series de FOURIER para circuitos electricos

Series de Fourier

Introducción

El análisis de Fourier fue introducido en 1822 en la

“Théorie analyitique de la chaleur” para tratar la

solución de problemas de valores en la frontera en la

conducción del calor.

Más de siglo y medio después las aplicaciones de esta

teoría son muy bastas: Sistemas Lineales,

Comunicaciones, Física moderna, Electrónica, Óptica y

por supuesto, Circuitos Eléctricos entre muchas otras.

TEOREMA DE FOURIER Toda señal

periódica puede

descomponerse

como suma de

señales

senoidales:

n

n tnsenaKtf )()( 0

Ejemplo: Señal Cuadrada

Componentes:

Funciones Periódicas Una Función Periódica f(t) cumple la siguiente

propiedad para todo valor de t.

f(t)=f(t+T)

A la constante mínima para la cual se cumple lo

anterior se le llama el periodo de la función

Repitiendo la propiedad se puede obtener:

f(t)=f(t+nT), donde n=0,1, 2, 3,...

Funciones Periódicas

Ejemplo: ¿Cuál es el período de la función

Solución.- Si f(t) es periódica se debe cumplir:

Pero como se sabe cos(x+2k)=cos(x) para cualquier entero k, entonces para que se cumpla la igualdad se requiere que

T/3=2k1, T/4=2k2

Es decir,

T = 6k1 = 8k2

Donde k1 y k2 son enteros,

El valor mínimo de T se obtiene con k1=4, k2=3, es decir,T=24

)?cos()cos(f(t)4t

3t

)cos()cos(T)f(t4Tt

3Tt )cos()cos(f(t)

4t

3t


Gráfica de la función

0 50 100 150 200 -3

-2

-1

0

1

2

3

f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24

T

)cos()cos(f(t)4t

3t

Funciones Periódicas Podríamos pensar que cualquier suma de funciones seno y coseno produce una función periódica.

Esto no es así, por ejemplo, consideremos la función

f(t) = cos(1t)+cos(2t).

Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que

1T= 2m, 2T=2n

De donde

Es decir, la relación 1/ 2 debe ser un número racional.

n

m

2

1


Ejemplo: la función cos(3t)+cos(+3)t no es periódica, ya que no es un número racional.

3

3

2

1

0 5 10 15 20 25 30 -2

-1

0

1

2 f(t)=cos(3t)+cos((3+)t)

t

f(t)

Funciones Periódicas Tarea: Encontrar el periodo de las siguientes

funciones, si es que son periódicas:

1) f(t) = sen(nt), donde n es un entero.

2) f(t)= sen2(2t)

3) f(t)= sen(t)+sen(t+/2)

4) f(t)= sen(1t)+cos(2t)

5) f(t)= sen(2 t)

Serie Trigonométrica de Fourier Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T

pueden expresarse por la siguiente serie, llamada

Serie Trigonométrica de Fourier

f(t) = ½ a0 + a1cos(0t)+a2cos(20t)+...

+ b1sen(0t)+b2sen(20t)+...

Donde 0=2/T.

Es decir,

])()cos([)(1

00021

n

nn tnsenbtnaatf

Serie Trigonométrica de Fourier Es posible escribir de una manera ligeramente

diferente la Serie de Fourier, si observamos que el

término ancos(n0t)+bnsen(n0t) se puede escribir

como

Podemos encontrar una manera más compacta

para expresar estos coeficientes pensando en un

triángulo rectángulo:

)()cos( 0

220

22

22 tnsenba

btn

ba

aba

nn

n

nn

nnn


Con lo cual la expresión queda

n2n

2n

n

n2n

2n

n

senba

b

cosba

a

an

bn

2

n

2

nn baC

n

)tn(sensen)tncos(cosC 0n0nn

)tncos(C n0n


Si además definimos C0=a0/2, la serie de Fourier

se puede escribir como

Así,

y

1

00 )cos()(n

nn tnCCtf

22

nnn baC

n

nn

a

b1tan

Serie Trigonométrica de Fourier Definir adecuadamente los coeficientes C0, Cn y

n, de manera que la serie de Fourier se pueda

escribir como

1

00 )()(n

nn tnsenCCtf

Componentes y armónicas

Así, una función periódica f(t) se puede escribir como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias n=n0.

