Propuesta A -...

Propuesta A

1. Considera el siguiente problema de programación lineal:

Maximiza la función z = 2x + y sujeta a las siguientes restricciones:

x – y ≤ 1 x + y ≤ 2

x ≥ 0

y ≥ 0

a) Dibuja la región factible. (1 punto)

b) Determina los vértices de la región factible. (0´25 puntos)

c) Indica la solución óptima del problema y su valor. (0´25 puntos)

2. Para recaudar dinero para el viaje fin de curso, unos estudiantes han vendido camisetas, bufandas y

gorras a 10, 5 y 7 euros respectivamente. Han recaudado en total 2 980 euros. El número total de

prendas vendidas ha sido 380. El número de camisetas vendidas fue el doble del número de gorras

vendidas.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que permita obtener el número de camisetas, bufandas y gorras que

se vendieron. (1´5 puntos)

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0´5 puntos)

3. Se considera la función

a) Halla el valor de t para que f sea continua en x = 2. (0´5 puntos)

b) Para t = 2, representa gráficamente la función f. (1 punto)

4. Calcula los valores de los parámetros a y b para que la función f(x) = x2 + ax + b tenga un mínimo en el

punto (2, 1). (1´5 puntos)

5. En una empresa se producen dos tipos de piezas: A y B. El 20 % son piezas del tipo A y el 80 % piezas del

tipo B. La probabilidad de que una pieza del tipo A sea defectuosa es 0.02 y de que una pieza de tipo B

sea defectuosa es 0.1.

a) Elegida una pieza al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa? (0´75 puntos)

b) Se escoge al azar una pieza y resulta no defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea del tipo A?

(0´75 puntos)

6. Se considera una muestra aleatoria de 10 consumidores mayores de edad, que en las rebajas de invierno

gastaron 65, 72, 74, 75, 80, 81, 82, 84, 87 y 90 euros respectivamente.

a) Sabiendo que el gasto por persona, en las rebajas de invierno, sigue una distribución normal de media

desconocida y desviación típica = 20 euros, halla un intervalo de confianza para el gasto medio

poblacional con un nivel de confianza del 95 %. (1´25 puntos)

b) Explica razonadamente cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo con el mismo nivel de

confianza. (0´75 puntos)

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

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PROPUESTA B

1. Dadas las matrices

y

a) Calcular la matriz M = (3·I + A2), donde I es la matriz identidad de orden 3. (0´75 puntos)

b) Calcula la matriz X tal que X·B = I, donde I es la matriz identidad de orden 2. (0´75 puntos)

2. Una empresa produce tres tipos de bicicletas: de montaña, de paseo y estáticas. Para su fabricación cada

bicicleta necesita piezas de acero, aluminio y fibra de carbono en las cantidades que se indican en la tabla

siguiente:

Bicicleta de montaña Bicicleta de paseo Bicicleta estática

Piezas de acero 2 3 1

Piezas de aluminio 6 4 6

Piezas de fibra de carbono 8 6 6

Si se dispone de 9 piezas de acero, 28 piezas de aluminio y 34 de fibra de carbono:

a) Plantea el sistema que nos permita obtener el número de bicicletas de cada tipo que se podrán fabricar

utilizando todas las piezas. (1´5 puntos)



a) ¿Para qué valor de t la función f(x) es continua en x = 2? (0´5 puntos)

b) Calcula los extremos relativos de la función f(x) en el intervalo (2, + ∞). (0´5 puntos)

c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) en (2, + ∞). (0´5 puntos)

4. En un tramo de montaña rusa, la altura alcanzada por el vagón, medida en metros, se ajusta a la función

f(t) = t3 – 9t

2 + 15t + 38, siendo t el tiempo medido en segundos, 0 ≤ t ≤ 6.

a) ¿En qué instante t, el vagón alcanza la altura máxima en ese tramo, y cuál es dicha altura? (1 punto)

b) ¿En qué instante t, el vagón alcanza la altura mínima en ese tramo, y cuánto vale dicha altura? (0´5 puntos)

5. En un colegio el 30 % de los alumnos juegan al baloncesto, el 40 % juegan al fútbol y el 50 % juegan al

fútbol o al baloncesto o a ambos deportes.

a) Se elige un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que juegue al fútbol y juegue al baloncesto? (0´75 puntos)

b) Se elige un alumno al azar y juega al baloncesto, ¿cuál es la probabilidad de que juegue al fútbol?

