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INSTITUCIN EDUCATIVA JAVIERA LONDOO SEVILLA

GUIA N 1: INTERVALOS, DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO

GRADO: 11 AREA: MATEMTICAS PROFESORA: Eblin Martnez M.

ESTUDIANTE:______________________________PERIODO: I DURACIN: 20HrsLOGRO: Resuelve problemas de tipo matemtico a travs de la aplicacin de las propiedadesdel valor absoluto y las desigualdades.INDICADORES DE LOGRO:denti!ico y gra!ico intervalos de n"meros reales.

#plico las propiedades de las desigualdades.$omprendo el concepto de valor absoluto y aplico sus propiedades.COMPETENCIA: Resuelvo y propongo situaciones matemticas %ue tengan solucin a travsdel valor absoluto y las desigualdades en los n"meros reales.

Recordemos que los nmeros naturales Nson los utilizados para contar, enumerar,etc. Los Enteros Z, son un conjunto ms extenso cuyo nombre signifca completos,este conjunto incluye a los nmeros naturales negativos. Los Racionales Q,compuestos de racciones p!q, donde p y q son enteros y qdistinto de cero, loscuales representan decimales fnitos o aquellos que contengan ciras que serepiten indefnidamente "peridicos#. $or ltimo, tenemos a los %rracionales I, querepresentan decimales cuya expansi&n no repite indefnidamente el mismo bloquede nmeros "No peridicos#. Ej. '( y ). *e manera que, el conjunto de losnmeros reales es el que contiene tanto a los racionales como a los irracionales.

+ingn nmero real puede ser a su vez racional e

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El co!"#o de los $%eros re&les &de%'s es deso ( co#i"o, es decir,q"e e#re dos $%eros re&les c"&lesq"ier& e)is#e i*i#os $%erosre&les ( &l lle+&rlos sore l& rec#& se co%ple#&-

R

Consulta: Qu conjunto numrico es an ms grande que los nmeros reales? Qu

caractersticas tiene dicho conjunto?

ean a y b nmeros reales. Entonces tenemos que-

a b si y s&lo si a / b 0 "a / b es positivo#

ba si y s&lo si a b o a 1 b

a 2 b si y s&lo si b a y a su vez a / b 2 0 "a / b es negativo#

ba si y s&lo si a 2 b o a 1 b.

E!e%plos-

a# 3 ( porque 3 / ( 0

b# / 4 5 6( porque "54# / "56(# 1 5 4 7 6( 1 8 y 8 0

c# / 9 2 5 ( porque "5 9# / "5(# 1 5 9 7 ( 1 5 : 2 0

.ropied&des de l&s Desi/"&ld&des0 ean a, b y c nmeros reales-

El nacimiento de los nmeros imaginarios cambi& porcompleto la az de las matemticas y aument&enormemente su potencia. El nuevo nmero descubierto

era la ra;z cuadrada de menos 6 "56#, lo que por muc

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Le( de Trico#o%1&0

I+ersos 2"l#iplici+os0

Desi/"&ld&d de " .rod"c#o0

Los intervalos son subconjuntos de nmeros reales, es decir, todo conjunto de

puntos que pertenezcan a la recta metrizada. Los intervalos se clasifcan y serepresentan de la siguiente orma-

> >

i a, b R, se cumple una y s&lo una de las siguientes relaciones-a 2 b & a 1 b & a b

i a 0, entonces 6!a 0a 2 0, entonces 6!a 2 0 siendo a un nmero real

a.b 0 si y s&lo si

>>

.......

00 ba

"signos iguales# a.b 2 0 si y s&lo si

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%. *ibujar los siguientes intervalos en la recta real, clasi;calos como

abiertos, cerrados o semiabiertos y expr>salos en orma de conjunto-

? 1 @5:, :A B C 1 "5:, :# B D 1 @56, 8A B * 1 "58, 9AB E 1 " 5 , (AB 1 "5 F , #

%%. Gsando la notaci&n de conjunto y de intervaloB escribir los siguientes

intervalos que estn representados en la recta real-

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%%%. Gsando la notaci&n de intervalosB escribir los siguientes intervalos queestn en lenguaje de conjunto-

6# Hx R ! 5 F I x 2 4J 1 @5 F, 4#

(# Hx R ! 5 8 I x 2 0J 1

:# Hx R ! 5 8 I x 2 KJ 1

8# Hx R ! 5 8 I x I 3J 1

9# Hx

R ! 5: 2 x 2 6J 1F# Hx R ! 5( I x I (J 1

3# Hx R x ! 5( I x I 8J 1

4# Hx R ! I x 2 6J 1

NECUAC ONES L NEALES

&na inecuacin es una desigualdad en la %ue aparece una incgnita. 'i el e(ponente de la

incgnita uno) se dice %ue la inecuacin es lineal. Resolver una inecuacin es encontrar losvalores de la incgnita para los cuales se cumple la desigualdad. *a solucin de unainecuacin es) por lo general) un intervalo o una unin de intervalos de n"meros reales. Elmtodo para resolver una inecuacin es similar al utilizado para resolver ecuaciones) peroteniendo presente las propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solucinde una inecuacin con una gr!ica. 'i la solucin incluye alg"n e(tremo del intervalo) en lagr!ica representamos dic+o e(tremo con un crculo en negrita, en cambio) si la solucin noincluye el e(tremo) lo representamos mediante un crculo blanco -transparente.Ejem!" #!$%&'()"1:

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1. Resolver las inecuaciones/a. 0( 1 2 3b. 4 0( 1 3 5 2( 4 6c. 3( 4 0 2( 4 7d. ( 4 8 5 9e. 2( 1 : ; 0g. ( 1 ? 5 2 1 (@3

+. 9( 4 2 5 2 4 :(9 > 0

i. -( 1 2 - ( 4 0 AB. C21 9( 1 6 A

2. Realizar las gr!icas de las soluciones de las inecuaciones anteriores y e(presarlas

en lenguaBe de intervalos.

VALOR A3SOLUTO

'ea a e R) el valor absoluto de a) denotado por a ) es/

=

0

a

a

a

#s pues) a es la distancia %ue e(iste entre el n"mero a y el cero) la cual siempre espositiva.

EBemplo/ 2)2(2 ==P'"#e*(*e% *e! )(!"' (+%"!$&"

i a 0i a 2 0i a 1 0

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Enunciaremos a continuacin algunas propiedades del valor absoluto) las cuales podrn serutilizadas para !acilitar el trabaBo en la resolucin de ecuaciones o inecuaciones %ue incluyenvalor absoluto.

P'"#e*(* 1

P'"#e*(* 2

'i

P'"#e*(*

'i

P'"#e*(* -

P'"#e*(* .

'i entonces

P'"#e*(* /

P'"#e*(*

'ea una variable real y un n"meroreal positivo/

nterpretacin geomtrica de estapropiedad

P'"#e*(*

'ea una variable real y un n"meroreal positivo entonces/

nterpretacin geomtrica de estapropiedad/

P'"#e*(* 'ea una variable real y un n"meroreal positivo entonces/

nterpretacin geomtrica de estapropiedad/

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P'"#e*(* 10 P'"#e*(* 113*e%#4$(!*(*&'#(54$!('6

'i

E7$(7#"5e% 8$e #5)"!$7'(5 )(!"' (+%"!$&"

# continuacin resolveremos algunas ecuaciones %ue involucranvalor absoluto) para esto utilizaremos) siempre %ue sea posible)algunas propiedades enunciadas anteriormente y en los en %ueno sea posible aplicar alguna de dic+as propiedades)resolveremos las ecuaciones correspondientes usando lade!inicin de valor absoluto. #dems es importante tener encuenta %ue toda ecuacin %ue involucre valor absoluto se puederesolver usando la de!inicin.

E7$(7#"5e% 7"5 )(!"' (+%"!$&" *e !( 9"'m( (; < += 7

El valor absoluto de un n"mero real es la distancia entre esen"mero y el cero en la recta numrica) esto es) DaDD>aD.&samos este argumento para resolver ecuaciones con valorabsoluto. For eBemplo) si D(D 0) entonces ( 0 ( >0. For lotanto) la solucin de la ecuacin D(D 0 es >0 y 0.

L(% %"!$7#"5e% *e $5( e7$(7#>5 *e !( 9"'m( (; < += 7,*"5*e ( ? 0 @ 7 e% $5 5me'" "%#)", %"5 (8$e!!"%)(!"'e% 8$e %(%9(7e5:

(; < + = 7 > (; < + = 7

EERCICIO: Resuelve cada una de las siguientes ecuacionesaplicando las propiedades del valor absoluto. Gbserva el eBemplode la ecuacin 8/

8. 732 =x2. 543 =x

0. 51

2

1=x

3. 5213 =+x9. 72 +=+ xx

S"!$7#>58.

For la propiedad :

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o

o o

INECUACIONES CON VALORA3SOLUTO

Resolveremos inecuaciones %ue involucran valor absoluto de

e(presiones de la !orma ) donde y son constantes con

y es una variable real. Fara esto utilizaremos la de!inicin de valorabsoluto) y en los casos en donde sea posible usar alguna de laspropiedades estudiadas las aplicaremos) con el !in de !acilitar elprocedimiento de resolucin.

I5e7$(7#"5e% 7"5 )(!"' (+%"!$&" *e !( 9"'m( (; < + 7 @ (;< + 7

IJu signi!ica D(D5 2 K 'igni!ica %ue ( es un n"mero menor %ue2 unidades desde cero a la recta numrica. *a recta numrica nosayuda a visualizar la situacin. LibuBa la recta numrica.

Gbserva %ue los valores %ue satis!acen la e(presin D(D5 2 estnentre >2 y 2. Es decir) %ue estos valores estn en el intervalo entre>2 y 2) esto es) >2 5 ( 5 2.

P'"#e*(* 12: (; < + 7y c A) si y slo si 4c a( 1 b c.

P'"#e*(* 1: (; < + 7 si y slo si a( 1 b c a( 1 b > c.

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones.Gbserva el eBemplo de la inecuacin 8/

1.

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5.

6.

7.

En consecuencia el conBunto solucin

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8.

9. 23

5

2

3

x

10. 21

1

+

x

x

OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES