Evolución Diferencial para el Control de un Motor de Corriente ...

Centro de enseñanza LANIA

Evolución Diferencial para el Control de un Motor de CorrienteDirecta Bajo Incertidumbre Paramétrica

TESIS

Que presenta:

I.S.C. José Yaír Guzmán Gaspar

Para obtener el grado de

Maestro en Computación Aplicada

Dirigido por:

Dr. Efrén Mezura Montes

Dr. Miguel Gabriel Villarreal Cervantes

Dra. Cora Beatriz Excelente Toledo

Xalapa, Veracruz, México Febrero, 2015.

Agradecimientos

A Dios, por darme la vida y acompañarme en cada momento.

A mis padres, Gustavo y Felicitas, por su gran apoyo, por su paciencia, y por sus consejosy enseñanzas que me han dado siempre para salir adelante.

A mi hermano Gustavo, por su conanza y su apoyo.

A mis hijos, Narayani y Yaír, por esa alegría, esa luz que aportan a mi vida y ser la razónpara superarme día tras día.

A mi esposa, Fabiola, por acompañarme e impulsarme durante toda mi carrera para laculminación de la misma.

Al doctor Efrén y al doctor Miguel, por compartir su conocimiento, sus ideas, así comopor todo el apoyo y el tiempo que me brindaron para poder concluir esta tesis.

A la Doctora Cora por el tiempo brindado y sus observaciones realizadas durante laelaboración de la tesis.

A mis compañeros de la MCA, por su amistad y por haber compartido una experienciamuy grata durante la carrera.

A LANIA, por las facilidades en el desarrollo de mi investigación.

Finalmente, se agradece el apoyo del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología bajoel proyecto 182298 y de la Secretaría de Investigación y Posgrado del Instituto PolitécnicoNacional bajo el proyecto 20151212.

iii

Resumen

En este trabajo de investigación se propone un control adaptable de un motor decorriente directa bajo incertidumbre paramétrica basado en un algoritmo bio-inspirado.Esta propuesta se encuentra basada en un algoritmo de evolución diferencial.

En esta investigación se demuestra la disminución del error de seguimiento de la velocidaddeseada, utilizando un controlador basado en un algoritmo bio-inspirado, en comparación conel error obtenido utilizando técnicas clásicas de control, particularmente con el controladorproporcional-integral.

Para los experimentos realizados en este trabajo se utilizan dos problemas clásicos decontrol (regulación y seguimiento).

v

Lista de acrónimos

CAED: control adaptable basado en evolución diferencialCD: corriente directaCE: computación evolutivaCIEA: criterio de integridad de error absolutoCIEAT: criterio de integridad de error absoluto por tiempoCIEC: criterio de integridad de error cuadráticoCTBP: current-to-best/penalizaciónCTBRD: current-to-best/regla de DebED: evolución diferencialPI: proporcional-integral

vii

Índice general

1. Introducción 1

1.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1. Formulación del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Justicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5. Organización del documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Análisis dinámico y sistema de control del motor de CD 7

2.1. Estructura física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Modelo dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1. Análisis del circuito eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.2. Análisis dinámico de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.3. Modelo dinámico del motor en variables de estado . . . . . . . . . . . 11

2.3. Sistema de control por dinámica inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Formulación del problema de control adaptable 13

3.1. Variables de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2. Función objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3. Restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4. Planteamiento del problema de optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4. Computación Evolutiva 17

4.1. Introducción a la computación evolutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.1.1. Elementos del Algoritmo Evolutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2. Evolución diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.1. Variantes de la ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.3. Manejo de restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5. Resultados 25

5.1. Diseño experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2. Análisis de comportamiento del algoritmo de optimización . . . . . . . . . . 275.3. Análisis de resultados comparativos con otra técnica de control . . . . . . . . 31

ix

x ÍNDICE GENERAL

5.3.1. Control proporcional-integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.3.2. Comparativa entre el controlador PI y el controlador CAED basado en

el algoritmo CTBRD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6. Conclusiones y Trabajo Futuro 37

6.1. Observaciones nales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.2. Trabajos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Bibliografía 41

Índice de guras

1.1. Diagrama eléctrico del motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Diagrama mecánico del motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Diagrama del sistema dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1. Motor de CD de imán permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Diagrama del circuito del motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3. Momentos del motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1. Diagrama del sistema dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.1. Pseudocódigo de un algoritmo evolutivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2. Cruza Binomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3. Recombinación y mutación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.4. Algoritmo DE/rand/1/bin. randint(min,max) es una función que regresa un

numero entero entre min y max. rand[0,1] es una función que regresa un númeroreal entre 0 y 1. NP, MAX_GEN, CR y F son parámetros denidos por elusuario. D es la dimensión del problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.1. Grácos comparativos entre algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.2. Problema de Regulación 1: PI y CAED con parámetros dinámicos hasta 10%

de su valor nominal para 2s ≤ t ≤ 4s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.3. Problema de Regulación 2: PI y CAED con parámetros dinámicos hasta 10%

de su valor nominal para 0s ≤ t ≤ 6s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.4. Problema de Seguimiento 1: PI y CAED con parámetros dinámicos hasta 10%

de su valor nominal para 2s ≤ t ≤ 4s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.5. Problema de Seguimiento 2: PI y CAED con parámetros dinámicos hasta 10%

de su valor nominal para 0s ≤ t ≤ 6s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

xi

Índice de tablas

3.1. Límites de los parámetros del sistema de control . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.1. Principales modelos de la ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.1. Parámetros nominales del motor, donde J0 es la inercia del motor, km es laconstante de par, b0 es el coeciente de fricción viscosa, Ra es la resistenciade armadura, ke es la constante de la fuerza contra-elctromotriz, La es lainductancia de armadura y TL es la carga o par del motor. . . . . . . . . . . 26

5.2. Parámetros reales dinámicos del motor, donde J0 es la inercia del motor, km esla constante de par, b0 es el coeciente de fricción viscosa, Ra es la resistenciade armadura, ke es la constante de la fuerza contra-elctromotriz, La es lainductancia de armadura y TL es la carga o par del motor. . . . . . . . . . . 27

5.3. Parámetros calibrados por la herramienta i-Race . . . . . . . . . . . . . . . . 285.4. Tabla de resultados: a)Regulación 1, b) Regulación 2, c) Seguimiento 1, d)

Seguimiento 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.5. Resultados de las pruebas de Kruskall Wallis y Friedman . . . . . . . . . . . 295.6. Resultado de la prueba de Wilcoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.7. Resultados de los criterios de desempeño de los controladores PI y CAED . . 32

xiii

xiv ÍNDICE DE TABLAS

Capıtulo 1Introducción

En diversas aplicaciones es de vital importancia considerar sistemas de control con un altodesempeño en sus actuadores. El motor de corriente directa (CD) es una parte crucial parael movimiento de sistemas electromecánicos, como por ejemplo en robots manipuladores [1],en mesas xyz [2], etc. El estudio de estrategias de control en los motores de CD que logranalta precisión y alta exactitud ha sido siempre de interés [3], [4].

Una de los problemas que presenta todo sistema de control en un sistema electromecánicoes el de compensar adecuadamente las incertidumbres paramétricas en el sistema, talescomo, la carga a manejar por un robot, supercies rugosas a pulir, valores de parámetrosque cambian con la temperatura, cambios en la masa del sistema (vehículos), etc. En unamplio sentido, las incertidumbres paramétricas se pueden agrupar en i) Aquellas dadas porinexactitudes en el modelo (no se consideran algunas dinámicas no lineales) y ii) aquellas endonde se desconocen con exactitud algunos parámetros físicos del sistema. En este documentode tesis se está considerando la segunda opción, es decir, no se conocen con exactitud losparámetros físicos y donde además, que éstos podrían variar con respecto al tiempo.

Los esquemas de control adaptable en donde se incorpora alguna estrategia de estimaciónde parámetros de la planta en la ley de control se han estudiado ampliamente desde hacealgunas décadas atrás, con el propósito de mejorar el desempeño del controlador, anteincertidumbres paramétricas [5], [6], [7], [8]. La estimación o actualización de los parámetrosen línea se obtiene a través del uso de la propiedad de linealidad paramétrica en el modelodel sistema y considerando métodos de estimación basados en el gradiente o en mínimoscuadrados [9], [10], [11]. Una referencia actual en donde se aplica este tipo de control seencuentra en [12], en donde el esquema de control adaptable se implementa a un robotparalelo con el propósito de mejorar el desempeño en el error de posición cuando manejadiferentes cargas.

Sin embargo cuando el sistema presenta un alto grado de incertidumbre, la actualizaciónde los parámetros en línea del esquema de control adaptable tiende a converger a mínimoslocales, lo que resulta en un error considerable en el posicionamiento del sistema.