A la componente sinusoidal de frecuencia n0: Cncos(n0t+n) se le llama la enésima armónica de f(t).

A la primera armónica (n=1) se le llama la componente fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t)

A la frecuencia 0=2f0=2/T se le llama frecuencia angular fundamental.


A la componente de frecuencia cero C0, se le

llama componente de corriente directa (cd) o

corriente continua (cc) y corresponde al valor

promedio de f(t) en cada periodo.

Los coeficientes Cn y los ángulos n son

respectiva-mente las amplitudes y los ángulos

de fase de las armónicas.


Ejemplo: La función

Como ya se mostró tiene un periodo T=24, por lo tanto su

frecuencia fundamental es 0=1/12 rad/seg.

Componente fundamental es de la forma:

0*cos(t/12).

Tercer armónico:

cos(3t/12)=cos(t/4)

Cuarto armónico:

Cos(4t/12)=cos(t/3)

0 50 100 150 200 -3

-2

-1

0

1

2

3

f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24

)cos()cos(f(t)4t

3t

Componentes y armónicas Ejemplo: Como puede verse, la función anterior tiene

tantas partes positivas como negativas, por lo tanto su

componente de cd es cero, en cambio

0 50 100 150 200 -3

-2

-1

0

1

2

3

f(t)=1+cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24

)cos()cos(1f(t)4t

3t

Tiene tantas partes

arriba como abajo

de 1 por lo tanto,

su componente de

cd es 1.


¿Cuál es la componente fundamental, las

armónicas distintas de cero y la componente

de directa de

a) f(t) = sen2t

b) f(t) = cos2t ?

Justificar mostrando la gráfica de las funciones

y marcando en ellas el periodo fundamental y

la componente de cd.

Ortogonalidad de senos y cosenos Se dice que un conjunto de funciones fk(t) son

ortogonales en el intervalo a<t<b si dos

funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto

cumplen

nmparar

nmpara0dt(t)(t)ff

n

b

anm

Ortogonalidad de senos y cosenos

Ejemplo: las funciones t y t2 son ortogonales en el intervalo

–1< t <1, ya que

Ejemplo: Las funciones sen t y cos t son ortogonales en el

intervalo –/2< t </2, ya que

04

tdttdttt

1

141

1

31

1

2

02

tsensentcostdt

2

Ortogonalidad de senos y cosenos Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un par de funciones, el siguiente es un conjunto de una infinidad de funciones ortogonales en el intervalo -T/2<t< T/2.

1,cos0t, cos20t, cos30t,...,sen0t,sen20t,sen30t,...

(para cualquier valor de 0=2/T).

Para verificar lo anterior podemos probar por pares:

1.- f(t)=1 Vs. cos(m0t):

Ya que m es un entero.

0m

)(m2

m

T/2)(m2t)(mt)dtcos(m

00

0

2/

2/

0

0

2/

2/

0

sensen

m

sen

T

TT

T

Ortogonalidad de senos y cosenos 2.- f(t)=1 Vs. sen(m0t):

3.- cos(m0t) Vs. cos(n0t):

0T/2)]m(cos-T/2)m[cos(m

1

m

t)(mcost)dtsen(m

00

0

2/T

2/T

0

02/T

2/T0

0nmpara2/T

nmpara0t)dtt)cos(ncos(m

2/T

2/T00

Ortogonalidad de senos y cosenos 4.- sen(m0t) Vs. sen(n0t):

5.- sen(m0t) Vs. cos(n0t):

n,mcualquierpara0t)dtt)cos(nsen(m2/T

2/T00

0nmpara2/T

nmpara0t)dtt)sen(nsen(m

2/T

2/T00

Ortogonalidad de senos y cosenos Para calcular las integrales de los casos 3, 4 y 5,

son útiles las siguientes identidades

trigonométricas:

cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)]

sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)]

sen A cos B = ½[sen(A+B)+sen(A-B)]

Además:

sen2q = ½ (1-cos2q)

cos2q = ½ (1+cos2q)

Cálculo de los coeficientes de la Serie Dada una función periódica f(t) ¿cómo se obtiene su serie de Fourier?

Obviamente, el problema se resuelve si sabemos como calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,...

Esto se puede resolver considerando la ortogonalidad de las funciones seno y coseno comentada anteriormente.

