Tema 1.- INTERACCIÓN ELÉCTRICA ( RESUMEN) · La carga eléctrica aparece siempre como múltiplo...
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Hoja 1 de 5 Tema 1.- INTERACCIÓN ELÉCTRICA ( RESUMEN) 1.1 Cargas puntuales Carga eléctrica La carga eléctrica es una propiedad fundamental de la materia, existiendo dos tipos de carga: positiva y negativa. Dos cuerpos con el mismo tipo de carga se repelen, mientras que si tienen distinto tipo de carga, se atraen entre sí. Cuantización de la carga eléctrica La carga eléctrica aparece siempre como múltiplo de una carga fundamental o cuanto eléctrico, cuyo valor es e = 1.602177 x 10 -19 C, que es la carga del electrón, en módulo. Principio de conservación de la carga eléctrica En todos los procesos observados en la Naturaleza, la carga neta o total de un sistema aislado permanece constante. • Ley de Coulomb La ley de Coulomb expresa la fuerza eléctrica F que ejerce una carga puntual q sobre otra q’: r u r q q K F 2 ´ donde r es el vector de posición con origen en q y final en q’. Esta fuerza es de tipo inverso del cuadrado de la distancia, siendo atractiva entre cargas de distinto signo y repulsiva entre cargas del mismo signo. Para calcular la fuerza ejercida sobre una carga q 0 por un conjunto de cargas puntuales q i se utiliza el principio de superposición: La fuerza resultante sobre un objeto es la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas sobre él. Así: i r n i i i n i i u r q q K F F 1 2 0 1 siendo i r los diferentes vectores posición con origen en cada carga q i y final en q 0. • Campo eléctrico Existe un campo eléctrico en cualquier región donde una carga eléctrica en reposo experimenta una fuerza, la cual se debe a la presencia de otras cargas en esa región. El campo eléctrico E producido por una carga puntual o una distribución de cargas es la fuerza F ejercida por estas sobre una partícula de prueba, dividida por el valor de la carga q 0 de la partícula de prueba: E q F q F E 0 0 El campo eléctrico creado por una carga puntual q en un punto P es: r u r q K E 2 donde r es el vector posición con origen en q y final en P. Para calcular el campo creado por un conjunto de cargas puntuales q i en un punto P, aplicamos de nuevo el principio de superposición: i r n i i i n i i u r q K E E 1 2 1 siendo i r los vectores con origen en q i y final en P . Las características espaciales de un campo eléctrico pueden ilustrarse con líneas de campo: Lugar geométrico de los puntos en los cuales la dirección del campo eléctrico E es tangente a los mismos. Las líneas de campo eléctrico parten de las cargas positivas y finalizan en las cargas negativas. Un campo uniforme tiene la misma intensidad, dirección y sentido en todos los puntos del espacio y se representa por líneas de campo rectilíneas, paralelas y equidistantes. Potencial y diferencia de potencial La fuerza eléctrica es conservativa. La energía potencial de una partícula de prueba q 0 en el campo creado por varias cargas fijas q i se expresa como: n i i i r P r q q K l d F E 1 0 (tomando el origen de energía potencial, E P =0, en el infinito) El potencial V producido por una carga puntual o una distribución de cargas es la energía potencial eléctrica de una partícula de prueba, dividida por el valor de la carga q 0 de la partícula de prueba:
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Tema 1.- INTERACCIÓN ELÉCTRICA ( RESUMEN)
1.1 Cargas puntuales
Carga eléctrica La carga eléctrica es una propiedad fundamental de la materia, existiendo dos tipos de carga: positiva y negativa. Dos cuerpos con el mismo tipo de carga se repelen, mientras que si tienen distinto tipo de carga, se atraen entre sí. Cuantización de la carga eléctrica La carga eléctrica aparece siempre como múltiplo de una carga fundamental o cuanto eléctrico, cuyo valor es e = 1.602177 x 10
-19 C, que es la carga del electrón, en
módulo. Principio de conservación de la carga eléctrica En todos los procesos observados en la Naturaleza, la carga neta o total de un sistema aislado permanece constante.
• Ley de Coulomb
La ley de Coulomb expresa la fuerza eléctrica F que ejerce una carga puntual q sobre otra q’:
ru
r
qqKF
2
´
donde r es el vector de posición con origen en q y final en q’. Esta fuerza es de tipo inverso del cuadrado de la distancia, siendo atractiva entre cargas de distinto signo y repulsiva entre cargas del mismo signo.
Para calcular la fuerza ejercida sobre una carga q0 por un conjunto de cargas puntuales qi se utiliza el principio de superposición: La fuerza resultante sobre un objeto es la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas sobre él.
Así: ir
n
ii
in
ii
ur
qqKFF
120
1
siendo i
r los diferentes vectores posición con origen
en cada carga qi y final en q0.
• Campo eléctrico Existe un campo eléctrico en cualquier región donde una carga eléctrica en reposo experimenta una fuerza, la cual se debe a la presencia de otras cargas
en esa región. El campo eléctrico E producido por una carga puntual o una distribución de cargas es la
fuerza F ejercida por estas sobre una partícula de prueba, dividida por el valor de la carga q0 de la partícula de prueba:
EqFq
FE
0
0
El campo eléctrico creado por una carga puntual q en un punto P es:
ru
r
qKE
2
donde r es el vector posición con origen en q y final en P. Para calcular el campo creado por un conjunto de cargas puntuales qi en un punto P, aplicamos de nuevo el principio de superposición:
ir
n
ii
in
ii
ur
qKEE
12
1
siendo i
r los vectores con origen en qi y final en P.
Las características espaciales de un campo eléctrico pueden ilustrarse con líneas de campo: Lugar geométrico de los puntos en los cuales la dirección del
campo eléctrico E es tangente a los mismos. Las líneas de campo eléctrico parten de las cargas positivas y finalizan en las cargas negativas. Un campo uniforme tiene la misma intensidad, dirección y sentido en todos los puntos del espacio y se representa por líneas de campo rectilíneas, paralelas y equidistantes.
Potencial y diferencia de potencial
La fuerza eléctrica es conservativa. La energía potencial de una partícula de prueba q0 en el campo creado por varias cargas fijas qi se expresa como:
n
ii
ir
P
r
qqKldFE
10
(tomando el origen de energía potencial, EP=0, en el infinito)
El potencial V producido por una carga puntual o una distribución de cargas es la energía potencial eléctrica de una partícula de prueba, dividida por el valor de la carga q0 de la partícula de prueba:
Hoja 2 de 5
VqEq
EV
P
P
0
0
El potencial eléctrico creado por una carga puntual q en un punto P es:
r
qKV (tomando: V=0 en el infinito)
donde r es la distancia entre la carga q y el punto P. El potencial eléctrico creado por un conjunto de cargas puntuales qi en un punto P es:
n
ii
i
r
qKV
1
(tomando: V=0 en el infinito)
donde ri son las distancias entre cada carga qi y el punto P.
La diferencia de potencial V entre dos puntos 1 y 2 está relacionada con el trabajo W realizado por el campo eléctrico al desplazar una carga de prueba q0 desde el punto 1 al 2:
VqVVqEEEWPPP 021021
)(
Relación entre el potencial y campo eléctrico
Se cumple que ldEdV . Si se conoce la
expresión de E , puede obtenerse el potencial V en
un punto P por medio de la integral de línea de E :
P
ldEV
Si se conoce V, el campo E se puede encontrar por medio del gradiente de V:
VVE grad
Si el campo eléctrico es constante en dirección (por ejemplo, la X):
idxdVEX
)/(
Si el potencial sólo depende del módulo de r :
rudrdVE )/(
Dipolo eléctrico Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas iguales y de signo opuesto +q y -q separadas por una distancia d. El momento dipolar eléctrico se define como:
pudqp donde
pu es el vector unitario en la
dirección de las cargas y sentido de la carga negativa a la positiva.
El potencial de un dipolo eléctrico varía con el inverso del cuadrado de la distancia:
22
cos
r
upK
r
pKV
p
Cuando se sitúa un dipolo en un campo eléctrico, éste tiende a alinear al dipolo paralelamente al campo. El
dipolo está en equilibrio cuando los vectores E y p
son paralelos. La energía de un dipolo de momento
dipolar p situado en un campo eléctrico E , es:
EpEP
Movimiento de cargas en campos eléctricos
Si la fuerza eléctrica es la única que afecta a una partícula de masa m y carga q, la segunda ley de Newton nos proporciona una aceleración:
mEqa /
Cuando una partícula se mueve en un campo eléctrico uniforme, su movimiento es descrito por la cinemática del movimiento bajo aceleración constante.
La energía total de una partícula de masa m y carga q que se mueve en un campo eléctrico es:
VqvmEEEPC
2
2
1
Hoja 3 de 5
1.2 Distribuciones continuas de carga
Densidades de carga
Cuando se desea calcular el campo eléctrico en un punto P, producido por distribuciones de carga continuas, se toman elementos de carga diferencial dq como cargas puntuales, de forma que cada dq creará un campo:
ru
r
dqKEd
2
donde r es el vector posición con origen en dq y final en P.
Utilizando el principio de superposición, el campo
total será la suma vectorial de los Ed creados por
cada dq, es decir:
ru
r
dqKEdE
2
Para resolver esta integral se ha de expresar dq en función de las características de la distribución de carga. Para ello se introducen las densidades de carga
Densidad lineal de carga : Carga por unidad de longitud
dldqdl
dq
Densidad superficial de carga : Carga por unidad de superficie
dSdqdS
dq
Densidad volúmica de carga (o densidad de carga en volumen): Carga por unidad de volumen
dVdqdV
dq
Si las distribuciones de carga son uniformes, entonces:
V
Q
S
Q
L
Q,,
Siendo Q la carga total de la distribución y L, S ó V la longitud, superficie o volumen totales,
respectivamente.
Campo de un anillo cargado El módulo del campo eléctrico creado por un anillo de radio R, cargado con carga total Q y densidad lineal de carga uniforme, en un punto P del eje perpendicular que pasa por el centro del anillo (por ejemplo, el eje Y) es:
2/322 )( yR
yQKE
y
siendo y la distancia entre el punto P y el centro del anillo. Su dirección es la del eje y sentido hacia el exterior del centro del anillo si Q > 0.
Ley de Gauss
Flujo del campo eléctrico: Se define el flujo del campo eléctrico a través de una superficie S como la integral de superficie del vector campo eléctrico extendida a toda la superficie:
SESdE
Cuando se calcula el flujo a través de una superficie cerrada a ésta se la denomina superficie gaussiana. Las líneas de campo pueden ser utilizadas para visualizar el flujo a través de la superficie. El flujo total puede ser positivo, negativo o cero. Por convenio, el sentido del vector superficie de una superficie cerrada se toma hacia fuera de esta, por lo tanto, cuando
SdE es positivo el flujo es saliente y cuando es
negativo es entrante.
La Ley de Gauss para el campo eléctrico establece que el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga eléctrica neta encerrada dentro de
la superficie, dividida por 0:
00
; e
SC
e
E
qSdE
q
En electrostática la Ley de Gauss es equivalente a la Ley de Coulomb. La Ley de Gauss puede ser utilizada para encontrar el campo eléctrico producido por distribuciones de carga que posean una alta simetría. El paso crucial de este proceso es la selección de la superficie gaussiana. Carga esférica. Cuando la distribución de carga tiene simetría esférica y es uniforme si está distribuida en superficie, y uniforme o función del radio si está distribuida en volumen, podemos aplicar la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico tanto en puntos interiores como exteriores. En todos los casos se toma una superficie gaussiana esférica que contenga al
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punto donde se desea calcular el campo y centro en la distribución de carga. Por lo tanto, el radio de la superficie gaussiana r será la distancia del centro de la distribución al punto en cuestión. En todos los casos la primera parte de la ley de Gauss nos conduce a:
24 rESdESC
y el problema se limita a calcular la carga encerrada dentro de la superficie gaussiana elegida.
