=
Z
2v
[v2
(∂Ψ
∂x
)2
+
(∂Ψ
∂t
)2]v
=Z
2
[v2
(∂Ψ
∂x
)2
+
(∂Ψ
∂t
)2]
(5.81)
Si consideramos soluciones de tipo armónico (5.39):
Ψ (x, t) = A cos (kx− vt+ φ0)
v
(∂Ψ
∂x
)= −A (kv) sin (kx− vt+ φ0) = −Aω sin (kx− vt+ φ0)
∂Ψ
∂t= Aω sin (kx− vt+ φ0)
Medina V. 22
CAPÍTULO 5. ONDAS
podemos calcular el lado derecho de la ecuación (5.81):
v2
(∂Ψ
∂x
)2
= A2ω2 sin2 (kx− vt+ φ0)(∂Ψ
∂t
)2
= A2ω2 sin2 (kx− vt+ φ0)
y en un período T su valor promedio es
1
T
ˆ T
0
[v2
(∂Ψ
∂x
)2]dt = A2ω2
[1
T
ˆ T
0
sin2 (kx− vt+ φ0) dt
]
=A2ω2
2
de manera similar
1
T
ˆ T
0
(∂Ψ
∂t
)2
dt = A2ω2
[1
T
ˆ T
0
sin2 (kx− vt+ φ0) dt
]
=A2ω2
2
de (5.81), el valor promedio de la potencia
〈P 〉 =Z
2
[⟨v2
(∂Ψ
∂x
)2⟩
+
⟨(∂Ψ
∂t
)2⟩]
=Z
2A2ω2
calculando el valor promedio de la potencia de la onda incidente:
〈P 〉i =Z1
2A2
1ω2
y para la onda re�ejada y transmitida
〈P 〉r + 〈P 〉t =Z1
2B2
1ω2 +
Z2
2A2
2ω2
=Z1
2A2
1ω2
[(B1
A1
)2
+
(Z2
Z1
)(A2
A1
)2]
de las expresiones (5.79) y (5.80)
〈P 〉r + 〈P 〉t =Z1
2A2
1ω2
[(Z1 − Z2
Z1 + Z2
)2
+
(Z2
Z1
)(2Z1
Z1 + Z2
)2]
=Z1
2A2
1ω2
[Z2
1 + Z22 − 2Z1Z2
(Z1 + Z2)2 +
1
Z1
4Z21Z2
(Z1 + Z2)2
]
=Z1
2A2
1ω2
[Z2
1 + Z22 + 2Z1Z2
(Z1 + Z2)2
]=Z1
2A2
1ω2
= 〈P 〉ila energía por unidad de tiempo (Potencia) se conserva, ya que toda la energía (potencia) quellega a la interface entre los dos medios (potencia incidente), se reparte entre la energía re�ejaday la energía transmitida, por unidad de tiempo. También:
〈P 〉r〈P 〉i
=Z1
2 B21ω
2
Z1
2 A21ω
2=
(B1
A1
)2
=
(Z1 − Z2
Z1 + Z2
)2
(5.82)
〈P 〉t〈P 〉i
=Z1
2 A22ω
2
Z1
2 A21ω
2=
(Z2
Z1
)(A2
A1
)2
=
(4Z1Z2
Z1 + Z2
)2
(5.83)
Medina V. 23
CAPÍTULO 5. ONDAS
dl
E
A
B
(a) Circulación del campo
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������
�������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
ds
(C)
(S)
(b) Flujo de un campo vectorial y volumende�nido por la super�cie cerrada
Figura 5.14: Teorema de Stokes y Divergencia
de la ecuación (5.82), tenemos que si Z1 = Z2; no hay energía re�ejada y toda la potencia estransmitida. Se dice que las impedancias se equilibran.
5.11. Ondas Electromagnéticas
Se denomina radiación electromagnética a toda manifestación ondulatoria producida por la vi-bración de electrones o cualquier otra partícula cargada. Los cambios producidos por estas cargaseléctricas generan cambios en los campos eléctricos que ellas producen y todo cambio temporalde un campo eléctrico, produce cambios u origina campos magnéticos. Estos cambios se propaganbajo la forma de ondas electromagnéticas.Aunque los fenómenos eléctricos y magnéticos aparentan ser independientes, en regímenes estacio-nario, ellos están estrechamente relacionados cuando dependen explícitamente del tiempo (régimenvariable). De hecho los fenómenos electrostáticos y magnetostáticos no son más que casos particu-lares de un fenómeno único.Una de las características interesantes de las ondas electromagnéticas, es que no necesitan ningúntipo de soporte material para propagarse, a diferencia de las ondas que hemos estudiado, que sinecesitan un medio.Para establecer las ecuaciones fundamentales, necesitaremos algunas de�niciones y teoremas bá-sicos que vamos a detallar a continuación.
5.11.1. Teorema de Stokes
Se de�ne la circulación del campo vectorial ~E a lo largo del contorno (C) (ver �gura 5.14a)a:
C(~E)
=
ˆ B
A
~E · d~r
El valor del potencial eléctrico está relacionado con la circulación ya que
dV = − ~E · d~r = −dC
Si ~E tiene componentes cartesianas ~E = Ex ı+ Ey + Ez k y d~l = dxı+ dy+ dzk se tiene
C( ~E) =
ˆ B
A
~E · d~r =
ˆ B
A
Exdx+ Eydy + Ezdz
se denotará la circulación a lo largo de un contorno cerrado en el sentido directo. El Teorema deStokes se puede expresar
Medina V. 24
CAPÍTULO 5. ONDAS
ˆ(C)
~E · d~r =
¨(S)
rot ~E · d~S (5.84)
donde (S) es una super�cie cualquiera donde se apoya (C) y d~S es un vector siguiendo la normal
positiva a la super�cie. Un campo vectorial ~E tiene una circulación nula (campo conservativo) si
rot ~E = 0
5.11.2. Teorema de Gauss o Teorema de la divergencia
El �ujo de un campo vectorial ~E a través de una super�cie (S) está de�nido por
Φ( ~E) =
¨~E · d~S =
¨E · dS · cos θ
Si (S) es una super�cie cualquiera (�g. 5.14b) que sirve de frontera al volumen (V )
¨(S)
~E · d~S =
˚(V )div ~E · dV (5.85)
donde ~E es un campo vectorial continuo y diferenciable. Un campo vectorial es de �ujo conservativosi el �ujo es nulo a través de una super�cie cerrada cualquiera (S)
¨~E · d~S = 0
la condición necesaria y su�ciente es que div ~E = 0.
