Procesamiento y análisis de imágenes digitales II

Alejandra García, TM

Centro de Estudios Moleculares de la Célula, FONDAP,

Facultad de Medicina, Universidad de Chile

Escuela Tecnología MédicaUniversidad de Chile

Teorema de

Convolución

H (xi,yj,r):

X ->

Y->

H es un filtro lineal si cumple

comutatividad y distributividad:

H (a I1 + b I2) = a H I1 + b H I2

, I1/2 imágenes

, a,b escalares

KernelUna convolución es un operador matemático que transforma dos funciones f y g en una tercera función.

H (xi,yj,r):

X ->

Y->

H (xi,yj,r) · I(x,y)

Mean: Simplest (Low Pass) Simplest High Pass

1 1 1H =1/9 · 1 1 1

1 1 1

-1 -1 -1H = -1 8 -1

-1 -1 -1

Métodos de Dominio de la Frecuencia

Es una medida paraindicar el número de repeticiones de cualquier fenómenoo suceso periódicoen la unidad de tiempo.

Frecuencia

En una imagen en el dominio frecuencialse sabe dónde se encuentran losdistintos rangos de frecuencias

Espectro: es la representación de lasfrecuencias quecomponen una señal

Transformadas de la Imagen•En la codificación por transformación, se utiliza una transformada lineal, reversible, para hacer corresponder la imagen con un conjunto de coeficientes de la transformada, que después se cuantifican y se codifican.

Transformadas de la Imagen

Algunos ejemplos de transformadas:

1. La transformada de Fourier.

2. La transformada discreta del coseno.

3. La transformada de Hadamard.

4. La transformada de Walsh.

• El matemático Fourier imaginó la superficie del océano como la suma de ondas sinusoidales. Las grandes ondas causadas por la marea o por los barcos (bajas frecuencias) tenían largas longitudes de onda, mientras que las pequeñas ondas causadas por el viento u objetos arrojados (altas frecuencias) tenían pequeñas longitudes de onda.

Transformada de Fourier

• La teoría de Fourier muestra como la mayoría de las funciones reales pueden ser representadas en términos de sinusoidales.

Transformada de Fourier• La transformada de Fourier de una función continua e integrable

de una variable real x se define por

Definiciones:

• La variable ‘u’ recibe el nombre de variable de frecuencia.

•El módulo de F(u), |F(u)|= (R(u)2+ I(u)2)1/2 recibe el nombre del espectro de Fourier.

•Su ángulo P(u)=arctg(I(u)/R(u)) recibe el nombre de fase.

•Abarca señales de tiempo de una longitud infinita , estas son señales no repetitivas continuas.

•Transformará cualquier señal continua de tiempo en forma arbitraria, en un espectro continuo con una extensión de frecuencias infinita.

•FFT (Fast Fourier Transform) es un eficiente algoritmo que permite calcular la transformada de Fourier discreta(DFT) y su inversa.

Transformada de Fourier

http://apphys.uned.es

Fourier y su Transformada

Amplitud: cuánto de cada componente sinusoidal está presente en la imagen.

Fase: dónde reside cada componente sinusoidal en la imagen.

El espectro de Fourierno debe interpretarse como una imagen, sino como el desplegado en 2D de la potencia (o amplitud) de la imagen original.

PropiedadesLa simetría y periodicidad

Ondas periódicas son aquellas ondasque muestran periodicidad respecto del tiempo, esto es, describen ciclos repetitivos.

Si rotamos la función f(x,y) a un ángulo determinado, la transformada también será afectada por una rotación del mismo ángulo. Esta propiedad también se da a la inversa, es decir, si la transformada se rota en un determinado ángulo, la transformada inversa también se verá rotada ese mismo ángulo.

La rotación

F = 1

2 ≤ F

1 ≤ F ≤ 1 F = 2

3 ≤ F

1 ≤ F ≤ 2 F = 3

4 ≤ F

1 ≤ F ≤ 3 F = 10

10 ≤ F

1 ≤ F ≤ 9 F = 192

193 ≤ F

1 ≤F≤ 192

Filtro Pasa bajo, Pasa alto y Pasa BandaPasa Bajo. Deja pasar bajas frecuencias. Los bordes y transiciones bruscas como ruido contribuyen en el contenido de altas frecuencias:

Pasa Alto. El realce consiste en dejar pasar altas frecuencias.

Pasa Banda: Seleccionar los rangos de frecuencias que deseamos.

http://www.innovanet.com.ar/gis/TELEDETE/TELEDETE/ej4.htm

Filtro Homomórfico

Consiste en el filtrado lineal de la imagen transformada para separar los componentes de iluminación y reflectancia

Las imágenes consisten en luz reflejada por los objetos y están formadas por dos componentes: la cantidad de luz invidente en elobjeto y la cantidad de luz reflejada:

http://apphys.uned.es

Restauración de la Imagen

Restauración v/s Mejora•Restauración: Recuperación de imágenes y suele basarse en el conocimiento de la causa de degración de la imagen.

•Mejora: se basa en los aspectos psico-físicos del sistema visual humano.

Técnicas de RestauraciónDeterministas

•Se supone conocida la función que degradó la imagen

•Se realiza la transformada inversa

•Son válidas si tienen poco ruido

Estocásticas

•Se intenta buscar visualmente la función que degradó la imagen

Degradaciones Sencillas

Movimiento Relativo de cámara y objeto

Turbulencia atmosférica

Correcciones Ópticas

Telescopio Hubble.

Conocimiento de su óptica, permite restaurar imágenes adquiridas.

Desplazamiento Lineal Uniforme

Filtro de mínimos cuadrados. Weiner

Es necesario conocer el espectro del ruido

Si no se conoce hay varias opciones

Se calcula a partir de una imagen

Se estima el espectro (gaussiano, ruido, etc)

Se sustituye la relación señal/ruido por una constante en la fórmula:

Variando la constante obtenemos distintas calidades de restauración.

A) Imagen borrosa

B) Espectro de la T. de Fourier

C) Frecuencia en respuesta al filtro de Weiner

D) Espectro de la frecuencia de la imagen filtrada con Weiner.

E) Restauración de la imagen con Weiner

F) Imagen final restaurada

A B

C D

E F

Filtro de rechazo de banda de radio 1

Ruido Sinusoidal

Frecuencia sinusoidal aparece como 4 puntos visibles.

Eliminación de esos puntos y realizamos la transformada inversa, obtenemos la imagen restaurada

Interferencia periódica

Interferencia: es cualquier proceso que altera, modifica o destruye una señal durante su trayecto.

Similar al ruido sinusoidal, pero más sutil.

Espectro de Fouier muestra interferencia

Imagen satelital de los cráteres en el planeta Marte

Transformación Geométrica

Determinados algoritmos permiten calcular:

•Ángulos de Rotación

•Flip

• Zoom

Introducen un pequeño grado de error que distorsionarála imagen rotada en determinados ángulos.