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DISEOS EXPERIMENTALESDISEO POR BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS
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Estadstica e InformticaDiseos Experimentales Docente Mag. Fernando R. Arce Zuiga Trabajo de: Huane Alvarado Juan D.
FACULTAD DE CIENCIAS
ESTADSTICA E INFORMTICA
DISEOS EXPERIMENTALES
TEMA : DISEO DE BLOQUES INCOMPLETOS.
DOCENTE : Mag. FERNANDO R. ARCE ZIGA.
ALUMNO : HUANE ALVARADO Juan D.
Huaraz Abril del 2010
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INTRODUCCIN.
En la investigacin experimental, algunas veces no se pueden obtener todos los
datos planeados a observar debido a motivos inherentes al diseo o a que en la
construccin del mismo hay prdida de unidades experimentales, lo que conlleva a tener un
diseo no ortogonal. Este hecho no tiene consecuencias cuando el diseo experimental es
un completamente al azar, pero en el caso de los diseos de bloques y especficamente en el
diseo de bloques incompletos al azar no se cumplen algunas propiedades importantes
como el balanceamiento y esto conlleva a que cambia la estructura de bloques incompletos.
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BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS.
Segn Hinkelman y Kempthorne (1994), los diseos experimentales se encuentran
clasificados en un orden jerrquico de acuerdo al nmero de factores de control local o
bloqueo. Cuando los diseos tienen un factor extrao", se dice que son Diseos de Bloques
al Azar, los cuales de acuerdo a algunas caractersticas se clasifican en: Completos al Azar
(BCA), al Azar Generalizado (BAG), Incompletos al azar (BI). Estos ltimos se
caracterizan porque no todos los tratamientos pueden ser aplicados en cada bloque. Dentro
del tipo deBI, cabe resaltar los diseos deBloques Incompletos Balanceados, introducidos
por Yates en 1936.
Anlisis Estadstico.
Como es usual, suponemos que existe t tratamientos y b bloques. Se supone
adems, que se prueban k tratamientos en cada bloque, que cada tratamiento sucede r
veces en el diseo (o se repite r veces) y que hay un total de N= t.r = b.k observaciones.
Ms an, el nmero de veces que cada par de tratamientos ocurre en el mismo bloque es:
)1(
)1.(
t
kr
Se dice que el diseo es simtrico si t = b.
El parmetro debe ser un entero. Para deducir la relacin de , considrese
cualquier tratamiento, por ejemplo el 1.Como el tratamiento 1 ocurre en r bloques, y hay
otros k-1 tratamientos en cada uno de esos bloques, existen r.(k-1) observaciones en un
bloque que contiene al tratamiento 1. Estas r. (k-1) observaciones deben representar al resto
de los a-1 tratamientos veces. Por lo tanto, .(a-1) =r. (k-1).
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Modelo Estadstico.
El modelo Estadstico lineal, es como sigue:
ijjiij
Y
Donde:
)DNI(0,conv.a.unaesal,experimentError:
bloqueesimo-jdelEfecto:
totratamienesimo-idelEfecto:
a.v.esrespuesta,variablelaEs:Y
medioefectoelEs:
,...,3,2,1
,...,3,2,1
2
ij
j
i
ij
bj
ti
Los pasos a seguir para realizar el ANVA son como siguen:
1)iH
tiH
i
i
unalmenospara,0:
,...,3,2,1,0:
1
0
2) Nivel de significancia .
3) La funcin pivotal F con grados de libertad.
4) Se rechaza Ho, si Fe (del cuadro del anva) es mayor Fo.
5) Se halla:
Suma de cuadrados:
t
i
b
j
ijYT1 1
NTFC /2 , Dnde. N = tr
Suma de cuadrados del total:
t
i
b
j
ij FCYSCT1 1
2
La suma de cuadrado puede ser dividida en tres sumas de cuadrados, esta es como sigue:
SCT = SCTA + SCB + SCE
Donde:
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SCTA = Es la suma de cuadrados de los tratamientos ajustados.
t
Qk
SCTA
t
i
i
1
2
Donde:
b
j
jijii bjtiYnk
YQ1
.,...,3,2,1;,...,3,2,1
1
SCB = Es la suma de cuadrados de los bloques, y tienen b-1 g.l.
Donde:
t
i
ijj YY1
. es el total de los j-esimo bloque.
SCE = Es la suma de cuadrados del error.
SCBSCTASCTSCE , y tienen N-t-b+1 grados de libertad.