5.11.3. Ecuaciones de Maxwell
Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen los fenómenoselectromagnéticos. La gran contribución de James Clerk Maxwell (1831-1879) fue reunir en es-tas ecuaciones, largos años de resultados experimentales debidos a Coulomb, Gauss, Ampère ,Faraday y otros; introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento. De estamanera, se uni�ca los conceptos de campo magnéticos y eléctricos en un solo concepto: el campoelectromagnético.
5.11.4. Representación integral
Las cuatro ecuaciones de Maxwell se pueden representar de manera integral:
¨(S)
~E· ~dS =Q
ε0(Gauss) (5.86)
¨(S)
~B· ~dS = 0 (nomonopolomagnetico) (5.87)
ˆ(C)
~E · d~r = −dΦBdt
(Faraday − Lenz) (5.88)
ˆ(C)
~B · d~r = µ0I + µ0ε0dΦEdt
(Ampere−Maxwell) (5.89)
Para deducir las expresiones diferenciales de las ecuaciones (5.86)-(5.89) podemos utilizar el Teo-rema de Stokes (5.84) y Divergencia (5.85) así como las de�niciones de �ujo de campo eléctrico,magnético y densidad de carga.
Medina V. 25
CAPÍTULO 5. ONDAS
5.11.5. Representación diferencial
Podemos deducir las expresiones diferenciales de cada una de las ecuaciones (5.86)-(5.89), si porejemplo escribimos (5.86) y con ayuda de la de�nición de carga eléctrica¨
(S)
~E· ~dS =Q
ε0=
˚(V )
ρ
ε0· dV =
˚(V )
div ~E · dV
donde hemos usado la de�nición de densidad volúmica de carga
ρ =dQ
dV→ Q =
˚(V )
ρ · dV
y con ayuda del Teorema de Gauss (5.85):˚(V )
ρ
ε0· dV =
˚(V )
div ~E · dV˚
(V )
(ρ
ε0− div ~E
)· dV = 0
válida para cualquier volumen (V ). Por eso
div ~E =ρ
ε0(5.90)
de manera similar
div ~B = 0 (5.91)
ya que no hay fuentes aisladas de campo magnético.Para la ecuación (5.88), podemos usar el Teorema de Stokes (5.84) y la de�nición de �ujo mag-nético. ¨
(C)
~E · d~r = − d
dt
(¨(S)
~B · d~S
)=
¨(S)
(−∂
~B
∂t
)· d~S
¨(S)
rot ~E · d~S =
¨(S)
(−∂
~B
∂t
)· d~S
¨(S)
(rot ~E +
∂ ~B
∂t
)· d~S = 0
válida para cualquier super�cie (S), y por ello
rot ~E = −∂~B
∂t(5.92)
Con la ecuación (5.89), usaremos el Teorema de Stokes (5.84) y la de�nición de corriente eléctrica
ˆ(C)
~B · d~r = µ0
(¨(S)
~j · d~S
)+ µ0ε0
d
dt
(¨(S)
~E · d~S
)¨
(S)
rot ~B · d~S =
(¨(S)
µ0~j · d~S
)+
(¨(S)
µ0ε0∂ ~E
∂t· d~S
)
=
¨(S)
(µ0~j + µ0ε0
∂ ~E
∂t
)· d~S
y usando el mismo razonamiento del caso anterior, las integrales se calculan sobre cualquier su-per�cie y:
rot ~B = µ0~j + µ0ε0
∂ ~E
∂t(5.93)
Medina V. 26
CAPÍTULO 5. ONDAS
5.11.6. Ecuaciones de ondas electromagnéticas
De manera similar al caso de las ondas mecánicas, en las que utilizamos las Leyes de Newtonpara obtener las diversas ecuaciones de ondas; vamos a utilizar las Ecuaciones de Maxwell, enrepresentación diferencial, para obtener las ecuaciones ondulatorias para los campos eléctricos ymagnéticos:
div ~E =ρ
ε0
div ~B = 0
rot ~E = −∂~B
∂t
rot ~B = µ0~j + µ0ε0
∂ ~E
∂t
Si observamos detenidamente, las ecuaciones de Maxwell, son ecuaciones lineales de primer ordeny la ecuación de onda es lineal de segundo orden. Por esto vamos a utilizar algunas propiedadesde los operadores diferenciales, para obtener ecuaciones diferenciales de segundo orden: Si ~G es uncampo vectorial diferenciable se sabe que
rot(rot ~G
)= grad
(div ~G
)−4~G (5.94)
donde 4~G es el operador laplaciano, anteriormente visto en la sección (5.6.1) y con la ecuación
(5.33). Aplicando (5.94) al campo magnético ~B, obtenemos
rot(rot ~B
)= grad
(div ~B
)−4 ~B
y de las ecuaciones de Maxwell (5.91) y (5.92),
rot
(µ0~j + µ0ε0
∂ ~E
∂t
)= grad
(div ~B
)−4 ~B
µ0rot~j + µ0ε0 rot
(∂ ~E
∂t
)= −4 ~B
como el rotacional se aplica sobre las coordenadas espaciales y tenemos una derivada parcialtemporal, estos operadores conmutan y tenemos
µ0rot~j + µ0ε0∂
∂t
(rot ~E
)= −4 ~B
y con (5.92), tenemos
µ0rot~j − µ0ε0∂
∂t
(∂ ~B
∂t
)= −4 ~B
µ0rot~j − µ0ε0∂2 ~B
∂t2= −4 ~B
si estamos en el vacío y no existe un �ujo de carga, ~ = 0 y
4 ~B = µ0ε0∂2 ~B
∂t2(5.95)
que al comparar con (5.33), vemos que podemos hacer coincidir 1v2 = µ0ε0, es decir, que si notamos
como c la velocidad de propagación de la perturbación del campo magnético, obtenemos
c =1
√µ0ε0
(5.96)
Medina V. 27
CAPÍTULO 5. ONDAS
De manera similar podemos usar (5.94) para el caso del campo eléctrico y obtener:
rot(rot ~E
)= grad
(div ~E
)−4 ~E
y de (5.90) y (5.88):
rot
(−∂
~B
∂t
)= grad
(ρ
ε0
)−4 ~E
− ∂
∂t
(rot ~B
)= grad
(ρ
ε0
)−4 ~E
− ∂
∂t
(µ0~j + µ0ε0
∂ ~E
∂t
)=
1
ε0grad (ρ)−4 ~E
−µ0∂~j
∂t− µ0ε0
∂2 ~E
∂t2=
1
ε0grad (ρ)−4 ~E
si de nuevo suponemos que estamos en el vacío ~j = ρ = 0: y
µ0ε0∂2 ~E
∂t2= 4 ~E (5.97)
tanto (5.95) y (5.97) representan dos ecuaciones de ondas con la misma velocidad de propagaciónc, tanto para el campo eléctrico como el magnético en el vacío.
