Libro secundaria 2 bloque 3

BLOQUE 3

M. C. Escher“Path of life II”Xilografía, 1958.

156

157

EJESAprendizajesesperados

Figuras y cuerpos

Medida

Proporcionalidady funciones

Análisis y representación de datos

Sentido numérico ypensamiento algebraico

Forma, espacioy medida

Manejo de la información

• Resuelve problemas que implican efectuarmultiplicaciones o divi-siones con expresiones algebraicas

• Justifica la suma de losángulos internos de cual-quier triángulo o polígo-no y utiliza esta propie-dad en la resolución de problemas.

• Resuelve problemas que implican usar la relación entre unidades cúbicas y unidades de capacidad.

• Lee y comunica in-formación mediante histogramas y gráficas poligonales.

• Resolución de cálculos nu-méricos que implican usar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis, si fuera nece-sario, en problemas y cálculos con números enteros, decima-les y fraccionarios.

• Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebrai-cas, a excepción de la división entre polinomios.

• Formulación de una reglaque permita calcular la suma de los ángulos interio-res de cualquier polígono.

• Análisis y explicitación delas características de los polígonos que permiten cu-brir el plano.

• Relación entre el decíme-tro cúbico y el litro. Deduc-ción de otras equivalencias entre unidades de volumen y capacidad para líquidos yotros materiales. Equiva-lencia entre unidades del Sistema Internacional de Medidas y algunas unida-des socialmente conocidas, como barril, quilates, quin-tales, etcétera.

• Representación algebrai-ca y análisis de una relación de proporcionalidad y = kx, asociando los significados de las variables con las can-tidades que intervienen en dicha relación.

• Búsqueda, organización ypresentación de informa-ción en histogramas o en gráficas poligonales (de series de tiempo o de fre-cuencia), según el caso y análisis de la información que proporcionan.

• Análisis de propiedades de la media y mediana.

Problemas multiplicativos

Competencias que se favorecen:• Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente

CONTENIDO:

TEMA

158 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Resolución de cálculos nu-méricos que

implican usar la jerarquía de las operaciones y

los paréntesis, si fuera necesario, en problemas y cálculos con números ente-

ros, decimales y fraccionarios.P

robl

emas

mul

tipl

icat

ivos

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico158

¿Qué pasó con las reglasde ortografía?

Desde que estabas en la primaria has estado en la escuela traba-jando mucho en la materia de español en conocer todas las reglas de puntuación y ortografía para que las ideas que quieres expresar

cuando escribes queden claras y las personas que lo leen comprendan tu mensaje.Observa el enunciado que a continuación te presentamos sin ningún tipo de puntuación:

el delantero dijo el lateral izquierdo le cometió una falta al portero

¿Entendiste?... No mucho, ¿verdad?Observa ahora qué pasa si le ponemos puntuación:

“El delantero”, dijo el lateral izquierdo, “le cometió una falta al portero”.

El delantero dijo: “el lateral izquierdo le cometió una falta al portero”.

Observa el siguiente enunciado sin puntuación:

como se cayó la lámpara

Pero si ponemos puntuación le damos un orden a la idea y un sentido:

“¿Cómo se cayó la lámpara?”

o bien: ¡Cómo! ¿se cayó la lámpara?

¡Cómo! ¡se cayó la lámpara!

En matemáticas también existen reglas y signos de puntuación que nos ayu-dan a darle a las operaciones el sentido y significado que queremos.

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico 159

Problemas multiplicativos •

En tu calculadora realiza las siguientes operaciones y compara tus resultados con tus compañeros.

1 12 + 5 x 30 =

2 120 - 30 ÷ 3 =

3 14 + 8 -2 x 5 =

4 200 - 4 x 52 + 14 =

¿Que resultados obtuviste?, ¿coinciden con los de tus compañeros? Anali-cen por qué obtienen diferentes resultados y saquen sus propias conclusio-nes al respecto.

Al igual que en el español, las matemáticas requieren de un orden y cier-ta puntuación para que puedas obtener los resultados que esperas o que quieres obtener.

Las siguientes operaciones están hechas en el orden que deben hacerse de acuerdo a lo que los matemáticos han establecido. Trata de investigar qué operaciones se hicieron primero para ver si puedes establecer un orden, de acuerdo a la respuesta.

1 20 + 40 x 4 - 10 ÷ 2 = 175

2 12 - 3 ÷ 3 + 4 x 5 = 31

3 18 + 4 x 3 ÷ 3 x 2 = 26

4 21 - 16 ÷ 2 + 7 x 2 = 27

5 2 x 5 + 8 - 9 = 9

6 9 - 4 x 2 + 6 ÷ 3 + 2 = 5

Así como en el español, en matemáticas se ha establecido un orden y una puntuación para resolver las operaciones. Precisamente porque al resolver-las se daban resultados diferentes, se decidió que deberían de resolverse siguiendo un orden a l que se le llama “Jerarquía de Operaciones” y esta-blece que:

ACTIVIDAD 1

ACTIVIDAD 2


• Problemas multiplicativos

Si en la operación que vas a efectuar hay alguna operación entre paréntesis, se resuelve primero lo que está dentro de él. Es decir, el paréntesis ( ) me dice: “haz ésto primero”.

Los paréntesis reciben el nombre de agrupadores porque agrupan opera-ciones a las que tienes que dar prioridad y pueden ser de tres tipos: los pa-réntesis que conocemos ( ), los corchetes [ ] y las llaves { }. Si tienes varios agrupadores unos dentro de otros, se resuelven de adentro hacia afuera.

Primero resolvemos las potencias y las raíces que encuentres; despues re-solveremos multiplicaciones y divisiones; por último resolveremos las su-mas y restas.

Pero hay una condición más...

En la operación 3 + 4 x 5 =primero resuelvo los productos 3 + 20 =Después las sumas 23

Pero si escribo (3 + 4 ) x 5 =El paréntesis me dice: “haz primero lo que está dentro” 7 x 5 = Y ahora sí, por jerarquía de operaciones hacemos la multiplicación 35

En la operación 3 x 4 ÷ 12=

ambas operaciones pertenecen a la misma jerar-quía, así que no importa qué hagamos primero 12 ÷ 12 = 1

o bien, 3 x 13 = 1

1 260 + 140 ÷ 2 + 150 = 480

260 + 140 ÷ 2 + 150 = 350

Hagamos ejercicios

Veamos un ejemplo:

En los siguientes ejercicios se nos perdieron los agrupadores.Busca dónde debieron haberse colocado para que los resultados sean correctos.

La jerarquía de opera-ciones (también conoci-da como orden o priori-dad de las operaciones) es el conjunto de reglas que indican qué opera-ciones deben realizarse primero en una expresión que incluye varias opera-ciones.En resumen, el orden de las operaciones es:

1. Simplificar expresiones dentro de signos de agru-pación (paréntesis)

2. Calcular potencias y raíces

3. Calcular multiplicacio-nes y divisiones

4. Calcular sumas y restas



2 2 x 3 - 1 + 3 = 7

2 x 3 - 1 + 3 = 10

2 x 3 - 1 + 3 = 8

3 14 + 5 - 9 x 2 = 1

14 + 5 - 9 x 2 = 20

14 + 5 - 9 x 2 = 6

4 5 + 6 x 4 - 10 ÷ 2 = 24

5 + 6 x 4 - 10 ÷ 2 = 39

5 18 -12 ÷ 2 + 25 ÷ 5 = 17

18 -12 ÷ 2 + 25 ÷ 5 = 8

6 16 + 36 ÷ 2 x 2 +49 = 101

16 + 36 ÷ 2 x 2 + 49 = 1734

16 + 36 ÷ 2 x 2 + 49 = 74

7 8 x 32 ÷ 4 + 3 + 5 = 72

8 x 32 ÷ 4 + 3 + 5 = 48

8 23 x 3

4 + 12 = 1

23 x 3

4 + 12 = 5

6

9 34 + 3

2 x 13 + 1

4 = 32

34 + 3

2 x 13 + 1

4 = 2116

10 6.4 x 3.1 + 81 + 4.2 x 1.3 = 34.3

6.4 x 3.1 + 81 + 4.2 x 1.3 = 135.616



Escribe con los signos y agrupadores adecuados las operaciones que se re-quieren para resolver las siguientes operaciones.

