1.- Integrar la ecuación diferencial nxeyyyn

x sin∑∞

=

−=+′+′′1

244

a) La solución particular se obtendrá por el método de los coeficientes indeterminados b) La solución particular se obtendrá por los métodos operacionales de Heaviside c) Comprobar que ambas soluciones son iguales

(junio 2009)

2.- Resolver xyyyy sin=+′+′′+′′′ 33

(1er parcial 2009, 1/5 de ejercicio) 3.- Sea L(D) un operador diferencial polinómico de coeficientes constantes

( ) 012

21

1 aDaDaDaDaDL nn

nn +++++= −

− ··· , con n raíces reales y simples r1, r2,..., rn, donde D es

el conocido operador derivada. Con aaaaa nn ,,,...,, 011− , constantes reales y f(x) una función real de variable real, se pide demostrar las siguientes expresiones en caso de que sean ciertas.

a) ( ) ( )aLee

DL

axax =

1

b) ( ) ( ) axaLaxDL sinsin 22 −=

c) ( )( ) ( ) ( )xfaDexfeD axax 22 +=

(1er parcial 2009) 4. Resolver la ecuación diferencial

( )( ) yyxyxyyyxyx ′=′−′−′′− 424 21 mediante el cambio de variable

2xt = yv ln= (1er parcial 07)

5.- Muchos problemas de cálculo de estructuras se pueden resolver mediante la aplicación de la conocida segunda ley de Newton que supone igualar la resultante de las fuerzas actuantes a la variación de la cantidad de movimiento del sistema mecánico.

( )∑ =dtmvdF

Dado que en general, en los problemas de estructuras la masa se puede considerar constante en el tiempo, y que además el sistema mecánico está en reposo, la segunda ley de Newton se limita a verificar que la resultante de fuerzas es nula.

∑ = 0F En el cálculo de fluidos es también necesario que se verifique la segunda ley de Newton sobre un sistema mecánico de naturaleza líquida o gaseosa que en general va a estar en movimiento, lo cual conduce a lo que se conoce como ecuación dinámica. Pero además, en fluidos se hace necesario introducir una ecuación adicional que asegure la conservación de la masa (ecuación de continuidad), ya que la sustancia que se está considerando cambia de forma de manera ostensible. Se tendrá que asegurar por tanto que en ausencia de fuentes y sumideros la masa dentro de un cierto volumen de control se conserva.

( )∑ =dtmvdF

cálculo II

etsiccpc práctica 3, EDOs de orden n curso 2009/10. (fecha de entrega 23/11/09)

∑ = 0M Para fluidos incompresibles dichas ecuaciones se pueden expresar como conocidas como ecuaciones de Navier-Stokes, y cuyas incógnitas son el campo de velocidades ui y las presiones del flujo p. Si se considera la variación de una cantidad φ de una determinada sustancia transportada por efecto de la convección y la difusión en un cierto medio líquido unidimensional, las ecuaciones vectoriales anteriores se pueden reducir a una ecuación escalar en derivadas parciales que en ocasiones se denomina ecuación del transporte o ecuación de convección difusión y que en su forma unidimensional se puede escribir como

( )xQx

kxx

Ut

=

∂∂

∂∂

−∂∂

+∂∂ φφφ

que para el caso del flujo permanente puede ser expresada como la ecuación diferencial ordinaria

( )xQx

dkdxdU =

∂− 2

2φφ (1)

donde el primer término es el convectivo, el segundo el difusivo y el tercero es el término fuente. En lo que sigue se va a suponer que tanto la velocidad U, como el coeficiente de difusividad k son constantes y que el término fuente Q(x) es una función que depende exclusivamente de la variable independiente x. Se pide:

a) Resolver la ecuación diferencial homogénea asociada a (1) b) Obtener la solución particular de la homogénea anterior para las condiciones de contorno

( ) 00 =φ , ( ) 0φφ =L

c) Obtener la solución general de la ecuación completa (1) para el caso de que ( ) vxexQ = , con

KUv ≠

d) Obtener la solución general de la ecuación completa (1) para el caso de que ( ) vxexQ = , con

KUv =

e) Si se considera la ecuación obtenida en a) como la de una familia de curvas de parámetro 0φ , obtener su familia ortogonal

(1er Parcial 08)

0=∂∂

i

i

xu

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

2

23

32

21

11

zu

yu

xu

xpf

zuu

yuu

xuu

tu iii

ii

i νρ

1.- Los primeros puentes colgantes de cierta envergadura fueron construidos en Inglaterra y Francia a principios del siglo XIX. Todos ellos compartían una misma tipología, constituida por dos voluminosas torres de fábrica sobre los estribos, en las que se apoyaba una catenaria que sostenía una viga de celosía. El pionero en la construcción de los grandes puentes atirantados es John Augustus Roebling (1806-1869), de nacionalidad Alemana, estudió arquitectura en el Real Instituto Politécnico de Berlín, ciudad en la que además estudiaría filosofía, siendo discípulo de Hegel. En 1831 emigró a Estados Unidos donde materializaría toda su obra. La utilización de los recientemente desarrollados grandes cables de acero, capaces de soportar tensiones muy elevadas, marcarían todos sus proyectos. Algunas de sus primeras construcciones son el Acueducto de Delaware y el Puente de Monongahela. En 1855 proyecta el puente colgante sobre las cataratas del Niágara, con 250 metros de luz y dos pisos, uno inferior para el paso de tráfico rodado y uno superior para el paso de ferrocarriles. El puente estaba rigidizado con tirantes inclinados y celosías de madera. Su obra culminante y póstuma es el Puente de Brooklin, en Nueva York. Construido en 1883 sobre el East River, une la isla de Manhattan con el barrio de Brooklyn. Posee una luz de 486 metros y fue el puente colgante de mayor longitud nunca construido durante más de dos décadas. Apoyado sobre dos grandes torres de granito de estilo neogótico que sustentan la gran catenaria central, ha pasado a la historia como el primer gran puente atirantado.

Puente de Brooklyn (1883)

Se quiere obtener la ecuación, longitud y alargamiento de una de un cable sometido a una carga por unidad de longitud ρ g, suspendido de los puntos A(-a,0) y B(a,0) El equilibrio de fuerzas queda:

( ) θθρ ddTTdsgT cossen +=+

( ) θρθ cossen dsgddTT =+ Donde T es la tensión sobre un punto del cable, θ es el ángulo que forma la recta tangente con la horizontal, y s es la longitud del arco de catenaria. Con las simplificaciones θθ dd ≅sen , 1≅θdcos , 0 ≅θddT , el sistema queda:

dTdsg =θρ sen

cálculo II

etsiccpc problemas para practicar 3, EDOs de orden n curso 2009/10

A(-a,0) B(a,0) x

y

Τ

Τ+dΤ

ρgds

ds θ

dθ

θθρ dTdsg =cos (1) Se pide: a) Obtener de (1) la expresión que da la tensión en un punto del cable.

(Solución θcos

0TT = ) (2)

b) Haciendo uso de (1) y (2) obtener la ecuación diferencial de la catenaria.

(Solución: yTyg ′′=′+ 021ρ )

c) Integrar la ecuación diferencial del apartado b) y obtener la solución particular que pasa por los puntos A(-a,0) y B(a,0).

(Solución:

−

= a

Tgx

Tg

gTy

00

0 ρρρ

coshcosh

d) Calcular la longitud de la catenaria entre los puntos A y B.

(Solución

= a

Tg

gTL

0

02 ρρ

senh )

e) Si el alargamiento total del cable ( s∆ ) es la integral del alargamiento unitario (ε ) por el diferencial de longitud (ds), esto es:

∫=∆B

A dss ε ,

y el alargamiento unitario del cable en un punto es la tensión que soporta el cable en ese punto, partido por el módulo de elasticidad y la sección del cable, siendo estas dos últimas constantes, esto es:

Ω=

ETε ,

se pide calcular el alargamiento total del cable ( s∆ ).

(Solución:

+

Ω

=∆ aT

gaT

ggE

Ts00

20 22

2ρρ

ρsenh

(Nota: 122 =− θθ senhcosh ; θθθ 222 coshsenhcosh =+ ) (Examen Final 1999)

2.- Sea la ecuación diferencial lineal, homogénea, de orden n y de coeficientes no constantes:

( ) ( ) ( ) ( ) 0012

21

1 =+′++++ −−

−− yxpyxpyxpyxpy n

nn

nn ···((( (1)

donde las funciones ( )xpi , con i = 0,1,..,n-1, son continuas en un intervalo abierto que contiene la solución. En ciertos casos es posible resolver la ecuación (1) haciendo el cambio de variable dependiente

ϕzy = (2) donde z es la nueva variable dependiente y ϕ es una solución particular de (1). A este procedimiento se le conoce como reducción de orden de una ecuación diferencial lineal homogénea. Se pide:

a) Introducir el cambio de variable (2) en la ecuación diferencial (1) b) Introducir un segundo cambio de variable dependiente (z´= p) en la ecuación obtenida en a), de

forma que se transforme ésta en una ecuación diferencial lineal, homogénea de coeficientes no constantes y orden n-1

c) Sabiendo que x=ϕ es una solución particular de la ecuación diferencial

01

21

222 =

−+′

−−′′ y

xy

xxy (3)

integrar la ecuación (3) haciendo uso del procedimiento anteriormente expuesto (junio 2004)

3.- El puente colgante sobre el estrecho de Tacoma, en el estado de Washington, fue terminado en verano de 1940 y desde el primer momento estuvo sometido a oscilaciones verticales importantes del tablero, que por otra parte aparecen de forma relativamente frecuente en diversas tipologías de puentes. Sólo unos

meses después de su finalización, el 7 de noviembre, y sometido a una velocidad de viento moderada de unos 70km/h, sufrió unas oscilaciones verticales de tal magnitud que acabaron haciéndose giratorias y terminaron con el colapso del mismo. El gobierno de EEUU encargó entonces un estudio al respecto a una comisión presidida por el ingeniero aeronáutico Theodore von Karman.

