Sistemas de sgundo OrdenUn sistema de segundo orden es aquel que posee dos niveles en su estructura. Estos dos niveles se hallan embebidos en un nmero de hasta tres bucles realimentados, de los cuales uno es el principal y los otros dos son secundarios. El bucle principal conecta entre si los dos niveles. Los bucles secundarios conectan a un nivel consigo mismo, tal en los sistemas de primer orden. En la figura siguiente se muestra el diagrama causal.

Figura No3.1: Diagrama causal de sistema de segundo orden

1.- Problema de Control de Inventario.

Considrese un almacenero que trata de mantener su inventario a un determinado nivel. Cuando stock de sus productos almacenados desciende a un nivel deseado, entonces realiza pedidos al distribuidor con el fin de mantener dicho nivel. Si la cantidad de productos almacenados es superior al nivel deseado, entonces devuelve ese exceso de su producto al distribuidor. Se supone, adems, que las ventas estn determinadas con independencia del vendedor (son una variable exgena).

Si el comportamiento del sistema es lineal el flujo de pedidos FP es proporcional a la discrepancia D. Se tendr por tanto,

donde: FP = flujo de pedidos FPS = fraccin de unidades pedidas por semana. (0.5)D = discrepancia.

Tambin, se tiene que el flujo de pedidos FP se puede expresar en funcin del tiempo de ajuste, utilizando la siguiente relacin.

La discrepancia se expresa mediante la siguiente relacin:

donde: ID = inventario deseado.I(t) = Inventario actual. Realice un anlisis para los siguientes casos: a) Supngase que el sistema se encuentra inicialmente en equilibrio, el inventario I(t) es igual al inventario ID, el cual es 100 unidades. b) Supngase que las ventas varan de 0 20 unidades semanales. Solucin Caso (a)a) Para el caso (a) tenemos el siguiente diagrama de Forrester.

Figura No. 3.2: Diagrama de Forrester

b) Las ecuaciones del sistema son:

Invenatrio(t) = Invenatrio(t - dt) + (Flujo_de_pedidos - Flujo_de_Ventas) * dtINIT Invenatrio = 0INFLOWS:Flujo_de_pedidos = Discrepancia*FPSOUTFLOWS:Flujo_de_Ventas = 0Discrepancia = ID-InvenatrioFPS = 0.5ID = 100

c) Grficos de la evolucin del inventario I(t) y del flujo de pedidos FP(t)

Figura No. 3.3: Evolucin del inventario I(t) y del flujo de pedidos FP(t)Interpretacin: Como se puede apreciar en la figura 3.3 el inventario alcanza el equilibrio en 19 semanas, logrando mantener llegar a las 100 unidades.

Casos (b)a) Para este caso (b) tenemos el siguiente diagrama de Forrester:

Figura No. 3.4: Diagrama de Forrester

b) Las ecuaciones del sistema son:

Invenatrio(t) = Invenatrio(t - dt) + (Flujo_de_pedidos - Flujo_de_Ventas) * dtINIT Invenatrio = 0INFLOWS:Flujo_de_pedidos = Discrepancia*FPSOUTFLOWS:Flujo_de_Ventas = 20Discrepancia = ID-InvenatrioFPS = 0.5ID = 100c) Grficos de la evolucin del inventario I(t) y del flujo de pedidos FP(t):

Figura No 3.5: La evolucin del inventario I(t) y del flujo de Pedidos FP.

Interpretacin: En efecto, se observa que el nivel del inventario se estabiliza en 60 unidades, no alcanzando nunca el deseado de 100. Ello muestra que una politica de pedidos basada solamente en la discrepancia entre los niveles de los inventarios deseado real no es adecuada para cumplir el objetivo de mantener el inventario a un nivel deseado.

2.- Problema de control de inventario modificado En el ejemplo del problema 3.3.1 del control de un inventario se supone que no se produca ningn retraso entre la realimentacin de pedidos y la entrada en el almacn de los productos correspondientes. Ahora se va suponer que esto no sucede as, sino que los pedidos se almacenan en un cierto nivel, y a partir del cual son librados como un flujo. Se tiene con ello un sistema cuyo diagrama de Forrester se muestra mas adelante.La introduccin de un nivel para representar los pedidos (cartera de pedidos) junto con el flujo de recepcin de los correspondientes productos, produce el efecto de un retraso entre la realizacin de los pedidos y la entrada correspondiente en el inventario.