Por otra parte, recientemente, la computación bio-inspirada como algoritmos evolutivos oalgoritmos de inteligencia colectiva han sido aplicados con éxito en problemas del mundo realen el área de control automático. El incremento en el uso de algoritmos bio-inspirados en lasintonización óptima del sistema de control se debe a que éstos trabajan con una poblaciónde individuos (posibles soluciones), la convergencia hacia un valor cercano al óptimo suele ser

1

2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

mejor en comparación con técnicas basadas en el gradiente y no presentan inconvenientes alutilizarlos en problemas discontinuos. Algunos trabajos al respecto son: en [13] se incorporanalgoritmos evolutivos para sintonizar fuera de línea los parámetros de un controlador PIDen una planta de columna de destilación. En [14] se propone un control de búsqueda deextremo basado en el algoritmo de optimización de cúmulo de partículas. En [15] se estableceformalmente el enfoque de diseño integrado robusto para sistemas mecatrónicos. El caso deestudio al que se le aplicó este enfoque es a un robot de cinco eslabones planar con uncontrolador PID. Se considera encontrar la estructura mecánica y las ganancias del sistemade control de tal manera que el diseño resultante sea tan insensible como sea posible aincertidumbres en la carga que soporta el efector nal. Se utiliza el algoritmo de evolucióndiferencial para resolver el problema. En [13] se han implementado algoritmos evolutivos parasintonizar fuera de línea los parámetros de un controlador PID. En [16] se aplica un algoritmode forrajeo de bacterias para la identicación y control de un motor de corriente continua.En [17] se presenta un controlador difuso basado en un algoritmo genético para el control develocidad de un motor síncrono de imán permanente.

Por tal motivo, en este trabajo se propone un esquema de control adaptable de un motorde CD en donde se utiliza un control por dinámica inversa y se estiman los parámetros delsistema de control en línea a través de la solución de un problema de optimización con baseen el algoritmo de evolución diferencial. Las principales aportaciones de este trabajo son: i)se establece formalmente el problema de optimización dinámica para estimar los parámetrosdel controlador en línea, en donde el error entre el sistema real y estimado sea el menor,sujeto a límites en la señal de control, ii) se realiza un análisis empírico comparativo entrediferentes variantes de evolución diferencial con el propósito de observar el más adecuado quegarantice que el error sea mínimo en el seguimiento de una trayectoria ante variaciones en losparámetros de la planta, y iii) se realiza un comparativo de desempeño entre el controladorPI y la variante de evolución diferencial que obtuvo el mejor resultado.

1.1. Planteamiento del problema

El modelo dinámico de un motor de corriente directa (CD) puede ser representadomediante ecuaciones diferenciales, en el cual una serie de variables de estado intererendirectamente a su funcionamiento. En las Figuras 1.1 y 1.2 se muestra el diagrama eléctricoy mecánico que compone un motor de CD.

1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 3

Figura 1.1: Diagrama eléctrico del motor

Figura 1.2: Diagrama mecánico del motor

Las ecuaciones diferenciales que lo representan se encuentran expresadas en la Ec. (1.1)donde Vin es el voltaje de entrada de armadura, Ra es la resistencia de armadura, La esla inductancia de armadura, ke es la constante de la fuerza contra-electromotriz, ia es lacorriente de armadura, b0 es el coeciente de fricción viscosa referido a la echa, J0 es lainercia del motor referida a la echa del motor, τL es el par de carga, y qm, qm son lasposiciones, velocidades y aceleraciones angulares del rotor respectivamente.

Ladiadt

+Raia + keqm = Vin

Jodqm

dt+ boqm + τL = kmia

(1.1)

Si p1 = b0J0, p2 = km

J0, p3 = ke

La, p4 = Ra

La, p5 = 1

La, p6 = τL

J0, el modelo dinámico se puede

representar como en la Ec. (1.2)

diadt

+ p4ia + p3qm = p5Vin

dqm

dt+ p1qm + p6 = p2ia

(1.2)


Sea el estado x = [qm qm ia]T y la entrada u = Vin, el modelo dinámico del motor CD en

variables de estado, queda expresada como x = f (x(t), u(t), p) mostrado en la Ec.(1.3).

x1

x2

x3

=

0 1 00 −p1 p2

0 −p3 p4

x1

x2

x3

− 0p6

0

+

00p5

u (1.3)

El sistema de control por dinámica inversa se muestra en la Ec. (1.4), donde e = wr− x1,e = wr− x2 y wr, wr, wr es la trayectoria deseada en velocidad, aceleración y la derivada dela aceleración respectivamente.

u =J0Lakm

(wr + kpe+ kde+

b0

J0

(kmJ0

x3 −b0

J0

x2 −τLJ0

))+ kex2 +Rax3 (1.4)

1.1.1. Formulación del problema

El problema de optimización dinámica en línea (ver Figura 1.3) trata de encontrar losparámetros estimados p de un motor de CD en línea tal que minimice el error e entre la señalde salida del sistema real x y del sistema estimado x, sujeto a la restricción propia de ladinámica del sistema real y el sistema estimado, así como los límites en la señal de control,para así proporcionar un buen desempeño en el sistema de control.

En el problema presentado se busca minimizar la diferencia entre los parámetros realesy estimados del motor de CD, sujeto a las restricciones propias del sistema real y estimado,así como las condiciones iniciales y los límites de la señal de control.

Figura 1.3: Diagrama del sistema dinámico

1.2. Objetivos

1.2.1. Objetivo general

Desarrollar y aplicar al menos una técnica metaheurística en la estimación óptima de losparámetros del sistema de control, enfatizando la ecacia del algoritmo para obtener unasolución competitiva y su eciencia en el tiempo computacional.

1.3. HIPÓTESIS 5

Objetivos especícos

Aplicar una técnica metaheurística en el problema.

Incorporar alguna modicación para mejorar el desempeño del algoritmo.

Analizar los resultados obtenidos desde el punto de vista computacional .

Analizar los resultados desde el punto de vista ingenieril.

1.3. Hipótesis

Se podrá mejorar el desempeño del sistema de control de un motor de corriente directabajo el efecto de incertidumbres en los parámetros de la planta, con respecto a técnicas clásicasde control, al utilizar un controlador que requiera la estimación de sus parámetros mediantela solución de un problema de optimización por medio de un algoritmo evolutivo llamadoevolución diferencial, entendiéndose con mejorar el desempeño del sistema de control comomantener la velocidad deseada en el motor.

1.4. Justicación

Los problemas de optimización multiobjetivo no son problemas que se resuelven fácilmentepor métodos clásicos de optimización. Este tipo de problemas puede ser resuelto mediantemétodos aproximados como las metaheurísticas [18]. En el presente trabajo se va a utilizarun algoritmo evolutivo llamado evolución diferencial, dada la no linealidad presente en elproblema optimización que se aborda y dado que estos algoritmos pueden encontrar solucionessatisfactorias a problemas complejos. Cabe destacar que el algoritmo que se implementarátrabajará en línea, lo cual es todo un reto, ya que los algoritmos evolutivos no suelen ser muyusados de esa manera, puesto que requieren de tiempo para trabajar y obtener sus resultadoscompetitivos [19].

1.5. Organización del documento

En el capítulo 2 se presenta el análisis dinámico y sistema de control de un motorde corriente directa CD. En el capítulo 3 se plantea la formulación del problema dediseño de control adaptable. En el capítulo 4 se realiza una breve introducción a lacomputación evolutiva y a la evolución diferencial. En el capítulo 5 se observan los resultadosexperimentales. En el capítulo 6 se proporcionan las conclusiones pertinentes en este trabajode investigación, además, se proporcionan algunas perspectivas para trabajos futuros.

Capıtulo 2Análisis dinámico y sistema de control delmotor de CD

El motor de corriente directa CD es un transductor que convierte la energía eléctrica enenergía mecánica. En general el campo magnético de un motor de CD se puede producir porbobinas o imanes permanentes [20].

2.1. Estructura física

En la Figura 2.1 se muestran las partes que conforman a un motor de CD de imánpermanente.

Figura 2.1: Motor de CD de imán permanente

Como se menciona en [21] físicamente la estructura del motor consta de dos partes: el

7

8CAPÍTULO 2. ANÁLISIS DINÁMICO Y SISTEMADE CONTROL DELMOTORDE CD

estátor o parte estacionaria y el rotor que es la parte rodante.El estátor contiene imanes proyectados hacia adentro para proveer el ujo magnético en

la máquina.El rotor, también llamado armadura consiste en un eje maquinado de acero y un núcleo

montado sobre él. El núcleo aloja a la bobina1 las cuales se disponen en las ranuras de éste.El colector, se encuentra sobre el eje del rotor, en un extremo del núcleo y se encuentradividido en segmentos. Las escobillas son generalmente elaboradas con material que presentaalta conductividad y bajo coeciente de rozamiento, como carbón o grato.

2.2. Modelo dinámico

El modelo dinámico del motor se debe estudiar desde dos perspectivas diferentes, laeléctrica y la mecánica. Desde el punto de vista eléctrico, el motor de CD se debe modelarcomo un circuito eléctrico con base en la ley de voltaje de Kirchho. Por otra parte, desdeel punto de vista mecánico, el motor de CD se debe modelar realizando un análisis dinámicode momentos en el eje de salida.

