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CINEMATICA DE MAQUINAS

4.1.- CAMPO DE VELOCIDADES EN EL MOVIMIENTO GENERAL DE UN

SISTEMA INDEFORMABLE

4.2.- ACELERACION DE UN PUNTO EN EL MOVIMIENTO GENERAL DE UN

SISTEMA INDEFORMABLE

4.3.- EJE INSTANTANEO DE ROTACION Y DESLIZAMIENTO MINIMO

4.4.- MOVIMIENTO PLANO

4.5.- MOVIMIENTO RELATIVO

4.5.1.- Velocidad en el movimiento relativo

4.5.2.- Aceleración en el movimiento relativo

4.6.- ANALISIS DE VELOCIDADES EN MAQUINAS

4.6.1.- Método de las velocidades proyectadas

4.6.2.- Centro instantáneo de rotación

4.6.3.- Método de las velocidades relativas

4.6.4.- Cinema de velocidades

4.6.5.- Teorema de los tres centros

4.6.5.- Análisis de velocidades en mecanismos con movimiento relativo

4.6.6.- Sólidos en rotación

4.7.- ANALISIS DE ACELERACIONES

4.7.1.- Introducción

4.7.2.- Mecanismos sin movimiento relativo

4.7.3.- Polo de aceleraciones

4.7.4.- Análisis de aceleraciones en el cuadrilátero articulado

4.7.5.- Cinema de aceleraciones

4.7.6.- Aceleración del centro instantáneo de rotación

4.7.7.- Análisis de aceleraciones en mecanismos con movimiento relativo

4.8.- PROBLEMAS

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CINEMATICA DE MAQUINAS

4.1.- CAMPO DE VELOCIDADES EN EL MOVIMIENTO GENERAL DE UN SISTEMA

INDEFORMABLE

Vamos a determinar la expresión de la velocidad de un punto P perteneciente a un SISTEMA

INDEFORMABLE en su movimiento general instantáneo.

Consideramos el sistema de ejes de la figura en el cual tenemos:

- Un sistema de ejes fijo F (u1, u2, u3).

- Un sistema móvil O (i, j, k) vinculado al sólido indeformable.

El punto P que pertenece al sistema indeformable y por lo tanto se mueve solidario con el

triedro móvil, queda definido respecto a ese sistema móvil por

r= xi + yj + zk

Llamando

- r0 al vector de posición de O respecto del sistema móvil

- r1 vector de posición de P respecto al sistema fijo, se tiene:

r1 = r0 + r

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dtdr

+dtrd

= dt

rd=V 01

p

donde el primer sumando es V0

Por otro lado, al tratarse de un sistema indeformable, al derivar el vector r, las coordenadas

de P respecto al triedro móvil, x, y, z, permanecen constantes, por ello, la expresión de Vp resulta ser:

r x + V = dtdk

z + dtdj

y + dtdi

x+ V = V 00p ω

Téngase en cuenta que la derivada de un vector de módulo constante, es otro vector normal

al vector derivado, concretamente, se demuestra que:

di/dt = w x i dj/dt = w x j dk/dt = w x k

con lo cual:

Vp = V0 + x(w x i) + y(w x j) + z(w x k)

y puesto que las coordenadas x, y, z son constantes, la expresión anterior queda:

Vp = V0 + (w x xi) + (w x yj) + (w x zk)

Vp = V0 + w x (xi + yj + zk)

Vp = V0 + w x r (1)

Por consiguiente, en el caso más general, el movimiento de un sólido indeformable, se puede

considerar como la suma de:

- Una TRASLACIÓN de velocidad igual a la de uno de los puntos del sólido O elegido

arbitrariamente como origen de la referencia móvil,

- Más una ROTACIÓN en torno a un eje que pasa por dicho punto.

El conjunto v0 , w se llama grupo cinemático relativo al punto O.

El vector velocidad angular w ES UN INVARIANTE, cuyo valor no depende del punto

elegido como origen.

