Series de Fourier

Ingeniería Sísmica

Nelson Afanador García, I.C. Ms.C.

Tipos de movimiento vibratorio

MOVIMIENTO VIBRATORIO

Introducción


movimiento periódico: se repite a intervalos de tiempo

movimiento no periódico: no se repite en el tiempo

Eventos transitorios, movimiento no periódicos pueden ser representados como movimiento periódicos asumiendo que ellos se repiten después de una zona quieta, durante el cual no ocurre movimiento

Movimiento periódico y no periódico




Movimiento armónico simple

Principales características

• Amplitud• Frecuencia• Fase

El movimiento armónico simple puede ser descrito

1. Usando notación trigonométrica2. Usando notación compleja

Movimiento transitorio como un movimiento periódico usando un artificio de zona quieta




Notación trigonométrica para movimiento armónico simple (MAS)

𝑢 (𝑡 )=𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 +𝜙 )

A=amplitud de desplazamiento

w= frecuencia circular

= ángulo de fase

Para que el desplazamiento sea cero, se cumple que:

Si ó

Entonces

Un ángulo de fase positivo significa que el movimiento es guiado por la función seno

Variación en el tiempo del movimiento armónico simple




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1

0

1

A sin w t 1

A sin w t 2

t

El tiempo necesario para que el vector rotación haga un ciclo completo es denominado Periodo de vibración, T

• Periodo de vibración (T)

Vector rotación representando el MAS con ángulo de fase cero

La respuesta está adelantándose a la señal de entrada

• Frecuencia de oscilación (f) (ciclos por segundo o Hertz)




El movimiento armónico simple puede ser expresado como la suma de la función seno y la función coseno

𝑢 (𝑡 )=acos (𝑤𝑡 )+𝑏𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 202

1

0

1

2

Tiempo

u(t)

b sin w t( )

a cos w t( )

a cos w t( ) b sin w t( )

t

Suma de la función seno y coseno con una misma frecuencia produce una función sinusoidal con la misma frecuencia, donde la amplitud y fase sinusoidal dependen de la amplitud de la función seno y coseno




Suma de componentes verticales de las funciones seno y coseno

Se cumple que cos () = sen (+90º)

Las componentes verticales son a cos (wt) y b sen (wt)

el valor total de u(t) está dada por u(t) = a cos (wt) + b sen (wt)




Notación compleja para movimiento armónico simple (MAS)

La notación compleja puede ser derivada directamente desde la notación trigonométrica usando la “ley de Euler “.

𝑠𝑒𝑛∝=−𝑖(𝑒𝑖∝− e− i∝

2 )donde

Sustituyendo en:

𝑢 (𝑡 )=𝑎 𝑒𝑖𝑤𝑡+𝑒− 𝑖𝑤𝑡

2−𝑏𝑖 𝑒

𝑖𝑤𝑡 −𝑒−𝑖𝑤𝑡

2




Un vector en rotación antihoraria de longitud A/2 produce un MAS. Observe que el ángulo de fase esta medido desde el eje horizontal en la dirección del vector rotación.

puede ser representado por una vector de parte real, , y una parte imaginaria, , rotando horariamente con velocidad angular w.

el segundo término por otro vector con la misma parte real, pero una parte imaginaria, , pero rotando anti horariamente con velocidad angular w

La longitud de cada vector




Otras medidas de movimiento.

Desplazamiento. .Velocidad.

Aceleración.

Amplitud al desplazamiento. , Amplitud a la velocidad. Amplitud de la aceleración.

N.M. Newmark sugirió una forma de presentar los tres espectros en un solo gráfico que denomino tripartita, en el cual se coloca en el eje horizontal el logaritmo del periodo de vibración T y en el eje vertical el logaritmo de la ordenada del espectro de pseudo – velocidad..




Un punto indicado en la figura describe un movimiento armónico con un periodo de 0.65 seg con amplitud de desplazamiento de 0.8 pulg., amplitud en la velocidad de 8.0 pulg/seg, y amplitud de aceleración de 0.20 g.




Desplazamiento. .Velocidad.

Aceleración.

Variación en el tiempo del desplazamiento, velocidad y aceleración.




Representación del vector rotación de desplazamiento, velocidad y aceleración, note que la aceleración esta adelantado 90º ó /2 y con respecto a el desplazamiento 180º ó .



Serie de Fourier

Serie de Fourier

Jean-Baptiste-Joseph Fourier (21 de marzo de 1768 en Auxerre - 16 de mayo de 1830 en París), matemático y físico francés Se incorporó a la Escuela Normal Superior de París en donde tuvo entre sus profesores a Joseph-Louis Lagrange y Pierre Simon Laplace. Posteriormente, ocupó una cátedra en la Escuela Politécnica.

Fourier postulo en 1807 que una función arbitraria f(t) puede ser representada por una serie trigonométrica de la forma:

∑𝑛=0

∞

(𝐴𝑛𝑐𝑜𝑠𝑛𝑘𝑥+𝐵𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑘𝑥 )

Oposición en Poisson, Laplace y LagrangePublicado en 1822

http://es.wikipedia.org/wiki/21_de_marzo

http://es.wikipedia.org/wiki/1768

http://es.wikipedia.org/wiki/Auxerre

http://es.wikipedia.org/wiki/16_de_mayo

http://es.wikipedia.org/wiki/1830

http://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%ADs

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tico

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsico

http://es.wikipedia.org/wiki/Escuela_Normal_Superior_de_Par%C3%ADs

http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Louis_Lagrange

http://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_Simon_Laplace





Serie de Fourier

Serie de Fourier

la condición para la existencia de una serie de Fourier es casi siempre conseguir una función que describa exactamente procesos físicos, esto es extraordinariamente una herramienta importante en muchas ramas de la ciencia y la ingeniería.

