Funciones Ortogonales y Series de Fourier

CAPÍTULO 12

Contenidos

• 12.1 Funciones Ortogonales• 12.2 Series de Fourier• 12.3 Series de Fourier de Cosenos y Senos• 12.4 Series d eFourier Complejas• 12.5 Problema de Sturm-Liouville• 12.6 Series de Bessel y Legendre

12.1 Funciones Ortogonales

El producto interior de dos funciones f1 y f2 en unintervalo [a, b] es el número

DEFINICIÓN 12.1Productos Interiores de Funciones

b

adxxfxfff )()() ,( 2121

Dos funciones f1 y f2 son ortogonales en unintervalo [a, b] si

DEFINICIÓN 12.2Funciones Ortogonales

0)()(),( 2121 b

adxxfxfff

Ejemplo

• Las funciones f1(x) = x2, f2(x) = x3 son ortogonales en el intervalo [−1, 1] puesto que

061

),(1

1

631

1

221

xxdxxff ．

Se dice que un conjunto de funciones de valores reales {0(x), 1(x), 2(x), …} es ortogonal en un intervalo [a, b]

si (2)

DEFINICIÓN 12.3Conjunto Ortogonal

nmdxxxb

a nmnm ,0)(),(),(

Conjuntos Ortonormales

• La expresión (u, u) = ||u||2 se llama norma cuadrada. Por tanto podemso definir la norma cuadrada de una función como

(3)

Si {n(x)} es un conjunto ortogonal en [a, b] con la propiedad de que ||n(x)|| = 1 para todo n, entonces se llama conjunto ortonormal en [a, b].

,)( 22 b

a nn dxx b

a nn dxxx )()( 2

Ejemplo 1

Demuestre que el conjunto {1, cos x, cos 2x, …} es ortogonal en [−, ].Solución Sea 0(x) = 1, n(x) = cos nx, comprobamos que

0 ,0sin1

cos)()() ,( 00

nfornx

n

nxdxdxxx nn

Ejemplo 1 (2)

y

nmnmxnm

nmxnm

dxxnmxnm

nxdxmxdxxx nmnm

,0)sin()sin(

21

])cos()[cos(21

coscos)()(),(

Ejemplo 2

Determine la norma de cada función del Ejemplo 1.

Solución

0 ,||||

)2cos1(21

cos||||

,cos

22

n

dxnxnxdx

nx

n

n

n

22 ,1 02

00 dx

Analogía con Vectores

• Recordando de la teoría de vectores en 3 dimensiones que

(4)tenemos

(5)

Así podemos hacer una analogía entre funciones y vectores.

,332211 vvvu ccc

3

1232

3

322

2

212

1

1

||||

),(

||||

),(

||||

),(

||||

),(

nn

n

n vv

vuv

v

vuv

v

vuv

v

vuu

Desarrollo en Series Ortogonales• Suponga que {n(x)} es un conjunto ortogonal en [a,

b]. Si f(x) está definida en [a, b], escribimos primero

(6)Then

?)()()()( 1100 xcxcxcxf nn

),(),(),(

)()(

)()()()(

)()(

1100

1100

mnnmm

b

a mnn

b

a m

b

a m

b

a m

ccc

dxxxc

dxxxcdxxxc

dxxxf

• Como {n(x)} es un conjunto ortogonal en [a, b], cada término en el lado derecho es nulo, excepto m = n. En este caso tenemos

,...2,1,0 ,)(

)()(

)(),()()(

2

2

ndxx

dxxxfc

dxxccdxxxf

b

a n

b

a nn

b

a nnnnn

b

a n

En otras palabras,

(7)

(8)

Entonces (7) se transforma en

(9)

0

),()(n

nn xcxf

2||)(||

)()(

x

dxxxfc

n

b

a n

n

02 )(

||)(||

),()(

nn

n

n xx

fxf

• Bajo la condición de la definición anterior, tenemos

(10)

(11)

Se dice que un conjunto de funciones de valores reales {0(x), 1(x), 2(x), …} es ortogonal con respecto a una

función peso w(x) en [a, b], si

DEFINICIÓN 12.4Conjunto Ortogonal y Función Peso

nmdxxxxwb

a nm ,0)()()(

2||)(||

)()()(

x

dxxxwxfc

n

b

a n

n

b

a nn dxxxwx )()(||)(|| 22

Conjuntos Completos

• Un conjunto ortogonal es completo si la única función ortogonal continua a cada miembro del conjunto es función nula.