A este investigador se debe el descubrimiento del fenómeno conocido como calle de von Karman , y que consiste en la aparición de una serie de remolinos de tamaño creciente que se emiten de manera periódica cuando un fluido rebasa un obstáculo a una velocidad considerable.

Desde un primer momento se atribuyó la responsabilidad del colapso al fenómeno de resonancia que había tenido lugar en el mismo. La resonancia en este caso es el fenómeno lineal que se establecería por la coincidencia entre los movimientos periódicos del tablero y los provocados por el viento. Los efectos de la resonancia son la justificación que se ha dado tradicionalmente al colapso del Puente de Tacoma, por tanto la responsable última de la aparición de las grandes oscilaciones y la ruptura última del puente sería la aparición de oscilaciones crecientes provocadas por la coincidencia entre la frecuencia natural de las oscilaciones del puente y la de las fuerzas exteriores provocadas por el viento. Para ello sería necesario que hubiera una coincidencia total entre la frecuencia de la fuerza exterior y la natural del puente, además se deberían ignorar los efectos de amortiguamiento.

Oscilaciones del puente de Tacoma (Washington), noviembre de 1940

Investigaciones posteriores realizadas por A. C. Lazer y P.J. McKenna, entre otros, y publicadas a finales del siglo pasado, han justificado el colapso del Puente de Tacoma como consecuencia de un fenómeno más complejo provocado en último caso por efectos no lineales de inestabilidad. Para ello desarrollaron una exposición analítica basada en la resolución de un problema diferencial en ecuaciones en derivadas parciales.

Colapso del puente de Tacoma Se propone en este ejercicio evaluar de manera simplificada las vibraciones que pueden tener lugar en el tablero de un puente atirantado por el efecto de un viento de velocidad elevada. Para ello se propone un modelo muy simple constituido por una sección transversal del tablero que se supone sujeta a un solo cable de suspensión, que actúa a modo de muelle. La ecuación que regiría entonces el movimiento forzado no amortiguado sería:

( )tFxx =+′′ 20ω (1)

donde x es el desplazamiento en altura, t es el tiempo, 0ω es la frecuencia natural de la oscilación del

tablero y ( )tF es la fuerza exterior producida por la acción del viento. Se pide resolver el problema según dos supuestos:

a) En el primero se va a suponer que las vibraciones son efecto de la resonancia. En este caso se tomará 20 =ω y la fuerza provocada por el viento se tomará como la suma de infinitas

funciones senoidales de frecuencias crecientes y de amplitud nα conocida, esto es

( ) nttFn

n∑∞

=

=1

sinα . Se pide obtener la solución de (1) en estas condiciones.

b) En un segundo supuesto se va a suponer que las vibraciones son consecuencia de un fenómeno más complejo de inestabilidad. Se considerará aquí que las oscilaciones responden a ciclos de subida y bajada del tablero de naturaleza distinta. En los de bajada, la constante del muelle (tracción del cable) se supone mayor que en los de subida (respuesta del cable a compresión, que se considerará muy pequeña pero no despreciable). Se supondrá por tanto un primer ciclo en el que se resolverá (1) con 20 =ω y ( ) ttF 4sin= , junto con condiciones iniciales ( ) 00 =x ,

( ) β=′ 0x y un segundo ciclo en el que se resolverá (1) con 10 =ω , ( ) ttF 4sin= y

condiciones iniciales 02

=

πx ,

+−=

′

32

2βπx .

(junio 2005)

4.- Como sabemos, el cálculo diferencial es el lenguaje en el que se escriben los fenómenos de la naturaleza. Mediante las ecuaciones diferenciales (frente a las algebraicas) podemos expresar en términos matemáticos las leyes que gobiernan la física, para así poder prever el comportamiento del medio natural. La consideración de la variación de las magnitudes de manera diferencial nos permite describir los fenómenos de naturaleza ´suave’ y continua a lo largo del tiempo. Esta traducción al lenguaje del cálculo diferencial se realiza en gran parte de los casos imponiendo la conservación de la masa y de la cantidad de movimiento de los elementos diferenciales que componen el sistema. Como sabemos, el cálculo diferencial se fundamenta en los desarrollos obtenidos por Newton y Leibniz en la segunda mitad del XVII, que serían continuados por los Bernouilli, Euler y Lagrange, entre otros, durante el siglo siguiente. Leonhard Euler (1707-1783), para muchos el más grande matemático de todos los tiempos, denominará este método de aproximación a los problemas físicos método directo en oposición a un segundo método al que da el nombre de método de las causas finales. Según este segundo método las ecuaciones fundamentales que rigen los fenómenos de la naturaleza se obtienen no a través de establecer el equilibrio de magnitudes fundamentales sino mediante la obtención de los valores estacionarios de ciertas funciones. El método de las causas finales se basa por tanto en la rama de las matemáticas que, conocida como Cálculo de Variaciones, tiene en Euler a su figura fundamental. Al respecto de las dos formas de aproximación de los problemas de la física, Euler dice lo siguiente:

Una buena parte de los problemas físicos que se abordan durante las primeras etapas del desarrollo del cálculo diferencial tienen relación con el cálculo de estructuras. En este sentido, el problema de obtención de las deformadas de los elementos estructurales sometidos a esfuerzos es uno de los preferidos. El propio Leibniz (1646-1716) publica ciertas cuestiones al respecto de la obtención de las curvas elásticas en 1694 en su Acta Eroditorum Lipsia, pero sería Jacob Bernouilli (1654-1705) quien por primera vez tratará este problema de manera más rigurosa. El sobrino de éste, Daniel Bernouilli (1700-1782) y su discípulo Euler realizarán una contribución fundamental a la resistencia de materiales en general, y en particular a la obtención de las elásticas. En Methodus inveniendi lineas curvas, de 1744, Euler resuelve el problema de la forma que adquiere la deformadas de diversos elementos estructurales ante la acción de diferentes leyes de cargas haciendo uso del Cálculo de Variaciones (método de las causas finales). De esta forma obtiene la ecuación de la forma que adopta un cable pesado haciendo mínima la expresión integral que da la posición de su centro de

gravedad ∫L

yds0

, y que se obtiene también fácilmente mediante un equilibrio de fuerzas diferenciales

‘como la naturaleza del universo es la más perfecta, y es el trabajo del Creador más sabio, no hay nada que tenga lugar en el universo en lo que la relación de máximos y mínimos no aparezca. Por lo tanto no hay ninguna duda en absoluto de que cualquier efecto del universo puede ser explicado satisfactoriamente debido a causas finales, mediante la ayuda del método de los máximos y mínimos, como también puede serlo por las propias causas por las que tiene lugar[...]. Por lo tanto ante nosotros aparecen dos métodos de estudiar los efectos de la naturaleza; uno derivado de las causas actuantes, que se denomina habitualmente método directo, y el otro en términos de las causas finales[...]. Se debe hacer un especial esfuerzo para ver que ambas formas de aproximación a la solución del problema deben ser consideradas de manera conjunta; porque no sólo una solución es totalmente influida por la otra, sino que más aún, a partir del acuerdo entre las dos soluciones se asegura una resolución totalmente satisfactoria del problema planteado’

(método directo). De manera análoga, Euler desarrolla en su Methodus inveniendi la obtención de la ecuación de la deformada de una viga sometida a una ley de flectores M(x), a partir de la consideración de

los valores estacionarios de la ecuación integral ∫L

Rds

0 2 , que da su energía potencial en términos del radio

de curvatura R. De esta forma obtiene que la ecuación de la deformada de una viga de módulo de elasticidad E y momento de inercia I , ambos constantes, sometida a una ley de flectores M(x) es:

( )xMREI

= (1)

donde R es el radio de curvatura de una sección de la viga y viene dado por la expresión

( )yyR

′′′+

=2321

. Euler comprobó que efectivamente coincidía con la obtenida por Jacob Bernouilli por

el método directo varios años antes, y que precisamente Euler determinó a petición de su maestro Daniel Bernouilli. Para el caso de la viga biapoyada de la figura, de longitud L, sometida a una ley de cargas q constante, y suponiendo despreciable y′ frente a y ′′ , la ecuación (1) resulta:

xqLxqdx

ydEI22

22

2

−= (2)

Se pide: a) Obtener la solución de la ecuación (2) para las condiciones de contorno de la viga del enunciado,

esto es, ( ) ( ) 00 ==== Lxyxy

b) Obtener la solución de la ecuación diferencial de segundo orden ( )

yyC

′′′+

=2321

, esto es, la

familia de curvas cuyo radio de curvatura C es constante. ¿De qué curvas se trata? (1er parcial 2005)