2.2.1. Análisis del circuito eléctrico

Figura 2.2: Diagrama del circuito del motor

El circuito eléctrico del motor se puede representar como se muestra en la Figura 2.2, endonde tomando en cuenta la ley de voltajes Kirchho (ley de mallas) que menciona La sumaalgebraica de los voltajes alrededor de una malla cualquiera en un circuito eléctrico es cero,se puede analizar el circuito dando como resultado la Ec. (2.1), en donde Vin es el voltajede entrada, VRa es el voltaje en la resistencia, VLa es el voltaje de la inductancia, VFke

es elvoltaje dado por la fuerza contraelectromotriz.

−Vin + VRa + VLa + VFke= 0 (2.1)

1La bobina es denida por la Real Academia Española como circuito eléctrico formado por un alambreaislado que se arrolla en forma de hélice con un paso igual al diámetro del alambre.

2.2. MODELO DINÁMICO 9

Para la obtención del voltaje en la resistencia VRa , según la ley de Ohm [22] estableceque la corriente en un circuito es proporcional a la fuerza electromotriz total (fem) queactúa sobre el circuito e inversamente proporcional a la resistencia total del circuito, esto seencuentra expresado en la Ec. (2.2), donde i es la corriente, VRa es el voltaje en la resistencia(fem) y R la resistencia.

i =VRa

R(2.2)

Partiendo de la Ec. (2.2) se deduce que el voltaje VRa esta dado por la Ec. (2.3).

VRa = iR (2.3)

Para obtener el voltaje en la inductancia VLa , se conoce que la inductancia L es laconstante de proporcionalidad entre el voltaje inducido VLa y la razón de cambio de lacorriente di

dt [22], esto se representa en la Ec. (2.4).

L =VLa

di/dt(2.4)

De la Ec. (2.4) se puede obtener que el voltaje dado en la inductancia se expresa comoen la Ec. (2.5).

VLa = Ldi

dt(2.5)

La fuerza contraelectromotriz VFkese presenta cuando un conductor se mueve en un campo

magnético, ya que genera un voltaje entre sus terminales la cual es proporcional a la velocidaddel eje. Este voltaje tiende a oponerse al ujo de la corriente [20], el cual puede representarsecomo en la Ec. (2.6), donde VFke

es la fuerza contraelectromotriz, qm es la velocidad del ejedel motor, y ke es la constante de la fuerza contraelectromotriz.

VFke= keqm (2.6)

De acuerdo a lo anterior, sustituyendo las Ec. (2.3), (2.5) y (2.6), en la Ec. (2.1) laexpresión algebraica para representar el circuito eléctrico del motor mostrado en la Figura2.2 esta dada por la Ec. (2.7).

Ladiadt

+Raia + keqm = Vin (2.7)


2.2.2. Análisis dinámico de momentos

Figura 2.3: Momentos del motor

Basándose en la segunda ley de Newton (del movimiento rotacional) [22] queestablece que la suma de todos los pares2 que actúan sobre un eje dado esproporcional a la aceleración angular experimentada por el objeto, siendo el momentode inercia su factor de dicha proporcionalidad, se puede mencionar que

∑Pares =

(momento de inercia) (aceleración angular), o bien, como se expresa en la Ec. (2.8), donde∑T es la suma de todos los pares que actúan alrededor del eje del motor, J0 es el momento

de inercia del motor referido a la echa, y qm es la aceleración angular.

∑T = J0qm (2.8)

Como se muestra en la Figura 2.3, los pares que intervienen en la echa de salida delmotor son, el par del motor τm , el par de de carga τL, y el par de fricción τf , por lo tanto,la Ec. (2.8) puede ser expresada como en la Ec. (2.9).

τm − τL − τf = J0qm (2.9)

Para obtener el par del motor τm, en [20] se menciona que el par desarrollado en el ejedel motor es directamente proporcional al ujo en el campo y a la corriente en la armadura,

2 Se entiende por par o momento de fuerza M como cualquier causa que tienda a producir un cambio enel movimiento rotacional de un cuerpo sobre el cual actúa. Es el producto de una fuerza F y la distancia dperpendicular desde un punto de rotación a la línea de acción de la fuerza, es decir M = Fd [22].

2.2. MODELO DINÁMICO 11

lo anterior se encuentra dado por la Ec. (2.10),donde τm es el par del motor, φ es el ujomagnético, ia es la corriente de armadura, y km es la constante de proporcionalidad (constantede par).

τm = kmφia (2.10)

Para calcular el par de fricción τf , en [20] se menciona que la fricción viscosa representauna fuerza que es una relación lineal entre la fuerza aplicada y la velocidad. La expresiónmatemática de la fricción viscosa se representa en la Ec. (2.11), donde b0 es el coeciente defricción viscosa.

τf = b0 ˙qm (2.11)

Con base en lo anterior, sustituyendo las Ecs. (2.10) y (2.11) en la Ec. (2.9), la dinámicade momentos que se muestra en la Figura 2.3 puede ser representada como en la Ec.(2.12)

kmia − τL − boqm = Joqm (2.12)

Reagrupando la Ec.(2.12) se obtiene en la Ec. (2.13) la expresión matemática que rige elanálisis dinámico de momentos.

Joqm + boqm + τL = kmia (2.13)

2.2.3. Modelo dinámico del motor en variables de estado

A partir del análisis del circuito eléctrico y de la estructura mecánica, el modelo dinámicodel motor de C.D. se puede resumir en la Ec. (2.14).

Ladiadt

+Raia + keqm = Vin

Jodqm

dt+ boqm + τL = kmia

(2.14)

Considerando que el vector de estado x =[qm ˙qm ia

]T=[x1 x2 x3

]Ty la señal de

entrada u = Vin, la Ec.(2.14) se puede expresar como en la Ec. (2.15).

x2 =kmx3 − b0x2 − τL

J0

x3 =u−Rax3 − kex2

La

(2.15)

La Ec.(2.15) se puede expresar como x = f(x(t), u(t)) mostrándose en las Ecs. (2.16) y(2.17) , que representa al modelo dinámico del motor en el vector de variable de estado x,donde x ε R3.


x =

0 1 00 − b0

J0kmJ0

0 − keLa−Ra

La

x1

x2

x3

+

0− τLJ0

0

+

001La

u (2.16)

x =dx

dt= Ax+Bu+ C (2.17)

2.3. Sistema de control por dinámica inversa

Para desarrollar el sistema de control por dinámica inversa (DI) [23] se realiza el cambiode coordenadas x1 = x2, x2 = kmx3−b0x2−τL

J0y u = Vin, por lo que el modelo dinámico del

motor de C.D. representado en la Ec. (2.16) se puede expresar como en la Ec. (2.18).

˙x1 = x2

˙x2 =kmJ0La

u+b0

J20

τL + x1

(b2

0

J20

− kmkeJ0La

)− x3

(kmRa

J0La+b0kmJ2

0

)(2.18)

Se establece el controlador DI [24] en la Ec. (2.19), donde v = wr +kpe+kde, e = wr− x1,e = wr − x2. wr y wr son la velocidad y aceleración deseada.

u =J0Lakm

(v +

b0

J0

(kmJ0

x3 −b0

J0

x2 −τLJ0

))+ kex2 +Rax3 (2.19)

Como se observa en la Ec. (2.19), el control DI requiere el conocimiento de los parámetrosdel motor.

Capıtulo 3Formulación del problema de control adaptable

En la Figura 3.1 se muestra el esquema en lazo cerrado del sistema de control adaptablebasado en evolución diferencial que se propone en esta tesis y será detallada posteriormente.

Figura 3.1: Diagrama del sistema dinámico

3.1. Variables de diseño

En la Figura 3.1 se observa que el comportamiento del sistema esta determinado porlos parámetros (p) que rigen la dinámica del motor, ya que el controlador requiere delconocimiento de los parámetros reales del motor para emitir la señal (volts) necesaria queproporcionará un seguimiento deseado en velocidad. Es por esto que en el presente trabajose considera como variables de diseño a los parámetros del sistema de control dado porp =

[p1 p2 p3 p4 p5 p6

]T, los cuales, a su vez forman parte de los parámetros dinámicos

del sistema.

13

14 CAPÍTULO 3. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE CONTROL ADAPTABLE

Los valores utilizados en los parámetros se encuentran en los límites descritos en la Tabla3.1.

Parámetro Mínimo Máximo

P1 0 2P2 0 1200P3 0 5P4 0 100P5 0 10P6 0 150

Tabla 3.1: Límites de los parámetros del sistema de control

3.2. Función objetivo

El problema de programación multiobjetivo se puede plantear de manera matemáticacomo se muestra en la Ec. (3.1), siendo Ω = λ ∈ R|λ ∈ [t1, t] , t1 = t−∆w, donde ∆w ∈ R,es el tiempo de retroceso, es decir, el intervalo de tiempo hacia atrás que se considera paraevaluar el sistema en el problema de optimización.

