Propuesta A -...

Propuesta A

1. Considera el siguiente problema de programación lineal:

Maximiza la función z = x + 3y sujeta a las siguientes restricciones:

– x + y ≤ 2

x + y ≤ 4

x ≥ 0 y ≥ 0

a) Dibuja la región factible. (1 punto)

b) Determina los vértices de la región factible. (0´25 puntos)

c) Indica la solución óptima del problema y su valor. (0´25 puntos)

2. En un departamento de una empresa internacional trabajan 18 personas de tres nacionalidades: franceses,

ingleses y alemanes. El número de empleados franceses es igual al doble del número que resulta al

sumar el número de ingleses y alemanes. Y el número de alemanes es el doble del número de ingleses.

a) Plantea el sistema que permita obtener el número de trabajadores de cada nacionalidad. (1´5 puntos)

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0´5 puntos)

3. Se considera la función

a) Halla el valor de t para que f sea continua en x = 2. (0´5 puntos)

b) Para t = 0, representa gráficamente la función f. (1 punto)

4. a) Calcula el valor del parámetro a para que la función f(x) = ax3 + 3x

2 – 12x + 5 tenga un mínimo en el

punto de abcisa x = 1. (0´75 puntos)

b) Para el valor de a calculado en el apartado anterior, halla el máximo relativo de la función anterior.

(0´75 puntos)

5. Una empresa sabe que la probabilidad de que un ordenador tenga un virus es 0´9. Dicha empresa tiene tres

ordenadores independientes.

a) ¿Cuál es la probabilidad de los tres ordenadores tengan virus? (0´5 puntos)

b)¿Cuál es la probabilidad de ninguno de los tres ordenadores tenga virus? (0´5 puntos)

c)¿Cuál es la probabilidad de al menos uno de los tres ordenadores tenga virus? (0´5 puntos)

6. La concentración de ácido úrico en sangre, en mujeres sanas, se distribuye según una normal de media

desconocida y desviación típica 1 mg/dl. Se seleccionan al azar 100 mujeres y, mediante un análisis, se

observa que la concentración media de ácido úrico en la muestra estudiada es de 3´5 mg/dl.

a) Halla un intervalo de confianza para la media de la concentración de ácido úrico en las mujeres con un

nivel de confianza del 97 %. (1 punto)

b) Explica razonadamente cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza. (1 punto)

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

2.0

2.1

0.9772

0.9821

0.9778

0.9826

0.9783

0.9830

0.9788

0.9834

0.9793

0.9838

0.9798

0.9842

0.9803

0.9846

0.9808

0.9850

0.9812

0.9854

0.9817

0.9857

2

PROPUESTA B

1. a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: – – , suponiendo que todas las matrices son cuadradas del mismo orden. (I es la matriz identidad). (0´75 puntos)

b) Si

, calcula la matriz X que cumple , donde I es la matriz identidad de

orden 2. (0´75 puntos)

2. Una floristería elabora, para el día de la madre, tres tipo de centros florales: tipo I, tipo II y tipo III, que

llevan margaritas, gerberas y liliums, en las siguientes proporciones:

Tipo I Tipo II Tipo III

Margaritas 12 4 8

Gerberas 10 15 5

Liliums 3 6 12

Si se dispone de 100 margaritas, 125 gerberas y 75 liliums:

a) Plantea el sistema que permita averiguar cuántos centros florales de cada tipo se podrán elaborar

utilizando todas las flores disponibles. (1´5 puntos)



a) Estudia su continuidad en x = 1. (0´5 puntos)

b) Calcula los extremos relativos de la función f(x) en el intervalo (– ∞, 1). (0´5 puntos)

c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) en (– ∞, 1). (0´5 puntos)

4. El ruido, medido en decibelios, producido por la música y los clientes en un local nocturno, se ajusta a la

función R(t) = – 4t2 + 24t + 54, siendo t el tiempo medido en horas, 0 ≤ t ≤ 6.

a) En la primera hora (t = 1) , ¿cuántos decibelios se registraron? (0´25 puntos)

b) ¿En qué momento se produce mayor ruido y a cuántos decibelios asciende? (1´25 puntos)

5. En un temario para la oposición a una plaza, hay 25 temas de los cuales 5 son de legislación y el resto son

del contenido propio de la plaza. Cada opositor elige al azar dos temas. Obviamente el mismo tema no

puede salir dos veces.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos temas elegidos ninguno sea de legislación? (0´75 puntos)

b) Si un opositor ha estudiado 10 temas de los 25, ¿cuál es la probabilidad de que de los dos temas

escogidos al menos uno sea de los que ha estudiado? (0´75 puntos)

6. En un centro de investigación, se está estudiando el tiempo de eliminación de una toxina en la sangre

mediante un fármaco. Se sabe que el tiempo de eliminación de esta toxina sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 6 horas. Se toma una muestra aleatoria de 10 pacientes y se

concluye que el tiempo que tardan en eliminar dicha toxina es: 39, 41, 42, 44, 48, 50, 53, 54, 59 y 60

horas respectivamente.

a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo de eliminación de dicha toxina

con un nivel de confianza del 97 %. (1´25 puntos)

b)¿Cuál debería ser como mínimo el tamaño de la muestra, para que el error máximo admisible de

estimación de la media sea inferior a 2 horas, con un nivel de confianza del 97 %? (0´75 puntos)

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

2.0

2.1

0.9772

0.9821

0.9778

0.9826

0.9783

0.9830

0.9788

0.9834

0.9793

0.9838

0.9798

0.9842

0.9803

0.9846

0.9808

0.9850

0.9812

0.9854

0.9817

0.9857

3

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA PROPUESTA A

1. Considera el siguiente problema de programación lineal:

Maximiza la función z = x + 3y sujeta a las siguientes restricciones:

– x + y ≤ 2

x + y ≤ 4

x ≥ 0

y ≥ 0




Solución.


Para representar la región factible representamos cada una de las inecuaciones. En el caso de x ≥

0 e y ≥ 0 tendremos que el semiplano de soluciones se reduce al primer cuadrante. Procedemos a

representar la inecuación – y + x ≤ 2.

Para ello representamos la recta – x+ y = 2

despejando “y” para luego dar valores

mediante una tabla:

x y = 2 + x

– 2 2 – 2 = 0

– 1 2 – 1 = 1

0 2 + 0 = 2

+ 1 2 + 1 = 3

+ 2 2 + 2 = 4

Para determinar el semiplano de soluciones de

la inecuación – x+ y ≤ 2, restringido al primer

cuadrante, probamos con un punto cualquiera

que no pertenezca a la recta – x + y = 2.

En este caso vamos a tomar el punto origen de

coordenadas (0, 0)

– 0 + 0 = 0 ≤ 2

Por lo tanto, (0, 0) cumple la inecuación y el semiplano de soluciones es el semiplano al que

pertenece el punto (0, 0). La recta la hacemos continua porque la desigualdad de la inecuación no

es estricta.

4

Procedemos a representar la inecuación x + y ≤ 4.

Para ello representamos la recta x + y = 4

despejando “y” para luego dar valores

mediante una tabla:

x y = 4 – x

– 2 4 – (– 2) = 4 + 2 = 6

– 1 4 – (– 1) = 4 + 1 = 5

0 4 – 0 = 4

+ 1 4 – 1 = 3

+ 2 4 – 2 = 2

Para determinar el semiplano de soluciones de

la inecuación x + y < 4, restringido al primer

cuadrante, probamos con un punto cualquiera

que no pertenezca a la recta x + y = 4. En este

caso vamos a tomar el punto origen de

coordenadas (0, 0)

0 + 0 = 0 < 4

Por lo tanto, (0, 0) cumple la inecuación y el semiplano de soluciones es el semiplano al que

pertenece el punto (0, 0). La recta la hacemos continua porque la desigualdad de la inecuación no

es estricta.

Por lo tanto, la región factible queda representada por la intersección de las dos

restricciones anteriores al primer cuadrante.

5


Hemos señalado los vértices A, B, C y O de la región factible en la representación del

apartado anterior. De todos modos, vamos a calcularlos algebraicamente mediante sistemas de

ecuaciones, determinando el punto de intersección de rectas.

Cálculo de las coordenadas del punto A. Se trata del punto de corte de la recta

– x + y = 2 con el eje de ordenadas x = 0. En ese caso, las coordenadas del punto serán:

Cálculo de las coordenadas del punto B. Se trata del punto de corte de la recta

– x + y = 2 con la recta x + y = 4. En ese caso, las coordenadas del punto serán:

Cálculo de las coordenadas del punto C. Se trata del punto de corte de la recta x + y = 4

con el eje de abcisas y = 0. En ese caso, las coordenadas del punto serán:

Cálculo de las coordenadas del punto O. Se trata del punto de corte del eje de abcisas

y = 0 con el eje de ordenadas x = 0. En ese caso, las coordenadas del punto serán O(0, 0)


La teoría de programación lineal indica que en los problemas de programación lineal de

mínimo o de máximo sobre una región acotada y compacta las soluciones óptimas se

encuentran en algún vértice. En ese caso, sustituimos las coordenadas de los vértices en la

función objetivo z = 2x + y para comprobar qué punto da valor máximo.

El vértice de valor máximo al sustituir en la función objetivo es B por lo que x = 1

y = 3 es la solución óptima del problema y el valor máximo de la función restringido a la

región factible es z(B) = 10.

6

2. En un departamento de una empresa internacional trabajan 18 personas de tres

nacionalidades: franceses, ingleses y alemanes. El número de empleados franceses es igual

al doble del número que resulta al sumar el número de ingleses y alemanes. Y el número de

alemanes es el doble del número de ingleses.

a) Plantea el sistema que permita obtener el número de trabajadores de cada nacionalidad.

(1´5 puntos)


Solución.

a) Plantea el sistema que permita obtener el número de trabajadores de cada nacionalidad.

(1´5 puntos)

Llamamos “x” al número de empleados franceses; “y” al número de empleados ingleses; y

“z” al número de empleados alemanes.

El sistema de ecuaciones pedido se gesta a partir de las siguientes afirmaciones del enunciado:

En un departamento de una empresa internacional trabajan 18

personas de tres nacionalidades: franceses, ingleses y alemanes. x + y + z = 18

El número de empleados franceses es igual al doble del número

que resulta al sumar el número de ingleses y alemanes. x = 2·( y + z )

Y el número de alemanes es el doble del número de ingleses. z = 2y

Por lo tanto, sistema lineal pedido es:


Podemos resolver mediante el método de Gauss o por el método de Cramer:

Por el método de Gauss. La matriz de Gauss es la siguiente:

Procedemos a aplicar el método de Gauss-Jordan,

7

Retomamos el sistema equivalente a la última matriz de Gauss:

Y resolvemos el sistema despejando:

Por lo tanto, hay 12 empleados franceses, 2 empleados ingleses y 4 empleados

alemanes.

Por el método de Cramer. Calculamos los cocientes de los determinantes respectivos:

Calculamos el número de empleados franceses:

8

Calculamos el número de empleados ingleses:

Calculamos el número de empleados ingleses:

Por lo tanto, hay 12 empleados franceses, 2 empleados ingleses y 4 empleados

alemanes.




Solución.


Para que una función f(x) sea continua en un valor de abcisa x = a debe ocurrir que los límites

laterales en x = a existan, sean iguales y coincidan con el valor de la función en el punto, que

también debe existir, es decir,

Calculamos los límites laterales de f(x) en x = 2 y la imagen de la función en x = 2.

9

Para que sea f(x) continua en x = 2 deberá ocurrir que,

Por lo tanto, t = 6 para que f(x) sea continua en x = 2.


Sea la función

, representamos cada uno de sus trozos:

Representación de g(x) =x.

Para representar g(x) en x ≤ 2 representamos

inicialmente la función y = x, que es una función

lineal, mediante una tabla de valores.

x y = x

– 1 – 1

0 0

+ 1 + 1

+ 2 + 2

Representación de h(x) = (x – 4)2 + 1

Esta función es cuadrática y tiene como

representación gráfica una parábola con las ramas

hacia arriba.

Representación y = x , x ≤ 2

Al reducir su expresión algebraica obtenemos,

La abcisa del vértice de esta función es,

Para representar h(x) en x > 2 hacemos una tabla

de valores donde damos como primer valor la

abcisa del vértice,

x y = (x – 4)2 + 1

Vx = 4 2 – 5 = – 3 (límite)

3 (3 – 4)2 + 1 = 1 + 1 = 2

2 (2 – 4)2 + 4 + 1 = 5 (límite)

5 (5 – 4)2 + 1 = 1 + 1 = 2

6 (6 – 4)2 + 1 = 4 + 1 = 5

10

Finalmente, uniendo los trozos de las representaciones gráficas, representamos la función f(x)

pedida en el enunciado.

4. a) Calcula el valor del parámetro a para que la función f(x) = ax3 + 3x

2 – 12x + 5 tenga un

mínimo en el punto de abcisa x = 1. (0´75 puntos)

b) Para el valor de a calculado en el apartado anterior, halla el máximo relativo de la

función anterior. (0´75 puntos)

Solución.

a) Calcula el valor del parámetro a para que la función f(x) = ax3 + 3x

2 – 12x + 5 tenga un

mínimo en el punto de abcisa x = 1. (0´75 puntos)

Para que la función f(x) tenga un mínimo en el punto de abcisa x = 1 debe ocurrir:

f´(1) = 0

Por lo tanto, calculamos la primera derivada de la función f,

– –

Igualamos a cero el resultado anterior y resolvemos la ecuación,

Concluimos que el valor para que la función f(x) tenga un mínimo en x = 1 es a = 2.

11

b) Para el valor de a calculado en el apartado anterior, halla el máximo relativo de la

función anterior. (0´75 puntos)

Sea la primera derivada de la función f(x) para a = 2,

– –

Para hallar el máximo relativo, debemos igualar a cero la primera derivada,

–

Comprobamos que el valor x = – 2, la función presenta un Máximo relativo. Para ello,

calculamos la segunda derivada y sustituimos en ella por x = – 2.

Puesto que en la sustitución se ha obtenido signo negativo, concluimos que en x = – 2, la

función f(x) tiene un Máximo relativo.

La imagen de este Máximo se obtiene sustituyendo x = – 2 en la propia expresión de la

función,

Por lo tanto, para en el punto ( – 2, 25) , la función f(x) tiene un Máximo relativo.

5. Una empresa sabe que la probabilidad de que un ordenador tenga un virus es 0´9. Dicha

empresa tiene tres ordenadores independientes.



c)¿Cuál es la probabilidad de al menos uno de los tres ordenadores tenga virus?

(0´5 puntos)

Solución. El problema se puede describir mediante una variable aleatoria Binomial X = “número

de ordenadores infectados con virus” en la que n = 3 y p = 0´9.

12


Se trata de calcular P( X = 3). Puesto que la distribución binomial B(n, p) sigue una estructura

de probabilidad,

Aplicado a nuestro caso, la probabilidad pedida será,

Por lo tanto, la probabilidad de que los tres ordenadores tenga virus es del 72´9 %.


Se trata de calcular P( X = 0). Aplicando de nuevo la fórmula de cálculo de la probabilidad

mediante el modelo Binomial,

Por lo tanto, la probabilidad de que ninguno de los tres ordenadores tenga virus

es del 0´1 %.

c)¿Cuál es la probabilidad de al menos uno de los tres ordenadores tenga virus?

(0´5 puntos)

Se trata de calcular P(X > 0). Mediante la probabilidad del suceso contrario podemos

determinar que,

Por lo tanto, la probabilidad de que al menos uno de los tres ordenadores tenga virus

es del 99´9 %.

13

6. La concentración de ácido úrico en sangre, en mujeres sanas, se distribuye según una

normal de media desconocida y desviación típica 1 mg/dl. Se seleccionan al azar 100

mujeres y, mediante un análisis, se observa que la concentración media de ácido úrico en la

muestra estudiada es de 3´5 mg/dl.

a) Halla un intervalo de confianza para la media de la concentración de ácido úrico en las

mujeres con un nivel de confianza del 95 %. (1 punto)

b) Explica razonadamente cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo de

confianza. (1 punto)

Solución.

a) Halla un intervalo de confianza para la media de la concentración de ácido úrico en las

mujeres con un nivel de confianza del 97 %. (1 punto)

Sea la variable aleatoria X que mide la concentración de ácido úrico. Según los datos del

problema esta variable se distribuye mediante una Normal de desviación conocida e igual a

σ = 1 mg/dl.

Por otra parte nos dan una muestra de tamaño n = 100 con media muestral

En estas condiciones nos preguntan el intervalo de confianza con 1 – α = 0´97 respecto a la

media poblacional. Este intervalo sigue la fórmula:

Puesto que 1 – α = 0´97, entonces α = 0´03 y α/2 = 0´015 por lo que zα/2 = 2´17.