Nota: Se supone conocido que ( ) C

xx

xdx

++

=+

∫ 2232 11/

5.- La tipología más simple e intuitiva de un puente que salvara el paso a través de un pequeño río, podría consistir en una tabla de madera tendida entre sus orillas. La tabla va a flectar, esto es se ‘comba’, al paso de las cargas, pero no suele romperse por el peso de digamos una persona. Algún astuto hombre primitivo tuvo la feliz idea de remplazar esta tabla por una lámina de piedra, pongamos de pizarra, del mismo grosor y mucho más dura, pensó él, para así evitar la flexión y con ello el mojarse los pies en las crecidas del río. Para su sorpresa, se encuentra con que la tabla se rompe y él se moja de cuerpo entero al pasar por el puente. Nuestro astuto hombre de las cavernas no sospecha que la pizarra no tiene apenas resistencia a tracción, tampoco sabe que el momento flector al que se ve sometida la sección de centro luz del puente de piedra en las fibras (cara) inferiores provoca unas tracciones que suponen el colapso de su puente de piedra.

x

q

L y

Ley de momentos flectores de la ‘Tabla’ para carga uniforme. Sección central del puente

Otra posible tipología que nuestro hombre de las cavernas podría utilizar basándose en la intuición para conseguir cruzar seco, sería la sustitución de la ‘tabla de piedra’ por un arco del mismo material, que a modo de ‘cáscara de huevo’ de dos dimensiones, aguante el peso sin romperse. En realidad lo que estaríamos haciendo es reducir a un mínimo el momento flector, que es sustituido en este caso por un esfuerzo a compresión en el que la piedra demuestra sus mejores cualidades. De ahí que sea muy rara la tipología de grandes puentes viga (‘tabla’) de piedra, frente a la tan repetida forma en arco. Habríamos inventado el puente de dovelas de piedra. La geometría ideal para un puente en el que quisiéramos eliminar por completo las tracciones sería la correspondiente a un cable no rígido sometido a unas cargas de igual magnitud pero sentido contrario, al que pondríamos ‘cabeza abajo’. Una vez hemos dado la vuelta a esa estructura, la gravedad cambia de sentido con respecto a ella y los esfuerzos de tracción con los que trabajaba el cable de forma exclusiva, pasan a ser de compresión, que son los que nos interesan. Si las cargas que van a actuar sobre un puente fueran de peso propio, la forma del arco sería la de una catenaria invertida como ya sabemos. Sin embargo es más realista considerar el peso propio del puente despreciable con respecto a las cargas de uso, que podemos suponer constantes a lo largo de la horizontal. El heredero estructural de la piedra en la arquitectura de hoy es el hormigón que, siendo mucho más cómodo de utilizar que la piedra por su sencillo proceso constructivo, sigue sin tener resistencia a tracción. Por ello, el puente arco de hormigón es uno de los más comúnmente utilizados. Para luces pequeñas suele coexistir con el de vigas (tabla) que se hace resistente a tracción mediante la adición de barras de acero en las fibras traccionadas. El puente arco de hormigón, consigue así salvar grandes luces, con limpieza de formas y economía en el armado.

Puente arco de ferrocarril de Plfaffenberg (Tauern. Austria) de 200 m de luz. Se pide:

a) Obtener el equilibrio de fuerzas en la dirección tangente y normal, de un cable de peso despreciable sometido a una carga uniforme de p (N/m) a lo largo de la horizontal, suponiendo que para ángulos pequeños θθ dd ≅sen , 1≅θdcos , y 0≅⋅ θddT .

b) A partir del sistema anterior, obtener la ecuación diferencial de orden dos de la forma que adopta el cable e integrarla. ¿Qué familia de curvas se obtiene?

c) Dando la vuelta a la solución obtenida en b) obtener la ecuación analítica del puente arco que pasa por los puntos (-a, 0) y (a, 0).

d) Obtener las ecuaciones paramétricas de la familia de ortogonales e isogonales a 45º al haz curvas de parámetro a obtenida en c).

(Febrero 2000)

p (N/m)

ds Τ

Τ+dΤ

θ

dθ

6.- Dada la ecuación diferencial ( ) ( ) ( )xRyxQyxPy =+′+′′ (1)

a) Obtener la condición (una ecuación diferencial (2) de 1er orden de variable dependiente ( )xs ) para que el

cambio de variable syyu +′= , transforme (1) en una ecuación diferencial (3) lineal de 1er orden en la

variable dependiente ( )xu b) ¿De qué tipo de ecuación diferencial de 1er orden se trata la ecuación (2) obtenida en el apartado anterior? c) Si ( )xss pp = es una solución particular de (2) ¿Cuál es la solución general de (2)?

d) Suponiendo conocida ps , integrar la ecuación (1) haciendo uso del cambio de variable ysyu p+′=

e) Sabiendo que xsp = es una solución particular de 21 ssxs +−=′ , resolver el problema de valores

iniciales 22xxeyyxy −−=+′+′′ ( ) ( ) 100 =′= yy

mediante el cambio de variable xyyu +′= (febrero 06)

7.- Sabiendo que 12 −= xy es solución de

( ) 0221 2 =+′−′′+ yyxyx obtener su solución general por reducción de orden Se recuerda que el procedimiento de reducción de orden para integración de una ecuación diferencial de la forma

( ) ( ) ( ) ( ) 0012

21

1 =+′++++ −−

−− yxpyxpyxpyxpy n

nn

nn ···((( (1)

consiste en introducir el cambio de variable ϕzy = , donde z es la nueva variable dependiente y ϕ es una solución particular de (1)

(junio 06)

8. Integrar la ecuación ( ) ( ) 082412 =−′−+′′+ yyxyx

sabiendo que admite una solución de la forma mxey = , con Rm ∈ (junio 06)

Why should I refuse a good dinner simply because I don't understand the digestive processes involved?

Oliver Heaviside (1850-1925)

9.- Oliver Heaviside (1850-1925), físico y matemático fundamentalmente autodidacta, es el autor de importantes descubrimientos en el campo del electromagnetismo, la propagación de ondas y el cálculo diferencial. Nació en Londres en el seno de una familia de artesanos y desde pequeño sufrió de una salud delicada, lo que le provocó entre otras cosas una sordera progresiva desde temprana edad que marcó su carácter introvertido y psicológicamente inestable. Desde pequeño destacó como alumno aventajado, sin embargo abandonó los estudios con 16 años para prepararse como empleado de telégrafos, labor que desempeñaría durante largo tiempo primero en Dinamarca y luego en Newcastle, en la Great Northern Telegraph Company. Sus primeros y más prolongados trabajos de investigación fueron dedicados a la electricidad y el magnetismo, campo en el que obtendría importantes logros científicos como queda reflejado en diversos trabajos por él publicados a partir de 1872, así como en referencias de James Maxwell, con quien colaboró en diversos temas de electromagnetismo, teoría de ondas y telegrafía, y con quien formularía las conocidas ecuaciones de Maxwell (también junto a Gibbs).

De entre sus desarrollos en el campo de la física cabe destacar como más importantes el desarrollo de la teoría del circuito sin distorsión, que sería continuado por Michael Pupin para el desarrollo de la telefonía a larga distancia, y el descubrimiento de la capa atmosférica ionizada que permite la propagación de las ondas radiofónicas. Además de los importantes desarrollos obtenidos en el campo del electromagnetismo, Heaviside ha pasado también a la historia de la ciencia por sus contribuciones en el campo del cálculo diferencial.

V

L

R

1/C

Heaviside desarrolló entre 1880 y 1887 la teoría de los operadores diferenciales que llevan su nombre como herramienta para resolver las ecuaciones diferenciales ordinarias que se obtienen en la teoría de circuitos eléctricos. Como sabemos, dicha teoría está basada en sustituir el operador diferencial dxd por el operador algebraico D, transformando de esta forma las ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas que una vez resueltas se volvían a transformar en soluciones de la ecuación diferencial de partida. En el campo de las matemáticas obtuvo también importantes desarrollos en teoría de números complejos (para poder aplicarla sobre la teoría de los circuitos eléctricos), el método de la transformada de la Laplace para la resolución de ecuaciones diferenciales (para ello utilizaría la función escalón que lleva su nombre), y el análisis vectorial (también para utilizarlo en sus desarrollos sobre electromagnetismo). Como tantos otros matemáticos destacados de la historia consideró siempre las matemáticas como una herramienta para lograr sus objetivos en el campo de la física y en concreto del electromagnetismo, y no fue demasiado ortodoxo es sus desarrollos matemáticos. A pesar de la innegable utilidad de los métodos diferenciales de Heaviside, que fue presentada en numerosos artículos de Proceedings of the Royal Society ante la comunidad científica mundial, la falta de rigor en su exposición, hizo que algunos de los más grandes matemáticos de la época objetaran con vehemencia lo adecuado de dichos métodos. Entre estas posiciones críticas cabe destacar las de Tait y Burnside además de la de Gibbs. Habrá que esperar a los trabajos de Bromwich para contar con demostraciones matemáticas de rigor al respecto. De personalidad atormentada, como la de tantos otros grandes científicos, parece ser que durante los últimos años de su vida padeció diversas patologías psiquiátricas como manía persecutoria y síndrome de diógenes entre otras. A pesar de recibir ciertos honores en vida, como su ingreso en la Royal Society en 1891, murió solo y sin que su labor científica fuera reconocida como merecía. Se pretende resolver un problema diferencial sencillo de electricidad haciendo uso de los métodos desarrollados por Heaviside entre 1880 y 1887. Un circuito RLC está constituido por una batería que suministra una diferencia de potencial de V(t) Voltios, una resistencia de R Ohmios, una inductancia de L Henrios y un condensador de capacidad C Faradios, todos ellos colocados en serie (ver figura). La ecuación diferencial que gobierna la carga en culombios q(t) del circuito para un instante de tiempo t, es la siguiente:

)(tVqCdt

dqRdt

qdL =++1

2

2

Se pide:

a) Si V(t)=ex Voltios, R=4 Ohmios, L=1 Henrio y C =1/3 Faradios, obtener la solución general que da la carga q(t) del circuito en un instante de tiempo dado, haciendo uso de los métodos operacionales de Heaviside

b) Si V(t)=ex Voltios, R=2 Ohmios, L=1 Henrio y C =1/2 Faradios, obtener la solución general que da la carga q(t) del circuito en un instante de tiempo dado, haciendo uso de los métodos operacionales de Heaviside

(febrero 06)

10. En la teoría de elasticidad de los suelos se conoce como terreno winkler a un modelo que aproxima la interacción entre una estructura de cimentación y el terreno a un número infinito de muelles de módulo de elasticidad k (o módulo de reacción vertical o coeficiente de balasto) de forma que la fuerza de restitución del terreno sobre el cimiento sea –ky, donde y es la deformación que tiene lugar sobre la estructura.

El nombre de balasto proviene del análisis de las traviesas de ferrocarril, donde se utilizó por primera vez este modelo. El terreno winkler tiene múltiples aplicaciones en el cálculo de estructuras, de las cuales la más importante es el cálculo de cimentaciones, y en particular el cálculo de vigas flotantes o de cimentación y losas de cimentación que trabajan sobre una sección horizontal del terreno. También es aplicable a elementos tales como pantallas para excavaciones o tablestacas que trabajan sobre una sección vertical. Se habla por tanto en esos casos de módulo de balasto vertical y de módulo de balasto horizontal. Se desea calcular una viga de cimentación que se asienta sobre un terreno con constante de balasto k. La ecuación diferencial de la deformada de la viga sometida a una carga q(x) es

( )xqkydx

ydEI =+4

4

donde E e I son el módulo de elasticidad y el momento de inercia de la sección de la viga, ambos constantes. La deformada se puede de esta forma evaluar a través de la ecuación diferencial lineal completa de cuarto orden y coeficientes constantes

( )EI

xqyEIkyiv =+

Si se asume que q(x) es uniforme a lo largo de toda la longitud de la viga e igual a q y que 4≈EIk / , se pide obtener la deformada de la viga en estas condiciones para las condiciones de contorno de viga biapoyada en los extremos. Suponiendo que la longitud de la viga es π , las c.c. serán por tanto

( ) ( ) ( ) ( ) 000 =′′=′′== ππ yyyy

Nota: Se recuerda que las raíces de la ecuación 044 =+x son i±1 y i±−1 (junio 07)

x

y

q(x)

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE

ORDEN SUPERIOR A UNO

2.1.- a) Determinar una ecuación diferencial, lineal, homogénea, de tercer orden que tenga las soluciones

xey =1 xy =2 23 xy =

y que por lo tanto sea de la forma

( ) ( ) ( ) 0012 =+′+′′+′′′ yxpyxpyxpy

b) Una vez obtenidos 012 ppp ,, introducir el cambio de variable

uey x=

y comprobar que permite reducir la ecuación de orden tres a otra de orden dos. Sin necesidad de resolverla, ¿cuáles serían las dos soluciones l.i. de la ecuación de segundo orden?

(junio 2008, 45’) a) Si las tres expresiones l.i. son solución de la ecuación diferencial, tendrán que verificarla, y por tanto derivando y sustituyendo se obtiene

xey =1 ⇒ xeyyy =′′′=′′=′ 111 ⇒ 01 012 =+++ ppp

xy =2 ⇒ 12 =′y 022 =′′′=′′ yy ⇒ 001 =+ pxp 2

3 xy = ⇒ xy 23 =′ 23 =′′y 03 =′′′y ⇒ 022 02

12 =++ pxxpp Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, cuya solución viene dada por

222

20 −+−=

xxp

222

21 −+−−

=xxxp

222

2

2 −+−=

xxxp

De donde la ecuación pedida resulta ser

( ) 02222 22 =−′+′′−′′′+− yyxyxyxx b) uey x=

( )uuey x ′+=

( )uuey x ′+=′

( )uuuey x ′′+′+=′′ 2

( )uuuuey x ′′′+′′+′+=′′′ 33

Solución

Sustituyendo las derivadas en la ecuación diferencial, resulta ( )uuuuey x ′′′+′′+′+=′′′ 33

( )( ) ( ) ( )[ ] 02223322 22 =−′++′′+′+−′′′+′′+′++− uuuxuuuxuuuuxxex

de donde, y dado que la función exponencial no se anula, se obtiene ( ) ( ) ( ) 06466222 222 =′+−+′′+−+′′′+− uxxuxxuxx Se puede reducir esta ecuación a otra de segundo orden sin más que hacer el cambio pu =′ de donde se obtiene la ecuación diferencial de orden dos

( ) ( ) ( ) 06466222 222 =+−+′+−+′′+− pxxpxxpxx

Deshaciendo el cambio, las soluciones de esta ecuación vendrán dadas por

11 =u xxeu −=2 xxeu −=3

2.2.- Muchos problemas de cálculo de estructuras se pueden resolver mediante la aplicación de la conocida segunda ley de Newton que supone igualar la resultante de las fuerzas actuantes a la variación de la cantidad de movimiento del sistema mecánico.

( )∑ =dtmvdF

Dado que en general, en los problemas de estructuras la masa se puede considerar constante en el tiempo, y que además el sistema mecánico está en reposo, la segunda ley de Newton se limita a verificar que la resultante de fuerzas es nula.

∑ = 0F

En el cálculo de fluidos es también necesario que se verifique la segunda ley de Newton sobre un sistema mecánico de naturaleza líquida o gaseosa que en general va a estar en movimiento, lo cual conduce a lo que se conoce como ecuación dinámica. Pero además, en fluidos se hace necesario introducir una ecuación adicional que asegure la conservación de la masa (ecuación de continuidad), ya que la sustancia que se está considerando cambia de forma de manera ostensible. Se tendrá que asegurar por tanto que en ausencia de fuentes y sumideros la masa dentro de un cierto volumen de control se conserva.

( )∑ =dtmvdF

∑ = 0M

Para fluidos incompresibles dichas ecuaciones se pueden expresar como

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

2

23

32

21

11

zu

yu

xu

xpf

zuu

yuu

xuu

tu iii

ii

i νρ

conocidas como ecuaciones de Navier-Stokes, y cuyas incógnitas son el campo de velocidades ui y las presiones del flujo p. Si se considera la variación de una cantidad φ de una determinada sustancia transportada por efecto de la convección y la difusión en un cierto medio líquido unidimensional, las ecuaciones vectoriales anteriores se pueden reducir a una ecuación escalar en derivadas parciales que en ocasiones se denomina ecuación del transporte o ecuación de convección difusión y que en su forma unidimensional se puede escribir como

( )xQx

kxx

Ut

=

∂∂

∂∂

−∂∂

+∂∂ φφφ

que para el caso del flujo permanente puede ser expresada como la ecuación diferencial ordinaria

( )xQx

dkdxdU =

∂− 2

2φφ (1)

donde el primer término es el convectivo, el segundo el difusivo y el tercero es el término fuente. En lo que sigue se va a suponer que tanto la velocidad U, como el coeficiente de difusividad k son constantes y que el término fuente Q(x) es una función que depende exclusivamente de la variable independiente x. Se pide:

f) Resolver la ecuación diferencial homogénea asociada a (1) g) Obtener la solución particular de la homogénea anterior para las condiciones de contorno

( ) 00 =φ , ( ) 0φφ =L

h) Obtener la solución general de la ecuación completa (1) para el caso de que ( ) vxexQ = , con

kUv ≠

i) Obtener la solución general de la ecuación completa (1) para el caso de que ( ) vxexQ = , con

kUv =

j) Si se considera la ecuación obtenida en b) como la de una familia de curvas de parámetro 0φ , obtener su familia ortogonal

(primer parcial 2008, 35’)

a) La ecuación a resolver es pues

kQ

KU

−=′−′′ φφ

La ecuación característica de la homogénea asociada será por tanto

02 =− rkUr

cuyas raíces son KUr ,0= . La solución general de la homogénea queda

xkU

GH ecc 21 +=φ

0=∂∂

i

i

xu

Solución

b) Imponiendo las condiciones de contorno dadas a la solución general de la homogénea se obtiene el sistema

