DEPARTAMENTO DE ENERGIA Y MECANICA

INGENIERIA MECATRONICA

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

TEMA:

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE

ORDEN SUPERIOR

CIRCUITO EN SERIE RLC

INTEGRANTES:

POMA AGUILAR RAMIRO ALVARO

PROAÑO BERNAL JAMIL MIGUEL

ROCHA MEJIA STEEVEN SANTIAGO

DIRECTOR: ING. IBETH DELGADO

LATACUNGA, JULIO DEL 2015

Contenido

CAPITULO I...................................................................................................................3

GENERALIDADES....................................................................................................3

1. Titulo..............................................................................................................3

2. Introducción...................................................................................................3

3. Problema........................................................................................................3

4. Objetivo general............................................................................................3

5. Objetivos específicos.....................................................................................3

6. Justificación del problema............................................................................3

7. Hipótesis.........................................................................................................3

8. Alcance...........................................................................................................3

Capitulo II........................................................................................................................4

Marco teórico...............................................................................................................4

1. Introducción...................................................................................................4

2. Historia...........................................................................................................4

3. Tipos de circuitos Eléctricos.........................................................................6

4. Elementos utilizados......................................................................................8

5. Métodos de resolución.................................................................................10

6. Elementos de medición...............................................................................14

7. Softwares utilizados....................................................................................17

8. Corriente alterna.........................................................................................18

Capitulo III.....................................................................................................................21

Cálculos.......................................................................................................................21

Practica 1) movimiento Subamortiguado................................................................21

Practica2..................................................................................................................24

PRACTICA3...........................................................................................................26

Capitulo IV.....................................................................................................................30

1. Recomendaciones........................................................................................30

2. Conclusiones................................................................................................30

3. Netgrafía.......................................................................................................31

2

CAPITULO IGENERALIDADES

1. Titulo

Aplicaciones De Las Ecuaciones Diferenciales De Orden Superior Circuito En

Serie RLC.

2. Introducción

En este capítulo se enunciara nuestros objetivos tanto generales como

específicos, nuestro alcance con este proyecto, así también la justificación como

es conocer una de las tantas utilidades de los circuitos RLC.

3. ProblemaAdquirir conocimiento de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de

orden superior.

4. Objetivo general Utilizar las ecuaciones diferenciales de orden superior en un circuito RLC en serie.

5. Objetivos específicos Conocer las leyes fundamentales que rigen el análisis de circuitos.

Aprender el funcionamiento de los equipos de medición.

Analizar las gráficas obtenidas.

6. Justificación del problema Conocer las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden superior y su aplicación enfatizada en el análisis de circuitos RLC en serie con fuente de tención alterna.

7. HipótesisAnalizar la cargar y la corriente que genera la fuente alterna en el circuito RLC.

8. Alcance Adquisición de conocimiento para análisis de circuitos en serie RLC básicos.

3

Capitulo II

Marco teórico

1. Introducción

Previamente a la realización del proyecto daremos breves referencias históricas

sobre el origen de los circuitos y el origen de las EDO, así como también los

elementos que utilizamos, tantos los de medición como los utilizados para armar el

circuito y los métodos de resolución de las ecuaciones diferenciales ordinaria de

orden superior.

2. Historia.

2.1. Orígenes de un circuito Eléctrico.

El descubrimiento o mejor dicho el desarrollo del circuito eléctrico está

íntimamente ligado al propio desarrollo de los conocimientos sobre el fenómeno de

la electricidad.

Mientras la electricidad en su forma estática era todavía considerada poco más

que un espectáculo de salón, las primeras aproximaciones científicas al fenómeno y

a su capacidad para ser conducida por algún medio físico fueron hechas

sistemáticamente por acuciosos investigadores durante los siglos XVII y XVIII.

Así fue como William Gilbert, hacia el 1600, emplea por primera vez la palabra

electricidad y definió el término de fuerza eléctrica como el fenómeno de atracción

que se producía al frotar ciertas sustancias. A través de sus experiencias clasificó los

materiales en conductores y aislantes e ideó el primer electroscopio.

Poco después, hacia el 1672, Otto von Guericke, físico alemán, también

incursionó en las investigaciones sobre electrostática. Observó que se producía una

repulsión entre cuerpos electrizados luego de haber sido atraídos. Ideó la primera

máquina electrostática y sacó chispas de un globo hecho de azufre, lo cual le llevó a

especular sobre la naturaleza eléctrica de los relámpagos.