Por tanto, sustituyendo en la fórmula del intervalo:

Concluimos que el intervalo de confianza al 97 % para la concentración media de ácido

úrico en mujeres sanas es (3´283, 3´717).

b) Explica razonadamente cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo de

confianza. (1 punto)

Aumentando el tamaño muestral disminuimos la semi-amplitud del intervalo de confianza y

la estimación es más exacta. Esto se debe a que la raíz cuadrada del tamaño muestral se

ubica en el denominador y por lo tanto, disminuye a la fracción cuanto mayor sea.

14

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA PROPUESTA B

1. a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: – – ,

suponiendo que todas las matrices son cuadradas del mismo orden. (I es la matriz

identidad). (0´75 puntos)

b) Si

, calcula la matriz X que cumple , donde I es la matriz

identidad de orden 2. (0´75 puntos)

Solución

a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: – – ,

suponiendo que todas las matrices son cuadradas del mismo orden. (I es la matriz

identidad). (0´75 puntos)

Emplazamos a todos los términos con X en uno de los miembros de la ecuación,

– – –

Sacamos factor común a X por la derecha,

–

Para eliminar la matriz – , multiplicamos en ambos miembros por la matriz

inversa (que suponemos que existe. En otro caso, no podríamos despejar X,

– – –

Aplicamos la propiedad de la matriz Identidad en el sentido de que al multiplicar toda matriz

por su matriz inversa se obtiene la matriz identidad.

– –

Por lo tanto, –

b) Si

, calcula la matriz X que cumple , donde I es la matriz

identidad de orden 2. (0´75 puntos)

La matriz A tiene matriz inversa ya que su determinante es no nulo,

En tal caso, podemos despejar X en la ecuación descrita, del siguiente modo,

15

Por lo tanto, la solución para la ecuación matricial y es X = A– 1

. Calculamos la matriz inversa

de A. Esto se puede hacer por dos métodos:

Método de Gauss-Jordan. Mediante transformaciones de la matriz de Gauss-Jordan

calculamos la matriz B– 1

.

Por lo tanto, la solución de la ecuación es

Método de los determinantes. La matriz A– 1

queda determinada por la expresión:

El determinante de B sabemos que es |A| = – 3

La matriz traspuesta de A es,

La matriz adjunta de la traspuesta de A es,

Y por lo tanto, la matriz inversa de B es,

Por lo tanto, la solución de la ecuación es

16

2. Una floristería elabora, para el día de la madre, tres tipo de centros florales: tipo I, tipo II y

tipo III, que llevan margaritas, gerberas y liliums, en las siguientes proporciones:

Tipo I Tipo II Tipo III

Margaritas 12 4 8

Gerberas 10 15 5

Liliums 3 6 12

Si se dispone de 100 margaritas, 125 gerberas y 75 liliums:

a) Plantea el sistema que permita averiguar cuántos centros florales de cada tipo se podrán

elaborar utilizando todas las flores disponibles. (1´5 puntos)


Solución. Llamamos “x” al número de centros florales de tipo I; “y” al número de centros

florales de tipo II; y llamamos “z” al número de centros florales de tipo III.

a) Plantea el sistema que nos permita obtener el número de bicicletas de cada tipo que se

podrán fabricar utilizando todas las piezas. (1´5 puntos)

El sistema de ecuaciones pedido se gesta a partir del número de flores de cada clase que se

usan para la creación de los centros:

Número de margaritas 12x + 4y + 8z = 100

Número de gerberas 10x + 15y + 5z = 125

Número de liliums 3x + 6y + 12z = 75

Por lo tanto, sistema lineal pedido es:

Este sistema se puede simplificar dividiendo la primera ecuación por 4, la segunda por 5 y la

tercera por 3, quedando del siguiente modo,

17


Podemos resolver mediante el método de Gauss o por el método de Cramer:

Por el método de Gauss. La matriz de Gauss es la siguiente:

Procedemos a aplicar el método de Gauss-Jordan, en donde lo primero que hacemos es

cambiar la primera fila con la tercera fila,

Retomamos el sistema equivalente a la última matriz de Gauss,

Y resolvemos el sistema despejando:

En conclusión, con el número de flores que tienen elaborarán 5 centros del tipo I;

4 centros de tipo II; y 3 centros del tipo III.

18

Por el método de Cramer. Calculamos los cocientes de los determinantes respectivos:

Calculamos el número de centros de tipo I,

Calculamos el número de centros de tipo II,

Calculamos el número de centros de tipo III,

En conclusión, con el número de flores que tienen elaborarán 5 centros del tipo I;

4 centros de tipo II; y 3 centros del tipo III.

19




c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) en (– ∞, 1).

(0´5 puntos)

Solución.


Para que una función f(x) sea continua en un valor de abcisa x = a debe ocurrir que los límites

laterales en x = a existan, sean iguales y coincidan con el valor de la función en el punto, que

también debe existir, es decir,

Aplicando esta definición a nuestro caso, debemos analizar si,

Calculamos los límites laterales de f(x) en x = 1 y la imagen de la función en x = 1.

Puesto que,

Concluimos que, f(x) NO es continua en x = 1 y presenta una discontinuidad de tipo

evitable.

20


Hay dos formas de calcular los extremos relativos:

Mediante derivadas. Se trata de calcular la derivada de la función f(x) en (– ∞, 1),

Anulamos la derivada y calculamos los valores de extremo relativo,

Para ver si x = – ½ es un máximo o mínimo relativo, sustituimos en la segunda derivada

para comprobar si el valor que se obtiene es negativo o positivo respectivamente.

Como se obtiene un valor positivo entonces en x = – ½ hay un mínimo relativo que,

además, es absoluto ya que la función es continua, en el intervalo (– ∞, 1).

Mediante cuadráticas. La expresión algebraica de la función f(x) en (2, + ∞) corresponde

a una función cuadrática según se puede observar,

La función cuadrática tiene gráfica parabólica con vértice en

Como el coeficiente del grado dos es positivo (a = 1) entonces la parábola es convexa ()

y de este modo el vértice x = – ½ es un mínimo relativo y absoluto de la función en el

intervalo (– ∞, 1)

c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) en (– ∞, 1).

(0´5 puntos)

Según lo expuesto en el apartado b), como la función f(x) es continua en el intervalo

(– ∞, 1), entonces f(x) es decreciente en el intervalo (– ∞, – ½ ) y creciente en el intervalo

(– ½ , 1).

Si no hubiéramos clasificado el extremo relativo x = – ½ , hay dos formas de determinar los

intervalos de crecimiento decrecimiento:

21

Mediante derivadas. Una vez calculado el extremo relativo, el estudio de la primera

derivada nos conduce a los intervalos de crecimiento y decrecimiento

Intervalo Valor

representante f´(x) = 2x + 1 Monotonía en el intervalo

(– ∞, – ½ ) – 1 2·(– 1) + 1 = – 2 + 1 = – 1 < 0 Decreciente.

(– ½, 1) 0 2·0 + 1 = 0 + 1 = – 1 < 0 Creciente

Por lo tanto, en (– ∞, – ½ ) la función decrece mientras que en (– ½, 1) la función crece.

Mediante cuadráticas. Como en x = – ½ tenemos el vértice de la cuadrática y la parábola

es convexa () entonces concluimos que en (– ∞, – ½ ) la función decrece mientras que

en (– ½, 1) la función crece.

4. El ruido, medido en decibelios, producido por la música y los clientes en un local nocturno,

se ajusta a la función R(t) = – 4t2 + 24t + 54, siendo t el tiempo medido en horas,

0 ≤ t ≤ 6.


b) ¿En qué momento se produce mayor ruido y a cuántos decibelios asciende?

(1´25 puntos)

Solución


Para calcular el valor de la primera hora, sustituimos en la expresión algebraica de la función,

R(1) = – 4·12 + 24·1 + 54 = – 4 + 24 + 54 = 74

Concluimos que el número de decibelios de la primera hora fue 74 Db.

b) ¿En qué momento se produce mayor ruido y a cuántos decibelios asciende?(1´25 puntos)

Para calcular el máximo de la función en el intervalo (0, 6) procedemos a calcular la derivada:

–

Igualamos a cero y calculamos así los extremos relativos.

–

Para comprobar si es el máximo o mínimo relativo, calculamos la segunda derivada y

sustituimos, el valor t = 3,

– –

22

Puesto que hemos obtenido un valor negativo, concluimos que en t = 3 horas hay un Máximo

relativo. Puesto que estamos buscando el Máximo absoluto en (0, 6) debemos comparar la

imagen en el Máximo relativo con las imágenes en los dos extremos del intervalo t = 0 y t = 6.