12.2 Series de Fourier

• Una Serie TrigonométricaPodemos demostrar que el conjunto

(1)

es orthogonal en [−p, p]. Así una función f definida en [−p, p] puede escribirse como

(2)

,

3sin,

2sin,sin,,

3cos,

2cos,cos,1 x

px

pxp

xp

xp

xp

1

0 sincos2

)(n

nn xpn

bxpn

aa

xf

• Ahora calculamos los coeficientes.

(3)

Como cos(nx/p) y sin(nx/p) son ortogonales a 1 en este intervalo, entonces (3) se transforma en

• Así tenemos

(4)

1

0 sincos2

)(n

p

pn

p

pn

p

p

p

pdxx

pn

bdxxpn

adxa

dxxf

000

22)( pax

adx

adxxf

p

p

p

p

p

p

p

pdxxf

pa )(

10

• Además,

(5)

por ortogonalidad tenemos

1

0

sincoscoscos

cos2

cos)(

n

p

pn

p

pn

p

p

p

p

dxxpn

xpm

bdxxpm

xpm

a

dxxpma

dxxpm

xf

0sincos

0,0cos

p

p

p

p

xdxpn

xpm

mxdxpm

• y

Así (5) se reduce a

y por tanto

(6)

nmp

nmxdx

pn

xpmp

p ,

0,coscos

paxdxpn

xf n

p

p

cos)(

p

pn dxxpn

xfp

a

cos)(1

• Finalmente, si multiplicamos (2) por sin(mx/p) y usamos

y

obtenemos que

(7)

0sinsin

0 ,0sin

p

p

p

p

xdxpn

xpm

mxdxpm

nmp

nmxdx

pn

xpmp

p ,

0,sinsin

p

p nmp

nmdxx

pn

xpm

,

,0sinsin

La serie de Fourier de una función f definida en elintervalo (−p, p) se determina mediante

(8)donde

(9)

(10)

(11)

DEFINICIÓN 12.5Series de Fourier

1

0 )sincos(2

)(n

nn xpn

bxpn

aa

xf

p

pdxxf

pa )(

10

p

pn dxxpn

xfp

a

cos)(1

p

pn dxxpn

xfp

b

sin)(1

Ejemplo 1

Desarrolle (12)

en una serie de Fourier.SoluciónLa gráfica de f se muestra en la Fig 12.1 con p = .

xx

xxf

0,

0,0)(

221

)(01

)(1

0

2

0

0

0

xx

dxxdxdxxfa

Ejemplo 1 (2)

22

0

00

0

0

)1(11cos

cos1

sin1sin

)(1

cos)(01

cos)(1

nn

n

nnx

n

dxnxnn

nxx

dxnxxdx

dxnxxfa

n

n

←cos n = (-1)n

Ejemplo 1 (3)

De (11) tenemos

Po tanto

(13)

nnxdxxbn

1sin)(

10

1

2 sin1

cos)1(1

4)(

n

n

nxn

nxn

xf

Fig 12.1

Sean f y f’ continuas por partes en el intervalo (−p, p); esto es, sean f y f’ continuas excepto en un número finito de puntos en el intervalo y discontinuidades finitas sólo en estos puntos. Entonces al serie de Fourier de f en el intervalo converge a f(x) en un punto de continuidad. En un punto de discontinuidad, laserie de Fourier converge al promedio

donde f(x+) y f(x － ) denotan el limite de f en x por la derecha y por la izquierda, respectivamente.

TEOREMA 12.1Condiciones de Convergencia

2)()( xfxf

Ejemplo 2

• La función f en el Ejemplo 1, es continua en (−, ) excepto en x = 0. Así que la serie (13) converge a

en x = 0.22

02

)0()0( ff

Extensión Periódica

• Fig 12.2 es la extensión periódica de la función f del Ejemplo 1. Así que la discontinuidad en x = 0, 2, 4, … converge a

y en x = , 3, … converge a

22)0()0( ff

02

)0()( ff

Ch12_29

Fig 12.2

Secuencia de Sumas Parciales

• Secuencia de Sumas ParcialesPara (13), escribimos las sums parciales como

Fig 12.3.

xxxS

xxSS

2sin21

sincos2

4

,sincos2

4 ,

4

3

21

Fig 12.3

12.3 Series de Fourier de Coseno y Seno

• Funciones Pares e Impares

– par si f(−x) = f(x)

– impar si f(−x) = −f(x)

Fig 12.4 Función Par

Fig 12.5 Función Impar

(a) El producto de dos funciones pares es par.(b) El producto de dos funciones impares es impar.(c) El producto de una función par y uan función impar es impar.(d) La suma (diferencia) de dos funciones pares es par.(e) La suma (diferencia) de dos funciones impares es impar.(f) Si f es par, entonces(g) Si f es impar, entonces

TEOREMA 12.2 Propiedades de Funciones Pares e Impares

0)(

)(2)(0

a

a

aa

a

dxxf

dxxfdxxf

Series de Cosenos y Senos• Si f es par en (−p, p) entonces

• De manera similar, si f es impar en (−p, p) entonces

0sin)(1

cos)(2

cos)(1

)(2

)(1

0

00

p

pn

pp

pn

pp

p

xdxpn

xfp

b

xdxpn

xfp

xdxpn

xfp

a

dxxfp

dxxfp

a

p

nn xdxpn

xfp

bna0

sin)(2

,...2,1,0,0

(i) La serie de Fourier de una función par f en elintervalo (−p, p) es la serie de cosenos

(1)donde

(2)

(3)

DEFINICIÓN 12.6

Series de Fourier de Cosenos y Senos

1

0 cos2

)(n

n xpn

aa

xf

p

dxxfp

a00 )(

2

p

n dxxpn

xfp

a0

cos)(2

(continuación)

(ii) La serie de Fourier de una función impar f en elintervalo (−p, p) es la serie de senos

(4)donde

(5)

DEFINICIÓN 12.6

Series de Fourier de Cosenos y Senos

1

sin)(i

n xpn

bxf

p

n dxxpn

xfp

b0

sin)(2

Ejemplo 1

Desarrolle f(x) = x, −2 < x < 2 en una serie de Fourier.SoluciónEstudio de la Fig 12.6, muestra que es una función par en (−2, 2) y p = 2.

Así

(6)

Fig 12.7 es la extensión periódica de la función del Ejemplo 1.

ndxx

nxb

n

n

12

0

)1(42

sin

1

1

2sin

)1(4)(

n

n

xn

nxf

Fig 12.6

Fig 12.7

Ejemplo 2• L afunción

representada en la Fig 12.8 es impar en (−, ) con p = .De (5),

y por tanto

(7)

x

xxf

0,1

0,1)(

ndxnxb

n

n)1(12

sin)1(2

0

nxn

xfn

n

sin)1(12

)(1

Fig 12.8

Fenómeno de Gibbs

• Fig 12.9 muestra las sumas parciales de (7). Podemos ver qeu la gráfica tiene picos pronunciados cerca de las discontinuidades. Este “exceso” SN no se alisa sino que permanece constante aun cuando el valor de N sea grande. Este comportamiento se conoce como el fenómeno de Gibbs.

Fig 12.9

Desarrollos en Semiintervalos

• Si una función f está definida sólo para 0 < x < L, podemos suministrar una función arbitraria para −L < x < 0.

• Si y = f(x) está definida para 0 < x < L,(i) Reflejar al gráfica respecto al eje y en −L < x < 0;

la función hora es par. Fig 12.10.(ii) Reflejar la gráfica por el origen sobre −L < x < 0;

la función ahora es impar. Fig 12.11.(iii) definir f en −L < x < 0 mediante f(x) = f(x + L).

Fig 12.12.

Fig 12.10

Fig 12.11

Fig 12.12

Ejemplo 3Desarrolle f(x) = x2, 0 < x < L, (a) en una serie de cosenos, (b) en una serie de senos (c) en una serie de Fourier.Solución La gráfica está representada en la Fig 12.13.

Ejemplo 3 (2)

(a)

Entonces

(8)

22

2

0

2

2

0

20

)1(4cos

2

,322

n

Ldxx

Ln

xL

a

LdxxL

a

nL

n

L

1

22

22

cos)1(4

3)(

n

n

xLn

n

LLxf

Ejemplo 3 (3)

(b)

De ahí que

(9)

]1)1[(4)1(2

sin2

33

212

0

2

nn

L

n n

Ln

Ldxx

Ln

xL

b

1

23

12

sin]1)1[(2)1(2

)(n

nn

xLn

nnL

xf

Ejemplo 3 (4)

(c) Con p = L/2, n/p = 2n/L, tenemos

Por tanto

(10)La gráfica de esta extensión se muestra en la Fig 12.14.

nL

xdxLn

xL

b

n

Lxdx

Ln

xL

aLdxxL

a

L

n

L

n

L

2

0

2

22

2

0

22

0

20

2sin

2

2cos

2 ,

322

12

22 2sin

12cos

13

)(n

xLn

nx

Ln

n

LLxf

Fig 12.14

Fuerza Impulsora Periódica

• Considere el siguiente sistema físico

(11)

donde

(12)

es un desarrollo en serie de senos en un semiintervalo.

)(2

2

tfxkdt

xdm

1

sin)(n

np tpn

Btx

Ejemplo 4• Recurriendo a (11), m = 1/16 de slug, k = 4 lb/pie, la

fuerza f(t) con período 2 se muestra en la Fig 12.15. Aunque f(t) actúa en el sistema para t > 0, podemos ampliar al gráfica con período 2 al eje t negativo para obtener una función impar. Con p = 1, de (5) obtenemos

De (11) obtenemos

(13)

ntdtntb

n

n

11

0

)1(2sin2

tnn

xdt

xd

n

n

sin)1(2

4161

1

1

2

2

Ejemplo 4 (1)

Para hallar la solución particular xp(t), sustituimos (12) en (13). Así

Por tanto

(14)

)64(

)1(32

)1(2)4

161

(

22

1

122

nnB

nBn

n

n

n

n

tnnn

txn

n

p

sin)64(

)1(32)(

122

1

12.4 Series de Fourier Complejas

• Formula de Euler eix = cos x + i sin xe-ix = cos x i sin x

(1)

Series de Fourier Complejas• De (1), tenemos

(2)

Usando (2) para remplazar cos(nx/p) y sin(nx/p), se tiene

(3)

,2

cosixix ee

x

iee

xixix

2sin

1

////0

222 n

pxinpxin

n

pxinpxin

nee

bee

aa

1

//0 )(21

)(21

2 n

pxinnn

pxinnn eibaeiba

a

1

/

1

/0

n

pxinn

n

pxinn ececc

donde c0 = a0/2, cn = (an ibn)/2, c-n = (an + ibn)/2. Donde la función f es real, cn y c-n son números complejos conjugados.Tenemos

(4)p

pdxxf

pc )(

121

0 ．

(5)

p

p

pxin

p

p

p

p

p

p

nnn

dxexf

dxxpn

ixpn

xfp

dxxpn

xfpidxx

pn

xfp

ibac

/)(21

sincos)(21

sin)(1

cos)(1

21

)(21

(6)

p

p

pxin

p

p

p

p

p

p

nnn

dxexf

dxpn

ixpn

xfp

dxxpn

xfpidxx

pn

xfp

ibac

/)(21

sincos)(21

sin)(1

cos)(1

21

)(21

Las Series de Fourier Complejas de función f definidaen un intervalo (p, p) están dadas por

(7)

donde (8)

DEFINICIÓN 12.7Series de Fourier Complejas

n

pxinnecxf /)(

,2,1,0,)(21 /

ndxexfp

cp

p

pxinn

• Si f satisface la hopótesis del Teorema 12.1, una serie d eFourier compleja converge a f(x) en un punto de continuidad y al promedio

en un punto de discontinuidad.

2)()( xfxf

Ejemplo 1

Desarrolle f(x) = e-x, < x <, en una serie de Fourier compleja.Solucióncon p = , (8) se obtiene

][)1(2

121

21

)1()1(

)1(

inin

xininxxn

eein

dxedxeec

Ejemplo 1 (2)

Empleando la fórmula de Euler

De ahí se tiene que

(9)

eninee

enineenin

nin

)1()sin(cos

)1()sin(cos)1(

)1(

1

1sinh)1(

)1(2)(

)1( 2

n

ininee

c nnn

Ejemplo 1 (3)

Entonces la serie de Fourier compleja es

(10)

La serie (10) converge al desarrollo de período 2 de f.

n

inxn en

inxf

1

1)1(

sinh)( 2

Frecuencia Fundamental

• El período fundamental es T = 2p y por tanto p = T/2. La serie de Fourier se transforma en

(11)

donde = 2/T se llama frecuencai angular fundamental.

1

0 )sincos(2 n

nn xnbxnaa

n

xinnec

Espectro de Frecuencias

• Si f es periódica y tiene período fundamental T, el conjunto de puntos (n, |cn|) se llama espectro de frecuencias de f.