11 Teresita compró tres cuadernos de $12, cuatro lápices de $4 y pagó con un billete de $100. Recibió un cambio de $48.

12 José Antonio compró con $50, cinco paletas de $2, tres dulces de $1.25 y unas galletas de $12.50 Su cambio fue de $23.75.

13 Irma compró tres barnices de uñas por $40 cada uno. Le hicieron un des-cuento de $16. pagó con un billete de $200 y su cambio fue de $96.

14 Mariel y Ramón tienen $200 y $400 respectivamente. Si compran tres paraguas de $160, su cambio es de $120.

15 Pilar compró cinco blusas de $210 cada una. Le descontaron $150 del total de su cuenta. pagó con un billete de $1000 y su cambio fue de $100.

16 Andrea compró tres tazas de $20, tres platos de $15 y tres cucharas de $12. pagó con un billete de $500 y su cambio fue de $359.

En el periódico mural de la escuela, debemos poner trabajos de 4 ma-terias. El mural está dividido de la siguiente forma:

6 metros

historia matemáticas

ciencias computación

y

2 metros

x

• ¿Cuánto mide el largo de la sección que se destina a ciencias?

• ¿Puedes calcular su área?

• ¿Cuánto tiene de largo el área que se destina para exponer temas dematemáticas?

• ¿Qué área tiene?

• ¿Cómo puedes encontrar el área total del mural?


TEMA

Resolución de problemas mul-tiplicativos que

impliquen el uso de expresiones algebraicas, a

excepción de la división entre polinomios.

CONTENIDO:

Pro

blem

as m

ulti

plic

ativ

os

Utilizando álgebra enla geometría



La maestra de Matemáticas propone al maestro de cómputo que trabajen un tema en común, como por ejemplo: “Uso de tecnología en ejercicios de geometría”. ¿Cuál es el área que se destinará a matemáticas y computación juntas?

• ¿Si damos valor a x y a y , podemos calcular el valor real de las áreas de trabajo para cada materia?

Supongamos que x vale 2 y y vale 6, Encuentra ahora el área de trabajo con la que cuenta cada materia.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros, expongan y argumen-ten sus estrategias de solución.

Encuentra dos formas diferentes de obtener el área de las siguientes figu-ras. Toma en cuenta que sus representaciones no están hechas a escala.

20 m 8 m

10 m

6 m

30 m 4 m

20 m

3 m

Como podrás darte cuenta, puedes encontrar el área de cada uno de los rectángulos y sumar después las áreas o bien, sumar las longitudes de los datos y encontrar las áreas.

¿Qué pasa si nos falta un dato?

La siguiente figura nos representa una bodega de frutas. Está dividida en dos partes, una que tiene refrigeración y otra que no tiene refrigeración.

Sabemos que la bodega tiene 10 metros de lar-go por 3 de ancho, pero no sabemos cuánto se asignó específicamente para las frutas que re-quieren refrigeración.

10 m

x

Áre

a de

ref

rige

raci

ón

Frutas sin refrigeración 3 m

ACTIVIDAD 1

ACTIVIDAD 2



• ¿Qué largo tiene el área sin refrigeración?

No la conoces exactamente, pero podemos decir que es de 10 metros menos el valor de x, o sea ( 10 - x )

Podemos calcular el área de esta zona multiplicando la medida del largo del área sin refrigeración por el ancho total de la bodega:

3 ( 10 - x ) =

Esto sería igual al área total de la bodega 3(10) menos el área que se asig-na a las frutas de refrigeración 3(x)

Esto significa que: 3 ( 10 - x ) = 3 ( 10 ) - 3 ( x ) = 30 - 3x

• Buscando información para poder encontrar el dato del valor de x en la bodega de frutas, uno de los empleados encontró un plano en el que dice que el área de refrigeración de la bodega es de 6 m2, ¿crees que con este dato podríamos encontrar el valor de x? Siendo así, ya podemos encontrar cuánto mide cada el espacio asignado para frutas en refrigeración y cuánto mide el asignado para frutas sin re-frigeración.

Hagamos algunos ejercicios más:En las siguiente figuras completa los datos que falten para obtener las medidas de los lados de las figuras, las medidas de las áreas de las figuras que se forman y el área total. Construye la expresión algebraica que repre-sente el área total de cada figura.

20 m x

9

1

ACTIVIDAD 3



22

3 18 x

3

8m 72 m2

4m

4

30m2 60 m2

3m

5

3m 10m

10m2

2m



Ahorrando energía...

¿Has oido hablar de los colectores fotosolares? Son dispositivos que producen energía eléctrica a partir de la luz del sol, y están hechas con celdas rectangulares fabricadas de materiales muy especiales.

Lo que hacen estas celdas es transformar la energía del sol en energía eléctrica que se puede aprovechar en las casas para calentar el agua o para calefacción. Los agricultores las utilizan para invernaderos solares, para las plantas de purificación y de desalinización de agua.

En una granja, se decidió comprar paneles solares para reducir el costo en el consumo de electricidad. Cada panel consta de 36 celdas de forma rectangular cuyo largo es dos veces mayor que el ancho, como se mues-tra el el dibujo:

6

3

4 x

6a + 3b

7

8 x12 x



• ¿Puedes calcular el área del panel?

• Si ya conoces el área de cada celda, ¿qué superficie tiene el pa-nel que van a adquirir en la granja?

Toma 36 regletas rojas e imagina que cada una de ellas repre-senta una celda. Construye los diferentes rectángulos que puedas con ellas para ver las opciones que hay de colocar las celdas en el techo de la granja. Encuentra las dimensiones de cada uno de los rectángulos que construiste.

La empresa que vende los paneles envió a la granja una propues-ta para construir el panel de la granja con celdas que miden 2x de largo por 3x de ancho. ¿con cuántas de estas celdas, se cubriría la misma superficie de los 36 celdas que ya habías calculado?

2x

x

Construyendo rectángulos

En el bloque anterior construíste expresiones algebraicas a partir de modelos geométircos: vamos ahora a aplicar esos conocimientos para construir un rectángulo que mida 2x en uno de sus lados y (x+4) en el otro lado.

A la expresión algebraica que consta de un solo término, que en este caso es 2x se le llama monomio y a las expresiones algebraicas que constan de dos términos o más se les llama polinomios, en el rectángulo que cons-truiste el polinomio es ( x + 4)Los polinomios pueden ser binomios si tienen dos términos, trinomios si tienen tres términos. Cuando tienen 4 o más términos se generaliza a polinomios.

Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

a0 +a1x +a2x2 +_ _ _+anxn

donde n es un número entero, que se conoce como el grado del poli-nomio.

Los coeficientes

a0,a1,a2, _ _ _ ,an son nú-

meros reales y an es di-ferente de 0.

El nombre particular que recibe cada polino-mio depende del núme-ro de términos que lo formen.

ACTIVIDAD 4



Construye los rectángulos que representen las siguientes expresiones algebraicas, identifica el monomio y el polinomio en cada expresión algebraica y busca una estrategia para resolverlo.

1 x(x+7)

2 2x ( 3x + 2y +2)

3 a ( x+a)

4 3ab ( 3a + 3b + 3)

5 5y (x + 9)

Ahora te daremos el binomio y el área del rectángulo para que tu encuen-tres el polinomio por el que se multiplicó el monomio.

Con los conocimientos que ya tienes y las fórmulas de figuras geométricas que conoces, ¿cómo te sientes para encontrar las áreas de las siguientes figuras?

2

3 4

21

x2 + x 4x2 + 10x2x

16mn + n15x2 + 6x

4

x + 2

4x8x + 2

Hagamos ejercicios

1x

n

3x

Un monomio es un po-linomio que tiene exac-tamente un término.Por ejemplo, la expre-

sión 7x2y es un mono-mio.

Cuando hablamos de polinomios, monomio es sinónimo de término.