Representación de la serie de Fourier de cargas complicadas que puede permitir una relativa solución simple de cargas armónicas a ser usadas para producir la respuesta total.



Serie de Fourier

TEOREMA DE FOURIER

Una función periódica con periodo T, puede expresarse como la suma de un número de funciones seno de diferentes amplitudes, fases y periodos.

𝑓 (𝑡 )=𝐴0+ 𝐴1 sen (𝑤𝑡+𝜙1 )+ 𝐴2 sen (2𝑤𝑡+𝜙2 )+…+𝐴𝑛 sen (𝑛𝑤𝑡+𝜙𝑛 )+…

Donde; las A y las son constantes y w=2/T es la frecuencia de f(t).

A1=sen(wt+ 1) se llama la primera armónica o modo fundamental, y tiene la misma frecuencia w que la función padre f(t).

An=sen(wt+ n) se llama la n-ésima armónica, y tiene frecuencia nw que es n veces la del modo fundamental.

An, denota la amplitud de la n-ésima armónica yn, es su ángulo de fase que mide el retraso o adelanto de la n-ésima armónica con referencia a una onda de seno pura de la misma frecuencia.

Como

𝐴𝑛𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑤𝑡+𝜙𝑛)≡ ( 𝐴𝑛𝑐𝑜𝑠 𝜙𝑛 )𝑠𝑒𝑛𝑛𝑤𝑡+ (𝐴𝑛𝑠𝑒𝑛𝜙𝑛)𝑐𝑜𝑠𝑛𝑤𝑡≡𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑤𝑡+𝑎𝑛𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡

Teorema de Fourier



Serie de Fourier

TEOREMA DE FOURIER

𝐴𝑛𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑤𝑡+𝜙𝑛)≡ ( 𝐴𝑛𝑐𝑜𝑠 𝜙𝑛 )𝑠𝑒𝑛𝑛𝑤𝑡+ (𝐴𝑛𝑠𝑒𝑛𝜙𝑛)𝑐𝑜𝑠𝑛𝑤𝑡≡𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑤𝑡+𝑎𝑛𝑐𝑜𝑠𝑤𝑡

𝑏𝑛=𝐴𝑛𝑐𝑜𝑠𝜙𝑛 ,𝑎𝑛=𝐴𝑛 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑛

𝑓 (𝑡 )=𝑎0+∑𝑛=1

∞

𝑎𝑛𝑐𝑜𝑠𝑛𝑤𝑡+∑𝑛=1

∞

𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑤𝑡

ReemplazandoExpansión en serie de Fourier de la función f(t).

Las a y b se le llaman los coeficientes de Fourier.

𝐴𝑛=√(𝑎𝑛2+𝑏𝑛

2 ) 𝜙𝑛=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑎𝑛

𝑏𝑛)

Donde

Teorema de Fourier



Serie de Fourier

FORMA TRIGONOMÉTRICA

La forma trigonométrica general de la serie de Fourier para una función de periodo es

Donde los coeficientes de Fourier son:

, donde

Utilizando las relaciones de ortogonalidad para las funcione seno y coseno y por las propiedades de convergencia de la serie

Forma Trigonométrica



Serie de Fourier

Ejemplo Hallar la serie de Fourier que representa el pulso cuadrado, si:

𝑋 (𝑡){+𝐴 0 ≤ 𝑡≤ 𝑡 𝑓 /4

−𝐴𝑇 𝑓

4<𝑡≤

3𝑇 𝑓

4

+ 𝐴3𝑇 𝑓

4<𝑡≤𝑇 𝑓

Se puede observar que:

Pulso cuadrado definido para el ejemplo




Serie de Fourier

𝑎1=2𝑇 𝑓∫0

𝑇 𝑓

𝑥 (𝑡 ) cos𝑤1 𝑡𝑑𝑡=2 𝐴𝑇 𝑓

¿

=

¿ 2 𝐴𝑤1𝑇 𝑓

[𝑠𝑒𝑛𝑤1𝑇 𝑓

4−𝑠𝑒𝑛

𝑤13𝑇 𝑓

4+𝑠𝑒𝑛

𝑤1𝑇 𝑓

4+𝑠𝑒𝑛

𝑤1𝑇 𝑓

4−𝑠𝑒𝑛

𝑤13𝑇 𝑓

4 ]=

Sea

𝑎1=2 𝐴2𝜋

[2+2+0 ]= 4 𝐴𝜋

Recuerde que




Serie de FourierPara ,

𝑎2=2 𝐴𝑤2𝑇 𝑓

[2𝑠𝑒𝑛𝑤2𝑇 𝑓

4−2𝑠𝑒𝑛

3𝑤2𝑇 𝑓

4+𝑠𝑒𝑛𝑤2𝑇 𝑓 ]

¿2 𝐴4 𝜋

[2 (0 )−2 (0 )+0 ]∴𝑎2=0

𝑊 3𝑇 𝑓=2𝜋 (3 )=6𝜋𝑛=3

𝑎3=2𝐴𝑤3𝑇 𝑓

[2 𝑠𝑒𝑛𝑤3𝑇 𝑓

4− 2𝑠𝑒𝑛

3𝑤3𝑇 𝑓

4+𝑠𝑒𝑛𝑤3𝑇 𝑓 ]

𝑎3=2 𝐴(6𝜋 )

[2 (−1 )−2 (1 )+0 ]=− 4 𝐴3𝜋

∴𝑎3=4 𝐴3𝜋

Se puede demostrar que:

𝑎𝑛={+4 𝐴𝑛𝜋

,𝑛=1 ,3 ,5,7…

− 4 𝐴𝑛𝜋

,𝑛=3 ,7 ,11…

0𝑛=𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜




Serie de Fourier

Para bn. bn=2

T f∫

0

T f

x (t ) sen wn t d t

b

1=¿2 AT f [∫0

T f

4

x ( t ) sen w1 t d t ∫T f

4

3T f

4

x (t ) sen w1 tdt +∫3T f

4

T f

x (t ) sen w1 tdt]¿Tenemos que:

¿ 2 𝐴𝑤1𝑇 𝑓

[−𝑐𝑜𝑠𝑤1𝑇 𝑓

4+1−𝑐𝑜𝑠

𝑤1 3𝑇 𝑓

4+𝑐𝑜𝑠

𝑤1𝑇 𝑓

4−𝑐𝑜𝑠𝑤1𝑇 𝑓+𝑐𝑜𝑠

𝑤1 3𝑇 𝑓

4 ]Después de cancelar términos obtenemos la siguiente expresión:𝑏1=

2𝐴𝑤1𝑇 𝑓

[1−𝑐𝑜𝑠𝑤1𝑇 𝑓 ]Para

Luego la serie de Fourier es:

𝒙 (𝒕 )=𝟒 𝑨𝝅 [𝒄𝒐𝒔𝒘 𝟏𝒕−

𝟏𝟑𝒄𝒐𝒔𝟑𝒘𝟏 𝒕+

𝟏𝟓𝒄𝒐𝒔𝟓𝒘𝟏 𝒕−

𝟏𝟕𝒄𝒐𝒔𝟕𝒘𝟏𝒕+

𝟏𝟗𝒄𝒐𝒔𝟗𝒘𝟏𝒕+…]𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆𝒘𝟏=

𝟐𝝅𝑻 𝒇




Serie de Fourier

Otra forma de expresar la respuesta, es;

𝒙 (𝒕 )=𝟒 𝑨𝝅 [𝒄𝒐𝒔𝒘 𝟏𝒕−

𝟏𝟑𝒄𝒐𝒔𝟑𝒘𝟏 𝒕+

𝟏𝟓𝒄𝒐𝒔𝟓𝒘𝟏 𝒕−

𝟏𝟕𝒄𝒐𝒔𝟕𝒘𝟏𝒕+

𝟏𝟗𝒄𝒐𝒔𝟗𝒘𝟏𝒕+…]𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆𝒘𝟏=

𝟐𝝅𝑻 𝒇

𝑥 (𝑡 )¿=4 𝐴𝜋 ∑

𝑛=1,3,5,7 ,…( 1𝑛 )𝑐𝑜𝑠 (𝑛∗𝑤𝑛∗𝑡 ) 𝑥 (𝑡 )¿= 4

𝜋∗∑

𝑛=1

∞ cos (2𝑛− 1 )𝑡2𝑛−1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 Serie de Fourier en pulso cuadrado

Pulso cuadradociclo 3

t (seg)

x(t

)

Función escalón para diferentes valores de n , n=3, 7 y 11




Serie de Fourier

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Serie de Fourier en pulso cuadrado

Pulso cuadrado

Ciclo 31

Ciclo 39

t (seg)

x(t

)

Función escalón para diferentes valores de n, n = 31 y39.




Serie de Fourier

Ejemplo Halla la serie de Fourier que representa el desplazamiento del pulso de onda en dientes de sierra, Figura A.17., definido como:

Pulso de onda dientes de sierra

𝑥 (𝑡 )=𝑎0+∑𝑛=1

∞

(𝑎𝑛𝐶𝑜𝑠𝑤𝑛𝑡+𝑏𝑛𝑆𝑒𝑛𝑤𝑛𝑡) Donde los coeficientes de Fourier son:

𝑎0=1𝑇 𝑓∫0

𝑇 𝑓

𝑥 (𝑡 )𝑑𝑡

𝑎𝑛=2𝑇 𝑓∫0

𝑇 𝑓

𝑥 (𝑡 )𝐶𝑜𝑠𝑤𝑛𝑡 𝑑𝑡

𝑏𝑛=2𝑇 𝑓∫

0

𝑇 𝑓

𝑥 (𝑡 )𝑠𝑒𝑛𝑤𝑛𝑡 𝑑𝑡donde




Serie de Fourier

Resolviendo, el valor promedio entre 0 y

𝑎0=1𝑇 𝑓∫0

𝑇 𝑓

𝑥 (𝑡 )𝑑𝑡= 1𝑇 𝑓∫0

𝑇 𝑓

𝑡 𝑑𝑡=1𝑇 𝑓∫0

2𝜋

𝑡 𝑑𝑡

𝑎0=𝜆

2𝜋𝑡 2

2 |02𝜋

=4𝜋 2

4 𝜋=𝜋 es obvio que sea este valor

𝑎𝑛=2𝑇 𝑓∫0

𝑇 𝑓

𝑥 (𝑡 ) cos (𝑤𝑛) 𝑡 𝑑𝑡=2

2𝜋∫0

𝑇 𝑓

(𝑡 )cos (𝑤𝑛 )𝑡 𝑑𝑡=1𝜋 [𝑡 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑡 )

𝑛+

cos (𝑛𝑡 )𝑛2 ]

0

2𝜋

¿1𝜋 [ 2𝜋𝑛 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑛)+

1

𝑛2 cos (2𝜋𝑛)−1

𝑛2 ]= 1𝜋 [ 2𝜋𝑛 (𝜙)+

1

𝑛2 (1)−1

𝑛2 ]=𝜙𝑏𝑛=

2𝑇 𝑓∫

0

𝑇 𝑓

𝑥 (𝑡 )𝑠𝑒𝑛𝑤𝑛𝑡𝑑𝑡=2

2𝜋 ∫02 𝜋

𝑡𝑠𝑒𝑛𝑤𝑛𝑡𝑑𝑡=1𝜋 [− 𝑡

𝑛cos (𝑛𝑡 )+

𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑡 )𝑛2 ]

0

2𝜋

¿1𝜋 [− 2𝜋

𝑛cos (2𝜋 𝑛)+

𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑛)𝑛2 −( 𝑡𝑛 cos(𝜙)+

1

𝑛2 𝑠𝑒𝑛(𝜙)) ]=−2𝑛

Luego la serie de Fourier es:


0 2 4 60

2

4

6

86.28

0

π 2 sin t( )-

π 2 sin t( )- sin 2t( )-

π 2 sin t( )- sin 2 t( )-2

3

sin 3 t( )-

t

2 π0 t



Serie de Fourier

𝑋 (𝑡 )=𝜋 −2𝑠𝑒𝑛𝑤 , 𝑡 – 𝑠𝑒𝑛𝑤2𝑡−23𝑠𝑒𝑛𝑤3 𝑡−

12𝑠𝑒𝑛𝑤4 𝑡−

25𝑠𝑒𝑛𝑤5𝑡−

25𝑠𝑒𝑛𝑤5 𝑡−

13𝑠𝑒𝑛𝑤6𝑡− …−

2𝑁

𝑠𝑒𝑛𝑤𝑛𝑡Como =, es decir que:

𝑥 (𝑡 )=𝜋− 2𝑠𝑒𝑛𝑤1𝑡 – 𝑠𝑒𝑛2𝑤1𝑡−23𝑠𝑒𝑛3𝑤1 𝑡−…−

2𝑛𝑠𝑒𝑛𝑛𝑤1𝑡

ó 𝑥(𝑡)=𝜋−∑𝑛=1

∞2𝑛(𝑠𝑒𝑛𝑤1𝑡)

Pulso de onda diente de sierra para 0 < t < 2 con n = 1, 2 y 3 en términos de la Serie de Fourier




Serie de Fourier

T 0 2 y1 t( )

1

100

n

2

n

sin n t( )

- y2 t( )

1

12

n

2

n

sin n t( )

-

f t( ) t

0 2 4 6

2-

2

4

6

8


Tiempo (seg)

Am

pli

tud

6.814

0.531-

y1 t( )

y2 t( )

f t( )

2 π0 t




Serie de Fourier

0 10 20 30

2-

2

4

6

8


Tiempo (seg)

Am

pli

tud

6.814

0.531-

y1 t( )

y2 t( )

h t( )

10π0 t

Pulso de onda diente de sierra para 0 < t < 2 con n = 12 y 100 en términos de la Serie de Fourier, en varios intervalos de tiempo (seg)




Serie de Fourier

𝑢 (𝑡 )=acos (𝑤𝑡 )+𝑏𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡)

𝑥 (𝑡 )=𝑎0+∑𝑛=1

∞

(𝑎𝑛𝐶𝑜𝑠𝑤𝑛𝑡+𝑏𝑛𝑆𝑒𝑛𝑤𝑛𝑡)

Las ecuaciones, pueden ser escritas como

𝑥 (𝑡 )=𝑐0+∑𝑛=1

∞

𝑐𝑛∗𝑠𝑒𝑛 (𝑤𝑛∗𝑡+𝜙𝑛 ) Donde

, y

Amplitud de la nth armónica Fases de la nth armónica

El espectro de amplitudes de Fourier es muy útil para la ingeniería de terremotos pues describe eficientemente el contenido frecuencial de un movimiento telúrico.




Serie de Fourier

Transformación desde el dominio de la frecuencia al del tiempo. Tomado de Sarria, A.




Serie de Fourier

Ejemplo Halle el espectro de amplitudes y fases de Fourier del pulso cuadrado.

Del ejemplo anterior:

=0 para todo n

𝜙𝑛=𝑡𝑎𝑛− 1( 𝑎𝑛𝑏𝑛

)=𝑡𝑎𝑛−1( 4 𝐴 /𝑛𝜋0 )

No definido, esto ocurre para , y, Por definición de la función trigonométrica tangente.

