Series de Fourier

1

Series de Fourier

"Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones",

Genaro González

Series de Fourier

Contenido

1. Funciones Periódicas

2. Serie trigonométrica de Fourier

3. Componente de directa, fundamental y armónicos

4. Ortogonalidad de las funciones seno y coseno

5. Cálculo de los coeficientes de la Serie de Fourier

6. Simetrías en señales periódicas

7. Fenómeno de Gibbs

8. Forma Compleja de las Series de Fourier

9. Espectros de frecuencia discreta

10. Potencia y Teorema de Parseval

11. De la serie a la Transformada de Fourier.

12. Obtención de la serie de Fourier usando FFT

13. Espectro de Frecuencia y medidores digitales Series de

Fourier. 2

Preámbulo

El análisis de Fourier fue introducido en 1822 en la “Théorie analyitique de la chaleur” para tratar la solución de problemas de valores en la frontera en la conducción del calor.

Más de siglo y medio después las aplicaciones de esta teoría son muy bastas: Sistemas Lineales, Comunicaciones, Física moderna, Electrónica, Óptica y por supuesto, Redes Eléctricas entre muchas otras.

Funciones Periódicas

Una Función Periódica f(t) cumple la siguiente propiedad para todo valor de t.

f(t)=f(t+T)

A la constante mínima para la cual se cumple lo anterior se le llama el periodo de la función

Repitiendo la propiedad se puede obtener:

f(t)=f(t+nT), donde n=0,1, 2, 3,...


Ejemplo: ¿Cuál es el período de la función

Solución.- Si f(t) es periódica se debe cumplir:

Pero como se sabe cos(x+2kp)=cos(x) para cualquier entero k, entonces para que se cumpla la igualdad se requiere que

T/3=2k1p, T/4=2k2p

Es decir,

T = 6k1p = 8k2p

Donde k1 y k2 son enteros,

El valor mínimo de T se obtiene con k1=4, k2=3, es decir,T=24p

Series de

Fourier. 5

)?cos()cos(f(t)4t

3t

)cos()cos(T)f(t4Tt

3Tt )cos()cos(f(t)

4t

3t


Gráfica de la función

Series de

Fourier. 6

0 50 100 150 200 -3

-2

-1

0

1

2

3

f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24p

T

)cos()cos(f(t)4t

3t


Podríamos pensar que cualquier suma de funciones seno y coseno produce una función periódica.

Esto no es así, por ejemplo, consideremos la función

f(t) = cos(w1t)+cos(w2t).

Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que

w1T= 2pm, w2T=2pn

De donde

Es decir, la relación w1/ w2 debe ser un número racional.

Series de

Fourier. 7

n

m

2

1 w

w


Ejemplo: la función cos(3t)+cos(p+3)t no es periódica, ya que no es un número racional.

Series de

Fourier. 8

p

w

w

3

3

2

1

0 5 10 15 20 25 30 -2

-1

0

1

2 f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t)

t

f(t)


Tarea: Encontrar el periodo de las siguientes funciones, si es que son periódicas:

1) f(t) = sen(nt), donde n es un entero.

2) f(t)= sen2(2pt)

3) f(t)= sen(t)+sen(t+p/2)

4) f(t)= sen(w1t)+cos(w2t)

5) f(t)= sen(2 t)

Series de

Fourier. 9

Serie Trigonométrica de Fourier

Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada Serie Trigonométrica de Fourier

f(t) = ½ a0 + a1cos(w0t)+a2cos(2w0t)+...

+ b1sen(w0t)+b2sen(2w0t)+...

Donde w0=2p/T.

Es decir,

Series de

Fourier. 10

])tn(senb)tncos(a[a)t(f1n

0n0n021 ww


Es posible escribir de una manera ligeramente diferente la Serie de Fourier, si observamos que el término ancos(nw0t)+bnsen(nw0t) se puede escribir como

Podemos encontrar una manera más compacta para expresar estos coeficientes pensando en un triángulo rectángulo:

Series de

Fourier. 11

w

w

)tn(sen

ba

b)tncos(

ba

aba 02

n2n

n02

n2n

n2n

2n


Con lo cual la expresión queda

Series de

Fourier. 12

n2n

2n

n

n2n

2n

n

senba

b

cosba

a

an

bn

2

n

2

nn baC

n

)tn(sensen)tncos(cosC 0n0nn ww

)tncos(C n0n w


Si además definimos C0=a0/2, la serie de Fourier se puede escribir como

Así,

y

Series de

Fourier. 13

w1n

n0n0 )tncos(CC)t(f

2

n

2

nn baC

n

n1n

a

btan


Tarea:

Definir adecuadamente los coeficientes C0, Cn y n, de manera que la serie de Fourier se pueda escribir como

Series de

Fourier. 14

w1n

n0n0 )tn(senCC)t(f

Componentes y armónicas

Así, una función periódica f(t) se puede escribir como la suma de componentes

sinusoidales de diferentes frecuencias wn=nw0.

A la componente sinusoidal de frecuencia nw0: Cncos(nw0t+n) se le llama la enésima armónica de f(t).

A la primera armónica (n=1) se le llama la componente fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t)

A la frecuencia w0=2pf0=2p/T se le llama frecuencia angular fundamental.

Series de

Fourier. 15


A la componente de frecuencia cero C0, se le llama componente de corriente directa (cd) y corresponde al valor promedio de f(t) en cada periodo.

Los coeficientes Cn y los ángulos n son respectiva-mente las amplitudes y los ángulos de fase de las armónicas.

Series de

Fourier. 16


Ejemplo: La función

Como ya se mostró tiene un periodo T=24p, por lo tanto su frecuencia fundamental es w0=1/12 rad/seg.

