Leyes de los senos y de los

cosenos

Notación

• Utilizaremos letras mayúsculas como A, B y C, para representar a los ángulos de un triángulo, y letras minúsculas a,b y c, para representar los lados opuestos correspondientes.

•

B

Ca

b

c

A

Ley de los senosSi ABC es un triángulo con lados a, b y c, entonces

aSen A

A

B

C

c

ab

A

B

Cc

a

b

= bSen B

= cSen C

A

B

C

c

ab

A

B

Cc

a

b

Una idea de la demostración:

h

Sea h la altura de cualquiera de los triángulos.

Sen A = hb

o bien, h = b Sen A,

así mismo, Sen B =ha

o bien, h = a Sen B.

.Entonces,

Entonces tenemos que,

aSen A

= bSen B

¿Cómo continuar?

h

La ley de los senos también se puede escribir en su forma Recíproca:

Sen A a

= Sen B b

=Sen C c

.

AplicacionesEjemplo 1(resolución de triángulos). Para el triángulo de la figura, C=102.3 grados, B=28.7 grados y b=27.4 metros. Encontrar los ángulos y lados restantes.

C

ABc

ab

Solución:

El tercer ángulo del triángulo es A = 180 - B - C = 49 grados.

aSen 49

= bSen 28.7

= cSen 102.3

Usando b = 27.4 se obtiene, a =

27.4Sen 28.7

Sen 49 = 43.06 mts.

Y c = 27.4Sen 28.7

= 55.75 mts. Sen 102.3

Por la ley de los senos tenemos que:

.

Ejemplo 2 (área de un triángulo oblicuo). La ideade la demostración de la ley de los senos sugiere una fórmula para el área de triángulos oblicuos.

C

A

B

a

c

bh

C

A B

ha

b

c

Area = 1/2(base)(altura) = (1/2) c (b sen A) = (1/2) bc sen A.

De manera similar se obtienen las fórmulas:

Area = (1/2) ab sen C = (1/2) ac sen B.

Ejemplo 3. Una carrera de veleros se inicia en el punto A se debe llegar al punto B localizado a 52 grados al suroeste. Después se debe ir hasta el punto C que está a 40 grados al sureste y finalmente regresar al punto de partida, como se muestra en la figura. El punto C se encuentra exactamente a 8 kms al sur del punto A. Calcule la distancia total del recorrido.

A

B

C

52

40

8 kms

D

Solución: Como las lineas BD y AC son paralelas, entonces <DBC=<BCA. Entonces el otro ángulo del triángulo es B = 180-52-40 = 88 grados.Por la ley de los senos tenemos que:

aSen 52

= bSen 88 =

cSen 40

Pero b=8, entonces a = 8Sen 88

(sen 52)

¿Cómo continuar?

N

SEO

= 6.308 kms.

Ley de los cosenos

Forma estándar Forma alternativaa2 = b2 + c2 –2bc cos A Cos A = (1/2bc) (b2 + c2 – a2)b2 = a2 + c2 –2ac cos B Cos B = (1/2ac) (a2 + c2 – b2)c2 = a2 + b2 –2ab cos C Cos C = (1/2ab) (a2 + b2 – c2)

Observe que si A=90, entonces a es la hipotenusa de un triángulo rectángulo y de la primera relación se obtiene que a2 = b2 + c2.

Entonces el Teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos.

En un triágulo de ángulos A, B, C y lados a, b, c, se cumplen las siguientes relaciones:

Ejemplo 4. Encontrar los tres ángulos de un triángulo cuyos lados son a= 80 mts., b = 19 mts., c=14 mts.

Solución. B

B=19 mts.C

c=14 mts.

A

a=8 mts.

Por la ley de los cosenos tenemos que Cos B = (1/2ac) (a2 + c2 – b2) = (1/2)(8)(14) (82 + 142 – 192) = -0.4508.

Como cos(B) es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso. De hecho,B = 116.80 grados.

Podemos seguir aplicando la ley de los cosenos para obtener los otros Ángulos, pero es más simple usar ahora la ley de los senos, pues

bSen B =

aSen A

, Sen A = a Sen B b

= 0.37582.

Como B es obtuso, A debe ser agudo entonces A=22.08 grados.

La Fórmula de HerónSi un triángulo tiene lados a, b, c, su área es:

Area = (s(s-a)(s-b)(s-c))1/2, donde s = (1/2)(a+b+c).¿Por qué?

Por el ejemplo 3, sabemos que Area = (1/2) bc sen A = ((1/4)b2c2 sen2A)1/2 = ((1/4)b2c2 (1-cos2A))1/2

= ([(1/2)bc(1+cos A)] [(1/2)bc(1-cos A)])1/2.

Usando la ley de los cosenos se puede ver que

(1/2)bc(1+cos A) =a+b+c 2

-a+b+c 2 = s(s-a)

(1/2)bc(1-cos A) =a-b+c 2

a+b-c 2

= (s-b)(s-c).

Entonces podemos concluir que

Area = (s(s-a)(s-b)(s-c))1/2

Ejemplo 4. Encontrar el área de un triángulo cuyos lados miden a=43 mts., b=53 mts., y c=72 mts.

Solución:

Usando la fórmula de Herón tenemos que

S=(1/2)(a+b+c) = (1/2) 168 = 84.

Entonces,

Area = (s(s-a)(s-b)(s-c))1/2 = (84(41)(31)(12))1/2 = 1131.89 mts.