CUADRO DEL ANVA:
Fuente de
Variacin
Grados de
Libertad
Suma de
CuadradosCuadrados Medios Fe
Bloques b-1 SCB CMB=SCB/(b-1) CMB/CME
Tratamientos
Corregidost-1 SCTA
CMTA=SCTA/
(t-1)CMTA/CME
Error
ExperimentalN-t-b+1 SCE
CME=SCE/
(N-t-b+1)___
Total N-1 SCT ___ ___
6) Se realiza la decisin del caso segn el Fe obtenido.
b
j
jFC
k
YSCB
1
2
.
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EVALUACION DE LOS EFECTOS DE LOS BLOQUES.
En este caso no se puede usar el cuadro del ANVA anterior, porque las SCT se
dividi en SCTA+SCB+SCE, por el cual el cuadrado medio de los bloques no es el
correcto, esto implica que tenemos que ajustar o corregir los bloques y dejar los tratamiento
sin ajustar. Los cuadrados de los bloques corregidos, se obtiene fcilmente si el diseo es
simtrico, es decir t=b, esto es:
b
j
iijjj bjYnr
YQ1
.
* ,...,3,2,11
La suma de cuadrados de los bloques es:
b
Qr
SCBC
b
j
i
1
2* )(
La suma de cuadrados de los tratamientos es:
CUADRO DEL ANVA
Fuente deVariacion
Grados deLibertad
Suma deCuadrados
CuadradosMedios
Fe
Bloques
Corregidosb-1 SCBC
CMBC=SCBC/
(b-1)CMBC/CME
Tratamientos t-1 SCTrCMTr=SCTr/
(t-1)CMTr/CME
Error
ExperimentalN-t-b+1 SCE
CME=SCE/
(N-t-b+1)___
Total N-1 SCT ___ ___
0:
0:
1
0
J
J
H
H
t
i
i FCr
YSCTr
1
2
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Si el Fe es mayor que Fo, se rechaza Ho, en consecuencia, si hay diferencia significa entre
los bloques usados. En consecuencia se advierte que SCT SCTA+SCBC+SCE como
consecuencia de la no ortogonalidad entre los bloques y los tratamientos.
Si el factor bajo estudio corresponde a un modelo de efectos fijos, las pruebas
individuales de medias pueden ser tiles, si se emplean los contrastes ortogonales, estos
contrastes se basan en los totales de los tratamientos ajustados o corregidos, esto significa
las Qi en vez de los Yi.
t
i
i
t
i
ii
ct
Qck
SCC
1
2
2
1
)(
Donde:
ic Son los coeficientes del contraste, talque 0
1
t
i
ic
Otro mtodo de comparacin mltiple, para comparar las medias de tratamientos
corregidos, los estimadores mnimos cuadrados se obtienen de a siguiente manera.
t
kQt ii
^
El error estndar del tratamiento corregido es:
t
kCMES
Es recomendable trabajar con la prueba de rangos mltiples de Duncan, para los cuales se
siguen los pasos siguientes.
i) Se ordenan los^
it en forma ascendente.
ii) De la tabla estadstica de Duncan con los grados de libertad de CME, n y , se
obtienen.
SrRt t
Donde los trse obtienen de la tabla correspondiente de Duncan.
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iii) Se realizan las comparaciones.
Ejemplo:
Un ingeniero qumico cree que el tiempo de reaccin en un proceso qumico es
funcin del catalizador empleado. De hecho 4 catalizadores estn siendo investigados. El
procedimiento experimental consiste en seleccionar un lote de materia prima, cargar una
planta piloto, aplicar cada catalizador a ensayos separados de dicha planta y observar el
tiempo de reaccin. Debido a que las variaciones en los lotes de materia prima pueden
afectar el comportamiento del catalizador, el ingeniero decide controlar este factor por
medio de bloques. Sin embargo, cada lote es lo suficientemente grande para permitir el
ensayo de 3 catalizadores nicamente. Por lo tanto, es necesario utilizar un diseo
aleatoriazado por bloques incompletos. El diseo BIB, junto con las observaciones
recopiladas aparece en la siguiente tabla. Hacer un anva con un 95% de seguridad.
Tratamiento
(catalizador)
Bloque (Lote de Materia Prima)
yi.1 2 3 4
A 73 74 __ 71 218
B __ 75 67 72 214
C 73 75 68 __ 216
D 75 __ 72 75 222y.j 221 224 207 218 870
Solucin:
Considrense los datos de la Tabla para el experimento de los catalizadores. ste es
un diseo BIB con t = 4, b = 4, k = 3, r = 3, = 2 y N = 12.
iHiH
i
i
unalmenospara,0:4,3,2,1,0:
1
0
= 0.05
La funcin pivotal es una F con 3 y 5 grados de libertad.