Se demuestra asimismo que el producto escalar de los vectores v y w que constituyen cualquier

grupo cinemático permanece constante, es decir es un invariante.

De lo anterior se deduce que la proyección de la velocidad v de cualquier punto de un sistema

indeformable, sobre la rotación instantánea w, es la misma y la denominaremos vd o velocidad de

deslizamiento.

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4.2.- ACELERACION DE UN PUNTO EN EL MOVIMIENTO GENERAL DE UN

SISTEMA INDEFORMABLE

Partiendo de la expresión obtenida anteriormente:

Vp = V0 + w x r

Se obtiene la aceleración derivando la velocidad con respecto al tiempo, teniendo en cuenta

que en el sistema indeformable r es constante.

dtdr

x +r x dtd

+ dtvd

= dtvd

= a 0pp ω

ω

donde dw/dt = a es la aceleración angular del sistema, independiente para cada punto en todo instante.

Por otro lado, como ya hemos visto, dr/dt = w x r con lo cual la expresión resultante es:

r) x ( x +r x + a = a 0p ωωα

donde el término a x r es la aceleración tangencial y el término wx(wxr) representa la aceleración

normal.

Por lo tanto, la aceleración de un punto cualquiera de un sólido rígido es igual a la suma de tres

vectores:

- La aceleración de cualquier otro punto de sólido arbitrariamente considerado como origen.

- Más un vector aceleración tangencial de módulo a.r, dirección normal a la recta OP y

sentido dado por el producto vectorial a x r , congruente con a.

- Más un vector aceleración normal de módulo w2.r, dirigido desde P hacia O.

Evidentemente, si el punto 0 considerado como origen tiene aceleración nula, el primer

sumando se anula, como ejemplo se puede considerar el centro de giro de una manivela como la vista

anteriormente.

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4.3.- EJE INSTANTANEO DE ROTACION Y DESLIZAMIENTO MINIMO

Es el lugar geométrico de los puntos en los cuales, en un instante determinado la velocidad es

mínima o lo que es igual, la velocidad v es colineal con la velocidad angular w.

Para calcularlo basta con imponer la condición de paralelismo entre la velocidad del punto

genérico P y w.

Si el vector OP tiene por coordenadas

OP = (x-x0)i + (y-y0)j + (z-z0)k

y el par cinemático es también conocido:

w = wxi + wyj + wzk

v0 = v0xi + v0yj + v0zk

Tenemos:

vP = v0 + w x OP = k.w

debido a la condición de paralelismo con lo cual resulta:

vox + wy(z-z0) - wz(y-y0) = k.wx

voy + wz(x-x0) - wx(z-z0) = k.wy

voz + wx(y-y0) - wy(x-x0) = k.wz

que son las ecuaciones paramétricas del eje instantáneo de rotación o de deslizamiento mínimo.

Eliminando entre las tres ecuaciones anteriores el parámetro k resulta la ecuación del eje en forma

canónica:

ωωω

ωωω

ωωω

z

0y0x0z

y

0x0z0y

x

0z0y0x )x-(x-)y-(y+v=)z-(z-)x-(x+v=

)y-(y-)z-(z+v

El lugar geométrico de las sucesivas posiciones del eje instantáneo de rotación a lo largo del tiempo se

denomina axoide y es una superficie reglada generada por el propio eje, cuya forma depende de que

se tome una referencia fija o móvil, así tendremos un AXOIDE FIJO y otro AXOIDE MOVIL.

Para obtener sus ecuaciones, basta con expresar el punto genérico P en función de sus tres

coordenadas y además también del tiempo, eliminándolo posteriormente junto con k.

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4.4.- MOVIMIENTO PLANO

Cuando todos los puntos del sólido tienen velocidades incluidas en planos paralelos se dice que

el sólido tiene un movimiento plano. En ese caso el eje instantáneo de rotación es perpendicular a los

planos de movimiento.

Las trayectorias de todos los puntos del plano están contenidas en él

El análisis cinemático de mecanismos puede reducirse con frecuencia al estudio del movimiento

en un plano. Debido a esto, centraremos en lo sucesivo nuestras técnicas de análisis en este tipo de

movimiento plano.

