Propuesta A

1. Queremos realizar una inversión en dos tipos de acciones con las siguientes condiciones: Lo

invertido en las acciones de tipo A no puede superar los 10000 euros. Lo invertido en las

acciones de tipo B no puede superar los 8000 euros. La suma de la cantidad invertida en A y de

la cantidad invertida en B no puede exceder de 15000 euros. La rentabilidad esperada para las

acciones de tipo A es del 1% y la esperada para la acciones de tipo B es del 5 %.

a) Dibuja la región factible. (1 punto)

b) Determina la cantidad que debemos invertir en cada uno de los dos tipos de acciones para que,

con las condiciones expuestas, el beneficio sea máximo. (0.5 puntos)

2. Un grupo de estudiantes para financiar su viaje de fin de curso vende para el día de San Valentín

claveles amarillos, blancos y rojos, por un importe de 1, 2 y 3 euros respectivamente. Han

vendido 900 claveles en total y han recaudado 1600 euros. Siendo el número de claveles blancos

vendidos la mitad del total de rojos y amarillos.

a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que permita saber cuántos claveles de cada

color han vendido. (1.5 puntos)

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos)

3. La función G(t) = t2 – 8t + 20, 0 ≤ t ≤ 6 , representa las ganancias, en miles de euros, de una

empresa durante los últimos 6 meses, siendo t el tiempo medido en meses.

a) ¿Cuál fue la ganancia obtenida en el segundo mes (t = 2)? (0.25 puntos)

b) ¿Cuándo la ganancia obtenida fue mínima? ¿Cuál fue su valor? (1.25 puntos)

4. Se considera la función f(x) =

. Se pide:

a) Hallar el valor de t para que f sea continua en x = 0. (0.5 puntos)

b) Para t = 3, representa gráficamente la función f. (1 punto)

5. Según un estudio, el 30% de las familias españolas van al cine regularmente, el 25% leen

regularmente, y el 15% hacen las dos cosas.

a) Si elegimos una familia al azar y va al cine regularmente, ¿cuál es la probabilidad de que esa

familia lea regularmente? (0.75 puntos)

b) Se selecciona una familia al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que esa familia vaya al cine o

lea regularmente? (0.75 puntos)

6. Se sabe que “la cantidad de glucosa en la sangre" en individuos adultos y sanos sigue una ley

normal de media desconocida y desviación típica 20 mg/dl. Se eligió aleatoriamente una muestra

de 100 personas, siendo la media de la cantidad de glucosa en sangre para esta muestra de 85

mg/dl. Se pide:

a) Halla el intervalo de confianza del 95% para la media poblacional de “la cantidad de glucosa

en sangre". (1 punto)

b) Discute razonadamente el efecto que tendrá sobre el intervalo de confianza el aumento o la

disminución del nivel de confianza. (1 punto)

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

2

Propuesta B

1. a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: 2 · I + 3 · X + X · A = B, suponiendo

que todas las matrices son cuadradas del mismo orden (I es la matriz identidad). (0.75 puntos)

b) Si

, calcula la matriz X que cumple A·X = I, donde I es la matriz identidad de

orden 2. (0.75 puntos)

2. Una compañía de autobuses oferta viajes a tres destinos diferentes: Roma, París y Lisboa.

La compañía dispone de 30 autobuses. El número de autobuses que van a París es el doble de la

suma de los que van a Roma y a Lisboa. Y el número de autobuses que van a Lisboa es la cuarta

parte del número total de autobuses que van a Roma y a París.

a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que permita obtener el número de autobuses

que van a Roma, París y Lisboa respectivamente. (1.5 puntos)

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos)

3. Dada la función

. Calcula los valores de las constantes a, b y c para

que la gráfica de la función pase por el punto (0, -6), tenga un máximo relativo en el punto de

abscisa x = – 1, y un punto de inflexión en x = 1. (1.5 puntos)

4. Se considera la función

. Se pide:

a) Estudia su continuidad en x = 0. (0.5 puntos)

b) Extremos relativos en el intervalo ( – 6, 0 ). (0.5 puntos)

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento en ( – ∞, 0 ). (0.5 puntos)

5. Una empresa tiene dos líneas de producción. La línea 1 produce el 60% de los artículos y el resto

los produce la línea 2. Sabemos que el 0.5% de los artículos producidos por la línea 1 tiene algún

defecto y así mismo el 2% de los artículos producidos por la línea 2 son defectuosos.

a) Elegido un artículo al azar, calcula la probabilidad de que sea defectuoso. (0.75 puntos)

b) Sabiendo que un artículo tiene defectos, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producido

por la línea 2? (0.75 puntos)

6. En un establecimiento de comida rápida se sabe que el tiempo que emplean en comer sus clientes

sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 7 minutos. El tiempo

que emplearon 10 clientes elegidos aleatoriamente fue de 15, 20, 28, 21, 26, 30, 16, 18, 35 y 27

minutos respectivamente. Se pide:

a) Halla el intervalo de confianza para la media del tiempo que tardan en comer los clientes del

establecimiento con un nivel de confianza del 97 %. (1.25 puntos)

b) ¿Cuál deberá ser como mínimo el tamaño de la muestra para que el error de estimación de la

media sea inferior a 2 minutos con el mismo nivel de confianza? (0.75 puntos)

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

3

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE LA PROPUESTA A

1. Queremos realizar una inversión en dos tipos de acciones con las siguientes condiciones: Lo

invertido en las acciones de tipo A no puede superar los 10000 euros. Lo invertido en las

acciones de tipo B no puede superar los 8000 euros. La suma de la cantidad invertida en A

y de la cantidad invertida en B no puede exceder de 15000 euros. La rentabilidad esperada

para las acciones de tipo A es del 1% y la esperada para la acciones de tipo B es del 5 %.

a) Dibuja la región factible. (1 punto)

b) Determina la cantidad que debemos invertir en cada uno de los dos tipos de acciones

para que, con las condiciones expuestas, el beneficio sea máximo. (0.5 puntos)

Solución. Llamamos:

“x” al número de acciones tipo A

“y” al número de acciones del tipo B

a) Dibuja la región factible. (1 punto)

En tal caso, las condiciones del problema nos determinan un conjunto de desigualdades que

vienen predefinidas por las siguientes inecuaciones:

El número de acciones son números positivos o cero. 0 ≤ x ; 0 ≤ y

Lo invertido en las acciones de tipo A no puede superar los

10000 euros. x ≤ 10000

Lo invertido en las acciones de tipo B no puede superar los 8000 euros. y ≤ 8000

La suma de la cantidad invertida en A y de la cantidad invertida en B

no puede exceder de 15000 euros. x + y ≤ 15000

Por tanto, el sistema de inecuaciones es:

La función objetivo “beneficio” que hay que maximizar será:

La rentabilidad esperada para las acciones de tipo A es

del 1% y la esperada para la acciones de tipo B es

del 5 %.

La región factible viene definida por la representación de los semiplanos que generan el

sistema de inecuaciones:

4

Su representación gráfica se realiza a partir de la representación de las rectas correspondientes

y, para cada recta, la selección de uno de los dos semiplanos en función de si verifica o no el

punto que elijamos, su inecuación correspondiente:

0 ≤ x 0 ≤ y x ≤ 10000

x = 0 y

0 5000

0 10000

x y = 0

0 0

5000 0

x = 10000 y

10000 0

10000 10000

0 ≤ 1 (V)

(1,0) pertenece al

semiplano

0 ≤ 0 (V)

(1,0) pertenece al

semiplano

1 ≤ 10000 (V)

(1,0) pertenece al

semiplano

y ≤ 8000 x + y ≤ 15000

x y = 8000

0 8000

10000 8000

x y = 15000 – x

0 15000

5000 10000

0 ≤ 8000 (V)

(1,0) pertenece al

semiplano

0 + 0 ≤ 15000 (V)

(0,0) pertenece al

semiplano

Con todos estos cálculos las restricciones del problema o región factible queda determinada

mediante la siguiente representación gráfica:

5

b) Determina la cantidad que debemos invertir en cada uno de los dos tipos de acciones

para que, con las condiciones expuestas, el beneficio sea máximo. (0.5 puntos)

Hemos señalado en la representación gráfica los vértices de la región factible y los hemos

denotado mediante A, B, C, D y O.

Calculamos las coordenadas de dichos vértices de la región factible:

Vértice A: Es el corte de las rectas x = 0 con y = 8000. Resolvemos el sistema de

ecuaciones que generan y obtenemos las coordenadas del vértice:

Vértice B: Es el corte de las rectas y = 15000 – x con y = 8000. Resolvemos el sistema de

ecuaciones que generan y obtenemos las coordenadas del vértice:

Vértice C: Es el corte de las rectas x = 10000 con y = 15000 – x. Resolvemos el sistema de

ecuaciones que generan y obtenemos las coordenadas del vértice:

Vértice D: Es el corte de las rectas x = 10000 con y = 0. Resolvemos el sistema de

ecuaciones que generan y obtenemos las coordenadas del vértice:

Vértice O: Es el corte de las rectas x = 0 con y = 0. Resolvemos el sistema de ecuaciones

que generan y obtenemos las coordenadas del vértice:

Aplicamos ahora cada vértice a la función objetivo F(x, y) = 0´01x + 0´05y. El que mayor

valor dé determina la solución del problema:

F(A) = F(0, 8000) = 0´01 0 + 0´05 8000 = 400

F(B) = F(7000, 8000) = 0´01 7000 + 0´05 8000 = 70 + 400 = 470

F(C) = F(10000, 5000) = 0´01 10000 + 0´05 5000 = 100 + 250 = 350

F(D) = F(10000, 0) = 0´01 10000 + 0´05 0 = 100 = 100

F(O) = F(0, 0) = 0´01 0 + 0´05 0 = 0

Por lo tanto, el mayor beneficio con las condiciones impuestas se obtiene para 7000

acciones del tipo A y 8000 acciones del tipo B se obtiene la máxima rentabilidad. En tal

caso se obtiene una rentabilidad máxima de 470 €.

6

2. Un grupo de estudiantes para financiar su viaje de fin de curso vende para el día de San

Valentín claveles amarillos, blancos y rojos, por un importe de 1, 2 y 3 euros

respectivamente. Han vendido 900 claveles en total y han recaudado 1600 euros. Siendo el

número de claveles blancos vendidos la mitad del total de rojos y amarillos.

a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que permita saber cuántos claveles de

cada color han vendido. (1.5 puntos)

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos)

Solución.

a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que permita saber cuántos claveles de

cada color han vendido. (1.5 puntos)

Hacemos las siguientes asignaciones de incógnitas:

x Número de claveles amarillos

y Número de claveles blancos

z Número de claveles rojos

Las condiciones del problema inducen las siguientes ecuaciones lineales:

Han vendido 900 claveles en total x + y + z = 900

… vende para el día de San Valentín claveles amarillos,

blancos y rojos, por un importe de 1, 2 y 3 euros

respectivamente. … y han recaudado 1600 euros. x + 2y + 3z = 1600

Siendo el número de claveles blancos vendidos la mitad del

total de rojos y amarillos

Simplificamos al máximo las ecuaciones y escribimos el sistema que responde al enunciado:

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos)

Para resolverlo, podemos optar por resolverlo por Gauss o por el método de Cramer.

Por el método de Gauss, sea la matriz de Gauss,

. Hacemos

ceros en los lugares correspondientes hasta hacerlo triangular en su mitad izquierda.

7

Puesto que la fila tres tiene dos ceros en su mitad izquierda, es posible reordenar la matriz

de Gauss de tal modo que sea triangular. Transformamos en sistema y resolvemos:

Despejamos en el sistema y resolvemos:

Por lo tanto, hay 400 claveles amarillos, 300 claveles blancos y 200 claveles rojos.

Por el método de Cramer: Dado el sistema

, aplicamos ahora el

método de determinantes:

Por lo tanto, hay 400 claveles amarillos, 300 claveles blancos y 200 claveles rojos.

8

3. La función G(t) = t2 – 8t + 20, 0 ≤ t ≤ 6 , representa las ganancias, en miles de euros, de una

empresa durante los últimos 6 meses, siendo t el tiempo medido en meses.

a) ¿Cuál fue la ganancia obtenida en el segundo mes (t = 2)? (0.25 puntos)

b) ¿Cuándo la ganancia obtenida fue mínima? ¿Cuál fue su valor? (1.25 puntos)

Solución.

a) ¿Cuál fue la ganancia obtenida en el segundo mes (t = 2)? (0.25 puntos)

Sustituimos el valor t = 2 en la expresión algebraica y calculamos:

G(2) = 22 – 8·2 + 20 = 4 – 16 + 20 = 8

Por lo tanto, la ganancia obtenida a los dos meses es de 8000 €.

b) ¿Cuándo la ganancia obtenida fue mínima? ¿Cuál fue su valor? (1.25 puntos)

Calculamos la primera derivada de la función:

G´(t) = 2t – 8

Igualamos a cero y resolvemos:

2t – 8 = 0 2t = 8 t = 4

Estudiamos el signo de la primera derivada en el dominio [0, 6].

Intervalo Valor representante G´(t) = 2t – 8 Monotonía en el intervalo

(0, 4) 2 G´(2) = 1 – 4 < 0 Decreciente

(4, 6) 5 G´(5) = 10 – 4 > 0 Creciente

Por lo tanto, t = 4 es un valor de mínimo relativo. Además será absoluto puesto que la función

es continua y en el intervalo [0,6] no puede haber valores donde haya menor valor imagen.

Calculamos la imagen de t = 4:

G(4) = 42 – 8·4 + 20 = 16 – 32 + 20 = 4

Concluimos que en el cuarto mes se obtiene el menor beneficio durante los seis meses a

estudio y este beneficio es de 4000 €.

4. Se considera la función f(x) =

. Se pide:

a) Hallar el valor de t para que f sea continua en x = 0. (0.5 puntos)

b) Para t = 3, representa gráficamente la función f. (1 punto)

Solución.

a) Hallar el valor de t para que f sea continua en x = 0. (0.5 puntos)

Para que una función f(x) sea continua en un valor de abcisa x = a, debe ocurrir que

9

En nuestro caso, calculamos los límites laterales y el valor de la función en el punto en x = 0.

Igualamos los valores y resolvemos encontrando el valor de t:

Por lo tanto, para que f sea continua en x = 0 entonces t = 2.

b) Para t = 3, representa gráficamente la función f. (1 punto)

Sea la función para t = 3,

f(x) =

Representamos cada función por separado:

La función g(x) = (x + 1)2

– 3 = x2 + 1 + 2x – 3 = x

2 + 2x – 2 es una función

cuadrática cuyo vértice se encuentra para el valor de abcisa:

Se trata de una parábola con las ramas hacia arriba (a > 0) que podemos representar

dando valores a la izquierda y a la derecha del vértice (hasta x = 0) mediante la

siguiente tabla:

x g(x) = x2 + 2x – 2

– 1 (– 1)2 + 2·(– 1) – 2 = 1 – 2 – 2 = – 3

– 2 (– 2)2 + 2·(– 2) – 2 = 4 – 4 – 2 = – 2

– 3 (– 3)2 + 2·(– 3) – 2 = 9 – 6 – 2 = + 1

– 0´5 (– 0´5)2 + 2·(– 0´5) – 2 = 0´25 – 1 – 2 = – 2´75

0 02 + 2· 0 – 2 = – 2

La función h(x) = | x – 2| – 3 = es una función con valor absoluto. Por lo tanto, es una

función a trozos cuyo corte se encuentra en x = 2 (que es el valor donde se anula el

valor absoluto). En tal caso, la función es:

h(x) =

h(x) =

10

y se representará mediante dos rectas que creamos a partir de sus correspondientes

tablas de valores:

x h1(x) = – x – 1

0 – 0 – 1 = – 1 (punto hueco, se trata de un límite lateral por la izquierda)

1 – 1 – 1 = – 2

2 – 2 – 1 = – 3

x h2(x) = x – 5

2 2 – 5 = – 3

3 3 – 5 = – 2

4 4 – 5 = – 1

La función queda representada del modo siguiente:

5. Según un estudio, el 30% de las familias españolas van al cine regularmente, el 25% leen

regularmente, y el 15% hacen las dos cosas.

a) Si elegimos una familia al azar y va al cine regularmente, ¿cuál es la probabilidad de que

esa familia lea regularmente? (0.75 puntos)

b) Se selecciona una familia al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que esa familia vaya al

cine o lea regularmente? (0.75 puntos)

Solución. Consideramos los siguientes sucesos referidos al experimento que se considera:

A = “Una familia española va al cine regularmente” que tiene probabilidad P(A) = 0´3

B = “Una familia española lee regularmente” que tiene probabilidad P(B) = 0´25

El suceso intersección A B, según el enunciado, tendrá probabilidad P(AB) = 0´15

a) Si elegimos una familia al azar y va al cine regularmente, ¿cuál es la probabilidad de que

esa familia lea regularmente? (0.75 puntos)

Se trata de calcular la probabilidad del suceso B/A. Aplicamos la fórmula de la probabilidad

del suceso condicionado:

11

b) Se selecciona una familia al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que esa familia vaya al

cine o lea regularmente? (0.75 puntos)

Se trata de calcular la probabilidad del suceso A B. Aplicamos la fórmula de la

probabilidad de la unión P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B),

6. Se sabe que “la cantidad de glucosa en la sangre" en individuos adultos y sanos sigue una

ley normal de media desconocida y desviación típica 20 mg/dl. Se eligió aleatoriamente una

muestra de 100 personas, siendo la media de la cantidad de glucosa en sangre para esta

muestra de 85 mg/dl. Se pide:

a) Halla el intervalo de confianza del 95% para la media poblacional de “la cantidad de

glucosa en sangre". (1 punto)

b) Discute razonadamente el efecto que tendrá sobre el intervalo de confianza el aumento o

la disminución del nivel de confianza. (1 punto)

Solución.

a) Halla el intervalo de confianza del 95% para la media poblacional de “la cantidad de

glucosa en sangre". (1 punto)

Sea la variable aleatoria X que mide la cantidad de glucosa en sangre. Según los datos del

problema esta variable se distribuye mediante una Normal de desviación conocida e igual a

σ = 20 mg/dl. Por otra parte nos dan una muestra de tamaño n = 100 personas y nos dicen

que su media muestral es 85X mg/dl. En estas condiciones nos preguntan el intervalo de

confianza con 1 – α = 0´95 respecto a la media poblacional. Este intervalo sigue la fórmula:

nzX

nzX

2/2/ ,

Puesto que 1 – α = 0´95, entonces α = 0´05 y α/2 = 0´025 por lo que zα/2 = 1´96. Por tanto,

sustituyendo en la fórmula del intervalo:

)92´88,08´81()923́85,923́85(100

20961́85,

100

20961́85

Concluimos que el intervalo de confianza al 95 % para la cantidad media de glucosa en

sangre en estas condiciones es (81´08, 88´92).

b) Discute razonadamente el efecto que tendrá sobre el intervalo de confianza el aumento o

la disminución del nivel de confianza. (1 punto)

Aumentando el nivel de confianza aumentamos la semi-amplitud del intervalo de confianza

y la estimación es más burda aunque con mucha probabilidad. Del mismo modo, si

disminuimos el nivel de confianza, disminuiremos la semi-amplitud del intervalo de

confianza y la estimación es más precisa pero con menor probabilidad.

12

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE LA PROPUESTA B

1. a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: 2 · I + 3 · X + X · A = B,

suponiendo que todas las matrices son cuadradas del mismo orden (I es la matriz

identidad). (0.75 puntos)

b) Si

, calcula la matriz X que cumple A _X = I, donde I es la matriz identidad

de orden 2. (0.75 puntos)

Solución.

a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: 2·I + 3·X + X·A = B, suponiendo

que todas las matrices son cuadradas del mismo orden (I es la matriz identidad).

(0.75 puntos)

La matriz X se despeja del siguiente modo,

2·I + 3·X + X·A = B 3·X + X·A = B – 2·I X · ( 3·I + A ) = B – 2·I

Suponiendo que (3·I + A) tiene matriz inversa, tendremos que:

X · ( 3·I + A ) · ( 3·I + A ) – 1

= ( B – 2·I ) · ( 3·I + A ) – 1

X · I = ( B – 2·I ) · ( 3·I + A ) – 1

X = ( B – 2·I ) · ( 3·I + A ) – 1

b) Si

, calcula la matriz X que cumple A·X = I, donde I es la matriz identidad

de orden 2. (0.75 puntos)

Primero despejamos algebraicamente la matriz X, que debe ser de orden 2 puesto que al

multiplicarse por una matriz de orden 2, se obtiene una matriz de orden 2.

Debemos asegurarnos de que la matriz A tiene matriz inversa. Eso sólo es posible si es

cuadrada, que lo es, y su determinante es no nulo. Comprobamos que |A| ≠ 0.

Por tanto, la matriz A tiene matriz inversa. En tal caso, podemos despejar algebraicamente a

la matriz X y podemos calcularla:

A · X = I A– 1

·A · X = A– 1

·I X = A – 1

En ese caso, calculamos la matriz inversa de A, que es la solución de la ecuación matricial

mediante dos métodos:

Por el método de Gauss:

Por lo tanto, la solución del problema es

13

Por el método de de los determinantes: La matriz inversa se calcula a partir de la

fórmula,

La matriz traspuesta At es,

La matriz adjunta de la traspuesta es,

Por lo tanto, la matriz inversa y solución del problema es,

2. Una compañía de autobuses oferta viajes a tres destinos diferentes: Roma, París y Lisboa.

La compañía dispone de 30 autobuses. El número de autobuses que van a París es el doble

de la suma de los que van a Roma y a Lisboa. Y el número de autobuses que van a Lisboa

es la cuarta parte del número total de autobuses que van a Roma y a París.

a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que permita obtener el número de

autobuses que van a Roma, París y Lisboa respectivamente. (1.5 puntos)

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos)

Solución.

a) Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones que permita obtener el número de

autobuses que van a Roma, París y Lisboa respectivamente. (1.5 puntos)

Llamamos “x” al número de autobuses que van a Roma; “y” al número de autobuses que van

a París; y “z” al número de autobuses que van a Lisboa.

Las condiciones del problema inducen las siguientes ecuaciones lineales. Observar que la

segunda y tercera ecuación provienen de la utilización de “la prueba de la división”.

La compañía dispone de 30 autobuses x + y + z = 30

El número de autobuses que van a París es el doble de la suma

de los que van a Roma y a Lisboa y = 2·(x + z)

El número de autobuses que van a Lisboa es la cuarta parte del

número total de autobuses que van a Roma y a París

14

Simplificamos al máximo las ecuaciones y escribimos el sistema que responde al enunciado

mediante:

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos)

Para resolverlo, podemos optar por resolverlo por Gauss o por el método de Cramer.

Por el método de Gauss, sea la matriz de Gauss,

. Hacemos

ceros en los lugares correspondientes hasta hacerlo triangular en su mitad izquierda.