210 cc +=

LkU

ecc 210 +=φ

cuyas soluciones L

kU

ecc

−=−=

1

021

φ dan la solución particular

−

−=

xkU

LkU e

e1

1

0φφ

c) La solución particular de tanteo para la ecuación diferencial completa propuesta es vx

p Ae=φ . Derivando esta expresión e introduciéndola en la ecuación se obtiene

keeAv

kUAv

vxvx −=

−2

de donde 21

kvUvA

−= y la solución de la ecuación completa resulta

20 1

1kvUv

eee

vxxkU

LkU −

+

−

−=

φφ

d) En el caso de que existan coincidencias entre la solución particular de tanteo y la solución general de la homogénea la solución particular de tanteo pasa a ser vx

p Axe=φ . Derivando e introduciéndola en la

ecuación completa, el parámetro A resulta ser kv

A 1−= , de donde la solución de la completa queda

Uxee

e

vxxkU

LkU −

−

−= 1

1

0φφ

e) Por último para calcular las trayectorias ortogonales a la familia

−==

−

xkUL

kU

ebe 11 0φφφ

derivaremos la expresión anterior y eliminaremos el parámetro ( )0φ

xkU

ekUb 0φφ −=′

esto es x

kU

eUkb

−′−= φφ0

entrando con esta expresión en la ecuación de partida

−′=

−′−=

−− xkUx

kUx

kU

eUkee

Uk 11 φφφ

Cambiando ahora φ′ por φ′−1 se obtiene

−−=′

− xkU

eUk 1φ

φ

Ecuación diferencial que se puede integrar en variables separadas haciendo

xUke

Ukcdxe

Ukd

xkUx

kU

−−=+=

−−=

−−

∫∫ 2

22

211 φφφ

o lo que es lo mismo

xUke

Ukc

xkU 22

2

22 −−=

−φ

2.3.- Como es sabido, los métodos operacionales de Heaviside permiten obtener la solución particular de una ecuación diferencial lineal de coeficientes mediante el uso del operador diferencial D a través de la expresión

( ) ( )dxxfeexfrD

y rxrxp 1

∫ −=−

=

Si en esta expresión se añade la constante de integración k, lo que se obtiene es la solución general y no la particular

( ) ( )( )dxxfekexfrD

y rxrx 1∫ −+=

−= (1)

Dada la ecuación diferencial completa de segundo orden y coeficientes constantes, con Rqp ∈, , y

( )xf una función real de variable real continua R∀

( )xfqyypy =+′+′′

donde las raíces del polinomio 02 =++ qprr son 21 rr , , se pide aplicar la expresión (1) y obtener la solución general de la EDO por integraciones sucesivas, demostrando que el resultado es

a) ( ) ( ) ( )∫ ∫++= dxdxxgxgxgececy xrxr32121

21 en el caso de que Rrr ∈21, , 21 rr ≠

b) ( ) ( ) ( )∫ ∫++= dxdxxgxgxgxececy rxrx32121 en el caso de que Rrr ∈21, , rrr == 21

c) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫++= dxdxxgxgxgbxcbxcey ax32121 sincos en el caso de que Rrr ∉21, con

biar +=1 , biar −=2

(especificar el valor de ( ) ( ) ( )xgxgxg 321 ,, en los tres casos)

(primer parcial 2008, 45’)

a) La ecuación diferencial completa de partida se puede escribir como

( ) ( )xfyqpDD =++2 esto es, se puede obtener la solución general de la completa haciendo

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )∫ −+−

=−−

=++

= dxxfekerD

xfrDrD

xfqpDD

y xrxr 11

1212

111

Operando según el método de Heaviside ( )( )( )∫ ∫ −− ++= dxdxxfeekeecey xrxrxrxrxr 11122

( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ −−− ++= dxdxxfeeedxkeecey xrxrrxrxrrxrxr 12122122

( ) ( ) ( )∫ ∫ −−− ++= dxdxxfeeeekecey xrxrrxrxrrxrxr 12122122

y finalmente ( ) ( )( ) ( )( )∫ ∫ −− ===++= dxdxxfegegegkecey xrxrrxrxrxr 121212

321

b) Cuando las dos raíces de la ecuación característica son iguales, sólo la última integral cambia, para

obtener

( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ −−− ++= dxdxxfeeedxkeecey rxxrrrxxrrrxrx

( ) ( ) ( )( )∫ ∫ −===++= dxdxxfeggegkxecey rxrxrxrx

321 1

c) Cuando las raíces de la ecuación característica son complejas se obtiene

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ −−−−− ++= dxdxxfeeedxkeecey xbiabixxbiabixxbiaxbia 22

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ −−−+− ++= dxdxxfeeekecey xbiabixxbiaxbiaxbia 2

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )∫ ∫ −−−+− ===++= dxdxxfegegegkecey xbiabixxbiaxbiaxbia

32

21

Haciendo la conocida combinación lineal de la soluciones complejas de la homogénea, se pueden obtener dos soluciones l.i. reales de la homogénea.

( ) ( )bxibxeey axxbia sincosˆ +== +1 bxeyyy ax cos

ˆˆ=

+=

221

1

( ) ( )bxibxeey axxbia sincosˆ −== −2 bxe

iyyy ax sinˆˆ

=−

=2

212

Solución

2.4.- En la teoría de elasticidad de los suelos se conoce como terreno winkler a un modelo que aproxima la interacción entre una estructura de cimentación y el terreno a un número infinito de muelles de módulo de elasticidad k (o módulo de reacción vertical o coeficiente de balasto) de forma que la fuerza de restitución del terreno sobre el cimiento sea –ky, donde y es la deformación que tiene lugar sobre la estructura. El nombre de balasto proviene del análisis de las traviesas de ferrocarril, donde se utilizó por primera vez este modelo. El terreno winkler tiene múltiples aplicaciones en el cálculo de estructuras, de las cuales la más importante es el cálculo de cimentaciones, y en particular el cálculo de vigas flotantes o de cimentación y losas de cimentación que trabajan sobre una sección horizontal del terreno. También es aplicable a elementos tales como pantallas para excavaciones o tablestacas que trabajan sobre una sección vertical. Se habla por tanto en esos casos de módulo de balasto vertical y de módulo de balasto horizontal. Se desea calcular una viga de cimentación que se asienta sobre un terreno con constante de balasto k. La ecuación diferencial de la deformada de la viga sometida a una carga q(x) es

( )xqkydx

ydEI =+4

4

donde E e I son el módulo de elasticidad y el momento de inercia de la sección de la viga, ambos constantes. La deformada se puede de esta forma evaluar a través de la ecuación diferencial lineal completa de cuarto orden y coeficientes constantes

( )EI

xqyEIkyiv =+

Si se asume que q(x) es uniforme a lo largo de toda la longitud de la viga e igual a q y que 4≈EIk / , se pide obtener la deformada de la viga en estas condiciones para las condiciones de contorno de viga biapoyada en los extremos. Suponiendo que la longitud de la viga es π , las c.c. serán por tanto

( ) ( ) ( ) ( ) 000 =′′=′′== ππ yyyy

Nota: Se recuerda que las raíces de la ecuación 044 =+x son i±1 y i±−1

(junio 2007, 35’)

La ecuación diferencial a resolver es por lo tanto

EIqyyiv =+ 4

cuya ecuación característica viene dada por

44 −=r ir 22 ±=

Cuyas raíces se dan en el enunciado como i±1 y i±−1 . Si no se hubieran dado las raíces se podrían haber calculado expresando el número complejo -4 en su notación exponencial como

( )ike 244 ππ +=− con *Nk ∈

x

y

q(x)

Solución

π

−4

R

C

La solución en C de la ecuación ( )iker ππ 24 4 += para los valores *Nk ∈ es

==+ ik

er 42

2ππ

iiik

iiik

iiik

iiik

−=

−=

+==

−−=

−−=

+==

+−=

+−=

+==

+=

+=

+==

122

212

47

4723

122

212

45

4522

122

212

43

4321

122

212

4420

ππ

ππ

ππ

ππ

sincos)(

sincos)(

sincos)(

sincos)(

q.e.d., por tanto la solución de la ecuación homogénea asociada es

( ) ( )xcxcexcxcey xxGH sincossincos 4321 +++= −

La solución particular de la completa puede obtenerse por el método de los coeficientes indeterminados a partir de la solución particular de tanteo Ayp = .

Derivando e introduciendo en la ecuación completa de partida se obtiene EIqyp 4

= , esto es, la solución

general de la homogénea resulta

( ) ( )EIqxcxcexcxcey xx

GC 44321 ++++= − sincossincos

Cuya primera derivada es

( ) ( ) xececxececy xxxxGC cossin −− −+−= 4213 22

Imponiendo ahora las condiciones de contorno del enunciado se obtiene

( )EIqccy ++== 3100

( )EIqececy

40 31 +−−== −πππ

( ) 42 2200 ccy −==′′

( ) πππ −+−==′′ ececy 42 220

El resultado del sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas anterior resulta ser

ππ

π

−

−

−+

=ee

eEIqc 1

41 ππ

π

−−+−

=eee

EIqc 1

43 042 == cc

Con lo que la solución del problema diferencial de partida se puede expresar como

+

−+

−−

+= −

−−

−

xe

eeee

eeex

EIqy xx

coscos 111

4 ππ

π

ππ

π

2.5.-Se denomina ecuación modificada de Euler-Cauchy de orden dos a una expresión de la forma

( ) ( ) 012 =+′+′′ kyyxpyxp (1) donde ( )xp1 y ( )xp2 , con ( ) 02 ≠xp , son funciones reales y continuas en un abierto I y k es una constante real cualquiera. Se pretende introducir un cambio de variable independiente ( )xft = , que transforme la ecuación (1) en otra de la forma

( ) ( ) 012 =++ kyytqytq (2) donde los puntos denotan las derivadas con respecto de la nueva variable independiente t. Se pide:

a) Introducir el cambio genérico de variable independiente ( )xft = en (1)

b) Obtener el valor de la función ( )xf para la cual dicho cambio consigue que ( )tq2 sea una constante ( )2a

c) ¿Qué relación debería existir entre ( )xp2 y ( )xp1 para que el cambio introducido en b) consiga además una ( )tq1 constante ( )1a ?

d) Verificar que la ecuación diferencial ( ) 022 =+′−+′′ −−− yyeeye xxx cumple la condición obtenida en c) y proponer un cambio de variable, según lo anterior, que la transforme en una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes. Dar la solución general de la ecuación diferencial.

(junio 2007, 45’) e) f)

a) Las derivadas del cambio de variable genérico propuesto son

𝑦𝑦′ =𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑 =

𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

= 𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑦𝑦′′ =𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 =

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

(𝑦)𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

2

+ 𝑦𝑑𝑑2𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑2 = 𝑦

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

2

+ 𝑦𝑑𝑑2𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑2

Sustituyendo en la ecuación diferencial de partida

𝑃𝑃2𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

2

+ 𝑃𝑃2 𝑦𝑑𝑑2𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑2 + 𝑃𝑃1 𝑦

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑘𝑘𝑦𝑦 = 0

esto es

𝑃𝑃2 𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

2

+ 𝑦 𝑃𝑃2𝑑𝑑2𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑2 + 𝑃𝑃1

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑘𝑘𝑦𝑦 = 0

Solución

b) Si se espera que el coeficiente de la derivada segunda sea una constante 𝑎𝑎2, esto es

𝑎𝑎2 = 𝑃𝑃2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

2

se debería de cumplir que

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 =

𝑎𝑎2

𝑃𝑃2 𝑑𝑑 = 𝑓𝑓(𝑑𝑑) = 𝑎𝑎2

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑃𝑃2 (𝑑𝑑)

c) Una vez obtenido el valor de 𝑓𝑓(𝑑𝑑), el valor del coeficiente de la derivada primera quedaría

𝑎𝑎1 = 𝑃𝑃2𝑑𝑑2𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑2 + 𝑃𝑃1

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

= 𝑃𝑃2𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑎𝑎2

𝑃𝑃2 + 𝑃𝑃1

𝑎𝑎2

𝑃𝑃2= −

𝑎𝑎2

𝑃𝑃2

𝑃𝑃2′2

+ 𝑃𝑃1𝑎𝑎2

𝑃𝑃2

De donde la condición adicional de la que se habla en el enunciado sería

𝑎𝑎1

√𝑎𝑎2𝑃𝑃2 = 𝑃𝑃1 −

𝑃𝑃2′2

esto es

𝑐𝑐𝑑𝑑𝑡𝑡 =𝑃𝑃1 −

𝑃𝑃2′2

𝑃𝑃2

d) La condición a cumplir es

𝑐𝑐𝑑𝑑𝑡𝑡 =𝑃𝑃1 −

𝑃𝑃2′2

𝑃𝑃2=𝑡𝑡−𝑑𝑑 − 𝑡𝑡−2𝑑𝑑 + + 2𝑡𝑡−2𝑑𝑑

2𝑡𝑡−𝑑𝑑 = 1 𝑞𝑞. 𝑡𝑡. 𝑑𝑑.

Por lo tanto el cambio de variable resulta ser

𝑑𝑑 = 𝑓𝑓(𝑑𝑑) = 𝑎𝑎2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡−𝑑𝑑

= 𝑡𝑡𝑑𝑑

que introducido en la ecuación diferencial propuesta da

𝑦𝑡𝑡−2𝑑𝑑𝑡𝑡2𝑑𝑑 + 𝑦(𝑡𝑡−2𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑 + (𝑡𝑡−𝑑𝑑−𝑡𝑡−2𝑑𝑑)𝑡𝑡𝑑𝑑) + 𝑦𝑦 = 0 que efectivamente resulta ser la ecuación diferencial de coeficientes constantes

𝑦 + 𝑦 + 𝑦𝑦 = 0 Las raíces de la ecuación indicial correspondiente son

𝑟𝑟2 + 𝑟𝑟 + 1 = 0

𝑟𝑟 =−1 ± 𝑖𝑖√3

2 de donde la solución general queda

𝑦𝑦 = 𝑡𝑡−𝑑𝑑2 𝑐𝑐1𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

√32 𝑑𝑑 + 𝑐𝑐2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

√32 𝑑𝑑 = 𝑡𝑡−

𝑡𝑡𝑑𝑑2 𝑐𝑐1𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

√32 𝑡𝑡𝑑𝑑 + 𝑐𝑐2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

√32 𝑡𝑡𝑑𝑑

2.6.-Resolver la ecuación diferencial

( )( ) yyxyxyyyxyx ′=′−′−′′− 424 21 mediante el cambio de variable

2xt = yv ln= Diferenciando la expresión que da el cambio de variable independiente se obtiene

xdxdt 2=

(primer parcial 2007, 35’)

Las derivadas de la variable dependiente de partida resultan

xevdxdt

dtde

dxde

dxdyy v

vv

2====′

( ) ( ) ( ) ( )vvv

vv

vv

v

evevxevdt

evdxevdx

evdxevdx

vxedy

++=+=+==′′ 222 4242222

( ) vevxvxvy 222 442 ++=′′

Sustituyendo las derivadas en la ecuación de partida

( ) ( )( ) vvvv evxxevxevevxvxvxx 25322222224 4424421 =−−++−

( ) vxvxx 424 441 =− de donde la ecuación diferencial se puede expresar en las variables nuevas como

( ) vtvt =− 21 Esta última ecuación se trata de una ecuación diferencial de segundo orden en la que falta la variable dependiente (v) y se puede abordar por lo tanto haciendo pv = e integrando dos veces

( ) tppt =− 21

∫∫ −−

−= dttt

pdp

212

21

ktp +−−= 2121 lnln

deshaciendo la parametrización

21 tcp

dtdv

−==

de donde

ktct

dtcvy +=−

== ∫ arcsinln21

Solución

La solución final se puede expresar como

2xkcey arcsin=

2.7.-Integrar la ecuación

( ) ( ) 082412 =−′−+′′+ yyxyx

sabiendo que admite una solución de la forma mxey = , con Rm ∈ (junio 2006, 30’)

Derivando la solución propuesta e introduciéndola en la ecuación diferencial de partida se obtiene

𝑡𝑡𝑚𝑚𝑑𝑑 (𝑚𝑚2(2𝑑𝑑 + 1) +𝑚𝑚(4𝑑𝑑 − 2) − 8) = 0 Agrupando los términos en x se obtiene

𝑑𝑑(2𝑚𝑚2 + 4𝑚𝑚) +𝑚𝑚2 − 2𝑚𝑚− 8 = 0 Dado que 𝑚𝑚 ≠ 0, si 𝑚𝑚 = −2, se verifica la ecuación anterior y la solución buscada resulta ser 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡−2𝑑𝑑 . A partir de una solución se puede obtener la segunda de la expresión

𝑦𝑦2 = 𝑦𝑦1𝑡𝑡−∫𝑃𝑃(𝑑𝑑)𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑦𝑦12 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑡𝑡−2𝑑𝑑 𝑡𝑡4𝑑𝑑𝑡𝑡−2𝑑𝑑+𝑙𝑙𝑙𝑙(1+2𝑑𝑑)2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑡𝑡−2𝑑𝑑 𝑡𝑡2𝑑𝑑 (1 + 2𝑑𝑑)2𝑑𝑑𝑑𝑑

ya que

−𝑃𝑃(𝑑𝑑)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2− 4𝑑𝑑2𝑑𝑑 + 1

𝑑𝑑𝑑𝑑 = −22𝑑𝑑 + 1 − 2

2𝑑𝑑 + 1𝑑𝑑𝑑𝑑 = −2𝑑𝑑 + 2𝑙𝑙𝑙𝑙(1 + 2𝑑𝑑)

La segunda solución queda por tanto

𝑦𝑦2 = 𝑡𝑡−2𝑑𝑑 ∫ 𝑡𝑡2𝑑𝑑 (1 + 4𝑑𝑑 + 4𝑑𝑑2)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑡𝑡−2𝑑𝑑 𝑡𝑡2𝑑𝑑

2+ 2𝑑𝑑2𝑡𝑡2𝑑𝑑 = 1

2+ 2𝑑𝑑2

ya que la integral por partes resulta ser

4𝑑𝑑2 𝑡𝑡2𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑝𝑝. 𝑝𝑝. = 4𝑑𝑑2𝑡𝑡2𝑑𝑑

2 −𝑑𝑑𝑡𝑡2𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑2 = 𝑢𝑢 2𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑢𝑢 ∫𝑡𝑡2𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑣𝑣 = 𝑡𝑡2𝑑𝑑

2

La solución de la ecuación diferencial de partida resulta ser por tanto

𝑦𝑦 = 𝑐𝑐1𝑡𝑡−2𝑑𝑑 + 𝑐𝑐2(4𝑑𝑑2 + 1)

2.8.-Sabiendo que 12 −= xy es solución de

( ) 0221 2 =+′−′′+ yyxyx

Solución

obtener su solución general por reducción de orden Se recuerda que el procedimiento de reducción de orden para integración de una ecuación diferencial de la forma

( ) ( ) ( ) ( ) 001

22

11 =+′++++ −

−−

− yxpyxpyxpyxpy nn

nn

n ···((( (1)

consiste en introducir el cambio de variable ϕzy = , donde z es la nueva variable dependiente y ϕ es una solución particular de (1)

(junio 2006, 50’) El cambio de variable a utilizar será por tanto 𝑦𝑦 = 𝑧𝑧(𝑑𝑑2 − 1), cuyas derivadas son

𝑦𝑦′ = 𝑧𝑧′(𝑑𝑑2 − 1) + 𝑧𝑧2𝑑𝑑 𝑦𝑦′′ = 𝑧𝑧′′ (𝑑𝑑2 − 1) + 2𝑧𝑧′2𝑑𝑑 + 2𝑑𝑑 que introducidas en la ecuación de partida dan

(1 + 𝑑𝑑2 )[𝑧𝑧′′ (𝑑𝑑2 − 1) + 4𝑧𝑧′𝑑𝑑 + 2𝑧𝑧]− 2𝑑𝑑[𝑧𝑧′(𝑑𝑑2 − 1) + 2𝑧𝑧𝑑𝑑] + 2𝑧𝑧(𝑑𝑑2 − 1) = 0 esto es

𝑧𝑧′′(𝑑𝑑4 − 1) + 𝑧𝑧′4𝑑𝑑(1 + 𝑑𝑑2) − 2𝑑𝑑(𝑑𝑑2 − 1) = 0

ecuación diferencial en la que falta la ‘y’ (variable dependiente (z)), y que puede resolverse por lo tanto mediante el cambio 𝑧𝑧′ = 𝑝𝑝.

𝑝𝑝′(𝑑𝑑4 − 1) + 𝑝𝑝(2𝑑𝑑3 + 6𝑑𝑑) = 0

Resolviendo en variables separadas, se tiene

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝 = 𝑑𝑑𝑝𝑝𝑝𝑝

= −2𝑑𝑑(𝑑𝑑2 + 3)𝑑𝑑4 − 1 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2 −

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 + 1

−𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 − 1

+𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑2 + 1

= −2𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑑𝑑2 − 1| + 𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑑𝑑2 + 1| + 𝑘𝑘 ya que la integral racional puede llevarse a cabo por descomposición en fracciones simples haciendo

2𝑑𝑑(𝑑𝑑2 + 3)𝑑𝑑4 − 1 =

𝐴𝐴𝑑𝑑 + 1 +

𝐵𝐵𝑑𝑑 − 1 +

𝐶𝐶𝑑𝑑 + 𝐷𝐷𝑑𝑑2 + 1

=𝐴𝐴(𝑑𝑑3 + 𝑑𝑑 − 𝑑𝑑2 − 1) + 𝐵𝐵(𝑑𝑑2 + 1 + 𝑑𝑑3 + 𝑑𝑑) + 𝐶𝐶𝑑𝑑3 − 𝐶𝐶𝑑𝑑 + 𝐷𝐷𝑑𝑑2 − 𝐷𝐷

𝑑𝑑4 − 1 =···

=−2𝑑𝑑 + 1 +

−2𝑑𝑑 − 1 +

2𝑑𝑑𝑑𝑑2 + 1

De donde

𝑝𝑝 = 𝑧𝑧′ =𝑑𝑑2 + 1

(𝑑𝑑2 − 1)2 𝑐𝑐

Integrando una vez más, se obtiene

𝑧𝑧 = 𝑐𝑐𝐴𝐴𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 − 1

+ 𝑐𝑐𝐵𝐵𝑑𝑑𝑑𝑑

(𝑑𝑑 − 1)2 + 𝑐𝑐𝐶𝐶𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 + 1 + 𝑐𝑐

𝐷𝐷𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑑𝑑 + 1)2 =···= 𝑐𝑐

𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑑𝑑 − 1)2

+ 𝑐𝑐𝑑𝑑𝑑𝑑

(𝑑𝑑 + 1)2 = 𝑐𝑐 1

𝑑𝑑 − 1 +1

𝑑𝑑 + 1+ 𝑘𝑘 =

𝑐𝑐𝑑𝑑𝑑𝑑2 − 1 + 𝑘𝑘

Deshaciendo, por último, el cambio de variable, se obtiene la solución general

Solución

𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑑𝑑

𝑑𝑑2 − 1 + 𝑘𝑘 (𝑑𝑑2 − 1) = 𝑐𝑐𝑑𝑑 + 𝑘𝑘(𝑑𝑑2 − 1)

Why should I refuse a good dinner simply because I don't understand the digestive processes involved?

Oliver Heaviside (1850-1925)

2.9.-Oliver Heaviside (1850-1925), físico y matemático fundamentalmente autodidacta, es el autor de importantes descubrimientos en el campo del electromagnetismo, la propagación de ondas y el cálculo diferencial. Nació en Londres en el seno de una familia de artesanos y desde pequeño sufrió de una salud delicada, lo que le provocó entre otras cosas una sordera progresiva desde temprana edad que marcó su carácter introvertido y psicológicamente inestable. Desde pequeño destacó como alumno aventajado, sin embargo abandonó los estudios con 16 años para prepararse como empleado de telégrafos, labor que desempeñaría durante largo tiempo primero en Dinamarca y luego en Newcastle, en la Great Northern Telegraph Company.

Sus primeros y más prolongados trabajos de investigación fueron dedicados a la electricidad y el magnetismo, campo en el que obtendría importantes logros científicos como queda reflejado en diversos trabajos por él publicados a partir de 1872, así como en referencias de James Maxwell, con quien colaboró en diversos temas de electromagnetismo, teoría de ondas y telegrafía, y con quien formularía las conocidas ecuaciones de Maxwell (también junto a Gibbs). De entre sus desarrollos en el campo de la física cabe destacar como más importantes el desarrollo de la teoría del circuito sin distorsión, que sería continuado por Michael Pupin para el desarrollo de la telefonía a larga distancia, y el descubrimiento de la capa atmosférica ionizada que permite la propagación de las ondas radiofónicas. Además de los importantes desarrollos obtenidos en el campo del electromagnetismo, Heaviside ha pasado también a la historia de la ciencia por sus contribuciones en el campo del cálculo diferencial. Heaviside desarrolló entre 1880 y 1887 la teoría de los operadores diferenciales que llevan su nombre como herramienta para resolver las ecuaciones diferenciales ordinarias que se obtienen en la teoría de circuitos eléctricos. Como sabemos, dicha teoría está basada en sustituir el operador diferencial dxd por el operador algebraico D, transformando de esta forma las ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas que una vez resueltas se volvían a transformar en soluciones de la ecuación diferencial de partida. En el campo de las matemáticas obtuvo también importantes desarrollos en teoría de números complejos (para poder aplicarla sobre la teoría de los circuitos eléctricos), el método de la transformada de la Laplace para la resolución de ecuaciones diferenciales (para ello utilizaría la función escalón que lleva su nombre), y el análisis vectorial (también para utilizarlo en sus desarrollos sobre electromagnetismo). Como tantos otros matemáticos destacados de la historia consideró siempre las matemáticas como una herramienta para lograr sus objetivos en el campo de la física y en concreto del electromagnetismo, y no fue demasiado ortodoxo es sus desarrollos matemáticos. A pesar de la innegable utilidad de los métodos diferenciales de Heaviside, que fue presentada en numerosos artículos de Proceedings of the Royal Society ante la comunidad científica mundial, la falta de rigor en su exposición, hizo que algunos de los más grandes matemáticos de la época objetaran con vehemencia lo adecuado de dichos métodos. Entre estas posiciones críticas cabe destacar las de Tait y Burnside además de la de Gibbs. Habrá que esperar a los trabajos de Bromwich para contar con demostraciones matemáticas de rigor al respecto. De personalidad atormentada, como la de tantos otros grandes científicos, parece ser que durante los últimos años de su vida padeció diversas patologías psiquiátricas como manía persecutoria y síndrome de

V

L

R

1/C

diógenes entre otras. A pesar de recibir ciertos honores en vida, como su ingreso en la Royal Society en 1891, murió solo y sin que su labor científica fuera reconocida como merecía. Se pretende resolver un problema diferencial sencillo de electricidad haciendo uso de los métodos desarrollados por Heaviside entre 1880 y 1887. Un circuito RLC está constituido por una batería que suministra una diferencia de potencial de V(t) Voltios, una resistencia de R Ohmios, una inductancia de L Henrios y un condensador de capacidad C Faradios, todos ellos colocados en serie (ver figura).

