EXPRESIONES LITERALES

ÁLGEBRA 2011

1. Lenguaje Algebraico

a. Concepto de Variable.

b. Expresión Algebraica.

c. Clasificación de Expresiones Algebraicas.

d. Términos Semejantes.

e. Evaluar Expresiones Algebraicas.

f. Calculo de Áreas y Volúmenes.

NOMBRE:__________________

CURSO:____________________

FECHA:_____/_____/_____

Expresiones Literales

Al referirnos a expresiones literales se nos viene a la cabeza una analogía con las expresiones

algebraicas. Bueno ese es un gran error ya que las expresiones literales no son lo mismo que las

expresiones algebraicas.

OOrrggaanniizzaannddoo IIddeeaass......

EEnnttoonncceess,, ¿¿qquuéé ssee nneecceessiittaa ppaarraa ddeecciirr qquuee uunnaa eexxpprreessiióónn lliitteerraall ccoorrrreessppoonnddee aa

uunnaa ddeetteerrmmiinnaaddaa eexxpprreessiióónn aallggeebbrraaiiccaa??

Condición suficiente y Necesarias

Las letras de nuestra expresión literal tienen que estar asociadas a una

expresión algebraica

Analizando algunas situaciones

1. Dada la siguiente expresión

3a + b +5

Luego la parte literal de esta expresión sería 3a + b

Por lo tanto 3a + b es una expresión literal ya que está asociada a la expresión algebraica

3a + b + 5, es decir, cumple con la condición suficiente y necesaria.

2. Dada la siguiente expresión

(a + 2 )*(2b - 2)

Luego nuestra parte literal sería a y 2b

Por lo tanto a + 2b sería la expresión algebraica siguiendo el ejemplo anterior.

¿Cuál es la diferencia de este ejemplo con el anterior?

Se define a una expresión literal como uno de los componentes de las

expresiones algebraicas que corresponde a las letras contenidas en ella

Claramente las expresiones no están presentadas de la misma forma, la primera está la suma de

expresiones literales y una constante, la segunda está presentada como la multiplicación de

polinomios.

¿Que sucederá si desarrollo la multiplicación?

Observemos:

= (a + 2)*(2b - 2)

= 2ab – 2a + 4b – 4

Ahora si podemos determinar bien nuestra expresión literal y esta seria:

2ab – 2a + 4b

Y no existirían problemas ya que ahora si que está asociada a la expresión algebraica y cumple

en su totalidad con la condición suficiente y necesaria

3. Dada la siguiente expresión

(a + b)*(a – b)

Nuevamente siguiendo el ejemplo anterior operaremos la expresión

= (a + b)*(a – b)

= a2 – ab + ba –b

2

= a2 – b

2

Luego nuestra expresión literal es a2 – b

2, ya que está asociada a la expresión algebraica y

cumple con en su totalidad con la condición necesaria y suficiente.

Pero:

Para este ejemplo y para todas las expresiones algebraicas donde no existe un valor constante

podemos decir que la expresión literal y la expresión algebraica son iguales.

Una entretenida historia

Cuenta la historia que a mediados del siglo XVI los estados españoles

estaban muy distanciados y para comunicarse sin que sus mensajes

pudiesen ser conocidos por sus enemigos, empleaban una serie de

caracteres desconocidos. Durante los desórdenes de la unión, su código

secreto estaba compuesto por unos 500 caracteres diferentes y aunque sus

mensajes eran frecuentemente interceptados, no podían ser descifrados.

Mandadas estas cartas a Vieta las descifró sin mayores problemas. Esto

desconcertó a los españoles durante dos años que pensaron que el rey lo

había descubierto a través de un mago. Este mago, que era solo un

matemático, había aplicado sus inventos de escrituras y notaciones

matemáticas. Estos trabajos están publicados en el libro "El Álgebra nueva"

donde Vieta muestra el enorme interés que tiene para las matemáticas (y

otras ciencias) el efectuar cálculos con letras en lugar de con números.

Ampliando la visión del concepto

¿Cuál es la expresión literal asociada al área de la región pintada?

1. Dadas las siguientes figuras podemos determinar su área que estará determinada por una

expresión algebraica.

Entonces dadas las siguientes figuras determinaremos la expresión algebraica que refleja su

área.

Areas de las figuras:

a) Para la primera figura podemos decir que el área de la región pintada esta

expresada por la siguiente expresión

= 300400 x

= 120000 – 300x

Ahora

Luego de determinar la expresión algebraica asociada al área de la región pintada

y operar sobre ella podemos determinar la expresión literal que es -300x

b) Para la segunda figura podemos decir que el área de la región pintada esta

expresada por la siguiente expresión.

= 150b – 200a

Ahora

Luego de determinar la expresión algebraica asociada al área de la región pintada

y podemos decir que la expresión literal es igual a la expresión algebraica a la

región pintada 150b – 200ª

2. Factorización de expresiones literales

Antes de iniciar con el tema de factorización de expresiones literales es necesario recordar uno

de los conceptos que se utilizarán con mucha frecuencia.

Debo saber:

Factor común: se llama así al factor que aparece en cada uno de los términos

de un polinomio.

Ejemplo1: Dada la siguiente expresión literal.

