DESARROLLO DE SOFTWARE DE SIMULACION QUE PERMITA RECREAR EL MOVIMIENTO DEL MODELO SIMPLIFICADO DEL ROBOT MITSUBISHI

MOVEMASTER RVM1 A TRAVES DE ALGORITMOS DE CINEMATICA DIRECTA Y CINEMATICA INVERSA.

(RAE)

1. TIPO DE DOCUMENTO: Trabajo realizado sobre el desarrollo de un

software que recree el movimiento de un robot Mitsubishi movemaster rv

m1,para obtener el ttulo de ingeniero mecatronico.

2. TITULO: Desarrollo de software de simulacion que permita recrear el movimiento del modelo simplificado del robot mitsubishi movemaster rvm1 a traves de algoritmos de cinematica directa y cinematica inversa.

3. AUTORES: Jaime Andres Fernandez Vega, Jorge Andres Rodriguez Carrizosa

4. LUGAR: Bogota (Cundinamarca)

5. FECHA: Julio 2011

6. PALABRAS CLAVES: Cinematica inversa, Cinematica Directa, Articulacion, Robot, Actuadores, Manipulador, Sensores, Interfaz, Software, Arquitectura, C++, Grados Libertad, Controladores, Comunicacin, Dispositivo, Scara.

7. DESCRIPCION DEL TRABAJO: El presente trabajo es una propuesta de un software de simulacin que permita recrear el movimiento del modelo simplificado del robot Mitsubishi movemaster RV M1 El robot Mitsubishi Movemaster RVM1 que se encuentra en el laboratorio de automatizacin, se desea emplear como elemento para la enseanza en ctedras de robtica, sistemas flexibles de manufactura y otras similares dentro del currculo de Ingeniera Mecatrnica de la Universidad San Buenaventura sede bogota.

8. LINEA DE INVESTIGACION: Este trabajo se desarrolla en el marco de la

lnea institucional de la Facultad De Ingenieria profesionales con conocimientos cientfico, critico, y humano.

9. FUENTES CONSULTADAS: Libro Theory of Applied Robotics: kinematics, dynamics and control de Reza Jazar. Australia. LIbro Robotica Industrial de Victor Santos, Portugal, Aveiro, Noviembre2002. Herramienta para la programacin y simulacin de movimientos del manipulador robotico Mitsubishi movemaster RV-m1, colombia, Cali, Agosto 2006. Manual de operacin Basico de Uriel Guiterrez Salazar, 1987. Manual bsico Manipulador Robot Mitsubishi RV-M1 de Beatriz Delgado Fernandez. Libro Robotica de manipuladores: Teoria y algoritmos para modelado, simulacin y control, Andres Jaramillo, 2006. Manual Mitsubishi Micro-Robot System RV-M1 MoveMaster EX Technical, Mitsubishi Corporation, Japn, 1996.

10. CONTENIDOS: En este trabajo se encuentra el planteamiento del Desarrollo de software de simulacin que permita recrear el movimiento del modelo simplificado del robot Mitsubishi Movemaster RVM1 a travs de algoritmos de cinemtica directa y cinemtica inversa, analizando desde aspectos generales como particulares en la creacin del software. El proyecto a desarrollar permite subsanar falencias asociadas entre el usuario y el manipulador robtico, con fin de conocer sus caractersticas y poder programar movimientos que permitan ejecutar tareas de ndole industrial.

11. METODOLOGIA: Este trabajo tiene todos los detalles relacionados con el desarrollo de la interfaz grfica que en ltimas se considera el producto de este proyecto, all se podrn encontrar los pormenores y todo el proceso que permiti llevar a una aplicacin los resultados obtenidos durante la etapa de clculos, los resultados de estas simulaciones son comparados de manera directa con un software comercial como una forma de validar los datos obtenidos.

12. CONCLUSIONES: Con esta propuesta permite la creacin de una aplicacin que simular visualiza un brazo robotMitsubishi RV M1 de 5 grados de libertad, permitiendo configurar el tipo de trayectoria, y calculando de manera apropiada las posiciones de cada una de las articulaciones. Esto har de la herramienta un elemento apropiado para la enseanza de temas de Robtica a nivel de pregrado y muy probablemente permita el avance de nuevos proyectos investigativos en el tema. Adems la herramienta resultante es bastante liviana, podr ser ejecutada en un ordenador de capacidades de cmputo normales, facilita la creacin de laboratorios virtuales econmicamente ms accesibles a las instituciones educativas y matemticamente confiables.

DESARROLLO DE SOFTWARE DE SIMULACION QUE PERMITA RECREAR EL

MOVIMIENTO DEL MODELO SIMPLIFICADO DEL ROBOT MITSUBISHI MOVEMASTER RVM1 A TRAVES DE ALGORITMOS DE CINEMATICA DIRECTA

Y CINEMATICA INVERSA.

JAIME ANDRS FERNANDEZ VEGA

JORGE ANDRS RODRGUEZ CARRIZOSA

UNIVERSIDAD DE SAN BUENAVENTURA-BOGOT FACULTAD DE INGENIERA

PROGRAMA ACADMICO DE INGENIERA MECATRNICA JULIO DE 2011

DESARROLLO DE SOFTWARE DE SIMULACION QUE PERMITA RECREAR EL MOVIMIENTO DEL MODELO SIMPLIFICADO DEL ROBOT MITSUBISHI

MOVEMASTER RVM1 A TRAVES DE ALGORITMOS DE CINEMATICA DIRECTA Y CINEMATICA INVERSA.

JAIME ANDRS FERNANDEZ VEGA

JORGE ANDRS RODRGUEZ CARRIZOSA

Trabajo de Grado presentado como requisito para optar al ttulo de Ingeniero Mecatrnico

Docente:

LEONARDO RODRGUEZ ORTIZ

UNIVERSIDAD DE SAN BUENAVENTURA-BOGOTA FACULTAD DE INGENIERA

PROGRAMA ACADMICO DE INGENIERA MECATRNICA BOGOT

JULIO DE 2011

I

Nota de aceptacin

______________________________ ______________________________ ______________________________

______________________________ ______________________________ ______________________________

_____________________________

Presidente de jurado

_____________________________

Jurado

_____________________________ Jurado

Bogot D.C., Julio de 2011

II

DEDICATORIA

Este trabajo de grado est dedicado a nuestras familias, que se sacrificaron y se

esforzaron por nosotros, a la infinita paciencia y colaboracin que nos brindaron

para cumplir nuestro proyecto de vida como Ingenieros Mecatrnicos y llegar

hasta donde estamos llegando.

III

AGRADECIMIENTOS

A mi Padre, por el esfuerzo y trabajo que ha hecho por brindarme apoyo

econmico y moral, tambin por los consejos brindados para hacer de mi una

mejor persona a lo largo de mi vida y de toda la carrera.

A mi Madre por estar siempre con migo en las buenas y en las malas situaciones

de mi vida, adems de la orientacin y paciencia durante estos 5 aos de estudio.

A todos mis hermanos que siempre estn conmigo ofrecindome algo que

aprender de cada una de sus vidas, y en general a toda mi familia.

A mi compaero Andrs por haber cursado junto a mi gran parte de este proceso y

apoyar para que el proceso siguiera adelante.

Jorge Andrs

A mi mam, por su apoyo moral y econmico durante toda mi vida y mi carrera.

A mi pap, por el ejemplo que me ofrecido.

A mi hermana, que siempre estuvo a mi lado.

A toda mi familia, que es mi fuerza y puerto seguro.

A Jorge, ms que un compaero, amigo ejemplar en la carrera.

A todos los docentes que siempre me ensearon de la mejor manera y fueron un

ejemplo en la carrera.

Jaime Andrs

IV

Agradecimientos especiales del grupo de trabajo:

Al Ingeniero Leonardo Rodrguez Ortiz por su paciencia y conocimiento brindado a

lo largo de estos dos aos, adems del compromiso que adquiri con el grupo de

trabajo.

A los rectores Fray Fernando Garzn (Q.E.P.D) y Fray Jos Wilson Tllez por su

acompaamiento durante todo el proceso educativo su permanente disposicin y

desinteresada ayuda.

A la universidad por generarnos los espacios y el conocimiento adecuado para

desarrollar el proyecto.

Y a todas aquellas personas que de una u otra forma, colaboraron o participaron

en la realizacin de esta investigacin hacemos extensivo nuestro gran sincero

agradecimiento.