Charles François de Cisternay du Fay (París, 1698 – 1739), un físico francés,

dedicó su vida al estudio de los fenómenos eléctricos.

4

Du Fay, entre otros muchos experimentos, observó que una lámina de oro siempre

era repelida por una barra de vidrio electrificada.

Publicó sus trabajos en 1733 siendo el primero en identificar la existencia de dos

tipos de cargas eléctricas (las denominadas hoy en día positiva y negativa), que él

llamó carga vitria y carga resinosa, debido a que ambas se manifestaban: de una

forma al frotar, con un paño de seda, el vidrio(carga positiva) y de forma distinta al

frotar, con una piel, algunas sustancias resinosas como el ámbar o la goma (carga

negativa).

Pieter van Musschenbroek, físico holandés (Leyden, 14 de marzo de 1692 – 19 de

septiembre 1761), a partir de 1740 realizó varios experimentos sobre la electricidad.

Uno de ellos llegó a ser famoso: se propuso investigar si el agua encerrada en un

recipiente podía conservar cargas eléctricas.

Durante esta experiencia unos de sus asistentes cogió la botella y recibió una

fuerte descarga eléctrica. De esta manera fue descubierta la botella de Leyden y la

base de los actuales capacitores.

2.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior.

Las ecuaciones diferenciales nacen como respuesta a problemas geométricos,

problemas físicos o cualquier problema que da respuesta a definiciones utilizadas en

ingeniería, economía, etc.

La búsqueda de métodos generales de resolución de ecuaciones diferenciales

ordinarias se detuvo alrededor de 1775. Varios nuevos trabajos estaban todavía

pendientes a realizarse utilizando ecuaciones diferenciales ordinarias,

principalmente aquellos resultantes de la solución de ecuaciones diferenciales en

derivadas parciales. Pero por más de cien años no volvieron a aparecer nuevos

métodos tan importantes como los ya mencionados, hasta la introducción de los

métodos operacionales y la transformada de Laplace al final del siglo XIX. En

realidad, el interés en métodos generales de solución recesó debido a que, de una

forma u otra, resultaban suficientes para las aplicaciones. Sin embargo aún se sentía

la falta de rigor, y la aparición de nuevas aplicaciones conllevaron a que esta masa

técnicas dispersas se consolidara en una teoría sólida.

5

Las ecuaciones diferenciales ordinarias comienzan con el nacimiento del cálculo

de Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), los cuales

guiaron el estudio del problema inverso de la diferenciación: dada una relación entre

dos cantidades y sus diferenciales (o fluxiones), cómo encontrar una relación entre

las cantidades (o fluentes). Sin embargo, este problema analítico de la integración de

ecuaciones diferenciales de primer orden corresponde a un problema geométrico

formulado con anterioridad: el método inverso de tangentes; esto es, cómo encontrar

una curva caracterizada por una propiedad dada de sus tangentes.

Utilizando expansiones de expresiones en series de potencias, Newton mostró

que el problema inverso de las tangentes era totalmente soluble. Leibniz, sin

embargo, expresando su deseo de lograr soluciones dando la naturaleza de las

curvas, no estaba satisfecho con el sistemático uso de series y pensaba que,

hablando de forma general, no había suficiente conocimiento todavía acerca el

método inverso de las tangentes. Su procedimiento fue esencialmente cambiar

variables para intentar transformar la ecuación diferencial dada en una ecuación con

variables separables f(x) dx=g(y) dy pues su solución se obtenía inmediatamente por

cuadraturas. 1 Incluso, antes de comenzar el siglo XVIII, los trabajos de,

especialmente, Gottfried Wilhlm Leibniz, Jacob Bernoulli (1654-1705) y Johann

Bernoulli (1667-1748) guiaron hacia la integración (reducción a cuadraturas) de

ecuaciones diferenciales homogéneas y de ecuaciones diferenciales lineales de

primer orden.

3. Tipos de circuitos Eléctricos.

3.1. Circuito paralelo:El circuito paralelo es una conexión donde, los bornes o terminales de entrada de

todos los dispositivos (generadores, resistencias, condensadores, etc.) conectados

coincidan entre sí, lo mismo que sus terminales de salida.

Figura 2.1 Circuito paralelo RLC.

6

3.2. Circuito serie:Un circuito en serie es una configuración de conexión en la que los bornes

terminales de los dispositivos (generadores, resistencias, condensadores,

interruptores, entre otros.) se conectan secuencialmente. La terminal de salida de un

dispositivo se conecta a la terminal de entrada del dispositivo siguiente.

