SERIES DE FOURIERKATERINE RODRIGUEZ

C.I.: 25.023.008 MATEMATICA IV

Muchas ecuaciones de las ciencias se formulan con derivadas parciales y se resuelven, en ocasiones, descomponiendo la incógnita en series (sumas infinitas). Las series más interesantes son las de potencias y por supuesto las de Fourier. Dado el carácter periódico de tales sumas, las series de Fourier se aplican, por ejemplo, donde surgen procesos oscilantes, como ocurre en las series temporales de naturaleza económica, en electrónica (se aplican por ejemplo en teoría de señales ), en acústica o en óptica. Los problemas teóricos relacionados con la convergencia de las series de Fourier han impulsado avances fundamentales en distintos ámbitos de las matemáticas y siguen siendo considerados hoy como problemas muy difíciles.

En matemáticas, una serie de Fourier descompone funciones periódicas o señales periódicas en la suma de funciones oscilantes simples, como senos y cosenos (o exponentials complejos). El estudio de la serie de Fourier es una rama del análisis de Fourier.

La serie de Fourier Se nombra en honor de Jean-Baptiste José Fourier (1768-1830), que hizo contribuciones importantes al estudio de la serie trigonométrica, después de investigaciones preliminares por Leonhard Euler y Daniel Bernoulli. Fourier introdujo la serie con el fin de solucionar la ecuación del calor en una placa de metal. En las ramas de la Electrónica e Ingeniería se trabajan diferentes formas de señales tales como: sinusoidal, cuadrada y triangular. Todas estas señales mencionadas son periódicas ósea que se repiten luego de un tiempo. La aplicación del osciloscopio nos permite entender un poco mejor como son estas señales que se pueden determinar calculando la Serie de Fourier para cada una de estas.

Las series de Fourier tienen la forma:

Donde y de denominan coeficientes de Fourier de la función F(x).

En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.

Existen varios parámetros que definen una señal y por lo tanto modifican el análisis de las series de Fourier los siguientes son algunos de ellos:

Frecuencia(f): la frecuencia de una señal hace referencia al numero de ciclos que realiza la señal en un periodo de tiempo determinado.

Periodo(T): representa la cantidad de tiempo que una señal toma en cumplir un periodo completo.

Aplicaciones de Fourier:

Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de senoides generados por osciladores eléctrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.

Análisis en el comportamiento armónico de una señal. Reforzamiento de señales.

Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de entrada no es senoidal o cosenoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o Solución en regimen permanente senoidal en el dominio de la frecuencia.

La resolución de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten soluciones particulares en forma de series de Fourier fácilmente computables, y que obtener soluciones prácticas, en la teoría de la transmisión del calor, la teoría de placas, etc.

Las series de Fourier son aplicaciones usadas en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros como uno de los grandes inventos donde la serie de Fourier nos ayuda a comprender las señales que genera el corazón durante su funcionamiento y nos indica los estados que puede tener este en los pacientes.

MUCHAS GRACIAS