TALLER: GEOGEBRA PARA REALIZAR UN PASEO...

TALLER: GEOGEBRA PARA REALIZAR UN PASEO MATEMÁTICO

TALLER: CÓMO UTILIZAR GEOGEBRA PARA REALIZAR UN PASEO

MATEMÁTICO

Alvaro Martínez Sevilla Universidad de Granada

V ENCUENTRO EN ANDALUCÍA GEOGEBRA EN EL AULA

TALLER: GEOGEBRA PARA REALIZAR UN PASEO MATEMÁTICO 1. Previos para un Paseo: Imágenes

Características de las Imágenes: • Las imágenes deben de ser siempre de alta resolución, para que al ampliarlas

al trabajar en GG no den lugar a pixelado. • Fotografías planas, sin deformación por perspectiva. A veces es difícil

conseguirlas actuales, debido a las modificaciones del entorno, por lo que es conveniente mirar en fotografías históricas.

• Cuando no es posible conseguir fotografías lo más conveniente es un alzado

arquitectónico, levantado a escala.

• Los planos de planta ofrecen un recurso inmejorable para ver características generales y analizarlas con GeoGebra.

• Si no es posible otra opción, lo mejor es alejarse y tomar la foto con buen zoom o teleobjetivo, ello disminuye los ángulos y la deformación de la perspectiva.


El preparado con GeoGebra: • Trabajo previo de documentación y características del edificio: ¿A qué

corriente artística pertenece? ¿Qué podemos encontrar en él? ¿Qué tipo de elementos matemáticos buscamos?.

• Colocación de la Imagen. Fijación de la misma y de la capa matemática • Trabajar con gran ampliación de detalle para el ajuste preciso de puntos,

rectas y curvas sobre la imagen.

• Después de encontrados nuestros objetos, refinar y dar el ajuste general: • Definir capas para mostrar objetos superpuestos. • Ocultación de elementos de construcción accesorios o no relevantes. • Coloreado de elementos. Pautas. • Rotulación.

1. Previos para un Paseo: Geogebra


2. Descarga de ficheros para prácticas.

Para descargar el material de la práctica: • Acceder al directorio de Google Drive en donde se han dejado los ficheros,

con el enlace http://goo.gl/M1Mkdq • En él encontraras 3 directorios con Imágenes para practicar:

• Málaga • Andalucía • Internacionales

• Y una carpeta con ficheros GeoGebra preparados para ayudar en los análisis y

buscar proporciones, ajustar arcos, algunas curvas comunes, etc. Podemos abrir el fichero .ggb que nos interese y copiarlo sobre nuestra imagen para ajustarlo dinámicamente a nuestro edificio.

• Si has traído tus propias imágenes, puedes compartirlas en un directorio para trabajar conjuntamente con una selección de ellas en el taller.

http://goo.gl/M1Mkdq




3. Primera práctica: proporciones en la catedral de Málaga.

• Sobre todas las imágenes trabajar con GG encontrando los elementos matemáticos.

• Descargar las Imágenes Catedral Malaga_fachada antigua y Catedral Malaga_Plano



• Encontramos una modulación de cuerpos basada en un doble cuadrado, delimitados por la cornisa central, así como otras proporciones notables y esperadas en un edificio renacentísta como este: La proporción áurea enmarcando al arco de la puerta con el alfiz (y también al propio arco de medio punto), √5 en el módulo lateral de la fachada, y la √2 en el pabellón lateral.



• En planta encontramos una catedral orientada hacia el Este, según orientación clásica a Jerusalén, y con proporciones dada por la razón áurea, en cuyo cuadrado de construcción está delimitado por las torres frontales de la misma y el inicio del ábside semicircular (siguiendo el modelo de la catedral de Granada), ábside que se enmarca en el rectángulo superior de dicha proporción.


4. Segunda práctica: el Palacio de la Aduana de Málaga

• Cargamos ahora la imagen de planta del Palacio de la Aduana de Málaga, de estilo neoclásico y recientemente rehabilitado y abierto como un nuevo museo de la ciudad. De planta evidentemente cuadrada, un patio también cuadrado en su centro deja una división de estancias muy simétrica. ¿Qué podemos decir de la relación entre ellos?


4. Segunda práctica: el Palacio de la Aduana de Málaga

• Realizamos una construcción clásica (dada la inspiración neoclásica del mismo) “ad quadratum” romana. Con ella, si tomamos un cuadrado –de superficie S- y nos preguntamos por ¿cuál es el cuadrado cuya superficie es la mitad?, S/2, entonces la construcción ad quadratum lo resuelve: basta tomar los puntos medios de cada lado y unirlos con lo que quedará otro cuadrado (en amarillo) cuya superficie es la mitad (demostrar) del original en rojo.

• Si iteramos el procedimiento nos da un nuevo cuadrado (en color malva) cuya superficie es por tanto ¼ de la superficie original en planta del Palacio, y que se corresponde con el patio del edificio. El bloque edificado en planta en la esquina inferior izquierda (en color celeste) se realiza por igual procedimiento y tiene por tanto superficie 1/16 de la de partida.