Figura 2.2 Circuito serie RLC.

3.3. Circuito RLC

En todos los circuitos de corriente alterna, o que la tensión pueda variar con el

tiempo, aparecen en mayor o menor medida tres componentes básicos que

determinan el comportamiento del circuito y cuya consideración es necesaria para su

estudio y el análisis del comportamiento. Otros circuitos, ya sea pasivos o activos,

pueden incorporar dispositivos más complejos como transformadores, elementos

activos (rectificadores, transistores) hasta llegar a la complejidad de un gran sistema

de telefonía o un computador.

Los circuitos formados exclusivamente por resistencias, bobinas y

condensadores, Existe también un ángulo de desfasaje entre las tensiones y

corrientes (y entre las potencias), que incluso puede llegar a hacerse cero. En caso

de que las reactancias capacitivas e inductivas sean de distinto valor para

determinada frecuencia, tendremos desfasajes. Además de su enorme importancia

desde el punto de vista teórico, tienen multitud de aplicaciones prácticas en casi

todas las ramas de la electricidad y electrónica. Son la base para la trasmisión de

ondas a distancia y la realización de filtros. El estudio de circuitos basados en

modelos que contienen estros tres elementos es valido en tanto tienen sentido los

componentes discretos los cual ocurre desde la corriente continua hasta poco mas

allá de los 1000 Mhz de frecuencia, pasado este umbral cuando se entra en la zona

de las microondas este modelo no es válido (salvo excepciones), empleándose

7

técnicas de lineas de trasmisión y componentes distribuidos para su estudio y

diseño.

Existen dos tipos de circuitos RLC, en serie o en paralelo, según la interconexión

de los tres tipos de componentes. El comportamiento de un circuito RLC se

describen generalmente por una ecuación diferencial de segundo orden.

4. Elementos utilizados.

4.1. Potenciómetros

Es un resistor cuyo valor de resistencia es variable. De esta manera,

indirectamente, se puede controlar la intensidad de corriente que fluye por un

circuito si se conecta en paralelo, o la diferencia de potencial al conectarlo en serie.

Los potenciómetros limitan el paso de la corriente eléctrica (Intensidad)

provocando una caída de tensión en ellos al igual que en una resistencia, pero en

este caso el valor de la corriente y la tensión en el potenciómetro las podemos variar

solo con cambiar el valor de su resistencia. En una resistencia fija estos valores

serían siempre los mismos.

El valor de un potenciómetro viene expresado en ohmios (símbolo Ω) como las

resistencias, y el valor del potenciómetro siempre es la resistencia máxima que

puede llegar a tener.

Figura 2.3 Potenciómetro

4.2. Capacitores

Es un dispositivo pasivo, utilizado en electricidad y electrónica, capaz de almacenar

energía sustentando un campo eléctrico.

8

Está formado por un par de superficies conductoras, generalmente en forma de

láminas o placas, en situación de influencia total (esto es, que todas las líneas de

campo eléctrico que parten de una van a parar a la otra) separadas por un material

dieléctrico o por el vacío. Las placas, sometidas a una diferencia de potencial,

adquieren una determinada carga eléctrica, positiva en una de ellas y negativa en la

otra, siendo nula la variación de carga total.

Figura 2.3 Representación grafica de un condensador.

4.3. Bobina

Es un componente pasivo de un circuito eléctrico que, debido al fenómeno de la

autoinducción, almacena energía en forma de campo magnético.

Sea una bobina o solenoide de longitud l, sección S y de un número de espiras N,

por el que circula una corriente eléctrica i(t).

Aplicando la Ley de Biot-Savart que relaciona la inducción magnética, B(t), con

la causa que la produce, es decir, la corriente i(t) que circula por el solenoide, se

obtiene que el flujo magnético Φ(t) que abarca es igual a:

Si el flujo magnético es variable en el tiempo, se genera en cada espira, según la

Ley de Faraday, una fuerza electromotriz (f.e.m.) de autoinducción que, según la

Ley de Lenz, tiende a oponerse a la causa que la produce, es decir, a la variación de

la corriente eléctrica que genera dicho flujo magnético. Por esta razón suele llamarse

fuerza contra electromotriz. Ésta tiene el valor:

A la expresión se le denomina Coeficiente de autoinducción, L, el cuál

relaciona la variación de corriente con la f.e.m. inducida y, como se puede ver,

9

depende de la geometría de la bobina y del núcleo en la que está devanada. Se mide

en Henrios.

