Problemas de Análisis Matemático I-II

7/25/2019 Problemas de Anlisis Matemtico I-II

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Departamento de Ciencias Exactas

Problemas de Clculo Diferencial e Integral.

Lmites y Continuidad.

Demostrar la existencia del lmite, utilizando la definicin:

1)( )

==+

6,1mn.R.95x3xlm 2

x

2)

==+

3,3mn.R.51x!lm

3x

3)

==

+ 322

,1mn.R.2

1

5x3

2lm

3x

) ==++

2

3,1mn.R."

3

1x

5xxlm 2

2

2x

5)

==

95,1mn.R.

1

6x

22xlm

6x

6) #ue $alor de%o darle a n &ara 'ue)x(flm

1x exista

> +

sima de las si+uientes funciones:

"3.

lon+itud 7 ancura del rectn+ulo se ace mnima su rea R 6

5l=

9.< e corta un sector circular con un n+ulo central en un crculo de radio r ; 12&ul+adas, con el 'ue se formar un cono recto de re$olucin. allar el $alor del n+ulo

'ue maximiza el $olumen del cono.

( )633

2.R

=

1.< Jn un crculo de radio r, se corta un sector circular, el arco externo tiene lon+itud s.i el &ermetro total del sector es de 1u G#u> $alores de r 7 s maximizarn el rea delsector. R r;25, s;5.

11.< e forma un slido adosando dos semiesferas a las %ases de un cilindro circularrecto. Jl $olumen total del slido es de 12u3. allar el radio del cilindro 'ue &roduce el

rea mnima de la su&erficie del slido.3

9R

=

12.< Fna ca@a rectan+ular de %ase cuadrada 7 no tiene ta&a, el rea com%inada de los

lados 7 del fondo es de ! &ies cuadrados. allar las dimensiones de la ca@a de mximo$olumen 'ue cum&la estos re'uerimientos. R. %;, ;2.

13.< e utilizan 2 &ies de ilo &ara formar dos fi+uras a) cuadrado 7 trin+uloe'uiltero, %) ex+ono re+ular 7 crculo.G#u> cantidad de ilo de%e in$ertirse en cada fi+ura &ara lo+rar 'ue el rea encerradasea mxima

1.< Fn fa%ricante de ca@as de cartn 'uiere ela%orar ca@as a%iertas a &artir de trozosrectan+ulares con dimensiones de ! x 15 &ul+adas cortando cuadrados en las es'uinas 7do%lando los lados acia arri%a. e desea determinar la lon+itud del lado del cuadrado

de modo 'ue la ca@a ten+a el ma7or $olumen &osi%le. R. 53

-n+. uis. D. /ndrade 0. +ina 15 296216


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15.< Jncontrar la ecuacin de la recta 'ue &asa &or el &unto (3 ) 7 forma con el&rimer cuadrante un trin+ulo de rea mnima. R. xE37


17/55


!.=+ , alrededor del e@e A.

%) ( ) a%,a7%x 222 >=+ , alrededor del e@e B.

13.< allar la lon+itud total de la cur$a= 3

asenr 3

. R 3aL2.Centroides.

1.< Determine el centroide de la re+in limitada &or las fronteras indicadas22 xx27,x7 == 7 el $olumen de re$olucin +enerado al +irar la re+in

alrededor de la recta x;


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9.< *alcular el centro de +ra$edad del rea de la su&erficie &lana limitada &or las cur$as

( )

=+

==

=+=+

36!

a5

2

a,

2

a5Hx,332

12

a

6

a/.R,

7

ax27x

a7x322

22

222

!.< allar el centroide de la cur$a en el cuadrante - de la cur$a:

a)3

2

3

2

3

2

a7x =+ .R.

a5

2a

5

2*U

%).1

%

7

a

x2

2

2

2

=+

c)

222

2

2

2

2

a7x,1%

7

a

x=+=+

d) ax27x,a7x 22222 =+=+

d)22 xx7 =

e) ayx =+ ,( )[ ]212lna

2

2s ++=

9.< *alcular el $olumen del slido +enerado al +irar la lemniscata = 2sin4ar 22

,alrededor del e@e B, 7 la su&erficie de re$olucin alrededor el e@e &olar.