Ejemplos: Carga Q, uniforme en superficie esférica de radio R:
rexe
ine
ur
QKEQqRr
EqRr
2
00,
Carga Q, uniforme en esfera de radio R:
rexe
rine
ur
QKEQqRr
uR
rQKE
R
rQqRr
2
33
3
,
Carga lineal. Si disponemos de una distribución
lineal de carga infinita y densidad uniforme, podemos utilizar la ley de Gauss para calcular el campo creado en un punto P que se encuentra a una distancia r de la distribución. Elegimos una superficie gaussiana cilíndrica que contenga al punto en su superficie lateral. El radio de la base del cilindro debe ser por tanto r y su altura h arbitraria. Así:
hqyhrESdEe
SC
;2
El módulo del campo eléctrico será:
rE
02
Plano. Si disponemos plano infinito con densidad
superficial de carga uniforme, podemos utilizar la ley de Gauss para calcular el campo creado en un punto P próximo a la distribución. Elegimos una superficie gaussiana cilíndrica que corte al plano de forma que las bases del cilindro queden paralelas al plano y que contenga al punto en una de sus bases. Así:
CeCSC
SqySESdE ;2
siendo
CS la superficie de la base del cilindro. Por
tanto, el módulo del campo eléctrico será:
02
E
Propiedades electrostáticas de los conductores
Un material conductor que se encuentra en equilibrio electrostático presenta las siguientes propiedades: - El campo eléctrico en el interior del conductor es
cero. - La carga eléctrica neta del conductor se encuentra
distribuida sobre su superficie - El campo eléctrico en puntos próximos a la
superficie del conductor es perpendicular a esta superficie y su módulo es:
0
E
- Todos los puntos del conductor están al mismo potencial. Por lo tanto, un conductor en equilibrio electrostático constituye una superficie equipotencial.
1.3 Condensadores. Campo eléctrico en la materia y energía del campo
Condensadores Un condensador es un dispositivo eléctrico utilizado en los circuitos para almacenar carga y energía eléctrica. Está formado por dos placas conductoras separadas por un dieléctrico. Un condensador se caracteriza por su capacidad C definida como la relación entre la carga neta almacenada Q y la diferencia de potencial entre sus placas V:
V
QC
En el S.I. la capacidad se mide en faradios (1 F = 1 C/V). La capacidad depende del diseño geométrico del condensador y de la naturaleza del dieléctrico que hay entre sus placas o armaduras. Para un condensador de láminas planoparalelas de superficie S separadas una distancia d y vacío entre las placas:
Hoja 5 de 5
d
SC
0
Un condensador cilíndrico, de radio interno Ra, externo Rb y longitud L, su capacidad es:
)/(ln
20
abRR
LC
Asociación de condensadores:
Condensadores en serie:
iiT
CC
11
Condensadores en paralelo: i
iTCC
Propiedades electrostáticas de los dieléctricos
Existen dieléctricos apolares y polares. En los primeros, sus moléculas no tienen momento dipolar eléctrico, mientras que en los segundos las moléculas tienen un momento dipolar eléctrico permanente. Cuando se coloca un dieléctrico apolar en un campo eléctrico, como el que existe entre las armaduras de un condensador, aparece sobre sus átomos o moléculas un momento dipolar inducido, convirtiéndose éstos en dipolos eléctricos que se orientan en la dirección del campo. Esta orientación da lugar a que sobre cada una de las superficies del material polarizado aparezca una densidad superficial de carga ligada o densidad de carga de
polarización d. El campo eléctrico en el interior de un condensador con dieléctrico entre sus placas es:
0
0
d
dEEE
donde E0 es el campo sin dieléctrico y Ed es el campo creado por la densidad superficial de carga existente en las superficies del dieléctrico.
Cuando se introduce un dieléctrico entre las armaduras de un condensador en el que había el vacío entre las placas, la capacidad aumenta de modo que:
0CkC
mientras que la diferencia de potencial y el campo eléctrico disminuyen:
k
EE
k
VV 00
siendo k la constante dieléctrica del material.
La relación entre la constante dieléctrica de un material
y las densidades superficiales de carga y d es:
k
kd
)1(
Un medio dieléctrico posee una permitividad eléctrica , siendo su permitividad relativa:
kr
0
Energía del campo eléctrico
La energía de un condensador es la energía potencial de las cargas que hay en sus placas:
2
2
2
1
2
1
2
1VC
C
QVQU
Cuando se asocia esta energía con el campo eléctrico, la densidad de energía uE (energía por unidad de volumen) en el espacio ocupado por el campo (en el vacío) es:
2
0
2
1Eu
E
En un medio material basta sustituir 0 por . La energía eléctrica total U en un volumen V se calculará mediante la integral:
V
EdVuU
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Tema 1. Campo Eléctrico
RESOLUCIONES
1.1 Cargas Puntuales
1.1.1. Una carga puntual de 5 C está localizada en el punto x=1cm, y=3cm y otra de -4 C está situada en el punto x=2cm, y=-2cm. Determinar: a) El campo eléctrico en el punto x=-3cm e y=1cm b) La fuerza que actúa sobre una carga de -6 C situada en el punto x=-3cm e y=1cm RESOLUCIÓN:
cmCQ 3,151
1,3P
cmCQ 2,242 a) El campo eléctrico en P es la suma de los campos eléctricos creados en P por Q1 y Q2:
PP EEE 21
P
P
P ud
QKE 12
1
11 P
P
P ud
QKE 22
2
22
donde:
)2,4()3,1()1,3(1P 242
12
122 1020102020416)2()4(1 mdmdcmP PP
20
2,
20
41Pu
CNEE PP
20
1045,
20
1090
20
2,
20
4
102
105109
66
13
69
1
E1
E2
Página 2 de 50
3,51,32,22P 242
22
2 10341034349252 mdmdP PP
34
3,
34
52Pu
CNEP
34
10813,
34
10925
34
3,
34
5
1034
104109
66
4
69
2
CN
EEE PPP
551,0511100862
644010,
0862
282810
3420
20813344510,
3420
20925349010
34
10813
20
1045,
34
10925
20
1090
666
66
6666
21
b) NEqF P 93,36610551,100511106 666 1.1.2. Dos cargas fijas q1 y q2 se encuentran separadas por una distancia d. Una tercera carga libre q3 se encuentra en equilibrio cuando está situada en la línea que une ambas cargas, a una distancia d de q1 y 2d de q2. a) ¿Qué relación existe entre las cargas q1 y q2? b) Si q3=-q1, determinar en función de q1 el valor del campo eléctrico creado por las
tres cargas en el punto medio del segmento que une q1 y q2
RESOLUCIÓN: a) La carga Q3 está en equilibrio si el campo eléctrico es nulo en el punto donde se encuentra. Este campo está creado por las cargas Q1 y Q2, que inicialmente suponemos que son positivas:
1222
21
22
21 4
20
2021 QQ
d
Q
d
Qi
d
Qki
d
QkEE PP
X
Q3 Q2
d d
P ·
Q1
Página 3 de 50
b) Suponemos que Q1 es positiva:
C
Ni
d
QiQ
dE
iQ
QQd
ki
d
Qi
d
Qi
d
QkEEEE
P
PPPP
219
12
9
11122
32
22
1321
101769444109
94
4
23
22
Suponemos que Q1 es negativa:
C
Ni
d
QiQ
dE
iQ
QQd
ki
d
Qi
d
Qi
d
QkEEEE
P
PPPP
219
12
9
11122
32
22
1321
101769
444109
94
4
2
3
22
En este último caso, el módulo y la dirección son iguales que en el primero, pero su sentido es contrario. 1.1.3. Dos cargas positivas e iguales q están en el eje Y, una en la posición y=a y otra en la posición y=-a. a) Calcular el campo eléctrico que crean estas cargas en el eje X, dando su valor en los
casos en los que se cumple que x <<a y x>>a b) Demostrar que el campo eléctrico que crean estas cargas en el eje X tiene su máximo
valor en x=-a · (2)-1/2 y en x=a · (2)
-1/2 c) Representar gráficamente Ex en función de x RESOLUCIÓN:
ay
ay
y
xP
x
PE
PE
q
q
yPE
yPE
xPE
Página 4 de 50
a) El campo eléctrico en el eje x es la suma de los campos eléctricos creados en este eje por las 2 cargas +q que están situadas en el eje y.
PPP EEE 21
Las componentes en el eje y de los campos que crean ambas cargas se anulan. Sin embargo, las componentes en el eje x se suman:
ixa
qki
xa
qkxEp coscos
2222
donde:
22 xad y 22
cosxa
x
CNi
xa
xqki
xa
x
xa
qkxEP 23222222
22
Para x << aC
Nia
xqkxEP 3
2
Para x >> a C
Nix
qki
x
xqkxEP 23
22
b) Para calcular el valor máximo del campo:
02
02322 xa
xqk
dx
d
dx
dEx
(c.q.d)
c)
220203
032
022
322
02
23
22
2222222
2222122
21222322
322
21222322
ax
axxaxxa
xxaxaqk
xxaxqkxaqk
xa
xxaxqkxaqk
x
E(x
)
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1.1.4. Dos cargas puntuales q y q’ están separadas por una distancia a. En un punto a la distancia a/3 de q y a lo largo de la línea que une las dos cargas, el potencial es cero. a) Determinar la relación q/q’ b) ¿Cuál es el trabajo que realiza el campo eléctrico al desplazar una carga de 2 C desde un punto situado a una distancia a/3 de q a otro punto que está a una distancia a/3 de q’? RESOLUCIÓN:
a) 2
1
32
332
3
0q
q
a
qk
a
qk
a
qk
a
qkVP
b) El trabajo viene dado por:
Ja
q
a
qkW
Va
qk
a
qkq
q
a
kqq
a
k
a
qk
a
qkV
V
VVqW
final
inicial
inicialfinal
2
1081
4
9102
4
9
4
333
4
3
3132
2
332
0
36
1.1.5. Se disponen en forma alternada un número infinito de cargas positivas y negativas q sobre una línea recta. La separación entre cargas adyacentes es d. Determinar la energía potencial eléctrica de una carga +q.