5.12. Medios Dispersivos. Dispersión de un paquete de onda
De manera similar a los fenómenos vibratorios, debemos tomar en cuenta el amortiguamientodebido al roce con el aire o medio circundante, en el caso de la cuerda. Se puede demostrar, quela contribución o corrección debida al frotamiento con el aire, se puede incluir un término extramodelado por una fuerza opuesta al desplazamiento de la cuerda y proporcional a la velocidad~F = − (ρdx) ~vτ . Con esta contribución, la ecuación de onda para el caso dispersivo se establececomo
∂2Ψ
∂t2+
1
τ
∂Ψ
∂t− v2 ∂
2Ψ
∂x2= 0 (5.98)
ya que la ecuación mantiene su linealidad, trataremos de buscar una solución utilizando ondas pla-nas monocromáticas, tal como hemos con�rmado para el caso no dispersivo. Por ello intentaremosencontrar las soluciones bajo la forma
Ψ (t, x) = U (x) e−jωt (5.99)
que al sustituir obtenemos:
∂2(U (x) e−jωt
)∂t2
+1
τ
∂(U (x) e−jωt
)∂t
− v2 ∂2(U (x) e−jωt
)∂x2
= 0
−ω2U (x) e−jωt − j ωτU (x) e−jωt − v2e−jωt
d2U
dx2= 0
−e−jωtv2
[d2U
dx2+
(ω2 + j ωτv2
)U (x)
]= 0 (5.100)
encontrando una solución para U (x) de la forma
U (x) = U+ejkx + U−e
−jkx con k2 =ω2 + j ωτv2
(5.101)
podemos decir queΨ (t, x) = U+e
j(kx−ωt) + U−e−j(kx+ωt) (5.102)
es solución si k está relacionada con ω por una relación de dispersión.
Medina V. 28
CAPÍTULO 5. ONDAS
5.12.1. Dispersión y absorción
Si de�nimos k′ = Re (k) y k′′ = Im (k) y tomamos uno de los términos de (5.102), tenemos
Ψ (t, x) = U0ej(kx−ωt)
= U0ej[(k′+jk′′)x−ωt]
= U0e−k′′xejk
′(x− ωk′ t)
La parte real k′ de k establece la velocidad de fase vf = ωk′ t; (recordar la ecuación 5.43). Si
vf depende de ω las ondas de pulsaciones diferentes no se propagan a la misma velocidad:el medio es dispersivo.
La parte imaginaria k′′ de k modi�ca la amplitud de la onda en un factor exponencial e−jk′′x.
Salvo casos particulares (un medio ampli�cador) el término e−jk′′x es decreciente y traduce
la absorción del medio.
5.13. Paquete de ondas
Estudiemos los casos en que k es real. Por su de�nición una onda plana monocromática ( verecuación 5.39) tiene una extensión in�nita, no tiene comienzo ni �nal, y es imposible asociar a uncaso físico real asociada a una fuente o instante de emisión. Además que la energía asociada a estetipo de onda es in�nita. Una onda plana monocromática es un modelo práctico para el estudio delos fenómenos de propagación, pero ella no está asociada a un caso real.
5.13.1. Superposición de ondas localizadas
Dadas dos ondas planas monocromáticas
f1 (x, t) = fm cos (k1x− ω1t) f2 (x, t) = fm cos (k2x− ω2t)
donde se tienen las relaciones de dispersión
k1 = k1 (ω1) y k2 = k2 (ω2)
vamos a de�nir
δk =k1 − k2
2; km =
k1 + k2
2; δω =
ω1 − ω2
2; ωm =
ω1 + ω2
2
considerando que |δω| � ωm, que nos lleva a km ≈ k (ωm). La amplitud de la onda resultante
f (x, t) = f1 (x, t) + f2 (x, t)
= fm [cos (k1x− ω1t) + cos (k2x− ω2t)]
= 2fm cos
[(k1 + k2)x− (ω1 + ω2) t
2
]· cos
[(k1 − k2)x− (ω2 − ω1) t
2
]= 2fm · cos (δk · x− δω · t) · cos (kmx− ωmt)
obtenemos así el fenómeno de mezcla o batido. En un instante cualquiera, observamos una funciónsinusoidal espacial rápida de periodo 2π
kmdonde la amplitud es una función sinusoidal de variación
espacial lenta (de período 2πδk ). Se obtiene el mismo resultado cuando t varía.
La señal rápida se propaga a la velocidad de fase vf = ωmkm
.