Figura 2.4 inductores.

5. Métodos de resolución.

5.1. Leyes de Kirchhoff

5.1.1. Primera ley de Kirchhoff

La corriente entrante a un nodo es igual a la suma de las corrientes salientes.

Del mismo modo se puede generalizar la primera ley de Kirchhoff diciendo que

la suma de las corrientes entrantes a un nodo son iguales a la suma de las

corrientes salientes.

Figura 2.5 Representación de la primera ley

5.1.2. Segunda ley de Kirchhoff

En un circuito cerrado, la suma de las tensiones de batería que se encuentran

al recorrerlo siempre será iguales a la suma de las caídas de tensión existente

sobre los resistores.

10

Figura 2.6 Representación de la segunda ley

5.2. Método de resolución de Ecuaciones diferenciales de orden superior

con coeficientes constantes no Homogéneas.

Para la resolución de ecuaciones diferenciales de orden superior no homogéneas

tenemos una ecuación del siguiente tipo.

andn yd xn

+an−1dn−1 yd xn−1 +. . .. . . .. . . .. . .+a2

d2 yd x2 +a1

dydx

+a0 y=f (x )

Para obtener la primera parte de nuestra solución igualamos la ecuación antes dicha

a cero:

andn yd xn

+an−1dn−1 yd xn−1 +. . .. . . .. . . .. . .+a2

d2 yd x2 +a1

dydx

+a0 y=0

Con esto adquiriremos la solución homogénea.

De aquí obtenemos el polinomio característico y de este polinomio obtenemos las

raíces

De aquí obtenemos los siguientes casos.

i ¿Las Raíces son reales pero no iguales.

yH=c1 er1 x+c2e

r2 x….… ....cn er nx

ii ¿Las raíces son reales e iguales.

y=c1 er1x+c2 xe

r1x+c3 x2er1x… . .

11

iii¿ Las raíces son complejas.

D=α ± βx

y=eαx (c1 cos (βx )+c2 sin (βx ))

con esto obtenemos y(h)

5.2.1. Variación de parámetros

Se considera i (p )=u1 y1 ( x )+u2 y2(x ) donde u1 ,u2 , u3 son funciones incógnitas que

satisface el siguiente sistema de ecuaciones.

y1u1' + y2u2

' + y3u3' =0

y1´ u1

' + y2' u2

' + y3' u3

' =0

y1' 'u1

' + y2' 'u2

' + y3' 'u3

' =f (x )

5.2.2. Coeficientes indeterminados

Factores anuladores

a) Dnanula;1 , x , x2, x3 , xn−1

b) (D−α )nanula eαx , xeαx……xn−1eαx

c) (D2−2αD+α 2+ β2 )nanula eαxcos (βx ) , x eαxcos (βx ) , xn−1eαx cos (βx )

eαx sen (βx ) , x eαx sen (βx ) , xn−1 eαx sen (βx )

5.2.3. Métodos Abreviados

i (p )=f ( x )P (D )

P (D )=(D−M 1) (D−M 2 )…(D−M n )

M 1 ,M 2 ,…M n son raices

Donde y(p )=f (x)

(D−M 1 ) (D−M 2 )… (D−M n )

z1=f (x )D−m1

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DZ1−m1 z1=f ( x )

z1=e∫m1dx ∫ f (x )

e∫m1dx a) Caso 1

i (p )=K

P (D ) D=0

b) Caso 2

f ( x )=eαx

i( p)=eαx

P (D ) α

c) Caso 3

si f ( x )=sen (ax+b )ocos (ax+b)

i p=f ( x )P (D ) D2=−a2

d) Caso 4

f ( x )=P (D )

i p=f( x )∗1P(D)

1/P(D)

Estos tres métodos nos permiten hallar i( p) como q ( p)

Con esto obtenemos la

iT=i (h )+i( p) o

qT=q (h )+q ( p)

iT=i (h )+i( p)

Elemento Tensión en los bordes del Corriente por el elemento

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Corriente transitoria

Corriente en estado estable

elemento

Resistencia R

(Resistivo)

v (t )=Ri (t)i (t )= v (t )

R

Autoinducción L

(Bobina)v (t )=L

didt

i (t )= 1L∫ vdt

Capacidad C

(Condensador)v (t )= 1

C∫ idt i (t )=Cdidt

Tabla 2.1 Tabla de tenciones y corriente de un elemento.