Minp

[∫t∈Ω

(x1(t)− x1(t))2dt

∫t∈Ω

(x2(t)− x2(t))2dt

∫t∈Ω

(x3(t)− x3(t))2dt

]T(3.1)

La Ec. (3.1) es multiobjetivo ya que se busca minimizar la diferencia e entre los parámetrosreales y estimados dados por x1, x1, x2, x2, x3, x3, los cuales representan la posición angular,velocidad angular y corriente del motor, reales y estimadas.

En el trabajo se utiliza el método de sumas ponderadas para tratar el problemamultiobjetivo y de esta manera combinar las funciones objetivo escalarmente para ser tratadocomo un problema de optimización mono objetivo.

3.3. Restricciones

El sistema se encuentra sujeto a las siguientes restricciones:

a) Sistema real

x = f (x(t), u(t), p) |t ∈ Ω (3.2)

b) Sistema dinámico estimado.

x = f (x(t), u(t), p) |t ∈ Ω (3.3)

c) Condiciones de los estados iniciales

x(t1) = x(t1), x(0) = x0 (3.4)

3.4. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN 15

d) Límites en la señal de control

uMIN ≤ u(t) ≤ uMAX (3.5)

3.4. Planteamiento del problema de optimización

El problema de optimización dinámica en línea consiste en encontrar los parámetrosestimados p =

[p1 p2 p3 p4 p5 p6

]Tde un motor de CD en línea tal que minimice el

error entre la señal de salida del sistema real x y del sistema estimado x sujeto a la restricciónpropia de la dinámica del sistema real (Ec. 3.2) y el sistema estimado (Ec. 3.3) así como loslímites en la señal de control (Ec. 3.5) para así proporcionar un buen desempeño en el sistemade control.

16 CAPÍTULO 3. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE CONTROL ADAPTABLE

Capıtulo 4Computación Evolutiva

4.1. Introducción a la computación evolutiva

El mundo en el que vivimos está en constante cambio. Con la nalidad de sobrevivir enun entorno que cambia dinámicamente, los individuos deben tener la capacidad de adaptarse[25]. La computación evolutiva (CE) es un campo del computo inteligente que emula procesosde la evolución natural, es decir, que la CE se reere a los sistemas de resolución deproblemas basados en computadoras que utilizan modelos computacionales de los procesosevolutivos como la selección natural, supervivencia del mas apto y la reproducción. Diversosalgoritmos evolutivos han sido desarrollados, entre los cuales se incluyen algoritmos genéticos,programación genética, programación evolutiva, estrategias evolutivas, evolución diferencial(ED), evoluciones culturales y coevolución [26].

4.1.1. Elementos del Algoritmo Evolutivo

El proceso de búsqueda de un algoritmo evolutivo se encuentra constituido por lossiguientes componentes:

Una representación de soluciones al problema.

Una función de evaluación para obtener la aptitud o capacidad de supervivencia de losindividuos.

Inicialización de la población inicial.

Un proceso de selección.

Operadores de variación y reemplazo.

En la Figura 4.1 se muestra el algoritmo evolutivo genérico.

17

18 CAPÍTULO 4. COMPUTACIÓN EVOLUTIVA

1. Begin

2. G = 0

3. Crear una población nx − dimensional, X(0), que consiste de ns individuos;

4. Mientras no se cumpla la condición de parada hacer

5. Evaluar aptitud f(xi(t)), de cada individuo, xi(t);

6. Realizar la reproducción para crear la descendencia.

7. Seleccionar la nueva población X(t+1);

8. Avanzar a la nueva generación, por ejemplo, t=t+1

9. Fin

Figura 4.1: Pseudocódigo de un algoritmo evolutivo.

4.2. Evolución diferencial

La ED es una estrategia de búsqueda estocástica basada en población. Fue propuestoen 1995 por Storn y Price para resolver problemas de optimización con parámetros reales.La ED utiliza un operador de mutación simple basado en la diferencia de pares desoluciones (llamadas vectores) con el n de encontrar una dirección de búsqueda basadaen la distribución de soluciones en la población actual. Como mecanismo de reemplazo, elnuevo hijo (llamado vector trial) compite únicamente contra su padre (vector target) y loreemplaza si tiene una mejor aptitud. La recombinación y la mutación son los operadoresde variación usados para generar nuevas soluciones, y un mecanismo de reemplazo provee lacapacidad de mantener un tamaño jo en la población.

La ED utiliza N vectores con D dimensiones, y trata de encontrar ~x el cual optimiza af(~x), donde ~x ε Rn es el vector de soluciones ~x = [x1, x2, ..., xn]T , y cada xi, i = 1, ..., n seencuentra delimitada por Li ≤ xi ≤ Ui. La ED se encuentra compuesta por los siguientesmecanismos:

Mutación

Recombinación

Selección

La mutación tiene como objetivo generar variaciones que desplacen a los vectores soluciónen la dirección y magnitud correcta y en su forma más simple se encuentra representado en laEc. (4.1), donde F ε [0, 1] es el factor de escala que controla la diferencia vectorial ~xr1,G−~xr2,G.

~v,G = ~xr3,G +F (~xr1,G−~xr2,G ), r1 6= r2 6= r3 6= i (4.1)

La recombinación (binomial en este caso) permite el intercambio de información del vectorpadre y del vector mutante al descendiente, donde cada uno de los elementos del vector trialpuede ser tomado del vector padre o del vector de mutación con una probabilidad CR, y

4.2. EVOLUCIÓN DIFERENCIAL 19

j = jrand se da con la nalidad de asegurar que cuando menos se obtenga un parámetro delvector de mutación −→xi como se muestra en la Ec. (4.2), donde CR ε [0, 1].

ui,G =

ui,G si randj[0, 1) < CR o j = jrandxi,G en otro caso

(4.2)

En la Figura 4.2 se muestra la cruza binomial.

Figura 4.2: Cruza Binomial.

El reemplazo de la ED se realiza con base en la aptitud evaluada en la función objetivo,para lo cual se compara el vector trial con el vector target y se mantiene aquel que tengamejor aptitud, lo anterior se encuentra dado en la Ec.(4.3).

~xi,G+1 =

~ui,G si f(~ui,G ) < f(~xi,G )~xi,G en otro caso

(4.3)

En la Figura 4.3 se muestra el esquema del proceso de mutación y recombinación. Lasechas y indican la dirección de desplazo del vector de solución, el tamaño de la echa indicala magnitud del desplazamiento, los puntos representan la posición actual de los vectores desolución y el cuadro punteado representa el área donde estará ubicado el vector resultantedespués de la recombinación.


Figura 4.3: Recombinación y mutación.

4.2.1. Variantes de la ED

La nomenclatura usada para identicar las variantes de la ED se encuentra dada porDE/a/b/c donde `DE' se reera a Evolución Diferencial, `a' se reere al criterio de selecciónde uno de los individuos a usar en el vector de mutación (llamado vector base), `b' se reereal número de diferencias calculadas en el vector de mutación y `c' se reere al operador derecombinación elegido [27].

La variante más popular es DE/rand/1/bin (ver Figura 4.4), donde `rand' indica que elvector base usado en la mutación se obtiene aleatoriamente. El `1' indica que solo un parde vectores serán usados en la mutación diferencial. La palabra `bin' indica que se utilizarárecombinación binomial.

4.2. EVOLUCIÓN DIFERENCIAL 21

1. Inicio

2. G = 0

3. Se crea la población inicial aleatoria Xi,G ∀i, i = 1, ..., NP

4. Evaluar f(xi,G)∀i, i = 1, ..., NP

5. For G = 1 to MAX_GEN Do

6. For i = 1 to NP Do

7. Seleccionar aleatoriamente r1 6= r2 6= r3:

8. jrand= randint(1,D)

9. For j=1 to D Do

10. If (randj [0, 1) < CR or j = jrand) Then

11. ui,j,G = xr3,j,G + F (xr1,j,G − xr2,j,G)

12. Else

13. ui,j,G = xi,j,G

14. End If

15. End For

16. If( f(ui,G) ≤ f(xi,G) ) Then

17. xi,G+1 = ui,G

18. Else

19. xi,G+1 = xi,G

20. End If

21. End For

22. G = G + 1

23. End For

24. Fin

Figura 4.4: Algoritmo DE/rand/1/bin. randint(min,max) es una función que regresa unnumero entero entre min y max. rand[0,1] es una función que regresa un número real entre0 y 1. NP, MAX_GEN, CR y F son parámetros denidos por el usuario. D es la dimensióndel problema.

En la Tabla 4.1 se listan las principales variantes de la ED, donde se muestra quelos procedimientos para recombinación utilizados son binomial (bin) y exponencial. En larecombinación binomial se elige para cada variable en el vector, un número aleatorio entre[0,1) y si éste es menor o igual que el valor CR entonces la variable se toma del vector demutación ~v, de lo contrario se toma del vector padre ~x. En la recombinación exponencial seelige de la misma forma que la binomial, con la diferencia de que en cuanto encuentra unvalor aleatorio mayor a CR, las variables restantes se toman del vector padre. Las variantesbest son aquellas donde el vector base es el mejor vector de toda la población actual.


