Ing_Economica 4ta Semana

LIZ YVONNE PONTE G.

INGENIERIA ECONOMICA

Mdulo: Unidad: Semana: 1 4 4

INGENIERIA ECONOMICA

MATEMATICAS FINANCIERAS:

ANUALIDADES

Mi esposa compr una

lavadora automtica de

7.5 kilos y empezaremos

a pagarla hasta dentro

de un mes.

Te felicito!, nosotros nos

cambiaremos de casa y por suerte

no nos pidieron 3 meses de

anticipo, sino solamente el mes

anticipado.

ANUALIDAD

ANTICIPADA

ANUALIDAD

VENCIDA

ANUALIDAD VENCIDA

ANUALIDAD ANTICIPADA

Suerte que en SAGA

estaba la ropa en

descuento y empezar a

pagar hasta dentro de 6

meses. El Departamento. De lnea

blanca estaba en

descuento, pero los pagos

empiezan al mes.

ANUALIDAD

DIFERIDA

ANUALIDAD

INMEDIATA

ANUALIDAD INMEDIATA

ANUALIDAD DIFERIDA

FRMULA DEL VALOR FUTURO

122 11...11 nn iRiRiRiRRF

i

iRF

n11

Punto de acumulacin

FRMULA DEL VALOR PRESENTE

i

iRP

n11

Punto de clculo

Anualidades constantes

Es un flujo de efectivo constante que se paga o se cobra cada cierto perodo.

Las cantidades deben ser iguales y el intervalo de tiempo entre ellas siempre es el mismo.

Los intereses se acumulan una vez cada perodo.

0 1 2 3 n-1 n

F1 F1 F1 F1 F1

Ao:

Flujos

Actualizados: F1

(1+i)

F1

(1+i)2

F1

(1+i)3

F1

(1+i)n-1

F1

(1+i)n


Las anualidades pueden clasificarse en:

Anualidades ordinarias. Cuando:

m La primera anualidad est un perodo despus que el presente, o;

m La ltima anualidad est junto con el futuro.

Anualidades anticipadas. Cuando:

m La primera anualidad est junto con el presente, o;

m La ltima anualidad est un perodo antes que el futuro.


Anualidades ordinarias

P = A * ( 1 + i )n - 1

( 1 + i )n * i

P = A ( P/A, i%, n )

P = valor presente

A = anualidad

i = tasa de inters para un solo perodo

n = nmero de perodos

F = A* ( 1 + i )n - 1

i

F = A ( F/A, i%, n )

F = valor futuro

A = anualidad

i = tasa de inters para un solo perodo

n = nmero de perodos

Anualidades ordinarias

A = P * ( 1 + i )n * i

( 1 + i )n - 1

A = P ( A/P, i%, n )

A = F * i

( 1 + i )n - 1

A = F ( A/F, i%, n )

Anualidades anticipadas

P = A * ( 1 + i )n 1 *(1+i)

( 1 + i )n * i

P = A ( P/A, i%, n - 1 )

F = A * [ ( 1 + i ) n - 1 ] * ( 1 + i )

i

F = A ( F/A, i%, n - 1 )

A = P /(1+i) * ( 1 + i )n * i

( 1 + i )n - 1

A = P ( A/P, i%, n - 1 )

A = F * i

[ ( 1 + i )n - 1 ] * ( 1 + i )

A = F ( A/F, i%, n - 1 )

Casos:

1. Un ingeniero vende su patente a una empresa y se le ofrece la opcin de un monto de

US$ 12,500 en una sola exhibicin (es decir, inmediatamente) el da de hoy (t = 0) o,

alternativamente, un pago de US$2,000 por ao por los prximos 10 aos, empezando

el prximo ao (t = 1).

Como el ingeniero est pagando un 12% de inters anual por ao por concepto de

hipoteca sobre su casa, decide usar esta misma tasa para evaluar las alternativas. Si

usted fuera este ingeniero, cul de las dos alternativas escogera?

Casos:

Juan, cumpliendo 40 aos y pensando en su jubilacin, planea ahorrar la suma de $ 1,500 por ao sobre un perodo de 25 aos. En promedio el espera ganar 12% de inters anual

c/anualmente, sobre todos los fondos invertidos. Cunto tendra Juan al final de 25 aos?

Respuesta: $200,000 (ignorando fracciones).

Pensando un poco ms all, Juan como demgrafo sabe que si llega a cumplir 65 aos, tendra

una esperanza de vida de ms o menos 16 aos. Asimismo, estima que necesita un ingreso de

unos $25,000 anuales para vivir cmodamente con su esposa. La lgica financiera dicta que a

esa edad ya no se debe tomar mucho riesgo con los fondos, y el piensa poner el ahorro estimado

arriba en una cuenta de ahorros que le dara a lo mucho 9% de inters anual c/anual. Si Juan

retira cada ao $25,000, cunto tiempo -es decir- cuntos aos durarn sus fondos? Respuesta:

14 aos (ignorando fracciones).