𝑐0=𝑎0=0

𝑐1=4 𝐴𝜋

,𝜙1=𝜋2

𝑐2=0 Porque an=0 para cualquier n par.

𝑐3=4 𝐴3𝜋

𝜙3=−𝜋2

𝑐4=0

𝑐5=4 𝐴5𝜋

𝜙5=𝜋2

𝑐6=0

𝑐7=4 𝐴7𝜋

𝜙7=−𝜋2

𝑐8=0𝑐9=

4 𝐴9𝜋

𝜙9=𝜋2




Serie de Fourier

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.00

0.15

0.30

0.45

0.60

0.75

0.90

1.05

1.20

1.35Espectro de Amplitud de Fourier para el pulso

cuadrado

n =1 n=2 n=3

n=4 n=5 n=6

n=7 n=8 n=9

n=10

Frecuencia, wn

Am

pli

tud

, c

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00Espectro de fases de Fourier en el pulso

cuadrado

n=1 n=2

n=3 n=4

n=5 n=6

n=7 n=8

n=9 n=10Frecuencia, wn

Fases,

n

Espectro de amplitudes Fourier en el pulso cuadrado, se observa que la frecuencia predominante en la onda cuadrada, wn = 1.

Espectro de fases de Fourier para el pulso cuadrado, se observa que la frecuencia predominante en el la onda cuadrada en wn = 1.




Serie de Fourier

FORMA EXPONENCIAL O COMPLEJA

cos∝=𝑒𝑖∝+𝑒−𝑖∝

2𝑠𝑒𝑛∝=𝑒𝑖∝−𝑒− 𝑖∝

2(−𝑖 )Como

𝑥 (𝑡 )=𝑎𝑜+∑𝑛=1

∞

(𝑎𝑛cos𝑤𝑛𝑡+𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑤𝑛𝑡 )

Forma Exponencial

𝑥 (𝑡 )=𝑎0+∑𝑛=1

∞

𝑎𝑛𝑒𝑖𝑤𝑛𝑡+𝑒−𝑖𝑤𝑛𝑡

2+∑𝑛=1

∞

𝑏𝑛𝑒𝑖𝑤𝑛 𝑡−𝑒−𝑖 𝑤𝑛 𝑡

2𝑖

Reemplazando

𝑥 (𝑡 )=𝑎0+∑𝑛=1

∞12𝑎𝑛 (𝑒

𝑖 𝑤𝑛 𝑡+𝑒− 𝑖𝑤𝑛 𝑡 )+¿∑𝑛=1

∞

−𝑖 12𝑏𝑛 (𝑒

𝑖𝑤𝑛𝑡−𝑒−𝑖𝑤𝑛𝑡 )¿

𝑥 (𝑡 )=𝑎0+∑𝑛=1

∞ [ 12 (𝑎𝑛−𝑖𝑏𝑛)𝑒𝑖 𝑤𝑛 𝑡+ 1

2(𝑎𝑛+𝑖𝑏𝑛 )𝑒

−𝑖 𝑤𝑛 𝑡 ]𝑐0∗=𝑎0

𝑐𝑛∗=

12(𝑎𝑛−𝑖𝑏𝑛 )

𝑐−𝑛∗ =

12(𝑎𝑛+𝑖𝑏𝑛)

𝒙 (𝒕 )=𝒄𝒐∗+∑

𝒏=𝟏

∞

(𝒄𝒏∗𝒆𝒊𝒘𝒏𝒕+𝒄−𝒏

∗𝒆− 𝒊𝒘𝒏 𝒕 )Reescribiendo

Definiendo nuevos coeficientes de Fourier



Serie de Fourier

Donde , los límites de la sumatoria pueden ser cambiados para escribir la serie de Fourier en una forma más compacta,

𝑥 (𝑡 )=∑𝑛=− ∞

∞

𝑐𝑛∗𝑒𝑖𝑤𝑛 𝑡

Forma Exponencial𝑥 (𝑡 )=𝑐𝑜

∗+∑𝑛=1

∞

(𝑐𝑛∗𝑒𝑖𝑤𝑛 𝑡+𝑐−𝑛∗𝑒−𝑖𝑤𝑛𝑡 )

𝑥 (𝑡 )=𝑐𝑜∗+∑

𝑛=1

∞

𝑐𝑛∗𝑒𝑖𝑤𝑛𝑡+∑

𝑛=1

− ∞

𝑐𝑛∗𝑒𝑖𝑤𝑛 𝑡

𝑦𝑎𝑞𝑢𝑒𝑐0𝑒0=𝑐0

Se conoce como la forma compleja de la serie de Fourier de la función x(t)

Coeficientes complejos de Fourier

𝒄𝒏∗=1

2(𝑎𝑛− 𝑖𝑏𝑛)=

1𝑇 𝑓 [∫0

𝑇 𝑓

𝑥 (𝑡 )𝑐𝑜𝑠𝑤𝑛𝑡 𝑑𝑡 −𝑖∫0

𝑇 𝑓

𝑥 (𝑡 )𝑠𝑒𝑛𝑤𝑛𝑡 𝑑𝑡]= 1𝑇 𝑓∫

0

𝑇 𝑓

𝑥 (𝑡 ) (𝑐𝑜𝑠𝑤𝑛𝑡− 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑤𝑛𝑡 )𝑑𝑡=𝟏𝑻 𝒇∫𝟎

𝑻 𝒇

𝒙(𝒕 )𝒆−𝒊𝒘 𝒏𝒕𝒅𝒕

Donde 𝑤𝑛=2𝜋 𝑛𝑇 𝑓



Serie de FourierForma

Exponencial

𝒄−𝒏∗ =

12(𝑎𝑛+𝑖𝑏𝑛 )=

1𝑇 𝑓∫0

𝑇 𝑓

𝑥 (𝑡 ) (𝑐𝑜𝑠𝑤𝑛𝑡+𝑖𝑠𝑒𝑛𝑤𝑛𝑡 )𝑑𝑡=𝟏𝑻 𝒇∫𝟎

𝑻 𝒇

𝒙 (𝒕)𝒆𝒊𝒘𝒏𝒕

Los coeficientes c*n (n=0, ±1, ± 2, ± 3, …) son complejos y se pueden expresar

𝑐𝑛∗=|𝑐𝑛

∗|𝑒𝑖 𝜙𝑛

|𝑐𝑛∗|=√ [𝑅𝑒 (𝑐𝑛∗ ) ]2+[ 𝐼𝑚 (𝑐𝑛

∗ )]2=√[( 12 𝑎𝑛)2+( 12𝑏𝑛)2]=1

2 √(𝑎𝑛2+𝑏𝑛

2 )=𝑐𝑛2

Los coeficientes de Fourier complejos, , puede ser determinado directamente desde x(t) como,

𝒄𝒏∗=

𝟏𝑻 𝒇∫𝟎

𝑻 𝒇

𝒙 (𝒕 )𝒆− 𝒊𝒘𝒏𝒕𝒅𝒕

|𝑐𝑛∗|=√ [𝑅𝑒 (𝑐−𝑛

∗ ) ]2+[ 𝐼𝑚 (𝑐−𝑛∗ )]2=√ [( 12 𝑎𝑛)2+( 12𝑏𝑛)

2]=12 √(𝑎𝑛

2+𝑏𝑛2 )=

𝑐𝑛2

|𝑐−𝑛∗ |=|𝑐𝑛

∗| |𝑐𝑛∗| 𝑐𝑛=2|𝑐𝑛

∗|



Serie de Fourier

Halle los coeficientes de Fourier complejos para el pulso cuadrado

Ejemplo

𝑐𝑛∗=

1𝑇 𝑓∫

0

𝑇 𝑓

𝑥 (𝑡 )𝑒−𝑖𝑤𝑛 𝑡𝑑𝑡

𝑐𝑛∗= 1

𝑇 𝑓 [∫0𝑇 𝑓

4

𝐴𝑒−𝑖𝑛𝑤𝑛𝑡 𝑑𝑡+∫𝑇 𝑓

4

3𝑇 𝑓

4

(− 𝐴 )𝑒− 𝑖𝑛𝑤𝑛𝑡 𝑑𝑡+ ∫3𝑇 𝑓

4

𝑇 𝑓

𝐴𝑒−𝑖𝑛𝑤𝑛 𝑡𝑑𝑡 ]=¿

Como Tf = 2, wn = 2 / Tf

1

Tf 0

Tf

4

tA ei- n wn t

dA e

i n

2-

1-

2 i n-

1

Tf 3Tf

4

Tf

tA ei- n wn t

dA e

2- i ne

3

2 i n-

-

2 i n-



Serie de Fourier

1

Tf Tf

4

3Tf

4

tA-( )ei- n wn t

dA e

i n

2-

e

3

2 i n-

-

2 i n-

A-2 i n( )

2 e

i n

2-

2e

3

2 i n-

-

e

2- i n 1-

A e

i n

2-

1-

2 i n-

A e

i n

2-

e

3

2 i n-

-

2 i n-

A e

2- i ne

3

2 i n-

-

2 i n-

Por la regla de Euler

e

i -n

2

cos -n

2

i sin -n

2

2

cos -1

2

0 sin -1

2

1-Para n, impar

sin -2

2

0Para n, par



Serie de Fourier

cos -3 12

0 sin -3 12

1Para n, impar

Para n, par cos -3 22

1- sin -3 22

0

cos - 2 1( ) 1 sin - 2 1( ) 0Para n, impar

Para n, par cos - 2 2( ) 1 sin - 2 2( ) 0

A-2 i n( )

2 i-( ) 2 i- 1 1-[ ] 2A

n

22

A-2 i n( )

2 1-( ) 2 1-( )- 1 1-[ ] 02

A-2 i n( )

2 i( ) 2 i-( )- 1 1-[ ] 2-A

n

2



Serie de FourierLuego

𝑐𝑛∗=[ −𝐴

2𝜋 𝑖𝑛 ] [2𝑒−𝜋 𝑖𝑛2 − 2𝑒

− 3𝜋 𝑖𝑛2 +𝑒− 2𝜋 𝑖𝑛−1]={

0𝑛=𝑝𝑎𝑟2 𝐴𝑛𝜋

𝑛=𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑛=1,5,9 ,…2𝐴𝑛𝜋

𝑛=3,7,11 , …−2 𝐴𝑛𝜋

}|𝑐𝑛

∗|=√ [𝑅𝑒 (𝑐𝑛∗ )]2+[𝐼𝑚 (𝑐𝑛

∗) ]2=√(𝑎𝑛

2 )2

+(𝑏𝑛

2 )2

=√𝑎𝑛

2+𝑏𝑛2

2=𝑐𝑛

2

𝑐𝑛=2|𝑐𝑛∗|={

4 𝐴𝑛𝜋

𝑝𝑎𝑟𝑎𝑛=1,5,9 , …

−4 𝐴𝑛𝜋

𝑝𝑎𝑟𝑎𝑛=3,7,11 ,…

0𝑝𝑎𝑟𝑎𝑛 ,𝑝𝑎𝑟}

Una interpretación de lo que significa transformar una señal desde el dominio del tiempo al de la frecuencia es realizada por Sarria (2004), en su libro Terremotos e infraestructura

Los acelerogramas y sismogramas están en el dominio del tiempo y pueden ser transformados en el dominio de la frecuencia, necesario pues a simple vista, no se puede determinar la distribución frecuencial de las ondas que al superponerse forman la señal de registro, operación que es posible mediante algoritmos, como la transformada de Fourier discreta, permitiendo conocer a qué tipo de edificaciones es más destructor el sismo.



Espectro de potencia

Espectro de potencia

La potencia de una señal, x(t), puede ser expresada usando la forma trigonométrica, como:

𝑃 (𝑤𝑛 )=12(𝑎𝑛

2+𝑏𝑛2 )=1

2𝑐𝑛

2

La potencia puede ser graficado como una función de la frecuencia para obtener un espectro de potencia.

𝑷𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍=∑𝑛=1

∞

𝑃 (𝑤𝑛)=12∫0

𝑤𝑛

𝑐𝑛2 𝑑𝑤

• En el dominio de la frecuencia

𝑐𝑛2

2𝑤𝑛

𝑷𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍=∫0

𝑇 𝑓

[𝑥 (𝑡 ) ]2𝑑𝑡

• En el dominio del tiempo

𝑥 (𝑡)

Potencia total

Los negativos se vuelven positivos

En la forma exponencial o compleja

𝑃=∑𝑛−∞

∞

|𝑐𝑛∗|2

𝑃𝑛=2|𝑐𝑛∗|2 𝑤𝑛

|𝑐𝑛∗|2

𝑥 (𝑡)

𝑡



Serie de Fourier

TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETATransformada de Fourier discreta

La integral de Fourier

No todas las funciones son periódicas así que se requiere desarrollar un método que de una expresión similar para funciones no periódicas definidas en -∞< t < ∞

Cualquiera que sea el comportamiento de f(t) fuera de la ventana, la serie de Fourier así generada representa la función periódica definida por

𝑔 (𝑡 )={ 𝑓 (𝑡 )(|𝑡|< 12𝑇 )

𝑓 (𝑡−𝑛𝑇 )( 12 (2𝑛−1 )𝑇<|𝑡|< 12(2𝑛+1 )𝑇 )}



Serie de Fourier


𝑓 (𝑡 )=∑𝑛=− ∞

∞

𝑐𝑛∗𝑒𝑖𝑤𝑛𝑡

Recuerde que la serie de Fourier en la forma exponencial o compleja

𝑐𝑛∗=

1𝑇 𝑓∫

0

𝑇 𝑓

𝑓 (𝑡 )𝑒− 𝑖𝑤𝑛𝑡 𝑑𝑡 (𝑛=0 , ± 1 ,± 2 ,…)

Definida en g(t)

𝑔 (𝑡 )= ∑𝑛=−∞

∞

𝐺𝑛∗𝑒𝑖𝑤𝑛 𝑡 𝐺𝑛

∗= 1𝑇 𝑓∫

−𝑇 𝑓

2

+𝑇 𝑓

2

𝑔 (𝑡 )𝑒−𝑖 𝑤𝑛 𝑡 𝑑𝑡(𝑛=0 ,± 1 , ± 2 ,…)

Transforma la función g(t) en el dominio del tiempo en las componentes asociadas Gn * con dominio en la frecuencia.

𝑔 (𝑡 )= ∑𝑛=−∞

+∞ [ 1𝑇 𝑓∫

−𝑇 𝑓

2

+𝑇 𝑓

2

𝑔 (𝜏)𝑒−𝑖𝑤𝑛𝜏𝑑𝜏 ]𝑒𝑖𝑤𝑛 𝑡

2𝜋 𝑛𝑇=𝑛𝑤0=𝑤𝑛

Δ𝑤=𝑤0



Serie de Fourier


𝐺𝑛∗ (𝑖𝑤 )=∫

−𝑇 𝑓

2

+𝑇 𝑓

2

𝑔 (𝜏)𝑒−𝑖𝑤𝑡𝑑𝜏

Sea

𝑔 (𝑡 )= 12𝜋 ∑𝑛=− ∞

∞

𝑒𝑖𝑤𝑛𝑡𝐺𝑛∗ (𝑖𝑤𝑛 )∆𝑤

Haciendo T→ ∞, de manera que g(t)=f(t) en ambos lados y ∆w→ 0.