Dato: El desarrollo en serie de ln(1+x) es: 432
)1ln(432 xxx
xx
………. + q -q +q -q +q -q +q -q ………….. RESOLUCIÓN: El potencial en un punto P creado por N=i cargas puntuales es:
32a
a
P
q q
3a
0PV
d
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i i
ip
r
qkV
La energía potencial de una partícula cargada q que se encuentra en ese punto P es: qVU Pq
El potencial en el punto P donde se encuentra una carga positiva es la suma del potencial creado por las cargas positivas VP
+ y el potencial creado por las cargas negativas VP
-: PPP VVV Siendo, respectivamente, el potencial creado por las cargas positivas situadas a la derecha de esa carga y el creado por las cargas positivas situadas la izquierda de esa carga:
...6
1
4
1
2
12)()(
...6
1
4
1
2
1)(
...6
1
4
1
2
1)(
d
qkizquierdaVderechaVV
dddqkizquierdaV
dddqkderechaV
PPP
P
P
Igualmente, si consideramos el potencial creado por las cargas negativas situadas a la derecha e izquierda de la carga positiva:
...5
1
3
11
2)()(
...5
1
3
11)(
...5
1
3
11)(
d
qkizquierdaVderechaVV
dddqkizquierdaV
dddqkderechaV
PPP
P
P
La energía potencial de la carga positiva q situada en P es:
Jd
qk
d
qkqVVqVqU PPPq
····51
41
31
21
12
····51
31
1····61
41
212
2
Sustituyendo x=1 para el desarrollo en serie:
·····5
1
4
1
3
1
2
112ln11ln
Página 7 de 50
Sustituyendo esta expresión en el resultado Uq:
Jd
qkUq
2ln2 2
1.1.6. En dos vértices contiguos de un cuadrado de 1m de lado se tienen cargas eléctricas positivas de 2·10
-6C y en los otros dos de 5·10
-6C. Hallar el valor del campo
eléctrico y el potencial en el centro del cuadrado RESOLUCIÓN: El campo eléctrico en el punto P es la suma de los campos eléctricos creados por cada una de las cargas puntuales situadas en los vértices del cuadrado:
4
12
4
1 i
r
i
i
i
iP ur
qkEE
Siendo los vectores de posición, sus módulos y sus vectores unitarios:
21
21
21
21
,21
)21
,21
()0,0( 21
22
11 rrr
2
1
2
1
2
1
2
1,
2
1)
2
1,
2
1()0,1( 2
2
22
22 rrr
2
1
2
1
2
1
2
1,
2
1)
2
1,
2
1()1,1( 2
3
22
33 rrr
2
1
2
1
2
1
2
1,
2
1)
2
1,
2
1()1,0( 2
4
22
44 rrr
2
1,
2
1
22
21
,21
;2
1,
2
1
22
21
,21
21 rr uu
2
1,
2
1
22
21
,21
;2
1,
2
1
22
21
,21
43 rr uu
Página 8 de 50
Los campos eléctricos creados por cada carga son:
C
Nu
r
qkE
C
Nu
r
qkE
C
Nu
r
qkE
C
Nu
r
qkE
rP
rP
rP
rP
2
1,
2
11036
2
1,
2
1
21102
109
2
1,
2
11036
2
1,
2
1
21102
109
2
1,
2
1109
2
1,
2
1
21105
109
2
1,
2
1109
2
1,
2
1
21105
109
36
92
4
1
36
92
3
3
46
92
2
2
46
92
1
1
44
33
22
11
El campo eléctrico total es:
CNj
EEEEE PPPPP
434
3
344
106.72
108000,0
2
10362
2
1092,0
2
1,
2
11036
2
1,
2
11036
2
1,
2
1109
2
1,
2
1109
4321
El potencial en el centro del cuadrado lo crean las cuatro cargas puntuales de los vértices:
V
r
qkVV
i i
i
i
iP
3
694
1
66669
4
1
102.178
10214109
2
1102
2
1102
2
1105
2
1105
109
X
Y
(0,1) Q4 Q3
Q1 Q2
PE3 E4
E1 E2
(1/2,1/2)
(1,1)
(0,0) (1,0)
Página 9 de 50
1.1.7. Cargas iguales, cada una de ellas de 1 C, están situadas en los vértices de un triángulo equilátero de 0.1m de lado. Calcular: a) La fuerza que se ejerce sobre cada carga como resultado de la interacción con las otras dos b) La energía potencial de cada carga c) El campo eléctrico resultante y el potencial en el centro del triángulo RESOLUCIÓN:
1132
2211
12
13212
22111
1121
269
32232
23122
12
122
1131
2211
21
13121
22111
1121
269
31231
13212
21
121
231333212231211
107.8,105107.8,105º30cos10,2
10)0,1.0(32)0,1(
10
103.78,10135107.8,1015109
107.8,1050,110
10109
107.8,105107.8,105º30cos10,2
10)0,0(31
)0,1(0,1.00,021
10
103.78,10135107.8,1015109
107.8,1050,110
10109
;;
uu
mdd
N
ud
qqku
d
qqkF
u
u
mdd
N
ud
qqku
d
qqkF
FFFFFFFFF
3q
1q 2q
)0,0( )0,10(
)1078,050( 2
60
30
23d
12d
13d
30
a
31F
21F
Página 10 de 50
1123
2211
1113
22
12313
11
111121
269
23223
23132
13
133
107.8,105107.8,105)0,1.0(º30cos10,2
1023
107.8,105)0,0(107.8,10513
10
6.1,0104.17,0109
107.8,105107.8,10510
10109
u
u
mdd
N
ud
qqku
d
qqkF
b) La energía potencial de cada carga es: 111 VqU
)(1018101810
)(101810
102109
2461
41
69
31
3
21
21
JU
Vd
qk
d
qKV
Todas las cargas tienen la misma energía potencial:
)(1018 232 JUU
c) El campo en el centro del triángulo será:
0321 EEEE
Las componentes en el eje x de 1E y 2E se anulan. Las componentes en el eje y de 1E y
2E son la mitad de la componente en el eje y de 3E , y como y
E1 y y
E2 llevan sentido
contrario a y
E3 , la suma de las dos primeras anula la tercera.
El potencial en dicho punto es:
)(10766410
232101093
41
69
321321 V
a
Qk
a
Qk
a
QkVVVV
siendo ma 05770)30cos(2
10
1.1.8. El potencial eléctrico a una distancia d de una carga puntual q es V=600V y el campo eléctrico es E=200N/C. a) Calcular el valor de la carga b) Calcular la distancia a la carga puntual RESOLUCIÓN: a) El potencial V y el módulo de campo eléctrico E que crea una carga puntual es:
Página 11 de 50
d
qkV despejando la distancia
V
qkdd
2d
qkE
Sustituyendo d en la expresión del módulo del campo eléctrico y despejando q, podemos obtener el valor de ésta:
CEk
Vq
qk
V
V
qk
qkE 7
9
222
2 102200109
600
b) Una vez que conocemos la carga q, podemos obtener el valor de la distancia d:
mV
qkd 3
600102
1097
9
1.1.9. Calcular el gradiente de la función escalar V=V(r), siendo r= r el módulo del
vector de posición kzjyixr . Aplicar a los casos:
a) V=1/r
b) V=ln r RESOLUCIÓN: El vector operador gradiente se define como:
kz
Vj
y
Vi
x
VVgrad
Como V depende de r y éste, a su vez, depende de las coordenadas x, y, z, entonces cada uno de los sumandos que hay a la derecha de la ecuación se puede calcular de la siguiente forma:
z
r
dr
dV
z
V
y
r
dr
dV
y
V
x
r
dr
dV
x
V
El módulo de r es: 222 zyxr
Por tanto:
Página 12 de 50
r
z
zyx
z
z
zyx
z
r
r
y
zyx
y
y
zyx
y
r
r
x
zyx
x
x
zyx
x
r
222
222
222
222
222
222
2
2
2
2
2
2
Sustituyendo estas expresiones en el gradiente:
rudr
dV
r
r
dr
dVk
r
zj
r
yi
r
x
dr
dVVgrad )(
Aplicando esta última expresión a los casos (a) y (b):
rr
rr
ur
udr
dVVgradrVb
ur
udr
dVVgrad
rVa
1ln)(
11)( 2
1.1.10. El potencial eléctrico en una cierta región del espacio viene dado por V(x)=C1+C2·x
2, en donde V se expresa en voltios, x en metros y C1 y C2 son constantes positivas. Hallar el campo eléctrico E en esta región. ¿En qué dirección está E ? RESOLUCIÓN:
221)( xCCxV
Utilizando la relación que existe entre campo eléctrico y potencial:
kdz
dVj
dy
dVi
dx
dVE
Como el potencial depende sólo de x, el campo eléctrico únicamente tendrá componente en esta dirección:
iCxidx
dVE 22
Página 13 de 50
1.1.11. Un campo eléctrico viene determinado por Ex=2x3(kN/C). Determinar la
diferencia de potencial entre los puntos del eje x situados en x=1m y x=2m. RESOLUCIÓN: Utilizando la relación que existe entre campo eléctrico y potencial:
kdz
dVj
dy
dVi
dx
dVE
Sólo existe componente en x:
Vx
dxxVV
dxEdV
dxEdVidx
dVE
x
x
x
x
x
x
x
xx
3344
34
32
1
33
2
1
2
1
10574
15102
4
1
4
2102
4102102)1()2(
1.1.12. El potencial eléctrico en una región del espacio viene dado por V=2·x
2 + y·z
(V/m2). Determinar el campo eléctrico en el punto x=2m, y=1m y z=2m.
RESOLUCIÓN: Utilizando la relación entre campo eléctrico y potencial:
mVkjiE
kyjzixkdz
dVj
dy
dVi
dx
dVE
282,1,2
4
1.1.13. Dos cargas puntuales q1=2pC y q2=-2pC están separadas una distancia de 4 m. a) ¿Cuál es el momento dipolar de este par de cargas? b) Hacer un dibujo del par e indicar la dirección y sentido del momento bipolar RESOLUCIÓN: a)
mCdqp
dqp
18612 108104102
b) mCip 18108
Página 14 de 50
1.1.14. Un dipolo de momento 0.5e
-·nm se coloca en el interior de un campo eléctrico
uniforme de valor 4·104 N/C. ¿Cuál es el valor del momento ejercido sobre el dipolo
cuando?: a) ¿El dipolo es paralelo al campo eléctrico? b) ¿El dipolo es perpendicular al campo eléctrico? c) ¿El dipolo forma un ángulo de 30º con el campo eléctrico? d) Determinar la energía potencial del dipolo en el campo eléctrico en cada caso. RESOLUCIÓN:
CNE
mCp
4
28919
104
108010106150
El momento ejercido sobre le dipolo es: Ep
La energía potencial del dipolo en el campo eléctrico es: EpU a) Si el campo y el dipolo son paralelos, forman un ángulo de 0º:
00senEp
Y la energía potencial será:
JEpU 24428 1023110410800cos
b) Si el campo eléctrico y el dipolo forman un ángulo de 90º:
mNsenEp 24428 10231104108090
Y la energía potencial será:
090cosEpU
c) Si ambos forman un ángulo de 30º:
mNsenEp 24428 10612
1104108030
Y la energía potencial será:
JEpU 24428 107722
3104108030cos
p
md 61041q 2q
Página 15 de 50
1.1.15. Dos cargas de signos contrarios y de 10-8
C están situadas a una distancia de 10cm en el vacío formando un dipolo eléctrico. Determinar la intensidad del campo eléctrico que el dipolo produce en los siguientes puntos: a) A una distancia de 5cm de la carga positiva en la prolongación del segmento que une las cargas b) En un punto de dicho segmento a 4cm de la carga positiva c) En un punto que equidiste 10cm de ambas cargas RESOLUCIÓN:
a) El campo eléctrico total en el punto A de coordenadas (-5,0)cm es la suma del campo eléctrico creado en A por la carga 1 y el campo eléctrico creado en A por la carga 2.
C
Nii
iiid
qki
d
qkEEE AAA
44
22
89
22
89
22
22
1
121
102.39
8
2510
109
1015
10109
105
10109
b) El campo eléctrico total en el punto B de coordenadas (4,0)cm es la suma del campo eléctrico creado en B por la carga 1 y el campo eléctrico creado en B por la carga 2
C
Ni
iiid
qki
d
qkEEE
BB
B BB
4
22
89
22
89
22
22
1
121
101.8
106
10109
104
10109
c) El campo eléctrico total en el punto C de coordenadas (5,-10·cos30º)=(5,-8.7)cm es la suma del campo eléctrico creado en C por la carga 1 y el campo eléctrico creado en C por la carga 2
C (5,-10·cos30º)
(-5,0) (4,0)
L=10cm
1C 2C
Q1=10-8 C Q2=-10-8 C
E2A
E1A
E2B
E1B
E1C
E2C
60º
·A
·B
X
Y
Página 16 de 50
112
22
111
22
21
31122
89
1122
89
222
212
1
121
107.8,105107.8527.8,57.8,50,102
107.8,105107.851)7.8,5()0,0()7.8,5(1
10
109107.8,1051010
10109
107.8,1051010
10109
c
c
cc
c
C
c
C
C
uCC
uCC
cmdd
C
Ni
ud
qku
d
qkEEE
CC
1.1.16. Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas opuestas de magnitud q=10
-6C
separadas una distancia de 2cm. El dipolo está colocado en un campo eléctrico externo de módulo 10
5 N/C.
a) ¿Cuál es el momento máximo que ejerce el campo en el dipolo? b) ¿Cuánto trabajo debe hacer un agente exterior para dar al dipolo media vuelta a partir de una posición paralela al campo? RESOLUCIÓN:
a) El momento o giro que produce sobre un dipolo eléctrico, un campo eléctrico externo uniforme es:
senEdqsenEpEp
El momento es máximo si el valor del seno del ángulo que forman los vectores es 1.