Componente fundamental es de la forma:

0*cos(t/12).

Tercer armónico:

cos(3t/12)=cos(t/4)

Cuarto armónico:

Cos(4t/12)=cos(t/3)

Series de

Fourier. 17

0 50 100 150 200 -3

-2

-1

0

1

2

3

f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24p

)cos()cos(f(t)4t

3t


Ejemplo: Como puede verse, la función anterior tiene tantas partes positivas como negativas, por lo tanto su componente de cd es cero, en cambio

Series de

Fourier. 18

0 50 100 150 200 -3

-2

-1

0

1

2

3

f(t)=1+cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24p

)cos()cos(1f(t)4t

3t

Tiene tantas partes

arriba como abajo

de 1 por lo tanto,

su componente de

cd es 1.


Tarea: ¿Cuál es la componente fundamental, las armónicas distintas de cero y la componente de directa de

a) f(t) = sen2t

b) f(t) = cos2t ?

Justifícalo además mostrando la gráfica de las funciones y marcando en ellas el periodo fundamental y la componente de cd.

Series de

Fourier. 19

Ortogonalidad de senos y cosenos

Se dice que un conjunto de funciones fk(t) son ortogonales en el intervalo a<t<b si dos funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto cumplen

Series de

Fourier. 20

nmparar

nmpara0dt(t)(t)ff

n

b

anm


Ejemplo: las funciones t y t2 son ortogonales en el intervalo –1< t <1, ya que

Ejemplo: Las funciones sen t y cos t son ortogonales en el intervalo –p/2< t <p/2, ya que

Series de

Fourier. 21

04

tdttdttt

1

141

1

31

1

2

02

tsensentcostdt

2

p

pp

p


Tarea:

Dar un ejemplo de un par de funciones que sean ortogonales en el intervalo:

a) 0<t<1

b) 0<t<p

Series de

Fourier. 22


Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un par de funciones, el siguiente es un conjunto de una infinidad de funciones ortogonales en el intervalo -T/2<t< T/2.

1,cosw0t, cos2w0t, cos3w0t,...,senw0t,sen2w0t,sen3w0t,...

(para cualquier valor de w0=2p/T).

Para verificar lo anterior podemos probar por pares:

1.- f(t)=1 Vs. cos(mw0t):

Ya que m es un entero.

Series de

Fourier. 23

0m

)(msen2

m

T/2)(msen2

m

t)(msent)dtcos(m

00

0

2/T

2/T

0

02/T

2/T0

w

p

w

w

w

w w


2.- f(t)=1 Vs. sen(mw0t):

3.- cos(mw0t) Vs. cos(nw0t):

Series de

Fourier. 24

0T/2)]m(cos-T/2)m[cos(m

1

m

t)(mcost)dtsen(m

00

0

2/T

2/T

0

02/T

2/T0

www

w

w w

ww

0nmpara2/T

nmpara0t)dtt)cos(ncos(m

2/T

2/T00


4.- sen(mw0t) Vs. sen(nw0t):

5.- sen(mw0t) Vs. cos(nw0t):

Series de

Fourier. 25

n,mcualquierpara0t)dtt)cos(nsen(m2/T

2/T00 ww

ww

0nmpara2/T

nmpara0t)dtt)sen(nsen(m

2/T

2/T00


Para calcular las integrales de los casos 3, 4 y 5, son útiles las siguientes identidades trigonométricas:

cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)]

sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)]

sen A cos B = ½[sen(A+B)+sen(A-B)]

Además:

sen2 = ½ (1-cos2)

cos2 = ½ (1+cos2)

Series de

Fourier. 26

Cálculo de los coeficientes de la Serie

Dada una función periódica f(t) ¿cómo se obtiene su serie de Fourier?

Obviamente, el problema se resuelve si sabemos como calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,...

Esto se puede resolver considerando la ortogonalidad de las funciones seno y coseno comentada anteriormente.

Series de

Fourier. 27


0n0n021 ww


Multiplicando ambos miembros por cos(nw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:

Similarmente, multiplicando por sen(nw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:

Similarmente, integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:

Series de

Fourier. 28

,...3,2,1,0ndt)tncos()t(fa2/T

2/T0T

2n w

,...3,2,1ndt)tn(sen)t(fb2/T

2/T0T

2n w

2/T

2/TT2

0 dt)t(fa


El intervalo de integración no necesita ser simétrico respecto al origen.

Como la ortogonalidad de las funciones seno y coseno no sólo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un periodo completo:

(de t0 a t0+T, con t0 arbitrario)

las fórmulas anteriores pueden calcularse en cualquier intervalo que cumpla este requisito.

Series de

Fourier. 29


Ejemplo: Encontrar la Serie de Fourier para la siguiente función de periodo T:

Solución: La expresión para f(t) en –T/2<t<T/2 es

Series de

Fourier. 30

1 f(t)

t . . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

2T

2T

t0para1

0tpara1)t(f


Coeficientes an:

Series de

Fourier. 31

w

2/T

2/T0T

2n dt)tncos()t(fa

w w

2/T

00

0

2/T0T

2 dt)tncos(dt)tncos(

w

ww

w

0

2/T

0

02/T

0

0

0T2 )tn(sen

n

1)tn(sen

n

1

0npara0


Coeficiente a0:

Series de

Fourier. 32

2/T

2/TT2

0 dt)t(fa

2/T

0

0

2/TT2 dtdt

0

2/T

2/T

0

T2 tt

0


Coeficientes bn:

Series de

Fourier. 33

w

2/T

2/T0T

2n dt)tn(sen)t(fb

w w

2/T

00

0

2/T0T

2 dt)tn(sendt)tn(sen

w

ww

w

0

2/T

0

02/T

0

0

0T2 )tncos(

n

1)tncos(

n

1

)1)n(cos())ncos(1(n

1pp

p

0npara))1(1n

2 n p


Serie de Fourier: Finalmente la Serie de Fourier queda como

En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7 así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para w0=p, es decir, T=2:

Series de

Fourier. 34

...)t5(sen)t3(sen)t(sen4

)t(f 051

031

0 wwwp


Series de

Fourier. 35

-1 -0.5 0 0.5 1 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 Componentes de la Serie de Fourier

t

Co

mp

on

en

tes

Suma

fundamental

tercer armónico

quinto armónico

septimo armónico


Tarea: Encontrar la serie de Fourier para la siguiente señal senoidal rectificada de media onda de periodo 2p.