CONTENIDO:

TEMA

170 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Formulación de una regla

que permita calcular la suma de los ángulos interiores de

cualquier polí-gono.Fi

gura

s y

cuer

pos

170

Recordando un pocopara poder empezar

Eje: Forma, espacio y medida

En grados anteriores comprobaste que los ángulos internos de cual-quier triángulo, siempre suman 180o. Esto es un dato muy impor-tante que necesitas tomar en cuenta para trabajar este tema.

También debes recordar que dentro de los polígonos podemos traza dia-gonales, es decir líneas que une un vértice con otro, no consecutivo.Pero aquí va a ser muy importante que hagamos una aclaración respecto a los polígonos para poder seguir trabajando.

Hagan equipos de 4 compañeros y cada uno del equipo construya uno de los siguientes polígonos.

1 2

3 4

ACTIVIDAD 1

• ¿Qué diferencias notas entre los polígonos?

En el polígono que te tocó elije un vértice y marca con una liga las diago-nales que tenga.

• ¿Qué diferencias encuentras en las diagonales?

• ¿Qué tienen diferente entre si los polígonos?

Aquí tendremos que dar una definición de polígonos que probablemente no conocías y que es importante:

Si existen dos puntos que al unirse con un segmento, una parte de éste queda fuera del polígono entonces el polígono es no convexo.

• De los cuatro polígonos que tienen en sus geoplanos, ¿cuáles son con-vexos y cuáles no convexos?

Justifiquen sus respuestas.

Observa ahora los siguientes polígonos, clasifíca-los en convexos y no convexos y justifica tu respuesta.

1

3

2

4

Un polígono es cónca-vo o no convexo si al me-nos uno de sus ángulos internos es entrante.El siguiente polígono es cóncavo:

Si es posible dibujar un segmento de recta con extremos dentro del polí-gono, pero parte del seg-mento fuera de la figura, entonces el polígono es cóncavo.

Un polígono es con-vexo cuando todos sus ángulos internos miden menos que un ángulo lla-no (ninguno de sus ángu-los internos es entrante).El siguiente polígono es convexo:

Es decir, un polígono es convexo si todos sus ángulos internos miden menos de 180°.Más formalmente, se dice que una figura geométrica es convexa si todo segmento con extremos dentro de la fi-gura, todo (el segmento) está dentro de la figura.

Eje: Forma, espacio y medida 171

Figuras y cuerpos •

ACTIVIDAD 2

Eje: Forma, espacio y medida172

• Figuras y cuerpos

Ahora sí... ¡sólo para convexos!A partir de ahora trabajaremos sólo con polígonos convexos, ¿de acuerdo?

Toma tu geoplano y construye, en cualquier lado de él, un polígono.Con ligas marca las diagonales que tiene tu figura y registra tu trabajo en el cuaderno correspondiente.Intercambia geoplanos con tres compañeros más y registra los polígonos de tus compañeros con sus diagonales. Observen detenidamente los polígonos y busquen en qué se parecen y en qué son diferentes.

• ¿Qué figura se forma dentro de los polígonos al trazar las diagonales?

• ¿En todos los polígonos se forma la misma figura que en el tuyo?

Observa ahora los siguientes polígonos que probablemente se parezcan a los de ustedes. Traza sus diagonales.

1 2

3 4

• ¿Qué figura se formó dentro de los polígonos?

• ¿Es la misma figura que se formó dentro de los polígonos que ustedes construyeron?



Polígono Número de lados Número de triángulos en que quedó dividido

Triángulo

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

Nonágono

Decágono

Cómo podrás observar dentro de cualquier polígono, si trazamos las dia-gonales que salen de un vértice, podemos dividir la figura en triángu-los.

Construye en tu geoplano circular los siguientes polígonos que pueden ser regulares o no, marca sus diagonales y llena la tabla:

Analiza los datos de la tabla y responde:

• ¿Cuántos triángulos crees que se formarían dentro de un polígono de 15 lados?, ¿y de 20?, ¿de 100?

• ¿Podrías decir cuántos triángulos se formarían dentro de un polígono de n lados?

• ¿Qué relación encuentras entre el número de lados de un polígono y la cantidad de triángulos que se forma dentro él al trazar las diagonales que salen de un solo vértice?

Si el número de lados de un polígono lo representamos con y el número de triángulos con t, escribe una expresión algebraica que nos diga cuántos triángulos se forman dentro de un polígono.Bien, ahora ya sabes cómo calcular el número de triángulos que se pue-den formar dentro de un polígono, y como ya sabes que los ángulos inter-nos de un triángulo suman 180o, ¿podrías calcular cuánto vale la suma de los ángulos internos de un polígono cualquiera?.....Recuerda, esto es sólo para convexos.

Regresa a la tabla que ya habías llenado y complétala ahora así:

La diagonal de un polígono es el seg-mento de recta que tiene sus extremos en dos vértices no conse-cutivos del polígono. Si el segmento de recta tiene sus extremos en dos vértices consecu-tivos del polígono, en-tonces se trata de uno de sus lados.



• ¿Podrías generalizar una regla para calcular los ángulos internos de un polígono convexo cualquiera?

• Y… si ya tienes la regla para calcular el número de triángulos que hay dentro de un polígono y la regla para calcular la suma de sus ángulos in-ternos, podrías calcular directamente la suma de los ángulos internos de un polígono sólo conociendo el número de sus lados?

Resumiendo…Dentro de todo polígono podemos construir a partir de un vértice, diago-nales que nos dividen al polígono en triángulos.La cantidad de triángulos que se pueden encontrar dentro de un polígono es igual al número de lados del polígono, menos dos.Si T es el numero de triángulos y n el número de lados del polígono, en-tonces tenemos que T= n-2

Si cada triángulo tiene 180o en sus ángulos internos, entonces tenemos que la suma de los ángulos internos de un polígono es igual a 180º por el número de triángulos que contiene.Si S es la suma de los ángulos internos de un polígono tenemos que

S= 180T

Y si fusionamos ambas fórmulas tenemos que:

S=180(n-2)

Comenta con tus compañeros estas fórmulas, compáralas con las tuyas y argumenta en qué son diferentes, en qué son iguales y por qué.

El número de trián-gulos que se pueden formar dentro de un polígono convexo es:

T= n-2

Donde T es el número de triángulos y n es el número de lados del polígono

La suma de ángulos internos de un polígo-no convexo es igual al número de triángulos que se pueden formar dentro de él, multipli-cado por 180°

S= 180T

S= 180(n-2)

Polígono Número de lados Número detriángulos

Suma de losángulos internos

Triángulo

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

Nonágono

Decágono

175

TEMA

Análisis y expli-citación delas caracte-

rísticas de los polígonos que

permiten cubrir el plano.

CONTENIDO:

Figu

ras

y cu

erpo

s

¿Cómo podemoscubrir el piso?


S usana tiene un terreno en la parte de atrás de su casa y quiere re-cubrirlo con algún material porque como sus cuatro hijos juegan mucho al futbol, cuando entran a la casas siempre llevan mucha

tierra en los zapatos y ensucian la casa.Se lo propuso a Sergio, su esposo y a sus hijos y estuvieron de acuerdo.El problema ahora sería ponerse de acuerdo en el tipo de piso que les gustaría poner así que decidieron visitar el zócalo, las plazas, parques, iglesias y demás lugares donde el piso está recubierto para decidir cuál les gustaba.Algunos de los pisos que vieron y les gustaron fueron los siguientes:

Cuando volvieron a casa los hijos de Susana empezaron a hacer propues-tas de cómo cubrir el piso.Juan Pablo propuso que se cubriera con adoquín de forma pentagonal, Mauricio opinaba que mejor el adoquín tuviera forma hexagonal, Sergio votaba por un adoquín heptagonal y Jorge por uno cuadrado.Aun cuando Susana pensaba que lo ideal sería que se cubriera con trián-gulos, les propuso algo a los niños.Hagamos un dibujo cada uno con su diseño y así podremos elegir el que más nos guste.



Formen equipos de 5 compañeros de tal manera que cada uno de los integrantes haga el diseño de los pisos que sugieren.Haz un molde de la figura que elegiste, toma una hoja de papel y empieza a trazar el molde para formar el diseño del piso. Si quieres puedes colo-rear alguna de las figuras para que el piso se vea de colores.

