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1 RESPUESTA TRANSITORIA DE SISTEMAS DE 2do ORDEN UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Química y Textil Curso: “Simulación y Control de Procesos” - PI426 Profesor: Ing. Celso Montalvo
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RESPUESTA TRANSITORIA DE SISTEMAS DE 2do ORDEN
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Química y Textil
Curso: “Simulación y Control de Procesos” - PI426
Profesor: Ing. Celso Montalvo
CELSO MONTALVO 2
Sistemas de Segundo Orden Un Sistema de 2do Orden es aquél cuyo modelo matemático se
expresa con ecuaciones diferenciales de 2do Orden.
)()()()(2
2tftX
dttdXk
dttXd
=++
donde:
Su Función de Transferencia se expresa como:
1)(1
)1)(1(1
))((/1
121
)()(
212
212121
2
22 +++=
++=
++=
++=
ssssrsrsssss
τττττττ
ζττXY
τζ
τζ 12
2,1−
±−=r 1 2τ τ τ=τττ
ζ2
21 +=
τ es la constante de tiempo de 2do orden ζ es el factor de amortiguación Ambos caracterizan un Sistema de 2do Orden.
)(12
1)( 22 sss
s XY
++
=ζττ
Operando:
CELSO MONTALVO 3
Sistemas de Segundo Orden
Cuando ζ < 1 el sistema es subamortiguado y oscilatorio. Cuando ζ = 1 el sistema es críticamente amortiguado, equivalente
a dos sistemas de 1er orden iguales en serie. Cuando ζ > 1 el sistema es sobreamortiguado y no oscilatorio.
ζ < 1
ζ > 1
ζ = 1
CELSO MONTALVO
Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
System: S1Time (sec): 2.15Amplitude: 0.632
System: untitled2Time (sec): 1Amplitude: 0.632
4
Sistemas de Segundo Orden
Comparación de la Respuesta Transitoria de Procesos de 1er y 2do Orden.
1er Orden con τ = 2.15
2do Orden con τ = ζ = 1
1er Orden con τ = 1
2do Orden con τ = 2.23 y ζ = 1.34
CELSO MONTALVO 5
Sistemas de Segundo Orden La curva del sistema de 2da orden está normalizada:
Tiempo de Levantamiento:
Período/Frecuencia de Oscilación:
Disparo (overshoot): (Máxima Desviación)
Velocidad de Amortiguación: (Razón de Asentamiento)
Período/Frec. de Oscilación Natural:
−−
=21 ζ
πζ
eAB
−−
=21
2
ζ
πζ
eBC
−−⋅
−=
ζζ
ζ
τ 2
2
1arctg1
rt
212
ζ
πτ
−=T
τζ
ω21−
=
πτ2=nT
Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
0 5 10 15 20 250
0.5
1
1.5
C
A
B
T tr
1/nω τ=
2 2( )2
n
n n
ss s
ωζω ω
=+ +
Y
Tiempo de Asentamiento: 21
2
0.02 (para 2%)
3.9121
t
s
e
t
ζ
τ ζ
τ
ζ ζ
− − ≤
≅−
CELSO MONTALVO 7
Efecto del Factor de Amortiguación en la oscilación
Al disminuir ζ el overshoot, la frecuencia y el tiempo de asentamiento aumentan, el tiempo de elevación disminuye:
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
ζ = 0.1 ζ = 0.2
ζ = 0.4 ζ = 0.7
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Impulse Response
Time (sec)
Am
plitu
de
ζ = 0.1 ζ = 0.2
ζ = 0.4 ζ = 0.7
8
FIN
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Química y Textil
Curso: “Simulación y Control de Procesos” - PI426
Profesor: Celso Montalvo