Esto ocurre cuando los vectores p y E forman un ángulo de 90º.
mNsenEdq 3526 10211010210º90
b) La energía potencial que tiene un dipolo que está situado en un campo eléctrico externo uniforme es:
cosEpEpU
En el estado inicial si el campo E y el momento dipolar p son paralelos:
EpEpEpU º0cos
En el estado final cuando ha girado 180º respecto a su posición inicial:
EpEpEpU º180cos
El trabajo que realiza un agente externo para dar la media vuelta al dipolo es:
JEpEpEpUUUUUW finalinicialinicialfinal
31042
Página 17 de 50
1.1.17. Existe un campo eléctrico uniforme entre dos placas paralelas con cargas opuestas. Se libera un electrón desde el reposo sobre la superficie de la placa negativa y alcanza la superficie de la placa opuesta, colocada a una distancia d=2·10
-2m de la otra,
en un intervalo de tiempo t=1.5·10-8
s: a) Calcular la intensidad del campo eléctrico b) Calcular la velocidad del electrón cuando llega a la segunda placa c) ¿Cuál es la diferencia de potencial que hay entre las placas? RESOLUCIÓN: a)
22200
0
2
1
2
1
2
1tE
m
qtadtatvxdx
tatavv
Em
qaamEqF
x
x
Despejando el campo de esta última:
mV
tq
dmE 1011
10511061
1021019222819
231
2
b) s
KmtEm
qtav 2666266637410511011
1019
1061 831
19
c) VdEV 22221020221021011 22 1.1.18. Un electrón de masa m=9.1·10
-31kg y carga eléctrica q=-1.6·10
-19C se proyecta
en el interior de un campo eléctrico uniforme E=2000N/C con una velocidad inicial v0=10
6m/s perpendicular al campo.
a) Hallar las ecuaciones del movimiento del electrón b) ¿Cuánto se habrá desviado el electrón si ha recorrido 1cm sobre el eje OX? (OX: dirección de entrada del electrón)
d
0x x
E
EqF
q
Página 18 de 50
RESOLUCIÓN:
a) Como la EqF :
Em
eaEqamF siendo (-e), la carga del electrón.
Eje x: tvxvcteva xx 00;0
Eje y: 22000 2
1
2
1; tatavyytatavvE
m
ea yyyy
b) Sustituimos la aceleración en y:
2
2
1tE
m
ey
Como necesitamos el tiempo, lo hallamos con x:
sv
xttvx 8
6
2
00 10
10
10
Y lo llevamos al desplazamiento en y:
cmmy 81017601020001019
1061
2
1 2831
19
El ángulo que se ha desviado será:
60x
yarctg
1.2 Distribuciones continuas de carga
1.2.1. Consideremos un campo eléctrico uniforme C
kNiE 2 .
a) ¿Cuál es el flujo de este campo a través de un cuadrado de 10cm de lado cuyo plano es paralelo al plano YZ? b) ¿Cuál es el flujo que atraviesa el mismo cuadrado si la normal a su plano forma un ángulo de 30º con el eje X?
y
x
0v
E
a
Página 19 de 50
RESOLUCIÓN: y
iE 2 s S cml 210 x
z
a) El flujo de campo eléctrico a través de la superficie abierta es:
C
mNsEsEsdEs s
223 2010102)º0cos(
Con 2222 1010101010 ms
b) En este caso el ángulo que forman el vector superficie y el vector campo eléctrico es 30º. Por lo tanto:
C
mNsEsEsdEs s
223 3712
310102)º30cos()º30cos(
1.2.2. Una carga puntual q=3 C está en el centro de una esfera de 0.6m de radio. a) Hallar el valor del campo eléctrico en los puntos situados en la superficie de la esfera b) ¿Cuál es el flujo del campo eléctrico debido a la carga puntual a través de la superficie de la esfera? c) ¿Variaría la respuesta dada a la parte b) si se moviese la carga puntual de modo que estuviese dentro de la esfera pero no en el centro? d) ¿Cuál es el flujo neto que atraviesa un cubo de 1m de arista que circunscribe la esfera? RESOLUCIÓN:
E
sd
q=3 C r
Página 20 de 50
a) El campo eléctrico en un punto situado a una distancia R de una carga puntual es:
CNuuuu
r
QKE rrrr
52
3
21
69
2 1043
10361027
106
103109
con mmrR 110660
b) El flujo de campo eléctrico a través de la superficie es:
0
)º0cos( enc
ss
qsdEsdE
C
mN 23
9
6
103933
10941103
c) No cambia la respuesta porque el flujo depende sólo de la carga encerrada en dicha superficie, siendo independiente de la posición que ocupe en el interior de la misma. d) El flujo neto sería el mismo que el que atraviesa la esfera, ya que la carga encerrada es la misma en ambos casos. 1.2.3. Una carga puntual Q está situada en el centro de un cubo cuya arista tiene una longitud L. a) ¿Cuál es el flujo del campo eléctrico a través de una de las caras del cubo? b) Si la carga Q se traslada a un vértice del cubo, ¿cuál es el flujo a través de cada una de las caras del cubo? RESOLUCIÓN: a) El flujo total del campo eléctrico a través del cubo es:
L
0
enc
sE
qsdE
Q
Página 21 de 50
Por simetría, el flujo que atraviesa cada una de las caras del cubo es 1/6 del flujo total:
066
Qtotalcara
b) 1 Q 2
3
Dibujamos una esfera alrededor de la carga puntual Q que está situada en el vértice del cubo. Si dividimos la esfera en 8 partes, vemos que el flujo que entra en el cubo corresponde a 1/8 del flujo total que sale de la esfera.
0
00
88
1 Q
totalcubo
enctotal
Este flujo sólo atraviesa 3 caras del cubo porque el vector superficie de las caras 1, 2 y 3 forman un ángulo de 90º con el vector E , por tanto:
00 24383
QQcubocara
1.2.4. Una corteza esférica de radio 6cm posee una densidad superficial uniforme de carga =9nC/m
2: a) ¿Cuál es la carga total sobre la corteza? b) Determinar el campo eléctrico en r1=2cm, r2=5.9cm, r3=6.1cm y r4=10cm RESOLUCIÓN: + + + + + + + + + R + + + + + + + + + + + + + +
Página 22 de 50
a) Como la densidad superficial de carga es constante:
pCCRSQS
Q1740101740103641094 12492
Siendo mR 2106 y 29109
mC
b) Aplicando el teorema de Gauss, se puede demostrar que le campo eléctrico en una corteza esférica de densidad superficial uniforme es: E
2r
QKRrEr
r
E(r<R)=0 Si el radio es R=6cm, r1=2cm y r2=5.9cm corresponden a puntos del interior de la corteza y E=0. Para puntos fuera de la corteza:
CN
r
QKEcmr
CN
r
QKEcmr
r
r
46361010
933661010
10174010910
985105891016
10174010916
2
3
22
129
24
4
22
129
23
3
1.2.5. Una esfera de radio R1 tiene una cavidad central de radio R2. Una carga q está uniformemente distribuida en su volumen. Hallar el campo eléctrico y el potencial en: a) puntos fuera de la esfera b) su interior c) en la cavidad central RESOLUCIÓN: a)
E sd
q r R1
R2
Página 23 de 50
Como es una distribución simétrica de carga, utilizaremos el teorema de Gauss para hallar el campo eléctrico en r>R1:
0
200 4
º0cosr
qE
qSEsdE
qsdE
s
encenc
sE
El potencial eléctrico en r R1:
Vr
qKrV
r
qK
rqK
r
qKdr
r
qKVrV
drEdVdrEdVdr
dVE
rr
r r
rrr
112
Como por definición V( ) = 0 para una carga puntual:
r
qKrV
b) sd
E La carga total es q y está distribuida uniformemente en el volumen:
32
31
32
31
4
334
RR
q
V
qRRV
siendo la densidad de carga. Aplicando de nuevo el teorema de Gauss, el campo eléctrico en R2<r<R1 es:
00
º0cos encenc
sE
qSESE
qsdE
La carga encerrada por la superficie de Gauss, en este caso, será:
32
31
32
33
23
32
31
32
3
34
4
334
RR
RrqRr
RR
qRrVq
Despejando el campo:
q r R1
R2
Página 24 de 50
32
31
32
3
024
1
RR
Rrq
rE
El potencial en R2 r R1:
r
R
R
RrR
RR
qRVrV
r
Rr
RR
qRVrV
drr
Rrdr
RR
qRVrV
drr
Rr
RR
qRVrV
drEdVdrEdV
R
r
R
r
R
r
r
R
r
Rr
r
Rr
32
1
32
221
32
310
1
32
2
32
310
1
2
32
32
310
1
2
32
32
310
1
221
4
241
4
1
4
1
11
1
1
11
Del apartado a) sabemos el potencial en R1 y despejando V(r):
21
32
2
32
310
1
32
31
32
1
32
221
32
310
1
32
1
32
221
32
310
11
2
3
24
224
224
Rr
Rr
RR
qrV
R
RR
r
R
R
RrR
RR
qrV
R
qK
r
R
R
RrR
RR
qrV
R
qKRV
d) El campo eléctrico en r<R2 es 0, porque la carga encerrada en dicha cavidad es 0. El potencial, por tanto, es un valor constante:
22
RVrVdVr
R
r
Rr RVrVdrE
220
Del apartado anterior:
22
213
23
10
21
223
23
10
21
2
32
22
32
310
2
8
323
23
4
23
24
RRRR
qRR
RR
q
RR
RR
RR
qRVrV
Página 25 de 50
1.2.6. Supongamos que una carga positiva está distribuida uniformemente en un volumen esférico de radio R, siendo la densidad de carga por unidad de volumen. Calcúlese la fuerza de repulsión que sufriría una carga puntual q, situada a una distancia r del centro de la esfera, siendo r R. RESOLUCIÓN:
E
V
Q
La fuerza de repulsión que se ejerce sobre una carga puntual situada a una distancia r R
es EqF , donde E se puede calcular usando el teorema de Gauss:
0
º0cos enc
ssE
qSEsdEsdE
Despejando el campo:
002
3
02
02 34
34
44r
r
r
r
V
r
qE enc
El campo eléctrico resultante será:
rrr uR
rQu
R
rQu
rE 3
030
0 434
33
Por lo tanto, la fuerza que actúa sobre la carga es:
ruR
rQqEqF
304
sd
R
r
Página 26 de 50
1.2.7. Una esfera de radio R posee una densidad volumétrica de carga proporcional a la distancia al centro =A·r para r R y =0 para r>R, siendo A una constante. Hallar: a) El valor de la constante A si la carga total de la esfera es Q b) El campo eléctrico tanto en el interior como en el exterior de la distribución de carga RESOLUCIÓN: Ar si r R =0 si r > R r a) Si la carga total de la esfera es Q, la densidad es constante en un elemento infinitesimal de volumen dV, el cual tiene un carga dq:
dVdqdV
dq
En una determinada superficie cerrada la carga encerrada será la suma de las cargas dq de los infinitos elementos dV que forman esa región:
dVdqqenc
La carga total encerrada en la esfera de radio R es:
4
4
00
42
0 44
444
R
QA
RA
rAdrrArdVRqQ
RR
R
enc
b) Para hallar el campo eléctrico en el interior y en el exterior de la esfera utilizaremos el teorema de Gauss:
0
enc
sE
qsdE
Para r R:
0
º0cos enc
s
qSEsdE
r R
Página 27 de 50
b V1
necesitamos hallar la carga encerrada hasta r:
4
44
4
4
00 0
42
44
44
444
R
rQ
r
R
QrA
rAdrrrAdVq
rr r
enc
sustituyendo:
04
2
4
4
02
02 444 R
rQ
R
r
r
Q
r
qE enc
Para r > R la carga encerrada es Q, por lo tanto:
0
24 r
QE
1.2.8. Sean dos esferas conductoras concéntricas de radios a<b. La interior está a un potencial V1 y la exterior a un potencial V2. Determinar la carga sobre cada una de ellas. RESOLUCIÓN: V2 El potencial de una corteza esférica de radio R es: V KQ/R
KQ/r
r
QKRrV
R
QKRrV
R r El potencial en un punto será la suma de los potenciales creados en ese punto por las dos esferas conductoras. En r=a:
b
QK
a
QKV 21
1
En r=b:
b
QK
b
QKV 21
2
a
Página 28 de 50
Restando los valores de V1 y V2
baQK
b
KQ
b
KQ
b
KQ
a
KQVV
111
212121
Si despejamos Q1
ababK
VV
ab
abK
VV
baK
VVQ 212121
1 11
Para obtener Q2 hacemos:
abQK
a
QK
b
QK
b
QK
b
QK
a
b
b
QK
a
QKV
a
bV
112
22212121
Si despejamos Q2:
abK
Va
bV
Q11
21
2
1.2.9. Considérese dos esferas concéntricas y aisladas de radios a y b (a < b), estando la de radio a descargada y la de radio b con una carga total Q sobre su superficie. Se conecta la esfera interior a tierra sin tocar la exterior para nada. ¿Cuál será la carga que se induce en la esfera de radio a? ¿Cuál será el potencial en los puntos comprendidos entre las dos esferas? RESOLUCIÓN: Q a) Cuando conectamos a tierra la esfera interior, se induce en ella una carga Q´, siendo su potencial 0:
b
QK
a
QK0
b
a
Página 29 de 50
de donde podemos despejar Q´:
b
aQ
K
a
b
QKQ
b) El potencial en un punto comprendido entre las dos esferas a una distancia r del centro es:
b
QK
r
QKrV
que sustituyendo Q´, será:
siendo a<r<b. 1.2.10. Dos superficies esféricas concéntricas, de espesor despreciable y radios 5 y 10cm, se colocan a 30000 y 18000V respectivamente. A continuación se conecta la superficie interna a tierra. ¿A qué potencial queda la externa? RESOLUCIÓN: V2
Vamos a calcular la carga inicial que hay en cada una de las esferas. El potencial en la superficie de la esfera interna es:
310
223
1010
310
25510103
5050
51010
31
10510109
1031010105
109103
103
6
2121
67
21217217
212
94
22
2194
4
2
2
1
1
2
2
1
11
QQQQ
QQQQQQ
QQQQ
VR
Q
R
QK
R
QK
R
QKV
r
a
b
KQ
r
a
b
QK
b
QK
b
aQ
r
KrV 11
V1 R2
R1
Página 30 de 50
El potencial inicial en la esfera exterior es:
721219
23
2122
2
2
12
102109
10101018QQQQ
QQR
K
R
QK
R
QKV
Resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones, obtenemos Q1 y Q2:
721
21
6
102
23
10
CQ
CQQQQ
7772
611
76
17
1
6
10701031102
101301023
101022
3
10
Cuando conectamos la esfera interior a tierra cambia Q1, mientras Q2 se mantiene. El potencial ahora es:
CQ
RR
R
Q
R
Q
R
Q
R
QK
R
QK
R
QKV
92
27
1
12
21
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
11
10351010105
1070
00
El potencial en la esfera exterior es:
VV
QQR
K
R
QK
R
QKV
37102
772
9
2122
2
2
12
1015310350109
1070103501010109
Página 31 de 50
P
acE arg
q
líneaE
x
P
acE arg
q
líneaE
x
1.2.11. Una carga lineal infinita de densidad lineal uniforme =-1.5 C/m es paralela al eje y en x=-2m. Una carga puntual de 1.3 C está localizada en el punto (1,2). Determinar el campo eléctrico en el punto (2,1.5)
RESOLUCIÓN: y x=-2 x El campo total es la suma del campo que crea la línea y el campo que crea la carga. El campo que crea la línea en P es:
CNiE
CN
rE
línea
línea
3
396
0
10756
1075642
109410512
CNE
u
rr
ur
QkE
puntualac
r
rpuntualac
336
9arg
22
2arg
10325,1057950,90111031
109
50,901150
,11
1
1150150,12,151,2
El campo total en P es:
CNjiijiEEE
líneaac PPP
33333 1032510822107561032510579arg
Página 32 de 50
1.2.12. En cada uno de los tres planos indefinidos x= 2, x=0, x=2, existe una distribución de carga superficial 1 =2 C/m2, 2=4 C/m2, 3= 3 C/m2, respectivamente. Hallar el campo eléctrico y el potencial en todo el espacio, tomando origen de potenciales V=0 en x=0. RESOLUCIÓN:
Teniendo en cuenta el signo de la carga de cada plano, dibujamos el campo eléctrico que crea cada uno de ellos en cada región. El campo eléctrico que crea un plano indefinido en sus proximidades es:
En una región el campo eléctrico total es la suma de los campos eléctricos que crea cada plano:
V
x
2x 0x 2x
1E 1E 1E 1E
2E 2E 2E 2E
3E 3E 3E 3E
1 2 3
0V
E E E E
x x
0 0
ixE02
0ixE
020
Página 33 de 50
REGIÓN :
CNiE
iiiiiiEEEE
0
0000
3
0
2
0
1
2
3
2
3
2
4
2
2
222321
REGIÓN II:
CNiE
iiiiiiEEEE
0
0000
3
0
2
0
1
2
1
2
3
2
4
2
2
222321
REGIÓN III:
CNiE
iiiiiiEEEE
0
0000
3
0
2
0
1
2
9
2
3
2
4
2
2
222321
REGIÓN IV:
CNiE
iiiiiiEEEE
V
VVVV
0
0000
3
0
2
0
1
2
3
2
3
2
4
2
2
222321
Para obtener los potenciales, consideramos V(x=0) = 0: REGIÓN II (-2 x 0):
x xx
xxVxxdxEVxVdV0
000
00 2
121
21
0
REGIÓN I (x -2):
23
2
322
2
3
22
3
2
32
000
02
022
VxVxxV
xxdEVxVdVxxx
Página 34 de 50
Utilizando el resultado de la región II:
00000
0
4
2
313
2
3
12
xxxV
V
REGIÓN III (0 x 2):
xxV
xxdxdxEVxVdVx xxx
0
00
000
00
2
9
2
9
2
9
2
90
REGIÓN IV (x 2):
23
2
3
22
3
2
32
00
200
2 2
VxxV
xdxdxEVxVdVxx x
Utilizando el resultado de la región III:
00000
0
6
2
393
2
3
92
xxxV
V
1.2.13. Una esfera conductora, de radio R1 y carga Q se une mediante un hilo conductor, de capacidad despreciable, a otra esfera de radio R2 (R2<R1), inicialmente descargada. Suponiendo que las esferas están lo suficientemente alejadas entre sí para que los fenómenos de influencia sean despreciables, calcular: a) Las cargas Q1 y Q2 de cada una de las esferas b) Potencial c) Densidad superficial de carga en cada esfera d) Repetir el problema suponiendo que la distancia entre los centros de las dos esferas es d. RESOLUCIÓN:
a) Al unir ambas esferas, parte de la carga Q de la primera pasa a la segunda de tal forma que entre ambas esferas suman la carga Q. También, al unirlas quedan ambas al mismo potencial V:
Página 35 de 50
El potencial de la primera, V’1, será:
1
1
01 4
1
R
QV
Y el de la segunda:
2
1
02 4
1
R
QQV
Como V=V’1=V’2:
21
2
21
112
21
11
2
1
01
1
0 41
41
RR
RQ
RR
RQQQQQ
RR
RQQ
R
R
Q
Si comparamos las cargas, vemos que Q1 es mayor que Q2. b) El potencial al que quedan ambas esferas es:
210121
1
0 4
1
4
1
RR
Q
RRR
RQV
c) Las densidades superficiales de carga en cada esfera son:
2112
1
11 4
1
4 RRR
Q
R
Q y
21222
22 4
1
4 RRR
Q
R
Q
Siendo en este caso 1 menor que 2.
APÉNDICE 1.2.14. Un trozo de varilla delgada no conductora de longitud L tiene una carga total q, distribuida uniformemente a lo largo de ella. Hallar el campo eléctrico E en: a) Un punto P de la mediatriz de la varilla b) En el mismo punto cuando L tiende a infinito.
1R
2R
1Q2Q
Página 36 de 50
Siendo la densidad lineal de carga, escribimos el valor de la carga dq de un trozo infinitesimal de barra:
dxdqLq Y el campo eléctrico correspondiente a dicho trozo será:
22 r
dxK
r
dqKEd
cuyas componentes son:
0xxxx EdEEdEd por simetría (para cada dq siempre hay un dq´
simétrico de forma que las componentes del campo eléctrico en el eje x se anulan).
cos4
1cos
20 r
dxEdEd y (sólo existe componente en el eje y)
Tenemos que el campo depende de tres variables : ),,( rxfdE , pero debemos ponerlo en función de una sola variable, en este caso .
2cosd
ydxtgyxy
xtg
2
22
coscoscos
yr
yr
r
y
Sustituimos en la componente y:
dyy
dy
Ed y cos4
1cos
cos
cos4
1
02
2
2
0
Integrando:
22
22
0
000
0000
22
24
2
4
2
4
12cos
4
12cos
4
10
0
0
0
yLy
qk
yL
L
y
seny
seny
dy
dy
Ey
yEd Ed
xEd
r
x x
y
P
dx
dq qd
Página 37 de 50
2/L 2/L
ya que:
220
2
2
yL
Lsen
Valoración:
Si y
kEsenL y
21
22
1.2.15. Un anillo de radio a tiene una carga q distribuida uniformemente a lo largo de su circunferencia. Calcular el campo eléctrico y el potencial eléctrico en puntos a lo largo del eje perpendicular que pasa por el centro del anillo, en función de la distancia a dicho centro.
El campo eléctrico que crea en el eje x un elemento de carga infinitesimal dq es:
20
2 4
1
r
dq
r
dqKEd
Sólo existe componente en x, ya que por simetría las componentes en y se anulan.
xax
qx
r
qx
r
dqEdEdE xx
23
220
30
30 4
1
4
1
4
1cos
siendo r
xcos y 22 axr
Por lo tanto, el campo en cualquier punto del eje x es:
iax
xqE
23
2204
1
Casos particulares:
a
0x
22 axr
Ed
xEd
dq
Página 38 de 50
2
00
x
qKEax
Ex
Para x muy alejadas del origen se aproxima al campo de una carga puntual. Y el potencial será:
220 ax
KQ
r
dqKV
r
dqKdV
Q
1.2.16. Un cilindro hueco de radio R y longitud L se encuentra cargado uniformemente
con una densidad superficial de carga . Calcular el campo eléctrico y el potencial en los puntos que están sobre el eje del cilindro.