V

TABLA DE CONTENIDO

ABSTRACT ....................................................................................................................................... 2

RESUMEN ......................................................................................................................................... 2

INTRODUCCIN .............................................................................................................................. 3

1 OBJETIVOS .............................................................................................................................. 5

1.1 Objetivo General ............................................................................................................... 5

1.2 Objetivos Especficos ....................................................................................................... 5

2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ................................................................................... 6

2.1 Antecedentes o Estado del Arte ..................................................................................... 6

2.1.1 OpenGL: ..................................................................................................................... 6

2.1.2 Wardy 2: ..................................................................................................................... 8

2.1.3 Robot Manipulator Simulation (RMS) .................................................................... 9

2.1.4 A PC-based Open Architecture Controller for Robots (OACR). ........................ 9

2.1.5 Effective Simulation and Control Techniques for Alleviating Access to High-

Cost Manipulators................................................................................................................... 11

2.1.6 Web-based 3D Simulator and Command Line Interface for the Mitsubishi

Movemaster EX . ..................................................................................................................... 12

2.1.7 ROBOMOSP: Robotics Modeling and Simulation Platform. ............................ 13

2.2 Descripcin y Formulacin del Problema ................................................................... 15

2.3 Justificacin ..................................................................................................................... 15

3 MARCO DE REFERENCIA .................................................................................................. 16

3.1 Componentes y mecanismos de un sistema robtico. ............................................. 17

3.1.1 Eslabn .................................................................................................................... 17

3.1.2 Articulacin .............................................................................................................. 18

3.1.3 Manipulador ............................................................................................................. 20

3.1.4 La mueca ............................................................................................................... 20

3.1.5 Actuadores ............................................................................................................... 21

3.1.6 Sensores .................................................................................................................. 21

3.1.7 Controladores .......................................................................................................... 21

3.2 Clasificacin de los Robots ........................................................................................... 22

3.2.1 Por su geometra .................................................................................................... 22

3.2.2 Por sus Actuadores ................................................................................................ 26

VI

3.2.3 Control ...................................................................................................................... 27

3.2.4 Por su aplicacin .................................................................................................... 27

3.3 Movimiento cinemtico .................................................................................................. 29

3.3.1 Movimiento de cuerpo rgido................................................................................. 29

3.3.2 Transformacin homognea ................................................................................. 30

3.3.3 Transformacin Homognea Inversa .................................................................. 33

3.4 Cinemtica Directa ......................................................................................................... 35

3.4.1 Notacin Denavit-Hartenberg ............................................................................... 35

3.4.2 Transformacin de coordenadas entre dos marcos adyacentes .................... 38

3.4.3 Posicin cinemtica directa de los robots ........................................................... 41

3.5 Cinemtica Inversa ......................................................................................................... 43

3.5.1 Tcnica de Desacoplamiento ............................................................................... 43

3.5.2 Tcnica de transformacin inversa ...................................................................... 44

3.5.3 Tcnica iterativa ...................................................................................................... 45

4 METODOLOGA ..................................................................................................................... 49

5 ALCANCES Y LIMITACIONES ............................................................................................ 50

6 DESARROLLO INGENIERIL Y ANLISIS DE RESULTADOS ...................................... 52

6.1 Caractersticas del robot Mitsubishi Movemaster RV-M1 ........................................ 52

6.1.1 Dimensiones ............................................................................................................ 55

6.2 Mtodo Denavit-Hartenberg .......................................................................................... 56

6.3 Matrices de transformacin ........................................................................................... 58

6.4 Cinemtica Directa ......................................................................................................... 59

6.4.1 Ejemplo: ................................................................................................................... 64

6.5 Cinemtica Inversa ......................................................................................................... 66

6.5.1 Ejemplo .................................................................................................................... 69

6.6 Creacin de la Interfaz ................................................................................................... 72

6.7 Comparacin software CIROS Festo Automation con el software desarrollado

en este proyecto. ........................................................................................................................ 77

6.7.1 Cinemtica directa .................................................................................................. 77

6.7.2 Cinemtica inversa ................................................................................................. 87

7 CONCLUSIONES ................................................................................................................... 98

8 BIBLIOGRAFA ..................................................................................................................... 100

VII

9 ANEXOS ................................................................................................................................ 101

9.1 Manual del software. .................................................................................................... 101

9.2 Desarrollo algebraico cinemtica inversa ................................................................. 113

VIII

NDICE DE FIGURAS

Figura 1 Interfaz Software OpenGL ............................................................................................... 7

Figura 2 Interfaz principal Software Wardy 2. .............................................................................. 8

Figura 3 Aplicacin `Robot Manipulator Simulation'. .................................................................. 9

Figura 4 Aplicacin realizada 'A PC-based Open Architecture Controller for Robots' ....... 11

Figura 5 Simulacin del manipulador del proyecto en Visual Basic ....................................... 12

Figura 6 Proyecto `Web-based 3D Simulator and Command Line Interface for the

Mitsubishi Movemaster', junto a una cmara Web. .................................................................. 13

Figura 7 ROBOMOSP, con un Mitsubishi PA-10 y la dinmica de una trayectoria. ............ 14

Figura 8 Mecanismo retorno de 5 eslabones ............................................................................. 18

Figura 9 Tipos de Articulacin ...................................................................................................... 18

Figura 10 Ejemplo de manipulador .............................................................................................. 20

Figura 11 Funcionamiento de robot SCARA .............................................................................. 23

Figura 12 Robot Puma ................................................................................................................... 24

Figura 13 Funcionamiento robot esfrico ................................................................................... 25

Figura 14 Funcionamiento de un robot cilndrico ..................................................................... 25

Figura 15 Robot cartesiano ........................................................................................................... 26

Figura 16 Movimiento de cuerpo rgido en un sistema de coordenadas ............................... 29

Figura 17 Rotacin y translacin de un punto arbitrario B ....................................................... 31

Figura 18 Ejemplo de Matrices de transformacin y rotacin ................................................. 33

Figura 19 Rotacin y translacin de un cuerpo en un sistema de coordenadas B con

respecto al sistema G .................................................................................................................... 34

Figura 20 Notacin Denavit-Hartenberg parmetros cinemticos .......................................... 35

Figura 21 Articulaciones (i-1) , (i) y (i+1) en dos sistemas de coordenadas ......................... 36

Figura 22 Posicin del sistema final en base al sistema base ................................................ 42

Figura 23 Fotografa Robot Mitsubishi Movemaster RV-M1 ................................................... 52

Figura 24 Ejes de las articulaciones del robot Mitsubishi Movemaster RV-M1 .................... 53

Figura 25 Dimensiones y lmites del movimiento articular del robot Mitsubishi Movemaster

RV-M1. ............................................................................................................................................. 54

Figura 26 Relacin movimientos del robot y nomenclatura ..................................................... 54

Figura 27 Movimientos del robot en coordenadas cartesianas ............................................. 55

Figura 28 Nomenclatura de los eslabones del robot ................................................................ 56

Figura 29 Primera implementacin de la interfaz ...................................................................... 72

Figura 30 Segunda Implementacin de la interfaz .................................................................... 73

Figura 31 Tercera implementacin de la interfaz ...................................................................... 74

Figura 32 Cuarta implementacin de la interfaz ........................................................................ 75

Figura 33 Desarrollo final de la interfaz ...................................................................................... 76

Figura 34 Posicin del manipulador simulada en CIROS Festo Automation ........................ 78

Figura 35 valores ingresados a CIROS Festo Automation ...................................................... 78

Figura 36 Resultado de las coordenadas finales en CIROS Festo Automation ................... 79

IX

Figura 37 Posicin del manipulador simulada en el software del proyecto .......................... 80

Figura 38 valores ingresados a el software del proyecto ......................................................... 80

Figura 39 Resultado de las coordenadas finales en el software del proyecto...................... 81

Figura 40 Posicin del manipulador simulada en CIROS Festo Automation ........................ 81

Figura 41 Valores ingresados a CIROS Festo Automation ..................................................... 82

Figura 42 Resultado de las coordenadas finales en CIROS Festo Automation ................... 82

Figura 43 Posicin del manipulador simulada en el software del proyecto .......................... 83

Figura 44 Valores ingresados a el software del proyecto ........................................................ 83

Figura 45 Resultado de las coordenadas finales en el software del proyecto...................... 84

Figura 46 Posicin del manipulador simulada en CIROS Festo Automation ........................ 84

Figura 47 Valores ingresados a CIROS Festo Automation ..................................................... 85

Figura 48 Resultado de las coordenadas finales en CIROS Festo Automation ................... 85

Figura 49 Posicin del manipulador simulada en el software del proyecto .......................... 86

Figura 50 Valores ingresados a el software del proyecto ........................................................ 86

Figura 51 Resultado de las coordenadas finales en el software del proyecto...................... 87

Figura 52 Posicin del manipulador simulada en CIROS Festo Automation ........................ 88

Figura 53 Valores ingresados a CIROS Festo Automation ..................................................... 88

Figura 54 Resultado de las coordenadas finales en CIROS Festo Automation ................... 89

Figura 55 Posicin del manipulador simulada en el software del proyecto .......................... 90

Figura 56 Valores ingresados a el software del proyecto ........................................................ 90

Figura 57 Resultado de las coordenadas finales en el software del proyecto...................... 91

Figura 58 Posicin del manipulador simulada en CIROS Festo Automation ........................ 91

Figura 59 Valores ingresados a CIROS Festo Automation ..................................................... 92

Figura 60 Resultado de las coordenadas finales en CIROS Festo Automation ................... 92

Figura 61 Posicin del manipulador simulada en el software del proyecto .......................... 93

Figura 62 Valores ingresados a el software del proyecto ........................................................ 93

Figura 63 Resultado de las coordenadas finales en el software del proyecto...................... 94

Figura 64 Posicin del manipulador simulada en CIROS Festo Automation ........................ 94

Figura 65 Valores ingresados a CIROS Festo Automation ..................................................... 95

Figura 66 Resultado de las coordenadas finales en CIROS Festo Automation ................... 95

Figura 67 Posicin del manipulador simulada en el software del proyecto .......................... 96

Figura 68 Valores ingresados a el software del proyecto ........................................................ 96

Figura 69 Resultado de las coordenadas finales en el software del proyecto...................... 97

X

NDICE DE TABLAS

Tabla 1 Espacio de operacin y dimensiones del robot Mitsubishi Movemaster RV-M1 50

Tabla 2 Dimensiones del robot Mitsubishi Movemaster RV-M1 55

Tabla 3 Clasificacin geomtrica del robot Mitsubishi Movemaster RV-M1 57

Tabla 4 Parmetros DH para el manipulador Mitsubishi RV-M1 57

2

ABSTRACT

This project describes the phases for the construction of a virtual simulation of a

robot with 5 degrees of freedom, using a mathematical model to simulate the full

movement of the different joints and their position in space throughmathematical

software like Matlab , all of this possible thanks to algorithms for forward and

inverse kinematics applied to the Mitsubishi robot Movemaster RVM1.