5.3. Tipos de Movimiento Partiendo de la ecuación:

R∗i ( t )+ L∗didt

+ 1c∗∫ i dt=e ( t )

Utilizamos el remplazo i=dqdt

R∗dqdt

+ L∗d2qd t2

+ qc=e (t)

Despejando y ordenando obtenemos:

d2q

d t 2 +

RL∗dq

dt+

qc∗L

=e (t )L

5.3.1. Movimiento libre Para que se de este tipo de movimiento e(t) tiene que ser cero.

d2q

d t 2 +

RL∗dq

dt+

qc∗L

=0

Donde

∆=√( R2∗L )

2

− 1C∗L

a) Caso 1Cuando las raíces del polinomio característico son reales pero no son iguales y ∆>0

qH (t )=c1 e(α+β ) t+c2 e

(α−β) t sobreamortiguadob) Las raíces son reales y ∆=0

qH ( t )=c1eαt+c2te

αtCriticamente amortiguado

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c) Cuando las raíces son complejas

qH ( t )=eαt [c1∗cos (βt )+c2∗sin (βt ) ]Subamortiguado

6. Elementos de medición

6.1. Osciloscopio.

Un osciloscopio es un instrumento de visualización electrónico para la

representación gráfica de señales eléctricas que pueden variar en el tiempo. Es

muy usado en electrónica de señal, frecuentemente junto a un analizador de

espectro.

Presenta los valores de las señales eléctricas en forma de coordenadas en una

pantalla, en la que normalmente el eje X (horizontal) representa tiempos y el eje

Y (vertical) representa tensiones. La imagen así obtenida se denomina

oscilograma. Suelen incluir otra entrada, llamada "eje THRASHER" o "Cilindro

de Wehnelt" que controla la luminosidad del haz, permitiendo resaltar o apagar

algunos segmentos de la traza.

Figura 2.7 Osciloscopio

6.2. Multímetro

Es un instrumento eléctrico portátil para medir directamente magnitudes

eléctricas activas como corrientes y potenciales (tensiones) o pasivas como

resistencias, capacidades y otras.

Las medidas pueden realizarse para corriente continua o alterna y en varios

márgenes de medida cada una. Los hay analógicos y posteriormente se han

introducido los digitales cuya función es la misma (con alguna variante añadida).

15

PARTES Y FUNCIONES DE UN MULTÍMETRO DIGITAL.

A continuación describiremos las partes y funciones de un multímetro (Steren

MUL-270), recuerda que generalmente los multímetros son semejantes, aunque

dependiendo de modelos, pueden cambiar la posición de sus partes y la cantidad

de funciones, es por eso que cada parte tiene un símbolo estándar que identifica

su función.

Figura 2.8 multímetro

6.3. Generador de Señales

Es un dispositivo electrónico de laboratorio que genera patrones de señales

periódicas o no periódicas tanto analógicas como digitales. Se emplea normalmente

en el diseño, prueba y reparación de dispositivos electrónicos; aunque también

puede tener usos artísticos.

Hay diferentes tipos de generadores de señales según el propósito y aplicación

que corresponderá con el precio. Tradicionalmente los generadores de señales eran

dispositivos estáticos apenas configurables, pero actualmente permiten la conexión y

control desde un PC. Con lo que pueden ser controlados mediante software hecho a

medida según la aplicación, aumentando la flexibilidad.

16

Figura 2.9 Generador de señales

7. Softwares utilizados

7.1. Modellus Es un programa de simulación. Con él van a tener oportunidad de simular en la

computadora experimentos de física o ecuaciones matemáticas a través del tiempo o

en cuanto a la variación de valores numéricos (variables) presentes en todo

fenómeno a simular. Por ejemplo: pueden simular diferentes tipos de "movimientos"

en Física como: movimiento rectilíneo uniforme, caída libre, etc.

El docente sólo necesita aportar conocimientos de su materia para la

construcción del modelo matemático de la simulación y aplicará sus ideas y

necesidades educativas al diseño de la pantalla donde se muestra la simulación. Los

profesores pueden ser autores de una biblioteca de modelos propia, o, partiendo de

animaciones ya elaboradas, personalizar modelos existentes. Los alumnos también

pueden ser entrenados en poco tiempo para modificar las animaciones con las que

trabajan. Modellus incluye un manual que se puede consultar mientras se están

creando las animaciones y es bastante sencillo familiarizarse con el programa de

forma autodidacta.

17

Figura 2.10 Modellus.