Se rechaza Ho, si Fe (del cuadro del anva) es mayor Fo=5,41.
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Se halla:
870T
6307512/)870( 2 FC
8163075)75...7473(222
SCT
3)218224221(3
12181 Q
333.2)218207224(3
12142 Q
333.1)207224221(3
12163 Q
667.6)218207221(3
12224 Q
75.22)4(2
)667.6()333.1()333.2(3(3 2222
SCTA
25.35575.2281 SCE
CUADRO DEL ANVA:
Fuente de
Variacin
Grados de
Libertad
Suma de
Cuadrados
Cuadrados
MediosFe
Bloques 3 55 18.3333333 28.2051282
Tratamientos
Ajustados3 22.75 7.58333333 11.6666667
Error
Experimental5 3.25 0.65 ___
Total 11 81 ___ ___
55630753
218207224221( 2222
SCB
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Como 41.5667.11 FoFe , se rechaza Ho por lo tanto existe diferencia significativa,
esto implica que el catalizador empleado tiene un efecto significativo sobre el tiempo de
reaccin.
Evaluamos los efectos de los bloques
333.2)222216218(3
1221*1 Q
8)216214218(3
1224*2 Q
667.10)222216214(3
1207*3 Q
0)222214218(31218*4 Q
La suma de cuadrados de los bloques es:
083.66)4(2
)0()333.10()8()333.2((3 2222
SCBC
La suma de cuadrados de los tratamientos es:
Fuente de
Variacin
Grados de
Libertad
Suma de
Cuadrados
Cuadrados
Medios Fe
Bloques
Corregidos 3 66.0833333 22.0277778 33.89
Tratamientos 3 11.6666667 3.88888889 5.98
Error
Experimental 5 3.25 0.65 ___
Total 11 81 ___ ___
667.11630753
222216214218( 2222
SCTr
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0:
0:
1
0
J
J
H
H
Como Fe = 33.89 es mayor que Fo = 5.41, se rechaza Ho, en consecuencia, si hay
diferencia significa entre los bloques usados. Se advierte que SCT SCTA+SCBC+SCE
como consecuencia de la no ortogonalidad entre los bloques y los tratamientos.
Ejemplo2:
Como solo se dispona de tres cmaras de alta presin para una corrida del
experimento, fue necesario hacer bloques a las corridas, ya que no podia haber una
variacin sustancial de una corrida a otra producida por nuevas preparaciones de las
cmaras para el experimento, por lo que los qumicos establecieron un diseo de bloques
incompletos balanceado(corridas), cada uno con tres unidades experimentales(cmaras
pasteurizadas) y se usaron tres presiones diferentes en cada corrida, el diseo obtenido tubo
seis replicas de cada tratamiento de presin los datos se encuentran en la siguiente tabla,
haga un ANVA con un 95% de seguridad.
Corrida(Bloque)
Presin (bar)
Total125 150 175 200 225
1 31 33 _ _ 60 124
2 34 41 _ 47 _ 122
3 35 _ 54 61 _ 1504 _ 34 36 _ 76 146
5 _ _ 48 50 70 168
6 28 28 _ 62 _ 118
7 36 _ 49 _ 63 148
8 _ 25 45 46 _ 116
9 39 _ _ 52 67 158
10 _ 39 46 _ 65 150
Total 203 200 278 318 401 1400
Solucin:
iH
iH
i
i
unalmenospara,0:
5,4,3,2,1,0:
1
0
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b=10, k=3, r=6, =3, N=30
= 0.05
La funcin pivotal es una F con 4 y 16 grados de libertad.
Se rechazara Ho, si Fe (del cuadro del anva) es mayor Fo=3.022.
Se halla:
1400T
3333.6533330/)1400( 2 FC
66667.55763333.65333)65...3331( 222 SCT
333.70)158148118150122124(3
12031 Q
667.58)150116118146122124(3
12002 Q
667.14)150116148168146150(3
12783 Q
667.40)158116118168150122(3
13184 Q
103)150158148168146124(3
14015 Q
2889.4173)5(3
)103()667.40()667.14()667.58()333.70((3 22222
SCTA
3778.38710162889.4173667.5576 SCE
1016333.653333
150...150122124( 2222
SCB
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CUADRO DEL ANVA:
Fuente deVariacion
Gradosde
LibertadSuma de
CuadradosCuadrados
MediosFe
Bloques 9 1016 112.888889 4.66268931
TratamientosAjustados
4 4173.28889 1043.32222 43.0927031
ErrorExperimental
16 387.377778 24.2111111 ___
Total 29 5576.66667 ___ ___
Como Fe = 43.09 > Fo = 3.022, se rechaza Ho, en consecuencia hay diferencia
significativa entre las diferentes presiciones.