RESUMEN

El robot Mitsubishi Movemaster RVM1 que se encuentra en el laboratorio de automatizacin se desea emplear como elemento para la enseanza en ctedras de robtica, sistemas flexibles de manufactura y otras similares dentro del currculo de Ingeniera Mecatrnica de la Universidad San Buenaventura.

La aplicacin aqu propuesta permitir interactuar con el robot a travs de una simulacin de sus trayectorias sin importar la complejidad de ellas, teniendo en cuenta las caractersticas fsicas del mismo, facilitando su uso y aprendizaje. Mostrando una interfaz grafica en un plano tridimensional en el que se visualicen sus movimientos cinemticos en tiempo real, a travs de un cdigo en un lenguaje conocido en entornos acadmicos.

El proyecto se desarrollar dese las etapas bsicas del diseo, seleccin de plataforma de software y de simulaciones mecnicas, lo cual llevar al usuario a aprender el manejo del robot y la programacin de sus movimientos, el conocimiento en profundidad de su cinemtica directa e inversa, alineacin de ejes, configuraciones singulares, etc.

3

INTRODUCCIN

La Universidad busca formar a los futuros profesionales tanto en lo terico como

en lo prctico, por eso, trabajos investigativos como los de este tipo que pretenden

llevar a la prctica los conocimientos adquiridos en las aulas de clase resultan una

excelente alternativa para la creacin de una nueva cultura al interior de la

Academia.

Este proyecto cuyo ttulo es Desarrollo de software de simulacin que permita

recrear el movimiento del modelo simplificado del robot Mitsubishi Movemaster

RVM1 a travs de algoritmos de cinemtica directa y cinemtica inversa

desenvuelve el problema, analizando desde aspectos generales como particulares

en la creacin del software. El proyecto a desarrollar permite subsanar falencias

asociadas entre el usuario y el manipulador robtico, con fin de conocer sus

caractersticas y poder programar movimientos que permitan ejecutar tareas de

ndole industrial.

Un correcto anlisis de la situacin en cuanto a trabajos similares desarrollados en

diferentes lugares del planeta soportan inicialmente los objetivos planteados, as

mismo esta primera investigacin aport una posible metodologa de trabajo que

se plasma de manera apropiada dentro del captulo de desarrollo ingenieril, all se

muestra la totalidad de las ecuaciones y procedimientos matemticos que se

tuvieron en cuenta para poder determinar con exactitud la manera como el

manipulador robtico realizar sus movimientos, obviamente para llegar hasta este

punto se cubren algunos aspectos tericos bsicos que se consideran

fundamentales para el lector menos relacionado con temas de robtica.

El trabajo cierra con todos los detalles relacionados con el desarrollo de la interfaz

grfica que en ltimas se considera el producto de este proyecto, all se podrn

encontrar los pormenores y todo el proceso que permiti llevar a una aplicacin los

resultados obtenidos durante la etapa de clculos, los resultados de estas

simulaciones son comparados de manera directa con un software comercial como

una forma de validar los datos obtenidos.

Tanto la propuesta como sus resultados muestran una solucin para la

recuperacin del equipo de robtica en cuestin (Robot Mitsubishi RV-M1),

4

brindando de esta forma aportes para entornos acadmicos y logrando un

beneficio para todos aquellos interesados en aprender del tema. Se espera que a

travs de su lectura el inters por la creacin de nuevos grupos de investigacin y

nuevos desarrollos en el tema, pues aunque el trabajo es amplio, existen an

muchos aspectos por explorar en esta interesante rea

5

1 OBJETIVOS

1.1 Objetivo General

Desarrollar una herramienta que permita manipular el robot Mitsubishi de forma

simulada o en tiempo real, para aprender a utilizar el robot y facilitar su

programacin, con el fin de ejecutar tareas en entornos acadmicos.

1.2 Objetivos Especficos

Recolectar la adecuada informacin acerca de los antecedentes trabajados en

este proyecto.

Desarrollar una interfaz grfica que permita la representacin de las

trayectorias de cada una de las articulaciones del robot, y a su vez una

utilizacin sencilla de las opciones mostradas.

Evaluar las trayectorias dadas por el usuario, considerando las caractersticas

fsicas del robot, comparar los resultados con software comercial o el sistema

real.

Incrementar el nmero de funciones del robot que se encuentren a disposicin

del usuario no experimentado para que este no requiera entrenamiento para

programar el robot.

Permitir la interaccin del usuario con el sistema de almacenamiento de datos

del controlador del robot, con el fin de facilitar la gestin de listado de

posiciones y el programa almacenado.

Facilitar la comunicacin entre el robot y el PC, permitiendo el envi de datos

completos o lnea por lnea, segn los requerimientos del usuario, en relacin

con el manejo de los programas y los listados de posiciones.

6

2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

2.1 Antecedentes o Estado del Arte

Antes de comenzar se hace necesario aclarar que gracias al convenio institucional

entre la Universidad y Festo Ltda. se logr la donacin del robot Mitsubishi RV-M1

para fines investigativos, el hardware del equipo funcionaba apropiadamente pero

tanto el sistema de control como las herramientas de programacin se

encontraban con daos permanente o simplemente no existan, as que con el

firme propsito de recuperar la herramienta se generaron dos proyectos de

investigacin uno de ellos en la parte de diseo electrnico y otro enfocado en las

herramientas de software, este proyecto muestra los resultados obtenidos en esta

ltima.

El robot como tal en su estado original inclua unas herramientas de simulacin

adecuadas para la programacin del mismo, de hecho, y con la ayuda de Festo se

logr llevar este simulador hasta las aulas de clase a travs de la herramienta

Ciros , sin embargo, debido a que el modelo data de finales de los 80, el soporte

tcnico ha sido totalmente descontinuado dejando al usuario final la

responsabilidad por la creacin de aplicaciones como las que se propone en este

trabajo. A partir de lo anterior varios esfuerzos se han generado en diversas

instituciones educativas en el mundo, algunas de las cuales se resumen a

continuacin:

2.1.1 OpenGL:

OpenGL1 (Open Graphics Library) es una especificacin estndar que define una

API multilenguaje y multiplataforma para escribir aplicaciones que produzcan

grficos 2D y 3D. La interfaz consiste en ms de 250 funciones diferentes que

pueden usarse para dibujar escenas tridimensionales complejas a partir de

primitivas geomtricas simples, tales como puntos, lneas y tringulos. Fue

desarrollada originalmente por Silicon Graphics Inc. (SGI) en 1992 y se usa

ampliamente en CAD, realidad virtual, representacin cientfica, visualizacin de

informacin y simulacin de vuelo. Tambin se usa en desarrollo de videojuegos,

donde compite con Direct3D en plataformas Microsoft Windows.

1Extrado de http://es.wikipedia.org/wiki/OpenGL

7

Fundamentalmente OpenGL es una especificacin, es decir, un documento que

describe un conjunto de funciones y el comportamiento exacto que deben tener.

Partiendo de ella, los fabricantes de hardware crean implementaciones, que son

bibliotecas de funciones que se ajustan a los requisitos de la especificacin,

utilizando aceleracin hardware cuando es posible. Dichas implementaciones

deben superar unos test de conformidad para que sus fabricantes puedan calificar

su implementacin como conforme a OpenGL y para poder usar el logotipo oficial

de OpenGL.

OpenGL tiene dos propsitos esenciales:

Ocultar la complejidad de la interfaz con las diferentes tarjetas grficas,

presentando al programador una API nica y uniforme.

Ocultar las diferentes capacidades de las diversas plataformas hardware,

requiriendo que todas las implementaciones soporten la funcionalidad

completa de OpenGL (utilizando emulacin software si fuese necesario).

Figura 1Interfaz Software OpenGL

8

2.1.2 Wardy 2:

Wardy es una herramienta bsica, cuya capacidad est limitada a las siguientes

condiciones:

Recibir el listado de posiciones grabadas en el controlador del manipulador, almacenndolas en un archivo de texto.

Enviar desde un archivo de texto un listado de posiciones, para ser grabadas en

el controlador del manipulador.

Recibir, en un archivo de texto, el programa cargado actualmente en la memoria

del controlador del manipulador.

Enviar, desde un archivo de texto, un programa, para ser almacenado en la

memoria del controlador del manipulador.

Su aplicacin slo enva y recibe archivos de texto, a travs del puerto serial, con

algunas consideraciones especificas para los manipuladores del Robot Mitsubishi

RV-M1 y RV-M2.

Figura 2 Interfaz de seleccin de manipulador Software Wardy 2.

Este simulador tiene varios defectos conocidos, que causan inconvenientes a los

usuarios, por ejemplo se bloquea con gran facilidad tras cualquier modificacin.

9

2.1.3 Robot Manipulator Simulation (RMS)

Este es un proyecto de simulacin del manipulador en cuestin con OpenGL en

Windows. Puede proporcionar una visualizacin 3D de alta calidad en tiempo real

con animacin de simulacin de hardware de bajo nivel

Incluye entre otras funciones las siguientes:

Simulacin 3D animados en tiempo real.

Clculo de la Cinemtica Manipulador, incluyendo PUMA-560 y EX-

Movemaster.

3 mtodos de control: control manual, control de Pose, Mixta de Controlde

cambio

Figura 3Aplicacin `Robot Manipulator Simulation'.