(0´75 puntos)

6. Una fábrica produce cables de acero, cuya resiliencia sigue una distribución normal de media desconocida

y desviación típica = 10 KJ/m3. Se tomó una muestra aleatoria de 100 piezas y mediante un estudio

estadístico se obtuvo un intervalo de confianza (898´04, 901´96) para la resiliencia media de los cables

de acero producidos en la fábrica.

a) Calcula el valor de la resiliencia media de las 100 piezas de la muestra. (0´75 puntos)

b) Calcula el nivel de confianza con el que se ha obtenido dicho intervalo. (1´25 puntos)

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA PROPUESTA A

1. Considera el siguiente problema de programación lineal:

Maximiza la función z = 2x + y sujeta a las siguientes restricciones:

x – y ≤ 1

x + y ≤ 2

x ≥ 0

y ≥ 0




Solución.


Para representar la región factible representamos cada una de las inecuaciones. En el caso de x ≥

0 e y ≥ 0 tendremos que el semiplano de soluciones se reduce al primer cuadrante. Procedemos a

representar la inecuación x – y ≤ 1.

Para ello representamos la recta x – y = 1

despejando “y” para luego dar valores

mediante una tabla:

x y = x – 1

– 2 – 2 – 1 = – 3

– 1 – 1 – 1 = – 2

0 0 – 1 = – 1

+ 1 1 – 1 = 0

+ 2 2 – 1 = 1

Para determinar el semiplano de soluciones de

la inecuación x – y ≤ 1, restringido al primer

cuadrante, probamos con un punto cualquiera

que no pertenezca a la recta x – y = 1. En este

caso vamos a tomar el punto origen de

coordenadas (0, 0)

0 – 0 = 0 ≤ 1

Por lo tanto, (0, 0) cumple la inecuación y el semiplano de soluciones es el semiplano al que

pertenece el punto (0, 0). La recta la hacemos continua porque la desigualdad de la inecuación no

es estricta.

4

Procedemos a representar la inecuación x + y ≤ 2.

Para ello representamos la recta x + y = 2

despejando “y” para luego dar valores

mediante una tabla:

x y = 2 – x

– 2 2 – (– 2) = 2 + 2 = 4

– 1 2 – (– 1) = 2 + 1 = 3

0 2 – 0 = 2

+ 1 2 – 1 = 1

+ 2 2 – 2 = 0

Para determinar el semiplano de soluciones de

la inecuación x + y < 2, restringido al primer

cuadrante, probamos con un punto cualquiera

que no pertenezca a la recta x + y = 2. En este

caso vamos a tomar el punto origen de

coordenadas (0, 0)

0 + 0 = 0 < 2

Por lo tanto, (0, 0) cumple la inecuación y el semiplano de soluciones es el semiplano al que

pertenece el punto (0, 0). La recta la hacemos discontinua porque la desigualdad de la inecuación

es estricta.

Por lo tanto, la región factible queda representada por la intersección de las dos

restricciones anteriores al primer cuadrante.

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Hemos señalado los vértices A, B, C y O de la región factible en la representación del

apartado anterior. De todos modos, vamos a calcularlos algebraicamente mediante sistemas de

ecuaciones, determinando el punto de intersección de rectas.

Cálculo de las coordenadas del punto A. Se trata del punto de corte de la recta x + y = 2

con el eje de ordenadas x = 0. En ese caso, las coordenadas del punto serán:

Cálculo de las coordenadas del punto B. Se trata del punto de corte de la recta x – y = 1

con la recta x + y = 2. En ese caso, las coordenadas del punto serán:

Cálculo de las coordenadas del punto C. Se trata del punto de corte de la recta x – y = 1

con el eje de abcisas y = 0. En ese caso, las coordenadas del punto serán:

Cálculo de las coordenadas del punto O. Se trata del punto de corte del eje de abcisas

y = 0 con el eje de ordenadas x = 0. En ese caso, las coordenadas del punto serán O(0, 0)


La teoría de programación lineal indica que en los problemas de programación lineal de

mínimo o de máximo sobre una región acotada y compacta las soluciones óptimas se

encuentran en algún vértice. En ese caso, sustituimos las coordenadas de los vértices en la

función objetivo z = 2x + y para comprobar qué punto da valor máximo.

z(A) = 2·0 + 2 = 0 + 2 = 2

z(B) = 2·1´5 + 0´5 = 3 + 0´5 = 3´5

z(C) = 2·1 + 0 = 2 + 0 = 2

z(O) = 2·0 + 0 = 0 + 0 = 0

El vértice de valor máximo al sustituir en la función objetivo es B por lo que x = 1´5

y = 0´5 es la solución óptima del problema y el valor máximo de la función restringido a

la región factible es z(B) = 3´5.

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2. Para recaudar dinero para el viaje fin de curso, unos estudiantes han vendido camisetas,

bufandas y gorras a 10, 5 y 7 euros respectivamente. Han recaudado en total 2 980 euros.

El número total de prendas vendidas ha sido 380. El número de camisetas vendidas fue el

doble del número de gorras vendidas.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que permita obtener el número de camisetas, bufandas

y gorras que se vendieron. (1´5 puntos)


Solución.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que permita obtener el número de camisetas, bufandas

y gorras que se vendieron. (1´5 puntos)

Llamamos “x” al número de camisetas vendidas; “y” al número de bufandas vendidas; y “z”

al número de gorras vendidas.

El sistema de ecuaciones pedido se gesta a partir de las siguientes afirmaciones del enunciado:

Unos estudiantes han vendido camisetas, bufandas y gorras a 10, 5

y 7 euros respectivamente. Han recaudado en total 2 980 euros. 10x + 5y + 7z = 2 980

El número total de prendas vendidas ha sido 380. x + y + z = 380

El número de camisetas vendidas fue el doble del número de

gorras vendidas. x = 2z

Por lo tanto, sistema lineal pedido es:


Podemos resolver mediante el método de Gauss o por el método de Cramer:

Por el método de Gauss. La matriz de Gauss es la siguiente:

Procedemos a aplicar el método de Gauss-Jordan, en donde lo primero que hacemos es

cambiar la fila dos por la fila uno.

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Retomamos el sistema equivalente a la última matriz de Gauss:

Y resolvemos el sistema despejando:

Por lo tanto, vendieron 180 camisetas, 110 bufandas y 90 gorras.

Por el método de Cramer. Calculamos los cocientes de los determinantes respectivos:

Calculamos el número de camisetas vendidas:

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Calculamos el número de bufandas vendidas:

Calculamos el número de gorras vendidas:

Por lo tanto, vendieron 180 camisetas, 110 bufandas y 90 gorras.




Solución.


Para que una función f(x) sea continua en un valor de abcisa x = a debe ocurrir que los límites

laterales en x = a existan, sean iguales y coincidan con el valor de la función en el punto, que

también debe existir, es decir,

Calculamos los límites laterales de f(x) en x = 2 y la imagen de la función en x = 2.

Para que sea f(x) continua en x = 2 deberá ocurrir que,

Por lo tanto, t = 6 para que f(x) sea continua en x = 2.

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Sea la función

, representamos cada uno de sus trozos:

Representación de g(x) = | – x – 1 | – 2.

Para representar g(x) en x ≤ 2 representamos

inicialmente la función y = – x – 1, que es una

función afín, mediante una tabla de valores.

x y = – x – 1

– 1 – (– 1) – 1 = 1 – 1 = 0

0 – (0) – 1 = 0 – 1 = – 1

+ 1 – (+ 1) – 1 = – 1 – 1 = – 2

+ 2 – (+ 2) – 1 = – 2 – 1 = – 3

Para representar la función valor absoluto de la

función anterior, es decir | – x – 1| hacemos una

simetría respecto del eje OX en la parte de la

recta que está por debajo del eje OX.

Representación y = – x – 1

En tal caso, la representación gráfica de y = | – x – 1| es la siguiente gráfica que hemos situado

a la izquierda. Por último, representamos el trozo de la función que se nos pide haciendo una

traslación vertical de 2 unidades hacia abajo, obteniendo la gráfica de la función (gráfica de la

derecha)

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Procedemos ahora a representar el otro trozo de la función f(x):

Representación de h(x) = x – 5.

Para representar h(x) en x > 2 hacemos una tabla

de valores al tratarse nuevamente de una función

afín (una recta que no pasa por el origen de

coordenadas):

x y = x – 5

2 2 – 5 = – 3 (límite)

3 3 – 5 = – 2

4 4 – 5 = – 1 5 5 – 5 = 0

Finalmente, uniendo los trozos de las representaciones gráficas, representamos la función f(x)

pedida en el enunciado.

4. Calcula los valores de los parámetros a y b para que la función f(x) = x2 + ax + b tenga un

mínimo en el punto (2, 1). (1´5 puntos)

Solución. Para que la función f(x) tenga un mínimo en el punto (2, 1) debe ocurrir:

f(2) = 1

f´(2) = 0

En tal caso, puesto que la derivada de f(x) es, f´(x) = 2x + a tendremos que,

f(2) = 1 f(2) = 22 + a·2 + b = 4 + 2a + b = 2a + 4 + b = 1 2a + b = – 3

f´(2) = 0 f´(2) = 2·2 + a = 4 + a = 0 a = – 4

Por tanto, a = – 4 y, sustituyendo en 2a + b = – 3, podemos calcular el valor de b,

2·(– 4) + b = – 3 – 8 + b = – 3 b = + 8 – 3 = + 5

Por lo tanto, los valores de los parámetros son a = – 4 y b = + 5.

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5. En una empresa se producen dos tipos de piezas: A y B. El 20 % son piezas del tipo A y el

80 % piezas del tipo B. La probabilidad de que una pieza del tipo A sea defectuosa es 0.02 y

de que una pieza de tipo B sea defectuosa es 0.1.


b) Se escoge al azar una pieza y resulta no defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea

del tipo A? (0´75 puntos)

Solución. El problema se puede describir mediante un diagrama de árbol como el que sigue:


Aplicamos el teorema de la probabilidad total:

Por lo tanto, la probabilidad de que tomada una pieza al azar sea defectuosa es

del 8´4 %.

b) Se escoge al azar una pieza y resulta no defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea

del tipo A? (0´75 puntos)

Al tratarse de una probabilidad condicionada donde piden la probabilidad de un suceso de la

primera fase sabiendo lo que ocurrió en la segunda fase, aplicamos el teorema de la Bayes:

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La probabilidad de que una pieza al azar sea no defectuosa es complementaria a la de ser

defectuosa. Por lo tanto,

P(No defectuosa) = 1 – P(Defectuosa) = 1 – 0´084 = 0´916

Por lo tanto,

Por lo tanto, la probabilidad de que tomada una pieza al azar que resulta ser No

defectuosa sea del tipo A es del 21´4 %

6. Se considera una muestra aleatoria de 10 consumidores mayores de edad, que en las

rebajas de invierno gastaron 65, 72, 74, 75, 80, 81, 82, 84, 87 y 90 euros respectivamente.

a) Sabiendo que el gasto por persona, en las rebajas de invierno, sigue una distribución

normal de media desconocida y desviación típica = 20 euros, halla un intervalo de

confianza para el gasto medio poblacional con un nivel de confianza del 95 %.

(1´25 puntos)

b) Explica razonadamente cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo con el

mismo nivel de confianza. (0´75 puntos)

Solución.

a) Sabiendo que el gasto por persona, en las rebajas de invierno, sigue una distribución

normal de media desconocida y desviación típica = 20 euros, halla un intervalo de

confianza para el gasto medio poblacional con un nivel de confianza del 95 %.

(1´25 puntos)

Sea la variable aleatoria X que mide el gasto por persona. Según los datos del problema esta

variable se distribuye mediante una Normal de desviación conocida e igual a σ = 20 euros.

Por otra parte nos dan una muestra de tamaño n = 10 de la que podemos calcular su media

muestral según los datos que gasto individual que nos dan de cada elemento de la muestra:

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En estas condiciones nos preguntan el intervalo de confianza con 1 – α = 0´95 respecto a la

media poblacional. Este intervalo sigue la fórmula:

Puesto que 1 – α = 0´95, entonces α = 0´05 y α/2 = 0´025 por lo que zα/2 = 1´96.

Por tanto, sustituyendo en la fórmula del intervalo:

Concluimos que el intervalo de confianza al 95 % para el gasto medio poblacional es

(72´6754, 85´3246).

b) Explica razonadamente cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo con el

mismo nivel de confianza. (0´75 puntos)

Aumentando el tamaño muestral disminuimos la semi-amplitud del intervalo de confianza y

la estimación es más exacta. Esto se debe a que la raíz cuadrada del tamaño muestral se

ubica en el denominador y por lo tanto, disminuye a la fracción cuanto mayor sea.

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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA PROPUESTA B

1. Dadas las matrices

y



Solución



Despejamos en la ecuación la matriz X. En este caso, debemos multiplicar por la matriz

inversa de B por la derecha.

X · B = I X · B · B– 1

= I · B– 1

X · (B · B– 1

) = B– 1

X · I = B– 1

X = B– 1

Esto sólo se puede hacer si la matriz inversa de B existe. Por lo tanto, primero nos

aseguramos de que tal matriz existe, viendo si es cuadrada (que lo es) y, sobre todo, probando

que el determinante de dicha matriz B es no nulo:

Por lo tanto, si hay solución para la ecuación matricial y es X = B– 1

. Calculamos la matriz

inversa de B. Esto se puede hacer por dos métodos:

Método de Gauss-Jordan. Mediante transformaciones de la matriz de Gauss-Jordan

calculamos la matriz B– 1

.

Por lo tanto, la solución de la ecuación es

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Método de los determinantes. La matriz B– 1

queda determinada por la expresión:

El determinante de B sabemos que es |B| = – 5

La matriz traspuesta de B es,

La matriz adjunta de la traspuesta de B es,

Y por lo tanto, la matriz inversa de B es,

Por lo tanto, la solución de la ecuación es

2. Una empresa produce tres tipos de bicicletas: de montaña, de paseo y estáticas. Para su

fabricación cada bicicleta necesita piezas de acero, aluminio y fibra de carbono en las

cantidades que se indican en la tabla siguiente:

Bicicleta de montaña Bicicleta de paseo Bicicleta estática

Piezas de acero 2 3 1

Piezas de aluminio 6 4 6

Piezas de fibra de carbono 8 6 6

Si se dispone de 9 piezas de acero, 28 piezas de aluminio y 34 de fibra de carbono:

a) Plantea el sistema que nos permita obtener el número de bicicletas de cada tipo que se

podrán fabricar utilizando todas las piezas. (1´5 puntos)


Solución. Llamamos “x” al número de bicicletas de montaña; “y” al número de bicicletas de

paseo; y llamamos “z” al número de bicicletas estáticas.

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a) Plantea el sistema que nos permita obtener el número de bicicletas de cada tipo que se

podrán fabricar utilizando todas las piezas. (1´5 puntos)

El sistema de ecuaciones pedido se gesta a partir del número de piezas de cada clase que se

usan para la fabricación de las bicicletas:

Número de piezas totales de acero 2x + 3y + z = 9

Número de piezas totales de aluminio 6x + 4y + 6z = 28

Número de piezas totales de carbono 8x + 6y + 6z = 34

Por lo tanto, sistema lineal pedido es:

Este sistema se puede simplificar en la segunda y en la tercera ecuación ya que ambas son

todas múltiplos de 2. Es sistema quedará,


Podemos resolver mediante el método de Gauss o por el método de Cramer:

Por el método de Gauss. La matriz de Gauss es la siguiente:

Procedemos a aplicar el método de Gauss-Jordan, en donde lo primero que hacemos es

cambiar la columna de las x por la de las z.

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Retomamos el sistema equivalente a la última matriz de Gauss (recordar que cambiamos

las columnas):

Y resolvemos el sistema despejando:

Por lo tanto, vendieron 2 bicicletas de montaña, 1 bicicleta de paseo y 2 bicicletas

estáticas.

Por el método de Cramer. Calculamos los cocientes de los determinantes respectivos:

Calculamos el número de bicicletas de montaña:

Calculamos el número de bicicletas de paseo:

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Calculamos el número de bicicletas estáticas:

Por lo tanto, vendieron 2 bicicletas de montañas, 1 bicicleta de paseo y 2 bicicletas

estáticas.




c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) en (2, + ∞).

(0´5 puntos)

Solución.


Para que una función f(x) sea continua en un valor de abcisa x = a debe ocurrir que los límites

laterales en x = a existan, sean iguales y coincidan con el valor de la función en el punto, que

también debe existir, es decir,

Calculamos los límites laterales de f(x) en x = 2 y la imagen de la función en x = 2.

Para que sea f(x) continua en x = 2 deberá ocurrir que,

Por lo tanto, t = 2 para que f(x) sea continua en x = 2.

