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XXI CONCURSO UNIVERSITARIO FERIA DE LAS CIENCIAS, LA TECNOLOGÍA Y LA INNOVACIÓN

MATEMÁTICAS ÁREA

EXTERNA CATEGORÍA

INVESTIGACIÓN EXPERIMENTAL MODALIDAD

CONSTRUCCIÓN DE UN FRACTAL TÍTULO DEL TRABAJO

0383212 FOLIO DE INSCRIPCIÓN

LOS ÁNGELES NUMÉRICOS PSEUDÓNIM O DE INTEGRANTES

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Título del trabajo. Generando fractales

Resumen

A partir de un programa generador de fractales llamado fraqtive, realizaremos una

serie de modificaciones al famoso conjunto de Mandelbrot que tiene relación con

los conjuntos de Julia, y analizaremos si después de estas modificaciones, los

fractales generados, son efectivamente fractales, pues existe la posibilidad de que

al modificarle el rango, o alguna otra propiedad, el resultado ya no sea un fractal.

A lo largo de estos meses, hemos estado en constante contacto con información

de fractales. Esto ha despertado un gran interés en nosotros y en cuanto nos

enteramos de que podíamos crear un proyecto como éste comenzamos a trabajar.

Después de realizar la lectura de un libro en el cual venía una serie de

instrucciones para crear un fractal en la computadora, decidimos hacer uno con

modificaciones, sin importar los resultados porque consideramos que lo más

importante era experimentar y de esta manera llegar a una conclusión y

determinar si habíamos acertado.

El proceso requirió tiempo de dedicación y sobre todo esfuerzo ya que, aunque no

conocemos muy bien el mundo de los fractales, nos dimos una idea y de ahí

surgieron algunas más y con la ayuda del programa intentamos crear un nuevo

fractal.

Categoría externa

Se organizó una visita al museo Universum, por lo cual surgió nuestro interés por

el tema y posteriormente nuestro asesor nos sugirió la lectura de los libros

mencionados en la bibliografía.

Introducción.

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Marco teórico.

¿Qué es un fractal?

En general, los fractales son figuras geométricas que la geometría clásica o

euclidiana no pueden definir, toda vez que presentan características específicas,

tales como:

Longitud infinita.

Dimensión fraccionaria.

No ser derivables.

Ser autosimilares (Observar el mismo patrón en distintos niveles de

acercamiento).

Construirse mediante un algoritmo sencillo.

Destacan diversos fractales, aunque los más conocidos son “El conjunto de

Cantor”, “La carpeta de Sierpinski”, “La curva de Koch” y “El conjunto de

Mandelbrot”, del cual más adelante se hablará.

Caos.

La Teoría del caos es la denominación popular de la rama de las matemáticas que

trata ciertos tipos de comportamientos impredecibles de los sistemas dinámicos.

Entendiéndose como sistema dinámico a aquel sistema complejo que presenta un

cambio en su estado al pasar un cierto tiempo. Los sistemas dinámicos se pueden

clasificar en tres grandes grupos:

Estables: Un sistema estable es el que a lo largo del tiempo tiende a una

órbita.

Inestables: Que escapa de todo punto u órbita y cuya principal característica

es la dependencia total de las condiciones iniciales.

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Caóticos: De los que me ocuparé en gran medida en esta entrada. Son los

que presentan los dos comportamientos anteriores.

Relación de caos y fractales

En términos simples y concretos los fractales parecen ser herramientas

particularmente útiles para desentrañar los misterios del caos.

Conjuntos de Julia

Se les llama así a un determinado grupo de números que al graficarse poseen

determinadas características; estos números no se trabajan en el campo de los

números reales debido a que pertenecen al campo de los números complejos.

Conjunto de Mandelbrot.

Benoit Mandelbrot comenzó a trabajar con los conjuntos de Julia, a estos les

aplicó una iteración y al graficarlos obtuvo el fractal que lleva su nombre; este

fractal figura a un muñeco de nieve de lado, sin embargo, matemáticamente

hablando lo que refleja son dos coronas circulares una tangente a otra y de menor

tamaño.

Objetivo. A través de un generador de fractales, realizaremos una serie de

cambios a los fractales del conjunto de Mandelbrot el cual tiene relación como ya

lo mencionamos con los conjuntos de Julia, a partir de esto, observaremos si

después de dichos cambios, tales fractales siguen siendo fractales o si dejaron de

serlo.

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Problema. Es bien sabido que existen diversos programas informáticos ya hechos

que nos permiten la elaboración de fractales, sin embargo, la mayoría de estos

están escritos en un lenguaje de programación ya caduco, así que el equipo tuvo

la necesidad de intentar modificar y ajustar el programa al lenguaje que

actualmente se utiliza, o en su defecto ocupar otro.

Hipótesis. Al momento de modificar los valores de los fractales, llegará el punto

en el que dejarán de tener alguna de las características esenciales de los mismos,

por tanto dejará de ser fractal.

Desarrollo.