Como su fondo de retiro NO cubre su expectativa de vida a los 65 aos, Cunto debera ahorrar entonces cada ao hasta cumplir los 65 aos para que le diera los $25,000 cada ao por 16

aos? Respuesta: $1,558.60.

EJEMPLOS:

SODIMAK, solicita el prstamo XYZ. Si tienes ms de 3 aos como socio y has cumplido con tus compromisos econmicos con la

Cooperativa, puedes ser acreedor de un prstamo de hasta

$100,000.00 para remodelar tu casa a una tasa de inters del 1.75%

mensual sobre saldos insolutos, con un plazo de hasta 36 meses.

Si quieres pagar este prstamo en 36 pagos iguales incluyendo intereses y amortizacin del prstamo, cunto pagaras

mensualmente?

Respuesta: $ 3,767.51

Despus de 15 pagos (o meses) recibes la noticia que has ganado un premio en la lotera y decides de re-embolsar el resto en una sola

exhibicin a la fecha del pago nmero 16, cunto habra que pagar

entonces?

Respuesta: $ 66,884.10

Cul es el valor actual de 6 pagos iguales de $1,500 a una tasa

del 40%, (a) si los pagos se hacen al final de cada ao; (b) si

los pagos se hacen al inicio de cada ao?

(a) P = $1,500 * ( P/A, 40%, 6 ) = $3,251.96

(b) P = $1,500 * ( P/A, 40%, 6 - 1 ) = $4,552.75

n = 6 aos

i = 40% anual

P

A n = 6 aos

i = 40% anual

P

A

Se va a comprar un auto nuevo cuyo valor total es de $240,000. Se pagar un enganche de $40,000 y el resto a 24

mensualidades a una tasa del 8% mensual sobre saldos

insolutos. Cul ser el monto de las mensualidades si se pagan

al final de cada mes?

A = $200,000 * ( A/P, 8%, 24 ) = $18,995.59

Que cantidad constante tendr que depositar en un banco al

36% anual si quiere obtener $450,000 al final del sptimo ao,

haciendo los depsitos al inicio de cada ao?

A = $450,000 * ( A/F, 36%, 7 - 1 ) = $15,662.19

Se ha tomado la convencin de expresar la tasa de

inters en una tasa anual nominal y al aplicarla debe de

especificarse la fraccin del perodo anual en la que se

capitaliza.

F = P ( 1 + j /m )n * m

j = tasa de inters nominal anual m = nmero de perodos en un ao

n = nmero de aos

Obtenga el monto a recibir al final de un ao para $1,000,000 a

una tasa de inters del 48% anual si se capitaliza: (a) anual; (b)

trimestral.

(a) F = $1,000,000 * ( 1 + 0.48 ) 1 = $1,480,000

(b) F = $1,000,000 * ( 1 + 0.48/4 ) 4 = $1,573,519

Calcule el valor de $80,000 despus de dos aos y seis meses

colocados a una tasa del 42% con capitalizacin trimestral.

n * m = 2.5 aos * 4 trimestres por ao = 10 trimestres

F = $80,000 * ( 1 + 0.42/4 ) 10 = $217,126.47

i = 42% anual

F

$80,000

n = 2.5 aos

m = 4 trimestres

En cuanto tiempo se triplica una inversin colocada al 40% con

capitalizaciones trimestrales?

n = ln ( F / P ) = ln ( 3 ) = 11.53 trimestres

ln ( 1 + i ) ln ( 1 + 0.4/4 )

Una inversin ofrece una tasa del 40% con capitalizacin

mensual y otra ofrece el 45% con capitalizacin trimestral.

Cul prefiere usted? (analice un ao).

(a) F = $1 * ( 1 + 0.4/12 )12 = $1.4821

(b) F = $1 * ( 1 + 0.45/4 )4 = $1.5318

La mejor opcin es la tasa del 45% con capitalizacin trimestral.

Tpicos

Tasa efectiva

11

m

ne

m

rr

Tasas equivalentes, si

1111 21

b

n

a

n

b

r

a

r

Tpicos

Perpetuidad

r

AP

Perpetuidad creciente a tasa g

gr

AP

Tpicos

Gradiente aritmtico

Equivalente uniforme de anualidad que se da durante n

periodos, que crece G unidades monetarias cada periodo,

empezando de cero en t=1

11

11n

rrGA

Tpicos

Gradiente geomtrico

n

r

g

gr

AP

1

111

Tpicos

Demostracin de la frmula de anualidades

Sea

nrA

r

A

r

AP

1112

rx

1

1

121 nxxxAxP

Tpicos

Dado que

nn xxxxx 111 12

x

xAxP

n

1

1

r

r

r

rA

r

r

rAP

nn

1

11

1

11

1

1

1

11

1

11

1

1

Tpicos

Resulta

nrr

AP

1

11

Tpicos

Perpetuidad. Partimos de:

nrr

AP

1

11

Si n , el segundo trmino dentro de parntesis cuadrados desaparece

Tpicos

Anualidad desde perpetuidades

nrrA

r

AP

1

1

nrr

AP

1

11

38

Ejemplo anualidad:

Suponga usted comprar una casa que vale hoy $20.000.000 y

solicita al banco un crdito por el total del valor a 15 aos plazo

(180 meses). La tasa de inters es de 0,5% mensual.