7.2. Multisim

Es un sistema electrónico de captura de esquemáticos y simulación del programa

que forma parte de un conjunto de programas de diseño de circuitos, junto con NI

Ultiboard . Multisim es uno de los pocos programas de diseño de circuitos para

emplear el original Berkeley SPICE de simulación de software basado. Multisim fue

creado originalmente por una compañía llamada Electronics Workbench , que ahora

es una división de National Instruments . Multisim incluye simulación

microcontrolador (antes conocido como MultiMCU), así como las características

integradas de importación y de exportación a la placa de circuito impreso software

de diseño en la suite, NI Ultiboard.

Multisim es ampliamente utilizado en el mundo académico y la industria para la

educación circuitos, diseño esquemático electrónico y simulación SPICE.

Figura 2.11multisinm

8. Corriente alterna

Se le llama a la corriente eléctrica en la que la magnitud y el sentido varían

cíclicamente.

18

La forma de oscilación de la corriente alterna más comúnmente utilizada es la

oscilación senoidal con la que se consigue una transmisión más eficiente de la

energía, a tal punto que al hablar de corriente alterna se sobrentiende que se

refiere a la corriente alterna senoidal.

Utilizada genéricamente, la CA se refiere a la forma en la cual la electricidad

llega a los hogares y a las industrias. Sin embargo, las señales de audio y de

radio transmitidas por los cables eléctricos, son también ejemplos de corriente

alterna. En estos usos, el fin más importante suele ser la transmisión y

recuperación de la información codificada (o modulada) sobre la señal de la CA.

8.1. Valores significativos

Valor instantáneo (a(t)): Es el que toma la ordenada en un instante, t,

determinado.

Valor pico a pico (App): Diferencia entre su pico o máximo positivo y

su pico negativo. Dado que el valor máximo de sen(x) es +1 y el valor

mínimo es -1, una señal sinusoidal que oscila entre +A0 y -A0. El valor

de pico a pico, escrito como AP-P, es por lo tanto (+A0)-(-A0) = 2×A0.

Valor medio (Amed): Valor del área que forma con el eje de abscisas

partido por su período. El valor medio se puede interpretar como el

componente de continua de la oscilación sinusoidal. El área se considera

positiva si está por encima del eje de abscisas y negativa si está por

debajo. Como en una señal sinusoidal el semiciclo positivo es idéntico al

negativo, su valor medio es nulo. Por eso el valor medio de una

Oscilación sinusoidal se refiere a un semiciclo. Mediante el cálculo

integral se puede demostrar que su expresión es la siguiente;

Pico o cresta: Valor máximo, de signo positivo (+), que toma la

oscilación sinusoidal del espectro electromagnético, cada medio ciclo, a

partir del punto “0”. Ese valor aumenta o disminuye a medida que la

amplitud “A” de la propia oscilación crece o decrece positivamente por

encima del valor "0".

Valor eficaz (A): El valor eficaz se define como el valor de una

corriente (o tensión) continua que produce los mismos efectos calóricos

19

que su equivalente de alterna. Es decir que para determinada corriente

alterna, su valor eficaz (Ief) será la corriente continua que produzca la

misma disipación de potencia (P) en una resistencia(R).

Matemáticamente, el valor eficaz de una magnitud variable con el

tiempo, se define como la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de

los valores instantáneos alcanzados durante un período:

En la literatura inglesa este valor se conoce como R.M.S. (root mean

square, valor cuadrático medio), y de hecho en matemáticas a veces es

llamado valor cuadrático medio de una función. En el campo industrial,

el valor eficaz es de gran importancia, ya que casi todas las operaciones

con magnitudes energéticas se hacen con dicho valor. De ahí que por

rapidez y claridad se represente con la letra mayúscula de la magnitud

que se trate (I, V, P, etc.). Matemáticamente se demuestra que para una

corriente alterna sinusoidal el valor eficaz viene dado por la expresión:

El valor A, tensión o intensidad, es útil para calcular la potencia

consumida por una carga. Así, si una tensión de alterna, desarrolla una

cierta potencia P en una carga resistiva dada, una tensión de continua de

Vrms desarrollará la misma potencia P en la misma carga, por lo tanto

Vrms x I = VCA x I

20

Capitulo IIICálculos

Practica 1) movimiento Subamortiguado

V R+V C+V L=E ( t )