La señal lenta (la envolvente) se propaga a la velocidad de grupo vg = δωδk ≈
dωdk
Medina V. 29
CAPÍTULO 5. ONDAS
Figura 5.15: Batidos
5.14. Caso de N ondas
Podemos extender la suma de solo dos ondas a un número �nito de ellas, para observar que clasede modi�caciones se tienen y si es posible modelar una onda real al superponer un mayor númerode ellas.
f (x, t) =
N∑n=−N
fm cos (knx− ωnt) con ωn = ωm + nδω (5.103)
como en el caso de la suma de dos ondas debemos suponer de la longitud espectral es tal que
∆ω = 2Nδω � ωm (5.104)
En la �gura 5.16, tenemos lo que se observa en x = 0 para un paquete de 2N + 1ondas. Pararealizar estas grá�cas se �jan los valores de fm a 1. Dos casos interesantes de pueden observar enla �gura (5.17) donde aparecen dos pulsos diferentes con coe�cientes fm 6= 1. (Pulso Gaussiano yPulso de Lorentz)
5.15. Paquete de ondas localizadas
De lo anterior, podemos concluir que de la superposición de 2N +1 ondas planas monocromáticasde pulsaciones separadas δω obtenemos una onda periódica de período
T =2π
δω
para obtener una onda completamente localizada y por ello no periódica es necesario agregar demanera conveniente un mayor número de términos en (5.103). Otra manera simple, aunque pocorigurosa, de efectuar este paso, consiste en ver la función estudiada como una función con unperiodo T muy grande (T →∞). El número de términos de la serie (5.103) en el intervalo dado defrecuencias aumenta. La frecuencia ωn = nω1 tiende a ser una variable continua ω; la diferenciaωn+1 − ωn = ω1 tiende a ser un valor in�nitesimal dω. Las sumas se transforman en integrales y(5.103) se puede escribir
f (x, t) =1√2π
ˆ ∞−∞
A (ω) ej(kx−ωt)dω con k = k (ω) (5.105)
Un paquete de ondas localizadas en el tiempo y en el espacio es una superposición de ondasplanas monocromáticas con una distribución continuas de pulsaciones (frecuencias) A (ω). Comoconsecuencia de la relación de dispersión k = k (ω) , la expresión (5.105) se puede escribir en
Medina V. 30
CAPÍTULO 5. ONDAS
sumaf001.fig
−3
−2
−1
0
1
2
3
0 50 100 150 200 250 300 350 400
sumaf002.fig
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
0 50 100 150 200 250 300 350 400
sumaf0010.fig
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
25
0 50 100 150 200 250 300 350 400
sumaf0020.fig
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
50
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Figura 5.16: Superposición de un número �nito de ondas para N = 1, 2, 10 y 20
Medina V. 31
CAPÍTULO 5. ONDAS
gausspacket35.fig
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
−200 −150 −100 −50 0 50 100 150 200
(a) Gauss
lorentz35.fig
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
−200 −150 −100 −50 0 50 100 150 200
(b) Lorentz
Figura 5.17: Combinación de ondas planas monocromáticas que aproximan Pulsos Gaussiano yde Lorentz
términos del número de ondas k:
f (x, t) =1√2π
ˆ ∞−∞
[A (ω(k))
dω
dk
]ej(kx−ωt)dk
=1√2π
ˆ ∞−∞
g (k) ej(kx−ωt)dk (5.106)
donde g (k) se puede interpretar como la función que establece las amplitudes de cada una delas ondas planas que contribuyen a la suma en todo el paquete de ondas. Como un ejemplo deaplicación de la ecuación (5.106), podemos formar un paquete de ondas descrito por una Gaussianapara f (x, 0), tomando como distribución continua de frecuencias g (k) un pulso Gaussiano (verFigura (5.18)):
g (k) = g0e− (k−k0)2
2σ2 (5.107)
y en t = 0, se tiene
f (x, 0) =1√2π
ˆ ∞−∞
g0e− (k−k0)2
2σ2 ejkxdk
=g0√2π
ˆ ∞−∞
exp
[−(k − k0√
2σ
)2
+ j (k − k0)x+ jk0x
]dk
=g0e
jk0x
√2π
ˆ ∞−∞
exp
[−(k − k0√
2σ
)2
+ 2(k − k0)√
2σ
(jσx√
2
)−(jσx√
2
)2
+
(jσx√
2
)2]dk
=g0e
jk0x
√2π
ˆ ∞−∞
exp
[−
{(k − k0√
2σ
)2
− 2
(k − k0√
2σ
)·(jσx√
2
)+
(jσx√
2
)2}
+
(jσx√
2
)2]dk
=g0e
jk0xe−σ2x2
2
√2π
√2σ
ˆ ∞−∞
exp
[−(k − k0√
2σ− j σx√
2
)2]d
(k − k0√
2σ
)si hacemos el cambio de variable
ξ =k − k0√
2σ
se tiene que f (x, 0) se escribe
f (x, 0) =g0e
jk0xe−σ2x2
2
√2π
√2σ
ˆ ∞−∞
e−ξ2
dξ
Medina V. 32
CAPÍTULO 5. ONDAS
f(x,sigma) TFf(x,sigma)
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
−4 −2 0 2 4 6 8 10
Figura 5.18: Per�l Gaussiano de las amplitudes de una suma continua de ondas planas monocro-máticas y su correspondiente onda localizada
Ya que´∞−∞ e−x
2
dx =√π :
f (x, 0) = g0 · σ√π · ejk0x · e−σ
2x2
2 (5.108)
en la �gura (5.18) se muestra la grá�ca de un pulso Gaussiano (5.107) y su correspondiente �gurapara la parte real de la transformada de Fourier (5.108). Se observa la localización del paquete deonda correspondiente para el caso límite de la suma de Fourier (5.103).
5.16. Velocidad de Grupo
Si realizamos el desarrollo de Taylor de la función ω (k) entorno a k0
ω (k) ≈ ω (k0) + (k − k0)
(∂ω
∂k
)k0
+(k − k0)
2
2
(∂2ω
∂k2
)k0
+ · · · (5.109)
y despreciamos los términos superiores al orden 2, tenemos que la ecuación (5.106), se escribecomo
f (x, t) =1√2π
ˆ ∞−∞
g (k) · exp
{j
[k0x+ (k − k0)x−
(ω (k0) + (k − k0)
(∂ω
∂k
)k0
)t
]}dk
=1√2π
ˆ ∞−∞
g (k) · exp {j [(k0x− ω0) t]} exp
{j
[(k − k0)x+ (k − k0)
(∂ω
∂k
)k0
t
]}dk
=exp {j [(k0x− ω0) t]}√
2π
ˆ ∞−∞
g (k) · exp
{j
[(k − k0)x+ (k − k0)
(∂ω
∂k
)k0
t
]}dk
cambiando la variable de integración ξ = k − k0, tenemos
f (x, t) =ej[(k0x−ω0)t]
√2π
ˆ ∞−∞
g (ξ + k0) · ejξ
[x+( ∂ω∂k )
k0t
]dk
= G (x+ vgt) ej[(k0x−ω0)t]
Medina V. 33
CAPÍTULO 5. ONDAS
y el término
vg =
(∂ω
∂k
)k0
(5.110)
se denomina velocidad de grupo. La oscilación se comporta como una onda de pulsación prome-dio ω0 modulada por una amplitud con el término G (x+ vgt), que se desplaza a la velocidad degrupo vg . Por esto podemos decir que una onda que tiene una longitud espectral ω0, en un mediodonde la dispersión no es muy grande (ecuación 5.109) se desplaza a la velocidad de grupo (velo-cidad del grupo de ondas), con una velocidad, establecida en la ecuación (5.110). Esta velocidadde grupo es la velocidad de propagación de la información (y de la energía)
5.17. Dispersión de un paquete de ondas
Si esta vez incluimos el término de orden 2 de (5.109) y tomamos la expresión del per�l de amplitudde la onda del pulso gaussiano (5.107), y suponiendo que k(ω) ≈ k0, obtenemos
f (x, t) =1√2π
ˆ ∞−∞
g0e− (k−k0)2
2σ2 · exp {j [(k − k0)x+ (k0x− ω0t) +
+
((k − k0)
(∂ω
∂k
)k0
+(k − k0)
2
2
(∂2ω
∂k2
)k0
)t
]}· dk
=g0e
j(k0x−ω0t)
√2π
ˆ ∞−∞
e−(k−k0)2
2σ2 · exp
{j (k − k0)x+ j
[(k − k0)
(∂ω
∂k
)k0
+
+(k − k0)
2
2
(∂2ω
∂k2
)k0
]t
}· d (k − k0)
=g0e
j(k0x−ω0t)
√2π
ˆ ∞−∞
e−ξ2
2σ2 · exp
[jξ
(x+
(∂ω
∂k
)k0
t
)+ j
ξ2
2
(∂2ω
∂k2
)k0
t
]· dξ
=g0e
j(k0x−ω0t)
√2π
ˆ ∞−∞
ejξ
[x+( ∂ω∂k )
k0t
]· exp
{−ξ
2
2
([1
σ2+ j
(∂2ω
∂k2
)k0
· t
])}· dξ
si de�nimos
1
σ21
=1
σ2+ j
(∂2ω
∂k2
)k0
· t (5.111)
se tiene que
f (x, t) =g0e
j(k0x−ω0t)
√2π
ˆ ∞−∞
ejξ(x+vgt) · e− ξ2
2σ21 · dξ
=g0e
j(k0x−ω0t)
√2π
ˆ ∞−∞
e− ξ2
2σ21+jξ(x+vgt) · dξ
Medina V. 34
CAPÍTULO 5. ONDAS
completando el cuadrado, en el término exponencial:
f (x, t) =g0e
j(k0x−ω0t)
√2π
ˆ ∞−∞
exp−
({(ξ√2σ1
)2
− 2
(ξ√2σ1
)[jσ1 (x+ vgt)√
2
]
+
[jσ1 (x+ vgt)√
2
]2
−[jσ1 (x+ vgt)√
2
]2})· dξ
=g0e
j(k0x−ω0t)
√2π
ˆ ∞−∞
exp
(−
{(ξ√2σ1
− jσ1 (x+ vgt)√2
)2
−[jσ1 (x+ vgt)√
2
]2})· dξ
=g0e
j(k0x−ω0t)
√2π
ˆ ∞−∞
e
[jσ1(x+vgt)√
2
]2
exp
[−(
ξ√2σ1
− jσ1 (x+ vgt)√2
)2]· dξ
=g0e
j(k0x−ω0t)
√2π
e
[jσ1(x+vgt)√
2
]2 (√2σ1
)ˆ ∞−∞
exp
[−(
ξ√2σ1
− jσ1 (x+ vgt)√2
)2]· d(
ξ√2σ1
)
=g0e
j(k0x−ω0t)
√2π
e
[jσ1(x+vgt)√
2
]2 (√2σ1
)ˆ ∞−∞
e−u2
du
=g0e
j(k0x−ω0t)
√2π
e−σ21(x+vgt)
2
2 (√2σ1
)π
= g0ej(k0x−ω0t)πσ1 · e−
σ21(x+vgt)2
2
y de la de�nición de σ1 en (5.111), tenemos que:
f (x, t) = g0πej(k0x−ω0t) · σ√
1 + jσ2(∂2ω∂k2
)k0· t· exp
− (x+ vgt)(√2
σ1
)2
2
= g0πe
j(k0x−ω0t) · σ√1 + jσ2
(∂2ω∂k2
)k0· t· exp
− (x+ vgt)2
2(
1σ2 + j
(∂2ω∂k2
)k0· t)(5.112)
observamos que la envolvente Gaussiana tiene una dispersión σ1 (t) que crece con el tiempo. Estonos indica que a medida que el paquete de ondas evoluciona en el tiempo, el paquete se vadispersando.