2.1.4 A PC-based Open Architecture Controller for Robots (OACR)2.

CORBA (arquitectura comn de intermediarios en peticiones a objetos), es un estndar que establece una plataforma de desarrollo de sistemas distribuidos facilitando la invocacin de mtodos remotos bajo un paradigma orientado a objetos.

2 Pan, Liandong, Xinhan, Huang y Arif, Mohammad. http://www.ansinet.org/fulltM1t/itj/itj33296-

302.pdf.

10

CORBA fue definido y est controlado por el Grupo de Gestin de Objetos (OMG)

que define la interfaz de programacin de aplicaciones (API), el protocolo de

comunicaciones y los mecanismos necesarios para permitir la interoperabilidad

entre diferentes aplicaciones escritas en diferentes lenguajes y ejecutadas en

diferentes plataformas, lo que es fundamental en computacin distribuida.

En un sentido general, CORBA "envuelve" el cdigo escrito en otro lenguaje, en

un paquete que contiene informacin adicional sobre las capacidades del cdigo

que contiene y sobre cmo llamar a sus mtodos.

El desarrollo (OACR) Plantea una arquitectura basada en CORBA, para controlar

cualquier manipulador, mediante componentes con interfaces estandarizadas.

Su finalidad es reemplazar las unidades de control especializadas de los

manipuladores, por un sistema genrico basado en computadores personales y

hardware ms econmico.

Para evaluar la arquitectura, se realiza una prueba de concepto, reemplazando la

unidad de control del Movemaster RV-M1 por una genrica, basada en una tarjeta

PCI, para controlar directamente los servos del manipulador. Cuenta con un

motor de cinemtica y dinmica muy completo, una representacin tridimensional

del robot y la creacin de trayectorias sencillas.

Generalmente las pruebas se realizan en lenguaje C++ bajo Windows, pero al ser

CORBA, en teora, los componentes podran estar en cualquier plataforma.

11

Figura 4Aplicacin realizada 'A PC-based Open Architecture Controller for Robots'

2.1.5 Effective Simulation and Control Techniques for Alleviating Access to High-

Cost Manipulators3.

Es un proyecto que fue desarrollado como recurso para la enseanza de

diferentes cursos, en Bridgeport University de Connecticut, USA, con lo cual

se pretenda reducir el desgaste que presentaban los manipuladores, debido

al uso excesivo que hacan, de ellos, los estudiantes. Este proyecto incluye,

entre sus caractersticas: el clculo de la cinemtica directa e inversa, el control

del robot por medio del movimiento articular o cartesiano, y la coordinacin entre

los movimientos del robot virtual y el real, cuando este ltimo se encuentra

conectado al PC.

Otra caracterstica que puede resaltarse del proyecto es que permite el uso de

diversos tipos de curvas, con un nmero parametrizable de puntos de control e

intermedios, para el diseo de trayectorias complejas. Igualmente, cabe resaltar la

capacidad para operar en red, de tal forma que el estudiante visualiza en pantalla,

en calidad de cliente, lo mismo que el instructor, y puede tener acceso, desde su

equipo, al control del robot, si este ltimo lo autoriza. Como complemento de lo

anterior, la aplicacin permite el control del robot, desde telfonos mviles.

3 Mihali, Ral y Sobh, Tarek, http://www.bridgeport.edu/~sobh/pdf/paper43.doc

12

Esta aplicacin se desarroll en Visual Basic, por lo cual su uso est limitado

aWindows, y utiliza OpenGL para la vista en tres dimensiones.

Figura 5Simulacin del manipulador del proyecto en Visual Basic

2.1.6 Web-based 3D Simulator and Command Line Interface for the Mitsubishi

Movemaster EX4.

Proyecto desarrollado por la Universidad de las Filipinas, en el ao 2000.

Implementa una aplicacin Web, con un simple simulador de 3D del robot en

VRML5, la cual soporta el ingreso remoto de un nmero limitado de comandos del

robot, simulando su ejecucin en la pantalla. Puede estar conectada a un robot

real y transmitirle los comandos ingresados por el usuario. Una alternativa, que se

ilustra en la Figura 6, es colocar la aplicacin en una pgina junto a una cmara

Web, lo cual permitira observar los movimientos, desde lugares remotos.

Implementa la cinemtica inversa.

4 Restituto-Tecson, Joel y Cruz-Santos, Marianne.

http://www.upd.edu.ph/~yamatake/old/projects/1999-2000/telerobot.pdf 5 Virtual Reality Markup Language (VRML), http://en.wikipedia.org/wiki/VRML

13

Es una aplicacin Web realizada en Java, que presenta el robot virtual por medio

de VRML, y ejecuta el cdigo Perl CGI, en el servidor. Por esto, para el cliente es

multiplataforma.

Figura 6Proyecto `Web-based 3D Simulator and Command Line Interface for theMitsubishi Movemaster', junto a una cmara Web.

2.1.7 ROBOMOSP: Robotics Modeling and Simulation Platform6.

Proyecto acadmico desarrollado por el mismo grupo de investigacin de este

proyecto7.Implementa una plataforma modular que permite disear, simular y

controlar cualquier tipo de robot manipulador. Es un sistema CAD8 en 3

dimensiones, que cuenta con mltiples capacidades como: modelado de cualquier

manipulador y de sus componentes fsicos; composicin del entorno de trabajo

con varios manipuladores; composicin de trayectorias complejas; simulacin y

control dinmico del manipulador, con modelado de torques de sus masas;

simulacin y control cinemtica; programacin de tareas complejas, mediante un

lenguaje de alto nivel; interfaz de programacin (API), para ampliar sus

capacidades, y operacin remota, por medio de sockets TCP/IP.

6 http://gar.puj.edu.co/Investigacion/Grupos/GAR/TmpGar/projects/robomosp/. Dos artculos citados

en la bibliografa, por Jaramillo Botero, Andrs, et al. 7 Grupo de Automatizacin Y Robtica de la Pontificia Universidad Javeriana Cali http://gar.puj.edu.co/

8 Computer Aided Design, Diseo Asistido por Computadora

14

Es una herramienta con un objetivo general, ya que se aplica para cualquier tipo

de manipulador y ambiente de trabajo, de naturaleza avanzada, con una

arquitectura abierta y modular. Su modelado de la dinmica es completo, siendo

esta una caracterstica que lo diferencia, estando ausente aun en las soluciones

comerciales evaluadas.

Es un proyecto diseado, desde su inicio, como multiplataforma, construido con

herramientas de software de dominio pblico, y puede ejecutarse en

sistemas operativos variados, como Linux, MacOS X, y Microsoft Windows.

Figura 7ROBOMOSP, con un Mitsubishi PA-10 y la dinmica de una trayectoria.

15

2.2 Descripcin y Formulacin del Problema

Los estudios de la robtica son de gran importancia para los estudiantes de la

Universidad de San Buenaventura, y elementos como el Robot Mitsubishi

Movemaster RV-M1 son de gran ayuda didctica para estos entornos acadmicos.

Actualmente el robot se encuentra en condiciones de deterioro y debido a que su

modelo es antiguo, no posee el soporte tcnico necesario para darle utilidad a esta

importante herramienta que tiene la universidad.

En los procesos de manufactura y en algunas industrias es muy comn el

trasladar elementos y productos que necesitan de mano de obra para las

respectivas necesidades reduciendo gastos y ampliando la produccin, lo cual

hace interesante el estudio de manipuladores para poder restaurar y recuperar el

Robot Mitsubishi RV-M1 y lograr entender su funcionamiento desde el punto de

vista de la robtica.

El diseo de software de simulacin es de gran importancia para muchos procesos

y el desarrollo de nuevas tecnologas, lo cual hace que la siguiente pregunta

problema cobre toda su importancia, Cmo desarrollar una herramienta que

permita manipular el robot Mitsubishi RV-M1 en simulacin o tiempo real para

aprender a utilizarlo y facilitar su programacin, con el fin de ejecutar tareas en

entornos acadmicos?

2.3 Justificacin

Para la solucin del problema es necesario estudiar de forma precisa las

herramientas y variables encontradas, partiendo de lo ms bsico como la

solucin de las ecuaciones que permitan describir el movimiento, para ser

estudiadas de manera matricial e interactuar con el computador siguiendo los

parmetros adecuados.

La programacin se puede considerar como una herramienta en la educacin que

brinda una cantidad de alternativas para simular los comportamientos de procesos

industriales de los seres humanos, siendo esto un prembulo al desarrollo de los

algoritmos necesarios para implementar estos requerimientos que son tiles para

estudios posteriores.

Adems de lo anterior, es interesante aclarar que la robtica se encuentra en una

gran etapa de desarrollo y las aplicaciones de estos software son muy grandes y

es por ello que se demuestra en este documento lo que la universidad de San

buenaventura pretende investigar para desarrollar cada da los procesos

industriales actualmente en nuestro pas.

16

3 MARCO DE REFERENCIA

El desarrollo de conceptos para robtica ha sido y seguir siendo uno de los

estudios principales del ser humano para desarrollar futuras y mejores

tecnologas. En donde se debe tener en cuenta un conjunto de leyes como

formulaciones matemticas impresas en los senderos positrnicos del cerebro de

los robots. Y que establecen lo siguiente:

Un robot no puede hacer dao a un ser humano o, por inaccin, permitir

que un ser humano sufra dao.

Un robot debe obedecer las rdenes dadas por los seres humanos, excepto

si estas rdenes entrasen en conflicto con la anterior ley.

Un robot debe proteger su propia existencia en la medida en que esta

proteccin no entre en conflicto con las anteriores dos leyes.