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Hay dos formas de calcular los extremos relativos:

Mediante derivadas. Se trata de calcular la derivada de la función f(x) en (2, + ∞), se

anula y se calculan los valores de extremo relativo.

f´(x) = 2·(x – 3) = 0 x – 3 = 0 x = 3

Para ver si es un máximo o mínimo relativo, sustituimos en la segunda derivada para

comprobar si el valor que se obtiene es negativo o positivo respectivamente.

f´´(x) = 2 f´´(3) = 2 > 0

Como se obtiene un valor positivo entonces en x = 3 hay un mínimo relativo que,

además, es absoluto ya que la función es continua, en el intervalo (2, + ∞).

Mediante cuadráticas. La expresión algebraica de la función f(x) en (2, + ∞) corresponde

a una función cuadrática según se puede observar,

f(x) = (x – 3)2 – 1 = x

2 + 3

2 – 2·x·3 – 1 = x

2 + 9 – 6x – 1 = x

2 – 6x + 8

La función cuadrática tiene gráfica parabólica con vértice en

Como el coeficiente del grado dos es positivo (a = 1) entonces la parábola es convexa ()

y de este modo el vértice x = 3 es un mínimo relativo y absoluto de la función en el

intervalo (2, + ∞)

c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) en (2, + ∞).(0´5 puntos)

Según lo expuesto en el apartado b), como la función f(x) es continua en el intervalo

(2, + ∞), entonces f(x) es decreciente en el intervalo (2, 3) y creciente en el intervalo (3, + ∞).

Si no hubiéramos clasificado el extremo relativo x = 3, hay dos formas de determinar los

intervalos de crecimiento decrecimiento:

Mediante derivadas. Una vez calculado el extremo relativo, el estudio de la primera

derivada nos conduce a los intervalos de crecimiento y decrecimiento

Intervalo Valor representante f´(x) = 2·(x – 3) Monotonía en el intervalo

(2, 3) 2´5 2·(2´5 – 3) = 2·(– 0´5) = – 1 < 0 Decreciente.

(3, + ∞) 4 2·(4 – 3) = 2·(1) = 2 > 0 Creciente

Por lo tanto, en (2, 3) la función decrece mientras que en (3, + ∞) la función crece.

Mediante cuadráticas. Como en x = 3 tenemos el vértice de la cuadrática y la parábola es

convexa () entonces concluimos que en (2, 3) la función decrece mientras que en

(3, + ∞) la función crece.

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4. En un tramo de montaña rusa, la altura alcanzada por el vagón, medida en metros, se

ajusta a la función f(t) = t3 – 9t

2 + 15t + 38, siendo t el tiempo medido en segundos,

0 ≤ t ≤ 6.

a) ¿En qué instante t, el vagón alcanza la altura máxima en ese tramo, y cuál es dicha

altura? (1 punto)

b) ¿En qué instante t, el vagón alcanza la altura mínima en ese tramo, y cuánto vale dicha

altura? (0´5 puntos)

Solución

a) ¿En qué instante t, el vagón alcanza la altura máxima en ese tramo, y cuál es dicha

altura? (1 punto)

Para calcular el máximo de la función en el intervalo (0, 6) procedemos a calcular la derivada:

f´(t) = 3t2 – 18 t + 15

Igualamos a cero y calculamos así los extremos relativos.

Para saber cuál de los dos valores hallados es el máximo, estudiamos el signo de la primera

derivada haciendo intervalos y sustituyendo un valor del intervalo en la primera derivada. Si

se obtiene valor positivo, en el intervalo crece y si sale negativo, en el intervalo decrece.

Intervalo Valor representante f´(t) = 3t2 – 18 t + 15 Monotonía en el intervalo

(0, 1) 0´5 3·0´52 – 18·0´5 + 15 = 6´75 > 0 Creciente

(1, 5) 3 3·32 – 18·3 + 15 = – 12 < 0 Decreciente

(5, 6) 5´5 3·5´52 – 18·5´5 + 15 = 6´75 > 0 Creciente

Por lo tanto, vemos que en t = 1 la función f(t) pasa de ser creciente a ser decreciente y es ahí

donde está el máximo relativo. Concluimos que en t = 1 segundos hay un Máximo relativo.