Nomenclatura Modelo

rand/p/bin ui, j =

xr3,j + F

∑pk=1(xrp1 ,j − xrp2 ,j) si randj [0, 1) < CR o j = jrand

xi, j en otro caso

rand/p/exp ui, j =

xr3,j + F

∑pk=1(xrp1 ,j − xrp2 ,j) mientras randj [0, 1) < CR o j = jrand

xi, j en otro caso

best/p/bin ui, j =

xbest,j + F

∑pk=1(xrp1 ,j − xrp2 ,j) si randj [0, 1) < CR o j = jrand

xi, j en otro caso

best/p/exp ui, j =

xbest,j + F

∑pk=1(xrp1 ,j − xrp2 ,j) mientras randj [0, 1) < CR o j = jrand

xi, j en otro casocurrent− to− rand/p ~ui = ~xi +K( ~xr3 − ~xi) + F

∑pk=1(~xrp1

− ~xrp2 )

current− to− best/p ~ui = ~xi +K( ~xbest − ~xi) + F∑p

k=1(~xrp1− ~xrp2 )

current− to− rand/p/bin ui, j =

~xi,j +K(~xr3,j − ~xi,j) + F

∑pk=1(~xrp1 ,j − ~xrp2 ,j) si randj [0, 1) < CR o j = jrand

xi, j en otro caso

rand/2/dir ~vi = ~v1 + F2

( ~v1 − ~v2 + ~v3 − ~v4) donde f( ~v1) < f( ~v2) y f( ~v3) < f( ~v4)

Tabla 4.1: Principales modelos de la ED

Las variantes de la ED pueden ser agrupados en tres categorías de acuerdo a sus operadoresde recombinación:

Recombinación discreta.

• DE/rand/1/bin• DE/rand/1/exp• DE/best/1/bin• DE/best/1/exp

Recombinación aritmética.

• DE/current− to− rand/1• DE/current− to− best/1

Recombinación aritmética-discreta.

• DE/current− to− rand/1/bin• DE/current− to− best/1/exp

4.3. Manejo de restricciones

Los algoritmos evolutivos en general fueron diseñados para resolver problemas sinrestricciones, por lo que la información de factibilidad de soluciones debe incorporarsemediante técnicas de manejo de restricciones, las cuales conforman un área de investigacióndentro de los algoritmos evolutivos.

En [28] se agrupan los métodos en cuatro categorías:

1. Métodos basados en preservar la factibilidad de las soluciones.

2. Métodos basados en funciones de penalizacion.

3. Métodos en los cuales se distingue claramente la factibilidad y la no factibilidad.

4.3. MANEJO DE RESTRICCIONES 23

4. Otros métodos híbridos

En este trabajo se realiza el manejo de restricciones mediante funciones de penalización,el cual se basa en transformar el problema de optimización con restricciones en uno sinrestricciones. Para realizarlo se suma una cantidad a la aptitud del individuo basada enla magnitud de la violación de las restricciones. Las funciones de penalización pueden serclasicadas en dos tipos [29]:

Exterior. A partir de una solución no factible el proceso se moverá hacia la zonafactible. Esta es la penalización que se utiliza en el presente trabajo de tesis.

Interior. La magnitud de penalización se elige de manera que su valor sea pequeño enpuntos lejanos a los límites de la zona factible y la no factible, y que tienda a innitopara puntos cercanos a ese límite.

Para poder dirigir al algoritmo a un óptimo global factible se necesitan elegir los valoresadecuados para la magnitud de penalización, llamados factores de penalización. Algunasalternativas enfocadas a este aspecto son las siguientes [29]:

Pena de muerte. Propone asignar una aptitud de cero a los individuos no factibles.

Penalizaciones estáticas. Asume que los factores de penalización permanecen sincambios durante el proceso.

Penalizaciones dinámicas. El grado de penalización depende del tiempo o generaciónen la que se encuentre, donde generalmente la penalización es mas severa en etapasavanzadas.

Penalización basada en factibilidad. En [30] Kalyanmomoy Deb propone unmétodo que corresponde a la segunda y tercera categorías descritas en [28]. Un torneobinario para el operador de selección, donde dos soluciones se comparan siguiendo lossiguientes criterios:

• Una solución factible es elegida sobre una no factible.

• Entre dos soluciones factibles, se preere aquella que tenga la mejor aptitud (mejorvalor en la función objetivo).

• Entre dos soluciones no factibles, se elige la de menor valor de violación.

En el presente trabajo se utilizan dos tipos de penalización que corresponden a su veza la clasicación de penalización exterior. La penalización estática, donde si existe unaviolación en la restricción de voltaje que se maneja se procede a penalizar aumentando en1000 unidades el valor de aptitud, esta penalización se menciona en el documento comovariante − ED/penalización. El segundo tipo de penalización utilizado es la penalizaciónbasada en factibilidad, para su distinción en las variantes utilizadas en el documento senombra como variante− ED/regla de Deb.

Capıtulo 5Resultados

En este capítulo son analizados los resultados obtenidos. En la sección 5.1 se especicanlas herramientas y parámetros utilizados en el sistema de control adaptable, asi como losparámetros utilizados en los algoritmos para su ejecución. En la sección 5.2 se realiza unacomparativa entre algunas variantes de la ED para identicar al de mejor desempeño. Esteestudio se centró en variantes best de ED, pues en estudios preliminares se observó queestas variantes fueron mucho más estables que las variantes rand. Las variantes rand sepretenden retomar como trabajo futuro. En la sección 5.3 se hace una comparación estadísticaentre el algoritmo con mejor comportamiento mostrado en la sección anterior contra elcontrolador clásico PI. En todos los casos, cada vector de la ED representa el conjuntode seis parámetros estimados del motor de CD y la función objetivo es aquella expresada enla Ec. (3.1).

5.1. Diseño experimental

Las pruebas fueron realizadas utilizando una computadora con procesador Intel Corei5-3317U 1.70 GHz, memoria 4 GB en un sistema operativo Windows 8.1 para 64 bits.

La simulación se llevó a cabo utilizando el programa MATLAB R2013a.Para las pruebas estadísticas se utilizó el programa XLSTAT desarrollado por Addinsoft

el cual es una herramienta estadística para Microsoft Excel, misma que se utilizó para larealización de los test de Kruskall-Wallis, Friedman y Wilcoxon en la comparación entrealgoritmos. Las cuales permiten comparar la distribución entre muestras para poder concluirsi existe diferencias signicativas entre ellas.

Los parámetros de los algoritmos fueron calibrados de manera automática utilizando laherramienta Irace (Iterated Racing Procedure) [31].

Las ganancias utilizadas en el control por dinámica inversa son, kp = 34524 y kd = 368.Para simular el comportamiento dinámico del motor se utilizó el método de Euler con un

paso de integración ∆t = 5× 10−3s, con un tiempo inicial t0 = 0s y tiempo nal tf = 6s, setoma en cuenta que para el tiempo inicial la posición angular, velocidad angular y corrientedel motor es cero x0 =

[0 0 0

]. Se toma como restricción de voltaje que debe estar en un

rango de −70volts ≤ u ≤ 70volts. Se eligen los parámetros reales del motor mostrados en laTabla 5.1.

25

26 CAPÍTULO 5. RESULTADOS

Parámetro Valor

J0 3.45× 10−4Nms2

km 0.3946Nmb0 5.85× 10−4Nms2

Ra 9.665Ωke 0.4133V/radsLa 102.44× 10−3HTL 0

Tabla 5.1: Parámetros nominales del motor, donde J0 es la inercia del motor, km es laconstante de par, b0 es el coeciente de fricción viscosa, Ra es la resistencia de armadura, kees la constante de la fuerza contra-elctromotriz, La es la inductancia de armadura y TL es lacarga o par del motor.

El sistema de control propuesto se utilizó para el problema de regulación y seguimiento1.Se propone para el problema de regulación la referencia wr = 40rad/s. Para el problema

de seguimiento se utiliza la trayectoria mostrada en las Ec. (5.1) - (5.3).

wr = 40sin(2πt)rad/s (5.1)

wr = 80πcos(2πt)rad/s2 (5.2)

wr = −160π2sin(2πt)rad/s2 (5.3)

En los casos de prueba que se analizan se realizaron ejecuciones en 0s ≤ t ≤ 6s, donde enambos problemas (regulación y seguimiento) se toman en cuenta los parámetros nominalesmostrados en la Tabla 5.1 y para el sistema real se toman como base los parámetros nominalespresentando las variaciones que se detallan a continuación:

Regulación 1 y Seguimiento 1: Se varían los parámetros reales durante el periodo detiempo 2s ≤ t ≤ 4s utilizando la función sin con respecto al tiempo y con frecuenciasdiferentes para cada parámetro, la cual sumada al parámetro afectado puede aumentardesde cero hasta un máximo de 10% de su valor nominal (este comportamiento sedenomina en el documento como parámetros dinámicos y se presentan en la Tabla 5.2).