1.< allar el centro de +ra$edad del arco ( ) [ ]a3,,a3xxa79 22 = .

11.< *alcular el centroide del rea del lazo, su rea 7 $olumen

==

35

332,

5

32,

"

9.R,

t3t7

tx3

2

12.< a re+in limitada &or la cur$a

=

=2tt127

1t2x

7 el e@e A, +ira alrededor del e@e A,encontrar el centro de +ra$edad, el rea 7 el $olumen alrededor del e@e A.

13.< *alcular el centroide del arco del lazo

=

=

3

tt7

tx3

2

Rectas) lanos y suerficies en el esacio.

1.< Demuestre 'ue los tres &untos 1(


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.< allar la ecuacin del &lano 'ue &asa &or la recta 2tz,3t27,1t3x =+=+= , 7

es &aralelo a la recta

=+=+

5z72x

3z7x2

, R. 13x


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1.< Fna esfera tiene su centro en la recta

=++=+

1z75x

"z7x2

7 es tan+ente a los&lanos: &lano 1 xE27


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6) ara las si+uientes funciones, calcular ( ) ( ) t=+x=f)%,t=+=.f)a

a)

( ) ( )

( ) W2t55

@t3

2

ti3e)t(+

Wt

5@1e2i2tln2)t(f

3

t

t

3

3

+

+

+++=

+++=

". < Di%u@e la funcin $ectorial++= 2t,W

2

tt@sinticos)t(R

!.< ara la funcin calcule:( )[ ] ( ) dttrtrdt

d,

2

2

a) tjesentietr tt cos)( +=

%) tW@tcos4tisent4t)t(r ++=

9) Fna &articular &arte del re&oso del &unto (2,2,3) con una aceleracin constante.tW3t@ti2)t(a ++= *alcular des&u>s de 1 se+undo de la &artida la tra7ectoria.

1) *alcule la lon+itud de arco s, de la cur$a

( ) ( )

+++=

2,,coscot)( 2

ktjtsenttittsenttr

11.< *alcule la lon+itud de arco de la cur$a: Wt2sin@t2cosit2)t(r 2

3

++= en elinter$alo de S,1T.

12.< Re&arametrice la cur$a: Wtcose@tsineie)t(r ttt ++= con res&ecto a la lon+itud

de arco desde t; asta $alores crecientes de t.

13.< i * es una cur$a en3R descrita &or

( ) ( ) [ ].2,t,W2

tcos@tcos1isett)t(r

+=

allar la lon+itud de arco de * entreel &unto de cur$atura mxima 7 mnima.

1.< ara la cur$a calcular 0(t) 7 O(t)

a) [ ] %7a,2,t,%sent@ticosa)t(r >+=

15.< ara la cur$a calcular 0(t), O(t), (t), las ecuaciones de los &lanos: osculador,normal, rectificante, la cur$atura, radio de cur$atura.

a) 0a,tWaRasent@ticosa)t(r 22


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16.2 Jncontrar la cur$atura de la cur$a

( )22

22

%a

a.R,%a,%a,W%t@tsinaitcosatr

++++=

1".< allar el radio de cur$atura en un &unto cual'uiera de la cardiode( ) a,cos1(ar >+=

1!.< allar el crculo osculador)33(,

3

)(

2

2

Px

xxf

+=

D1RI*'D'- P'RCI'L1-.

1.< allar 7 re&resentar el dominio, el ran+o 7 di%u@ar las cur$as de ni$el de lassi+uientes funciones:

a)22 7x251z = .

%)

2279x161

12

1z =

c) ( )( )222222 2 yxaayxz +=

2.< allar 7 re&resentar el dominio.

a) ( )22 936ln),( yxyxf =

%) ( )22

2

1ln

),(

yx

yxyxf

=

3.< *alcular el lmite:

a) ( ) ( ) 22

22

,, yx

yxlmyx +

%)( ) ( ) 22,,

2

yx

xylmyx +

c)( ) ( )

( )

( )x73sensen

x7sencos1lm

22,7,x

.< *alcular el lmite 7 analizar la continuidad de la funcin

a)

( ),,22

22

yx

yxz

+

=

-n+. uis. D. /ndrade 0. +ina 1 296216


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%)

( ) ( )

( ) ( )

=

+

++=

,,,2

,,,22

),( 22

22

yx

yxyx

yxx

yxg

5.< allar las deri$adas &arciales de las si+uientes funciones:

a) ( )7senx7cos4xez x =

%)( )

+

+=71

xarcsenx7arctanz

c)22

7x

x7z

+=

d)

++

+

= x7x

x7xlnz

22

22

e)

+

=

22

22

7x

7xarcsenz

f)x

y

exxyz .+=

6.< *alcular 7

z7

x

z

a)

( )zyxezyx ++=++

%) x7z3z7x 333 =++

c) 372x7z3z72x 333 =+++

d) !z7x3z7x 223 =+++

e)x7z32 ezx7z =+

".< ara las si+uientes funciones calcular: $z

7u

z

a).$u7,$ux,x

7arctan)7,x(fz =+===

%)$cos4u7,sen$4ux,

7

xarctanz ==

=

!.< ara las si+uientes funciones calcular:

t=

a) ttanz,tcos7,sentx,z7xlnP 222 ===++=

%)

1t7,t3x,

7

xsenlnz 22 +==

=

-n+. uis. D. /ndrade 0. +ina 2 296216


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9. ritmo estn creciendo su$olumen 7 su rea cuando los radios miden 15 7 25 cm, 7 la altura es de 1 cm.

19.< Fn lado de un rectn+ulo de x;2 m, aumenta con una $elocidad de 5 mse+., elotro lado de 7;3m disminu7e con una $elocidad de mse+. G*on 'u> $elocidad$ariaran el rea 7 el &ermetro de dico rectn+ulo

DI1R1NCI'L1-

1.< *alcule la diferencial tota de las funciones:a) 7cosxsinz

22 +=

%)22

22

7x

7xz

+

=

c)

+

=

7

xarctan

x

7arctanz

d)

+

=22

lnyx

xz

e) 2

2222

yxyx eez+ =

2.< *alcular a&roximadamente el $alor de la funcin a &artir del &unto dado:

a) )2,1(,7xz,9".12.1 3333 +=+

%) )2,(,7e5z,3.2e5 2x22. +=+

c) )!,6(,7xz,1.!2.6 2222 +=+

d))1,2(,7"x2z,!.195.12 2222 =

e))1,1(,

x

7arctanz,

95.

2.1arctan =

f) 199.3.1ln 3 +

3.< Dos de los lados de un trin+ulo miden ! 7 1 cm res&ecti$amente, el n+uloformado &or ellos es de 3 +rados. *alcular la $ariacin 'ue sufre el rea al incrementarla lon+itud de cada lado en .1 cm 7 el n+ulo en 1 +rado, calcular tam%i>n eldiferencial del rea corres&ondiente a los mismos incrementos.

.< Fno de los lados de un rectn+ulo es a;1, el otro %;2.G*mo $ariar la dia+onalde este rectn+ulo si el lado a se alar+a mm 7 el lado % 1mm.

-n+. uis. D. /ndrade 0. +ina 296216


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D1RI*'D'- DIR1CCI0N'L1-.

1.< *alcular la deri$ada direccional de la funcin ( ) xsin4e7cos4e7,xf 7x += , en la

direccin del se+mento, ( ) ( ) [ ]1sine2cose.R,23#,21 +

2.< *alcular la deri$ada direccional de la funcin222 z7x)z,7,x(f ++= en la

direccin del se+mento (1, 1, 1) a # (", !, ).

3.< *alcular la deri$ada direccional de la funcin

+=

22 7x

zarcsenu

en el &untoH(1,1,1) en el sentido del $ector HO donde O(3,2,3).

.< a deri$ada direccional de una funcin z;f(x,7) en el &unto o(1,2) en la direccin

acia 1(2,3) es 2Y2, 7 en la direccin 2(1,) es


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6.< Determine un &unto so%re la su&erficie 12z372x 222 =++ donde el &lano tan+ente

es &er&endicular a la recta con ecuaciones &ar am>tricas762z,t!37,721x =+=+= .

#+5I#0- 4 #6NI#0-

1.< *alcular los extremos relati$os de la funcin:

a) 11z67x2z7x 222 =+++

%) ( ) 22225),( yxyxf =

c) ( ( ) ( ) mximo,2#,silla&unto,.R,72x4e)7,x(fz 227x == .

d)22 7x7ez =

e) b

y

a

x

xyyxf

2

2

2

1),( =

f)33 7x73xz +=

2.< Haximizar

a) ( ) 1,.),( 2222 22 =++= yxeyxyxf yx

%) 1,3),( 2222 +++= yxyxyxyxf

c)22 7x6z = su@eta a la restriccin xE7ricos. Jl de&sito de%e almacenar 1 litros de fluido. Determinar el radio 7 laaltura 'ue minimizan la cantidad de material utilizado &ara la construccin del tan'ue.

6.< or un &unto dado (1,1,2) se ace &asar un &lano 'ue forma con los e@escoordenados un tetraedro de $olumen mnimo. allar la ecuacin del &lano.

".< Jn 'u> &unto de la eli&se %a7ax% 22222 =+ la tan+ente a >sta forma con los e@es

coordenados el trin+ulo de menor rea.

-n+. uis. D. /ndrade 0. +ina 6 296216


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!.< *alcule la distancia mnima del &unto (1,2,3) al &lano 2xE37Ez;12.

9.< Determine las dimensiones de la ca@a rectan+ular con el ma7or $olumen si el reasu&erficial total es de 6 uC.

1.< *alcule las dimensiones del &aralele&&edo rectan+ular de $olumen mximo 'uetiene un $>rtice en el ori+en, tres caras con los &lanos coordenados en el &rimer octante,7 el $>rtice o&uesto en el &lano xE37Ez;12.

11.< allar la distancia ms corta del &unto H(1,2,3) x;7


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11.< J$aluar

R 222 7xa

d/

siendo R la re+in a7,ax

'R1' 8integraci"n doble9

1.< allar el rea fuera de ( )x1472 = , dentro de

( )

3

32.R,7x 22

=+

.

2.< *alcular el rea entre las cur$as: "2.R,x97,9x7 22 ==

3.< *alcular el rea de la re+in comMn entre las cur$as: o con csenos

2

3.R,sin1r,sin1r

=+=

.< *alcular el rea entre las cur$as: 17x2 = 7 272x

2 =

5.< allar el rea dentro )cos1(ar += , fuera de r;a.( )

!a.R

2 +

6.< allar el rea limitada,,,2 2222 ===+=+ yencimaxyabajoxyxdentroxyxfuera

".< allar el rea entre las cur$as x2x73 = e

3xx67 =

!.< allar el rea fuera de ,x72 = 7 dentro de 7x

22 =+ .

*0L/#1N

1.< Determinar el $olumen del slido acotado inferiormente &or22 7x3z += ,

su&eriormente &or = .R,xz 2

2.< *alcular el $olumen del slido limitado su&eriormente27z = e inferiormente

&or22 73xz += .

3.< allar el $olumen del slido limitada su&eriormente &or22 7x1z = e

inferiormente &or

322 u16

5R,1z7x

=+ .

.< allar el $olumen limitado &or las su&erficiesz,az7x,7xaz2

222222 ==++=

5.< Jncuentre el $olumen del slido acotado &or2222 7x2z,z7x2 +=+=+

6.< Jncuentre el $olumen de la re+in slida acotada &or22 73xz += e

22 7x!z = .

".< Jncuentre el $olumen limitado &or las su&erficies22

7xz += e22

72x22"z = .

-n+. uis. D. /ndrade 0. +ina ! 296216


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!.< Jncuentre el $olumen de la re+in slida acotada &or 7x 22 =+ e

22 7x16z2 = .

9.< allar el $olumen del es&acio com&rendido de%a@o de

22 7x16z

= arri%a dez;, dentro de x27x

22 =+ .

1.< *alcular el $olumen del cuer&o limitado su&eriormente &or z7x 222 =++ 7

inferiormente &or z37x 22 =+

11.< V%ten+a el $olumen de 9r9z 22 =+

INT13R'L1- D07L1-. 'PLIC'CI0N1-.

1.< *alcular las coordenadas del centro de +ra$edad de la fi+ura limitada &orx27,x7 22 +=+= .

2.< *alcular las coordenadas del centro de masa del slido u%icado dentrozz7x 222 =++ 7 'ue se encuentra arri%a de

222 z7x =+ .

3.< allar el rea de la &arte de la esfera z7x 222 =++ cortada &or el cilindro

17

x 22

=+.

.< allar el rea de la &arte de la esfera 16z7x 222 =++ 'ue se encuentra so%re la

re+in del &lano x7 limitada &or 97x 22 =+

5.< *alcular el rea de la &orcin de la su&erficie de zz7x 222 =++ 'ue se encuentra

dentro de z37x 22 =+ .

6.< *alcular el rea de la &orcin de su&erficie del cono222 z7x =+ u%icada en

cilindro ,x72 = 7 el &lano x


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1.< Determine el rea de la su&erficie2222 az7x =++ dentro del cilindro

a%,%a7ax% 222222 =+++= aazyxyxaz

INT13R'L1- TRIPL1-.

1.< J$aluar

( ) ====+==++#

!

".R,1x,x,x7,7,7xz,z:#,d$z7x

2.< J$aluar

# 222 7xa

d$

#: ax,xa7,7xaz 22222

3.< J$aluar ( )( )( ) +++# d$z7xz7xz7x #: xE7Ez;, x


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1. Determinar si el cam&o $ectorial es conser$ati$o, si lo es calcular una funcin&otencial &ara >l.

a) ( ) ( ) *7sine7,xf,7@cosesen7ie7,xQ xxx +=+=

%) ( ( ( ) .Wzx7@7sinexzi7z7cose)z,7,x(Q xx ++++=

c2

zx7z7cose)z,7,x(f.R

2x +++=

.

c) ( )x7Wx@7ie)z,7,x(Q z ++=

d) ( ) x7Wx7z@2zi7z,7,xQ 2 ++=

e) ( ) ( )Wzx@x7z37zixz,7,xQ 2232 ++=

f) ( ) zWlnx7zsen7@ixez,7,xQ 7 ++=

+) ( ) Wz@17xi17xz,7,xQ 22222 ++++++=

2.< Demuestre 'ue el cam&o $ectorial ( ) .7@cose7isine7,xQ xx += Jncontrar la funcin

&otencial. ( ) .c7sine7,xf x +=

3.< *alcular la di$er+encia 7 el rotacional del cam&o:( )Wzlnx77@sinzixe)z,7,x(Q 7 ++=

( ) ( ) ( )z

x77cosze)z,7,x(Qdi$,Wxe@zln7i7sinzlnx)z,7,x(Qrot.R

77 ++==

.< *alcular la di$er+encia 7 el rotacional del cam&o:

( ) .Wz@17xi17xz,7,xQ 22222 ++++++=( ) ( ) z2

17x

7xz,7,xQdi$,W

17x

7xz,7,xQrot.R

2222+

++

+=

++

=

INT13R'L1- D1 L6N1'.

1.< *alcular la inte+ral:

a)( ) ( ) ++

c

3333 d77xdx7x

, * es la frontera de la re+in entre los crculos

97x,17x

2222

=+=+

%)( ) ,1

916int:,22 22

222 =+=+++ yxexterior

yxeriorCdyxxxydx

c

c)

( ) ( ) )5,2()2,3()1,1(,222 CBArectasdesegmentosCdyyxdxyxc

++

1.< *alcular la inte+ralc

Qdr

a) ( ) ( ) 2222 7xz72z:*,Wxz@i7xz,7,xQ +==++=

%) ( ) 2t,tz,t7,tx:*,Wz7x@z7x3izx72z,7,xQ 32332223

===++=c) ( ) ( ( 1,12,1,:,322,,

2222 =+==++++= ttztytxCkzxxyjiyxzzyxF

-n+. uis. D. /ndrade 0. +ina 51 296216


52/55


2.< *alcular

( ) ( ) ( ) ( ) )5,1()5,"(,95:,

22 22222222

QPdesdeorarioyxcdyyx

ydx

yx

x

c

=++

++

3.< *alcular la inte+ral xd777dxx 22

, en donde c es la cur$a *:( ) ( )

( ) ( )

==

15

32.,

22,:2

22,:1 3R

xyC

xyC

. *alcular la inte+ral,xd7dx7

c

2 +en donde c es la cur$a

( ) ( )

( ) ( )

=

=235,7x:2*

235,x7:1*:*

2

5.< *alcular la inte+ral +c

xd727dx

, * es el contorno en sentido contrario a las a+u@as

del relo@ 7 cu7os lados son las rectas:1

2

7

3

x,1

2

7

3

x,1

2

7

3

x,1

2

7

3

x===+=+

6.< *alcular +=+= 3

2

3 1

3,

1

3,

t

aty

t

atxydxxdy

".< *alcular

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,1,1,1,1,,1,,:,1926 2223

!RQPcdzxzdyyxdxzxyc ++++

!.< *alcular( ) ( ) ( ),2,312,1,,:,222 RQPcdzzdyydxx

c

++

9.< *alcular( ) 2222 ,:,3 yxxycydyxdxyxe

c

x ==+

1.< *alcular( ) ( ) ==+

c

xxyxyCdyyxdxxy 2,:,2

11.< Hediante una inte+ral de lnea allar el rea de la re+in limitada &or

a) x7,x7,x7 === .%) x7,x7

2 ==

c) ,,,2 2222 ===+=+ yxyxyxxyx entre los crculos de%a@o de la recta 7;x 7

encima 7;.

d) ,, >=+=+ aayxayx

INT13R'L1- D1 -/P1RICI1

-n+. uis. D. /ndrade 0. +ina 52 296216


53/55


1.< ea la su&erficie de la o@a su&erior del cono222 z7x =+ recortada &or el cilindro

x27x 22 =+ , calcular( ) +

2222 dzxz77x

2.< *alcular la inte+ral c0ds.Q

, en donde

( ) ( ) ( )( ) ,Wzlnx@eixarcsin72z,7,xQ 272

+++++= 7 c es la re+in trian+ular de$>rtices: (1,,), (,1,), (,,2).

3.< e : az,a7x,az,a2z7x 2222222 ==+=++ calcular la inte+ral

W77z@xziQ,Od.Q 2

+=

-eries.

allar la suma de las si+uientes series:

=

1n1n

1n

6

13.1

=

+

nn

n

3

52.2

( ) ( )

= ++

1n 3n241n2

1.3

-n+. uis. D. /ndrade 0. +ina 53 296216


54/55


= +

1n2 2n3n9

1.

Determinar la con$er+encia o di$er+encia de las si+uientes series, identificar el criterio

a&licado:

=

1n n

1sen4n.1

( ) ( )

= +

1n 1n43n

.2

=

+

1n 1n

nln.3

=

1n2

n

1n

2.

( )

=

+1n

1nnsec1.5

=

2n nln

n.6

( )

=

1n

1nn

n

341."

( )

=

+

1n

nn

1n

ee

142.!

Determinar una serie de &otencias centrada en &ara las si+uientes funciones,identificar el inter$alo de con$er+encia.

2x

2)x(f.1

2 =

enx)x(f.2 =

arcsenx)x(f.3 =

allar el inter$alo de con$er+encia de la serie de la funcin, de la deri$ada, de lainte+ral, incluir el anlisis de con$er+encia en los &untos terminales del inter$alo.

-n+. uis. D. /ndrade 0. +ina 5 296216


55/55


( ) ( )

=

+

1n

n1n

n

2x1.1

( ) ( )

=

+

1n

1n21n

?1n2

x

1.2

( ) ( )

=

++

+

n

1n1n

1n

1x1.3

( )

1

n2n

n2

x1.

Problemas de Análisis Matemático I-II

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