Cul deber ser el valor del dividendo mensual ?

Anualidades ...continuacin...

r

rFVA

n

)1(1*1Si: Entonces: nr

rVAF

)1(1*1

As: 771.168)005,1(1

005,0*000.000.20

1801

F

39

Anualidades

Perpetuidad

Considrese un flujo (F1) (anualidad) por montos iguales que se paga a perpetuidad.

Perpetuidad corresponde a un periodo de tiempo lo suficientemente grande para considerar los flujos finales como poco relevantes dado que al descontarlos al ao 0 son insignificantes.

El Valor actual de esa anualidad se define como:

r

FVA 1

...continuacin...

40

Ejemplo perpetuidad:

Suponga usted es de esos afortunados que decide jubilar a los

50 aos y recibir una renta vitalicia de $50.000 mensuales

hasta que muera. La tasa de inters relevante es de 1%

mensual y la empresa que le dar la renta supone una larga vida para usted (suponen podra llegar a los 90, o tal vez 95 o porqu no 100 aos).

Cul es el valor actual del fondo que la empresa debe tener

para poder cubrir dicha obligacin?

Anualidades ...continuacin

000.000.501,0

000.50VA

En rigor, usando la frmula de

valor actual de una anualidad (no

perpetua) se tendra:

Si vive 90 aos: VA=$ 4.957.858

Si vive 95 aos: VA=$ 4.976.803

Si vive 100 aos: VA=$ 4.987.231

Todos muy cercanos a $5 millones

Ejemplo: El seor Juan hace depsitos de $100 al final de cada mes

durante un ao en una cuenta de inversiones que paga el 13%

capitalizable mensualmente. Cul ser el monto acumulado al

trmino del ao?

15.1274

12

13.

112

13.1

100

12

F

Click o [Enter] para ver el resultado.

Ejemplo: Un seor hace depsitos de $ 100 al final de cada mes

durante un ao en una cuenta a plazo fijo que paga el 13%

capitalizable mensualmente. Cul ser el monto acumulado al

trmino del ao, pero sin incluir el ltimo depsito (12vo. pago)?

15.117412

13.1

12

13.

112

13.1

100

11

F


15.1174100

12

13.

112

13.1

100

12

F

Otra forma de resolver el problema es

la siguiente:

Se hace la suposicin de que son 12 pagos, por lo que se calcula el

valor acumulado de los 12 pagos. A la cantidad obtenida se le resta el

pago nmero 12.

Ejemplo: Don Luis desea que su hijo pueda disponer de cierta

cantidad de dinero dentro de dos aos y para ello va a efectuar

depsitos de $150 al final de cada mes en una cuenta de inversiones

que paga el 2% mensual. Si efecta depsitos solamente durante el

primer ao, cul ser el monto acumulado a los dos aos?.

47.255102.1

02.

102.1150

1212

F


Ejemplo: Se deposita al final de cada tres meses y durante 2

aos la cantidad de $350 con una tasa de inters del 13% con

capitalizacin trimestral en el prime ao, y durante el segundo

ao la tasa cambia al 13.5%, cul ser el monto de las

inversin al final del plazo?

4

135.

14

135.1

3504

135.1

4

13.

14

13.1

350

4

4

4

FF = 3,150.91


Ejemplo: La fbrica Hilos Tren est en apuros financieros con sus proveedores, por lo que decide realizar un prstamo a la

institucin financiera XYZ y conviene con el gerente del banco en

saldar la deuda mediante pagos de $1,500 al final de cada mes

durante un ao. Si el banco carga una tasa de inters del 18%

con capitalizacin mensual, cunto prest la fbrica?


26.16361

12

18.

12

18.11

1500

12

P

66.667,16450,1

12

095.

12

095.11

450,1

11

P

Ejemplo: Una pareja de recin casados desea rentar una casa con pago

mensual de $1,450. Pero como tienen algo de dinero ahorrado y no desean

tener cada mes el pendiente de la renta, entonces convienen con el dueo

en pagar por adelantado los 12 meses del ao. Si se aplica un inters del

9.5% capitalizable mensualmente, cul es el valor de los 12 pagos

actuales?

Ejemplo: Qu cantidad hay que depositar hoy para poder efectuar

retiros trimestrales de $500 a partir de los 9 meses de la inversin, el

nmero de retiros ser de 6 y la tasa de inversin es del 12%

capitalizable trimestralmente?

11.553,2

4

12.1

4

12.

4

12.11

500

2

6

P


Resuelva el caso propuesto en clase.

CONCLUSIONES Y/O ACTIVIDADES DE

INVESTIGACIN SUGERIDAS

GRACIAS

Ing_Economica 4ta Semana

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