A continuación te damos las figuras que te pueden servir de molde, cópia-las en algún papel grueso como cartulina para que puedas copiarlo varias veces en tu diseño.

Conforme los hijos de Susana empezaron a hacer sus dibujos se dieron cuenta de que no es tan fácil llenar un piso con cualquier figura y que re-quiere tener características especiales.

• Analiza cada una de las figuras, observa bien con cuáles es posible cubrir el piso y con cuales no es posible.

• ¿Encuentras alguna relación entre las figuras con las que no se puede llenar el piso? ¿Por qué crees que no se pueda llenar el piso con algunas figuras?

Aquí va a ser muy importante que tomes en cuenta las medidas de los ángulos internos de los polígonos, que ya tienes en una tabla del tema anterior, ¿recuerdas?Como tus polígonos son regulares entonces puedes dividir la suma de los ángulos internos entre el número de vértices del polígono para saber la medida de cada vértice.

Por ejemplo:En el hexágono sabemos que la suma de sus án-gulos internos es de 720o, lo que implica que cada uno de sus ángulos internos por ser regular, mide 120o.

120o

ACTIVIDAD 1



120o

120o

120o

Si te fijas, para poder cubrir el piso con polígonos regulares, lo que debes hacer es ir colocando alrededor de un vértice, varios de éstos polígonos sin sobreponerlos ni dejar huecos y el ángulo total que deben medir es de 360o. Por ejemplo, los hexágonos encajan perfectamente porque cada uno de sus ángulos inter-nos mide 120o y al sumar tres de ellos se tienen exactamente 360o.

• Calcula ahora con cuáles de los polígonos propuestos se puede hacer el recubrimiento y con cuáles no. Justifiquen sus

respuestas y compárenlas con la de los demás equipos.

Otras formas de cubrir el pisoExisten muchas formas de cubrir un plano (o un piso) y cómo verás lo que se requiere es que elijas figuras tales que, al unir sus vértices sumen exactamente 360o.

Te ponemos algunos ejemplos:Elige una o varias figuras, las que quieras y con ellas llena los planos que se te presentan

Se llama teselado a la cobertura del plano por polígonos de manera que cada punto del plano esté cubierto por solamente un polígono y que dos polígonos se toquen sola-mente en sus lados.

ACTIVIDAD 2



Como verás existen muchas formas de cubrir un plano, ya sea con una figura o con una combinación de figuras. Se puede hacer con figuras regu-lares o irregulares.

Como por ejemplo la obra de Maurits Cornelis Escher, más conocido como M. C. Escher, artista holandés, conocido por sus grabados en madera, xi-lografías y litografías que tratan sobre figuras imposibles, teselaciones y mundos imaginarios.Los teselados Escher han interesado a muchos matemáticos, por su ma-nejo de figuras para cubrir planos. A continuación te presentamos algunas de sus obras.

Maurits Cornelis EscherPaíses Bajos, 1898 - 1972

179

TEMA

Relación entre el decímetro

cúbico y el litro. Deducción de

otras equivalen-cias entre unida-des de volumen y capacidad para

líquidos yotros materiales.

Equivalencia entre unidades

del Sistema Internacional de Medidas y

algunas unida-des socialmente conocidas, como barril, quilates, quintales, etcé-

tera.

CONTENIDO:

Med

ida

¿Le cabe una vez más omás veces?


Ya trabajamos con cubos hechos con regletas y llenaste una tabla. Vamos a retomar esos cubos que construiste para que analices ahora cómo varía el volumen de un cubo en relación con la medida de sus

aristas.Ya no necesitamos que nos digas cuánto mide el largo, el ancho y la altura del cubo, puesto que ya puedes determinar su volumen por medio de la fórmula. Encuentra ahora cuántas regletas blancas requieres para construir cada uno de los cubos y encuentra también cómo varía el volumen de un cubo al variar su arista.Con tus regletas, tú puedes construir hasta el cubo amarillo, pero a partir del verde obscuro, tendrás que juntarte con tus compañeros para construir los demás cubos hasta el cubo naranja.

RegletaMedida de la

aristaRegletas blancas

necesarias VolumenVariación de

volumen

b

r

v

R

a

V

n

c

A

N

1

2

3

1

8

27

1cm3

8cm3

27cm3

8 -1 = 7

27 - 8 = 19

De acuerdo a la tabla que construiste, responde las siguientes preguntas: Si tienes un cubo al que le caben 125 cm3 de agua, ¿cuánto miden sus aristas?

Si se duplica la medida de las aristas del cubo: a ¿Qué cantidad de agua le cabría? b La cantidad de agua que se tenía inicialmente, ¿se duplica?

Si tienes ahora un cubo al que le caben 216 cm3 ¿qué medidas tiene sus aris-tas?Si duplicamos las aristas del cubo:

c ¿Qué cantidad de agua le cabría? d ¿Se duplica la cantidad de agua que tenía inicialmente?

Al cubo que armaste con regletas naranjas se le conoce también como decímetro cúbico, pues es un cubo que mide un decímetro en cada una de sus aristas.Pero… el agua se mide en litros, ¿no?Así es, lo que acabamos de medir es el volumen, y si queremos expresarlo en litros, lo que estamos midiendo es la capacidad.e ¿Podrías decirnos cuál es la diferencia entre volumen y capacidad?

Con tus compañeros y tu maestro hagan una lluvia de ideas acerca de la diferencia entre volumen y capacidad. Den cinco ejemplos de objetos que tienen volumen pero no capacidad, cinco ejemplos de objetos que tienen volumen y capacidad, y discutan la posibilidad de que haya objetos que ten-gan capacidad pero no volumen.

¿Cómo sabemos cuánto le cabe?

Toma un envase de cartón de un litro de leche o de jugo vacío y lávalo bien por dentro. Estás de acuerdo que su capacidad es de un litro, ¿verdad?

Bien, toma con cuidado sus medidas para que calcules su volumen. Es pro-bable que el volumen no sea muy exacto pero deberá estar cerca de los 1000 cm3. Se aproxima mucho al cubo que armaste con regletas naranjas.

Trata de que las medidas que tomes sean lo más exactas posibles para que te acerques más a los 1000 cm3. Compara las medidas de tu envase con las de tus compañeros para ver que todas son aproximadamente de 1000 cm3.

Se conoce como vo-lumen a la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo.

Su unidad de medida es el metro cúbico.

La capacidad de un re-cipiente es el volumen del objeto que lo llena.

La unidad de medida de capacidad es el litro. Un litro equivale a un

decímetro cúbico (m3).


• Medida

Bien… ahora toma bien la medida del alto de tu bote, vas a marcar la mitad y vas a cortar sólo tres lados de él, de tal manera que lo puedas doblar como se muestra en el dibujo:

Trata de llenar el bote con regletas naranjas para que calcules cuántos centí-metros cúbicos (o regletas blancas) le caben dentro. Es probable que tenga-mos un ligero margen de error por las medidas del bote y porque quedarán espacios pequeños sin poderse rellenar con las regletas.Si lo requieres cambia regletas naranja por su equivalente en regletas de otro color.

Como podrás darte cuenta, un litro equivale a 1000 cm3 o 1 dm3.

Comenta con tus compañeros si están de acuerdo con estas medidas o no, y por qué.

Buscando más equivalencias...

Ya sabemos entonces que la capacidad de un dm3 es de un litro.

• ¿Qué capacidad tiene un metro cúbico?

Aprovechen los envases que tienen de cartón de leche para ver aproximada-mente cuántos caben en un metro y después calcularán cuántos caben en un metro cuadrado y posteriormente cuántos caben en un metro de altura. Así sabrán cuántos cubos como los que construyeron caben en un metro cúbico.

Te deben de caber 10 dm3 a lo ancho, 10 dm3 a lo largo y 10 dm3 a lo alto.Esto es 10 x 10 x 10 = 1000 dm3, o sea, 1000 litros.