5.18. Ondas y Relatividad
Muchos fenómenos relacionan la propagación de ondas y el movimiento de los sistemas de referen-cias tanto para el emisor de la señal como para el receptor. Uno de estos fenómenos interesanteses el efecto Doppler.El efecto Doppler es un fenómeno en el que se observa el aparente cambio de frecuencia de unaonda, producido por el movimiento relativo entre la fuente, el emisor ó el medio. Se denomina asípuesto que fué el físico austríaco Christian Andreas Doppler (1803-1853) el que señaló este efectoen 1842 en un artículo titulado Sobre el color de la luz de las estrellas y otros astros.Ya sea que la fuente ó el medio y la onda se encuentren en movimiento relativo entre si, se hacenecesario estudiar las transformaciones de Lorentz. Para el caso límite en el cual las velocidadesde los cuerpos en movimiento son menores que la velocidad de la luz (v � c), se obtiene el casoclásico de las transformaciones de Galileo.
5.18.1. Transformaciones de Lorentz
Supongamos que para t = 0, se emite un destello de luz � una onda electromagnética � en unaposición común para un par de observadores (�g.5.19). Después de un tiempo t, el observador O
Medina V. 35
CAPÍTULO 5. ONDAS
r
r´
y
z´
y´
z
x
x´
v
O
O´
A
Figura 5.19: Sistemas de referencia en movimiento relativo
notará que la luz ha llegado al punto A y escribirá r = ct siendo c la velocidad de la luz
r2 = x2 + y2 + z2
y podemos escribir
c2t2 = x2 + y2 + z2 (5.113)
Similarmente, el observador O′ notará que el frente de la onda luminosa, llega al mismo punto A,con velocidad c:
c2t′ 2 = x′ 2 + y′ 2 + z′ 2 (5.114)
Nuestro proposito es obtener una transformación que relacione (5.113) con (5.114). La simetríadel problema, suguiere y = y′, z = z′ y como OO′ = vt para el observador en O, debe cumplirseque con x = vt para x′ = 0 (punto O′). Esto hace suponer que
x′ = α (x− vt) (5.115)
Ya que t′ 6= t podemos suponer que
t′ = a (t− b · x) (5.116)
donde α, a, b son constantes a determinar. Para el caso particular de una transformación de Galileo,α = a = 1 y b = 0. Sustituyendo (5.115) y (5.116) en (5.114) se tiene:
x′ 2 + y′ 2 + z′ 2 = c2t′ 2
α2(x2 − 2xvt+ v2t2
)+ y2 + z2 = c2a2
(t2 − 2tbx+ b2x2
)(α2 − c2a2b2
)x2 − 2
(α2 − bc2a2
)t+ y2 + z2 = c2t2
(a2 − α2v2
c2
)(5.117)
comparando (5.117) con (5.113), tenemos las ecuaciones
α2 − c2a2b2 = 1
α2 − bc2a2 = 0
a2 − α2v2
c2= 1
Medina V. 36
CAPÍTULO 5. ONDAS
que al resolver, tenemos
α = a =1√
1− v2
c2
b =v
c2(5.118)
y la nueva transformación compatible con la invarianza de la velocidad de la luz c son
x′ = α (x− vt) =x− vt√1− v2
c2
(5.119)
y′ = y (5.120)
z′ = z (5.121)
t′ = a (t− b · x) =t− v
c2 · x√1− v2
c2
(5.122)
Este conjunto de ecuaciones se denominan Transformación de Lorentz, debido a que fué obtenidapor primera vez por el físico holandés Hendrik Antoon Lorentz en 1890, en conexión con el problemadel campo electromagnético de una carga en movimiento.Algo interesante ocurre, al preguntamos, si es posible utilizar las mismas ecuaciones (5.119-5.122)para obtener las coordenadas del emisor (O, x, y, z, t) conociendo las coordenadas del receptor(O′, x′, y′, z′, t′): Es posible, ya que de (5.119)
x′√
1−(vc
)2
= x− vt (5.123)
y de (5.122)
(vt′)
√1− v2
c2= vt−
(vc
)2
· x (5.124)
sumando las dos ecuaciones anteriores (5.123) y (5.124), obtenemos
x′√
1−(vc
)2
+ (vt′)
√1− v2
c2= x−
(vc
)2
· x
(x′ + vt′) ·√
1− v2
c2= x
(1−
(vc
)2)
x′ + vt′√1− v2
c2
= x
es decir, es fácil obtener la transformación inversa de Lorentz: cambiando v por −v e intercambiarlas coordenadas primadas por las no primadas:
x =x′ + vt′√
1− v2
c2
(5.125)
y = y′ (5.126)
z = z′ (5.127)
t =t′ + v
c2 · x′√
1− v2
c2
(5.128)
5.18.2. Efecto Doppler
Para estudiar en que consiste el efecto Doppler, consideremos ahora una perturbación ondulatoriaunidimensional Ψ (x, t). Sabemos de la expresión (5.26) que esta onda unidimensional cumple conla expresión:
Ψ (x, t) = Ψ (kx+ ωt) (5.129)
Medina V. 37
CAPÍTULO 5. ONDAS
Si sustituimos (5.125-5.128) en (5.129), cambiamos del sistema de referencia; se tiene
Ψ (x, t) = Ψ (kx+ ωt)
= Ψ
k x′ + vt′√
1− v2
c2
+ ω
t′ + vc2 · x
′√1− v2
c2
= Ψ
k + ω vc2√
1− v2
c2
x′ +
kv + ω√1− v2
c2
t′
= Ψ (k′x′ + ω′t′)
y ahora la pulsación en este nuevo sistema es:
ω′ =ω√
1− v2
c2
(1 +
kv
ω
)
=ω√
1− v2
c2
(1 +
v
c
)
= ω
√1 + v
c
1− vc
= ω
√1− v
c + 2 vc1− v
c
= ω
√1 +
2(vc
)1− v
c
≈ ω
√1 + 2
[v
c+(vc
)2
+(vc
)3
+ · · ·]
si consideramos el límite clásico vc � 1 podemos despreciar los términos superiores a 2 y (1 + x)
12 ≈
1 + 12x+ 3
8x2 + · · · , tenemos
ω′ = ω
√1 + 2
(vc
)≈ ω
(1 +
v
c
)o en términos de la frecuencia
f ′ = f(
1 +v
c
)lo que obtenemos en el límite clásico.