R∗i+L didt

+QC

=6 sin (120πt ); i=dQdt

R∗dQdt

+L

ddt

∗dQ

dt+QC

=6sin (120 πt )

d2Qd t2

+RLdQdt

+ QCL

=6 sin (120πt )

d2Qd t2

+ 110−3

dQdt

+ Q22∗10−6∗10−3 =6 sin (120πt )

d2Qd t2

+103 dQdt

+ 109

22=6sin (120πt )

P (D )=D2+103 D+109

22

D=−500+6723.43 i

Qh=e−500t (C1cos (6723.43 t )+C2sin (6723.43 i ) )

Q p=6 sin (120 πt )

D2+103D+ 109

22|D2=−(120 π )2

21

Qp=6sin (120 πt )

−(120π )2+103D+ 109

22

Q p=6 sin (120 πt )

103 D+45.31∗106∗(103D−45.31∗106

103D−45.31∗106 )Q p=

720 π∗103 cos (120 πt )−271.8∗106∗sin (120 πt )

106 D2−( 45.31∗106 )2

Q p=720 π∗103 cos (120 πt )−271.8∗106∗sin (120 πt )

−106 (120 π )2−( 45.45∗106 )2

Q p=1.31∗10−7 sin (120πt)−1.1∗10−9cos (120πt )

Qt=Qh+Q p

Q(t )=e−500t (C1 cos (6723.43 t )+C2 sin (6723.43i ) )+1.31∗10−7 sin (120πt )−1.1∗10−9 cos (120πt )

Q (0 )=0∴C1=1.1∗10−9

i (t )=e−500t (−500C1cos (6723.43t )−500C2sin (6723.43 i )−6723.43C1sin (6723.43 t )+6723.43C2 cos (6723.43 ))+4.94∗10−5cos (120πt )+4.14∗10−7sin (120πt )

i (0 )=0∴−500C1+6723.43C2+4.94∗10−5=0

C2=−7.26∗10−9

Q ( t )=e−500t (1.1∗10−9cos (6723.43t )−7.26∗10−9sin (6723.43 t ) )

i (t )=e−500t (−4.93∗10−5 cos (6723.43 t )−3.76∗10−6 sin (6723.43 i) )+4.94∗10−5cos (120 πt )+4.14∗10−7sin (120πt )

V c=Q(t)C

V c=e−500t (1.1∗10−9cos (6723.43 t )−7.26∗10−9 sin (6723.43 i ) )

22∗10−6

V c=e−500 t (5∗10−5 cos (6723.43 t )−3.3∗10−4 sin (6723.43 i ) )

22

23

Practica2

( R2L )

2

− 1CL

=0

qh=C1e−R2L

t+C2t e

−R2 L

t

Usamos la resistencia de 13.48Ω

Aplicando la ley de Kirchhoff de una malla obtenemos

R∗i ( t )+ L∗didt

+ 1C

∗∫ idt=6 sin (120 π∗t )

Remplazando i=dqdt

R∗dqdt

+ L∗d2qdt

+ qC

=6 sin (120π∗t )

d2qdt

+ 13483.99725∗dqdt

+45454545.45∗q=6000 sin (120 π∗t )

Primero encontramos la ecuación de la carga transitoria donde las raíces son

qh ( t )=C1∗e−6742 t+C1∗t∗e

−6742t

Para el cálculo de la q(p) utilizaremos métodos abreviados

q p=6000 sin (120π∗t )

D2+13483.99725D+45454545.45D2=−(120∗π )2

q p=

6000 sin (120∗π∗t )13483.99725∗D+45312423.15

∗13483.99725∗D−45312423.15

13483.99725∗D−45312423.15

q p=3.05∗1010cos (120∗π∗t )−2.718711 sin (120π∗t )

(13483.99725∗D )2−(45312423.15 )2

q p=−1.485∗10−5 cos (120 π∗t )+1.307∗10−4sin (120 π∗t )

24

Ahora uniremos qH y qp

qT=C1∗e−6742t+C2∗t∗e

−6742t−1.485∗10−5 cos (120 π∗t )+1.307∗10−4sin (120 π∗t )

Aplicando las condiciones iniciales q ( 0 )=0 y i ( t )=0

0=C1−1.467∗10−5dondeC1=1.467∗10−5

Aplicando la segunda condición

0=−6742∗C1∗e−6742 t+C2∗e

−6742 t−6742∗t∗C2∗e−6742t+1.3017∗10−4∗120 π∗cos (120 π∗t )