Las anteriores leyes se consideraron por Isaac Asimov en 1942. Cuando se

desarrolla una herramienta para programar y simular movimientos del manipulador

robtico Mitsubishi se utiliza un seguimiento de una trayectoria, es preciso

solucionar el problema cinemtico asociado al manipulador. Lo anterior implica el

clculos de las diferentes cinemticas que se toman en cuenta para permitir el

desarrollo apropiado del movimiento de las articulaciones y de la estructura

mecnica en el espacio, para permitir la representacin grfica del robot en el

espacio tridimensional, mientras ejecuta secuencialmente los movimientos

articulares requeridos, para seguir la trayectoria definida por el usuario.

El desarrollo de los clculos cinemticos se realizar a partir de diferentes

matrices de posicin relacionadas con una ubicacin en el espacio. Para ello se

estudian las variables fsicas del robot, teniendo en cuenta cada una de sus

caractersticas de arquitectura para evitar problemas en cuanto a la posicin..

La cinemtica directa se calcular a partir del desarrollo de la matriz de

transformacin homognea algortmica, que es representada en MATLAB

teniendo en cuenta el plano en el que se encuentra desarrollado todo el software.

Para la cinemtica inversa se utilizar el mtodo geomtrico. Este mtodo se ha

escogido por su eficiencia computacional, ya que requiere pocos clculos, y

las caractersticas del manipulador, que permiten su uso, como el reducido

nmero de articulaciones del manipulador, la limitacin de movimiento en la

tercera articulacin (de 0 a -110), que hace innecesario el uso de mtodos

ms complejos, como el Jacobiano.

17

Desde el punto de vista de la ingeniera, los robots son dispositivos complejos y

verstiles que contienen una estructura mecnica, un sistema sensorial, y un

sistema de control automtico. Fundamentos tericos de la robtica se basan en

los resultados de la investigacin en la mecnica, la electrnica, control

automtico, matemticas y ciencias de informtica. Para ello es importante tener

en cuenta definiciones reales para cada uno de los componentes de los robots y

lograr representar mediante medios aritmticos y matemticos las cinemticas del

brazo robot MITSUBISHI RV-M1.

3.1 Componentes y mecanismos de un sistema robtico.

Los manipuladores robticos estn compuestos cinemticamente de eslabones conectados por articulaciones formando as una cadena cinemtica. Un sistema robtico generalmente est compuesto del manipulador, la mueca, el efector final, actuadores, sensores, controladores, procesadores y software.

Es importante aclarar que los brazos de un Robot, a menudo son categorizados por sus grados de libertad (por lo general ms de seis grados de libertad). Este nmero generalmente se refiere al nmero de un solo eje de rotacin de las articulaciones en el brazo, donde un mayor nmero indica una mayor flexibilidad en posicionar una herramienta. Es decir que los grados de libertad se refieren al movimiento en un espacio tridimensional, es decir, la capacidad de moverse hacia delante/atrs, arriba/abajo, izquierda/derecha (traslacin en tres ejes perpendiculares), combinados con la rotacin sobre tres ejes perpendiculares.

De esta manera es importante conocer lo componentes que estn asociados con el estudio de los manipuladores y que se definen a continuacin:

3.1.1 Eslabn

Los cuerpos rgidos individuales que conforman un robot son llamados eslabones.

En la robtica ocasionalmente se usa el significado de brazo para denotar un

eslabn. Un brazo robot eslabn o brazo robot es un miembro rgido que puede

tener movimiento relativo con respecto a los otros eslabones. Desde el punto de

vista cinemtico,dos o ms miembros conectados entre s, de tal manera que no

exista movimiento relativo entre ellos, se consideran un solo eslabn. Ver figura

(8).

18

Figura 8 Mecanismo retorno de 5 eslabones

3.1.2 Articulacin

Dos lneas unidas por el contacto de una articulacin en su movimiento relativo, se

puede expresar por una sola coordenada. Las articulaciones suelen ser de

revolucin (rotatorio) o prismticas (lineal). En la figura (9) se representa estos dos

tipos de articulaciones. Una articulacin de revolucin (R), es como una bisagra

que permite la rotacin relativa entre dos eslabones. Una articulacin prismtica

(P), permite el movimiento relativo entre los dos eslabones.

La rotacin relativa de eslabones conectados por una articulacin de revolucin

ocurre sobre una lnea llamada eje de articulacin como se muestra en la figura

(9). De la misma manera sucede con el eslabn conectado a partir de una

articulacin prismtica ya que tambin tiene su eje de articulacin. El valor de la

nica coordenada que describe la posicin relativa de dos eslabones en una

articulacin, es denominada variable de articulacin

Las articulaciones activas son usualmente las prismticas y las de revolucin, sin

embargo, las articulaciones pasivas pueden ser cualquiera de los pares ms bajos

que proporcionan superficie de contacto. Hay seis diferentes tipos de de

articulaciones de par ms bajo; revolucin, prismtica, cilndrica, de tornillo,

esfrica y plana. Ver figura (10).

Figura 9 Articulaciones de revolucin y prismticas con sus respectivos ejes de articulacin.

19

Las articulaciones de revolucin y las prismticas son las ms comunes y

utilizadas en los manipuladores robticos en serie. Los otros tipos de

articulaciones son simplemente implementados para lograr la misma funcin o

proveer ms grados de libertad.

Figura 10 Tipos de Articulacin9

9 Extrado de http://www.monografias.com/trabajos16/estacion-robotica/estacion-robotica.shtml

20

3.1.3 Manipulador

El cuerpo principal de un robot est compuesto por eslabones, articulaciones, y

otros elementos estructurales, es denominado manipulador. Un manipulador llega

a ser un robot cuando la mueca y la pinza estn unidas, y el sistema de control

es implementado. Sin embargo, en literatura de robots y manipuladores se utilizan

de forma equivalente y ambos se refieren a robots.

Figura 11 Ejemplo de manipulador

3.1.4 La mueca

Las articulaciones en la cadena cinemtica de un robot entre el antebrazo y el

efector final, se conocen como la mueca. Esta es comnmente diseada para

manipuladores con mueca esfrica., por el cual tres ejes de la articulacin se

cruzan en un punto en comn llamado punto de mueca.

La mueca esfrica simplifica enormemente el anlisis cinemtico efectivo, lo que

permite separar el posicionamiento y la orientacin del efector final. Por tanto, el

manipulador tendr tres grados de libertad para posicin, dependiendo de las tres

articulaciones del brazo. Por lo anterior se infiere que se debe hacer el diseo de

la mueca teniendo en cuenta uno, dos o tres grados de libertad dependiendo de

la aplicacin que se requiera.

21

3.1.5 Actuadores

Los actuadores son los motores que en este caso funcionan como msculos del

robot, para cambiar su posicin. Los actuadores proporcionan energa para mover

la estructura mecnica venciendo la gravedad, inercia y otras fuerzas externas que

modifican la geometra de la ubicacin de la mano del robot. Los tipos de

actuadores pueden ser elctricos, hidrulicos o neumticos, y deben ser

controlables.

3.1.6 Sensores

Los elementos usados para detectar y recolectar informacin acerca de los

estados internos y ambientales son los sensores. Generalmente, la posicin de las

articulaciones, la velocidad, la aceleracin y la fuerza son las informaciones ms

importantes que son medidas. Los sensores se integran en el robot, envan

informacin acerca de cada eslabn, cada articulacin y cada unidad de control,

determinando de esta manera la configuracin del robot.

3.1.7 Controladores

Los controladores o unidades de control tienen tres reglas:

Informacin de las funciones, consiste en la recoleccin y el procesamiento

de la informacin entregada por los sensores.

Decisin de las funciones, el cual consiste en la planeacin del movimiento

geomtrico de la estructura mecnica.

Funciones de comunicacin, que consisten en la organizacin de la

informacin entre el robot y el medio ambiente. La unidad de control incluye

el procesador y el software.

22

3.2 Clasificacin de los Robots

La Asociacin Industrial de robtica Japonesa divide los robots en seis diferentes

clases:

Dispositivos de manipulacin manual: dispositivo de varios grados de

libertad que es manipulado por un operador.

Robot de secuencia fija: Dispositivo que lleva a cabo las etapas sucesivas

de una tarea, de acuerdo a un programa predeterminado y fijo.

Robot de secuencia variable: Dispositivo que lleva a cabo las etapas

sucesivas de una tarea, de acuerdo un predeterminado mtodo de

programacin.

Robot de reproduccin: Un operario lleva a cabo las tareas manualmente

guiando al robot, el cul archiva los movimientos para una reproduccin

futura. El robot repite los mismos movimientos de acuerdo a la informacin

recolectada.

Robot de control numrico: El operador suple al robot con un programa de

movimiento, ms que ensearle las tareas manualmente.

Robot inteligente: Un robot con la habilidad de entender el medio ambiente

y adems cuenta con la habilidad de completar tareas exitosamente, a

pesar de cambios bajo condiciones circundantes, las cuales pueden ser

realizadas.

Adems de esta clasificacin oficial, los robots tambin se clasifican de acuerdo a

otros aspectos tales como su campo de trabajo, su geometra, su control y su

aplicacin dependiendo del uso al que est destinado, a continuacin se

presentan algunas otras categoras

3.2.1 Por su geometra

Un robot se denomina un manipulador serial o de lazo abierto, si en su estructura

cinemtica no hace una cadena de bucle. Es denominado manipulador paralelo o

de lazo cerrado si en su estructura hace una cadena de bucle. Es llamado hibrido

si su estructura se compone de dos cadenas, lazo abierto y lazo cerrado.

Como un sistema mecnico, se puede pensar en un robot como un conjunto de

cuerpos rgidos conectados juntos en algunas articulaciones.