])()cos([)(1

00021

n

nn tnsenbtnaatf

Cálculo de los coeficientes de la Serie Multiplicando ambos miembros por cos(nw0t) e

integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:

Similarmente, multiplicando por sen(n0t) e

integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:

Similarmente, integrando de –T/2 a T/2,

obtenemos:

;...3;2;1;0)cos()(

2/

2/

02

ndttntfa

T

T

Tn

,...3,2,1)()(

2/

2/

02

ndttnsentfb

T

T

Tn

2/

2/

20 )(

T

T

Tdttfa

Cálculo de los coeficientes de la Serie

El intervalo de integración no necesita ser

simétrico respecto al origen.

Como la ortogonalidad de las funciones seno y

coseno no sólo se da en el intervalo de –T/2 a

T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un

periodo completo:

(de t0 a t0+T, con t0 arbitrario)

las fórmulas anteriores pueden calcularse en

cualquier intervalo que cumpla este requisito.

Definición

Si f(t) periódica, es decir f0(t)= f0(t+n·T), siendo:

T= período

Desarrollo en serie de Fourier

f2T

2

Teorema de Fourier: se puede descomponer:

1

0 )]()cos([2

)(n

nn tnsenbtnaa

tf

Siendo:

T

n dttntfT

a0

)cos()(2

T

dttfT

atfa

00

0 )(2

)(2

T

n dttnsentfT

b0

)()(2

Cálculo de los coeficientes de la Serie Ejemplo: Encontrar la Serie de Fourier para la

siguiente función de periodo T:

Solución: La expresión para f(t) en –T/2<t<T/2 es

1 f(t)

t . . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

2T

2T

t0para1

0tpara1)t(f


Coeficientes an:

2/T

2/T0T

2n dt)tncos()t(fa

2/T

00

0

2/T0T

2 dt)tncos(dt)tncos(

0

2/T

0

02/T

0

0

0T2 )tn(sen

n

1)tn(sen

n

1

0npara0


Coeficiente a0:

2/T

2/TT2

0 dt)t(fa

2/T

0

0

2/TT2 dtdt

0

2/T

2/T

0

T2 tt

0


Coeficientes bn:

2/T

2/T0T

2n dt)tn(sen)t(fb

2/T

00

0

2/T0T

2 dt)tn(sendt)tn(sen

0

2/T

0

02/T

0

0

0T2 )tncos(

n

1)tncos(

n

1

)1)n(cos())ncos(1(n

1

0npara))1(1n

2 n


Finalmente la Serie de Fourier queda como

En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7 así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para 0=, es decir, T=2:

...)5()3()(4

)( 051

031

0 tsentsentsentf


-1 -0.5 0 0.5 1 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 Componentes de la Serie de Fourier

t

Co

mp

on

en

tes

Suma

fundamental

tercer armónico

quinto armónico

septimo armónico


Encontrar la serie de Fourier para la siguiente

señal senoidal rectificada de media onda de

periodo 2.

-6 -4 -2 0 2 4 6 -0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Senoidal rectificada de media onda

t

f(t)

Funciones Pares e Impares

Una función (periódica o no) se dice función par

(o con simetría par) si su gráfica es simétrica

respecto al eje vertical, es decir, la función f(t) es

par si f(t) = f(-t)

2

f(t)

t 2

Funciones Pares e Impares En forma similar, una función f(t) se dice función

impar o con simetría impar, si su gráfica es

simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo

siguiente: -f(t) = f(-t)

2

f(t)

t 2


Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o impares?

f(t) = t+1/t

g(t) = 1/(t2+1),

Solución:

Como f(-t) = -t-1/t = -f(t), por lo tanto f(t) es función impar.

Como g(-t)=1/((-t)2+1) = 1/(t2+1)=g(t), por lo tanto g(t) es función par.


Ejemplo: ¿La función h(t)=f(1+t2) es par o impar?, donde f es una función arbitraria.

Solución:

Sea g(t)= 1+t2, Entonces h(t)=f(g(t))

Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)),

Pero g(-t)=1+(-t)2 = 1+t2=g(t),

finalmente h(-t)=f(g(t))=h(t), por lo tanto h(t) es función par, sin importar como sea f(t).


Ejemplo: De acuerdo al ejemplo anterior, todas las siguientes funciones son pares:

h(t) = sen (1+t2)

h(t) = exp(1+t2)+5/ (1+t2)

h(t) = cos (2+t2)+1

h(t) = (10+t2)-(1+t2)1/2

etc...