C2=0.0498

qT=1.467∗10−5∗e−6742t+0.0496

¿ t∗e−6742 t−1.467∗10−5 cos (120 π∗t )+1.307∗10−4 sin (120 π∗t )

Le voltaje en el capacitor

vc=0.6668e−6742 t+2254.5454∗t∗e−6742t−0.6668 cos (120π∗t )+5.941 sin (120 π∗t )

25

PRACTICA3

V R+V C+V L=E ( t )

R∗i+L didt

+QC

=6 sin (120πt ); i=dQdt

R∗dQdt

+L

ddt

∗dQ

dt+QC

=6sin (120 πt )

26

d2Qd t2

+RLdQdt

+ QCL

=6 sin (120πt )

d2Qd t2

+ 20010−3

dQdt

+ Q22∗10−6∗10−3 =6 sin (120πt )

d2Qd t2

+2∗105 dQdt

+ 109

22=6 sin (120 πt )

P (D )=D2+2∗105D+ 109

22

D=−227.53 ;D=−199772.46

Qh=C1 e−227.53t+C2 e

−199772.46t

Q p=6sin (120πt )

D2+2∗105D+ 109

22|D2=−(120π )2

Qp=6sin (120πt )

−(120π )2+2∗105D+ 109

22

4

Q p=6 sin (120πt )

2∗105+45.31∗106∗( 2∗105D−45.31∗106

2∗105D−45.31∗106 )Q p=¿

1440π∗105 cos (120πt )−271.8∗106∗sin (120πt )

(2∗105 )2D2−( 45.31∗106 )2

Q p=1440 π∗105 cos (120 πt )−271.8∗106∗sin (120 πt )

−(2∗105 )2 (120 π )2−( 45.45∗106 )2

Q p=+3.5∗10−8sin (120 πt )−5.83∗10−8 cos (120πt )

Qt=Qh+Q p

Q(t )=C1 e−227.53t+C2 e

−199772.46 t+3.5∗10−8 sin (120πt )−5.83∗10−8cos (120πt )

Q (0 )=0∴C1+C2=5.83∗10−8

i (t )=−227.53C1 e−227.53t−199772.46C2 e

−199772.46 t+1.32∗10−5 cos (120πt )+2.2∗10−5 sin (120 πt )

i (0 )=0

227.53C1+199772.46C2=1.32∗10−5

27

C1=5.83∗10−8 ;C2=−3.25∗10−13

Q(t )=5.83∗10−8 e−227.53t−3.25∗10−13 e−199772.46 t+3.5∗10−8 sin (120 πt )−5.83∗10−8 cos (120 πt )

i (t )=−1.32∗10−5 e−227.53 t+6.49∗10−8C2 e−199772.46 t+1.32∗10−5 cos (120πt )+2.2∗10−5 sin (120 πt )

V c=Q(t)C

V c=5.83∗10−8 e−227.53t−3.25∗10−13 e−199772.46 t+3.5∗10−8 sin (120 πt )−5.83∗10−8 cos (120 πt )

22∗10−6

V c=2.65∗10−3 e−227.53 t−1.47∗10−8 e−199772.46 t+1.59∗10−3sin (120 πt )+2.65 x10−3 cos (120πt )

28

29

Capitulo IV1. Recomendaciones

Verificar que el circuito se encuentre conectado en serie para el análisis. Conectar correctamente la fuente. Verificar que existe voltaje recorriendo por el circuito. Revisar que la fuente generadora de tención se encuentre funcionando. Al analizar la onda generada con el osciloscopio tener cuidado de no quemar

el osciloscopio. Realizar todos los cálculos previos a la práctica.

2. Conclusiones Con el análisis de circuito pudimos calcular la carga que transita por el

circuito, como sabemos este tipo de análisis se le puede usar para calcular no solo para este tipo de circuito sino que el método es general para diferentes análisis.

Para la fuente de corriente alterna nosotros utilizamos un generador sin las rectificaciones, en el uso del osciloscopio que nos permitía apreciar la onda que recorría el circuito y multímetro que nos permitía determinar el voltaje en los diferentes puntos del circuito.

En el análisis de graficas toca tomar en cuenta que como las corrientes transitorias o la parte homogénea de la solución que es la que en un inicio deforma la curva posee valores que hacen que esta tienda rápidamente a cero y sea casi invisible ante nuestros ojos la forma en que cambia la curva nosotros analizamos el circuito en un simulador aparte para poder apreciar de una pequeña manera lo que sucede en la curva de la corriente que pasa por el circuito así como su carga.

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