5.18.3. Invarianza de ecuación de onda electromagnética
Las ecuaciones (5.95) y (5.97) son las mismas para cualquier observador. Su velocidad de propaga-ción c es la misma para todos ellos. Esto signi�ca que la ecuación de ondas electromagnéticas soninvariantes bajo transformaciones de Lorentz (se dice que son Lorentz Invariantes). Esto signi�ca:
4′Ψ− 1
c2∂2Ψ
∂t′ 2= 4Ψ− 1
c2∂2Ψ
∂t2= 0
Para demostrar este enunciado, comencemos por de�nir dos cantidades adimensionales
β =v
c(5.130)
γ =1√
1−(vc
)2 =1√
1− β2(5.131)
y con estas cantidades podemos reescribir (5.125-5.128) como:
t = γ
(t′ +
β
c· x′)
x = γ (x′ + vt′)
Medina V. 38
CAPÍTULO 5. ONDAS
podemos calcular
∂t
∂t′= γ;
∂t
∂x′= γ
β
c∂x
∂x′= γ;
∂x
∂t′= γcβ
las cuales son necesarias para calcular las derivadas:
∂Ψ
∂x′=
(∂t
∂x′
)∂Ψ
∂t+
(∂x
∂x′
)∂Ψ
∂x
= γβ
c· ∂Ψ
∂t+ γ · ∂Ψ
∂x∂Ψ
∂t′=
(∂t
∂t′
)∂Ψ
∂t+
(∂x
∂t′
)∂Ψ
∂x
= γ · ∂Ψ
∂t+ γcβ · ∂Ψ
∂x
como las ecuaciones de ondas involucran derivadas segundas:
∂2Ψ
∂x′2=
∂
∂x′
(∂Ψ
∂x′
)=
∂t
∂x′∂
∂t
(∂Ψ
∂x′
)+∂x
∂x′∂
∂x
(∂Ψ
∂x′
)= γ
β
c· ∂∂t
(∂Ψ
∂x′
)+ γ · ∂
∂x
(∂Ψ
∂x′
)= γ
β
c· ∂∂t
(γβ
c· ∂Ψ
∂t+ γ · ∂Ψ
∂x
)+
+γ · ∂∂x
(γβ
c· ∂Ψ
∂t+ γ · ∂Ψ
∂x
)=
(γβ
c
)2∂2Ψ
∂t2+ 2γ2 β
c· ∂
2Ψ
∂t∂x+ γ2 · ∂
2Ψ
∂x2
y para las derivadas segundas dependiendo de t :
∂2Ψ
∂t′2=
∂
∂t′
(∂Ψ
∂t′
)=
∂t
∂t′∂
∂t
(∂Ψ
∂t′
)+∂x
∂t′∂
∂x
(∂Ψ
∂t′
)= γ · ∂
∂t
(∂Ψ
∂t′
)+ γcβ · ∂
∂x
(∂Ψ
∂t′
)= γ · ∂
∂t
(γ · ∂Ψ
∂t+ γcβ · ∂Ψ
∂x
)+
+γcβ · ∂∂x
(γ · ∂Ψ
∂t+ γcβ · ∂Ψ
∂x
)= γ2 ∂
2Ψ
∂t2+ 2γ2βc · ∂
2Ψ
∂t∂x+ (γcβ)
2 · ∂2Ψ
∂x2
al ser invariante la ecuación de onda, bajo las transformaciones de Lorentz:
∂2Ψ
∂x′2− 1
c2∂2Ψ
∂t′2=
(γβ
c
)2∂2Ψ
∂t2+ 2γ2 β
c· ∂
2Ψ
∂t∂x+ γ2 · ∂
2Ψ
∂x2+
= − 1
c2
(γ2 ∂
2Ψ
∂t2+ 2γ2βc · ∂
2Ψ
∂t∂x+ (γcβ)
2 · ∂2Ψ
∂x2
)= γ2
(1− β2
)· ∂
2Ψ
∂x2−γ2(1− β2
)c2
∂2Ψ
∂t2
Medina V. 39
CAPÍTULO 5. ONDAS
como γ2(1− β2
)= 1 simpli�camos y
∂2Ψ
∂x′2− 1
c2∂2Ψ
∂t′2=
∂2Ψ
∂x2− 1
c2∂2Ψ
∂t2= 0
y en general, si incluimos las otras coordenadas:
∂2Ψ
∂x′2+∂2Ψ
∂y′2+∂2Ψ
∂z′2− 1
c2∂2Ψ
∂t′2=
∂2Ψ
∂x2+∂2Ψ
∂y2+∂2Ψ
∂z2− 1
c2∂2Ψ
∂t2= 0
4′Ψ− 1
c2∂2Ψ
∂t′ 2= 4Ψ− 1
c2∂2Ψ
∂t2
�′Ψ = �Ψ = 0
donde se de�ne el d'Alambertiano, similar al Laplaciano, pero con la coordenada temporalincluída:
�G = 4G− 1
c2∂2G
∂t2= 0 (5.132)
para cualquier campo G(t, x, y, z). Demostramos así que el d'Alambertiano es invariante bajo lastransformaciones Lorentz.