Al considerar un plano determinado, el eje instantáneo de rotación, es siempre perpendicular

a él, y su punto de corte con el plano de movimiento se denomina CENTRO INSTANTÁNEO DE

ROTACIÓN I. La velocidad de ese punto I es nula y todos los puntos restantes del plano girarán en

torno a él, con velocidad angular w.

En este caso de movimiento plano, la curva intersección del axoide fijo con el plano de

movimiento se denomina CURVA POLAR FIJA O BASE. Esta curva es también el lugar geométrico

de las posiciones que ocupa el centro instantáneo de rotación I considerado desde un sistema de

referencia fijo. La curva de intersección del axoide móvil con el plano de movimiento se denomina

CURVA POLAR MOVIL O RULETA. La ruleta y la base son tangentes en I.

Si particularizamos la ecuación (1) para el caso de movimiento plano, y origen del sistema móvil

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en I, la velocidad en cualquier punto P será:

VP = VI + w x r = w x r

Su dirección será normal al vector de posición de P, su sentido el dado por el producto

vectorial, congruente con el sentido de w, y su módulo será:

|VP| = wr = w.IP

Es decir, el módulo de la velocidad de cualquier punto será proporcional a su distancia al centro

instantáneo de rotación IP.

Si tomamos como origen del sistema de referencia móvil, un punto cualquiera A, la representación de

la ecuación 1 en el caso de movimiento plano para un sistema indeformable resulta ser:

VB = VA + w x AB

, la velocidad VB resulta de la composición del movimiento de arrastre VA más la rotación en torno a

A.

VBA = w x AB = es la velocidad relativa de B respecto de A. Es un vector normal al vector

AB cuyo módulo es w.AB y sentido congruente con w.

Naturalmente las dos velocidades VA y VB son normales a las rectas IA e IB respectivamente.

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4.5.- MOVIMIENTO RELATIVO

4.5.1.- Velocidad en el movimiento relativo

Consideramos los mismos sistemas de referencia que en el caso anterior:

- Un sistema de ejes fijo F (u1, u2, u3) solidario al sólido que lo incluye.

- Un sistema móvil O (i,j,k) . En este caso no se trata de un sistema indeformable, sino que el

punto P tiene un movimiento relativo respecto a O. Sus coordenadas respecto a O no serán

por lo tanto constantes. El punto P, por lo tanto NO PERTENECE AL MISMO SOLIDO que

el sistema móvil. Este punto queda definido respecto al sistema móvil por

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r= xi + yj + zk

Llamando:

- r0 al vector de posición de O respecto del sistema móvil

- r1 vector de posición de P respecto al sistema fijo, se tiene:

r1 = r0 + r

dtdr

+dtrd

= dtrd

=V 01p

donde el primer sumando es V0

Por otro lado al derivar el vector r= xi + yj + zk, las coordenadas de P(x,y,z) son también

variables con lo que la expresión de Vp resulta ser:

V +r x + V =k dtdz

+ jdtdy

+ idtdx

+ dtdk

z + dtdj

y + dtdi

x+ V = V r00p ω

donde:

VP = Velocidad absoluta de P respecto del sistema fijo.

V0 = Velocidad absoluta del sistema móvil.

Vr = Velocidad de P respecto de O o velocidad relativa. Es la que vería un observador que

acompañase al sistema móvil.

La suma V0 + w x r se conoce como velocidad de arrastre Va.

Por lo tanto, la velocidad absoluta de un punto P de un sólido es igual a la de otro punto cualquiera DE

OTRO SÓLIDO DISTINTO O, considerado arbitrariamente como origen, más la velocidad relativa

de P respecto del sistema de referencia ligado a O.

