CONVERSIONES

Conversiones entre sistemas binario, octal decimal y hexadecimal.Profesor: Sal Baeza PrezSistemas numricosSe llama sistema numrico al conjunto ordenado de smbolos o dgitos y a las reglas con que se combinan para representar cantidades numricas.Existendiferentes sistemas numricos, cada uno de ellos se identifica por su base.La base de un sistema numrico es el nmero de dgitos diferentes usados en ese sistema.El sistema numrico que utilizamos actualmente en todos los pases es elSistema de Numeracin Decimal.Est formado pordiez smbolosllamadosdgitos:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Con estos dgitos se representan todos los nmeros, los cuales sirven para contar y ordenar.Los coeficientes de los nmeros del sistema binario tiene dos valores posibles: 0 y 1.Los coeficientes de los nmeros del sistema octal tiene ocho valores posibles.0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.Los coeficientes de los nmeros del sistema hexadecimal tiene diecisis valores posibles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F.

El teorema fundamental de la NumeracinEn cualquier sistema de numeracin posicional todos los nmeros pueden expresarse mediante la siguiente suma de productos:Nb= apbp++a1b1+a0b0+a-1b-1++a-qb-q= N10Donde:b = base.Nb = Nmero en base b.0 ai < b con ai un nmero entero mayor o igual a cero.p y q enteros mayores o iguales a cero.N10 = Nmero en base 10.

Ejemplo 1

739210 = 7 x 103 + 3 x 102 + 9 x 101 + 2 x 100 = 7000 + 300 + 90 + 2 = 739210

Ejemplo 2

18.94710 = 1 x 101 + 8 x 100 + 9 x 10-1 + 4 x 10-2 + 7 x 10-3 = 10 + 8 + 0.9 + 0.04 + 0.007 = 18.94710

Conversin de base (b) a base 10Este tipo de conversin sirve para pasar un nmero N de cualquier base (b) a base 10. Para ello, se tiene que hacer uso del Teorema Fundamental de la Numeracin(TFN). Conversin de base binario a decimal.Ejemplo 3Convierta el nmero binario 11010.112 a decimal. 110102 = 1 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 = 16 + 8 + 2 = 2610 Por lo tanto, 110102 = 2610

Ejemplo 4Convierta el nmero binario 1010.0112 a decimal.1010.0112 = 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 + 0 x 2-1 + 1 x 2-2 + 1 x 2-3 = 8 + 2 + 0.25 + 0.125 = 10.375 Por lo tanto, 1010.0112 = 10.37510

Conversin de base octal a decimal.Ejemplo 5Convierta el nmero octal 703.48 a decimal. 7038 = 7 x 82 + 0 x 81 + 3 x 80 = 448 + 3 = 45110 Por lo tanto, 7038 = 45110

Ejemplo 6Convierta el nmero octal 16.518 a decimal. 16.518 = 1 x 81 + 6 x 80 + 5 x 8-1 + 1 x 8-2 = 8 + 6 + 0.625 + 0.015625 = 14.64062510 Por lo tanto, 16.518 = 14.64062510

Conversin de base hexadecimal a decimal.En el sistema hexadecimal(base 16), los primeros diez dgitos se toman del sistema decimal. Las letras A, B, C, D, E Y F se utilizan para los dgitos 10, 11, 12, 13, 14 y 15, respectivamente.Ejemplo 7Convierta el nmero hexadecimal B65F16 a decimal. B65F16 = 11 x 163 + 6 x 162 + 5 x 161 + 15 x 160 = 45056 + + 1536 + 80 + 15 = 4668710 Por lo tanto, B65F16 = 4668710

Ejemplo 8Convierta el nmero hexadecimal AF2C.216 a decimal. AF2C.216 = 10 x 163 + 15 x 162 + 2 x 161 + 12 x 160 + 2 x 16-1 = 40960 + 3840 + 32 + 12 + 0.125 = 44844.12510 Por lo tanto, AF2C.216 = 44844.12510

Conversin de un nmero entero en base 10 a binario.Ejemplo 9. Convierta el entero 4110 en binario.Primero, 41 se divide entre 2 para dar un cociente entero de 20 y un residuo de 1. El cociente se divide otra vez entre 2 para dar un nuevo cociente y un residuo. Este proceso se contina hasta que el cociente entero llega a ser 0. Los coeficientes del nmero binario deseado se obtienen, por los residuos como sigue:Entero Residuo 41 20 1 = a0 10 0 = a1 Cociente 5 0 = a2 entero 2 1 = a3 1 0 = a4 0 1 = a5Por lo tanto, 4110 = 1010012

Conversin de la parte fraccional decimal a binario.Ejemplo 10Convierta (0.6875)10 en binario.Primero 0.6875 se multiplica por 2 para dar un entero y una fraccin. La nueva fraccin se multiplica por 2 para dar un entero y una nueva fraccin. Este proceso se contina hasta que la fraccin llega a ser 0 o hasta que el nmero de dgitos tiene suficiente exactitud. Los coeficientes del nmero binario se obtienen mediante los enteros como sigue: Entero Fraccin Coeficiente0.6875 x 2 = 1 .375 a-1 = 1 0.375 x 2 = 0 .750 a-2 = 00.75 x 2 = 1 .5 a-3 = 1 0.5 x 2 = 1 .0 a-4 = 1