R(0) = – 4·02 + 24·0 + 54 = – 0 + 0 + 54 = 54

R(3) = – 4·32 + 24·3 + 54 = – 36 +72 + 54 = 90

R(6) = – 4·62 + 24·6 + 54 = – 144 +144 + 54 = 54

Como la imagen de t = 3 es superior a la de los extremos del intervalo, podemos asegurar que

el Máximo absoluto de la función R(t) en el intervalo (0, 6) está en t = 3 horas y allí se

alcanzan 90 db de ruido.

5. En un temario para la oposición a una plaza, hay 25 temas de los cuales 5 son de legislación

y el resto son del contenido propio de la plaza. Cada opositor elige al azar dos temas.

Obviamente el mismo tema no puede salir dos veces.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos temas elegidos ninguno sea de legislación?

(0´75 puntos)

b) Si un opositor ha estudiado 10 temas de los 25, ¿cuál es la probabilidad de que de los dos

temas escogidos al menos uno sea de los que ha estudiado? (0´75 puntos)

Solución.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos temas elegidos ninguno sea de legislación?

(0´75 puntos)

El problema se puede resolver mediante el siguiente diagrama de árbol,

En ese caso, la probabilidad de que ningún tema sea de legislación será,

Por lo tanto, la probabilidad de que ningún tema sea de legislación es aproximadamente

del 0´63 o 63 %.

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b) Si un opositor ha estudiado 10 temas de los 25, ¿cuál es la probabilidad de que de los

dos temas escogidos al menos uno sea de los que ha estudiado? (0´75 puntos)

El problema se puede resolver mediante el siguiente diagrama de árbol,

En ese caso, la probabilidad de que haya estudiado al menos un tema se puede calcular

rápidamente mediante el suceso complementario

Por lo tanto, la probabilidad de que aparezca al menos un tema que haya estudiado es del

0´65 o 65 %.

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6. En un centro de investigación, se está estudiando el tiempo de eliminación de una toxina en

la sangre mediante un fármaco. Se sabe que el tiempo de eliminación de esta toxina sigue

una distribución normal de media desconocida y desviación típica 6 horas. Se toma una

muestra aleatoria de 10 pacientes y se concluye que el tiempo que tardan en eliminar dicha

toxina es: 39, 41, 42, 44, 48, 50, 53, 54, 59 y 60 horas respectivamente.

a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo de eliminación de

dicha toxina con un nivel de confianza del 97 %. (1´25 puntos)

b)¿Cuál debería ser como mínimo el tamaño de la muestra, para que el error máximo

admisible de estimación de la media sea inferior a 2 horas, con un nivel de confianza

del 97 %? (0´75 puntos)

Solución.

a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo de eliminación de

dicha toxina con un nivel de confianza del 97 %. (1´25 puntos)

Sea la variable aleatoria X que mide el tiempo de eliminación de la toxina medida en horas.

Según los datos del problema esta variable se distribuye mediante una Normal de desviación

típica conocida e igual a σ = 6 horas.

Por otra parte nos dan una muestra de tamaño n = 10 de la que podemos calcular su media

muestral según los datos que gasto individual que nos dan de cada elemento de la muestra:

En estas condiciones nos preguntan el intervalo de confianza con 1 – α = 0´97 respecto a la

media poblacional. Este intervalo sigue la fórmula:

Puesto que 1 – α = 0´97, entonces α = 0´03 y α/2 = 0´015 por lo que zα/2 = 2´17.

Por tanto, sustituyendo en la fórmula del intervalo:

Concluimos que el intervalo de confianza al 97 % para el tiempo de eliminación de la

toxina medida en horas es (44´8827, 53´1173).

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b)¿Cuál debería ser como mínimo el tamaño de la muestra, para que el error máximo

admisible de estimación de la media sea inferior a 2 horas, con un nivel de confianza

del 97 %? (0´75 puntos)

El tamaño mínimo de la muestra se obtiene para un cierto Error máximo admisible E vendrá

dada por,

En este caso que nos presentan, el error máximo admisible es E = 2 horas y = 6 horas.

Además, puesto que seguimos con un nivel de confianza del 97 % entonces .

Por lo tanto, el tamaño mínimo para la muestra será,

Concluimos que el tamaño mínimo de la muestra con un nivel de confianza del 97 %

para tener un error máximo admisible de 6 horas es n = 43.

Propuesta A -...

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