Ya que todas tienen la forma f(1+t2)


Como la función sen(n0t) es una función impar para todo n0 y la función cos(n0t) es una función par para todo n, es de esperar que:

Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto bn= 0 para todo n

Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n


Por ejemplo, la señal cuadrada, ya analizada en un ejemplo previo:

Es una función impar, por ello su serie de Fourier no contiene términos coseno:

1 f(t)

t . . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

...)5()3()(4

)( 051

031

0 tsentsentsentf

Simetría de Media Onda

Una función periodica de periodo T se dice

simétrica de media onda, si cumple la propiedad

Es decir, si en su gráfica las partes negativas son

un reflejo de las positivas pero desplazadas medio

periodo:

)()(21 tfTtf

f(t)

t

Simetrías y Coeficientes de Fourier

Simetría Coeficientes Funciones

en la serie

Ninguna Senos y

cosenos

Par bn=0 únicamente

cosenos

Impar an=0 únicamente

senos

media

onda

Senos y

cosenos

impares

2/

0

04 )cos()(

T

Tn dttntfa

2/

0

04 )()(

T

Tn dttnsentfb

imparndttntf

parn

aT

Tn

2/

0

04 )cos()(

0

imparndttnsentf

parn

bT

Tn

2/

0

04 )()(

0

2/

2/

02 )cos()(

T

T

Tn dttntfa

2/

2/

02 )()(

T

T

Tn dttnsentfb

Interpretación: ejemplo con una señal cuadrada

Desarrollo en serie de Fourier

T

t

t

1er Armónico

3er Armónico

5º Armónico

Nivel de

continua

7º Armónico

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 Serie con 1 armónico

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 Serie con 3 armónicos

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1


FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER:

Un vector rotando uniformemente (A/2)e+j tiene

una magnitud constante A/2 y un ángulo de fase

el cual esta variando en el tiempo de acuerdo a:

donde es el ángulo de fase inicial cuando t=0. Un

segundo vector (A/2)e-j rotará en la dirección

opuesta al anterior. Este aumento negativo de

cambio en el ángulo de fase puede ser

considerado como una frecuencia negativa.

La suma de estos dos vectores estará siempre a lo

largo del eje real, con la magnitud oscilando entre

A y –A a:

ft2

cos22

AeA

eA jj

FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER: Reescribiendo la serie de Fourier como:

Donde x(t) es periódica con período T y

=2/T=2f, la componente nth de esta

serie, correspondiente a la armónica a una

frecuencia de fn=nf, es dado por:

Donde es el vector unitario y X(fn) da la

amplitud y fase para el vector armónico.

Amplitud

instantánea

Máxima

amplitud (A)

Im

Re

A/2

-

-

2/

2/

2)(

1)(

T

T

tfj

n dtetxT

fX n

.....)2()()( 22110 tsenAtsenAatx

tfj ne2

Forma Compleja de la Serie de Fourier

Consideremos la serie de Fourier para una función

periodica f(t), con periodo T=2/0.

Es posible obtener una forma alternativa usando

las fórmulas de Euler:

Donde

])()cos([)(1

00021

n

nn tnsenbtnaatf

)()(

)()cos(

00

00

21

0

21

0

tjntjn

j

tjntjn

eetnsen

eetn

1j


Sustituyendo

Y usando el hecho de que 1/j=-j

Y definiendo:

Lo cual es congruente con la fórmula para bn, ya que b-n=-bn, ya que la función seno es impar.

])()([)(1

21

21

021 0000

n

tjntjn

jn

tjntjn

n eebeeaatf

])()([)(1

21

21

021 00

n

tjn

nn

tjn

nn ejbaejbaatf

)(),(,21

21

021

0 nnnnnn jbacjbacac


La serie se puede escribir como

O bien,

Es decir,

)()(1

000

n

tjn

n

tjn

n ececctf

11

000)(

n

tjn

n

n

tjn

n ececctf

n

tjn

nectf 0)(


A la expresión obtenida

Se le llama forma compleja de la serie de

Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a

partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o

bien:

Para n=0, 1, 2, 3, ...