Reescribimos la matriz equivalente en forma de sistema:

Despejamos en el sistema y resolvemos:

Por lo tanto, han ido x = 4 autobuses a Roma, y = 20 autobuses a París y z = 6

autobuses a Lisboa.

15

Por el método de Cramer: Dado el sistema

, aplicamos ahora el

método de determinantes:

Por lo tanto, han ido x = 4 autobuses a Roma, y = 20 autobuses a París y z = 6

autobuses a Lisboa.

3. Dada la función

. Calcula los valores de las constantes a, b y c

para que la gráfica de la función pase por el punto ( 0 , – 6 ), tenga un máximo relativo en

el punto de abscisa x = – 1, y un punto de inflexión en x = 1. (1.5 puntos)

Solución. Puesto que la función pasa por el punto (0, – 6 ) entonces f(0) = – 6 y por lo tanto,

Puesto que tiene un máximo relativoen el valor de abcisa x = –1 entonces f´(– 1) = 0. Como la

derivada de f(x) es f´(x) = x2 + 2ax + b, entonces si f´(– 1) = 0 tendremos que:

f´(– 1) = (– 1)2 + 2·a·(– 1) + b = 1 – 2a + b = 0,

Por otra parte, puesto que f(x) tiene un punto de inflexión en x = 1 y entonces f´´(1) = 0. Como

la derivada de f´(x) es f´´(x) = 2x + 2a, entonces si f´´(1) = 0 tendremos que:

f´´(1) = 2·1 + 2·a = 2 + 2a = 0 2a = – 2 a = – 1

16

De donde obtenemos que a = – 1 y, sustituyendo en la ecuación 1 + 2a + b = 0, tendremos que

1 + 2·1 + b = 0 b = – 3

Por lo tanto, a = – 1 y b = – 3 y c = – 6.

4. Se considera la función

. Se pide:

a) Estudia su continuidad en x = 0. (0.5 puntos)

b) Extremos relativos en el intervalo ( – 6, 0 ). (0.5 puntos)

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento en ( – ∞, 0 ). (0.5 puntos)

Solución

a) Estudia su continuidad en x = 0. (0.5 puntos)

Para que una función f(x) sea continua en un valor de abcisa x = a, debe ocurrir que

En nuestro caso, calculamos los límites laterales y el valor de la función en el punto en x = 0.

Puesto que los límites laterales no coinciden la función f NO es continua en x = 0. Además, en

x = 0 la función f(x) presenta una discontinuidad de primera especie salto finito.

b) Extremos relativos en el intervalo ( – 6, 0 ). (0.5 puntos)

Calculamos la primera derivada de la función f(x) en (– 6, 0). Puesto que su expresión

algebraica es f(x) = (x + 3)2, su derivada es:

f´(x) = 2(x + 3) = 2x + 6

Igualamos a cero y resolvemos:

2x + 6 = 0 2x = – 6 x = – 3

Estudiamos el signo de la primera derivada en el dominio (– 6 , 0 ).

Intervalo Valor representante f´(x) = 2x + 6 Monotonía en el intervalo

(– 6, – 3) – 4 f´(– 4) = 2·(– 4) + 6 = – 2 < 0 Decreciente

(– 3, 0) – 1 f´(– 1) = 2·(– 1) + 6 = 4 > 0 Creciente

Por lo tanto, x = – 3 es un valor de mínimo relativo. Además será absoluto puesto que la

función es continua y en el intervalo (– 6,0) no puede haber valores donde haya menor valor

imagen. Por otra parte, no hay máximos relativos puesto que el intervalo es abierto y la

función continua.

