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MACROECONOMIA II

“MODELO IS-LM(*)”

Las siguientes notas teóricas fueron preparadas por los ayudantes de la cátedra de macroeconomía IIdel Dr. Fanelli: Matías Cattáneo, Nicolás Chialva, Nicolás Depetris Chauvin, Gervasio Guareschi,María Jaunarena, Juan José Pradelli, Mauricio Roer Kessler, Marcelo Salmún y Carolina Spak.Nicolás Depetris Chauvin las adaptó para su uso en la catedra del Dr. Heymann.

(*) Importante: estas notas son una versión muy preliminar por lo que se agradecerá cualquier sugerencia paramejorarlas y la detección de los errores u horrores que podrían aparecer. E-mail: ndepetris@utdt.edu.

- 2 -

( ) ( )

( )rYlPM

grirYcY d

;

,

=

++= ( )è;YTYY d −=

Características generales del modelo:• 3 mercados: bienes, dinero y bonos.• Determinación de los niveles de tasa de interés “r” y producto-ingreso “Y”

(variables reales).• Análisis de las condiciones de equilibrio en los mercados de bienes (curva IS) y de

dinero (LM), con equilibrio en mercado de bonos garantizado por Ley de Walras.Hay interacción entre “lado real” y “monetario”.

• Economía cerrada: Sector público, privado y Banco Central.

(1.) El modelo:(1.1). Forma estructural:

IS:

LM:

(1.2). Variables y supuestos de comportamiento:Variables endógenas: rY ; ; C; I; l

(se reducen a Y y r al reemplazar las hipótesis decomportamiento en las condiciones de equilibrio)

Variables exógenas: è;;; gPM

Hipótesis de comportamiento (premisas):Demanda de Consumo: ( )rYcc dd ,= 10 ' << dy

c 0' <rc

Demanda de Inversión: ( )rii d = 0' <riDemanda de Dinero

o Preferencia por la liquidez: ( )rYll d ;= 0;0 '' <> ry ll

Recaudación tributaria: ( )è;YTT = 0;0 'è

' >> TTy

(1.3). Forma reducida (garantizada por el teorema de la función implícita).

)è;;;(

)è;;;(

gPMrr

gPMYY

==

(2.) Equilibrio estático:(2.1). Determinar los valores 00 , rY que equilibran simultáneamente los mercados de

bienes y dinero (es decir, hallar solución simultánea para las ecuaciones IS y LM);y automáticamente el mercado de bonos (por ley de Walras).

(2.2). El gráfico IS-LM es un diagrama de fase:

IS: curva de puntos (Y;r) que equilibran el mercado de bienes.

LM: curva de puntos (Y;r) que equilibran el mercado de dinero.

- 3 -

( )

( )0

´11

1

0

0

..

´

<′+

′−′−=

′++′−′=

<

>

321

48476

rr

Y

bienesmerceq

rrY

icTc

dYdr

dridrcdYTcdY

(2.3). Deducción de las pendientes de las curvas dYdr

.

(1.) “Conceptual”:IS: considerando una situación de equilibrio en el mercado de bienes, si el nivel deingreso Y fuese mayor, el consumo también lo sería, pero menos queproporcionalmente. Debería existir un nivel de inversión más elevado para que elnuevo punto también sea de equilibrio, lo cual es posible con un nivel de tasa deinterés r menor.

Así, 0..

<bienesmerceqdY

dr.

LM: considerando una situación de equilibrio en el mercado de dinero, si el nivel deingreso Y fuese mayor, la demanda por transacciones sería más elevada. Dada la

oferta real de dinero fija

___

pM

, debe existir un nivel de demanda especulativa

menor para que el nuevo punto también sea de equilibrio, lo cual es posible sólo conun nivel de tasa de interés r mayor.

Así, 0..

>dineromerceqdY

dr

(2.) “Formal”:Diferenciando el sistema estructural respecto de las variables endógenas y

despejando dYdr en ambas ecuaciones:

IS:

- 4 -

}

{

0

0

0

0

..

>′′

−=

′+′=

<

>

r

Y

dineromerceq

rY

ll

dYdr

drldYlLM:

(3.) Algunos “casos extremos” de las pendientesC.1) LM horizontal.

Alta sensibilidad de la demanda especulativa de dinero a los cambios en la tasa deinterés: cuando r crece (cae) poco, los saldos especulativos caen (suben) mucho.Es característica de la “trampa de liquidez” con baja tasa r, donde existe“indiferencia” entre mantener riqueza en bonos o dinero (pues hay bajo costo deoportunidad del dinero), con sesgo hacia la preferencia por el dinero (pues éstebrinda máxima liquidez).Si una política monetaria de emisión busca reducir aún más la tasa r deprimida,dada tal “indiferencia”, los agentes privados absorberán la emisión como saldoespeculativo o transaccional (dirigido a financiar gasto), y no lo aplicarán a laadquisición de bonos (por lo que no aumentarán sus precios y en efecto, no sereducirá la tasa de interés).

C.2) LM vertical.

0 →−∞⇒′ →′

′−= rl

si

rlYl

LMdYdr

∞ →⇒′ →′′

−= 0rsi

r

Y

LM

lll

dYdr

- 5 -

Baja sensibilidad de la demanda especulativa de dinero a los cambios en la tasa deinterés. Cuando r sube (cae), los saldos especulativos se mantienenaproximadamente en el mismo nivel (caen o suben poco).Es característico de las situaciones con alta tasa r, donde existe preferenciaimportante por los bonos (hay un alto costo de oportunidad de mantener dinero).Ante una política monetaria de emisión, los agentes privados absorberán la emisióncomo saldos transaccionales (dirigido a financiar gasto).

C.3) IS vertical.

Baja sensibilidad de la demanda de inversión ante cambios en la tasa de interés.Es el caso keynesiano simple, donde la inversión es exógena, y conduce a la no-interacción entre el mercado de bienes y de dinero.

3.4. “Zonas de excesos de oferta y demanda”.

1. Mercados de bienes:

−∞→⇒′+→+′

′−′−= 0´

´

)1(1rr

rr

y

IS

icci

Tc

dYdr

- 6 -

Desde un punto A (Y*;r*) de equilibrio en el mercado de bienes, una perturbaciónque eleve el ingreso a Y1 en el punto B, hace crecer el producto y el consumo (peroen menor proporción).Así, se crea un EOB en todo punto “por encima de la IS”. Una perturbación quereduce la tasa de interés hasta r2 en el punto C, mantiene el producto inalterado eincentiva la inversión y el consumo. Así, crea un EDB en todo punto “por debajo dela IS”.

2. Mercado de dinero:

Desde un punto A (Y*;r*) de equilibrio en el mercado de dinero, una perturbaciónque eleve el ingreso hasta Y1 en el punto B, hace crecer la demanda transaccional dedinero dada una oferta real fija. Así, crea un EDD en todo punto “por debajo de laLM”. Una perturbación que eleve la tasa de interés hasta r2, reducirá la demandaespeculativa dada la oferta real fija. Así, se crea un EOD en todo punto “por encimade la LM”.

En resumen, los valores (Y;r), que se encuentran “por fuera” de las curvas IS/LM,corresponden a desequilibrios por excesos de oferta y demanda en los mercados debienes y dinero.

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Como veremos más adelante, las políticas económicas (fiscal y monetarias) alteranlas variables exógenas, y así, “crean desequilibrios”, que modifican las variablesendógenas, ingreso/producto y la tasa de interés (los valores originales de equilibrio(Yo;ro) ya no lo son, se encuentran ahora en una “zona de excesos” y las fuerzasdinámicas del sistema comienzan a operar).

El análisis dinámico postula como se mueven (dirección y velocidad) lasvariables endógenas cuando se encuentran en valores de desequilibrio (cuandoexisten excesos de oferta o demanda en los mercados).

4. Estática Comparada:4.1. Determinar los efectos de los cambios de las variables exógenas sobre los valores

de equilibrio. Formalmente son las derivadas:

Observar que ya se han establecido los signos y valores aproximados de las derivadasde las funciones representantes de hipótesis de comportamiento respecto de lasvariables endógenas (son premisas del análisis):

En el análisis de estática comparada, se deducen como conclusiones (implicaciones)derivadas de las variables endógenas respecto de las exógenas.

4.2. Diferenciando el sistema estructural, respecto de todas las variables (endógenas yexógenas):

IS: dgdridrcdTcdYTcdY rrYYY +′++′−′+′−′= ´)()1(

LM: drldYldPPM

dMP rY ′+′=−+ )(1

2

Reordenando términos y expresando matricialmente:

dPdr

dMdr

ddr

dgdr

dPdY

dMdY

ddY

dgdY

;;è

;;;;è

;

<′>′>′>′

<′<′<

<′

0;0

0;0

0

10

0

rY

Y

r

Y

r

ll

TT

i

c

c

θ

- 8 -

⋅

−

′′−=

⋅

′−′−

′+−′−′−

dP

dM

dg

d

PM

P

Tc

dr

dY

ll

icTc Y

rY

rrYY

θ

2

100

001)´()1(1

En este modelo, supondremos “precios dados (P = P0) y fijos (dP = 0)”. Así aldeterminar las variables ingreso y tasa de interés reales, implícitamente determinamossus valores nominales; y permitimos “ajustes de cantidades” (no de precios).El sistema anterior se simplifica:

⋅

−

′′−=

⋅

′−′−

′+−′−′−

dM

dg

d

P

Tc

dr

dY

ll

icTc Y

rY

rrYY

θθ

100

01)´()1(1

A partir de aquí, encontramos las derivadas de estática comparada.Los ceros en la matriz que acompaña al vector de diferenciales de variables exógenas,indican que éstas no generan efectos impacto sobre los mercados correspondientes. Así,la política fiscal (impuestos o gasto público) afecta solamente al mercado de bienes enforma directa (y al de dinero en forma inducida, a través de las endógenas); la políticamonetaria (emisión) afecta sólo el mercado de dinero en forma directa (y al de bienesen forma inducida, a través de las endógenas.

4.3. Política fiscal: modificación del gasto público g.Elevar el gasto público g (financiado con bonos) aumenta la demanda agregada (generaun EDB) y la oferta de deuda pública (crea un EOBonos) esto induce a aumentos delproducto y de los ingresos, impulsando nuevos gastos de consumo sobre el ingresoadicional y así “multiplicando” los efectos expansivos sobre el producto. La mayoroferta de deuda pública compite con la privada, y el aumento de ingresos induceahorros adicionales en bonos. Si aun persiste el EOBonos, bajaran sus precios y crecerála tasa de interés. Esto desincentiva la inversión (“reduce el crecimiento multiplicadodel ingreso”, “el gasto público desplaza inversión privada”, “efecto crowding-out”) y lademanda especulativa de dinero (cuyos saldos se destinan a financiar las transaccionesque se han elevado).Conceptualmente esperamos que dY/dg sea positivo y mayor que uno (pero menor a loque resulta en el modelo keynesiano simple, donde la inversión no depende de la tasa ry no existe crowding-out) y que dr/dg sea positivo. Haciendo dθ = dM = 0.

- 9 -

=

⋅

′−′−

′+−′−′−

∆

0

1)´()1(1

dgdrdgdY

ll

icTc

rY

rrYY

44444 344444 21

En el gráfico se observa el efecto impacto de elevar g: a los niveles iniciales de Yo, roahora existe un EDB (la IS se desplaza tal que (Yo;ro) quede en “zona EDB”).Al final, el producto crecerá (pero en menor medida por el efecto crowding-out) y latasa también (la explosión inicial de deuda pública elevará la tasa con ciertacompensación parcial por el aumento del ahorro y la demanda de bonos).

∆ es el determinante de la matriz jacobiana (J) del sistema.∆1 y ∆2 son los determinantes de la matriz que resultan de remplazar la columna 1 y 2respectivamente de la matriz J por el vector de términos independientes.Ahora analizaremos los signos:

0)´())1(1(

0)´())1(1(

2

1

>′′+−′′−′−−

′=

∆∆

=

>′′+−′′−′−−

′−=

∆∆

=

YrrrYY

Y

YrrrYY

r

liclTcl

dgdr

liclTc

l

dgdY

0

0

0

0

0)´())1(1(

2

1

2

1

>=∆∆

>=∆∆

>′=∆>′−=∆

>′′+−′′−′−−=∆

dgdr

dgdY

l

l

liclTc

Y

r

YrrrY

- 10 -

Observando dY/dg (el multiplicador del gasto público), y multiplicando y dividiendopor –l’r :

Vemos que el denominador es r

YrrYY l

licTc

′′′+

+′−′−)´(

)1(1 donde el segundo término es

el producto de:• -(c’r+i’r): sensibilidad de la demanda de inversión y de consumo frente a cambios

en la tasa de interés.• -l’Y/l’r: pendiente de la LM; es el cambio necesario en la tasa de interés para

mantener equilibrado el mercado de dinero cuando varía el ingreso (y así compensarlas demandas especulativa y transaccional).

Es decir,

⋅

−−

LMdYdr

drdc

drdi indica cuanto va a caer la inversión y el consumo

como resultado del aumento de la tasa de interés exigida para trasladar saldosespeculativos para financiar gastos (transaccionales), manteniendo equilibrado elmercado de dinero que absorbe el producto (ingreso) adicional creado por la políticafiscal más el efecto multiplicador. Es la medida del crowding-out.El primer término del denominador, es igual al del multiplicador del modelo keynesianosimple; como se le adiciona el efecto crowding-out, el multiplicador del modelo IS-LM,es inferior al del modelo keynesiano simple.La política fiscal es más efectiva en el IS-LM cuando la LM es horizontal.Se anula el efecto crowding-out porque, ante una tasa de interés muy baja, los ampliossaldos especulativos pueden financiar la compra de los bonos públicos adicionales y losgastos de transacción, sin alterar la tasa de interés y sin resentir la demanda de inversióny de consumo.

(4.4) Política fiscal: Modificación de la tasa impositiva θ.

Elevar la tasa impositiva θ reduce el ingreso disponible para gastos de consumo(creando un exceso de oferta de bienes) y reduce la oferta de deuda pública para financiar elgasto público (produciéndose un exceso de demanda de bonos). Esto induce reduccionesdel producto y de los ingresos, y nuevamente bajas en el consumo, multiplicando losefectos recesivos sobre el producto. La menor oferta de deuda pública (el gobierno cuentacon más recursos tributarios si el ingreso no cae tanto como para compensar el aumento deθ) coexiste con una menor demanda debido a la reducción del ahorro como consecuencia de

0)´(

))1(1(

1

0)´())1(1(

>

′′′+

+′−′−=

>′−′−

⋅′′+−′′−′−−

′−=

r

YrrYY

r

r

YrrrYY

r

llic

Tcdgdr

ll

liclTcl

dgdY

- 11 -

la caída de los ingresos. Si persiste el exceso de demanda de bonos, subirán sus precios ycon la correspondiente baja en la tasa de interés. Este fenómeno incentivará la inversión(amortigua la caída multiplicada del producto-ingreso), el consumo y la demandaespeculativa de dinero (se reorientan los saldos transaccionales al caer el producto y aldisminuir el costo de oportunidad de mantener dinero).

Conceptualmente esperaremos que èd

dy sea negativa, y que

èddr

también lo sea.

Suponiendo 0== drdg .En el siguiente gráfico se observa el efecto impacto de elevar θ. A los niveles iniciales de

00 , rY ahora existe un EOB (la IS se desplaza tal que 00 , rY quede en EOB)

r0

r

y0

12

3rf

yfy1

0 Y

ISf

IS0

LM

Al final, el producto caerá (pero menos por el efecto crowding-in) y la tasa también (la retraccióninicial de deuda pública hará disminuir la tasa con cierta compensación parcial por reducción delahorro y la demanda de bonos).

−=

−−

+−−−

0

''*

''

)'´()'1('1 Tc

ddrddy

ll

icTc

ry

rry

0'''

0'''

2

1

<∆

−=

∆∆

=

<∆

=∆∆

=

y

r

lTc

ddr

lTc

ddy

θ

θ

- 12 -

Ver definición de ∆, ∆1, ∆2 y signo de ∆ en 4.3.

}}

}}0'''

0'''

2

1

<−=∆

<=∆++

−+

y

r

lTc

lTc

θ

θ y esto corrobora nuestra intuición

(4.5) Política monetaria: modificación de la cantidad nominal de dinero M (y real, dados Pfijos)

Elevar la cantidad de dinero M vía emisión, reducción de encajes, operaciones demercado abierto, pases activos, redescuentos, etc. aumenta la demanda de bonos (creaexceso de demanda de bonos) y la oferta real de dinero (produciéndose un exceso dedemanda de dinero). El EDBonos presiona el alza de precios en el mercado de bonos,reduciendo los tipos de interés r. Este efecto inducirá un aumento en la inversión (crea unEDB) y genera efectos expansivos multiplicados sobre el producto, ingreso y consumo. Elproducto incrementado estimula la demanda de transacciones, y la tasa reducida aumentalas tenencias especulativas hasta absorber el EOD inicial (con algún posible EDD queelevará la tasa).

Conceptualmente expresamos que dMdY

sea positiva y que dMdr

sea negativa.

Suponiendo 0è == ddg , en el gráfico se observa el efecto impacto de elevar M: a los

niveles iniciales de 00 , rY ahora existe un EOD. (La LM se desplaza tal que 00 , rY quede enzona de EOD).

r0

r

y0

1

2

3rf

r1

y f

0 Y

LM f

IS

LM0

Al final, el producto crecerá (por el estímulo que ocasiona la baja en la tasa de interés sobrela inversión y el consumo) y la tasa bajará (pero menos, porque parte del dinero adicionalfinanciará aumento de transacciones, no solo demanda de bonos).

- 13 -

−=

−−

+−−−

pdMdr

dMdy

ll

icTc

ry

rry 10

*''

)''()'1('1

[ ]0

)'1('11

0

)''(1

2

1

<∆

−−−=

∆∆

=

>∆

+−=

∆∆

=

y

rr

Tcp

dMdr

icp

dMdY

Ver definición de ∆, ∆1, ∆2 y signo de ∆ en 4.3.

}

}

[ ] 0)1('11

0)''(1

2

1

<−−−=∆

>+−=∆

++

−+

44 844 76

48476

ý

rr

Tcp

icp

Lo que corrobora nuestra intuición

Observando dMdY

(el multiplicador de la política monetaria):

0')''('))'1('1(

)''(1

>+−−−−

+−=

yrrry

rr

liclTc

icp

dMdY

La política monetaria es más efectiva en el IS-LM cuando la LM es vertical

0'))'1('1(0' →−−−⇒→ ryr lTcl y el multiplicador queda .'11

−

−=

ylpdMdY

Como las tasas son muy elevadas, el dinero adicional se emplea para financiar gastos (conefecto directo sobre el producto) o adquirir bonos y bajar la tasa (con efecto indirecto sobreel producto vía inversión).

De ypldM

dY'

1= resulta dyl

pdM

y'= que indica que el producto subirá lo suficiente como

para inducir la tenencia adicional de saldos transaccionales igual al aumento real de lacantidad de dinero.

- 14 -

(5) Análisis dinámico.

(5.1) Determinar las funciones que modelan el comportamiento de las variables endógenas através del tiempo. Determinar la estabilidad dinámica del modelo (partiendo de unaposición de equilibrio, ante una perturbación en las variables endógenas, observar siéstas convergen hacia una nueva posición de equilibrio que puede o no ser la misma,impulsadas por las fuerzas de mercado- excesos de oferta y demanda-).

(5.2) Las ecuaciones diferenciales de comportamiento indican cómo evolucionan(temporalmente) las variables endógenas a partir de los excesos de oferta y demanda(desequilibrios) en los mercados. Observar que los niveles de Y,r se determinansimultáneamente tal que equilibren los mercados de bienes y de dinero (en el análisisdel equilibrio estático). Pero los cambios de Y,r a través del tiempo se determinan porlos excesos de demanda en un mercado particular para cada variable (bienes y dinerorespectivamente).

));(()(

))())),;(((()(

22

.

11

.

pM

rYlkEDDhdtdr

r

YgrirYTYckEDBhdtdy

y

−===

−++−=== θ

Cuando existe EDB, el producto-ingreso crecerá. Cuando existe EDD, la tasa de interéscrecerá.Esto nos permite indicar las trayectorias de ingreso y tasa de interés en el modelo IS-LM enlas zonas de desequilibrios (excesos).

r

0 Y

LM

ISEDBEDD

EOBEOD

EDBEOD

EOBEDD

En los puntos de la IS, en equilibrio, 0=dtdy

Arriba de la IS, con EOB, 0<dtdy

- 15 -

Por debajo de la IS, con EDB, 0>dtdy

En los puntos de la LM, en equilibrio, 0=dtdr

Arriba de la LM, con EOD, 0<dtdr

Por debajo de la LM, con EDD 0>dtdr

5.3) Como las ecuaciones diferenciales involucran funciones – hipótesis decomportamiento de forma desconocida, las funciones k1 (EDB) y k2 (EDD) quedependen de las variables Y,r se aproximan linealmente por Taylor. Una funciónf(x;y) de dos variables se desarrolla:

f(x;y) = f(x 0;y0) + fx’.(x-x0) + fy’.(y-y0) + !2

1.[ fxx’’.(x-x0)2 + 2 fxy’’ .(x-x0).(y-y0) + fyy’’.(y-

y0)2 ] + ...

A. Evaluando las funciones k1.(EDB(Y;r)) y k2.(EDD(Y;r)) en el entorno del punto deequilibrio (Y0;r0) donde k1.(EDB) y k2.(EDD) son nulas (sería como tomar x0 e y0

tales que f(x0;y0)=0 ); y

B. Despreciando los términos de grado 2 y superiores (dejando de lado !2

1.[ f xx’’.(x-x0)2

+ 2 fxy’’ .(x-x0).(y-y0) + fyy’’.(y-y0)2 ] + ...) se obtienen las aproximaciones lineales:

)).('.()).('.(

)).(''.()].(1)'1'.(.[

0202

.

0101

.

rrlkYYlkdtdr

r

rrickYYTckdtdY

Y

ry

rry

−+−==

−++−−−==

Reacomodando términos y construyendo un sistema de ecuaciones diferenciales de primerorden (lineales) no homogéneas.

]).'.().'.[().'.().'.(

}).''(].1)'1'.(.{[).''.(].1)'1'.(.[

020222

.

00111

.

rlkYlkrlkYlkr

ricYTckrickYTckY

ryry

rryrry

+−=−−

++−−−=+−−−−

El sistema tiene solución Y(t) = Yh + Yc ; r(t) = rh + rc donde las partes homogéneasdefinen si las variables (Y; r) convergen a los valores (Yc; rc) y el sistema esdinámicamente estable.Así, tenemos la “parte homogénea” del sistema:

- 16 -

0).'.().'.(

0).''.(].1)'1'.(.[

22

.

11

.

=−−

=+−−−−

rlkYlkr

rickYTckY

ry

rry

Expresándolo matricialmente:

Con la solución de ensayo (Laplace):

tth

tth

eAdtdr

reAr

eAdtdY

YeAY

22

11

...

...

22

.

2

11

.

1

λλ

λλ

λ

λ

==⇒=

==⇒=

Las partes homogéneas convergen a cero (y así las variables (Y;r) convergen a (Yc;rc) y elsistema es estable) cuando λ1 y λ2 son valores reales negativos o imaginarios concomponente real negativa.En cualquier caso se deben cumplir las condiciones de estabilidad dinámica:

λ1, λ2>0 ; λ1 + λ2<0

Reemplazando en el sistema homogéneo:

Extrayendo factores comunes y expresando matricialmente:

Para que las soluciones Yh = A1.eλ1t ; rh = A2.eλ2t no sean triviales, el determinante de lamatriz que las acompaña debe ser nulo.Esa matriz es la “matriz característica” y se expresa como:

=

−−

+−−−

−

−−

0

0.

''

)''()'1'.(1.

0

0

2

1.

.

r

Yll

ictc

k

k

r

Y

Jacobiano

ry

rry

MatrizK44444 344444 2144 34421

0).).('.().).('.(..

0).).(''.().].(1)'1'.(.[..212

211

221222

211111

=−−

=+−−−−t

rt

yt

trr

ty

t

eAlkeAlkeA

eAickeATckeAλλλ

λλλ

λ

λ

=

−−

+−−−−0

0

.

..

'.'.

)'.'(]1)'1'.(.[2

1

2

1

222

111

t

t

ry

rry

eAeA

lklk

ickTckλ

λ

λλ

−−

+−−−

−

−−

''

)''()'1'.(1.

0

0

'0

0

2

1

2

1

ry

rry

ll

icTc

k

k

λλ

- 17 -

I .λ - k . J

Con determinante nulo:0.. =− JkI λ

Es la “ecuación característica”:0.)(.).1(2 =+−+ JkkJTrλλ

En este caso particular I.λ - k.J es

−−

+−−−−'.'.

)''.(]1)'1'.(.[

222

111

ry

rry

lklk

icktck

λλ

0.. =− JkI λ es

0.)(.).1(

0)}'''.('].1)'1'.(.{[.]1)'1'.(.[.'...

0)'''.(..'].1)'1'.(.[.]1)'1'.(.[.'...

2

21122121

2121122121

=+−+

=+−−−+−−−−

=+−−−+−−−−

JkkJTr

icllTckkTcklk

iclkklTckkTcklk

rryryyr

rryryyr

λλ

λλλλ

λλλλ

donde:

Debido a que ki>0 ; lr’<0 ; y el término entre corchetes es positivo.

Además,0'.)]'1'.(1.[)( 21 <+−−−= ry lkTckkJTr

0}').''('].1)'1'.(.{[.. 21 >+−−−= yrrry liclTckkJk

Debido a que el término entre corchetes es positivo: 0>=∆ J

Por propiedades de las ecuaciones cuadráticas 0)(

0..

21

21

<=+

>=

kJ

Jk

hλλ

λλ se cumplen las

condiciones de estabilidad.

Para determinar la estabilidad del sistema dinámico a través de los signos de las raícescaracterísticas λ1 y λ2 asociadas a )(kJTr y Jk. hemos supuesto siempre que la

propensión marginal a consumir c’.(1-Ty’) era positiva e inferior a la unidad.Además, como el J es positivo, se deduce que una condición suficiente para la estabilidad

dinámica del sistema es que la pendiente de la IS sea inferior a la pendiente de la LM:

- 18 -

'

'

)''(

)'1'.(1

0))''().('()')].('1'.(1[

0

r

y

rr

y

rryry

l

l

ic

Tc

icllTc

−<+

−−

⇒>+−−−−−−⇒>∆

Como veremos más adelante, la condición suficiente de que la pendiente de IS sea inferior ala de LM permite no solo que la primera sea negativa y la segunda positiva (el caso quehemos tratado hasta aquí, gracias a que c’.(1-Ty’) ∈ (0;1) , sino también que ambas seanpositivas con una mayor que la otra (será el caso en que c’.(1-Ty’)>1).

5.4)

- De un punto A, seconverge al equilibrio.- Trayectoria “circular”:raíces complejas (focos)- Trayectoria “directa”:raíces reales (nodos)- (-; +): signos de dr/dt ;dY/dt

1. Considerando 0.

==dtdY

Y en Taylor resulta:

Pendientedel la IS

Pendientede la LM

Condición suficientepara la estabilidad

<

r

0 Y

A

- +

-

+

dr/dt=0

dY/dt=0

LM

ISEDBEDD

EOBEOD

EDBEOD

EOBEDD

- 19 -

( )0

).(

.1

)()1(0

1''

1'

''1

'1

<+

−−=

++−=

−

−

43421

48476

kic

kc

dYdr

drickdyck

rr

Y

rrY

d

⇒ Pendiente de la IS donde 0.

==dtdY

Y (equilibrio en el mercado de bienes).

• 0)1.(1 '

.

<−=∂∂

dYck

YY

• 0).(1 ''

.

<+=∂∂

rr ickrY

0 YY

0

Y

0 rr

0

Y

2. Considerando 0.

==dtdr

r en Taylor resulta:

• }

{

0

).()..(0

'

'

'2

'2

>−=

+=

−

+

r

Y

rY

ll

dYdr

drlkdylk

⇒ Pendiente de la LM donde 0.

==dtdr

r (equilibrio en el mercado de dinero)

• 0. '2

.

>=∂∂

YlkYr

• 0. '2

.

<=∂∂

rlkrr

- 20 -

0 YY0

r

0 rr

0

r

5.5)Hemos visto que suponiendo 10 ' << Yc se garantiza la estabilidad dinámica del

sistema pues las raíces tienen componente real negativo (signos)1. Para determinar si latrayectoria de convergencia al nuevo equilibrio es directa o circular deben hallarse losvalores de las raíces:

2

.4).().(ë

2

2,1

JkJktrJktr −±=

JkJktr .4).(2

<=>

⇒ Raíces reales diferentes ⇒ Nodo estable ⇒ directo⇒ Raíces reales iguales ⇒ Nodo estable ⇒ directo⇒ Raíces complejas ⇒ Foco estable ⇒ circular

[ ]'''''21

''21

2'22

2'21

2 )()1(4)1(2)1(.4).( YrrrYrYrY liclckklckklkckJkJktr +−−+−++−=−

Reagrupando términos resulta:

( ) '''21

2'2

'1

2 )(4)1(.4).( YrrrY lickklkckJkJktr ++−−=−

Las velocidades de ajuste k1 y k2 determinarán si la trayectoria es directa o circular...

5.6) 1 La condición )1;0(' ∈Yc determina una IS de pendiente negativa.

- 21 -

Analicemos ahora la posibilidad de que la propensión marginal a consumir)1( '''

YY Tcc −= sea superior a la unidad.En esta circunstancia, la curva IS toma pendiente positiva:

( )0

)(

1''

'

>+

−−=

−

+

43421

876

rr

Y

IS ic

c

dYdr

Cuando crece el producto-ingreso, el consumo aumenta proporcionalmente más y se creaun EDB; eliminable con una suba de tasa r que contraiga la inversión.Con '

Yc >1, la IS puede tener pendiente positiva mayor o menor que la pendiente positiva dela LM.

A) Cuando la pendiente de la curva IS es mayor a la pendiente de la LM (IS “corta LM pordebajo”):

⇒ ( )'

'

''

'

)(

1

r

Y

rr

Y

LMIS

l

l

ic

c

dYdr

dYdr

−>+−

−

>

⇒ Nodo inestable: 'ri es pequeño (se necesitan grandes subas de r para reducir i y equilibrar

bienes; altas dr dificultan equilibrar dinero)

B) La pendiente la curva IS es menor a la pendiente de la LM (IS “corta LM por encima”)

r

0 Y

IS

LMEOBEOD

EDBEDD

EDBEOD

EOBEDD

- 22 -

⇒ ( )'

'

''

'

)(

1

r

Y

rr

Y

LMIS

l

l

ic

c

dYdr

dYdr

−<+−

−

<

⇒ Nodo o foco estable ⇒ c´r+ 'ri es elevado (se necesitan pequeñas subas de r para reducir

i y c y equilibrar bienes; pequeñas dr no dificultan equilibrar dinero

r

0 Y

LM

ISEOBEOD

EDBEDD

EDBEOD

EOBEDD