5.19. Ejercicios
1. Conservación de la carga: Un conductor contiene ρ cargas móviles pr unidad de volumen.Se de�ne ~j el vector densidad de corriente de un conductor ¾Cúal es el valor de la corrienteI que atraviesa una super�cie (S) que delimita un volumen (V ) del conductor? Dada dq, lacarga contenida en un volumen dV del conductor, exprese I en función de la carga, así comode ρ. Establezca la conservación de la carga y deduzca la relación entre ~j y ρ
a) Una forma: Con la de�nición de corriente eléctrica
I =
¨~j · d~S (5.133)
y su relación con la de�nición de densidad volúmica de carga
dq = ρ · dV → q =
˚ρ · dV
para el conductor existe una pérdida temporal de carga eléctrica
I = −dqdt
=
˚−∂ρ∂t· dV
tenemos que ¨~j · d~S =
˚−∂ρ∂t· dV (5.134)
y con ayuda del Teorema de la Divergencia:¨~j · d~S =
˚div~j · dV (5.135)
y combinando (5.134) y (5.135):˚
div~j · dV =
˚−∂ρ∂t· dV
˚ [div~j +
∂ρ
∂t
]· dV = 0
Medina V. 40
CAPÍTULO 5. ONDAS
como es válido para todo el volumen del conductor:
div~j +∂ρ
∂t= 0 (5.136)
b) Otra forma: De la ecuación (5.93) y usando el hecho que div(rot ~G
)= 0, para cual-
quier campo vectorial ~G:
div(rot ~B
)= µ0
div (~j)+ ε0
∂(div ~E
)∂t
= 0
y a partir de (5.90), tenemos
div(rot ~B
)= µ0
[div(~j)
+∂ρ
∂t
]= 0
y la expresión de la conservación de la carga (5.136) es consecuencia directa de lasecuaciones de Maxwell.
2. El campo magnético ~B se deriva de un potencial vector ~B = rot ~A, siendo esto consecuenciaque div ~B = 0. Deducir que ~E se puede expresar como
~E = − ~gradV − ∂ ~A
∂t
Esto se puede demostrar a partir de la ley de Faraday (5.92)
rot ~E = −∂~B
∂t
= −∂(rot ~A
)∂t
= rot
(−∂
~A
∂t
)
y como rot(~grad V
)= 0 podemos escribir
rot ~E = rot
(~−grad V − ∂ ~A
∂t
)
es decir
~E = ~−grad V − ∂ ~A
∂t(5.137)
3. Mostrar que al usar las ecuaciones de Maxwell, el potencial cumple con
4 ~A− 1
c2∂2 ~A
∂t2= µ0
~j
4V − 1
c2∂2V
∂t2= − ρ
ε0
si se utiliza el calibre de Lorentz
div ~A = − 1
c2∂V
∂t(5.138)
Medina V. 41
CAPÍTULO 5. ONDAS
Si usamos la representación diferencial de la ley de Gauss y (5.137)
div ~E =ρ
ε0
div
(~−grad V − ∂ ~A
∂t
)=
ρ
ε0
−div(~grad V
)− ∂
∂t
(div ~A
)=
ρ
ε0
como el 4Ψ = div(~gradΨ
)y por la ecuación (5.138)
4V +∂
∂t
(div ~A
)= − ρ
ε0
4V − ∂
∂t
(1
c2∂V
∂t
)= − ρ
ε0
4V − 1
c2∂2V
∂t2= − ρ
ε0(5.139)
o en términos de la de�nición (5.132)
�V = 4V − 1
c2∂2V
∂t2= − ρ
ε0(5.140)
para el vector potencial ~A podemos usar la expresión de la ley de Ampère-Maxwell
rot ~B = µ0~j + µ0ε0
∂ ~E
∂t
rot(rot ~A
)= µ0
~j + µ0ε0∂
∂t
(~−grad V − ∂ ~A
∂t
)
~grad(div ~A
)−4 ~A = µ0
~j ~−grad(µ0ε0
∂V
∂t
)− µ0ε0
∂2 ~A
∂t2
~grad
(div ~A+
1
c2∂V
∂t
)−4 ~A = µ0
~j − 1
c2∂2 ~A
∂t2
~grad
(div ~A+
1
c2∂V
∂t
)−
(4 ~A− 1
c2∂2 ~A
∂t2
)= µ0
~j
~−grad(div ~A+
1
c2∂V
∂t
)+
(4 ~A− 1
c2∂2 ~A
∂t2
)= −µ0
~j (5.141)
y siendo el primer término del lado izquierdo de (5.141) precisamente la condición del calibrede Lorentz (5.138), obtenemos
4 ~A− 1
c2∂2 ~A
∂t2= −µ0
~j (5.142)
o en términos de la de�nición (5.132)
� ~A = 4 ~A− 1
c2∂2 ~A
∂t2= −µ0
~j (5.143)
4. De una esfera recubierta con una sustancia radioactiva, se emiten radialmente un conjuntode partículas cargadas. En consecuencia, se establece una corriente radial de igual amplitud
Medina V. 42
CAPÍTULO 5. ONDAS
en toda dirección. Si r es el radio de la esfera, se de�ne Q (r) como la carga interior, j (r)la densidad de corriente radial y E (r) la intensidad del campo eléctrico. Exprese j (r) enfunción de Q (r) y E (r). Utilizando las ecuaciones de Maxwell, deducir el campo magnéticoproducido por las corrientes radiales. A partir de la expresión de la conservación de la carga(5.136)
div~j = −∂ρ∂t
integrando sobre un volumen de una esfera de radio r
∂
∂r
[4πr2 · j (r)
]= − ∂
∂t
[4πr2ρ
]4πr2 · j (r) = −∂Q
∂t
y el campo eléctrico creado a una distancia r es
E (r) =Q (r)
4πε0r2
y la dependencia temporal del campo es:
∂E (r)
∂t=
1
4πε0r2
∂Q
∂t
= −j (r)
ε0
de acuerdo con la ley de Ampère-Maxwell
rot ~B = µ0~j + µ0ε0
∂ ~E
∂t= 0
por lo que no existe campo magnético alguno. El término de la corriente de desplazamiento,anula al generado por la densidad de corriente.
Medina V. 43