5. Tercera práctica: El arco polilobulado de la sinagoga de Córdoba

• Se trata de un arco de 7 lóbulos que se sitúa enmarcando un nicho en el que se encontraría la bimah, o estrado desde el que el hazzan impartía la oración y lugar donde se leían los libros de la Torah.

• La sinagoga de Córdoba data de 1315,

y es de época posterior a la mezquita de Córdoba. Adquiere de esta las técnicas constructivas y la decoración de los elementos de la misma, como la decoración vegetal de atauriques y la geométrica de celosías y paramentos. También en el caso del arco, su construcción se inspira en los arcos lobulados de la mezquita, aunque con importantes diferencias entre ellos.


5. Tercera práctica: El arco polilobulado de la sinagoga de Córdoba

• El arco con sus 7 lóbulos sería una representación de la menorah que, con sus 7 brazos, solía disponerse en la bimah para iluminar, símbólica y realmente, la lectura de la Torah. La menorah parece inspirarse en la Salvia palaestina, planta con 6 (-> 7 brazos) u 8 ramas laterales y tallo, y tres cálices en cada una de ellas.

• El arco se construye a partir de un triánqulo equilátero básico, pero no sobre él directamente. Sobre este triángulo se construye un arco ojival, y sobre este arco ojival es donde se trazan los centros de los 7 lóbulos que forman el arco. Esta técnica constructiva es insólita, y no es la común ni utilizada en otros diseños de arcos polilobulados, cuyos lóbulos se hacen tangentes ente sí.


6. Cuarta práctica: Cónicas en la arquitectura contemporánea

• En la arquitectura contemporánea de vanguardia podemos encontrar con frecuencia curvas matemáticas, entre ellas muchas cónicas.

• Por ejemplo la Imagen de la izquierda es el Haus der Kulturen der Welt de Berlín, del arquitecto Hugh Stubbins y la de la derecha, la Catedral de Brasilia de Oscar Niemeyer.


6. Cuarta práctica: Cónicas en la arquitectura contemporánea

• En el segundo comprobamos que la catedral es la superficie de revolución de una curva, la que vemos en lateral. Esta curva es la hibridación de dos hipérbolas, una la roja, de foco mucho más próximo y que da la menor curvatura salvo en las cercanías del foco, y la otra en amarillo, de foco más

alejado y de mayor curvatura, salvo cerca del foco. • En la primera la cubierta

viene dada en la sección por dos parábolas, a partir de las cuales se definiría esta como una superficie reglada.


7. Quinta práctica: Medición de inclinación sobre perfiles curvos.

• En la Torre Eiffel, cuya curva de perfil parece a primera vista seguir claramente un patrón de cónica, es patente que esta curva está inclinada, no presentando simetría respecto a un posible eje horizontal. Como antes vimos, la Catedral de Brasilia tampoco presenta simetría respeto a un plano horizontal, pero ello resulta por la hibridación de 2 hipérbolas que sí son simétricas respecto al eje que pasa por sus focos, consiguiendo así el “efecto torre”, de mayor pendiente en altura y menor en la base combinando dos curvas del mismo tipo pero distinta pendiente.

• Ahora nos preguntamos, ¿Cuál es la técnica matemática aplicada para conseguir ese “efecto torre” en la Torre Eiffel?


7. Quinta práctica: Medición de inclinación sobre perfiles curvos.

• Con GeoGebra comprobamos que, efectivamente, el perfil de la torre Eiffel corresponde a una hipérbola, sólo que esta hipérbola está inclinada 15.5º en su eje con respecto al eje de ordenadas. Es esta inclinación la que hace en este caso dar el “efecto torre”, suavizando la pendiente en la parte baja (primer y segundo cuerpo) y aumentándola a partir de aquí para resalta el “efecto aguja” en la punta superior de la torre.

• El otro lado de la torre está construido por simetría respecto al eje vertical.


8. Propuestas de Imágenes para analizar en casa

Estas 2 imágenes corresponden a otros dos museos malagueños: • 1. El Museo Picasso, albergado por el Palacio de Buenavista, edificio con improntas

renacentistas y mudéjares levantado en el siglo XVI. • 2. El Museo Carmen Thyssen de Málaga, ubicado en el Palacio de Villalón, edificio

renancentísta de comienzos del siglo XVI. • Ambos permiten análisis de proporciones, arcos y detalles constructivos.



3. Esta imagen es dell arco del muro de la quibla de la Mezquita de Córdoba. Es un arco de herradura del tipo conocido como califal, con características propias que permiten un análisis para diferenciarlo de otros arcos de herradura. 1º) Los dos arcos de herradura que lo definen no son concéntricos. Calcular la diferencia de los centros de ambos en términos del radio del interior, R. 2º) El arco de herradura tiene el centro levantado con respecto a la línea de impostas (que define el arranque del arco). Calcular esa elevación en función de R. 3º) La dovelas convergen todas a un punto que no es el centro del arco. Calcularlo.



• 4. El Capitolio en Washington. Modelo de buena parte de los edificios de los Congresos Parlamentarios Iberoamericanos: Buenos Aires, Montevideo, etc.

• 5. El Puente JFK en Brasilia. Obra de Oscar Niemeyer.

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