Regulación 2 y Seguimiento 2: Se utilizan los parámetros del sistema real acordes a losparámetros nominales (ver Tabla 5.1) y se varían los parámetros de manera dinámicaen el periodo de tiempo 0s ≤ t ≤ 6s como se muestra en la Tabla 5.2).

1

Los dos problemas de control son el problema de regulación y el problema de seguimiento [24].El problema de regulación consiste en encontrar la señal de control u de tal forma que lımt→∞ ˙qm(t) = wr,

donde wr es la velocidad deseada dada como vector constante.El problema de seguimiento consiste en encontrar la señal de control u de tal forma que lımt→∞ e(t) = 0,

donde e(t) = wr(t)− ˙qm(t) es el error en velocidad.

5.2. ANÁLISIS DE COMPORTAMIENTO DEL ALGORITMO DE OPTIMIZACIÓN 27

Parámetro Valor

J0 J0 + 0.10× J0 × sin(2Π13t)

km km + 0.10× km × sin(2Πt)

b0 b0 + 0.10× b0 × sin(2Π12t)

Ra Ra + 0.10×Ra × sin(2Π13t)

ke ke + 0.10× ke × sin(2Πt)

La La + 0.10× La × sin(2Π12t)

TL 0

Tabla 5.2: Parámetros reales dinámicos del motor, donde J0 es la inercia del motor, km es laconstante de par, b0 es el coeciente de fricción viscosa, Ra es la resistencia de armadura, kees la constante de la fuerza contra-elctromotriz, La es la inductancia de armadura y TL es lacarga o par del motor.

Se dene al error en velocidad como e(t) = wr(t)− ˙qm(t), donde wr es la trayectoria deseadaen velocidad y ˙qm(t) es la trayectoria real del sistema. El error promedio se encuentra dadocomo ex =

∫ tft

e(t)

tf−tdt para t = 1.6s y tf = 6s, el cual se reere a la media del error en

velocidad. El error promedio tiene un tiempo inicial t = 1s ya que es el tiempo aproximadoen que el controlador PI y el controlador adaptable basado en evolución diferencial CAEDse estabilizan. La desviación estándar del error es representada por eσ y se toma en cuentapara t ≥ 1.6s. La señal de control generada en todo el tiempo para cada caso de prueba seencuentra representada por ‖u‖.

5.2. Análisis de comportamiento del algoritmo de

optimización

En esta sección se analiza el comportamiento obtenido con el controlador basado enlas variantes de la evolución diferencial: Best/1/bin/penalización, Best/1/bin/regla de Deb,Curret− to− best/penalización y Current− to− best/regla de Deb, donde en las variantesmencionadas, la palabra `penalización' se reere a penalización estática, en el presente trabajose utiliza una constante de penalización de 1000 unidades las cuales son agregadas al valor deerror obtenido por la función objetivo en caso de que viole la restricción de voltaje propuesta.

Los algoritmos fueron calibrados con la herramienta i-Race, los parámetros utilizados sedescriben en la Tabla 5.3, donde CR es la probabilidad de cruza, F es el factor de escala,NP es el tamaño de la población y tR es el tiempo de retroceso utilizado en el calculo deintegración para obtener el error en velocidad.


Algoritmo Manejo de restricciones K CR F NP tRCurrent− to− best (CTBP) Penalización 0.6302 0.5992 0.3567 42 10Current− to− best (CTBRD) Regla de Deb 0.8684 0.6516 0.4281 112 9Best/1/bin (B1BP) Penalización - 0.8118 0.4019 50 10Best/1/bin (B1BRD) Regla de Deb - 0.8869 0.5639 65 9

Tabla 5.3: Parámetros calibrados por la herramienta i-Race

Se realizaron 10 ejecuciones de cada problema, utilizando los algoritmos que se estudian,y se obtuvieron los resultados estadísticos mostrados en la Tabla 5.4, donde se anota la normade error obtenida en cada una de las ejecuciones. Se registran únicamente las ejecuciones concomportamiento aceptable, es decir, el error en trayectoria fué menor al 5 % con respecto ala trayectoria deseada para todo instante de tiempo, se marcan con guión `-' los resultadosno aceptables.

El número de resultados no satisfactorios por algoritmo fueron: 4 con el algoritmo B1BP(en regulación 2 ), 2 utilizando B1BRD (1 en regulación 1 y 1 en regulación 2 ), 2 con elalgoritmo CTBP (1 en regulación 1 y 1 en regulación 2 ) y 1 utilizando CTBRD (en regulación2 ). Con lo anterior se observa que el algoritmo menos able es el B1BP, y el algoritmo masable es el CTBRD el cual sólo obtuvo un valor no satisfactorio. El tiempo de respuestaobtenido por los algoritmos presentó una media de 0.3171 seg. Originalmente se buscababajar la barrera de los 5 milisegundos, lo cual se plantea como un trabajo futuro de estatesis.

Regulación 1Algoritmo

Corrida B1BP B1BRD CTBP CTBRD1 2.9641 3.4142 2.5048 1.96452 5.8824 4.8499 2.3579 3.88823 3.4199 - 2.3067 1.69944 3.8861 5.3991 5.5118 2.17995 2.7179 4.679 2.2367 1.78266 9.6626 6.5084 2.7207 2.22667 7.6951 5.5136 3.908 1.77328 3.3285 5.8719 - 2.34369 5.3663 2.465 2.8082 2.260210 3.1186 4.189 2.372 2.2001

Media 4.8042 4.7656 2.9696 2.2318Mediana 3.653 4.8499 2.5048 2.19

Desv. Est. 2.3323 1.2594 1.0814 0.6261

Regulación 2Algoritmo

Corrida B1BP B1BRD CTBP CTBRD1 6.9538 6.5687 - 5.49692 7.5022 6.9558 5.2931 3.25333 - 7.7221 5.6116 4.32574 - 5.5069 4.6116 4.40525 - - 5.2807 5.29216 5.9647 4.9392 4.766 5.70817 5.3584 6.9657 4.0889 3.67428 - 7.052 5.0047 -9 5.0047 6.1263 5.5646 3.759910 6.4904 5.923 5.1967 3.8898

Media 6.2425 6.4177 5.0464 4.4228Mediana 6.2276 6.5687 5.1967 4.3257

Desv. Est. 0.9089 0.8705 0.4890 0.8820a) b)

5.2. ANÁLISIS DE COMPORTAMIENTO DEL ALGORITMO DE OPTIMIZACIÓN 29

Seguimiento 1Algoritmo

Corrida B1BP B1BRD CTBP CTBRD1 3.0121 2.2859 1.3993 1.32282 1.4333 1.7801 1.7366 1.3113 1.3505 1.7481 1.7098 1.44524 1.3885 1.7162 1.6466 1.40915 1.6834 2.045 1.5854 1.43566 1.7265 1.5811 1.2843 1.35647 1.4952 1.7379 1.3611 1.34058 1.4968 1.8127 1.3826 1.46019 2.3463 1.6597 1.3728 1.284110 1.4089 1.6173 2.0222 1.2971

Media 1.73415 1.7984 1.55007 1.36619Mediana 1.496 1.743 1.49235 1.34845

Desv. Est. 0.5361 0.2138 0.2315 0.0658

Seguimiento 2Algoritmo

Corrida B1BP B1BRD CTBP CTBRD1 1.1658 1.829 1.5768 1.41962 1.2108 2.6438 1.6599 1.12133 2.6003 1.4769 1.6541 1.38974 1.3707 1.8798 1.584 1.46055 1.0995 2.0412 2.3379 1.35156 1.2115 1.5632 2.918 1.13157 1.09 3.0749 1.3157 1.04148 1.0643 1.7569 1.5017 1.63569 1.0748 3.4493 1.5433 1.298610 1.3602 1.5431 1.4875 1.2216

Media 1.3248 2.1258 1.7579 1.3071Mediana 1.1883 1.8544 1.5804 1.3251

Desv. Est. 0.4616 0.6904 0.4883 0.1814c) d)

Tabla 5.4: Tabla de resultados: a)Regulación 1, b) Regulación 2, c) Seguimiento 1, d)Seguimiento 2

En la Tabla 5.5 se muestran los resultados de la prueba de Kruskall Wallis y la pruebade Friedman. En la Tabla 5.6 se detallan los resultados de la tabla de Wilcoxon aplicada apares de algoritmos. Las tres pruebas estadísticas anteriormente plantean la hipótesis nulade que la distribución entre las muestras comparadas son iguales. Si el llamado p-value esmenor a 0.05 se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa, que indica que ladistribución entre las muestras comparadas es diferente, por lo que las diferencias observadasen las estadísticas de las ejecuciones son signicativas.

De acuerdo con los resultados obtenidos, se aprecia en la Tabla 5.5 que en los cuatrocasos (problemas de regulación 1, regulación 2, seguimiento 1 y seguimiento 2) se rechaza lahipótesis nula en el test de Kruskall Wallis y en el test de Friedman, por lo tanto se aceptala hipótesis alterna de que las distribuciones entre las muestras son diferentes, por lo que seconcluye que las diferencias observadas en las muestras de ejecuciones son signicativas.

Tabla 5.5: Resultados de las pruebas de Kruskall Wallis y Friedman

ProblemaSignicancia asintótica

Test de Kruskall Wallis Test de FriedmanRegulación 1 <0.0001 0.0013Regulación 2 0.001 0.0406Seguimiento 1 0.001 0.0018Seguimiento 2 <0.0001 0.0004


Tabla 5.6: Resultado de la prueba de Wilcoxon

Test de WilcoxonAlgoritmos Signicancia asintótica

Reg. 1 Reg.2 Seg. 1 Seg.2CTBRD - CTBP 0.076 0.08 0.032 0.011CTBRD - B1BP 0.006 0.036 0.019 0.541

CTBRD - B1BRD 0.009 0.021 0.006 0.006CTBP - B1BP 0.044 0.106 0.683 0.053

CTBP - B1BRD 0.042 0.014 0.041 0.262B1BP - B1BRD 0.813 1 0.476 0.041

En la Figura 5.1 se muestra en grácas de caja los resultados que se encuentran en laTabla 5.4, donde la línea horizontal que divide cada una de las cajas representa la medianaobtenida en el conjunto de 10 ejecuciones independientes.

Figura 5.1: Grácos comparativos entre algoritmos

Considerando los resultados en el problema de regulación 1 (ver Tablas 5.4 a) y 5.1 a) ) seobserva que los valores mas bajos se obtuvieron con el algoritmo CTBP y CTBRD, para loscuales se observan diferencias signicativas con respecto a los algoritmos B1BP y B1BRD.

Observando los resultados en el problema de regulación 2 (ver Tablas 5.4 b) y 5.1 b))los algoritmos que obtienen los valores más bajos son nuevamente el algoritmo CTBP yCTBRD, en la cual el algoritmo CTBRD muestra diferencia signicativa con respecto a B1BPy B1BRD, mientras que el algoritmo CTBP muestra diferencia signicativa con respecto aB1BRD pero no así al compararlo con B1BP.

Analizando el comportamiento en el problema de seguimiento 1 (ver Tablas 5.4 c) y 5.1c)) se observa que los algoritmos CTBP y CTBRD obtienen la media y mediana más bajaque los algorimos B1BP y B1BRD, en el test de Wilcoxon se encuentra que CTBP obtiene

5.3. ANÁLISIS DE RESULTADOS COMPARATIVOS CONOTRA TÉCNICA DE CONTROL31

diferencias signicativas con respecto a B1BRD pero no contra B1BP, sin embargo en B1BPmuestra un valor atípico que es notablemente más grande (3.0121) con respecto al máximovalor obtenido por el algoritmo CTBP (2.0222). Referente al algoritmo CTBRD se encontródiferencias signicativas contra los tres algoritmos con los que se compara, siendo éste el quepresenta la media, mediana y desviación estándar mas baja.

Al comparar los resultados obtenidos en el problema de seguimiento 2 (ver Tabla 5.4 c) y5.1 c)) se aprecia que los algoritmos que obtienen los valores más bajos son B1BP y CTBRD,sin embargo el algoritmo B1BP presenta un valor atípico mayor que el máximo valor obtenidopor CTBRD. El algoritmo CTBRD presenta diferencia signicativa con respecto a CTBP ytiene una media, mediana y desviación estándar menores.

Con lo anterior se puede concluir que el algoritmo que genera un mejor comportamientopara el controlador CAED es el algoritmo CTBRD, ya que presenta la norma de error menorestadísticamente contra los demás algoritmos contra los que se compara. De igual manera senota que de los cuatro algoritmos, es el CTBRD el que presentó únicamente un resultado nofavorable en un instante de tiempo en la ejecución 8 del problema de regulación 2.

Dada esta conclusión, se realizó una comparativa de desempeño entre el controlador clásicoPI, con respecto al control CAED que utiliza la variante CTBRD.

5.3. Análisis de resultados comparativos con otra técnica

de control

Se elige para la comparación al controlador PI ya que es una técnica muy utilizada paraproblemas de control automático. En [32] presenta un controlador PI para un motor síncronode imán permanente alimentado por un convertidor matricial. En [33] se presenta un esquemade control PI de autoajuste difuso para los sitemas de control de velocidad con motoresultrasónicos producidos por Shinsei Corporation en Japón.

5.3.1. Control proporcional-integral

En el control PI [34] se utiliza la Ec.(5.4), donde u es la señal de entrada, kp es la constanteproporcional, ki es la constante integral, e = wr − q es el error que se da entre la velocidaddeseada wr y la velocidad real q del motor.

u = kpe+ ki

∫ t

0

e dt (5.4)

Para su implementación se utiliza la Ec. (5.4), con una constante proporcional kp = 0.15y una constante integral ki = 12.9904.

5.3.2. Comparativa entre el controlador PI y el controlador CAED

basado en el algoritmo CTBRD

La comparación se realiza con base en tres criterios, el criterio de integridad de errorabsoluto (CIEA) dado en la Ec. (5.5), criterio de integridad de error absoluto por tiempo


(CIEAT) representado en la Ec. (5.6) y criterio de integridad de error cuadrático (CIEC)dado en la Ec. (5.7), donde |e(t)| es la norma de error en velocidad que se evalua en elperiodo de tiempo 1s ≤ t ≤ 6s.

∫ 6

1

|e(t)| · dt =6∑i=1

|ei| · dt (5.5)

∫ 6

1

t · |e(t)| · dt =6∑i=1

ti · |ei| · dt (5.6)

∫ 6

1

e2 · dt =6∑i=1

e2i · dt (5.7)

PI CAED

Regulación 1CIEA CIEAT CIEC

MEDIA 191.7617 584.7208 111.1628MEDIANA 191.7617 584.7208 111.1628DESV. EST. 0 0 0


MEDIA 34.2405 102.234 8.3504MEDIANA 31.9373 95.6884 5.646DESV. EST. 6.0609 20.0381 5.6044

a) b)





c) d)

Seguimiento 1CIEA CIEAT CIEC




e) f)





g) h)

Tabla 5.7: Resultados de los criterios de desempeño de los controladores PI y CAED

Al comparar los resultados obtenidos con el CIEA (ver Tabla 5.7) entre el controlador PIy el controlador CAED, se aprecia que el error generado con CAED es notablemente menoren la media y la mediana para los cuatro problemas presentados ( aproximadamente 16.68%del error obtenido en regulación y 0.66% del error obtenido en seguimiento, con respecto alcontrolador PI ), lo que nos indica que la respuesta del controlador CAED es satisfactoria yaque presenta un mejor amortiguamiento ante las incertidumbres presentadas.

Comparando los resultados obtenidos con el CIEAT, el controlador CAED presenta erroresmenores que el control PI en los 4 problemas presentados ( aproximadamente 16.69% del


error obtenido en regulación y 0.73% del error obtenido en seguimiento, con respecto alcontrolador PI ), este criterio castiga de manera más severa cuando los errores son producidosmás tarde, sin embargo la diferencia de error entre ambos controladores es muy fuerte, porlo que se deduce que el control CAED presenta errores muy pequeños durante su ejecución,en comparación con el control PI.

Observando los resultados obtenidos con el CIEC, el controlador CAED tiene los registrosde error menores ( aproximadamente 7.51% del error obtenido en regulación y 0.014% delerror obtenido en seguimiento, con respecto al controlador PI ), dado que este criterio dauna mayor importancia a los errores grandes y menor a los pequeños, la diferencia de errorobtenida entre ambos controladores nos indica que el error presentado en el control PI se hadisminuido de manera drástica al utilizar el control CAED ya que el error converge a ceromás rápidamente.

En las Figuras 5.2-5.5 se muestra el comportamiento gráco del seguimiento en velocidaddel controlador PI (incisos a y c) y del control CAED (incisos b y d). La línea punteadade color rojo representa la velocidad deseada y la línea negra es la velocidad real delmotor. Las leyendas |e(t)|, t |e(t)| y e2(t) representan a los criterios CIEA, CIEAT y CIECrespectivamente. La leyenda ‖v‖ representa la norma en volts de la señal de control.

En las grácas se puede apreciar nuevamente que el controlador CAED presenta un mejorseguimiento en los cuatro problemas presentados al seguir de manera mas el la trayectoriadeseada, presentando errores mas bajos en los criterios de error evaluados.

Figura 5.2: Problema de Regulación 1: PI y CAED con parámetros dinámicos hasta 10% desu valor nominal para 2s ≤ t ≤ 4s.


Figura 5.3: Problema de Regulación 2: PI y CAED con parámetros dinámicos hasta 10% desu valor nominal para 0s ≤ t ≤ 6s.