T

tjn

Tn dtetfc0

1 0)(

n

tjn

nectf 0)(


Los coeficientes cn son números complejos, y

también se pueden escribir en forma polar:

Obviamente,

Donde ,

Para todo n0,

Para n=0, c0 es un número real:

nj

nn ecc

nj

nnn eccc

*

22

21

nnn bac )arctan(n

nn

a

b

021

0 ac


Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la función ya tratada:

Solución 1. Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonométrica (an y bn):

an=0 para todo n

y

1 f(t)

t . . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

ntodoparab n

nn ])1(1[2


Podemos calcular los coeficientes cn de:

Entonces la Serie Compleja de Fourier queda

])1(1[][ 221

21 n

nnnn jjbac

])1(1[1 n

nn jc

...)

(...)(

000

000

5

513

31

3

315

512

tjtjtj

tjtjtj

eee

eeejtf


Solución 2. También podemos calcular los coeficientes cn mediante la integral

T

tjn

Tn dtetfc0

1 0)(

)(2/

2/

0

1 00

T

T

tjn

T

tjn

Tdtedte

)(2/

1

0

2/

11 00

T

T

tjn

jn

T

tjn

jnTee

oo

)]()1[(2/2/1 000 TjnTjnTjn

Tjneee

o


Como 0T=2 y además

Lo cual coincide con el resultado ya obtenido.

jsene j cos

)])1(1()1)1[(1 nn

Tjnn oc

])1(1[2 n

Tn oj

])1(1[1 n

nj


Calcular los coeficientes cn para la siguiente

función de periodo 2.

a) A partir de los coeficientes an,bn

b) Directamente de la integral

-6 -4 -2 0 2 4 6 -0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Senoidal rectificada de media onda

t

f(t)

Espectros de Frecuencia Discreta

A la gráfica de la magnitud de los coeficientes cn contra la frecuencia angular de la componente correspondiente se le llama el espectro de amplitud de f(t). A la gráfica del ángulo de fase n de los coeficientes cn contra , se le llama el espectro de fase de f(t). Como n sólo toma valores enteros, la frecuencia angular =n0 es una variable discreta y los espectros mencionados son gráficas discretas.


Dada una función periódica f(t), le corresponde

una y sólo una serie de Fourier, es decir, le

corresponde un conjunto único de coeficientes cn.

Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t) en el

dominio de la frecuencia de la misma manera

que f(t) especifica la función en el dominio del

tiempo.


Ejemplo. Para la función ya analizada:

Se encontró que

Por lo tanto,

1 f(t)

t . . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

])1(1[1 n

nn jc

])1(1[1 n

nnc


El espectro de amplitud se muestra a continuación

Observación: El eje horizontal es un eje de frecuencia,

(n=número de armónico = múltiplo de 0).

-30 -20 -10 0 10 20 30 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Espectro de Amplitud de f(t)

n

C

n

Frecuencia negativa (?) Frecuencia

0 2345678910c.

Amplitud

c0 c1

c2 c3

c4

c5

c7

c6

Frec.

Espectro de amplitud

n

n

n tnsenca

tf

1

0

2)(

Espectro de amplitud

n

n

n tnsenca

tf

1

0

2)(

Espectro de fase

0 2345678910Frec.

Fase

1

/2

/2

2

3

4

5

6

7

8

Frec.

Espectro de fase

Representación de los coeficientes de la serie de Fourier

TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER:

En el caso donde la función en el dominio del tiempo es

una función muestreada la expresión toma la forma:

Se asume que la función es periódica con un total de N

muestras por período. Esta forma discreta de la

Transformada de Fourier es la apropiada para evaluación

numérica por cálculo digital.

La ecuación anterior puede también escribirse como:

donde W=e-j2/N

1

0

/2)(1

)(N

n

Nknj

nk etxN

fX

1

0

)(1

)(N

n

kn

nk WtxN

fX

TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER: Sobre todas las componentes de frecuencia la ecuación anterior adquiere la

siguiente forma matricial:

En esta ecuación, [X(fk)] es un vector representando los N componentes de la

función en el dominio de la frecuencia, mientras que [x(t)] es un vector

representando las N muestras de la función en el dominio del tiempo.

El cálculo de las N componentes de frecuencia a partir de las N muestras

requiere un total de N2 multiplicaciones complejas para implementar la forma

anterior.

)(

.

)(

.

)(

)(

.

..1

......

..1

......

..1

1.1.11

1

)(

.

)(

.