Series de

Fourier. 36

-6 -4 -2 0 2 4 6 -0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Senoidal rectificada de media onda

t

f(t)

Funciones Pares e Impares

Una función (periódica o no) se dice función par (o con simetría par) si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, es decir, la función f(t) es par si f(t) = f(-t)

Series de

Fourier. 37

p 2p

f(t)

t p 2p


En forma similar, una función f(t) se dice función impar o con simetría impar, si su gráfica es simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente: -f(t) = f(-t)

Series de

Fourier. 38

p 2p

f(t)

t p 2p


Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o impares?

f(t) = t+1/t

g(t) = 1/(t2+1),

Solución:

Como f(-t) = -t-1/t = -f(t), por lo tanto f(t) es función impar.

Como g(-t)=1/((-t)2+1) = 1/(t2+1)=g(t), por lo tanto g(t) es función par.

Series de

Fourier. 39


Ejemplo: ¿La función h(t)=f(1+t2) es par o impar?, donde f es una función arbitraria.

Solución:

Sea g(t)= 1+t2, Entonces h(t)=f(g(t))

Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)),

Pero g(-t)=1+(-t)2 = 1+t2=g(t),

finalmente h(-t)=f(g(t))=h(t), por lo tanto h(t) es función par, sin importar como sea f(t).

Series de

Fourier. 40


Ejemplo: De acuerdo al ejemplo anterior, todas las siguientes funciones son pares:

h(t) = sen (1+t2)

h(t) = exp(1+t2)+5/ (1+t2)

h(t) = cos (2+t2)+1

h(t) = (10+t2)-(1+t2)1/2

etc...

Ya que todas tienen la forma f(1+t2)

Series de

Fourier. 41


Como la función sen(nw0t) es una función impar para todo n0 y la función cos(nw0t) es una función par para todo n, es de esperar que:

Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto bn= 0 para todo n

Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n

Series de

Fourier. 42


Por ejemplo, la señal cuadrada, ya analizada en un ejemplo previo:

Es una función impar, por ello su serie de Fourier no contiene términos coseno:

Series de

Fourier. 43

1 f(t)

t . . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1


)t(f 051

031

0 wwwp

Simetría de Media Onda

Una función periodica de periodo T se dice simétrica de media onda, si cumple la propiedad

Es decir, si en su gráfica las partes negativas son un reflejo de las positivas pero desplazadas medio periodo:

Series de

Fourier. 44

)t(f)Tt(f21

f(t)

t

Simetría de Cuarto de Onda

Si una función tiene simetría de media onda y además es función par o impar, se dice que tiene simetría de cuarto de onda par o impar

Ejemplo: Función con simetría impar de cuarto de onda:

Series de

Fourier. 45

f(t)

t


Ejemplo: Función con simetría par de cuarto de onda:

Series de

Fourier. 46

f(t)

t


Tarea: ¿Qué tipo de simetría tiene la siguiente señal de voltaje producida por un triac controlado por fase?

Series de

Fourier. 47

f(t)

t

Simetrías y Coeficientes de Fourier

Series de

Fourier. 48

Simetría Coeficientes Funciones

en la serie

Ninguna Senos y

cosenos

Par bn=0 únicamente

cosenos

Impar an=0 únicamente

senos

media

onda

Senos y

cosenos

impares

w

2/

0

04 )cos()(

T

Tn dttntfa

w

2/

0

04 )()(

T

Tn dttnsentfb

w

imparndttntf

parn

aT

Tn

2/

0

04 )cos()(

0

w

imparndttnsentf

parn

bT

Tn

2/

0

04 )()(

0

w

2/

2/

02 )cos()(

T

T

Tn dttntfa

w

2/

2/

02 )()(

T

T

Tn dttnsentfb


Series de

Fourier. 49


en la serie

Ninguna Senos y

cosenos

¼ de

onda par

an=0 (n par)

bn=0

Sólo

cosenos

impares

¼ de

onda

impar

an=0

bn=0 (n par) Sólo

senos

impares

w

2/

2/

02 )cos()(

T

T

Tn dttntfa

w

2/

2/

02 )()(

T

T

Tn dttnsentfb

)(

)cos()(

4/

0

08

imparn

dttntfaT

Tn w

)(

)()(

4/

0

08

imparn

dttnsentfbT

Tn w


Por ejemplo, la señal cuadrada, ya analizada en un ejemplo previo:

Es una función con simetría de ¼ de onda impar, por ello su serie de Fourier sólo contiene términos seno de frecuencia impar:

Series de

Fourier. 50

1 f(t)

t . . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1


)t(f 051

031

0 wwwp

Fenómeno de Gibbs

Si la serie de Fourier para una función f(t) se trunca para lograr una aproximación en suma finita de senos y cosenos, es natural pensar que a medida que agreguemos más armónicos, la sumatoria se aproximará más a f(t).

Esto se cumple excepto en las discontinuidades de f(t), en donde el error de la suma finita no tiende a cero a medida que agregamos armónicos.