Ejemplo 2

• En el Ejemplo 1, = 1, por lo cual n ecibe valores de 0, 1, 2, … Usando , vemos de (9) que

Fig 12.17.1

1sinh ||

2

22

nc

i

n

Fig 12.17

Ejemplo 3• Halle el espectro de la onda mostrada en Fig12.18. La

onda es la extensión periódica de la función f:

21

41

41

41

41

21

,0

,1

,0

)(

x

x

x

xf

Ejemplo 3 (2)SoluciónAquí T = 1 = 2p so p = ½. Como f es 0 en (½, ¼) y (¼, ½), (8) se transforma en

2sin

1

21

41

41

2

)1()(

2/2/2

41

41

221

21

2

nn

c

iee

nine

dxedxexfc

n

ininxin

xinxinn

Ejemplo 3 (3)

Es fácil de comprobar que

Fig 12.19 ilustra el espectro de frecuencias de f.

2141

410 dxc

Fig 12.19

12.5 Problema de Sturm-Liouville

• Valores propios y funciones propiasRecuerde el ejemplo Ejemplo 2, Sec 3.9

(1)

Esta ecuación posee soluciones no triviales sólo cuando toma valores n = n22/L2, n = 1, 2, 3,… llamados valores propios. Las soluciones no triviales correspondientes y = c2 sin(nx/L) o simplemente y = sin(nx/L) se llaman funciones propias.

0)(,0)0(,0 Lyyyy

Ejemplo 1

• Se deja como ejercicio demostrar que los tres casos posibles: = 0, = 2 < 0, = 2 > 0, ( > 0), que los valores propios y las funciones propias para

(2)

son respectivamente n = n2 = n22/L2, n = 0, 1,

2, …y y = c1 cos(nx/L), c1 0.

0)(,0)0(,0 Lyyyy

Problema Regular de Sturm-Liouville

• Sean p, q, r y r funciones de valores reales continuas en [a, b], y sea r(x) > 0 y p(x) > 0 para todo x en el intervalo. Entonces se dice que

Resolver (3)

Sujeta a (4)(5)

es un problema regular de Sturm-Liouville. Los coeficientes en (4), (5) se suponen reales e independientes de .

0))()((])([ yxpxqyxrdxd

0)()( 11 ayay 0)()( 22 ayay

Ch12_79

(a) Existe un número infinito de valores propios realesque se pueden arreglar en orden creciente 1 < 2 < 3 < … < n < … tal que n → cuando n → .

(b) Para cada vlor propio hay sólo uan función propia (excepto para multiplos constantes no nulos).

(c) Las funciones propias que corresponden a diferentesvalores propios son linealmente independientes.

(d) El conunto d efunciones propias que corresponden al conjunto de valores propios es ortogonal con respecto a la función pesop(x) en el intervalo [a, b].

TEOREMA12.3 Propiedades del Problema Regular de Strum-Liouville

Demostración de(d)Sean ym e yn be funciones propias correspondientes a valores propios m y n. Entonces

(6)

(7)

De (6)yn (7)ym tenemos

0))()((])([ mmm yxpxqyxrdxd

0))()((])([ nnn yxpxqyxrdxd

')(')()()( mnnmnmnm yxrdxd

yyxrdxd

yyyxp

Integrando la ecuación anterior de a a b, se tiene

(8)

Como todas las soluciones deben satisfacer las condiciones de frontera (4) y (5), de (4) tenemos

0)(')(

0)(')(

11

11

ayBayA

ayBayA

nn

mm

)]()()()()[(

)]()()()()[(

)()(

ayayayayar

bybybybybr

dxyyxp

mnnm

mnnm

b

a nmnm

Para que A1 y B1 no nulas ambas, satisfagan el sistema, el determinante de los coeficientes debe valer cero

De manera similar de (5), tenemos

Así el lado derecho de (8) vale cero.De ahí tenemos la relación de ortogonalidad

(9)

0)(')()(')(

0)(')()(')(

bybybyby

ayayayay

mnnm

mnnm

nm

b

a nm dxxyxyxp ,0)()()(

Ejemplo 2

Resolver(10)

Solución Se debería verificar que para = 0 y < 0, (10) sólo posee la solución trivial. Para = 2 > 0, > 0, la solución general es y = c1 cos x + c2 sin x. Ahora la condición y(0) = 0 implica c1 = 0, así que y = c2 sin x. La segunda condición y(1) + y(1) = 0 implica c2 sin + c2 cos. = 0.