23

La mayora de los manipuladores industriales son de seis grados de libertad. Los

manipuladores de circuito abierto se pueden clasificar basndose en sus tres

primeras articulaciones empezando desde la articulacin a tierra. De los dos tipos

de articulaciones matemticamente hay 72 configuraciones diferentes de

manipuladores, simplemente porque cada articulacin pueda ser P o R, y los ejes

de las articulaciones pueden ser paralelos (||), ortogonales (), o perpendiculares

(). Dos ejes ortogonales de las articulaciones se cruzan en ngulo recto, sin

embargo, dos ejes perpendiculares de las articulaciones estn en ngulo recto con

respecto al eje normal u original. Dos ejes perpendiculares de las articulaciones

son paralelos si un eje se mueve 90 grados sobre el eje normal. Dos ejes

perpendiculares de las articulaciones son ortogonales si la medida de su eje

normal tiende a cero.

Fuera de las 72 configuraciones diferentes de manipuladores, las ms importantes

son: R||R||P (SCARA), RRR (Articulado), RRP (Esfrico), R || P P

(Cilndrico), y P P P (Cartesiano).

SCARA

El brazo SCARA (Robot selectivo y articulado compatible para el ensamble) es

un manipulador popular, el cual, como su nombre lo indica est diseado para

operaciones de ensamble.

Figura 12 Funcionamiento de robot SCARA

24

Articulado

La configuracin del brazo articulado, es llamado codo, de revolucin o

antropomrfico. Es una configuracin adecuada para robots industriales. Casi

el 25% de los robots industriales, PUMA por ejemplo, son hechos y diseados

de este tipo.

Figura 13 Robot Puma

Esfrico

La configuracin del robot esfrico es adecuada para pequeos robots. Casi el

15% de las industrias de robots, por ejemplo Brazo Stanford, son fabricados

con esta configuracin.

Mediante la sustitucin de la articulacin de la tercera parte de un manipulador

articulado por una articulacin prismtica, se obtiene el manipulador esfrico.

El nombre de esfrico, proviene del hecho de que las coordenadas esfricas

definen la posicin del efector final, respecto a su estructura base.

25

Figura 14 Funcionamiento robot esfrico

Cilndrico

Es una configuracin adecuada para robots con mediana carga de capacidad.

Casi el 45% de las industrias de robots fabrican de este tipo. La primera

articulacin del robot cilndrico es una articulacin por revolucin, y produce

una rotacin sobre su base, mientras la segunda y tercera articulacin, son

prismticas. Como su nombre lo indica, las variables de articulacin son

coordenadas cilndricas del efector final con respecto a la base.

Figura 15 Funcionamiento de un robot cilndrico

Cartesiano

La configuracin cartesiana est diseada o adecuada para robots de alta

carga de capacidad o robots largos en cuanto a dimensiones. Casi el 15% de

las industrias de robots utilizan esta configuracin.

Para un robot cartesiano, las variables de la articulacin son coordenadas

cartesianas del efector final con respecto a la base. Como es de esperar, la

26

descripcin cinemtica de este manipulador es la ms simple de todos los

manipuladores. Los manipuladores cartesianos son generalmente usados en

aplicaciones de ensamble en mesa, o transporte de carga.

Figura 16 Robot cartesiano

3.2.2 Por sus Actuadores

Los actuadores transforman el poder en movimiento. Los robots son generalmente

actuadores elctricos, neumticos o hidrulicos. Otro tipo de actuadores son los

que se consideran como piezoelctricos, magnetostriccin, aleacin con memoria

de forma y polimricos.

Los robots de actuadores elctricos son energizados por motores AC y DC y son

los ms considerados aceptables para los robots. Son fciles de limpiar,

silenciosos comparndolos con los actuadores neumticos e hidrulicos. Los

motores elctricos son eficientes a grandes velocidades por lo que una caja de

cambios de relacin alta es necesaria para reducir las altas revoluciones por

minuto.la facilidad de manipularlos y el auto frenado son ventajas de la caja de

cambios en caso de tener prdidas de potencia. Sin embargo, cuando se

necesitan altas velocidades o altas cargas, los conductores elctricos no son

capaces de competir con los actuadores hidrulicos.

Los actuadores hidrulicos son satisfactorios para bajas velocidades, alto torque,

altas potencias y masas proporcionales. Por tanto, los robots con actuadores de

este tipo son utilizados primordialmente para el levantamiento de cargas pesadas.

Entre los aspectos negativos de los actuadores hidrulicos, se encuentra el ruido

27

que produce, la tendencia a tener prdidas o fugas, incluyendo una bomba

necesaria u otro dispositivo para su correcto funcionamiento.

Los robots con actuadores neumticos son econmicos y simples, pero no se

pueden controlar de forma precisa. Junto a la precisin ms baja de movimiento,

ellos tienen casi las mismas ventajas y desventajas que tienen los robots con

actuadores hidrulicos.

3.2.3 Control

Los robots se pueden clasificar por el mtodo de control, robots con servo (control de

circuito cerrado) y robot sin servo (control de circuito abierto). Los robots servo

utilizan el control de circuito cerrado por computador, para determinar su

movimiento y por lo que son capaces de ser dispositivos realmente

multifuncionales reprogramables. Los Robots servo controlados son los ms

clasificados de acuerdo con el mtodo que el controlador utiliza para guiar el

efector final.

El manipulador ms simple de un robot servo es el manipulador punto a punto, el

cul puede ensear un discreto conjunto de puntos, llamados puntos de control,

pero no hay control en el camino de puntos del efector final. Por otra parte, en

robots de caminos de puntos continuos, el camino de puntos puede ser

controlado. Por ejemplo, el robot de efector final puede ensear a seguir una lnea

recta entre dos puntos o incluso a seguir un contorno como una lnea de unin de

soldadura. Adems de que la velocidad y o aceleracin del efector final puede ser

a menudo controlada. Estos son los robots ms avanzados y requieren los

computadores controladores ms sofisticados y software desarrollado.

Los robots sin servo son esencialmente dispositivos de circuito abierto cuyo

movimiento es limitado o predeterminado por topes mecnicos, y ellos son

utilizados para transferir materiales.

3.2.4 Por su aplicacin

Independiente de su tamao, los robots pueden ser clasificados principalmente de

acuerdo a su aplicacin en robots ensamblados y robots no ensamblados. Sin

embargo, en las industrias ellos son clasificados por las categoras tales como

robots de mquina de carga, de seleccin y lugar, soldadura, pintura, ensamble,

de inspeccin, manufactura, biomdicos, asistencia, mviles a control remoto y

tele robots.

28

De acuerdo a las caractersticas de diseo, la mayora de las industrias de brazos

robots tienen un hombro (primeras dos articulaciones), un codo (tercera

articulacin), y una mueca (las ltimas tres articulaciones). Por tanto, en total,

ellos usualmente tienen seis grados de libertad necesarios para poner un objeto

en una posicin y orientacin.

Los manipuladores seriales ms comercializados tienen solo articulaciones de

revolucin. Comparados con las articulaciones prismticas, las articulaciones de

revolucin cuestan menos y ofrecen amplia destreza por el espacio de trabajo ya

que es equivalente al volumen del robot.

Es importante tener en cuenta que los robots seriales son muy pesados

comparados con los de mxima carga, ya que se pueden mover sin perder

exactitud. Su carga til en relacin al peso es menor que 1/10, teniendo en cuenta

que criterios como la simplicidad de la posicin de cinemtica inversa, cinemtica

directa y la velocidad han sido siempre uno de los mayores criterios en la industria

de los manipuladores para ser utilizados dependiendo de las caractersticas de

aplicacin y es por ello que casi todos ellos tienen una estructura cinemtica

especial.

29

3.3 Movimiento cinemtico

El desarrollo de los movimientos de cualquier manipulador debe entenderse de

acuerdo a los pasos necesarios para ubicar en un sistema de coordenadas la

posicin de un cuerpo y representar el movimiento de unas coordenadas a otras

teniendo en cuenta la traslacin y rotacin en este mismo sistema. Conforme a lo

anterior, el sistema de coordenadas al que est sujeto un cuerpo rgido en el

espacio, est representado matricialmente como se explica a continuacin en este

captulo.

3.3.1 Movimiento de cuerpo rgido

Considerando un cuerpo rgido con un sistema de coordenadas locales adheridas a B (oxyz) movindose libremente en un marco o sistema global de coordenadas fijas G (OXYZ). El cuerpo rgido puede rotar en un sistema de coordenadas global, mientras el punto o del cuerpo marco B puede traducir en relacin al origen O de G como se muestra en la figura:

Figura 17 Movimiento de cuerpo rgido en un sistema de coordenadas

Si el vector indica la posicin del movimiento de origen o. en relacin con el

origen fijo O, entonces las coordenadas de un punto del cuerpo P en los marcos

locales y globales estn relacionados por la siguiente ecuacin:

Ecuacin 1

G G B G

p B pr R r d

30

Dnde:

Ecuacin 2

0 0 0

TG

p p p p

TB

p p p p

TG

r X Y Z

r x y z

d X Y Z

El vector llamadoel desplazamiento o translacin de B con respecto a G, y

es la matriz de rotacin al mapa a cuando es igual a cero. Cada una de

las combinaciones de la rotacin y translacin en la anterior ecuacin es llamada

movimiento rgido. En otras palabras, la ubicacin del cuerpo rgido puede estar

descrita por la posicin del origen o y la orientacin del cuerpo marco, con

respecto al marco global. La descomposicin del movimiento rgido en una

rotacin y una translacin es el mtodo ms simple para representar es

desplazamiento espacial. Se muestra la translacin por medio de u vector.