Por ejemplo, consideremos el tren de pulsos anterior:

Series de

Fourier. 51

Fenómeno de Gibbs

Series de

Fourier. 52

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 Serie con 1 armónico

Fenómeno de Gibbs

Series de

Fourier. 53

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 Serie con 3 armónicos

Fenómeno de Gibbs

Series de

Fourier. 54

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1


Fenómeno de Gibbs

Series de

Fourier. 55

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1


Fenómeno de Gibbs

Series de

Fourier. 56

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1


Fenómeno de Gibbs

Series de

Fourier. 57

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1


Fenómeno de Gibbs

Series de

Fourier. 58

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1


Forma Compleja de la Serie de Fourier

Consideremos la serie de Fourier para una función periódica f(t), con periodo T=2p/w0.

Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler:

Donde

Series de

Fourier. 59


0n0n021 ww

)ee()tn(sen

)ee()tncos(

tjntjn

j21

0

tjntjn

21

0

00

00

ww

ww

w

w

1j


Sustituyendo

Y usando el hecho de que 1/j=-j

Y definiendo:

Lo cual es congruente con la fórmula para bn, ya que b-n=-bn, ya que la función seno es impar.

Series de

Fourier. 60

])ee(b)ee(a[a)t(f1n

tjntjn

j21

n

tjntjn

21

n021 0000

wwww

]e)jba(e)jba([a)t(f1n

tjn

nn21tjn

nn21

021 00

ww

)jba(c),jba(c,ac nn21

nnn21

n021

0


La serie se puede escribir como

O bien,

Es decir,

Series de

Fourier. 61

)ecec(c)t(f1n

tjn

n

tjn

n000

w

w

w

w

1n

tjn

n

1n

tjn

n000 ececc)t(f

w

n

tjn

n0ec)t(f


A la expresión obtenida

Se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o bien:

Para n=0, 1, 2, 3, ...

Series de

Fourier. 62

w

T

0

tjn

T1

n dte)t(fc 0

w

n

tjn

n0ec)t(f


Los coeficientes cn son números complejos, y también se pueden escribir en forma polar:

Obviamente,

Donde ,

Para todo n0,

Para n=0, c0 es un número real:

Series de

Fourier. 63

nj

nn ecc

nj

n

*

nn eccc

2

n

2

n21

n bac )a

barctan(

n

nn

021

0 ac


Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la función ya tratada:

Solución 1. Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonométrica (an y bn):

an=0 para todo n

y

Series de

Fourier. 64

1 f(t)

t . . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

ntodopara])1(1[b n

n2

n p


Podemos calcular los coeficientes cn de:

Entonces la Serie Compleja de Fourier queda

Series de

Fourier. 65

])1(1[j]jba[c n

n2

21

nn21

n p

])1(1[jc n

n1

n p

...)eee

eee(...j)t(f

t5j

51t3j

31tj

tjt3j

31t5j

512

000

000

www

www

p


Solución 2. También podemos calcular los coeficientes cn mediante la integral

Series de

Fourier. 66

w

T

0

tjn

T1

n dte)t(fc 0

)dtedte(

T

2/T

tjn

2/T

0

tjn

T1 00

ww

)ee(2/T

T

tjn

jn1

0

2/T

tjn

jn1

T1 0

o

0

o

w

w

w

w

)]ee()1e[(2/TjnTjn2/Tjn

Tjn1 000

o

www

w


Como w0T=2p y además

Lo cual coincide con el resultado ya obtenido.

Series de

Fourier. 67

jsencose j

)])1(1()1)1[(c nn

Tjn1

n o

w

])1(1[j n

Tn2

o

w

])1(1[j n

n1 p


Tarea: Calcular los coeficientes cn para la siguiente función de periodo 2p. a) A partir de los coeficientes an,bn

b) Directamente de la integral

Series de

Fourier. 68

-6 -4 -2 0 2 4 6 -0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Senoidal rectificada de media onda

t

f(t)

Espectros de Frecuencia Discreta

A la gráfica de la magnitud de los coeficientes cn contra la frecuencia angular w de la componente correspondiente se le llama el espectro de amplitud de f(t). A la gráfica del ángulo de fase n de los coeficientes cn contra w, se le llama el espectro de fase de f(t). Como n sólo toma valores enteros, la frecuencia angular w=nw0 es una variable discreta y los espectros mencionados son gráficas discretas.

Series de

Fourier. 69


Dada una función periódica f(t), le corresponde una y sólo una serie de Fourier, es decir, le corresponde un conjunto único de coeficientes cn. Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t) en el dominio de la frecuencia de la misma manera que f(t) especifica la función en el dominio del tiempo.

Series de

Fourier. 70


Ejemplo. Para la función ya analizada: Se encontró que Por lo tanto,

Series de

Fourier. 71

1 f(t)

t . . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

])1(1[jc n

n1

n p

])1(1[c n

n1

n p


El espectro de amplitud se muestra a continuación Observación: El eje horizontal es un eje de frecuencia, (n=número de armónico = múltiplo de w0).

Series de

Fourier. 72

-30 -20 -10 0 10 20 30 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7 Espectro de Amplitud de f(t)

n

C

n

Frecuencia negativa (?) Frecuencia


Tarea. Dibujar el espectro de amplitud para la función senoidal rectificada de ½ onda.

Series de

Fourier. 73

Potencia y Teorema de Parseval

El promedio o valor medio de una señal cualquiera f(t) en un periodo dado (T) se puede calcular como la altura de un rectángulo que tenga la misma área que el área bajo la curva de f(t)

Series de

Fourier. 74

1 f(t)

t

h=Altura

promedio

T

0

dt)t(fArea

T

Area=Th


De acuerdo a lo anterior, si la función periódica f(t) representa una señal de voltaje o corriente, la potencia promedio entregada a una carga resistiva de 1 ohm en un periodo está dada por Si f(t) es periódica, también lo será [f(t)]2 y el promedio en un periodo será el promedio en cualquier otro periodo.