Medida •



Aquí te mostramos algunas equivalencias que ya conoces, pero es bueno que las tengas a la mano:

VOLUMEN y CAPACIDAD

m3 (metro cúbico) 1 m3 = 1000 dm3 = 1000 litros

1 m3 = 1000 000 cm3

dm3 (decímetro cúbico) 1 dm3 = 1000 cm3 = 1 litro

1 dm3 = 1000 000 mm3

cm3 (centímetro cúbico) 1 cm3 = 1 000 mm3

Cabe 1 litro

1dm

1dm 1dm

v= 1dm3 = 1 l

2 Se requieren construir dos prismas rectangulares. Ambos deben tener la misma capacidad. Uno de ellos debe tener una base de 5 dm de largo por 3 dm de ancho. El otro debe tener 2 dm de ancho en su base y 20 dm de altura. Si la capacidad de ambos es de 180 dm3, calcula las dimensio-nes de cada uno de los prismas.

3 Organícense en equipos y elaboren situaciones didácticas donde uti-licen los conceptos de volumen y capacidad.

4 Intercambien entre los equipos los problemas que redactaron y re-suelvanlos.

Comenten con el maestro y con los compañeros sus ejercicios y las res-puestas.

1 Un tanque de almacenamiento de agua instalado en una comunidad tiene forma de un cubo y una capacidad de 8000 litros, ¿puedes calcular cuánto mide su arista?

Hagamos ejercicios

TEMA

Representación algebraica y

análisis de una relación de pro-porcionalidad y = kx, asociando los significados de las variables con las cantida-des que inter-

vienen en dicha relación.

CONTENIDO:

Pro

porc

iona

lidad

y f

unci

ones

Relacionando un númerocon otro

Eje: Manejo de la información 183

2Número de regletas amarillas 1

Equivalente en regletas blancas

5 7 10 23 45 70 X

• ¿Cuántas regletas blancas recibiste cuando tú le diste a tu compañero 5 regletas amarillas?

• ¿Y si le hubieras dado 30?

• ¿Qué sucede con las regletas blancas si aumentas la cantidad de regletas amarillas?

• Cuando recibiste 100 regletas blancas, ¿cuántas regletas amarillas entregaste?

• ¿Podrías establecer una regla de correspondencia entre una cantidad y otra?

V amos a trabajar en parejas, con tus regletas. Hagamos un ejercicio.Uno de ustedes va a tomar una regleta amarilla, y por cada regle-ta amarilla que tomen su compañero les debe dar su equivalente

en regletas blancas.

• Si tomas una regleta amarilla, ¿cuántas blancas te dará tu compañero?¿Y si tomas 3 amarillas?

Vamos a llenar la siguiente tabla:

Eje: Manejo de la información184

• Proporcionalidad y funciones

Veamos otra relación:

Javier tiene animales exóticos en la Isla de Cozumel, para que los turistas se saquen fotos con ellos. De cada foto que vende, a él le tocan 4 dólares. Llena la siguiente tabla:

2Fotos tomadas 1

Dólares ganados

8 12 16 20 X

• ¿Cuántos dólares gana Javier si se venden 10 fotos?

• ¿De que depende la cantidad de dólares que gane?

• Si gana 76 dólares, ¿cuántas fotos sacó?

• ¿Podrías establecer una relación entre las fotos que saca y los dólares que gana?

En la fábrica de chocolates en donde trabaja Alonso, se calcula que por cada caja de chocolates de cierto tipo, la fábrica tiene una utilidad de $6.Llena la siguiente tabla con la información que nos proporciona la fábrica.

2Cajas de chocolates 50

Ganancia para la fábrica

125 300 330 425 X

• ¿Cuánto gana la fábrica en la venta de 500 cajas?

• ¿Cómo establecerías una relación entre las cajas de chocolate que se venden y la ganancia de la fábrica?

En cada una de las situaciones anteriores te pedimos que establecieras una relación entre una cantidad y otra.

• En la venta a una dulcería la fábrica obtuvo una ganancia de $6000, ¿cuántas cajas de chocolates compró la dulcería?

Cuando dos cantida-des se relacionan entre sí, y se puede establecer una regla de correspon-dencia entre ellas, es decir, que una cantidad depende del valor de otra, se dice que tene-mos una relación fun-cional entre ellas.


Proporcionalidad y funciones •

A esta relación también la llamamos función y como te diste cuenta las dos cantidades que están involucradas en la función pueden variar.

Tenemos dos cantidades que pueden variar, sólo que la forma en que va-ría una de ellas depende de cómo varía la otra.

Retomemos cada uno de los ejercicios que ya trabajamos:

• En el ejercicio de las regletas, ¿de qué depende la cantidad de regletas blancas que vas a recibir?

• ¿Cuál sería la variable dependiente?

• ¿Y la independiente?

Explica por qué.

• En el ejercicio de las fotos que saca Javier a los turistas, ¿de qué depen-de la cantidad de fotos que toma Javier?

• ¿De qué depende la cantidad de dólares que gana?

• ¿Cuál sería en este caso la variable independiente y cuál la dependiente? ¿Por qué?

• Y en el caso de los chocolates, ¿cuál crees que es la variable que depende de otra? Justifica tu respuesta.

En todos los ejemplos que trabajamos, se involucra una tercera cantidad que no varía.

• ¿Podrías decirnos cuál es la cantidad que no varía en el caso de las regletas?

• ¿Y en el caso de las fotos?, ¿y en los chocolates?

La función es la rela-ción que se establece entre dos cantidades que pueden variar. La función es la regla de correspondencia entre ambas cantidades.

Una variable es una literal que se supone cambia de valor.En la función y = 2x, la variable independiente es la variable en la cual sustituimos los valores, generalmente se repre-senta con x. Es la varia-ble que va cambiando su valor.

Por otra parte, la va-riable dependiente es el valor que la función toma, usualmente se representa con y. El va-lor de la variable depen-diente, como su nombre lo indica, depende del valor que toma la varia-ble independiente.

En matemáticas las va-riables se denotan usan-do las últimas letras del alfabeto:t, u, v, x, y, z, etc.

Una constante es una expresión matemática que no cambia de valor.



Para trabajar de manera más sencilla establecemos una forma algebraica de representar ésta relación funcional:

• Llamemos “x” a la variable independiente (su valor no depende de ninguna otra cantidad)

• Llamamos “y” a la variable dependiente.

• Llamamos “k” a la constante.

Establezcamos ahora las reglas de correspondencia para cada una de las situaciones.

a Para las regletas amarillas:

b Para las fotos de Javier:

c Para las ganancias de la fábrica:

Llena la siguiente tabla de acuerdo a lo que has aprendido hasta ahora.

Variableindependiente “x”

Variable dependiente “ y “ Constante “ k ”

Regletas amarillas

Las fotos de Javier

Las ganancias de la fábrica

Ahora te presentamos tres relaciones funcionales en las que se te pide que determines cuál es la variable dependiente, la independiente y la constante.Además describe una situación en la que podamos aplicar cada una de las relaciones que te damos.

b x=4x

c x=6x

a y= 12x

ACTIVIDAD 1



¿Y si le tenemos que aumentar algo?

Ahora vamos a ver otro tipo de situaciones en las que debemos sumar o restar algo a la variable independiente.

Vuelve a trabajar en parejas y ahora vas a darle a tu compañero una regleta, la que tú quieras y lo que él debe hacer es sumarle 6.Llenen la siguiente tabla

ResultadoTomas una regleta: Le sumas: Operación que realizas:

Amarilla

Roja

Azul

Verde claro

Naranja

6

6

6

6

6

• En este caso, ¿cuál será tu variable independiente?

• ¿Y la dependiente?

• ¿Tienes alguna constante?

• ¿Puedes establecer la relación funcional?

Regina es dos años mayor que su hermano Emilio. Llena la siguiente tabla con las edades correspondientes de Regina y Emilio de acuerdo a la infor-mación que tienes.

Edad de ReginaEdad de Emilio Le sumas 2 Operación a realizar:

6

8

+ 2

14 + 2

6 + 2 8

12

25



Número de llamadas

Llamadas extras

Costo por llamadas extra

Operación a realizar

Monto a pagar

25 60 100 150 200 230 400 490 600

• ¿Cuál es tu variable independiente en este caso?

• ¿Cuál es tu variable dependiente?

• ¿Y tu constante?