Evaluamos los efectos de los bloques
6/60)401200203(6
1124*1 Q
6/11)318200203(61122*2 Q
6/101)318278203(6
1150*3 Q
6/3)401200200(6
1146*4 Q
6/11)401318278(6
1168*5 Q
6/13)318200203(6
1118*6 Q
6/6)401278203(6
1148*7 Q
6/100)318278200(6
1116*8 Q
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6/26)401218203(6
1158*9 Q
6/21)401278200(6
1150*10 Q
La suma de cuadrados de los bloques es:
9667,140)10(3
)6/21(...)6/101()6/11()6/60((6 2222
SCBC
La suma de cuadrados de los tratamientos es:
ANVA:Fuente deVariacin
Grados deLibertad
Suma deCuadrados
CuadradosMedios Fe
BloquesCorregidos 9 140.966667 15.662963 0.358
Tratamientos 4 4736.33333 1184.08333 27.09
ErrorExperimental 16 699.366667 43.7104167 ___
Total 29 5576.66667 ___ ___
0:
0:
1
0
J
J
H
H
Como Fe = 0,358 < Fo = 2,55, no es prudente rechazar Ho, por lo tanto no hay diferencia
significa entre los bloques usados.
Realizaremos la prueba de Duncan para comparar las medias de los tratamientos estimados.
Estimamos los tratamientos:
15/21115/)3/211(31^
1 t
kQt
15/17615/)3/176(32^
2 t
kQt
333.4736333.653336
401318278200203( 22222
SCTr
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15/4415/)3/44(33^
3 t
kQt
15/12215/)3/122(34^
4 t
kQt
15/30915/)3/309(35^
5 t
kQt
8422.45*3
)211,24(3
t
kCMES
Los tratamientos estn ordenados en forma ascendente.
De la tabla correspondiente de Duncan, con 16 g.l. y =0.05, se obtienen los datos.
97926,15)8422.4(30.330.3)16,5(
6403.15)8422.4(23.323.3)16,4(
25293,15)8422.4(15.315.3)16,3(5266,14)8422.4(00.300.3)16,2(
205.0
205.0
205.0
205.0
Rr
Rr
RrRr
Comparamos los tratamientos:
diferentessonno5y4tostratamienlos5266.1447,12)15/122(15/309
diferentessonno4y3tostratamienlos5266.14067.11)15/44(15/122
diferentesson5y3tostratamienlos2529.1553.23)15/44(15/309
diferentessonno3y2tostratamienlos5266.148,8)15/176(15/44
diferentesson4y2tostratamienlos2529.1587.19)15/176(15/122
diferentesson5y2tostratamienlos6403.1533.32)15/176(15/309diferentessonno2y1tostratamienlos5266.1433.2)15/211(15/176
diferentessonno3y1tostratamienlos2529.1513.11)15/211(15/44
diferentesson4y1tostratamienlos6403.1520.22)15/211(15/122
diferentesson5y1tostratamienlos97926.1567.34)15/211(15/309
54
43
53
32
42
52
21
31
41
51
tyt
tyt
tyt
tyt
tyt
tyttyt
tyt
tyt
tyt
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BIBLIGRAFIA.
DISEO DE EXPERIMENTOS - Miguel Rodrguez lvarez.
DISEANDO EXPERIMENTOS - Manuel R. Pia1, Manuel A. Rodrguez
2y
Evelyn H. Castaeda2
REVISTA COLOMBIANA DE ESTADSTICA - Volumen 24 (2001) No2, paginas
73 a 89 - HENRY MENDOZA R.
http://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=1102196
http://dm.udc.es/asignaturas/estadistica2/sec2_6.html
http://www.revfacagronluz.org.ve/PDF/enero_marzo2006/W.%20Gonzalez.pdf
http://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=1102196http://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=1102196http://dm.udc.es/asignaturas/estadistica2/sec2_6.htmlhttp://dm.udc.es/asignaturas/estadistica2/sec2_6.htmlhttp://www.revfacagronluz.org.ve/PDF/enero_marzo2006/W.%20Gonzalez.pdfhttp://www.revfacagronluz.org.ve/PDF/enero_marzo2006/W.%20Gonzalez.pdfhttp://www.revfacagronluz.org.ve/PDF/enero_marzo2006/W.%20Gonzalez.pdfhttp://dm.udc.es/asignaturas/estadistica2/sec2_6.htmlhttp://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=1102196