)(

)(

1

1

0

)1()1(1

)1(

1

1

1

0

2

2

N

n

NkNN

Nkkk

Nk

N

k

tx

tx

tx

tx

WWW

WWW

WWW

N

fX

fX

fX

fX

)(.1

)( n

kn

k txWN

fX

Potencia y Teorema de Parseval

El promedio o valor medio de una señal

cualquiera f(t) en un periodo dado (T) se puede

calcular como la altura de un rectángulo que tenga

la misma área que el área bajo la curva de f(t)

1 f(t)

t

h=Altura

promedio

T

dttfArea0

)(

T

Area=Th

Potencia y Teorema de Parseval De acuerdo a lo anterior, si la función periódica f(t)

representa una señal de voltaje o corriente, la

potencia promedio entregada a una carga

resistiva de 1 ohm en un periodo está dada por

Si f(t) es periódica, también lo será [f(t)]2 y el

promedio en un periodo será el promedio en

cualquier otro periodo.

2/

2/

21 )]([

T

T

Tdttf

Potencia y Teorema de Parseval El teorema de Parseval nos permite calcular la

integral de [f(t)]2 mediante los coeficientes com-

plejos cn de Fourier de la función periódica f(t):

O bien, en términos de los coeficientes an, bn:

n

n

T

T

Tcdttf

22/

2/

21 )]([

1

22

212

041

2/

2/

21 )()]([n

nn

T

T

Tbaadttf

Potencia y Teorema de Parseval Una consecuencia importante del teorema de Parseval es el siguiente resultado: El valor cuadrático medio de una función periódica f(t) es igual a la suma de los valores cuadráticos medios de sus armónicos, es decir, Donde Cn es la amplitud del armónico n-ésimo y C0 es la componente de directa.

1

2

2

0

2/

2/

21

2)]([

n

n

T

T

T

CCdttf

Potencia y Teorema de Parseval Para aclarar el resultado anterior es conveniente encontrar la relación entre los coeficientes complejos cn de la serie

Y los coeficientes reales Cn de la serie

Donde Cn es la amplitud del armónico n-ésimo y C0 es la componente de directa.

n

tjn

nectf 0)(

1

00 )cos()(n

nn tnCCtf

Potencia y Teorema de Parseval

Por un lado

Mientras que

Entonces, Por lo tanto,

Además, para el armónico Su valor rms es , por lo tanto su valor cuadrático medio es

Para la componente de directa C0, su valor rms es C0, por lo tanto su valor cuadrático medio será C0

2.

,22

nnn baC

22

21

nnn bac

nn Cc21

2

412

nn Cc

)cos()( 0 nnn tnCtf

2/nC

2/2

nC

Potencia y Teorema de Parseval Ejemplo. Calcular el valor cuadrático medio de la

función f(t):

Solución.

Del teorema de Parseval

y del ejemplo anterior

sustituyendo

1 f(t)

t . . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

n

n

T

T

Tcdttf

22/

2/

21 )]([

])1(1[1 n

nnc

...49

1

25

1

9

11

82

2

n

nc

Potencia y Teorema de Parseval La serie numérica obtenida converge a

Por lo tanto,

Como era de esperarse.

2337.1...49

1

25

1

9

11

1)2337.1(8

)]([2

22/

2/

21

n

n

T

T

Tcdttf

DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS VALOR RMS

Señal continua:

Señal discreta:

O, en término de los valores rms de los armónicos:

T

rms dttvT

V0

22 )(1

N

k

krms tVN

V1

21

2

hrmsrms VV

DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS

DISTORSIÓN ARMÓNICA TOTAL (THD)

A partir de lo cual:

k

h

hrms

rms

VV VV

THDTDT2

2

1

1

k

h

hrms

rms

II II

THDTDT2

2

1

1

2

1 100/1 Vrmsrms THDVV

2

1 100/1 Irmsrms THDII

POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTE

POTENCIA ACTIVA:

En el caso senoidal:

T

dttitvT

P0

).().(1

h

hhh CosIVP ..

CosIVP ..