Establece la relación funcional que describe la situación:Observa bien la situación que hay entre las edades de Regina y Emilio.En el ejercicio consideramos que la variable independiente es la edad de Emilio y a eso le sumamos los dos años de diferencia entre sus edades.

• ¿Podríamos considerar la edad de Regina como nuestra variable inde-pendiente?

• Si consideras que sí, entonces ¿qué operación tendrías que hacer para encontrar la edad de Emilio?

Escribe cuál sería la relación funcional que describe la situación.

Las compañías de teléfonos ofrecen planes a sus clientes para el cobro de sus llamadas. Nacho contrató un plan de teléfono en el que paga $350 mensuales y tiene derecho a 100 llamadas sin costo, pero por cada llama-da extra que haga le cobrarán $2.

Llena la siguiente tabla con lo que Nacho va a pagar mensualmente dependiendo de las llamadas que haga.

• ¿Cuál es la variable independiente de esta situación?

• ¿Cuál es la variable dependiente?

• ¿Cuál es la constante?

• ¿Tienes alguna otra constante en esta situación?

Establece una relación funcional que describa de manera adecuada la situación.



Número de llamadas

Llamadas extras

Costo por llamadas extra

Operación a realizar

Monto a pagar

25 60 100 150 200 230 400 490 600

Claudia, la esposa de Nacho, eligió un plan diferente, ella va a pagar $300 mensuales pero a ella sólo se le incluyen 80 llamadas. Pagará $2.20 por cada llamada extra que haga.Llena la siguiente tabla con el plan que eligió Claudia.

• ¿Cuáles son las variables independiente y dependiente de este plan?

• ¿Qué cifras mantienes constantes en este plan?

Establece una relación funcional para el plan de Claudia.

Ahora compara ambos planes, el de Nacho y el de Claudia y analiza cuál conviene más, y hasta qué número de llamadas conviene tenerlos.

Resumiendo…Establecimos dos tipos de relación una que es y = kx donde el valor que toma “y” depende del valor que toma “x” y tenemos una constante “k”.

• Decimos que este tipo de relaciones son directamente proporcionales, ¿nos puedes explicar por qué?

También establecimos relaciones del tipo y = ax + b donde “a” y “b” son constantes y el valor de “y” depende del valor que tome “x”.

• ¿Crees que este tipo de relación varía de forma proporcional o no? Co-méntalo con tus compañeros y justifiquen sus respuestas.



Hagamos ejercicios1 A una cisterna le quedan 50 litros de agua. Si se abre la llave de llenado

caen 6.5 litros de agua por minuto. Construye una tabla con la cantidad de agua que tendrá la cisterna si se deja la llave abierta durante 10 minutos, 15 minutos, 25 minutos y 30 minutos. Establece una relación funcional que te describa el problema y calcula cuánto tiempo debe de permanecer abierta la llave para que la cisterna tenga 635 litros de agua.

2 Una vez que tengamos los 635 litros en la cisterna, se abrirá una llave de desagüe, para regar un jardín que tiene una salida de 3.5 litros por minuto.Establece una relación funcional que te describa la salida de agua y cal-cula cuánta agua le quedará a la cisterna si se riega el jardín durante 18 minutos.

3 Andrés debe tomar un taxi para ir a la universidad que está a 45 km de su casa pues su coche está en el taller. Al tomar el taxi se da cuenta de que el taxímetro ya marca $12.50 que es la cuota fija de inicio que te cobra el taxi y a eso se le agrega $3.15 por cada kilometro recorrido. Establece la relación funcional que nos describe cuánto cobra el taxi y calcula cuánto le va a cobrar a Andrés por llevarlo a la universidad.

4 Si Irene vive en la misma ciudad que Andrés y toma un taxi, ¿cuánto le cobrará si hace un recorrido de 10 km?, ¿y si va a una distancia de 27 km?Irene quiere saber de qué depende el costo del recorrido, explícaselo con tus palabras.

• ¿El costo del recorrido es proporcional a la distancia que se recorre o no?

5 Ahora te damos ciertas relaciones funcionales y tu describe una situa-ción a la que se puedan adaptar, encuentra al menos 5 valores de cada una de ellas, y encuentra si su variación es proporcional o no.

a y= ½ xb y= 6x + 28c y= 3.5x + 1.2d y= 3.14xe y= 4x + 2

TEMA

Búsqueda, orga-nización y

presentación de información en histogramas o en gráficas

poligonales (de series de tiempo o de frecuencia),

según el caso y análisis de la

información que proporcionan.

CONTENIDO:

Aná

lisis

y r

epre

sent

ació

n de

dat

os

Vamos a graficarla información

En la vida diaria se presentan fenómenos o situaciones tan diversas que en ocasiones es necesario analizarlas, pero no es tan sencillo comprenderlas si no se tienen los datos en orden.

En una actividad que se realizó en el salón de clases por parejas, los alum-nos tomaron 25 regletas blancas y 25 regletas rojas.Uno de ellos tomó las regletas y las colocó en una bolsa. Después le pidió a su compañero que en 10 turnos tomara un puño de regletas cada vez. En cada turno registraron el número de regletas de cada color que salian, y las regresaban a la bolsa.Este proceso se repitió con el otro compañero y con las regletas rojas.

A continuación se presentan los datos obtenidos:

Regletas blancas (b): 3, 5, 5, 10, 6, 9, 1, 2, 4, 6.Regletas rojas (r): 3, 3, 9, 5, 3, 3, 8, 12, 4, 4.

Con base en los resultados registrados responde las siguientes preguntas:

a ¿En qué turno sacaron más regletas rojas?

b ¿En qué turno sacaron más regletas blancas?

c ¿Qué cantidad de regletas fue la más baja en cada color?

d ¿Qué cantidad de regletas fue la más alta en cada color?

e ¿Te es fácil analizar la información como la presentaron los alumnos?


Turno Número de regletas blancas

1 3

5

5

2

3

4 10

5 6

6 9

7 1

8 2

9 4

10 6

Turno Número de regletas rojas

1 3

3

9

2

3

4 5

5 3

6 3

7 8

8 12

9 4

10 4

Imagina que el juego se repite unas 10 veces más. Ya no sería tan práctico mostrar los datos de ésta forma, en forma de lista. Así que se propuso una nueva forma de presentar los datos, observa con atención:

1 Contesta las siguientes preguntas con base en las tablas:

a ¿Ves alguna ventaja en tener los datos acomodados en una tabla?

b ¿Puedes responder con mayor facilidad las preguntas anteriores con la tabla?

c ¿Puedes decir ahora, cuál es el número que se repite más veces en la columna “número de regletas” en cada color?


• Análisis y representación de datos


Análisis y representación de datos •

• ¿Cuál es el turno que más regletas tuvo en cada color?

• ¿Crees que exista una forma aún más fácil de representar estos datos?

Cantidadde regletas

Regletas rojas

Existe una manera más sencilla de representar la información. Observa cómo se relacionan los datos de la lista, de las tablas y en una gráfica:

Cantidadde regletas

Regletas blancas

Turnos: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5

10

15

1234

6789

11121314

Turnos: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5

10

15

1234

6789

11121314

Como observas en las gráficas, tenemos los mismos datos que están en forma de lista y que a su vez están en las tablas.

2 Ahora trabajarás con un compañero, realizarán la misma actividad antes descrita, aquí la tienes de nuevo:

a Toma 25 regletas blancas y 25 regletas rojas y colócalas en una bolsa.

b Pídele a tu compañero que tome en 10 turnos un puño de regletas.

c En cada turno deberán registrar el número de regletas que tomaron y regresalas a la bolsa.

d Llenen las siguientes tablas con los datos obtenidos.

Ahora, en la siguiente página grafiquen sus resultados uniendo los puntos determinados por esos resultados.

Ahora es tu turno



Turno Número de regletas blancas Turno Número de regletas rojas



Turnos: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cantidadde regletas

Regletas blancas

Turnos: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cantidadde regletas

Regletas rojas

5

10

15

20

25

1234

6789

11121314

16171819

21222324

5

10

15

20

25

1234

6789

11121314

16171819

21222324

Si te das cuenta, en las gráficas pueden unir los puntos que se colocan en ella. Se parecerá a un polígono. Si unes el primer y último punto al eje horizontal obtendrás un polígono, es por eso que este tipo de gráficas son llamadas “polígonos de frecuencia” y con este tipo de gráficas nos damos cuenta rápidamente de manera visual de algunos datos relevantes.