Series de

Fourier. 75

2/T

2/T

2

T1 dt)]t(f[


El teorema de Parseval nos permite calcular la integral de [f(t)]2 mediante los coeficientes com-plejos cn de Fourier de la función periódica f(t): O bien, en términos de los coeficientes an, bn:

Series de

Fourier. 76

n

2

n

2/T

2/T

2

T1 cdt)]t(f[

1n

2

n

2

n212

041

2/T

2/T

2

T1 )ba(adt)]t(f[


Una consecuencia importante del teorema de Parseval es el siguiente resultado: El valor cuadrático medio de una función periódica f(t) es igual a la suma de los valores cuadráticos medios de sus armónicos, es decir, Donde Cn es la amplitud del armónico n-ésimo y C0 es la componente de directa.

Series de

Fourier. 77

1n

2

n2

0

2/T

2/T

2

T1

2

CCdt)]t(f[


Para aclarar el resultado anterior es conveniente encontrar la relación entre los coeficientes complejos cn de la serie

Y los coeficientes reales Cn de la serie

Donde Cn es la amplitud del armónico n-ésimo y C0 es la componente de directa.

Series de

Fourier. 78

w

n

tjn

n0ec)t(f

w1n

n0n0 )tncos(CC)t(f


Por un lado

Mientras que

Entonces, Por lo tanto,

Además, para el armónico Su valor rms es , por lo tanto su valor cuadrático medio es

Para la componente de directa C0, su valor rms es C0, por lo tanto su valor cuadrático medio será C0

2.

Series de

Fourier. 79

,baC 2

n

2

nn

2

n

2

n21

n bac

n21

n Cc 2

n41

2

n Cc

)tncos(C)t(f n0nn w

2/Cn

2/C2

n


Ejemplo. Calcular el valor cuadrático medio de la función f(t):

Solución. Del teorema de Parseval

y del ejemplo anterior

sustituyendo

Series de

Fourier. 80

1 f(t)

t . . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

n

2

n

2/T

2/T

2

T1 cdt)]t(f[

])1(1[c n

n1

n p

p

...49

1

25

1

9

11

8c

2n

2

n


La serie numérica obtenida converge a Por lo tanto, Como era de esperarse.

Series de

Fourier. 81

2337.1...49

1

25

1

9

11

1)2337.1(8

cdt)]t(f[2

n

2

n

2/T

2/T

2

T1

p


Tarea. Calcular el valor cuadrático medio para la señal senoidal rectificada de media onda de periodo 2p.

Series de

Fourier. 82

De la Serie a la Transformada de Fourier

La serie de Fourier nos permite obtener una representación en el dominio de la frecuencia para funciones periódicas f(t). ¿Es posible extender de alguna manera las series de Fourier para obtener el dominio de la frecuencia de funciones no periódicas? Consideremos la siguiente función periodica de periodo T

Series de

Fourier. 83


Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T:

Series de

Fourier. 84

1 f(t)

t

. . . -T -T/2 0

T/2

T . . .

p

-p/2 p/2

2T

2

p

2

p

2

p

2

p

2T

t0

t1

t0

)t(f


Los coeficientes de la Serie Compleja de Fourier en este caso resultan puramente reales: El espectro de frecuencia correspondiente lo obtenemos (en este caso) graficando cn contra w=nw0.

Series de

Fourier. 85

)n(

)n(sen)(c

2

p

0

2

p

0T

p

nw

w


Espectro del tren de pulsos para p=1, T=2

Series de

Fourier. 86

-60 -40 -20 0 20 40 60-0.2

0

0.2

0.4

0.6

w=nw0

cn

De la Serie a la Transformada de Fourier Si el periodo del tren de pulsos aumenta:

Series de

Fourier. 87

-20 -10 0 10 20 0

0.5

1

1.5

p=1, T=2

t

f(t)

t -20 -10 0 10 20 0

0.5

1

1.5

p=1, T=5

f(t)

-20 -10 0 10 20 0

0.5

1

1.5

p=1, T=10

t

f(t)

-20 -10 0 10 20 0

0.5

1

1.5

p=1, T=20

t

f(t)


En el límite cuando T, la función deja de ser periódica: ¿Qué pasa con los coeficientes de la serie de Fourier?

Series de

Fourier. 88

-20 -10 0 10 20 0

0.5

1

1.5

p=1, T=

t

f(t)


Series de

Fourier. 89

-50 0 50 -0.1

0

0.1

0.2

0.3

p=1, T=5

-50 0 50 -0.05

0

0.05

0.1

0.15

p=1, T=10

-50 0 50 -0.02

0

0.02

0.04

0.06 p=1, T=20

-50 0 50 -0.2

0

0.2

0.4

0.6 p=1, T=2

w=nw0

cn


Si hace T muy grande (T): El espectro se vuelve ¡continuo!

Series de

Fourier. 90


El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderar la expresión de una función f(t) no periódica en el dominio de la frecuencia, no como una suma de armónicos de frecuencia nw0, sino como una función continua de la frecuencia w. Así, la serie Al cambiar la variable discreta nw0 (cuando T) por la variable continua w, se transforma en una integral de la siguiente manera:

Series de

Fourier. 91

w

n

tjn

n0ec)t(f


Como La serie queda O bien, cuando T, nw0w y w0dw y la sumatoria se convierte en

Series de

Fourier. 92

w

w

n

tjn

2/T

2/T

tjn

T1 00 edte)t(f)t(f

w

2/T

2/T

tjn

T1

n dte)t(fc 0

w

w

pw

n

tjn

0

2/T

2/T

tjn

21 00 edte)t(f)t(f

w

w

pw

dedte)t(f)t(f tjtj

21


Es decir, Donde Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F(w) (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa

Series de

Fourier. 93

w

pww de)(F)t(f tj

21

ww dte)t(f)(F tj

Identidad

de Fourier

Transformada

De Fourier


Notación: A la función F(w) se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F, es decir En forma similar, a la expresión qu enos permite obtener f(t) a partir de F(w) se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F –1 ,es decir

Series de

Fourier. 94

w

p

www de)(F)t(f)](F[ tj

211

F

ww dte)t(f)(F)]t(f[ tjF


Ejemplo. Calcular F(w) para el pulso rectangular f(t) siguiente Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es

Series de

Fourier. 95

-p/2 0 p/2

1 f(t)

t

t0

t1

t0

)t(f

2

p

2

p

2

p

2

p


Integrando Usando la fórmula de Euler Obsérvese que el resultado es igual al obtenido para cn cuando T , pero multiplicado por T.

Series de

Fourier. 96

w

w w

2/p

2/p

tjtj dtedte)t(f)(F

2/p

2/p

tj

j1 e

w

w

)ee( 2/pj2/pj

j1 ww

w

2/p

)2/p(senp)(F

w

ww


En forma Gráfica

Series de

Fourier. 97

-50 0 50

0

0.5

1

F(w) con p=1

w

F(w

)


Tarea. Calcular la Transformada de Fourier de la función escalón unitario u(t): Graficar U(w)=F[u(t)] ¿Qué rango de frecuencias contiene U(w)? ¿Cuál es la frecuencia predominante?

Series de

Fourier. 98

u(t)

0

1

t

La Transformada Rápida de Fourier

Cuando la función f(t) está dada por una lista de N valores f(t1), f(t2), ...f(tN) se dice que está discretizada o muestreada, entonces la integral que define la Transformada de Fourier: Se convierte en la sumatoria (Donde k es la frecuencia discreta) Llamada Transformada Discreta de Fourier

Series de

Fourier. 99

ww dte)t(f)(F tj

Nn1para,e)t(f)n(FN

1k

)1k(j

kN

n2

p

La Transformada Rápida de Fourier

La Transformada Discreta de Fourier (DFT) requiere el cálculo de N funciones exponenciales para obtener F(n), lo cual resulta un esfuerzo de cálculo enorme para N grande. Se han desarrollado métodos que permiten ahorrar cálculos y evaluar de manera rápida la Transformada discreta, a estos métodos se les llama Transformada Rápida de Fourier (FFT)

Series de

Fourier. 100

La FFT y la Serie de Fourier

Podemos hacer uso de la FFT para calcular los coeficientes cn y c-n de la Serie compleja de Fourier como sigue: Ejemplo: Sea f(t) el tren de pulsos de ancho p y periodo T.

Series de

Fourier. 101

1 f(t)

t

. . . -T -T/2 0

T/2

T . . .

p

-p/2 p/2


La versión muestreada f(k) de f(t) sólo puede tomar un número finito de puntos. Tomemos por ejemplo N=32 puntos cuidando que cubran el intervalo de 0 a T (con p=1, T=2):

Series de

Fourier. 102

0 1 2 0

0.5

1

1.5 32 muestras de f(t), de 0 a T

k

f(k)


Para obtener estas 32 muestras usando Matlab se puede hacer lo siguiente:

k=0:31

f=[(k<8)|(k>23)]

Plot(k,f,’o’)

Series de

Fourier. 103


Con los 32 puntos f(k) calculamos F(n) mediante la FFT, por ejemplo, en Matlab:

F=fft(f)/N;

Con lo que obtenemos 32 valores complejos de F(n). Estos valores son los coeficientes de la serie compleja ordenados como sigue:

Series de

Fourier. 104

n 1 2 3 4 ... 16 17 18 19 ... 32

F(n) c0 c1 c2 c3 ... c15 c-16 c-15 c-14 ... c-1


Podemos graficar el espectro de amplitud reordenando previamente F(n) como sigue

aux=F; F(1:16)=aux(17:32);

F(17:32)=aux(1:16); F(n) queda:

Y para graficar el espectro de amplitud:

stem(abs(F)) Obteniéndose:

Series de

Fourier. 105

n 1 ... 13 14 15 16 17 18 19 ... 32

F(n) c-16 ... c-3 c-2 c-1 c0 c1 c2 c3 ... c15


Si deseamos una escala horizontal en unidades de frecuencia (rad/seg):

Series de

Fourier. 106

0 10 20 30 0

0.2

0.4

0.6 Para el tren de pulsos p=1,

T=2

n

|F(n

)

|

Espectro de Amplitud |F(n)|


w0=2*pi/T;

n=-16:15;

w=n*w0;

Stem(w,abs(F))

Obteniendo:

Series de

Fourier. 107

-50 0 50 0

0.2

0.4

0.6 para el tren de pulsos, p=1,T=2

w

|F(w

)|

Espectro de Amplitud |F(n)|


También podemos obtener los coeficientes de la forma trigonométrica, recordando que: Podemos obtener Para el ejemplo se obtiene: a0=0.5, an=bn=0 (para n par), además para n impar:

Series de

Fourier. 108

)jba(c),jba(c nn21

nnn21

n

)cIm(2b),cRe(2a,ca nnn00

n 1 3 5 7 9 11 13 15

an 0.6346 -0.2060 0.1169 -0.0762 0.0513 -0.0334 0.0190 -0.0062

bn -0.0625 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625 0.0625


Como el tren de pulsos es una función par, se esperaba que bn=0; (el resultado obtenido es erróneo para bn, pero el error disminuye para N grande):

Series de

Fourier. 109

0 10 20 30 -0.5

0

0.5

1

Coeficientes bn Coeficientes an

a0


Tarea: Usar el siguiente código para generar 128 puntos de una función periódica con frecuencia fundamental w0=120p (60 hertz) y dos armónicos impares en el intervalo [0,T]: N=128;

w0=120*pi;

T=1/60;

t=0:T/(N-1):T;

f=sin(w0*t)+0.2*sin(3*w0*t)+0.1*sin(11*w0*t);

Usando una función periódica diferente a la subrayada: a) Graficar la función. b) Obtener y graficar el espectro de amplitud de la señal usando la función FFT

Series de

Fourier. 110

Medidores Digitales

La FFT ha hecho posible el desarrollo de equipo electrónico digital con la capacidad de cálculo de espectros de frecuencia para señales del mundo real, por ejemplo: 1) Osciloscopio digital Fuke 123 ($ 18,600.00 M.N.) 2) Osc. digital Tektronix THS720P ($3,796 dls) 3) Power Platform PP-4300

Series de

Fourier. 111

Medidores Digitales

El Fluke 123 scope meter

Series de

Fourier. 112

Medidores Digitales

Tektronix THS720P (osciloscopio digital)

Series de

Fourier. 113

Medidores Digitales

Analizador de potencia PP-4300 Es un equipo especializado en monitoreo de la calidad de la energía: permite medición de 4 señales simultáneas (para sistemas trifásicos)

Series de

Fourier. 114

115

Serie trigonométrica de Fourier

Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada serie trigonométrica de Fourier

f(t) = ½ a0 + a1cos(w0t) + a2cos(2w0t) + ...

+ b1sen(w0t) + b2sen(2w0t) + ...

Donde w0 = 2p/T se denomina frecuencia

fundamental.

])()cos([)(1

00021

n

nn tnsenbtnaatf ww

116

Se dice que las funciones del conjunto {fk(t)} son

ortogonales en el intervalo a < t < b si dos

funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto

cumplen:

nmparar

nmparadt(t)(t)ff

n

b

a

nm

0

Ejemplo: Demostrar que las funciones sen t y cos t

son ortogonales en el intervalo –p < t <p:

02

cos2

π

ππ

π

tsentdtsent

117


Una función es par si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, es decir f(t) = f(-t)

p 2p

f(t)

t p 2p

una función es

impar si su gráfica es

simétrica respecto al

origen, es decir,

-f(t) = f(-t)

p 2p

f(t)

t p 2p

118

¿Cómo calcular los coeficientes de la serie?

])()cos([)(1

00021

n

nn tnsenbtnaatf ww

2/

2/

0 )(2

T

T

dttfT

a

,...3,2,1)cos()(

2/

2/

02

ndttntfa

T

T

Tn w

,...3,2,1)()(

2/

2/

02

ndttnsentfb

T

T

Tn w

119

Encontrar la serie de Fourier para la función

de onda cuadrada de periodo T:

La expresión para f(t) en –T/2< t < T/2 es:

1 f(t)

t . . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

2

2

01

01)(

T

T

tpara

tparatf w0= 2p/T

120

Coeficiente a0:

2/

2/

10 )(

T

T

Tdttfa

2/

0

0

2/

20

T

T

Tdtdta

0

2/

2/

0

2

T

T

Ttt 0

2

2

01

01)(

T

T

tpara

tparatf

121

Coeficientes an:

2/

2/

02 )cos()(

T

T

Tn dttntfa w

2/

0

0

0

2/

02 )cos(1)cos(1

T

T

Tn dttndttna ww

0)(1

)(1

0

2/

0

02/

0

0

0

2

T

T

Ttnsen

ntnsen

nw

ww

w

0para n

2

2

01

01)(

T

T

tpara

tparatf

122

Coeficientes bn:

2/

2/

02 )()(

T

T

Tn dttnsentfb w

2/

0

0

0

2/

02 )(1)(1

T

T

Tn dttnsendttnsenb ww

0

2/

0

02/

0

0

0

2 )cos(1

)cos(1

T

T

Ttn

ntn

nw

ww

w

1)cos()cos(11

ppp

nnn

0para))1(12

nn

n

p

2

2

01

01)(

T

T

tpara

tparatf

123

Finalmente, la serie de Fourier queda como

En la siguiente figura se muestran: la

componente fundamental y los armónicos 3,

5 y 7, así como la suma parcial de estos

primeros cuatro términos de la serie para

w0 = p w0= 2p/T, es decir, T = 2:

1

0

051

031

0

))12(12

14)(

...)5()3()(4

)(

n

tnsenn

tf

tsentsentsentf

wp

wwwp

124 -1 -0.5 0 0.5 1 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 Componentes de la Serie de Fourier

t

Co

mp

on

en

tes

Suma

fundamental

tercer armónico

quinto armónico

séptimo armónico

...)5()3()(4

)( 051

031

0 tsentsentsentf wwwp

Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)

E:/JavaFourier/index.html







125

Nota:

Para expresarse como serie de Fourier f(t), no

necesita estar centrada en el origen. Simplemente

debemos tomar el intervalo, donde está definida,

como el periodo de la serie.

La ortogonalidad de las funciones seno y coseno

no sólo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino

en cualquier intervalo que cubra un periodo

completo: de t0 a t0 + T, con t0 arbitrario, con el

mismo resultado.