2ax2- 4ay + 8a

2x

Analicemos término por término:

El primer término podemos expresarlo como: 2axx.

El segundo término podemos expresarlo como: -2*2ay

Finalmente el tercer término podemos expresarlo como: 4*2aax

Como podemos observar en los tres términos que componen el polinomio tenemos el término 2a,

a este término se le conoce como factor común.

De esta forma 2ax2-4ay + 8a

2x, puede expresarse como: 2a (x

2-2y + 4ax)

= 2ax2-4ay + 8a

2x

= 2a (x2-2y + 4ax)

No existen fórmulas para la factorización, pero al ser un proceso inverso a la multiplicación, la

experiencia en productos notable, revisadas anteriormente, nos permitirá reconocer cuando una

expresión algebraica es el producto resultante de factores conocidos.

Nota:

Decimos que factorizamos completamente cuando llegamos a una expresión en que cualquier

factorización posterior produce números fraccionarios.

Ejemplo2:

Factorizar 2x + 6y.

2x + 6y podemos expresarlo como 2x + 2*3y

En este caso los coeficientes son múltiplos de 2; por lo tanto podemos tomar como factor común

a 2, ya que aparece en ambos términos del polinomio. Luego la factorización es:

= 2 x + 6 y

= 2( x + 3y)

Si ahora tomamos a 3 como factor común tenderemos (2)(3)

yx

3

1; quedando una fracción

por lo que la factorización ya no es completa.

Ejemplo3:

Descomponer en factores a(x + 2y)-3( x + 2y)

En este ejemplo el factor común es (x + 2y), ya que aparece en los términos que componen el

polinomio, por tanto

= a(x + 2y)-3(x + 2y)

= (x + 2y)(a-3)

¿Cómo saber si la expresión la podemos factorizar como binomio al cuadrado?

Ejemplo4

Factorizar a2- 4ab+ 4b

2

Obtenemos la raíz cuadrada del primer término:

Raíz cuadrada del tercer término:

Doble producto de las raíces del primer y tercer término: (2)(a)(2b)= 4ab

Como podemos observar el doble producto de la multiplicación de las raíces es igual al segundo

término; por lo que se trata de binomio al cuadrado perfecto.

Por lo tanto a2

- 4ab + 4b2 podemos expresarlo como (a-2b)

2.

Ejemplo5 2:

Factorizar 36x2- 18xy

4 + 4y

8

Obtenemos la raíz cuadrada del primer término: xx 636 2

Raíz cuadrada del tercer término: 48 24 yy

Doble producto de las raíces del primer y tercer término: (2)(6x)(2y4)=24y

4x

Como podemos observar el polinomio no es un binomio al cuadrado perfecto, ya que el segundo

término no es igual al doble producto de las raíces del primer término.

¿Cómo saber si la expresión la podemos factorizar como una suma por su

diferencia?

Ejemplo 6

Factorizar 16x2-25y

4

Raíz cuadrada del minuendo:

Raíz cuadrada del sustraendo:

Multiplicamos la suma de estas raíces (4x + 5 y2) por la diferencia de la raíz del minuendo y del

sustraendo (4x-5y2). Por lo tanto.

= 16x2-25y

4

= (4x + 5y2)( 4x-5y

2)

Factorización por agrupación

Ejemplo 7

Factorizar a x- a y – b x + by

Esta expresión con cuatro términos no la podemos factorizar en dos binomios con términos

semejantes.

En este caso el primer paso a seguir es aplicar la ley asociativa, que nos permita encontrar un

factor común para lograr la factorización completa.

Aplicando la ley asociativa: (a x-ay)-(b x-by)

En el primer binomio (a x-ay) vemos que el factor común es a,

Por lo tanto podemos expresarlo como: a(x-y).

En el segundo (b x-by) binomio el factor común es b,

Por lo tanto podemos expresarlo como: b(x-y).

De esta forma:

= a x -a y - b x + b

= a(x-y)-b(x-y)

A su vez podemos factorizarlo, el factor común es (x-y),

Quedando de la siguiente forma: (a-b)(x-y).

Nota:

Recordemos que cuando la factorización es completa, los factores son siempre los mismos, no

importa en que orden se haya factorizado.

a) 4

2x

b) 16

3 2x

c) 32

3 2x

d) x

e) 2

x

2. Al calcular la diferencia o resta de los dos polinomios, encontrar la expresión literal asociada

a la expresión algebraica.

(4x4 - 2x

3 + 3x

2 - 2x + 5) - (5x

3 - x

2 + 2x)

a) 4x4 - 7x

3 + 4x

2 - 4x

b) 4x4 + 3x

3 + 2x

2 + 5

c) 4x4 - 7x

3 + 4x

2 - 4x -5

d) -4x4 - 3x

3 - 2x

2 – 5

e) 9x4 - 3x

3 + 5x

2 - 7x

3. Factorizar al máximo la siguiente expresión literal

bybxyx 33

a) x(3 – b) + y(b – 3)

b) 3(x – y) – b( x – y)

c) b(y – x) -3 (y – x)

d) (x – y)(3 – b)

X

1. Dada la siguientes semicircunferencia

encontrar la expresión literal asociada al

área de la parte azul

e) (x – 3)(y – b)