0)1()1(,0)0(,0 yyyyy

Ejemplo 2 (2)

Escogiendo c2 0, tenemos(11)

De Fig 12.20, vemos que hay infinitas soluciones para > 0. Es fácil obtener los valores de > 0. Así que los valores propios son n = n

2, n = 1, 2, 3, …y las funciones propias correspondientes sonyn = sin nx.

tan

Fig 12.20

Problema Singular de Sturm-Liouville

• Existen varias condiciones para (3)– r(a) = y se especifica una condición de frontera del

tipo provisto en (5) en x = b; (12)– r(b) = 0 y se especifica una condición de frontera del

tipo provisto en (4) en x = a. (13)– r(a) = r(b) = 0 y no se especifica ninguna condición

de frontera en x = a ni en x = b; (14)– r(a) = r(b) y las condiciones de frontera y(a) = y(b),

y’(a) = y’(b). (15)

Observaciones:

• La ecuación (3) que satisface (12) y (13) es un problema singular de valores en la frontera.La ecuación (3) que satisface (15) es un problema periódico de valores en la frontera.

• Al suponer que las soluciones de (3) están acotadas en [a, b], de (8) se tiene– Si r(a) = 0, entonces la relación de ortogonalidad

(9) se cumple sin ninguna condición en la frontera en x = a; (16)

– Si r(b) = 0 , entonces la relación de ortogonalidad (9) se cumple sin ninguna condición en la frontera en x = b; (17)

– Si r(a) = r(b) = 0, entonces la relación de ortogonalidad (9) se cumple sin ninguna condición en la frontera en x = a ni en x = b; (18)

– Si r(a) = r(b), entonces la relación de ortogonalidad (9) se cumple con las condiciones de frontera periódicas y(a) = y(b), y’(a) = y’(b). (19)

Forma Autoconjunta

• En realidad (3) es al misma que(20)

Así podemos escribir la ecuación diferencial de Legendre como

(21)

Aquí hallamos que el coeficiente de y es al derivada del coeficiente de y.

0)1('2")1( 2 ynnxyyx

0))()(()()( yxpxqyxryxr

0)1(])1[( 2 ynnyxdxd

• Además, si los coeficientes son continuos y a(x) 0 para todo x en un intervalo, entonces cualquier eduación diferencial de segundo orden

(22)swe puede reformular en la llamada forma autoadjunta (3).

• Para entender el hecho anterior, empezamos desdea1(x)y + a0(x)y = 0

Sea P = a0/a1, = exp( Pdx), = P, entoncesy + Py = 0, y + Py = 0,

Así d(y)/dx = 0.

0))()(()()( yxdxcyxbyxa

• Ahora para (22), sea Y = y, el factor de integración e [b(x)/a(x)] dx. En este caso (22) se transforma en

En resumen, (22) puede transformarse en

......)()(

')(/)()(/)()(/)(

Ye

dxd

Yexaxb

Yedxxaxbdxxaxbdxxaxb

(23) 0)()(

)()(

')()(

"

)/()/(

)/()/(

yexaxd

exaxc

yexaxb

ye

dxabdxab

dxabdxab

• Además, (23) es la misma que (3)

dxabdxabdxab

dxabdxabdxab

exa

xdxpexqexr

yexa

xdeye

dx

d

)/()/()/(

)/()/()/(

)(

)()(,)(,)( donde

0)(

)('

Ejemplo 3

• En la Sec 5.3, vimos que la solución general de al ecuación diferencial paramétrica de Bessel

Dividiendo la ecuación de Bessel entre x2 y multiplicando la ecuación resultante por el factor de integración e [(1/x)] dx = eln x = x, tenemos

)()( es

... ,2 ,1 ,0 ,0)('"

21

2222

xYcxJcy

nynxxyyx

nn

22

22

22

,,/, donde

0)('or ,0)('"

xpxnqxr

yx

nxxy

dx

dy

x

nxyxy

Ejemplo 3 (2)

Ahora r(0) = 0, y de las dos soluciones Jn(x) y Yn(x) sólo Jn(x) está acotada en x = 0. De (16), el conjunto {Jn(ix)}, i = 1, 2, 3, …, es ortogonal con respecto a la función peso p(x) = x en [0, b]. Así

(24)

Siempre quei y por consiguiente los valores propios i = i

2 se definen por medio de un acondición límite en x = b del tipo provisto en (5):

A2Jn(b) + B2Jn(b) = 0 (25)