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c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento en ( – ∞, 0 ). (0.5 puntos)

Como ya se estudio y concluyó en el apartado anterior, la función f(x) que tiene por expresión

algebraica (x + 3)2 en ese dominio, presenta decrecimiento en ( – ∞, – 3) y luego crecimiento

en el intervalo (– 3, 0)

5. Una empresa tiene dos líneas de producción. La línea 1 produce el 60% de los artículos y el

resto los produce la línea 2. Sabemos que el 0.5% de los artículos producidos por la línea 1

tiene algún defecto y así mismo el 2% de los artículos producidos por la línea 2 son

defectuosos.

a) Elegido un artículo al azar, calcula la probabilidad de que sea defectuoso. (0.75 puntos)

b) Sabiendo que un artículo tiene defectos, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido

producido por la línea 2? (0.75 puntos)

Solución. Los datos del problema se pueden describir mediante el siguiente diagrama de árbol:

a) Elegido un artículo al azar, calcula la probabilidad de que sea defectuoso. (0.75 puntos)

Apoyándonos en el diagrama de árbol, tendremos que la probabilidad pedida se puede

calcular mediante:

P(Defectuoso) = P( Defectuoso / Línea1 )·P(Línea 1) + P( Defectuoso / Línea 2 )·P(Línea 2) =

= 0´005 · 0´6 + 0´02 · 0´4 = 0´003 + 0´008 = 0´011

Por tanto, hay una probabilidad del 1.1 % de que el artículo elegido al azar sea defectuoso.

b) Sabiendo que un artículo tiene defectos, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido

producido por la línea 2? (0.75 puntos)

Apoyándonos en el diagrama de árbol, tendremos que la probabilidad pedida se puede

calcular mediante el teorema de Bayes y la probabilidad condicionada.

Por tanto, hay una probabilidad aproximada del 72´73 % de que el artículo defectuoso elegido

al azar pertenezca a la línea 2.

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6. En un establecimiento de comida rápida se sabe que el tiempo que emplean en comer sus

clientes sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 7 minutos.

El tiempo que emplearon 10 clientes elegidos aleatoriamente fue de 15, 20, 28, 21, 26, 30,

16, 18, 35 y 27 minutos respectivamente. Se pide:

a) Halla el intervalo de confianza para la media del tiempo que tardan en comer los clientes

del establecimiento con un nivel de confianza del 97 %. (1.25 puntos)

b) ¿Cuál deberá ser como mínimo el tamaño de la muestra para que el error de estimación

de la media sea inferior a 2 minutos con el mismo nivel de confianza? (0.75 puntos)

Solución.

a) Halla el intervalo de confianza para la media del tiempo que tardan en comer los clientes

del establecimiento con un nivel de confianza del 97 %. (1.25 puntos)

Sea la variable aleatoria X que mide el tiempo que tardan en comer los clientes. Según los

datos del problema esta variable se distribuye mediante una Normal de desviación conocida

e igual a σ = 7 minutos.

Por otra parte nos dan una muestra de tamaño n = 10 estudiantes y nos dicen que su media

muestral es 362́X ya que:

362́10

236

10

27351816302621282015

X

En estas condiciones nos preguntan el intervalo de confianza con 1 – α = 0´97 respecto a la

media poblacional. Este intervalo sigue la fórmula:

nzX

nzX

2/2/ ,

Puesto que 1 – α = 0´97, entonces α = 0´03 y α/2 = 0´015 por lo que zα/2 = 2´17.

Por tanto, sustituyendo en la fórmula del intervalo:

)403´28,797´18()8034́6´23,8034́6´23(10

7172́6´23,

10

7172́6´23

Concluimos que el intervalo de confianza al 97 % para el tiempo medio de consumo de

clientes del establecimiento es (18´796, 28´403).

b) ¿Cuál deberá ser como mínimo el tamaño de la muestra para que el error de estimación

de la media sea inferior a 2 minutos con el mismo nivel de confianza? (0.75 puntos)

El error de estimación viene determinado por la fórmula:

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Por lo que el tamaño mínimo que podemos estimar es,

Calculando dicho tamaño muestral mínimo obtenemos,

Concluimos que el mínimo el tamaño de la muestra para que el error de estimación de la

media sea inferior a 2 minutos con el mismo nivel de confianza es de n = 58 clientes.