4.5.2.- Aceleración en el movimiento relativo

Derivando la expresión anterior se obtiene:

dtr) x d(w

+ dtVd +

dtVd

= dtV r01d

Calculamos los dos últimos sumandos, en primer lugar dVr/dt

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V x w+ a = dtdk

dtdz

+dtdj

dtdy

+dtdi

dtdx

+ k)dtdz

+jdtdy

+idtdx

(dtd

= dtV

rrrd

a continuación d(wxr)/dt

xr)x( + Vx +xr dt

d=xr)+Vx( +xr

dtd

= dtdr

x +xr dt

d =

dtxr)

rr ωωωω

ωωω

ωωωd(

con lo cual la expresión final de aP es:

aP = a0 + ar + axr + wx(wxr) + 2wxVr

donde:

aP = Aceleración absoluta de P respecto del sistema fijo.

ar = Aceleración relativa de P respecto del sistema móvil.

a0 + axr + wx(wxr) = Aceleración de arrastre.

2wxVr = Aceleración complementaria o de Coriolis.

4.6.- ANALISIS DE VELOCIDADES EN MAQUINAS

Centrándonos en el caso de movimiento plano, los métodos de análisis cinemático utilizados

más frecuentemente son los siguientes:

A.- Velocidades proyectadas.

B.- Centros instantáneos de rotación.

C.- Velocidades relativas.

D.- Teorema de los tres centros.

Dependiendo del tipo de mecanismo, podremos utilizar uno o varios de los métodos anteriores.

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4.6.1.- Método de las velocidades proyectadas

Si se conoce la velocidad de un punto A de un sólido rígido, y la dirección de la velocidad de

otro B, puede obtenerse el módulo de VB , teniendo en cuenta que la proyección de las velocidades

sobre la recta que los une es constante, puesto que si ello no fuera así, se acercarían o se alejarían lo

que se opone a la condición de sólido rígido.

Para conocer la velocidad del punto B, basta con desproyectar la componente de VA sobre

la recta que los une, en la dirección de VB

Si se conocen las velocidades en dos puntos A y B de un sólido con movimiento plano, es

posible conocer por este método la velocidad de un tercero C, basta con llevar a C las proyecciones

de VA y VB sobre las rectas que unen A con C y B con C. Finalmente, se desproyectan ambas y su

punto de intersección nos da VC.

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El razonamiento anterior, también sería válido si AC y BC fuesen elementos distintos articulados

en C.

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4.6.2.- Centro instantáneo de rotación

Si se conoce la posición del centro instantáneo de rotación I de un sólido, las direcciones de

las velocidades de todos los puntos del sólido son conocidas automáticamente. La velocidad de un

punto tiene una dirección perpendicular a la recta que lo une con su centro instantáneo de rotación I.

Inversamente, si se conocen las direcciones de las velocidades en dos puntos del sólido, es

posible determinar la posición de I. El centro instantáneo de rotación se encontrará en el punto de corte

de las perpendiculares a ambas direcciones.

La figura muestra un mecanismo de cuatro barras articulado en A, B, I1 e I3 .

Los centros I1 e I3 son evidentemente los centros de giro de las manivelas 1 y 3 . VA tiene

dirección perpendicular a I1A y su módulo vale VA = w1 . I1A .

La dirección de VB es conocida ya que se conoce el centro instantáneo de rotación del

elemento 3 , que es evidentemente I3.

Como A y B pertenecen también al elemento 2, la posición de I2 se determina trazando las

perpendiculares a VA y VB, esta última de módulo desconocido.

El punto de corte de ambas perpendiculares determina I2.

Una vez conocido I2 , la velocidad angular w2 tiene sentido de giro en torno a I2 congruente con

la dirección de VA es decir entrante al plano de movimiento.

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VB tiene sentido congruente con w2 y módulo VB = w2 . I2B

Una vez conocida la posición de I2 y w2 se puede conocer la velocidad en cualquier otro punto

del elemento 2, por ejemplo D y C.

La velocidad angular w3 tendrá sentido congruente con VB , saliente al plano de movimiento,

y módulo w3 = VB / I3B

Obviamente también se podrían haber calculado las velocidades en B, C, y D por el método

de las velocidades proyectadas, ya que los tres forman parte del mismo sólido rígido.