,,0)()(0 ji

b

jnin dxxJxxJ

Ejemplo 4

• De (21), identificamos q(x) = 0, p(x) = 1 y = n(n + 1). Recuerde de la Sec 5.3 que cuando n = 0, 1, 2, …, la ED de Legendre posee soluciones polinomiales Pn(x). Observamos que r(−1) = r(1) = 0 junto con el hecho de que Pn(x) son las únicas soluciones de (21) que están acotadas en [−1, 1], para concluir que el conjunto {Pn(x)}, n = 0, 1, 2, …, es ortogonal con respecto a la función peso p(x) = 1 en [−1, 1]. Así

nmdxxPxP nm ,0)()(1

1-

12.6 Series de Bessel y Legendre

• Series de Fourier-Bessel Hemos demostrado que{Jn(ix)}, i = 1, 2, 3, …es ortogonal con respecto a p(x) = x en [0, b] cuando i esté definida por medio de

(1)Esta serie ortogonal, o serie de Fourierde generalizada, el desarrollo de una función f definida en (0, b) en términos de este conjunto ortogonal es

(2)

donde(3)

0)()( 22 bJBbJA nn

1

)()(i

ini xJcxf

20

)(

)()(

xJ

dxxfxJxc

in

b

in

i

La norma cuadrada Jn(ix) se define mediante

(4)

Esta serie (2) se llama series de Fourier-Bessel.

b

inin dxxxJxJ0

22 )()(

Relaciones de Recurrencia Diferenciales

• Recordando (20) y (21) da la Sec 5.3, tenemos las relaciones de recurrencia diferenciales como

(5)

(6)

)()]([ 1 xJxxJxdxd

nn

nn

),()]([ 1 xJxxJxdxd

nn

nn

Norma Cuadrada

• El valor de (4) depende de i = i2. Si y = Jn(x)

tenemos que

Al multiplicar por 2xy’, se tiene

0]['

0'

22222

22

ydxd

nxxydxd

yxn

xxydxd

• Integrandopor partes [0, b], se obtiene

Como y = Jn(x), el límite inferior es 0 para n > 0, porque Jn(0) = 0. Para n = 0, en x = 0. Así

(7)

donde y = Jn(x).

0

22222

0

22 )('2bb

ynxxydxxy

,)])[()]([

)(2

2222222

0

22

bJnbbJb

dxxxJ

nn

b

n

• Ahora se consideran tres casos de (1).– Caso I: Si se elige A2 = 1 y B2 = 0, entonces (1) es

(8)Hay un número infinito de raíces positivas xi = ib de (8) (see Fig 5.3), que definen i = xi/b. Los valores propios son positivos y i = i

2 = (xi/b)2. De las raíces negativas de (8) no resulta ningún nuevo valor propio puesto que Jn(−x) = (−1)nJn(x).

0)( bJn

El número 0 no es un valor propio de para ningún n puesto que Jn(0) = 0, n= 1, 2, 3, … y J0(0) = 1. Cuando (6) se escribe como xJn(x) = nJn(x) – xJn+1(x), de (7) y (8) se deduce

(9)

).(2

||)(|| 21

22 bJb

xJ inin

– Caso II: Si se elige A2 = h 0 y B2 = b, entonces (1) es(10)

Hya un número infinito de raíces positvas xi = ib para n = 1, 2, 3, …. Como antes, i = i

2 = (xi/b)2. = 0 no es un valor propio para n = 1, 2, 3, …. Sustituyendo ibJn(ib) = – hJn(ib) en (7), se tiene

(11)

.0)()( bJbbhJ nn

).(2

||)(|| 22

22222 bJ

hnbxJ in

i

iin

– Caso III: Si h = 0 y n = 0 en (10), i se definen da las raíces

(12)Aunque (12) es sólo un caso especial de (10), es la única solución para la cual = 0 es un valor propio. Para n = 0, el resultado en (6) implica que J0(b) = 0 es equivalente a J1(b) = 0.

0)(0 bJ

Como x1 = 1b = 0 es una raíz de la última ecuación y puesto que J0(0) = 1 no es trivial, deducimos de 1 = 1

2 = (x1/b)2 que 1 es un valor propio. Pero no podemso utilizar (11) cuando 1

= 0, h = 0, n = 0, y n = 0. Sin embargo de (4) tenemos

(13)Para i

> 0 podemos usar (11) con h = 0 y n = 0:

(14)

2||1||

2

0

2 bdxx

b

).(2

||)(|| 20

22

0 bJb

xJ ii

La serie de Fourier-Bessel de una función f definida enel intervalo (0, b) se expresa mediante(i)

(15)

(16)donde i se definen mediante Jn(b) = 0.