22.. PSSenIVQ

22. PQIVS

:será ainstantáne Potencia La

)sin(..2)sin(..2)(

)sin(..2)sin(..2)(

:que doConsideran

2

11

2

1

n

nna

m

ma

tnItIti

tmVtVtv

2n 2m

nnnm

2m

111m

2n

nnn1

111111

t)nm(cost)nm(cosIV

t)1m(cost)1m(cosIV

t)1n(cost)1n(cosIV

)t2sin().sin(.I.V)t2cos(1).cos(.I.V)t(p

Considerando la presencia de armónicos tanto en la

tensión como en la corriente de carga:

IVDQPS

IVQ

IVP

k

kkk

k

kkk

*

)sin(

)cos(

222

1

1

Definiciones de Budeanu para potencia (1927)

Dominio de la frecuencia

)( 2222 QPSD

En estas condiciones se define la Distorsión de Potencia

cos)()cos( 2222222 IVIVIVsenIVIVDQPS

= 1 a

(orden de armónica)

m

mm tmsenVtv )()(

n

nn tnsenIti )()(


Alguna características de la definición de Potencia Reactiva en condiciones

senoidales:

1.- La potencia reactiva es proporcional a la diferencia entre la energía eléctrica

almacenada en los inductores y la energía almacenada en los condensadores

2.- Si la potencia reactiva es reducida a cero, el factor de potencia se hace uno

3.- La potencia reactiva completa el triángulo de potencia:

4.- La suma de todas las potencias reactivas en un nodo de un sistema de potencia

es cero.

5.- La potencia reactiva puede ser expresada por los términos V, I y sen.

6.- La potencia reactiva puede ser positiva o negativa (el signo especifica si la carga

es inductiva o capacitiva)

7.- La potencia reactiva puede ser reducida a cero insertando componentes

inductivos o capacitivos

8.- La caída de tensión de una línea de un sistema de potencia es

aproximadamente proporcional a la potencia reactiva.

222 QPS

El IEEE Standard Dictionary of Electrical and Electronics Terms, define un gran número de expresiones para la potencia, tanto en régimen sinusoidal como no sinusoidal, para redes monofásicas y trifásicas. Numerosos autores han solicitado la actualización de estas definiciones, algunas contradictorias entre sí, y que originan discusiones al obtenerse valores dispares de las potencias reactiva y aparente o del factor de potencia, para una misma red.

En los últimos años se han propuesto definiciones globales

de la potencia en redes trifásicas. Los dos Grupos de

mayor impacto, son: el IEEE Working Group, encabezado

por A. Emanuel, y la Escuela Alemana, dirigida por M.

Depenbrock.


Dos corrientes son ortogonales si:

El cuadrado del valor rms de la suma de ambas:

Una corriente dividida en componentes ortogonales, multiplicada por el rms

de tensión:

T

ba dtiiT

0.1

T

bab

T

ba

T

a

T

ba

IIdtiT

dtiiT

dtiT

dtiiT

I

2222

22

1..2

11

)(1

222222 )( baba SSIIVS

DESCOMPOSICIÓN O FACTORIZACIÓN DE LOS COMPONENTES DE LA POTENCIA APARENTE

I

I1

I1P

I1Q

I1i

I10h

IA

ID

Potencia

Activa

Potencia

Reactiva

FUNDAMENTAL

ARMÓNICAS

INVERSA

HOMOPOLAR

Potencia de

Desbalance

Potencia de

Distorsión

n

2i

iI

2

1)(

12/

0

22

2/

0

2 m

T

m

T

ef

ItdtsenI

Tdtti

TI

44

2

2 mmmefefef

IVR

IRIIVP

707,02

2

22

4 mm

mm

IV

IV

S

PFP

......6cos

35

24cos

15

22cos

3

2

21)( ttttsen

Iti m

TT

T

dttiT

dttvT

dttitvT

S

PFP

0

2

0

2

0

)(1

)(1

)()(1

POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTE GRUPO DE TRABAJO IEEE

(1996):

Orientación clara a la medición. Se separan las cantidades de la fundamental de la

de las armónicas:

Con lo cual la potencia aparente es:

Donde:

Se define una potencia no activa N:

El resto se denomina potencia aparente no fundamental y es:

V1IH : Potencia de distorsión de corriente

VHI1 : Potencia de distorsión de tensión

1

22

1

22

1

2

h

hH VVVVV

1

22

1

22

1

2

h

hH IIIII

22

1

2

1

2

11

22 )()()()()( HHHH IVIVIVIVVIS

2

111

2

111

2

1

2

1

2

1

2

11 )()cos()( senIVIVQPSIV

22 PSN

2

1

222

1

2

1

2 )()()( SSIVIVIVS HHHHN

POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTE GRUPO DE TRABAJO IEEE

(1996):