4.6.3.- Método de las velocidades relativas

Como ya hemos visto, la velocidad en cualquier punto B de un sólido rígido es igual a la de otro

punto del sólido arbitrariamente considerado como origen más la velocidad relativa

VB = VA + w x AB

w x AB = VBA es la velocidad relativa de B respecto de A. Es un vector normal al vector AB cuyo

módulo es w.AB y sentido congruente con w.

El ejemplo siguiente muestra un mecanismo de 6 barras articulado en A, B, C, D, E, I1 e I3.

Se conoce w1 y se pide VE.

Aplicando alguno de los dos métodos anteriormente descritos, se calculan VC y VD.

No se conocen w4 , w5, ni tampoco las posiciones de los centros de rotación de esos elementos, I4 e

I5.

Para resolver el problema se aplica el método de velocidades relativas.

Los módulos de VEC y VED no son conocidos pero si sus direcciones, perpendiculares a EC

y ED respectivamente.

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VE = VC + VEC

VE = VD + VED

Estas dos ecuaciones vectoriales se pueden resolver gráficamente según se muestra en la figura:

- Trasladamos VC al punto E. Trazamos por el extremo de VC una recta que contendrá VEC

de la que sólo conocemos su dirección, perpendicular a EC.

- Trasladamos VD al punto E. Trazamos por el extremo de VD una recta que contendrá VED

de la que sólo conocemos su dirección, perpendicular a ED.

El punto de corte de ambas rectas representa la solución gráfica y nos da el módulo y la

dirección de VE

La figura muestra las dos ecuaciones vectoriales. Evidentemente, también se podría haber

calculado por el método de velocidades proyectadas.

6.4.- Cinema de velocidades

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Si a partir de un punto origen o polo, representamos los vectores velocidad de los puntos de

un elemento de un mecanismo, obtenemos una figura que es una representación a escala del elemento

considerado y girada 90º.

En la figura siguiente podemos ver el cinema de velocidades del elemento ABCD.

En el cinema anterior, el segmento acb es una representación a escala del segmento ACB del

elemento real, girada 90º.

Una vez trazado el cinema de un elemento, es posible localizar la velocidad de cualquier otro

punto de ese elemento, por ejemplo el D dibujando su posición a escala en el cinema, el vector que une

la posición del punto en cuestión (d) con el polo del cinema (O) representa la velocidad de ese punto.

Asimismo se puede determinar en el sólido real la posición del centro instantáneo de rotación

a partir de la situación del polo del cinema O, basta con dibujar a escala la posición de O en el sólido

real.

El segmento que une dos puntos cualesquiera del cinema, (a y c por ejemplo) representa la

velocidad relativa entre ellos, así el vector VCA es la velocidad relativa de C respecto de A y está

representado en el cinema por el vector con origen en a y extremo en c. Naturalmente es evidente al

ver el cinema la expresión vectorial que ya habíamos obtenido:

VC = VA + VCA

Obviamente el vector con origen en c y final en a es VAC y

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VA = VC + VAC

Naturalmente la velocidad angular del sólido analizado, es igual a los cocientes:

w2 = VAC / AC = VC / I2C

4.6.5.- Teorema de los tres centros

Se denomina centro relativo o simplemente centro, a aquél punto perteneciente a dos cuerpos

que tiene la misma velocidad en ambos. Un observador situado en uno de los cuerpos ve girar al otro

en torno al punto centro.

El concepto de centro engloba al de centro instantáneo de rotación. Evidentemente, una

articulación, también es un centro, pues en ese punto los dos elementos tienen la misma velocidad y es

centro de rotación relativa de un elemento respecto de otro.

El número total de centros de un mecanismo es el de combinaciones de los elementos del

mecanismo tomados de 2 en 2, es decir n(n-1)/2 donde n es el número total de elementos incluido el

elemento fijo o armadura.