Considerando la expresión del campo eléctrico obtenida en el ejercicio anterior para un anillo de radio R y carga dq:
dqxR
xKEd x
23
22
donde dxRdq 2 Sustituyendo el valor dq:
22222223
22
23
22
112
22
2
rRrLRKR
xR
RKdx
xR
xRKE
dxxR
xRKdE
r
rL
r
rL
x
x
hR
r
x
L
ydx
PxEd
Ed
Página 39 de 50
En cuanto al potencial creado en un punto P por anillo de radio R y carga dq:
dxxR
RK
xR
dqKdV
2222
2
Que considerando el origen en P, e integrando a todo el cilindro:
2222
22
2222
lnln2
ln222
RrLrLRrrRK
RxxRKxR
dxRKdx
xR
RKV
r
rL
r
rL
r
rL
1.3 Condensadores. Campo eléctrico en la materia y energía del campo 1.3.1. Un condensador de láminas plano paralelas tiene una capacidad C0 y una separación entre las láminas d. Se insertan entre las placas dos láminas dieléctricas de constantes 1 y 2, cada una de ellas de espesor d/2 y de la misma área que las placas.
Demostrar que la capacidad es: 021
212CC
RESOLUCIÓN:
La capacidad de un condensador de láminas plano-paralelas es C0:
d
S
V
QC 0
0
Si se insertan 2 dieléctricos entre las láminas que ocupan cada uno la mitad del espacio que existe entre ellas, tenemos 2 condensadores en serie (misma carga y distinta d.d.p.) cuyas capacidades son, respectivamente:
2
01 d
SC
2
02 d
SC
La capacidad equivalente es:
2d
2d
1
2
S
Página 40 de 50
22
2
22
22
21
21
21
2
21
21
21
21
21
d
S
SSd
dSS
d
S
d
S
d
S
d
S
CC
CCCeq
221
21
d
SCeq
Teniendo en cuenta que:
01 1r y 02 2r
00
0
20
00
00
21
21
21
21
21
21
21
2122
22
Cd
S
d
S
d
SC
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
eq
Otra forma de resolver el problema es usar la definición de capacidad y calcular la nueva diferencia de potencial:
V
QC donde 221121 dEdEVVV siendo
11E y
22E
1.3.2. Una lámina de cobre de espesor b se introduce dentro de las láminas planas de un condensador. La lámina de cobre se encuentra situada exactamente a la mitad de la distancia d entre las placas. ¿Cuál es la capacidad del condensador antes y después de introducir la lámina? RESOLUCIÓN: Antes de introducir la lámina conductora:
donde d
SC 00
Q Q
d
0E
S
Página 41 de 50
Al introducir la lámina conductora de cobre:
Utilizando la definición de capacidad:
V
S
V
QC donde: 321 VVVV
En la lámina de cobre el campo es cero y el potencial constante, por lo que la d.d.p entre sus extremos es 0.
2222 3131
bdE
bdEVVV
siendo 0
1E y 0
2E
bdbdbd
V000 2222
La capacidad, por lo tanto, es:
d
bC
d
bd
S
bd
S
V
SC
1
1
10
0
0
1.3.3. Las láminas de un condensador plano están separadas 5mm y tienen 2m2 de área. Entre ellas se introducen dos dieléctricos, uno con espesor 2mm y permitividad relativa 5, el otro de 3mm y permitividad relativa 2. El condensador se carga a C510543 . Calcular: a) El campo eléctrico en cada dieléctrico b) La diferencia de potencial entre las láminas del condensador c) La capacidad del condensador
Q Q
b
1V 2V 3V
22
bd
22
bd
Página 42 de 50
RESOLUCIÓN:
a) El campo eléctrico entre láminas de un condensador plano-paralelo con un dieléctrico de permitividad es:
S
QE con 0r
de donde:
mV
S
Q
S
QE
r
4003652
10945
10543
9
5
10111
1
mV
S
Q
S
QE
r
10009112
10942
10543
9
5
20222
2
b) La d.d.p entre las placas del condensador es:
VdEdEVVV 38031031000911102400365 33221121
c) La capacidad es:
nFV
QC 391039
380310543 9
5
1.3.4. Una placa de dieléctrico de espesor b y constante dieléctrica relativa r, se coloca entre dos placas planas y paralelas de área A y separación d. La diferencia de potencial antes de introducir el dieléctrico es V. Supóngase que A=100cm2, d=1cm, r=7, V=100V y b=0'5cm. Calcular: a) La capacidad del condensador antes de introducir el dieléctrico b) La carga libre depositada en las placas del condensador c) La intensidad del campo eléctrico en el hueco
Q Q
1d 2d
d
1E 2E
1V 2V
Página 43 de 50
d) La intensidad del campo eléctrico en el dieléctrico e) La diferencia de potencial que existe entre las placas f) La capacidad del condensador después de introducir el dieléctrico RESOLUCIÓN:
a) pFd
SC 848108481010848
1010100
10941 1293
2
4
900
b) CVCQV
QC 1012
00 1084810010848
c) m
Vd
VEdEV 4
20
000 1010
100
d) m
VEE
r
681427
1040
e) VbE
bdEVr
1475105068142105010 22400
f) FV
QC 12
10
10551147510848
1.3.5. Las armaduras de un condensador plano tienen una superficie de 250 cm2. El dieléctrico situado entre las armaduras es mica de 1.2mm de espesor y r=6. Determinar: a) La capacidad del condensador b) La carga cuando la diferencia de potencial entre las armaduras es de 500V c) El campo eléctrico entre las armaduras d) La fuerza atractiva entre las mismas e) La energía almacenada en el condensador
S
d
b
r
Página 44 de 50
RESOLUCIÓN:
a) Fd
SC r
93
4
90 1011102110250
10941
6
b) CVCQV
QC 69 105505001011
c) m
Vd
VEdEV 416667
1021
5003
d)
El trabajo está relacionado con la energía almacenada:
xS
x
SdECVCW
2222
21
21
21
21
y
x
x
S
Q Q
E
F
dSFd
6r
2250 cmS
mmd 21
Página 45 de 50
Si manteniendo la carga constante se aproximan las armaduras una distancia dx, la energía almacenada disminuye en una cantidad:
dxS
dW2
21
Esta variación de energía equivale al trabajo de la fuerza que actúa sobre una de las armaduras:
N
S
Q
S
Q
S
QSS
dx
dWF
SdxFdW
r
11401025010550
61094
21
1211
21
21
21
21
4
269
2
0
2
2
22
2
e) JVCU 4292 10381500101121
21
1.3.6. Dado el sistema de la figura, calcular la energía almacenada por cada condensador si la diferencia de potencial entre A y B es V=20 V, siendo C=4 F.
RESOLUCIÓN:
La energía almacenada en un condensador es:
QVCVU21
21 2
Consideramos los condensadores 1 y 2 que están en serie para calcular V1 y V2. Estos tienen la misma carga Q:
A B
C 2C
2C 6C
A BQ Q
Q Q
C C2
C2 C6
FC
VVAB
4
20
1 2
3 4
Página 46 de 50
22
2
11
1
22 VCQV
QCC
VCQV
QCC
Igualando las Q:
2121 22 VVVCVC Teniendo en cuenta que VAB es la suma de V1 y V2:
VVVVVVVVVVVAB 340
320
2032 1222221
La energía almacenada en los condensadores 1 y 2 es:
JCVVCU
JCVVCU
42
622
2222
462
621
2111
107713
201042
2
1
2
1
1055318
1600104
3
40104
2
1
2
1
2
1
Consideramos los condensadores 3 y 4 que están en serie para calcular V3 y V4. Estos tienen la misma carga Q’:
44
4
33
3
6''
6
22
VCQV
QCC
VCQV
QCC
Igualando las Q’:
4343 362 VVVCVC
Teniendo en cuenta que VAB es la suma de V3 y V4:
VVVVVVVVVVVAB 155420
2043 3444443
Por tanto, la energía almacenada en cada uno de ellos es:
Página 47 de 50
JVCVCU
JVCVCU
42624
2444
42623
2333
103510462
16
2
1
2
1
1091510422
1
2
1
1.3.7. Dos condensadores en paralelo tienen una energía de J4109 cuando entre sus armaduras se establece una diferencia de potencial de 5000V. Cuando los mismos condensadores se conectan en serie y se establece la misma diferencia de potencial entre las armaduras extremas, la energía es de J4102 . Hallar sus capacidades. RESOLUCIÓN: Para la conexión en paralelo:
106
4
2142
212
21
107201025
1018109
2
1
2
1CCVCCVCU
CCC
eqparalelo
eq
Para la conexión en serie:
106
4
21
2142
21
212
21
21
101601025
104102
21
21
CC
CCV
CC
CCVCU
CC
CCC
eqserie
eq
Resolvemos el sistema:
0101152010720
1011520107201016010720
101601072010720
10720
101601025
104
10720
202
1022
201010222
10
10
2210
2210
210
1
106
4
21
21
1021
CC
CC
CC
CC
CC
CC
CC
CC
Se resuelve esta ecuación de segundo grado:
1C
1C
2C
2C
JU
VV
paralelo
4109
5000
JU
VV
serie
4102
5000
Página 48 de 50
JCF
JCFC
C
101
10
101
10
2
1010202010
2
1048010240
1024010480
2
1024010720
2
1046080105184010720
Uno de los condensadores tiene una capacidad de J1010480 y el otro de
J1010240 . 1.3.8. En un condensador de placas paralelas de área A y separación d, una batería carga las placas comunicándoles una diferencia de potencial V0. Entonces se desconecta la batería y se introduce una placa de dieléctrico con espesor d. Calcúlese la energía almacenada antes y después de introducir el dieléctrico. RESOLUCIÓN:
La energía almacenada antes de introducir el dieléctrico es:
2000 2
1VCU
donde d
AC 00
por tanto:
JVd
AU
20
00 2
1
La energía almacenada después de introducir el dieléctrico es:
d
A
Página 49 de 50
2
21
CVU
donde d
ACC rr 00 y
r
VV 0
por tanto:
rr
r
UV
d
AU 0
2
20
021
1.3.9. a) Calcular la energía almacenada en una esfera conductora de radio R y carga Q. b) ¿Cuál sería la energía almacenada si se tratara de una esfera de radio R y carga Q
uniformemente distribuida en todo el volumen? RESOLUCIÓN: a) Para cargar un conductor es necesario gastar energía porque, para suministrarle más carga, debe realizarse trabajo para vencer la repulsión de las cargas ya presentes. Este trabajo ocasiona un aumento en la energía del conductor. Para un conductor de capacidad C con carga q, se tiene:
C
qV
Si añadimos una carga dq al conductor, trayéndola desde el infinito, el trabajo realizado es: dqVdW Y este trabajo es igual al incremento en la energía del conductor.
C
Qdqq
CWdq
C
qdqVdW
Q
21 2
0
Como para un conductor esférico de radio R, la capacidad es: RC 4 La energía almacenada será:
R
QW
421 2
Por otro lado, tenemos que el campo eléctrico para un conductor esférico es:
Rr
r
Q
Rr
E24
0
Página 50 de 50
Si calculamos la integral de E2 extendida a todo el espacio,
R
Q
r
drQdrr
r
QdrrEdrrEdVE
RRR
R
2
2
22
22
2
222
0
22
0
2
444
4044
y comparamos con la energía almacenada, podremos escribirla como:
V
dVEW 2
2
1
de donde la energía almacenada por unidad de volumen o densidad de energía será:
2
21
EuE
b) Para formar una esfera cargada uniformemente en todo su volumen, tenemos en cuenta que su campo eléctrico es:
Rr
r
Q
RrR
rQ
E
20
30
4
4
Por lo que la energía almacenada es:
VV
drrEdVEW 2220 4
2
1
2
1
de donde:
R
Q
R
Q
R
Q
R
Q
r
drQdrr
R
Qdrr
r
Qdrr
R
rQW
R
R
R
R
20
2
20
2
20
2
20
2
220
2
0
4
620
22
2
20
2
0
2
30
20
3
40
6
840
42
1
42
14
42
14
42
1
La energía almacenada será:
R
QW 2
0
2
20
3
Hoja 1 de 5
Tema 2.- CORRIENTES ELÉCTRICAS Y CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA (RESUMEN)
2.1 Corrientes eléctricas
Movimiento de cargas a través de un
conductor Un material conductor se caracteriza por disponer de portadores de carga que pueden moverse con relativa libertad en el interior del material. Cuando establecemos una diferencia de potencial entre dos regiones de un conductor se origina un campo eléctrico en su interior, por acción del cual los portadores de carga se mueven. El término corriente eléctrica, en su sentido más amplio, se utiliza para describir el flujo de carga a través de una cierta región del espacio. En muchas situaciones el flujo de carga tiene lugar a través de materiales sólidos en los cuales los portadores de carga libres son electrones (metales). El ejemplo más común de material conductor es el cobre, ampliamente utilizado en la confección de circuitos eléctricos. Para cuantificar el flujo de corriente, suponemos que los portadores se mueven perpendicularmente a una superficie de área S (por ejemplo, podría ser la sección transversal de un hilo conductor). Se define la Intensidad de la corriente como la velocidad con la que la carga eléctrica atraviesa dicha superficie. Si
Q es la cantidad de carga que pasa a través de
esta área en un intervalo de tiempo t, la intensidad de corriente media en dicho intervalo de tiempo es:
t
QI
med
La intensidad de corriente instantánea es:
AC/sdt
dQ
t
QI
tlim
0
Aunque I es un escalar, se habla de sentido de la corriente. Por convenio, el sentido de la corriente es el del movimiento de los portadores de carga positivos (opuesto al flujo de electrones en un conductor). • Velocidad de arrastre, densidad de corriente.
Si aplicamos un campo eléctrico (supongámoslo uniforme) en el interior de un conductor, aparece una
fuerza sobre cada una de las partículas cargadas que lo componen. En un metal, los elementos con carga positiva (iónes) constituyen una red fija (red iónica) y, aunque se desplazan ligeramente por acción de esta fuerza, permanecen ligados entre sí, mientras que los electrones libres se mueven en el interior del material. Si no existieran otras fuerzas actuando sobre los portadores de carga, estos se moverían con
aceleración constante (ya que hemos supuesto E uniforme), pero los electrones interaccionan en su movimiento con la red iónica del metal resultando que cada portador posee un complejo movimiento en zig-zag a través del material. Sin embargo, a nivel estadístico, el conjunto de portadores se mueve con una velocidad media concreta, cuyo módulo es la
velocidad de arrastre (va).
La relación entre la velocidad de arrastre y la intensidad de corriente es:
avSqnI
Donde n es el número de portadores por unidad de volumen, q la carga de cada portador y S la sección del conductor. Densidad de corriente. Magnitud vectorial que proporciona la cantidad de corriente por unidad de área normal a la dirección del movimiento de portadores:
udS
dIj
n
siendo u un vector unitario en la dirección del
movimiento de cargas y sentido del desplazamiento de cargas positivas.
Considerando un Sd con cualquier orientación
podemos poner:
SSdjISdjdI
puesto que dSn es la proyección de Sd sobre un
plano perpendicular a la dirección del movimiento de cargas. Si la densidad de corriente es uniforme, su módulo es:
a
n
vqnS
Ij
Hoja 2 de 5
También podemos poner:
avqnj
• Resistividad, resistencia y ley de Ohm. Si aplicamos una diferencia de potencial V entre los extremos de un trozo de conductor a temperatura constante, por ejemplo un hilo metálico, se producirá
una corriente I. El valor de V necesario para producir una corriente dada, depende de una propiedad del trozo particular de conductor utilizado. Esta propiedad es su resistencia eléctrica R, que definimos como:
I
VR
La resistencia eléctrica es una medida de la oposición que ejerce un trozo de material al flujo de carga a través de él. En el S.I. R se expresa en
Ohmios ( ). Para muchos conductores, la corriente que circula por un trozo de los mismos es directamente proporcional a la diferencia de potencial aplicada entre los extremos del trozo de conductor. Así si, por
ejemplo, se duplica V también se duplica I. En este caso podemos afirmar que R es independiente de V
e I :
RIV (con R constante)
La anterior ecuación se conoce como ley de Ohm. Aunque más que una ley (no constituye un hecho fundamental de la naturaleza) se trata de una expresión empírica que describe el comportamiento de muchos materiales en el rango de valores de V utilizados en los circuitos eléctricos. Los materiales que cumplen la ley de Ohm se denominan óhmicos. Un conductor óhmico se caracteriza por tener un único valor de su resistencia para una temperatura dada. La gráfica V frente a I para un material óhmico es una recta cuya pendiente corresponde al valor de R. La resistencia de un trozo de conductor depende de su forma, tamaño y composición. Experimentalmente puede comprobarse que para un determinado material conductor su resistencia es proporcional a
su longitud l e inversamente proporcional a su sección S. El factor de proporcionalidad se denomina
resistividad ( ) del material, siendo una
característica del mismo que depende únicamente de su composición:
S
lR
se expresa en m. La resistividad de muchos metales puros varía casi linealmente con la temperatura para un amplio rango de valores:
00(1 TT
siendo 0 la resistividad a una temperatura de
referencia T0 y el coeficiente térmico de la
resistividad. Para materiales conductores >0 lo que indica que aumenta la resistividad con la temperatura (la mayor agitación térmica provocada en los elementos que componen la red iónica del metal incrementa la dificultad para que los portadores de carga se desplacen a través del material, aumentando con ello su resistividad). La ley de Ohm también puede escribirse de forma general, como:
Ej
El factor de proporcionalidad entre la densidad de corriente en el conductor y el campo eléctrico aplicado
se denomina conductividad del material . Un material será óhmico si su conductividad es
independiente de E . Si un material tiene mayor
conductividad que otro, la densidad de corriente será mayor en el primero para un mismo campo eléctrico aplicado, por lo tanto la conductividad de un material es una medida de cómo permite un material que los portadores de carga fluyan a través de él.
Para un conductor homogéneo con jE y uniformes
en todo su volumen: lVESIj // y
1
/
/
SR
l
lV
SI
E
j
Potencia eléctrica Para mantener una corriente eléctrica es necesario un suministro de energía ya que las cargas deben de ser aceleradas por el campo eléctrico. La energía por unidad de tiempo o potencia requerida para mantener una corriente I es:
VIP
P en el S.I. se expresa en vatios (W).
Hoja 3 de 5
Para conductores que cumplen la ley de Ohm V=I R, por tanto:
RIP 2
La expresión anterior se conoce como ley de Joule. Al aplicar una diferencia de potencial V entre los extremos de un conductor los portadores de carga adquieren energía potencial eléctrica. Los portadores comienzan a moverse perdiendo energía en las colisiones que sufren con los elementos que forman la red iónica del material (estas colisiones son las responsables de que el material tenga una resistencia eléctrica). Si la temperatura del material aumenta por encima de la de su entorno se transfiere calor. Simplificamos esta cadena de hechos diciendo que la energía eléctrica se disipa en forma de calor en la resistencia del material (también: energía disipada por efecto Joule).
Materiales superconductores La dependencia de la resistividad de los metales con la temperatura deja de ser lineal para temperaturas inferiores a unos 20º K. A bajas temperaturas la resistividad, y por tanto la resistencia, de un metal depende fuertemente de la pequeña cantidad de
impurezas que contenga. De hecho, la medida de resistividad a bajas temperaturas se utiliza a menudo para determinar la cantidad de impurezas que contiene un metal. Existen varias sustancias conductoras, en particular algunos metales, aleaciones y compuestos metálicos, cuyas propiedades eléctricas cambian drásticamente cuando su temperatura baja más allá de una determinada temperatura, denominada temperatura crítica TC, característica de cada sustancia. A temperatura crítica tiene lugar una transición de fase y la resistividad disminuye bruscamente. Por debajo de la temperatura crítica el material se transforma en un superconductor. En un superconductor, la corriente eléctrica fluye sin resistencia por lo que no se producen pérdidas calóricas por efecto Joule. La mayoría de metales que presentan este fenómeno tienen una temperatura crítica por debajo de los 10º K
(Al 1,2º K; Hg 4º K; Pb 7,2º K; etc.). Sin embargo, se ha observado el fenómeno de superconductividad en materiales cerámicos, como el YBa2Cu3O7, que presentan temperaturas críticas por encima de los 77º K, temperatura de ebullición del nitrógeno. Estos materiales abren grandes perspectivas en aplicaciones tecnológicas debido al bajo coste del nitrógeno líquido que se utiliza como refrigerante.
2.2 Circuitos de corriente continua
Generadores Para mantener los portadores de carga circulando en un circuito hace falta un dispositivo, generador, que suministre energía. Los generadores transforman energía química (batería), energía mecánica (dinamo), energía luminosa (célula fotovoltaica), etc. en energía eléctrica. Un generador realiza trabajo sobre la carga que pasa a través de él, elevando su energía potencial
eléctrica. La f.e.m. (fuerza electromotriz) de un generador no es en realidad ninguna fuerza sino la energía suministrada por el generador para mover una unidad de carga alrededor del circuito. Por tanto, tiene dimensiones de potencial (Voltios). Se define como el incremento de energía potencial eléctrica por unidad de carga:
Q
U
En un generador el borne que está a mayor potencial V+ es el ánodo o polo positivo y el que está a menor potencial V- es el cátodo o polo negativo. La diferencia de potencial entre los bornes del generador se corresponde con su fuerza electromotriz cuando no circula corriente a través del mismo. Si el generador está suministrando corriente a un circuito debe tenerse en cuenta la resistencia interna del generador r. Debido a esta resistencia interna el generador disipa energía por efecto Joule. Para un generador lineal la diferencia de potencial entre sus bornes es:
rIVV
Un receptor eléctrico es un dispositivo que transforma energía eléctrica en otro tipo de energía. La energía consumida por unidad de carga que atraviesa un receptor se denomina fuerza
Hoja 4 de 5
contraelectromotriz f.c.e.m. ’. Un receptor real disipa además energía por efecto Joule debido a su resistencia interna r’. La diferencia de potencial que debe establecerse entre los bornes de un receptor
lineal con fcem ’ y resistencia interna r’, es:
'´ rIVV
Circuitos de corriente continua
Conceptos de nudo, rama y malla: - nudo: punto de un circuito donde se unen más de dos conductores. - rama: tramo de conductor entre dos nudos, por el que circula la misma intensidad. - malla: camino cerrado por conductores. Un circuito de corriente continua es aquel en el que las diferentes corrientes que pueden circular por sus ramas son estacionarias (mantienen el mismo valor y sentido en el tiempo, Ii = ctes). Matemáticamente los receptores intercalados en un circuito pueden tratarse como generadores con los polos cambiados. Así, la corriente en un circuito cerrado constituido por una única malla es:
T
ii
RI
de forma que el signo de la fem de los elementos que aportan corriente al circuito es positivo y el signo de la fem de los elementos que consumen corriente es negativo. RT es la resistencia total del circuito considerado.
> 0 < 0
I I
Asociación de resistencias: Resistencias en serie:
iie
RR
Resistencias en paralelo:
i
ieRR
11
Diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito. La diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera de un circuito A y B, viene dada por:
jj
iiiBA
RIVV
Los caminos para ir desde el punto A al B en el circuito considerado pueden ser varios, como mínimo dos si sólo existe una malla. Para aplicar adecuadamente la expresión anterior debe elegirse un camino para ir desde A hasta B. Una vez elegido, éste estará constituido por i ramas distintas, siendo Ii la corriente de la rama i y Ri la resistencia de dicha rama. En la rama i, Ii > 0 si el sentido de la corriente es el mismo que el sentido elegido para ir desde A hasta B. Si el sentido de la corriente de rama es contrario al sentido del camino entonces Ii < 0. En el camino de A hasta B encontraremos j fem. Independientemente del sentido de la corriente que atraviesa cada fem, para desarrollar la expresión
anterior, j > 0 si en el camino de A hasta B encontramos primero el polo negativo del generador, y
j < 0 si encontramos primero el polo positivo.