Al tercer término se lo denomina potencia aparente armónica y se puede expresar

como:

Donde:

Puede de aquí sacarse un elemento que indica la operación de la red:

Factor de Potencia Total Desplazamiento de Factor de Potencia

2222 )( HHHHH NPIVS

1

cosh

HHHH IVP

222

2

11

2

1

2

1

2

1

.VTHDITHDVTHDITHDIV

IV

V

V

I

I

S

S HHHHN

S

PP

S

PPF H )( 1 1

1

1 cosS

PdPF

VIHHH THDTHD

IV

IV

S

S.

111

Circulación de la tercera armónica por el neutro de transformadores

5ª Arm. (sec. negativa) 3ª Arm.(sec. homopolar) Fundamental (sec. directa)

Corrientes del Sistema

Sa

Sb

Sc

SVEC SAVA Pa

Pb

Pc

Qa

Qb Qc

Factor de Potencia Aritmética

Factor de Potencia Vectorial

cba

cbaAVA

SSS

PPPFP

)()( cbacba

cbaVEC

QQQjPPP

PPPFP

Potencia Aparente Vector

222

c

ak

k

c

ak

k

c

ak

kVEC DQPS

Potencia Aparente Aritmética

c

ak

kkkAVA DQPS 222

Potencia Aparente Eficaz

c

ak

kkRMS IVS

(Grupo de IEEE) eee IVS 33

222

2 cbae

VVVV

3

222

2 cbae

IIII

3

2222

2

*ncba IIII

I

VEC

VEC

AVA

AVA

RMS

RMS

e

SeS

PFP

S

PFP

S

PFP

S

PFP

Función escalón, rampa, exponencial

Escalón

El escalón u(t) es una función continua cuya

definición se ajusta a la percepción intuitiva

de ésta. Hay también tres formas de

definirla; éstas son,

El escalón u(t) se puede definir mediante

una integral como

Escalón

El escalón u(t) se puede definir mediante

una función auxiliar como

El escalón u(t) se puede definir por partes

como

Escalón

Señales básicas

Escalón unitario discreto:

Señal escalón

)u()v( 0ttAt

0 para 0

0 para 1)u(

t

tt

Escalón unidad

t

u(t) u t( ) t( )

2 1 0 1 2

0.5

1

1.5

.. v(t)

A

t0 t

0 para t<0

1 para t>0 u1 (t) =

e(t)

+

-

+

- E

i(t)

I

f(t) = u1(t)

1

0 t

a 0 t

Eu1(t-a)

E

Señal pulso

)u()u()v( 21ttAttAt

.

t1 t2

A

Señal rampa

)u()r( ttt

1 0.5 0 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

.

r(t)

t

Rampa de pendiente unidad

)u()(

)r()v(

00

0

ttttB

ttBt

.

t0

1

B

t

v(t)

Rampa

La rampa r(t) es una función continua que

se obtiene integrando el escalón. Sin

embargo, otras definiciones también son

válidas. Estas son,

La rampa r(t) se puede definir mediante

una integral como,

Rampa

La rampa r(t) se puede definir por partes

como

La rampa r(t) se puede definir

alternativamente como

Relaciones

Exponencial

La función exponencial se expresa como,

Dependiendo del valor que posea el

parámetro b es posible tener, Con b = 0

Con b ≠ 0

Exponencial Real

Señal exponencial

)()v( tueAtt

= constante de tiempo

.

A

t

1

2

v(t)

12

v(t) /A

0 1

1 0,37

2 0,13

3 0,05

4 0,02

5 0,007

t

Exponencial Compleja

t 0

Au-2(t+b)

-b

Ab

f(t) = 10u1(t) - 10u2(t-3)

f(t) [V]

3 0 t [s]

10

5 5

f(t) [V]

-10

3 0 t [s]

10

5u(t)

-10u-1(t-3)

-(5/3)u-2(t-3)

(5/3)tu(t)

f(t) = 5u(t) + (5/3)tu(t) - 5u(t-3) - (5/3)tu(t-3)

f(t) [V]

10

3 0 t [s]

f(t) [V]

-10

3 0 t [s]

10 10u1(t)

-10u2(t)

series de FOURIER para circuitos electricos

Documents

Transcript of series de FOURIER para circuitos electricos