Por lo tanto, (0.6875)10 = (.1011)2 Conversin de decimal a binario.La conversin de decimal en binario o cualquier otro sistema con base r es ms conveniente si el nmero se separa en una parte entera y en una parte fraccional, y la conversin de cada parte se hace por separado.Ejemplo 11Convierta (41.6875)10 en binario.De los ejemplos 9 y 10 tenemos que :4110 = 1010012 y (0.6875)10 = (.1011)2 Por lo tanto, (41.6875)10 = (101001.1011)2

Conversin de un nmero entero en base 10 a octal.Ejemplo 12. Convierta el entero 15310 en octal.La base requerida r es 8. Primero, 153 se divide entre 8 para dar un cociente entero de 19 y un residuo de 1. Entonces 19 se divide entre 8 para dar un cociente entero de 2 y un residuo de 3. Este proceso se contina hasta que el cociente entero llega a ser 0. Los coeficientes del nmero binario deseado se obtienen, por los residuos como sigue:Entero Residuo 153 Cociente 19 1 = a0 entero 2 3 = a1 0 2 = a2

Por lo tanto, 15310 = 2318

Conversin de la parte fraccional decimal a octal.Ejemplo 13. Convierta (0.513)10 en octal.Primero 0.513 se multiplica por 8 para dar un entero y una fraccin. La nueva fraccin se multiplica por 8 para dar un entero y una nueva fraccin. Este proceso se contina hasta que la fraccin llega a ser 0 o hasta que el nmero de dgitos tiene suficiente exactitud. Los coeficientes del nmero octal se obtienen mediante los enteros como sigue: Entero Fraccin Coeficiente0.513 x 8 = 4 .104 a-1 = 4 0.104 x 8 = 0 .832 a-2 = 00.832 x 8 = 6 .656 a-3 = 60.656 x 8 = 5 .248 a-4 = 5

La respuesta, a 4 cifras significativas, se obtiene de la parte entera de los productos.Por lo tanto, (0.513)10 = (.4065)8 Conversin de decimal a octal.La conversin de decimal en octal o cualquier otro sistema con base r es ms conveniente si el nmero se separa en una parte entera y en una parte fraccional, y la conversin de cada parte se hace por separado.Ejemplo 14Convierta (153.513)10 a octal.De los ejemplos 12 y 13 tenemos que :15310 = 2318 y (0.513)10 = (.4065)8 Por lo tanto, (153.513)10 = (231.4065)8

Conversin de un nmero entero en base 10 a hexadecimal.Ejemplo 15. Convierta el entero 4484410 a hexadecimal.La base requerida r es 16. Primero, 44844 se divide entre 16 para dar un cociente entero de 2802 y un residuo de 12. Entonces 2802 se divide entre 16 para dar un cociente entero de 175 y un residuo de 2. Este proceso se contina hasta que el cociente entero llega a ser 0. Los coeficientes del nmero binario deseado se obtienen, por los residuos como sigue:Entero Residuo 44844 Cociente 2802 1210 = C16 = a0 entero 175 210 = 216 = a1 10 1510 = F16 =a2 0 1010 = A16 = a3

Por lo tanto, 4484410 = AF2C16

Conversin de la parte fraccional decimal a hexadecimal.Ejemplo 16. Convierta (0.12)10 en hexadecimal.Primero 0.12 se multiplica por 16 para dar un entero y una fraccin. La nueva fraccin se multiplica por 16 para dar un entero y una nueva fraccin. Este proceso se contina hasta que la fraccin llega a ser 0 o hasta que el nmero de dgitos tiene suficiente exactitud o cuando encontremos un comportamiento peridico. Los coeficientes del nmero decimal se obtienen mediante los enteros como sigue: Entero Fraccin Coeficiente0.12 x 16 = 1 .92 a-1 = 1 = 116 0.92 x 16 = 14 .72 a-2 = 14 = E160.72 x 16 = 11 .52 a-3 = 11 = B160.52 x 16 = 8 .32 a-4 = 8 = 816 0.32 x 16 = 5 .12 a-5 = 5 = 516Comportamiento0.12 x 16 = 1 .92 a-6 = 1 = 116 peridico0.92 x 16 = 14 .72 a-7 = 14 = E16La respuesta se obtiene de la parte entera de los productos.Por lo tanto, (0.12)10 = (.1EB85)16 Conversin de decimal a hexadecimal.La conversin de decimal a hexadecimal o cualquier otro sistema con base r es ms conveniente si el nmero se separa en una parte entera y en una parte fraccional, y la conversin de cada parte se hace por separado.Ejemplo 17Convierta (44844.12)10 a hexadecimal.De los ejemplos 15 y 16 tenemos que :4484410 = AF2C16 y (0.12)10 = (.1EB85)16 Por lo tanto, (44844.12)10 = (AF2C.1EB85)16

BibliografaMano, M.M. Diseo Digital. Prentice-Hall, 1987.