En el ejemplo anterior el número total de centros será 15, puesto que tiene 6 elementos. Los

centros relativos al elemento fijo o armadura, son evidentemente centros instantáneos de rotación:

- I1 , I2 que se deducen por observación, son centros instantáneos de rotación.

- I3, que se puede calcular a partir de las direcciones de VA y VB como ya hemos visto.

- I4 , I5 que no han sido calculados todavía. Son los centros instantáneos de rotación de los

elementos 4 y 5.

Además de esos 5 centros , tenemos los centros relativos entre elementos móviles:

- I21 que es la articulación de 1 con 2 evidentemente.

- I32 , I15, I45, I34, que son las articulaciones entre los respectivos elementos.

Además existen otros 5 centros relativos de movimiento entre elementos no directamente

articulados.

- I13, I14, I24, I25, I35

cuya posición por el momento es desconocida. En total 15 centros.

Para cualquiera de los centros anteriores, considerando los dos elementos cuyo centro es P

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puesto que el elemento 2 gira en torno a su centro de rotación I23, VP2 será normal a I23P.

Evidentemente, si P es centro relativo a 1 y 2, la velocidad en P es la misma para ambos sólidos y VP1

será normal a I13P. La única forma de que se cumpla esa perpendicularidad es que I13, I23 y P estén

alineados. Esto constituye el teorema de los tres centros o teorema de Kennedy y es un método muy

útil para la obtención de velocidades, en casos complicados.

Siguiendo con el ejemplo anterior, calcularemos la posición de I13, I14, I24, I25, I35. Para ello seguimos

el método siguiente:

1º.- Construimos un polígono con tantos vértices como elementos tiene el mecanismo, incluyendo

el elemento 0 o armadura, es decir 6 vértices numerados de 0 a 5.

2º.- Unimos con una recta aquellos vértices correspondientes a centros que se obtengan por

observación directa. En la notación, denominamos centro de giro de la manivela 1 respecto de

la armadura, I1 como I01 , lo mismo ocurre con I03 . El orden de los subíndices es indiferente.

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Son conocidos por observación directa I01 , I03 , I12 , I23 , I34 , I45 , I51.

3º.- Para aplicar el Teorema de Kennedy trazamos la recta que cierre dos triángulos a la vez. En

esta caso, esto se consigue trazando la línea 02 que cierra los triángulos 21/10/02 y 03/32/20.

Esto quiere decir que el centro 02 está en la recta que une I21 con I10 ya que los tres están en

línea según el teorema de Kennedy y también en la línea que une I30 con I32 . El punto de corte

de ambas nos da la localización de I20 que naturalmente se sitúa en el punto de intersección de

la prolongación de las dos manivelas como ya sabemos puesto que se trata del centro

instantáneo de rotación del elemento 2.

Una vez conocido I20 trazamos la recta correspondiente en el polígono y buscamos la siguiente

recta que cierre dos triángulos a la vez.

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La siguiente recta que representa el centro que podemos calcular es la 13 ya que cierra dos

triángulos. Por lo tanto I13 estará en la intersección de la recta I10 I03 con la I21 I32 . Ese punto I13 es el

centro relativo del movimiento de 3 respecto de 2 y es un punto que tiene la misma velocidad en ambos

elementos.

Continuando de la misma forma obtenemos sucesivamente:

I14 por intersección de 13/34 con 15/54

I04 " " 43/30 con 41/10

I50 " " 04/45 con 01/15 etc.

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Una vez conocidos los centros instantáneos de rotación de 4 y 5, I40 e I50 respectivamente es

sencillo calcular VE si conocemos VC .

También se podría calcular VB sabiendo que I31 tiene una velocidad que es común a los

elementos 1 y 3. Esa velocidad tiene por módulo w1 . I10I31 dirección perpendicular a I10I31 y sentido

congruente con w1. Como el elemento 3 gira en torno a I30 , el módulo de su velocidad angular w3 se

podrá calcular dividiendo la velocidad en I31 por la distancia I31I30. Una vez conocida w3 se calcula VB

.