Figura 5.4: Problema de Seguimiento 1: PI y CAED con parámetros dinámicos hasta 10%de su valor nominal para 2s ≤ t ≤ 4s.


Figura 5.5: Problema de Seguimiento 2: PI y CAED con parámetros dinámicos hasta 10%de su valor nominal para 0s ≤ t ≤ 6s.

Capıtulo 6Conclusiones y Trabajo Futuro

En este trabajo se presentó una opción basada en un algoritmo evolutivo para mejorarel seguimiento en velocidad deseada del sistema de control de un motor de CD bajo elefecto de incertidumbres paramétricas, con respecto a la técnica clásica de control PI.Para ello se utilizó un controlador basado en evolución diferencial. El estudio se basó endos fases principales, primeramente se realizó una comparación entre algunas variantes deevolución diferencial (Best/1/bin/penalización, Best/1/bin/regla de Deb, Curret − to −best/penalización y Current − to − best/regla de Deb), y posteriormente una segunda fasedonde se compara el algoritmo que nos dio un mejor resultado en la fase 1 con respecto alcontrolador PI.

6.1. Observaciones nales

Con base en los resultados obtenidos en la fase 1 se observó lo siguiente:

• El algoritmo que obtuvo el mayor numero de errores durante la trayectoria fue elB1BP ya que se presentó 4 resultados no satisfactorios durante las ejecuciones.

• El algoritmo que logro seguir la trayectoria deseada de manera más able fueel CTBRD, el cual sólo obtuvo un resultado no satisfactorio considerando lasejecuciones en los 4 problemas (regulación 1 y 2, así como seguimiento 1 y2), así como también presentó la menor norma de error entre los algoritmosimplementados.

Con base en los resultados obtenidos en la fase 2 se concluyó lo siguiente:

• El control CAED presenta un mejor amortiguamiento ante las incertidumbrespresentadas.

• El control CAED obtiene errores mas bajos durante el seguimiento de la velocidaddeseada (menos del 17 % con respecto al controlador PI).

• El control CAED converge a cero de manera mas rápida con respecto al controlPI.

37

38 CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTURO

Los resultados nales de ambas fases permiten validar la hipótesis de investigaciónoriginalmente planteada en el Capítulo 1, pues la ED logra encontrar mejores soluciones que elmétodo clásico de control. Sin embargo, el tiempo esperado para tal proceso (5 milisegundos)no fue alcanzado.

6.2. Trabajos Futuros

Tomando en consideración los resultados del algoritmo para dar un mejor seguimiento envelocidad del motor de CD, se plantean como posibles trabajos futuros los siguientes puntoscon la nalidad de minimizar el tiempo de respuesta del algoritmo:

Implementación de microalgoritmos bio-inspirados. Podría permitir una disminución enel numero de evaluaciones realizadas al trabajar con pocos individuos, y esto conllevea su vez en una disminución al tiempo de respuesta.

Implementación de procesamiento paralelo. Se podría implementar de tal manera quese puedan paralelizar las evaluaciones realizadas y de esta manera conseguir tiemposmenores.

Probar las variantes rand para analizar su desempeño en este tipo de problemas decontrol.

Bibliografía

[1] V.N. Krovy Ji-Chul Ryu S.K. Agrawal C.P. Thang, P.T. Miller. Dierentialatness-based planning and control of a wheeled mobile manipulator theory andexperiment. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, 16(4):768773, 2011.

[2] D. Zhang Z. Ma-X. Jing F.Wang, X. Zhao. Robust and precision control for adirectly-driven xy table. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, PartC: Journal of Mechanical Engineering Science, 225(5):11071120, 2011.

[3] Sergey Edward Lyshevski. Nonlinear control of mechatronic system withpermanent-magnet dc motors. Mechatronics, 9(5):539552, 1999.

[4] H. Sira-Ramírez R. Morales, J.A. Somolinos. Control of a DC motor using algebraicderivative estimation with real time experiments. Measurements, 47:401417, 2014.

[5] Wittenmark B. Astrom K. J. Adaptive Control. Prentice Hall.

[6] M. Vidyasagar Mark W. Spong. Robot Dynamics and Control. John Wiley & Song.

[7] Alberto Isidori. Nonlinear Control Systems. Springer-Verlag Berlin and HeidelbergGmbH & Co. K., 1995.

[8] Mark W. Spong Romeo Ortega. Adaptive motion control of rigid robots: A tutorial.Automatica, 25:877888, 1989.

[9] Jean-Jacques E. Slotine. Applied Nonlinear Control. Prentice-Hall, 1991.

[10] Hassan K. Khalil. Nonlinear Systems. Prentice-Hall, 2001.

[11] Yang Shi Jiabo Zhang, Feng Ding. Self-tuning control based on multi-innovationstochastic gradient parameter estimation. System & Control Letters, 58:6975, 2009.

[12] V. Mata-M. Díaz-Rodríguez A. Valera J. Cazalilla, M. Valles. Adaptive control of a3-dof parallel manipulator considering payload handling and relevant parameter models.Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, 30(5):468477, 2014.

[13] M. Willjuice Iruthayarajan and S. Baskar. Evolutionary algorithms based design ofmultivariable pid controller. Expert Syst. Appl., 36(5):91599167, July 2009.

39

40 BIBLIOGRAFÍA

[14] Kong Li Chen Hong. Swarm intelligence-based extremum seeking control. ExpertSystems with Applications, 38(12):1485214860, 2011.

[15] Jaime Alvarez-Gallegos Edgar A. Portilla-Flores Miguel G. Villarreal-Cervantes, CarlosA. Cruz-Villar. Robust structure-control design approach for mechatronic system.IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, 18(5):15921601, 2013.

[16] Bharat Bhushan and Madhusudan Singh. Adaptive control of DC motor using bacterialforaging algorithm. Appl. Soft Comput., 11(8):49134920, December 2011.

[17] Celik Ozturk Ozturk Nihat. Speed control of permanent magnet synchronous motorsusing fuzzy controller based on genetic algorithms. Electrical Power and Energy Systems,43:889898, 2012.

[18] Kalyanmoy Deb. Multi-Objective Optimization using Evolutionary Algorithms. Wiley,2002.

[19] A.E. Eiben J.E. Smith. Introduction to Evolutionary Computing. Springer, 2003.

[20] Benjamin C. Kuo. Sistemas de Control Automático. Prentice Hall, 1996.

[21] Stephen J. Chapman. Máquinas Eléctricas. Mc Graw Hill, 2003.

[22] Katsuhiko Ogata. Dinámica de Sistemas. Prentice Hall, 1993.

[23] Luigi Villani Giuseppe Oriolo Bruno Siciliano, Lorenzo Sciavicco. Robotics: Modelling,Planning and Control. Springer, 2010.

[24] Seth Hutchinson Mark W. Spong and M. Vidyasagar. Robot Modeling and Control. JohnWiley & Sons, inc., 2005.

[25] Andries P. Engelbrecht. Computational Intelligence: An Introduction. Wiley Publishing,2nd edition, 2007.

[26] Agoston E. Eiben and J. E. Smith. Introduction to Evolutionary Computing.SpringerVerlag, 2003.

[27] Carlos A. Coello Coello Efrén Mezura-Montes, Margarita Reyes-Sierra. Multi-objectiveOptimization Using Dierential Evolution: A Survey of the State-of-the-Art. SpringerBerlin Heidelberg, 2008.

[28] Zbigniew Michalewicz and Marc Schoenauer. Evolutionary algorithms for constrainedparameter optimization problems. Evolutionary Computation, 4:132, 1996.

[29] Efrén Mezura-Montes. Uso de la Técnica Multiobjetivo NPGA para el Manejo deRestricciones en Algoritmos GenÃ©ticos. Master's thesis, Universidad Veracruzana,Septiembre 2001.

[30] Kalyanmoy Deb. An ecient constraint handling method for genetic algorithms. InComputer Methods in Applied Mechanics and Engineering, pages 311338, 1998.

BIBLIOGRAFÍA 41

[31] Manuel López-Ibañez, Jérémie Dubois-Lacoste, Thomas Stützle, and Mauro Birattari.The irace package, iterated race for automatic algorithm conguration. Technical ReportTR/IRIDIA/2011-004, IRIDIA, Université Libre de Bruxelles, Belgium, 2011.

[32] Youcef Sou. PI control of permanent magnet synchronous motor fed by a matrixconverter. Power Electronics and Motion Control Conference and Exposition (PEMC),2014 16th International, pages 889892, 2014.

[33] Wen-Li Xu Yi-Sheng Zhong Yu Cheng, Fu-Rong Lei. Speed control of ultrasonic motorsby auto-tuning fuzzy pi control. Intelligent Control and Automation, 2002. Proceedingsof the 4th World Congress on, 3:18821886, 2002.

[34] Katsuhiko Ogata. Ingeniería de control moderna. Pearson, 2010.

Evolución Diferencial para el Control de un Motor de Corriente ...

Documents

Transcript of Evolución Diferencial para el Control de un Motor de Corriente ...