3.3.2 Transformacin homognea

Como se muestra en la figura 18 un punto arbitrario P de un cuerpo rgido, est

unido a un marco local B y est denotado por y en sistemas diferentes. El

vector indica la posicin de origen o del cuerpo marco en el sistema de

coordenadas global. Por tanto, un movimiento general del cuerpo rgido B (oxyz)

en el marco global G (OXYZ) es una combinacin de rotacin y translacin .

Ecuacin 3

G G B G

Br R r d

31

Figura 18 Rotacin y translacin de un punto arbitrario B

Usando la matriz de rotacin ms un vector nos lleva a la utilizacin de las

coordenadas homogneas. Introduciendo una matriz de transformacin

homognea denominada , ayuda a a la explicacin del movimiento rgido por

una simple matriz de transformacin.

Ecuacin 4

G G B

Br T r

Dnde,

Ecuacin 5

11 12 13 0

21 22 23 0

31 32 33 0

0 0 0 1

G

B

r r r X

r r r YT

r r r Z

0 1

G G

G B

B

R dT

32

Y

1

p

pG

p

X

Yr

Z

1

p

pB

p

x

yr

z

0

0

0

1

G

X

Yd

Z

Las anteriores ecuaciones, en pocas palabras indican la posicin del punto P representado mediante vectores de cada sistema de coordenadas G y B respectivamente. Por esta razn, cada uno de los valores de los vectores G y B son las posiciones con respecto a su sistema de coordenadas, y son multiplicados entre s vectorialmente con el sistema de coordenadas global para obtener una coordenada final. Ver figura (20).

En conclusin, la matriz de transformacin homognea es una matriz 4 x 4 que transforma un vector de posicin expresado en coordenadas homogneas desde un sistema de coordenadas a otro. Para asimilar ms fcilmente la representacin se denota con T, donde T es la matriz de transformacin:

[

] [

]

33

Figura 19 Ejemplo de Matrices de transformacin y rotacin

Los elementos de la diagonal principal de una matriz de transformacin homognea producen escalado local y global.

3.3.3 Transformacin Homognea Inversa

Una matriz ortogonal es una matriz cuya inversa coincide con su matriz traspuesta. Geomtricamente hablando, las matrices ortogonales representan transformaciones isomtricas en espacios vectoriales reales, llamadas justamente transformaciones ortogonales.

La ventaja del trabajo simple con las matrices de transformacin homognea es que ellas pierden por defecto la propiedad de ortogonalidad. Si se muestra como se muestra en la ecuacin 6,

Ecuacin 6

0

0 1 0 1

G G

G B

B

I d RT

0 1

G G

G B

B

R dT

Entonces,

1B G

G BT T

34

0 1

G G

B B

G

R dT

0 1

G G T G

B B B

G

R R dT

Ecuacin 7

1

4

G G

B BT T I

Lo que demuestra que una matriz de transformacin no es ortogonal si su inversa no es igual a la transpuesta

Ecuacin 8

1G G T

B BT R

Figura 20 Rotacin y translacin de un cuerpo en un sistema de coordenadas B con respecto al sistema G

35

3.4 Cinemtica Directa

3.4.1 Notacin Denavit-Hartenberg

Un robot o manipulador en serie con n articulaciones tendr n+1 eslabones. Numerando los eslabones desde el inicio empezando desde cero con el eslabn base que va a tierra e incrementndolo hasta el eslabn efector final. Del mismo modo sucede con las articulaciones,numerndose desde uno, iniciando desde la unin del eslabn base a el primer eslabn de movimiento, e incrementando secuencialmente hasta n. Por tal razn, el eslabn (i) est conectado a su eslabn inferior (i-1)en su extremo proximal por la articulacin i y est conectado a su eslabn superior (i+1) en su extremo distal de las articulaciones (i+1), como se muestra en la siguiente figura.

Figura 21 Notacin Denavit-Hartenberg parmetros cinemticos

En la siguiente figura se muestra los eslabones (i-1), (i) y (i+1) de un robot serie a lo largo de las articulaciones i-1, i, i+1.Todas las articulaciones estn indicadas por su eje, el cual puede ser rotacional o de translacin. Para relacionar la informacin cinemtica de los componentes del robot, se analiza estticamente un sistema de coordenadas locales para cada eslabn (i) en la articulacin i+1usando un mtodo estndar, conocido como el Mtodo de Denavit-Hartenberg.

36

De esta manera se procede a desarrollar el mtodo, desarrollando los secuencialmente los siguientes pasos:

Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabn mvil dela cadena) y acabando con n (ltimo eslabn mvil). Se numerara como eslabn 0 a la base fija del robot.

Numerar cada articulacin comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad y acabando en n).

Localizar el eje de cada articulacin, si es rotativa, el eje ser su propio eje de giro. Si es prismtica, ser el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento como se explic en la figura (9).

Para i de 0 hastan-1, situar el eje , sobre el eje de la articulacin i+1tal y como se muestra en la figura (22).

Situar el origen del sistema de la base O en cualquier punto del eje . Los ejes y se situaran d modo que formen un sistema dextrgiro con . Observe en la figura (22) que en el sistema de coordenadas el origen esta situado en la parte inferior del eslabn y la articulacin i+1.

Figura 22 Articulaciones (i-1) , (i) y (i+1) en dos sistemas de coordenadas

Para i de 1 a n-1, situar el sistema (O) (solidario al eslabn i) en la

interseccin del eje con la lnea normal comn a y . Si ambos ejes

37

se cortasen se situara (O) en el punto de corte. Si fuesen paralelos (O) se situara en la articulacini+1.

Situar en la lnea normal comn a y , tal y como se muestra en la figura (23)10, adems situar de modo que forme un sistema dextrgiro con y .

Situar el sistema (O) en el extremo del robot de modo que coincida con la direccin de y sea normal a y

.

Figura 23 Ubicacin del parmetro Xi en el mecanismo

Para las aplicaciones del mtodo de Denavit-Hartenberg, el origen del sistema ( ), unidos al link ( ), se coloca en la intercepcin de i+

ejes

de articulacin comunes normales entre los ejes y

Un marco de coordenadas de Denavit-Hartenberg11 es identificado por cuatro

parmetros: y .

Eslabn de longitud es la distancia entre los ejes y a lo largo del eje , es la longitud cinemtica del eslabn (i).

Eslabn de giro es la rotacin del eje alrededor del eje para llegar a ser paralelo al eje

10

http://www.cs.cmu.edu/~rapidproto/mechanisms/chpt4.html 11

Fuente: Theory of Applied Robotics, Reza N. Jazar

38

Distancia de articulacin es la distancia entre los ejes y a lo largo del eje . La distancia de articulacin es tambin llamada eslabn de compensacin.

ngulo de articulacin es la rotacin requerida por el eje alrededor del eje para que sea paralelo al eje .

Los parmetros y son llamados parmetros de articulacin, puesto que definen la posicin relativa de dos eslabones adyacentes conectados en la articulacin i. En un robot de diseo dado, cada articulacin es de revolucin o prismtica. Por lo

tanto, por cada articulacin, est ser siempre para el caso que o es uno fijo y el otro variable. Para una articulacin de revolucin (R) en la articulacin i, el

valor de es fijo, mientras que es la nica articulacin variable. Para articulaciones prismticas (P), el valor de es fijo y es la nica articulacin variable. La variables parmetros o son tambin denominadas variables de articulacin. Los parmetros de articulacin o definen el movimiento de tornillo porque es una rotacin alrededor del eje , y es una translacin a lo largo del eje .

Los parmetros y son denominados parmetros de eslabn, porque ellos definen las posiciones relativas de las articulaciones i y i+1 en dos extremos del

eslabn (i). El eslabn de giro es el ngulo de rotacin del eje alrededor de para llegar a ser paralelo al eje .El otro parmetro de eslabn, es la translacin a lo largo del eje para llevar al eje al eje . Los parmetros de eslabn y definen un movimiento de tornillo porque es una rotacin alrededor del eje , y es una translacin a lo largo del eje .

3.4.2 Transformacin de coordenadas entre dos marcos adyacentes

El sistema de coordenadas est fijo al eslabn (i) y el sistema de coordenadas esta fijo al eslabn (i-1). Basndose en la convencin del mtodo de Denavit-

Hartenberg, la matriz de transformacin 1i

iT

para transformar el sistema de

coordenadas iB a 1iB es representado como un producto de cuatro

transformaciones bsicas usando el parmetro de eslabn (i) y la articulacin i. que est definido de acuerdo a la nomenclatura expuesta en la seccin anterior de este captulo.

Ecuacin 9

1 1 1 1

1

, , , ,, , ,i i i i i i i ii

i z d z x a xT D R D R

39

1

cos sin cos sin sin cos

sin cos cos cos sin sin

0 sin cos

0 0 0 1

i i i i i i i

i i i i i i ii

i

i i i

a

aT

d

Donde,

Ecuacin 10

1 ,

1 0 0 0

0 cos sin 0

0 sin cos 0

0 0 0 1

i i

i i

x

i i

R

Ecuacin 11

1 ,

1 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

i i

i

x a

a

D

Ecuacin 12

1 ,

cos sin 0 0

sin cos 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

i i

i i

i i

zR

Ecuacin 13

1 ,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1

0 0 0 1

i iz d

i

Dd

Por tanto, la ecuacin de transformacin desde el sistema de coordenadas

( , , )i i i iB x y z , a su sistema de coordenadas anterior 1 1 1 1( , , )i i i iB x y z , es

40

1

1 1

1

1 1

i i

i ii

i

i i

x x

y yT

z z

Donde,

1

cos sin cos sin sin cos

sin cos cos cos sin sin

0 sin cos

0 0 0 1

i i i i i i i

i i i i i i ii

i

i i i

a

aT

d

Esta matriz de 4x4 puede ser particionada en dos submatrices, las cuales representan una nica rotacin combinada con una nica traslacin para producir

el mismo movimiento rgido requerido para mover desde iB hasta 1iB .