Partimos de el conjunto de Mandelbrot original, cuya fórmula es: Zn+1=Zn2+c,

modificamos la fórmula, poniéndole ahora como exponente un número real de 2.6,

el cual modifica la formula a: Zn+1=Zn2.6+c, observamos que se parece mucho al

original, sufre sólo unas pequeñas modificaciones en cuanto a la forma, pero sigue

siendo un fractal. Ahora modificamos totalmente la fórmula poniendo todos los

valores con valor absoluto, la fórmula obtenida queda así:

Zn+1=(|(Re(Zn)|+|Im(Zn)|)2+c, cambiamos ahora su exponente a un número real de

2.6 obteniendo la siguiente fórmula: Zn+1=(|(Re(Zn)|+|Im(Zn)|)2.6+c, cambiamos

nuevamente el valor real ahora al número 5.8, obteniendo la fórmula

Zn+1=(|(Re(Zn)|+|Im(Zn)|)5.8+c, seguimos cambiando el valor del número real y

observamos que la figura seguía siendo un fractal, llegamos hasta el número 20,

pues era el límite del programa, obteniendo la fórmula:

Zn+1=(|(Re(Zn)|+|Im(Zn)|)20+c, en este último nos es posible comprobar que es un

fractal cuando lo observamos en el software con un zoom factor de 10^2.43.

El siguiente paso del experimento es realizar lo mismo que en el anterior, sólo

disminuiremos los valores reales en lugar de aumentarlos. Empecemos por el

valor real de 2.3 obteniendo la formula Zn+1=(|(Re(Zn)|+|Im(Zn)|)2.3+c, en este punto,

la figura obtenida sigue siendo un fractal, para comprobarlo debemos tener un

zoom factor de 10^8.01, seguimos cambiando los valores del número real ahora al

número 1.7 obteniendo la fórmula Zn+1=(|(Re(Zn)|+|Im(Zn)|)1.7+c, la figura obtenida

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sigue siendo un fractal, aunque para comprobarlo al igual que en el caso anterior

debemos de usar un zoom factor de 10^3.58, disminuiremos el valor una vez más,

ahora hasta el tope que permite el programa es decir 1, la fórmula obtenida es

Zn+1=(|(Re(Zn)|+|Im(Zn)|)1+c, en esta ocasión nos encontramos con que la figura

generada no existe, simplemente todo el fondo es negro y a cualquier valor del

zoom factor es negro totalmente.

Resultados

Para una mayor comprensión de los resultados, el equipo considera conveniente

mostrar las imágenes de los resultados obtenidos, puesto que comprobamos que

todas las figuras obtenidas eran fractales, mediante la imagen, con zoom factor.

1. Conjunto de Mandelbrot original, cuya fórmula es: Zn+1=Zn2+c.

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2. Primera modificación, fórmula obtenida Zn+1=Zn2.6+c.

2.1 Comprobación con zoom factor de 10^4.28

3. Tercera modificación, fórmula obtenida Zn+1=(|(Re(Zn)|+|Im(Zn)|)2+c

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3.1 Comprobación con zoom factor de 10^6.34

4. Cuarta modificación, fórmula obtenida Zn+1=(|(Re(Zn)|+|Im(Zn)|)2.6+c

4.1 Comprobación con zoom factor de 10^3.29

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5. Quinta modificación, fórmula obtenida Zn+1=(|(Re(Zn)|+|Im(Zn)|)5.8+c

5.1 Comprobación con zoom factor de 10^2.19

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6. Sexta modificación, formula obtenida Zn+1=(|(Re(Zn)|+|Im(Zn)|)20+c

6.1 comprobación con zoom factor de 10^2.43

7. séptima modificación, formula obtenida Zn+1=(|(Re(Zn)|+|Im(Zn)|)2.3+c

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7.1 Comprobación con zoom factor de 10^8.01

8. Octava modificación, fórmula obtenida Zn+1=(|(Re(Zn)|+|Im(Zn)|)1.7+c

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8.1 Comprobación con zoom factor de 10^3.58

9. Novena modificación, fórmula obtenida Zn+1=(|(Re(Zn)|+|Im(Zn)|)1+c

7. Análisis e interpretación de resultados

7. Análisis e interpretación de resultados

Como podemos notar, a partir de las diversas modificaciones creadas al conjunto

de Mandelbrot pudimos observar que en todas y cada una de la iteraciones en las

que se aumentaba el valor exponencial nos encontramos con que si cumplen con

todas las propiedades que corresponden a un fractal; por otro lado nos dimos

cuenta de que mientras se disminuía el valor exponencial de la formula creada

esta se iba comportando como un fractal hasta que llegó el punto en el que perdió

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las características que le corresponden a un fractal ya que simplemente la figura

era negra.

Nos hemos percatado de que al menos con el conjunto de Mandelbrot al variar de

una forma pequeña la fórmula original, esta conlleva grandes cambios al

graficársele.

Podemos decir que la hipótesis era cierta; ya que después de un número finito de

iteraciones; cuando estas llegaron a ser elevadas a la potencia 1 simplemente

desapareció el fractal y se tornó en un plano negro.

Bibliografía

Talanquer A, Vicente, Fractus, fracta, fractal: fractales, de laberintos y espejos / Vicente Talanquer A. —3ª ed. - - México : FCE, SEP, CONACyT, 2003. Braun, Eliezer, Caos, fractales y cosas raras / Eliezer Braun —3ª ed. - - México : FCE, SEP, CONACyT, 2003. http://www.uam.es/proyectosinv/estalmat/ReunionMadrid2009/fractales.pdf

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