La ecuación diferencial que gobierna la carga en culombios q(t) del circuito para un instante de tiempo t, es la siguiente:

)(tVqCdt

dqRdt

qdL =++1

2

2

Se pide:

c) Si V(t)=ex Voltios, R=4 Ohmios, L=1 Henrio y C =1/3 Faradios, obtener la solución general que da la carga q(t) del circuito en un instante de tiempo dado, haciendo uso de los métodos operacionales de Heaviside

d) Si V(t)=ex Voltios, R=2 Ohmios, L=1 Henrio y C =1/2 Faradios, obtener la solución general que

da la carga q(t) del circuito en un instante de tiempo dado, haciendo uso de los métodos operacionales de Heaviside

(primer parcial 2006, 40’)

a) La ecuación que plantea el enunciado es por lo tanto de la forma

xeyyy =+′+′′ 34 cuya ecuación característica

0342 =++ rr tiene raíces

3,1 −−=r

luego la solución general de la homogénea queda

83

11

xxx

GCeececy ++= −−

La solución particular de la ecuación completa se puede obtener haciendo la operación

( )( )x

p eDD

y31

1++

=

Dado que las raíces son reales y simples, se puede hacer la descomposición en fracciones simples

Solución

xp e

DDDB

DAy

+−

+==

+−

+=

31

11

21···

31

Por lo tanto la solución particular que se obtiene es

( )8422

121 33

xxxxxxxxx

peeedxeeedxeeey =

−=+= ∫∫ −−

b) En este caso la ecuación a resolver es de la forma

xeyyy =+′+′′ 22 cuya ecuación característica

0222 =++ rr tiene raíces complejas

ir ±−= 1

la solución general de la homogénea queda

( )xcxcey xGC sincos 21 += −

La solución particular de la completa se puede obtener por el método de los operadores de Heaviside como

iDB

iDAyp ++

−−+

=11

La solución particular de la ecuación completa se puede obtener tratando las raíces complejas como si fueran reales, y haciendo por lo tanto

xp e

iDiDiiDB

iDAy

++−

−+==

++−

−+=

11

11

21···

11

Por lo tanto la solución particular que se obtiene es

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

+

+−

=+=+

−−−

+−+−−−+− ∫∫ iee

iee

idxeeedxeee

iy

xixi

xixixxixixxixi

p 2221

21 2

12

11111

5142

22221 xxxx

pei

ie

ie

ie

iy =

+=

+

−−

=

De donde la solución general de la ecuación completa es

( )5

sincos 21

xx

GCexcxcey ++= −

2.10.-Obtener la solución general y singular de la ecuación diferencial

022 2222 =′−′+− yyxyyyx

(primer parcial 2006, 45’)

Solución

Se trata de una ecuación diferencial lineal de primer orden no explícita en la derivada, dado que tampoco es explícita en x ni en y, se va a intentar llevar a cabo su resolución como resoluble en y’. Esto supondrá resolver la ecuación de segundo grado en y′

( ) ( ) ( ) 022 2222 =−+′−′ xyyxyyy de donde

2

422

2

22422

2222

24842

yyyxxy

yyxyyxxyy −±

=+−±

=′

Se trata de una ecuación homogénea, por lo tanto admite el cambio de variable xyu = , de donde se obtiene

uuy

2121 −±=′

y por tanto

uuu

xuyu

22121 −−±=

−′=′

La ecuación en variables separadas resultante se puede resolver calculando la integral

∫ ∫ +==−±−

= kxx

dxuu

uduI ln121 22

La integral I se puede resolver haciendo el cambio 221 tu =− ; tdtudu 22 =− , de donde

kxtt

dttt

tdtI +=±−=±

−=±

−= ∫ ∫ ln2ln222

De donde la solución de la ecuación diferencial resulta

cxyx =

±−± 21 2

2

( ) cxyx =+−± 222

de donde la solución general queda

±𝑑𝑑2 − 𝑦𝑦2 = 𝑐𝑐 ∓ √2𝑑𝑑

𝑑𝑑2 − 𝑦𝑦2 = 𝑐𝑐2 ∓ 2√2𝑐𝑐𝑑𝑑 + 2𝑑𝑑2

𝑑𝑑2 + 𝑦𝑦2 = −𝑐𝑐2 ± 2√2𝑐𝑐𝑑𝑑 Esto es

𝑑𝑑2 + 𝑦𝑦2 + 𝑐𝑐2 + 2√2𝑐𝑐𝑑𝑑𝑑𝑑2 + 𝑦𝑦2 + 𝑐𝑐2 − 2√2𝑐𝑐𝑑𝑑 = 0

(𝑑𝑑2 + 𝑦𝑦2 + 𝑐𝑐2)2 = 8𝑐𝑐2𝑑𝑑2

𝑑𝑑2 + 𝑦𝑦2 + 𝑐𝑐2 = ±2√2𝑐𝑐𝑑𝑑

La solución singular se puede calcular haciendo 0=′∂

∂yf

y eliminando y′ del sistema que forma con la

propia ecuación de partida ( )0=f . La parcial de f con respecto de y′ es

xyyyyf 220 2 −′==′∂

∂

esto es

yxy =′

entrando con este valor de y′ en la ecuación diferencial de partida se obtiene

0222 2222222

2

=−+−=−+− xyxxyyxxyy

yx

de donde xy ±=

cuya derivada es 1±=′y . Si se introduce el valor de la derivada en la ecuación diferencial de partida se obtiene

( ) 022 222 =−±±− xxxxx

que se verifica siempre, luego se concluye que efectivamente la pareja de rectas xy ±= , es la solución singular, envolvente de la solución general.

2.11.-Dada la ecuación diferencial

( ) ( ) ( )xRyxQyxPy =+′+′′ (1)

f) Obtener la condición (una ecuación diferencial (2) de 1er orden de variable dependiente ( )xs ) para que el cambio de variable syyu +′= , transforme (1) en una ecuación diferencial (3) lineal de 1er orden en la variable dependiente ( )xu

g) ¿De qué tipo de ecuación diferencial de 1er orden se trata la ecuación (2) obtenida en el apartado anterior?

h) Si ( )xss pp = es una solución particular de (2) ¿Cuál es la solución general de (2)?

i) Suponiendo conocida ps , integrar la ecuación (1) haciendo uso del cambio de variable

ysyu p+′=

j) Sabiendo que xsp = es una solución particular de 21 ssxs +−=′ , resolver el problema de valores iniciales

22xxeyyxy −−=+′+′′ ( ) ( ) 100 =′= yy

mediante el cambio de variable xyyu +′=

(primer parcial 2006, 55’) Solución

Si se deriva el cambio propuesto y se introduce en la ecuación (1) se obtiene

ysysyu ′+′+′′=′ RQyyPysysu =+′+′−′−′

reorganizando términos se obtiene

( ) ( ) RsQysPyu =′−+−′+′

Si ahora se divide la ecuación anterior por sP − , resulta

sPR

sPsQyy

sPu

−=

−′−

+′+−′

Se quiere convertir la ecuación anterior en una ecuación diferencial lineal de primer orden en la variable u, (3). Para ello se va a identificar los dos últimos términos del primer miembro con u, esto es

sPsQyyu

−′−

+′=

de esta forma se obtiene la ecuación

ssPsQ

=−

′−

o lo que es lo mismo QsPss ++−=′ 2

que es ecuación de primer orden en la variable s a la que se refiere el enunciado como ecuación (2). La ecuación a la que el enunciado se refiere como ecuación (3), resulta por tanto

( ) RusPu =−+′

El proceso a seguir consistiría por lo tanto en resolver en primer lugar la ecuación (2). Una vez obtenida s se entraría con ella en (3), y se resolvería la ecuación diferencial, obteniéndose u. Conocida u, se desharía el cambio resolviendo la tercera y última ecuación diferencial que permitiría dar finalmente la solución de (1). b) La ecuación (1) es una ecuación de Ricatti y como tal precisa conocer una solución particular para obtener su solución general. Esto supone un serio inconveniente para el método propuesto en este ejercicio c) La solución general de la ecuación de Ricatti RQyPyy ++=′ 2 es de la forma

luego la solución de (2) viene dada por la expresión

( )

( ) pdxsP

dxsP

sec

esp

p

+∫−

∫=

+−

+−

2

2

d) La ecuación a resolver es ( ) RusPu p =−+′

o lo que es lo mismo ( ) RuPsu p +−=′

lo cual es una ecuación diferencial lineal de primer orden cuya solución es

( ) ( ) ( )

∫−∫=− ∫

++−− QdxeceyydxQyPdxQyP

ppp 221

( ) ( )

∫+∫= ∫

−−Rdxekeu

dxsPdxPs pp

una vez obtenido u de la expresión anterior se puede resolver la ecuación que da el cambio de variable

uysy p +−=′

ecuación diferencial lineal de primer orden cuya solución viene dada por

∫+∫= ∫

−udxekey

dxsdxs pp

que da la solución final de la ecuación (1). e) Si se aplica este planteamiento a la ecuación diferencial

22xxeyyxy −−=+′+′′ La ecuación (3) es en este caso

( ) 22xxeuuxxu −−=′=−+′ de donde u resulta

kedxxeu xx +=−= −−∫ 22 22

Deshaciendo ahora el cambio de variable, se debe resolver la ecuación

syuy −=′

kexyy x ++−=′ − 22

Introduciendo la primera condición inicial a esta ecuación se obtiene el valor particular de la constante ( ) ky ++==′ 1010

de donde se obtiene el valor de la constante 0=k y la ecuación

22xexyy −+−=′

ecuación lineal de primer orden cuya solución es

( ) ( )xceeecedxeecey xxxxxxdxxdx+=+=

∫+∫= −−−−−

∫∫ 22222 22222

introduciendo la segunda condición inicial

( ) ( )010 0 +== cey

de donde 1=c y la solución de la ecuación diferencial de partida es

( )xey x += − 122