126

Habíamos calculado

los coeficientes para:

TtTpara

Ttparatf

2/1

2/01)(

2/01

02/1)(

Ttpara

tTparatf

Si los calculamos para la misma función desplazada

tienen que ser los mismos:

1 f(t)

t . . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

1 f(t)

t . . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

127

De hecho si repetimos

para cualquier intervalo

de longitud el periodo

T de la función, será lo

mismo:

1

f(t)

t

. . . t0 t0 +T . . . -1

T

T

Tt

t

T

T

T

T

T

Tdttfdttfdttfdttfa )()()()( 22

0

2

2/

2/

10

0

0

T

T

T

T

Tn dttntfdttntfa )cos()(...)cos()( 02

2/

2/

02 ww

T

T

T

T

Tn dttnsentfdttnsentfb )()(...)()( 02

2/

2/

02 ww

3

2 periodo de )3cos(1)(

p Tttf

Calcular la serie de Fourier

de la función periódica:

129

Como la función sen(nw0t) es una función impar para todo n y la función cos(nw0t) es una función par para todo n, es de esperar que:

• Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto

bn= 0 para todo n.

• Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n.

130

Por ejemplo, la señal cuadrada, que hemos analizado:

Es una función impar, por ello su serie de Fourier no contiene términos coseno:

1 f(t)

t . . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

...)5()3()(4

)( 051

031

0 tsentsentsentf wwwp

131

Simetría de media onda

Una función periodica de periodo T se dice

simétrica de media onda, si cumple la propiedad

Es decir, si en su gráfica las partes negativas son

un reflejo de las positivas pero desplazadas medio

periodo:

)()(21 tfTtf

f(t)

t

132



en la serie

Ninguna senos y

cosenos

Par bn= 0 únicamente

cosenos

Impar an= 0 únicamente

senos

Media

onda

Senos y

cosenos

impares

w

2/

0

04 )cos()(

T

Tn dttntfa

w

2/

0

04 )()(

T

Tn dttnsentfb

w

imparndttntf

parn

aT

Tn

2/

0

04 )cos()(

0

w

imparndttnsentf

parn

bT

Tn

2/

0

04 )()(

0

w

2/

2/

02 )cos()(

T

T

Tn dttntfa

w

2/

2/

02 )()(

T

T

Tn dttnsentfb

136

Consideremos la serie de Fourier para una

función periódica f(t), con periodo T = 2p/w0.

Es posible obtener una forma alternativa

usando las fórmulas de Euler:

])()cos([)(1

00021

n

nn tnsenbtnaatf ww

)()(

)()cos(

00

00

21

0

21

0

tintin

i

tintin

eetnsen

eetn

ww

ww

w

w

137

Sustituyendo:

Y usando el hecho de que 1/i = -i:

Y definiendo:

])()([)(1

21

21

021 0000

n

tintin

in

tintin

n eebeeaatfwwww

])()([)(1

21

21

021 00

n

tin

nn

tin

nn eibaeibaatfww

)(),(,21

21

021

0 nnnnnn ibacibacac

n

tin

nectf 0)(w

T

2 0

pw

138

A la expresión obtenida

se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o bien:

Para n = 0, 1, 2, 3, ...

T

tin

Tn dtetfc0

1 0)(w

n

tin

nectf 0)(w

139

Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la función ya tratada:

Solución 1. Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonométrica (an y bn), que eran an= 0 para todo n y

ntodoparan

b n

n ])1(1[2

p

1 f(t)

t . . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

140

Entonces la serie compleja de Fourier queda:

])1(1[]])1(1[[ 1221 n

n

n

nn iic pp

])1(1[ n

ni

nc p

...)

(...)(

000

000

5

513

31

3

315

512

tititi

tititi

eee

eeeitf

www

www

p

][21

nnn ibac 0

imparn 2

parn 0

paran

i

para

Cn

p

imparn 2

)( 0

n

tine

n

itf

w

p

141

Solución 2. También podemos calcular los coeficientes cn mediante la integral:

T

tin

Tn dtetfc0

1 0)(w

T

T

tin

T

tindtedte

T2/

2/

0

00 111 ww

2/

1

0

2/

1 001

T

T

tin

in

T

tin

inee

T oo

w

w

w

w

)()1(1 2/2/ 000 TinTinTin

o

eeeTin

www

w

142

Como w0T = 2p y :

que coincide con el resultado ya obtenido.

isene i cos

)])1(1()1)1[(1 nn

Tinn oc

w

])1(1[2 n

Tn oi

w ])1(1[1 n

ni

p

)()1(1 2 ppp

p

ininin

n eeein

c

111cos1

0

nin isennneppp

ninin isennnnisennee 11cos22cos

001

2

pppppp

143

10 , 1

01 , 0)(

x

xxH

Calcular la serie de Fourier de la función de

Heaviside, usando la forma compleja,

144

La función impulso o

delta de Dirac

Podemos pensar en la delta de Dirac como el límite de una serie de funciones:

if 0( )

0 if 0

tt

t

t

f1(t)

f2(t)

f3(t)

(t)

t

(t)

2)(mt

m em

(t) f p

145

Propiedades de la función

t

(t)

( ) 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

exp( ) 2 (

exp[ ( ') ] 2 ( '

t dt

t a f t dt t a f a dt f a

i t dt

i t dt

w p w

w w p w w

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Dirac_function_approximation.gif

146

Calcular la serie de Fourier de (x):

j

jxij ecx p

1

1

)(2

1dxxec jxi

j p

1

1

00 )(

2

1dxxec xi p

1

1

0 )(2

1dxxc

2

10 c

147

Calcular la serie de Fourier de (x):

j

jxij ecx p

1

1

)(2

1dxxec jxi

j p

x 1

2 cos(pjx )j 0

Para todas las x ≠ 0 la

función delta vale 0 2

1

)( 2

1

2

1

2

1

00

0

j

jxijxi

j

jxi

eeeCx ppp

1

1

)(2

1dxxc j

148

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

149

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

150

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

151

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

152

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

153

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

154

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

155

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

156

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

157

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

Series de Fourier

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