Ecuacin 14

1 1

1

0 1

i i

i i i

i

R dT

Donde,

1

cos sin cos sin sin

sin cos cos cos sin

0 sin cos

i i i i i

i

i i i i i i

i i

R

Y

1

cos

sin

i i

i

i i i

i

a

d a

d

41

La matriz de transformacin inversa homognea es:

1 1

1

i i

i iT T

1

cos sin 0

sin cos cos cos sin sin

sin sin cos sin cos cos

0 0 0 1

i i i

i i i i i i ii

i

i i i i i i i

a

dT

d

3.4.3 Posicin cinemtica directa de los robots

La cinemtica directa y la cinemtica inversa es la transformacin de la informacin cinemtica desde la variable de articulacin del robot en el espacio hasta la coordenada final en el espacio del sistema de coordenadas final. En otras palabras, es la informacin de la articulacin en un sistema de coordenadas local hasta el sistema de coordenadas global en el que se presentan los resultados de las coordenadas finales. Luego el problema de encontrar la posicin y la orientacin del efector final, para un determinado conjunto de variables de articulacin, es el problema de la cinemtica directa ya que necesitamos conocer la posicin final del efector si se ingresan los datos de los ngulos de cada articulacin. Este problema se puede resolver determinando las matrices de

transformacin 0 iT para describir la informacin cinemtica del eslabn (i) en el

eslabn base o tierra del sistema de coordenadas. La forma tradicional de generar las ecuaciones de cinemtica directa de un robot manipulador es proceder a utilizar la notacin de Denavit-Hartenberg y los sistemas de coordenadas de cada eslabn uno por uno. Por tanto, la cinemtica directa es la manipulacin de la matriz de transformacin explicada en la seccin anterior.

Para robots de seis grados de libertad, se requieren seis matrices de la notacin Denavit-Hartenberg, una por cada eslabn, y son requeridas para transformar las coordenadas finales de las coordenadas base. En el caso del Robot Mitsubishi Movemaster RV-M1 son slo cinco matrices de transformacin debido a sus grados de libertad, dndeel ltimo sistema de dichas matrices est unido a la estructura final de coordenadas que generalmente se fijan en el centro de la pinza.

42

Figura 24 Posicin del sistema final en base al sistema base

La informacin cinemtica para el manipulador incluye: posicin, velocidad, aceleracin y arranque. Sin embargo, la cinemtica directa se entiende como el anlisis de la posicin, luego la cinemtica directa es equivalente a determinar la matriz de transformacin combinada,

Ecuacin 15

0 0 1 2 3 1

1 1 2 2 3 3 4 4( ) ( ) ( ) ( )..... ( )n

n n nT T q T q T q T q T q

para encontrar las coordenadas de un punto P en el sistema de coordenadas base cuando estas coordenadas estn dadas en el sistema final.

0 0 n

p n pr T r

43

3.5 Cinemtica Inversa

3.5.1 Tcnica de Desacoplamiento

La bsqueda de las variables de articulacin en trminos de la posicin y la orientacin del efector final es llamada cinemtica inversa. Matemticamente, la cinemtica inversa es la bsqueda de los elementos del vector qcuando una

transformacin est dada como una funcin de variables de articulacin 1 2 3, , ,...q q q

0 0 1 2 3 1

1 1 2 2 3 3 4 4( ) ( ) ( ) ( )..... ( )n

n n nT T q T q T q T q T q

Los robots controlados por computador son usualmente movidos en el espacio de la variable de articulacin, sin embargo, los objetos para ser manipulados son expresados en el sistema de coordenadas global. Por tanto, llevar la informacin cinemtica, de ida y de vuelta, entre el espacio de articulacin y el espacio cartesiano que se convierte en una necesidad de las aplicaciones del robot. Para controlar la configuracin del efector final para alcanzar un objeto, la solucin de cinemtica inversa debe ser resuelta. Por tanto, se necesita conocer cules son los valores requeridos de las variables de articulacin, para alcanzar un punto y una orientacin deseada.

El resultado de cinemtica directa de un robot con seis grados de libertad es una matriz de transformacin de 4x4.

Ecuacin 16

0 0 1 2 3 4 5

6 1 2 3 4 5 6T T T T T T T

11 12 13 14

21 22 23 240

6

31 32 33 34

0 0 0 1

r r r r

r r r rT

r r r r

Donde 12 elementos son funciones trigonomtricas de seis variables de articulacin desconocidas. Sin embargo, desde la submatriz superior de 3x3, es una matriz de rotacin, slo tres elementos de ellos son independientes. Esto es porque la condicin de ortogonalidad. Por tanto seis de las doce ecuaciones son independientes.

44

Las funciones trigonomtricas inherentemente proveen varias soluciones. Por consiguiente, de las mltiples configuraciones del robot se espera que las seis ecuaciones se resuelvan para las variables desconocidas.

Esto es posible para desacoplar el problema de cinemtica inversa en dos subproblemas, conocida como posicin de cinemtica inversa y orientacin de cinemtica inversa. La consecuencia prctica de cada uno de los desacoplamientos es la asignacin para romper el problema en dos problemas independientes, cada uno con tres parmetros desconocidos. Siguiendo el desacoplamiento principal, la transformacin de la matriz global de un robot puede ser descompuesta a la translacin y a la rotacin.

Ecuacin 17

0 0 0

6 6 6

0 0

0 6 6

6

0 0

0 6 6

6

0

0 1 0 1

0 1

T D R

I d RT

R dT

La matriz de translacin 0

6D puede ser resuelta mediante las variables de posicin

de la mueca, y la matriz de rotacin de 0

6R puede ser resuelta mediante las variables de orientacin.

3.5.2 Tcnica de transformacin inversa

Asumiendo que se tiene la matriz de transformacin 0 6T indicando la posicin y la

orientacin global del efector final de un robot de seis grados de libertad con un

sistema de coordenadas base 0B . Adems, se asume que la geometra y las

matrices de transformacin 0 1 2 3 4 5

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )T q T q T q T q T q T q estn dadas

en funcin de las variables de articulacin.

De acuerdo con la cinemtica directa,

0 0 1 2 3 4 5

6 1 2 3 4 5 6T T T T T T T

45

11 12 13 14

21 22 23 240

6

31 32 33 34

0 0 0 1

r r r r

r r r rT

r r r r

Se puede resolver el problema de cinemtica inversa, mediante la resolucin de las siguientes ecuaciones de las variables de articulacin desconocidas:

1 0 1 0

6 1 6

2 1 1 0 1 0

6 2 1 6

3 2 1 1 1 0 1 0

6 3 2 1 6

4 3 1 2 1 1 1 0 1 0

6 4 3 2 1 6

5 4 1 3 1 2 1 1 1 0 1 0

6 5 4 3 2 1 6

5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 0 1 0

6 5 4 3 2 1 6

T T T

T T T T

T T T T T

T T T T T T

T T T T T T T

I T T T T T T T

3.5.3 Tcnica iterativa

El problema de la cinemtica inversa puede ser interpretado como la bsqueda de

la solucin kq como el conjunto de las ecuaciones algebraicas no lineales.

0

0 0 1 2 3 1

1 1 2 2 3 3 4 4

11 12 13 14

21 22 23 240

31 32 33 34

( )

( ) ( ) ( ) ( )..... ( )

0 0 0 1

n

n

n n n

n

T T q

T T q T q T q T q T q

r r r r

r r r rT

r r r r

46

O

( )

1,2,3,4,... .

ij ij kr r q

k n

Donde n es el nmero de los grados de libertad. Sin embargo, mximo n=6 de las

doce ecuaciones de 0 nT son independientes y pueden ser utilizadas para resolver

las variables de articulacin kq . Las funciones T(q) son trascendentales, que se

dan de forma explcita basadas en el anlisis de cinemtica directa.

Numerosos mtodos son aceptados para encontrar el nmero de ceros de la anterior ecuacin, sin embargo, los mtodos son en general iterativos. El mtodo ms comn es conocido como el mtodo de Newton Raphson.

En el mtodo iterativo, para resolver la ecuacin cinemtica

Ecuacin 18

( ) 0T q

Para variables q, se empieza con valores iniciales

Ecuacin 19

*q q q

Para variables de articulacin. Usando la cinemtica directa, se puede determinar la configuracin del sistema del efector final y encontrar la variable de articulacin.

Ecuacin 20

* *( )T T q

La diferencia entre la configuracin calculada con la cinemtica directa y el valor deseados representa un error, y es llamado residuo, el cul puede ser minimizado.

Ecuacin 21

*T T T

47

Un primer orden de la expansin de Taylor12 de un set de ecuaciones es

Ecuacin 22

*

* 2

( )

( ) ( )

T T q q

TT T q q O q

q

Asumiendo que q I permite trabajar con un conjunto de ecuaciones lineales

Ecuacin 23

T J q

Donde J es la matriz Jacobiana del conjunto de ecuaciones

Ecuacin 24

( ) i

j

TJ q

q

Lo que implica

1q J T

Por lo tanto las variables desconocidas de q son:

* 1q q J T

Se deben utilizar los valores de la anterior ecuacin como una nueva aproximacin para repetir los clculos y encontrar los nuevos val