lim∆𝑤→ ∞

𝑔 (𝑡 )= 12𝜋 ∫−∞

∞

𝑒𝑖𝑤𝑛 𝑡𝐺𝑛∗ (𝑖𝑤𝑛 )𝑑𝑤

Reemplazando (1) en (2)

(1) (2)

𝒇 (𝒕 )=∫− ∞

+∞ [ 𝟏𝟐𝝅 𝒆𝒊𝒘𝒕∫−∞

+∞

𝒇 (𝝉)𝒆−𝒊𝒘𝒕𝒅𝝉]𝒅𝒘Representa la integral de Fourier de f(t)

Un conjuntos de condiciones que son suficiente para la existencia de la integral de Fourier es una forma corregida de las condiciones de Dirichlet



Serie de Fourier


𝐹 (𝑖𝑤 )=∫− ∞

∞

𝑓 (𝑡 )𝑒−𝑖𝑤𝑡𝑑𝑡

𝑓 (𝑡 )= 12𝜋 ∫−∞

∞

𝐹 (𝑖𝑤)𝑒𝑖𝑤𝑡𝑑𝑤

En el continuo

𝔉 [ 𝑓 (𝑡)]=𝐹 (𝑖𝑤 )=∫−∞

∞

𝑓 (𝑡)𝑒− 𝑖𝑤𝑡𝑑𝑡

𝔉−1 [𝐹 (𝑖𝑤) ]= 𝑓 (𝑡 )= 12𝜋 ∫− ∞

∞

𝐹 (𝑖𝑤)𝑒𝑖𝑤𝑡𝑑𝑤



Serie de Fourier




Serie de Fourier


Transformada de Fourier para sucesiones

𝑥 (𝑡 )=∑𝑛=− ∞

∞

𝑐𝑛∗𝑒𝑖𝑤𝑛 𝑡 𝒄𝒏

∗=𝟏𝑻 𝒇∫𝟎

𝑻 𝒇

𝒙 (𝒕)𝒆− 𝒊𝒘𝒏𝒕 𝒅𝒕

Recuerde que: (la serie de Fourier forma compleja)

Sea la función periódica F(eiθ) de periodo 2π, y θ = wt.

𝐹 (𝑒𝑖 θ )= ∑𝑛=−∞

∞

𝑓 𝑛∗𝑒𝑖𝑛θ 𝑓 𝑛

∗= 12𝜋 ∫−𝜋

𝜋

𝐹 (𝑒𝑖 θ¿)𝑒−𝑖𝑛θ𝑑 θ¿

Se genera una sucesión de números {fn*} a partir de la función periódica F(eiθ) de la

variable continua θ.



Serie de Fourier


Transformada de Fourier para sucesiones

𝔉 {𝑔𝑘∗ }=𝐺 (𝑒𝑖θ )=∑

𝑛=− ∞

∞

𝑔𝑛∗𝑒𝑖𝑛θ

Transformada de Fourier de una sucesión {gk

*}, siempre que la serie converja.

𝑔𝑘∗= 1

2𝜋 ∫−𝜋

𝜋

𝐺(𝑒𝑖θ¿)𝑒− 𝑖𝑘θ 𝑑θ¿Transformada Inversa de Fourier de una sucesión {gk

*}, siempre que la integral exista.



Serie de Fourier

Transformada de Fourier discreta

𝑋 (𝑤𝑛)=∆ 𝑡∑𝑘=1

𝑁

𝑥 (𝑡𝑘)𝑒−𝑖 𝑤𝑛 𝑡𝑘

Para una variable x(tk), k=1, N (número de datos), donde tk=k*t,

𝑤𝑛=𝑛∗∆𝑤=2𝜋𝑛𝑁 Δ𝑡

Donde

Usando la Ley de Euler

𝑋 (𝑤𝑛)=Δ𝑡∑𝑘=1

𝑁

[𝑥 ( 𝑡𝑘 )𝑐𝑜𝑠𝑤𝑛𝑡𝑘−𝑖𝑥 (𝑡𝑘 ) 𝑠𝑒𝑛𝑤𝑛𝑡𝑘 ]Observe que los coeficientes de Fourier de la DFT tienen unidades de la variable original multiplicada por el tiempo, es decir que la DFT está definida en el dominio de la frecuencia.



Serie de Fourier

Transformada de Fourier inversa discreta

La DFT puede ser invertible, es decir un conjunto de datos espaciados en iguales intervalos de frecuencia w, puede ser expresada como una función del tiempo, usando la TRANSFORMADA INVERSA DISCRETA DE FOURIER IDFT.

𝒙 (𝒕𝒌 )=∆𝒘∑𝒊=𝟏

𝑵

𝑿 (𝒘𝒏 )𝒆𝒊𝒘𝒏𝒕 𝒌

o

𝒙 (𝒕𝒌 )=∆𝒘∑𝒊=𝟏

𝑵

[𝑿 (𝒘𝒏 )𝐜𝐨𝐬𝒘𝒏𝒕𝒌+𝒊𝑿 (𝒘𝒏 )𝐬𝐢𝐧𝒘𝒏𝒕𝒌 ]Transformada de Fourier rápida

Cooley and Tukey (1965) algoritmo computacional para el caso donde N es una potencia de 2.

Series de Fourier

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