Por ejemplo, puedes saber en nuestro caso, qué color de regletas fue el que salió más veces y en qué turno. Puedes saber también, cuál turno tuvo menor cantidad de regletas de cada color, o saber cuál es la cantidad que más veces se tomó.También, qué turnos tuvieron la misma cantidad de regletas en ambos co-lores.

Algo muy importante de este tipo de gráficos es que, además puedes comparar ambos resultados. Si te das cuenta tienen los mismos números en ambos ejes (horizontal y vertical), a estos números y la separación que hay entre ellos (0, 5, 10, 15, 20 y 25 en el vertical, además del 1 al 10 de uno en uno en el horizontal) se le llaman escalas.

Ambas escalas de las gráficas son las mismas, por lo tanto hasta podemos ahorrar trabajo y colocar los dos gráficos en un mismo plano cartesiano.

Observa con atención la siguiente gráfica, la cual contiene ambos gráficos (regletas blancas y rojas) del ejemplo anterior en un mismo plano:

Un polígono de fre-cuencia es una gráfica de una distribución de frecuencias que se ela-bora uniendo los puntos medios de la base supe-rior de cada rectángulo en un histograma.

La escala en una grá-fica es conjunto de mar-cas sobre un los ejes del plano cartesiano que nos dan la referencia y nos permiten hacer mediciones.

Turnos: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5

10

15

20

25

Cantidadde regletas

Regletas blancasRegletas rojas

Ahora traza tus dos gráficas juntas en el siguiente plano cartesiano:

Turnos: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cantidadde regletas

5

10

15

20

25

1234

6789

11121314

16171819

21222324

Gráfica de regletas blancas y rojas

Escribe dos ejemplos en los cuales puedas usar este tipo de gráficas:

Ejemplo 1 : ________________________________________________

Ejemplo 2 : ________________________________________________



Paciente B

Hora 6 A.M. 8 A.M. 10 A.M. 12 A.M. 2 P.M. 4 P.M. 6 P.M. 8 P.M.

Temperatura (°C) 38.5 38.5 37 37 37 38 38.5 39

Paciente A

Hora 6 A.M. 8 A.M. 10 A.M. 12 A.M. 2 P.M. 4 P.M. 6 P.M. 8 P.M.

Temperatura (°C) 39.5 38.5 38 37 37 36.5 36.5 36.5

Reúnete de nuevo en parejas y grafiquen un ejemplo en tu cuaderno de registro de centímetro cuadrado. Además planteen preguntas que pueden obtener respuestas rápidas con sólo ver la gráfica.

Investiguen también los siguientes conceptos:

1 Frecuencia.

2 Gráfica de barras.

3 Histograma.

Organizados en parejas representen en una gráfica poligonal la información que contienen las siguientes tablas, relacionada con la variación en la temperatura de dos pacientes.

Hagamos ejercicios



A continuación haremos un análisis de información, para eso te presentamos unas gráficas con los resultados de los exámenes del primer bimestre del grupo de 6o de primaria de una escuela.

Evaluación1er bimestre 2009 - 2010 • 6o de primaria

Reactivos

Título del gráfico

Prom

edio

Reactivo

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

CONTENIDO:

TEMA

Análisis de propiedades de la media y

mediana.

Aná

lisis

y r

epre

sent

ació

n de

dat

os

Analizando la información


Los temas de cada uno de los reactivos fueron:

1. Notación desarrollada

2. Factorización

3. Operaciones básicas

4. Suma y resta de fracciones

5. Multiplicación de fracciones

6. Polígonos regulares

7. Problemas de operaciones básicas

8. Problemas de fracciones

9. Problemas de área

10. Invención de disfraces

De acuerdo a la información que puedas interpretar de las gráficas responde las siguientes preguntas:

• ¿En qué tema obtuvo el grupo el mejor promedio?

• ¿En qué tema se obtuvo el promedio más bajo?

Se sugiere que en los temas en los que el promedio general del grupo sea menor de 80% se retome el tema para que los alumnos lo comprendan mejor y suban el promedio. ¿Qué temas serian los que la maestra tendría que retomar?

• ¿Podrías saber por interpretación de las gráficas los promedios exactos de cada reactivo?

Las gráficas te muestran una visión general de la información, pero para la información exacta a veces no se puede saber.

A continuación te damos los datos exactos de los promedios de cada reactivo para que veas si las respuestas que diste a las preguntas anteriores están correctas.

Las medidas de ten-dencia central son la media (aritmética), la moda y la mediana.

La medida de tenden-cia central más fre-cuentemente utilizada es la media.

La media aritméti-ca de una muestra es igual al promedio de todos los datos.



Reactivo

1

Promedio

2

3

4

5

96

86

92

88

70

6 76

7 80

8 59

9 98

10 90

• ¿Cuál es el promedio general del grupo de acuerdo a la información de la tabla?

• ¿Cuál es la mediana? ¿Y la moda?

Cómo podrás recordar:

El promedio o media aritmética es el valor al cual todos los datos tien-den a acercarse.

Los valores de moda, mediana, y promedio, se conocen como medidas de tendencia central y nos permiten advertir en dónde se concentran los datos.

Así como has trabajado con medidas de tendencia central, existen también medidas de dispersión de datos como son el rango y la desviación de un dato.

El rango es la diferencia que hay entre el dato mayor y el dato menor y la desviación de un dato es la diferencia que hay entre ese dato y el promedio.

La mediana es el dato central de la lista cuando está acomodada en or-den de mayor a menor.

La moda es el dato que más aparece.

Hagamos ejercicios

1 En la escuela de Rodrigo y Santiago, se va a premiar al que haya obte-nido mejores calificaciones en matemáticas en el bimestre pasado.A continuación te presentamos las calificaciones de ambos grupos para que las analices.

2Grupo de Rodrigo 9

Grupo de Santiago

8 7 8 8 6 9 10 7 8 6 9 9 5 10

6 9 9 8 9 10 10 7 6 6 8 9 7 8 9

Con estos datos encuentra el promedio, la moda, la mediana y el rango de cada grupo y construye una gráfica de barras.

Al acomodar los da-tos en orden de me-nor a mayor, la media-na es el dato central de la lista.

En una muestra, la moda es el valor que aparece con mayor fre-cuencia.

El rango de un con-junto de datos se de-fine como la diferencia entre el mayor y el me-nor de todos los datos. En otras palabras, el rango de un conjunto de datos es el intervalo más pequeño que los contiene a todos.

El rango es una medi-da de dispersión de los datos, pues indica qué tan distantes están los datos más alejados de la muestra.





Elige, de acuerdo a los datos que grupo crees que se merece el premio. Argumenta con tus compañeros, y justifiquen sus respuestas.

2 Alonso distribuye dulces y chocolates de una fábrica en la zona del Ba-jío y debe visitar las ciudades de Guanajuato, León, Querétaro, La Piedad y Salamanca.Sus estadísticas le marcan lo que debe vender en cada zona para no bajar sus ventas mensuales de acuerdo a la siguiente tabla:

$ 30 000Ventas $ 100 000$ 50 000$ 70 000$ 90 000

Zona Guanajuato León Salamanca Querétaro La Piedad

De acuerdo a estos datos:

• Calcula el promedio de ventas mensual de Alonso.• Calcula el rango de ventas que tiene Alonso en su zona.• En qué zona tiene Alonso más ventas• En qué zona tiene menos ventas• Cuál es la media de las ventas mensuales.• Construye una gráfica que ayude a Alonso a visualizar mejor sus ventas.

3 Diego juega hockey sobre pasto. Las estaturas de los jugadores del equipo son: 1.76m, 1.85m, 1.76m, 1,70m, 1.76m, 1.59m, 1.62m, 1.66m 1.70m, 1.95m, 1.55m, 1.69m.De acuerdo a estos datos encuentra el promedio de las estaturas, la mediana, la moda y el rango.