DEFINICIÓN 12.8Serie de Fourier-Bessel

1

)()(i

ini xJcxf

b

inin

i dxxfxJxbJb

c02

12 )()(

)(

2

(continuación)

(ii)(17)

(18)

donde i se definen mediante hJn(b) + bJ’n(b) = 0.

DEFINICIÓN 12.8Serie de Fourier-Bessel

1

)()(i

ini xJcxf

b

inini

ii dxxfxJx

bJhnbc

022222

2

)()()()(

2

(continuación)

(iii)(19)

(20)

donde the i se definen mediante J’0(b) = 0.

DEFINICIÓN 12.8Serie de Fourier-Bessel

201 )()(

iii xJccxf

,)(2

021 b

dxxfxb

c b

ii

i dxxfxJxbJb

c0 02

02 )()(

)(

2

Si f y f’ son continuas por partes en el intervalo abierto(0, b), entonces un desarrollo de Fourier-Bessel de f converge a f(x) en algún punto donde f es continua y al promedio [f(x+) + f(x-)] / 2 en algún punto donde f es discontinua.

TEOREMA 12.4Condiciones para Convergencia

Ejemplo 1

Desarrolle f(x) = x, 0 < x < 3, enn una serie de Fourier-Bessel , usando función de Bessel de orden uno que satisfacen la condición límite J1(3) = 0.

SoluciónEmpleamos (15) donde ci se expresan mediante (16) con b = 3:

3

0 12

22

2)(

)3(3

2dxxJx

Jc i

ii

Ejemplo 1 (2)

Sea t = i x, dx = dt/i, x2 = t2/i

2, y use (5) en la forma d[t2J2(t)]/dt = t2J1(t):

)()3(

22)(

es desarrollo el Por tanto

)3(

2)]([

)3(9

2

11 2

2

3

0 22

22

3

xJJ

xf

JdttJt

dt

d

Jc

ii ii

iiii

i

i

Ejemplo 2

• Si las i del Ejemplo 1 se definen medianteJ1(3) + J1(3) = 0, lo único que cambia en el desarrollo es el valor de la norma cuadrada. Como 3J1(3) + 3J1(3) = 0 que concuerda con (10) cuando h = 3, b = 3 y n = 1. Así (18) y (17) producen a su vez

)()3()89(

)3(18)(

)3()89(

)3(18

11

21

22

21

22

xJJ

Jxf

J

Jc

ii ii

ii

ii

iii

La serie de Fourier-Legendre de una función f definida en el intervalo ( － 1, 1) se expresa mediante(i)

(21)

(22)donde i se definen mediante Jn(b) = 0.

DEFINICIÓN 12.9Serie de Fourier-Legendre

0

)()(n

nn xPcxf

1

1)()(

212

dxxPxfn

c nn

Si f y f’ son continuas por partes en el intervalo abierto( － 1, 1), entonces un desarrollo en serie deFourier-Legendre (21) converge a f(x) en algún punto donde f es continua y al promedio [f(x+) + f(x-) / 2 en un punto donde f es discontinua.

TEOREMA 12.5Condiciones de Convergencia

Ejemplo 3

Escriba los cuatro primeros términos no nulos del desarrollo de Fourier-Legendre de

Solución De la página 269 y (22):

10

01

,1

,0)(

x

xxf

43

123

)()(23

21

1121

)()(21

1

0

1

1 11

1

0

1

1 00

xdxdxxPxfc

dxdxxPxfc

Ejemplo 3 (2)0)13(

21

125

)()(25 1

0

21

1 22 dxxdxxPxfc

12.22. Fig Véase

...)(32

11)(

16

7)(

4

3)(

2

1)(

que ahí De32

11)157063(

8

11

2

11)()(

2

11

0)33035(8

11

2

9)()(

2

916

7)35(

2

11

2

7)()(

2

7

5310

1

0

351

1 55

1

0

241

1 44

1

0

31

1 33

xPxPxPxPxf

dxxxxdxxPxfc

dxxxdxxPxfc

dxxxdxxPxfc

Fig 12.22

Otra Forma de la Serie

• Si se establece x = cos , x = 1 implica que = 0, x = −1 implica que = . Como dx = −sin d, (21) y (22) se transforma, respectivamente, en

(23)

(24)

donde f(cos ) se ha remplazado por F().

0

)(cos)(n

nnPcF

,sin)(cos)(2

120

dPFn

c nn