Las ecuaciones adicionales que rigen el funcionamiento de los sistemas son los siguientes:

El flujo de recepcin se expresa mediante la siguiente relacin:

El flujo de pedidos se expresa mediante:

donde: FR = Flujo de recepcin (Unidades/semana)P = Cartera de pedidos (Unidades) = 0 unidades RP = Retrasos pedidos (semanas) = 10 semanas FP = Flujo de pedidos (Unidades semana)I(t) = Inventario(Unidades) = 0ID = Inventario deseado (Unidades) = 100 Unidades TA = Tiempo de ajuste (semanas)

FPS = 1/TA = 1/10

a) Diagrama de Forrester

Figura No 3.6: Diagrama de Forrester.

b) Las ecuaciones del sistema son:

Inventario(t) = Inventario(t - dt) + (Flujo_de_Recepcion - Flujo_de_Ventas) * dtINIT Inventario = 0INFLOWS:Flujo_de_Recepcion = Pedidos/RPOUTFLOWS:Flujo_de_Ventas = 4Pedidos(t) = Pedidos(t - dt) + (Flujo_de_Pedidos - Flujo_de_Recepcion) * dtINIT Pedidos = 0INFLOWS:Flujo_de_Pedidos = FPS*(ID-Inventario)OUTFLOWS:Flujo_de_Recepcion = Pedidos/RPFPS = 1/10ID = 100RP = 10c) Grficos de la evolucin y pedidos

Figura No 3.7: Evolucin de los pedidos y Inventarios. Interpretacin: La curvas de pedidos y inventarios presentan un comportamiento oscilante en el tiempo, el cual despus de un tiempo logra estabilizarse, por otro lado, existe un retraso entre la realizacin de pedidos y la entrada de productos al inventario. 3.- Problema de Empelados y Almacenamiento En este modelo se describe las interacciones que se producen entre el almacenamiento y el nmero de empleados; donde se supone que el flujo de ventas es exgeno y se rige por una distribucin normal. La estructura del modelo (diagrama causal), el diagrama en Forrester, las ecuaciones y los grficos para el anlisis se muestran a continuacin:

a) Estructura del modelo:

Figura No 3.8: Estructura del modelo del sistema

b) Ecuaciones del modelo Almancenamiento(t) = Almancenamiento(t - dt) + (Produccion - Ventas) * dtINIT Almancenamiento = Almacenamiento_deseado

INFLOWS:Produccion = Coeficiente_de_Productividad*EmpleadosOUTFLOWS:Ventas = NORMAL(Media,Desviacion_Estandar)Empleados(t) = Empleados(t - dt) + (Contratacion_de_empelados) * dtINIT Empleados = 120

INFLOWS:Contratacion_de_empelados = (Almacenamiento_deseado-Almancenamiento)/(TAA*TAE*Coeficiente_de_Productividad)Almacenamiento_deseado = 800Coeficiente_de_Productividad = 2Desviacion_Estandar = 10Media = 100TAA = 0.5TAE = 3d) Diagrama de Forrester

Figura 3.9 : Modelo Forrester del sistemae) Grficos Almacenamiento vs Produccin

Figura 3.10: Almacenamiento vs ProduccinInterpretacin: Como se puede apreciar en el grafico, que al incrementar la cantidad de artculos de almacenamiento debemos disminuir la produccin, luego conforme se va disminuyendo la produccin se va disminuyendo el almacenamiento, por lo cual otra ve tenemos que incrementar la produccin.

f) Grafico de almacenamiento vs empleados

Figura 3.11: Almacenamiento vs EmpeladosInterpretacin:

El grfico muestra como al incrementar el almacenamiento se tiene que disminuir los empleados y luego se tiene que incrementar otra vez los empleados por el nivel mnimo de almacenamiento.

4.- Problema de peces (agotamiento de recursos renovables) La pesca es un origen importante de los ingresos econmicos para el pas, de manera que las decisiones pueden asegurar un mantenimiento saludable de la poblacin de peces y la industria de la pesca. Con este modelo se pretende probar el impacto de las diferentes polticas de pesca y como influye en su agotamiento.

Para realizar el modelamiento utilizaremos los tres subsistemas siguientes:

Modelo del subsistema de la poblacin de peces. Modelo del subsistema de embarque Modelo del subsistema de conexin de la poblacin de peces y el embarque

Modelo del subsistema de la poblacin de pecesEl diagrama en Stella, las ecuaciones y las grficas que explican el comportamiento del sistema para este modelo son:a) diagrama Forrester.

Figura 3.12: Modelo Forrester del Sistema

Se tiene que la pesca se realiza en un rea que es ptima para 1200 peces, lo cual exige que no se debe sobrepasar de esa poblacin. A continuacin se describen las ecuaciones del modelo.

b) Ecuaciones del modelo Peces(t) = Peces(t - dt) + (Incubacion_de_peces - Muerte_de_Peces) * dtINIT Peces = 10

INFLOWS:Incubacion_de_peces = Peces*Frac_de_IncubacionOUTFLOWS:Muerte_de_Peces = Peces*Frac_de_MortalidadCapacidad_de_transporte = 1200Frac_de_Incubacion = 6Frac_de_Mortalidad = GRAPH(Peces/Capacidad_de_transporte)(0.00, 5.22), (0.2, 5.23), (0.4, 5.34), (0.6, 5.50), (0.8, 5.67), (1.00, 6.05), (1.20, 6.44), (1.40, 6.99), (1.60, 7.97), (1.80, 9.32), (2.00, 11.0)

c) Grafico de Peces, Incubacin y Muerte de peces

Figura 3.13: Grafica de curvasInterpretacin:

La curva No 1 muestra que la poblacin a alcanzado el limite de 1200 peces.

Modelo del subsistema de embarqueEl diagrama en Stella, las ecuaciones y las grficas que explican el comportamiento del sistema para este modelo son:

Figura No 3.14: Modelo Forrester c) Ecuaciones del sistemaEmbarque(t) = Embarque(t - dt) + (Razon_de_embarque) * dtINIT Embarque = 10

INFLOWS:Razon_de_embarque = Ganancia_anual*Fraccion_invertida/Costo_de_emabarqueUNATTACHED:Tasa_de_Pesca_Por_ao = Embarque*Pesca_por_embarqueCosto_de_emabarque = 300Costo_de_operacion = Embarque*250Fraccion_invertida = .2Ganancia_anual = ingresos-Costo_de_operacioningresos = Precio_del_pescado*Tasa_de_Pesca_Por_aoPesca_por_embarque = 15Precio_del_pescado = 20

d) Grficos Embarque, tasa de pesca por ao y razn de embarque

Figura 3.15: Embarque, tasa de pesca por ao y razn de embarque

Interpretacin: Si se toma en cuenta que la poblacin de peces es infinita, podramos realizar ms embarques (curva 1), lo cual mejorara la pesca total por ao (curva 2).

Modelo del subsistema de conexin de la poblacin de peces y el embarqueEl diagrama en Stella, las ecuaciones y las grficas que explican el comportamiento del sistema para este modelo son:a) diagrama de Forrester

Figura No: 3.16 : Modelo de Forrester

b) Ecuaciones del modelo Emabarque(t) = Emabarque(t - dt)INIT Emabarque = 10

peces(t) = peces(t - dt) + (- Total_de_pesca_por_ao) * dtINIT peces = 1000

OUTFLOWS:Total_de_pesca_por_ao = Emabarque*Pesca_por_embarqueArea = 100Densidad = peces/AreaPesca_por_embarque = GRAPH(Densidad)(0.00, 0.00), (1.00, 5.00), (2.00, 10.4), (3.00, 15.9), (4.00, 20.2), (5.00, 22.2), (6.00, 23.2), (7.00, 23.8), (8.00, 24.2), (9.00, 24.6), (10.0, 25.0)

c) Grafica de Resultados

Figura No 3.17: Resultados del modelo

Modelo finalEl diagrama en Stella, las ecuaciones y las grficas que explican el comportamiento del sistema para este modelo son:a) Diagrama Forrester

b) Ecuaciones del modelo

d) Graficar Embarque, peces, ganancia anual, ingresos e interpretar.