4 Trabaja en equipo con 2 compañeros y busquen situaciones de su vida cotidiana en las que se pueda encontrar promedio, moda, mediana y rango.Hay muchas situaciones e este tipo, así que no usen ninguna de las que ya usamos en estos problemas, encuentren nuevas situaciones, por lo menos dos por equipo, hagan las encuestas necesarias para recabar la información.

Síntesis • Bloque 3202

• Síntesis

Síntesis:¡Terminaste el bloque 3 de tu libro! Esto significa que cada vez estás más cerca de completar tus aprendizajes esperados para este ciclo escolar.En este bloque aprendiste varias cosas importantes. Te damos un resumen.

Jerarquía de operaciones:

La jerarquía de operaciones (también conocida como orden o prioridad de las operaciones) es el conjunto de reglas que indican qué operaciones de-ben realizarse primero en una expresión que incluye varias operaciones.Es importante que recuerdes siempre este orden:

Primero debes simplificar expresiones dentro de signos de agrupación (paréntesis)

Dentro de estos signos de agrupación debes de seguir el mismo orden je-rarquico que cuando no tengas agurpadores, es decir, primero vas a calcu-lar potencias y raíces después vas a calcular multiplicaciones y divisiones y por último vas a reslover sumas y restas.

Polígonos:Encontramos en este bloque que un polígono es convexo cuando todos sus ángulos internos miden menos que un ángulo llano (ninguno de sus ángulos internos es entrante).El siguiente polígono es convexo:

Es decir, un polígono es convexo si todos sus ángulos internos miden me-nos de 180°.Más formalmente, se dice que una figura geométrica es convexa si todo segmento con extremos dentro de la figura, todo (el segmento) está dentro de la figura.

Síntesis • Bloque 3 203

Síntesis •

Un polígono es cóncavo o no convexo si al menos uno de sus ángulos in-ternos es entrante.El siguiente polígono es cóncavo:

Si es posible dibujar un segmento de recta con extremos dentro del polígono, pero parte del segmento fuera de la figura, entonces el polígono es cóncavo.

Aprendiste también que la diagonal de un polígono es el segmento de rec-ta que tiene sus extremos en dos vértices no consecutivos del polígono. Si el segmento de recta tiene sus extremos en dos vértices consecutivos del polígono, entonces se trata de uno de sus lados.

Dentro de cualquier polígono convexo, al trazar todas las diagonales que parten de un mismo vértice encontramos que el número de triángulos que se pueden formar es: T= n-2

Donde T es el número de triángulos y n es el número de lados del polígonoAprendiste que la suma de ángulos internos de un polígono convexo es igual al número de triángulos que se pueden formar dentro de él, multipli-cado por 180°

S= 180TS= 180(n-2)

Síntesis • Bloque 3204

• Síntesis

Figuras que cubren el plano:Se llama teselado a la cobertura del plano por polígonos de manera que cada punto del plano esté cubierto por solamente un polígono y que dos polígonos se toquen solamente en sus lados.

Volumen y capacidad:Encontraste que el volumen de un cubo, se encuentra multiplicando por si misma tres veces la medida de su arista.Aprendiste también en este bloque que el volumen es el espacio que ocu-pa un cuerpo, mientras que la capacidad es un espacio tridimensional en el que cabe algo.Las unidades de volumen son unidades de longitud cúbicas, como metro cúbico (m3), decímetro cúbico (dm3), etc. Mientras que las unidades de capacidad son el litro, decilitro, centilitro, etc.En una figura de un decímetro cúbico de volumen, cabe un litro. Es decir, tiene un litro de capacidad.

Relación funcional:Cuando dos cantidades se relacionan entre sí, y se puede establecer una regla de correspondencia entre ellas, es decir, que una cantidad depende del valor de otra, se dice que tenemos una relación funcional entre ellas.Una función es la relación que se establece entre dos cantidades que pue-den variar. La función es la regla de correspondencia entre ambas canti-dades.Una variable es una literal que se supone cambia de valor.En la función y = 2x, la variable independiente es la variable en la cual sus-tituimos los valores, generalmente se representa con x. Es la variable que va cambiando su valor.

Por otra parte, la variable dependiente es el valor que la función toma, usualmente se representa con y. El valor de la variable dependiente, como su nombre lo indica, depende del valor que toma la variable independien-te.

En matemáticas las variables se denotan usando las últimas letras del al-fabeto: t, u, v, x, y, z, etc.Una constante es una expresión matemática que no cambia de valor.

Síntesis • Bloque 3 205

Síntesis •

Diagramas y tablasUn polígono de frecuencia es una gráfica de una distribución de frecuencias que se elabora uniendo los puntos medios de la base superior de cada rec-tángulo en un histograma.

La escala en una gráfica es conjunto de marcas sobre los ejes del plano carte-siano que nos dan la referencia y nos permiten hacer mediciones.

Medidas de tendencia central:Las medidas de tendencia central son la media (aritmética), la moda y la mediana.La medida de tendencia central más frecuentemente utilizada es la media.

La media aritmética de una muestra es igual al promedio de todos los datos.

Al acomodar los datos en orden de menor a mayor, la mediana es el dato central de la lista.En una muestra, la moda es el valor que aparece con mayor frecuencia.

El rango de un conjunto de datos se define como la diferencia entre el mayor y el menor de todos los datos. En otras palabras, el rango de un conjunto de datos es el intervalo más pequeño que los contiene a todos.El rango es una medida de dispersión de los datos, pues indica qué tan distantes están los datos más alejados de la muestra.

Evaluación • Bloque 3206

• Evaluación

Evaluación1 Coloca los paréntesis necesarios para que las igualdades se cumplan:

12 + 8 x 4 + 10 = 90

12 + 8 x 4 + 10 = 54

12 + 8 x 4 + 10 = 280

2 Escribe con los signos y agrupadores adecuados las operaciones que te ayuden a resolver el siguiente problema:

Alfredo compró tres discos de $150 cada uno y 2 discos de $90 cada uno. Si pagó con dos billetes de $500, ¿cuantó recibió de cambio?

3 Construye la figura geométrica que representa las siguientesexpresiones:

a n (n + 8) =

a 2y + 3y =2

Evaluación • Bloque 3 207

Evaluación •

La siguiente gráfica determina el precio de una taza de café:

5 Elige la respuesta que determine el costo de 30 tazas de café.

a $200

b $100

c $50

d $150

e ninguna de las anteriores

1 2 3 4 5

5

10

15

20

Tazas de café

4 Indica cual será la suma de los ángulos internos de un pentágono cualquiera si “s: suma de los ángulos internos” y “n: número de lados del polígono”.

a s=180(n-2), n=5, s=540º

b s=360(n), n=5, s=1800º

c s=180(n), n=5, s=900º

d s=360(n+5), n=1, s=2160º

e ninguna de las anteriores

Evaluación • Bloque 3208

• Evaluación

a Llena los espacios vacíos con el valor correcto. Puedes usar tu calcu-ladora.

b Obtén la ecuación que representa la relación del costo de energía eléc-trica en función del consumo

5 En la siguiente tabla se muestra el cobro bimestral en función de con-sumo de energía eléctrica.

6 Redacta una situación en la que puedas utilizar las medidas de tendencia central ( media, mediana, moda y rango).Describe brevemente para qué te sirve cada una de estas medidas.

xConsumo (kwh)

yCobro bimestral ($)

786578400615926.521500.5

982.50

500

Evaluación • Bloque 3 209

Evaluación •

7 Ahora formen 8 equipos con los compañeros del salón y hagan un sorteo del los 8 apartados de este bloque.

Cada equipo, elabore un problema, ejercicio o situación didáctica del apartado que les tocó y resuélvanlo. Muéstrenlo al profesor(a) para que lo revise, tanto el planteamiento del ejercicio como la solución.

8 Cada equipo, comparta al grupo el ejercicio que elaboraron para que se resuelva de forma grupal. Compartan las diferentes estrategias de so-lución que utiliza cada uno para resolver los ejercicios planteados por tus compañeros de clase.

Libro secundaria 2 bloque 3

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