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4.6.5-. Análisis de velocidades en mecanismos con movimiento relativo

En el análisis de mecanismos planos es frecuente encontrar los siguientes tipos de restricciones:

- Pares de rotación o articulaciones. Tales como las A,B,C,D,E,I10 e I30 del ejemplo anterior.

- Pares de deslizamiento.

- Restricciones curva-curva que obligan al contacto permanente entre dos curvas, por

ejemplo el caso de una leva y el rodillo seguidor.

Las articulaciones obligan a que la posición, velocidad y aceleración en ese punto sean iguales

para los dos elementos articulados en ese punto. Esto es un poderosa ayuda para la solución de

problemas

Los problemas de análisis de velocidades con pares de deslizamiento se deben tratar con ayuda

de las ecuaciones vectoriales de movimiento relativo. Tal como hemos visto

V +r x + V =k dtdz

+ jdtdy

+ idtdx

+ dtdk

z + dtdj

y + dtdi

x+ V = V r00p ω

VP = Va + Vr

La velocidad de arrastre Va es la velocidad del punto que consideramos origen del sistema

de referencia móvil.

Vr es la velocidad relativa del punto cuya velocidad se analiza respecto del sistema de

referencia móvil. Con frecuencia conoceremos la dirección de esa velocidad relativa. En el caso de

pares de deslizamiento. La figura siguiente muestra un ejemplo.

En el punto B se puede considerar que hay dos puntos superpuestos:

- Un punto B' perteneciente al elemento AB.

- Un punto B superpuesto a B' perteneciente al elemento BC.

Consideramos un sistema de referencia situado en B' que se mueve solidario a AB.

El punto B del elemento BC tiene una velocidad relativa respecto al sistema de referencia

anterior cuyo módulo desconocemos, pero cuya dirección siempre es la del elemento AB debido al tipo

de restricción que impone el par de deslizamiento.

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La equivalencia de puntos en este ejemplo respecto al desarrollo teórico de las ecuaciones de

movimiento relativo es la siguiente:

P = B

O = B'

La velocidad de arrastre por lo tanto será VB' , como sabemos velocidad de arrastre es la

velocidad que tendría el punto B si se moviera solidariamente con el sistema de referencia móvil, es

decir si se moviera con la velocidad de B'.

La velocidad relativa tiene la dirección AB y módulo desconocido. Esa velocidad relativa es

la velocidad de B vista desde B', a medida que w gira en el sentido indicado, la corredera se acerca

a A por lo tanto un observador situado en B' , ve pasar el punto B hacia A. El sentido de esa velocidad

relativa de B' respecto de B (VB'B = Vr) será hacia la izquierda aunque no conocemos su módulo.

VB = VB' + Vr

Como además sabemos que VB tiene dirección perpendicular al centro instantáneo de rotación

del elemento BC, esa dirección corta a la dirección de la velocidad relativa en un punto que resuelve

el cálculo de VB y proporciona el módulo de Vr.

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4.6.6. Sólidos en rotación

En el caso del giro de una circunferencia sobre un plano, si no se produce deslizamiento y

tenemos rodadura pura, el punto I de contacto de la circunferencia con el suelo es el centro instantáneo

de rotación de la circunferencia, cualquier punto de la misma tendrá una velocidad perpendicular al

vector que lo une con ese punto.

En general si dos sólidos tienen un punto de contacto y no existe deslizamiento, la velocidad de

ambos en ese punto de contacto es la misma. En el caso de la rueda, como el punto I del suelo está fijo,

el punto I de la rueda también tendrá velocidad nula, por eso es centro instantáneo de rotación.

Por consiguiente, el centro de la rueda C, NO es el centro instantáneo de rotación de la misma.

En muchos casos de contacto en restricciones curva-curva, levas etc, donde si se produce

deslizamiento, es interesante sustituir, a efectos de análisis cinemático el mecanismo propuesto por otro

mecanismo de barras equivalente cuyo punto de articulación se sitúe en los centros de curvatura de las

superficies en contacto.