Puesto que estamos buscando el Máximo absoluto en (1, 6) debemos comparar la imagen en

el Máximo relativo con las imágenes en los dos extremos del intervalo t = 0 y t = 6.

f(0) = 03 – 9·0

2 + 15·0 + 38 = 38

f(6) = 63 – 9·6

2 + 15·6 + 38 = 216 – 324 + 90 + 38 = 20

f(1) = 13 – 9·1

2 + 15·1 + 38 = 1 – 9 + 15 + 38 = 45

21

Como la imagen de t = 1 es superior a la de los extremos del intervalo, podemos asegurar que

el Máximo absoluto de la función f(t) en el intervalo (0, 6) está en t = 1 segundo y allí se

alcanza la altura máxima de 45 m.

b) ¿En qué instante t, el vagón alcanza la altura mínima en ese tramo, y cuánto vale dicha

altura? (0´5 puntos)

En el apartado anterior se puede observar que en t = 5 la función f(t) pasa de ser decreciente a

ser creciente y es ahí donde está el mínimo relativo. Concluimos que en t = 5 segundos hay un

mínimo relativo.

Puesto que estamos buscando el mínimo absoluto en (1, 6) debemos comparar nuevamente la

imagen en el Máximo relativo con las imágenes en los dos extremos del intervalo f(0) = 38 m

y f(6) = 20 m. Calculamos la imagen en t = 5 segundos,

f(5) = 53 – 9·5

2 + 15·5 + 38 = 125 – 225 + 75 + 38 =13

Como la imagen de t = 5 es inferior a la de los extremos del intervalo, podemos asegurar que

el mínimo absoluto de la función f(t) en el intervalo (0, 6) está en t = 5 segundos y allí se

alcanza la altura mínima de 13 m.

5. En un colegio el 30 % de los alumnos juegan al baloncesto, el 40 % juegan al fútbol y

el 50 % juegan al fútbol o al baloncesto o a ambos deportes.

a) Se elige un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que juegue al fútbol y juegue al

baloncesto? (0´75 puntos)

b) Se elige un alumno al azar y juega al baloncesto, ¿cuál es la probabilidad de que juegue

al fútbol? (0´75 puntos)

Solución. Sea el suceso F = “Jugar al fútbol” y sea el suceso B = “Jugar al baloncesto”. Por el

enunciado sabemos las siguientes probabilidades:

P(F) = 0´3 P(B) = 0´4 P(F B) = 0´5

a) Se elige un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que juegue al fútbol y juegue al

baloncesto? (0´75 puntos)

Se trata de calcular la probabilidad del suceso intersección F B. Para ello aplicamos la

fórmula de la probabilidad de la unión:

P(F B) = P(F) + P(B) – P(F B) 0´5 = 0´3 + 0´4 – P(F B)

P(F B) = 0´3 + 0´4 – 0´5 = 0´2

Por lo tanto, la probabilidad de que un alumno elegido al azar juegue al fútbol y al

baloncesto es del 20 %.

22

b) Se elige un alumno al azar y juega al baloncesto, ¿cuál es la probabilidad de que

juegue al fútbol? (0´75 puntos)

Se trata de calcular la probabilidad del suceso condicionado F / B. Para ello aplicamos la

fórmula de la probabilidad condicionada:

Por lo tanto, la probabilidad de que un alumno elegido al azar que resultó que jugaba

al baloncesto, juegue al fútbol es del 50 %.

6. Una fábrica produce cables de acero, cuya resiliencia sigue una distribución normal de

media desconocida y desviación típica = 10 KJ/m3. Se tomó una muestra aleatoria de 100

piezas y mediante un estudio estadístico se obtuvo un intervalo de confianza

(898´04, 901´96) para la resiliencia media de los cables de acero producidos en la fábrica.



Solución.


Puesto que la media muestral es el centro del intervalo de confianza, podemos calcular el

valor de la resiliencia media calculando el centro del intervalo.

Por lo tanto, la resiliencia media de las 100 piezas de la muestra es 900 KJ/m3


Observamos que KJ/m3, n = 100 y = 10 KJ/m

3.

Por otra parte, la semi-amplitud del intervalo de confianza es:

901´96 – 900 = 1´96 10 KJ/m3

que debe ser igual a

Por lo tanto, y entonces, a través de la tabla obtenemos que,

/2 = 1 – 0´975 = 0´025 = 0´05 1 – = 1 – 0´05 = 0´95

Concluimos que el nivel de confianza del test es del 95 %.

Propuesta A -...

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