Resolución de circuitos Para analizar un circuito en régimen estacionario podemos utilizar: A) Leyes de Kirchhoff: 1. Ley de los nudos. La suma de la intensidades de las corrientes que llegan a un nudo es igual a la suma de las intensidades de las corrientes que salen (ley de la conservación de la carga).
0i
iI ; (en cada nudo)
2. Ley de las mallas. La suma de las diferencias de potencial a lo largo de una malla es igual a cero (ley de conservación de la energía).
j
ji
i
i
i
i RIV 0 ; (en cada malla)
Hoja 5 de 5
Aplicación práctica: En ramas: establecer un sentido ficticio para las corrientes de rama (una vez finalizada la resolución si el resultado de alguna corriente es negativo su sentido real es contrario al previsto inicialmente) En nudos: Elegir signo para las corrientes de entrada y salida en el nudo y plantear las ecuaciones de nudos.
0i
iI
(la elección en cada nudo es arbitraria) En mallas: establecer un sentido de la circulación en cada malla y plantear su ecuación de mallas.
j
ji
i
i RI
Criterio de signos en cada ecuación de mallas: a) Si el sentido de la circulación elegido y el de una corriente de rama coinciden, entonces Ii >0. Ii <0 en caso contrario b) Si en el sentido de la circulación encontramos
primero el polo negativo de un generador entonces j
> 0. j < 0 si encontramos primero el polo positivo. B) Método de las corrientes cíclicas de Maxwell También conocido como método de las corrientes de mallas. En este procedimiento se buscan mallas independientes y se asigna para cada una de ellas una intensidad de malla ficticia (el mismo sentido para todas las mallas). Las corrientes Ii de las n mallas independientes pueden obtenerse a partir de la expresión:
nnnnnnn
n
n
I
I
I
RRRR
RRRR
RRRR
......
...
...............
...
...
2
1
2
1
321
2232221
1131211
Donde: Rii es la resistencia total de la malla i.
Rij es la resistencia total de la rama ij, lógicamente i j. Rij = 0 si las mallas i y j no tienen una rama común.
i es la suma total de fem presentes en la malla i, considerando su signo. Una vez conocidas todas las intensidades de malla, la intensidad de la rama ij puede determinarse a partir de la expresión:
jiij IIi
Si iij > 0 la corriente de rama tiene el mismo sentido que la corriente de malla i. Si iij < 0 la corriente de rama tiene el mismo sentido que la corriente de malla j. C) Teorema de Thévenin. El teorema de Thévenin establece que cualquier porción de circuito entre dos puntos es equivalente a una fuente de tensión en serie con una resistencia (circuito equivalente de Thévenin).
El valor de la fuente de tensión (potencial de Thévenin, VTh) se corresponde con la diferencia de potencial entre los dos puntos del circuito (considerando únicamente la porción de circuito que se desea sustituir). La resistencia en serie (resistencia de Thévenin RTh) es la resistencia equivalente entre los dos puntos del circuito (eliminando los generadores y considerando nuevamente sólo la porción de circuito que se desea sustituir).
_____________________________________________________________________________________
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RESOLUCIONES
2.1 Corrientes eléctricas 2.1.1. La intensidad de corriente en un hilo varía con el tiempo según la relación I=3· t
2+2, en donde I se mide en amperios y t en segundos
a) ¿Cuántos culombios pasan por una sección transversal en el intervalo de tiempo comprendido entre t=1s y t=5s b) ¿Cuál es la intensidad media durante el mismo intervalo de tiempo? RESOLUCIÓN: La intensidad de corriente se define como la cantidad de carga dq que fluye a través del área transversal S en un tiempo dt.
Por tanto: dt
dqI
a) La carga que pasa por la sección transversal en el intervalo de tiempo entre t=1s y t=5s es:
C
tt
dttdtIqdqdtIdqst
st
1322110125
233
52353
23
323
35
1
35
1
25
1
b) La intensidad media es:
At
QI 33
4132
15132
S
_____________________________________________________________________________________
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2.1.2. ¿Cuál es la velocidad de desplazamiento de los electrones en un alambre de cobre típico de radio 0.815mm que transporta una corriente de 1A, suponiendo que existe un electrón libre por átomo? Datos: Cu= 8.93 (g/cm
3), NA= 6.02·10
23 (átomos/mol) y
M=63.5 (g/mol) RESOLUCIÓN: La velocidad de desplazamiento se calcula como:
Sqn
IvSvqnI dd
Si existe un electrón libre por cada átomo, la densidad numérica de los electrones libres es igual a la densidad numérica de átomos:
328
328
322
233
1047810478
10478536
10026938
me
mát
cmát
molg
molát
cmg
M
Nnn ACu
ae
El valor absoluto de la carga es, 191061eq (C), y la sección:
26232 1012108150 mrS Sustituyendo valores:
sm
mCm
es
C
nqS
Ivd
5
26193
2210513
10121061)(10478
1
2.1.3. Por un conductor de 10m de longitud y una resistencia de 0.2 circula una corriente de 5A. a) ¿Cuál es la diferencia de potencial en los extremos del conductor? b) ¿Cuál es el valor del campo eléctrico del conductor?
RESOLUCIÓN: a) La diferencia de potencial se calcula utilizando la ley de Ohm: VVRIV 1205
b) El campo eléctrico del conductor es:
mV
l
VElEV 10
10
1
_____________________________________________________________________________________
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2.1.4. Un trozo de carbono tiene una longitud de 3cm y una sección recta cuadrada de 0.5cm de lado. Se mantiene una diferencia de potencial de 8.4 V entre los extremos de su dimensión más larga. a) ¿Cuál es la resistencia del bloque? b) ¿Cuál es la corriente en esta resistencia? Datos: C = 3500·10
-8 ( ·m) = 3.5·10
-5 ( ·m)
RESOLUCIÓN: a) La resistencia es:
S
LR
donde
m
mL
maS
5
2
26222
1053
103
10251050
sustituyendo valores:
04201025103
10536
25R
b) Para hallar la corriente utilizamos la ley de Ohm:
AR
VIRIV 200
0420
48
2.1.5. Una barra de carbono de radio 0.1mm se utiliza para construir una resistencia. La resistividad de este material es 3.5·10
-5·m. ¿Qué longitud de la barra de carbono se
necesita para obtener una resistencia de 10 ? RESOLUCIÓN: La longitud se obtiene de acuerdo con los datos proporcionados en el enunciado, a partir de la siguiente expresión:
SR
lS
LR
donde
28242
5
10101
1053
10
mrS
m
R
Sustituyendo valores:
mmml 900109010531010 2
5
8
_____________________________________________________________________________________
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2.1.6. Un hilo de aluminio de 0.6mm de diámetro, es recorrido por una corriente de 5A, existiendo una caída de potencial de 1.175mV por metro de hilo. Se pide: a) Calcular la densidad de corriente en el hilo b) Hallar la resistividad del aluminio c) Suponiendo que cada átomo contribuye a la corriente con un electrón libre, encontrar la densidad de electrones libres en el aluminio y la velocidad de desplazamiento de éstos d) La potencia eléctrica disipada si L=100m Datos: Al =2.7 (g/cm
3), NA= 6.02·10
23 (átomos/mol) y M= 27 (g/mol)
RESOLUCIÓN: a) La densidad de corriente del hilo es:
27
82322 1077110382
5
21060
5
2
mA
d
I
r
I
S
IJ
donde: 28
242
103.284
1062
md
S
b) La resistividad del hilo se obtiene a partir de la expresión:
L
SR
S
LR
Utilizando la ley de Ohm y como sabemos que la caída de potencial por metro de hilo es 1´125mV:
mIL
V
IL
V
L
R 33 10235051
1017511
Sustituyendo valores en la resistividad:
mSL
R 1183 1065610382102350
Siendo S el valor de la superficie calculado en el apartado anterior. c) Si cada átomo contribuye a la corriente con un electrón libre entonces la densidad numérica de los electrones libres es igual a la densidad numérica de los átomos:
329
329
323
23
1060230
1060230106023027
10023672
me
mát
cmát
M
Nnn AAl
ae
Y la velocidad de desplazamiento se calcula como:
sm
nqS
Ivd
281929 10180
10382106110602305
_____________________________________________________________________________________
Página 9 de 34
d) La potencia es: IVP donde la caída de potencial que existe en una longitud de 100m es:
VV ml
13100 101751100101751
Y sustituyendo valores:
WP 5905101751 1
2.1.7. Por un conductor de cobre de 1cm de diámetro pasa una corriente de 100A. Sabiendo que en el cobre hay 8.5·10
22 electrones/cm
3 y que su resistividad es 1.72·10
-8·m. Calcular:
a) La densidad de corriente en A/m2
b) La velocidad de los electrones libres c) Campo eléctrico en el interior del conductor RESOLUCIÓN: a) La densidad de corriente es:
S
Ivqnj
donde, v es la velocidad de arrastre de los portadores de carga, q la carga eléctrica de los portadores, n el número de portadores por unidad de volumen y S la sección del conductor. Hallamos la densidad de corriente como:
2221273239
1050
100m
AS
Ij
b) De la segunda igualdad obtenemos la velocidad de arrastre, v:
sm
rqn
I
Sqn
Iv 5
22196222 1036910501091101058
100
c) Para hallar el campo eléctrico utilizamos la ley de Ohm del siguiente modo:
EEj1
despejando E
mVjE 02190107211273239 8
_____________________________________________________________________________________
Página 10 de 34
2.1.8. Determinar la densidad de portadores n de un alambre de cobre suponiendo que hay un portador (electrón) por cada átomo de cobre. Si la máxima corriente recomendada para un alambre de cobre de 0.81mm de radio de los que se usan en las viviendas es 15A, ¿cuál sería la velocidad de arrastre de los electrones? RESOLUCIÓN: Si hay un electrón libre por átomo, la densidad de portadores es igual a la densidad de átomos.
M
Nn mA
donde NA es el número de Avogadro, m es la densidad de masa del cobre
3310958 mKg y M la masa molecular del cobre molg536 .
328
3
323
1049810536
10958100236m
portadoresn
Utilizando la ecuación:
sm
Sqn
Iv 4
23192810365
10810106110498
15
2.2 Circuitos de corriente continua 2.2.1 Dos resistencias iguales se conectan en serie a una tensión V. Posteriormente se montan en paralelo conectándolas a la misma tensión V. ¿En cuál de los montajes se disipa mayor potencia? RESOLUCIÓN: Conexión en serie:
Será equivalente a:
a bR R
c
I
RReq 2a b
I
_____________________________________________________________________________________
Página 11 de 34
• La diferencia de potencial entre los extremos de las 2 resistencias es Vab=V, donde Vab=Vac+Vcb • Por ambas resistencias pasa la misma intensidad I • La resistencia equivalente es: Req=R+R=2R La intensidad se calcula como:
R
V
R
VIIRV
eq
eq 2
La potencia que se disipa en cada resistencia por efecto Joule es:
WR
V
R
VR
R
VRIRP
442
2
2
222
La potencia total disipada podemos hallarla como la suma de las 2 potencias disipadas:
WR
V
R
VPPPPtotal 24
2222
Conexión en paralelo:
Será equivalente a: Ambas resistencias tienen la misma diferencia de potencial, Vab=V, entre sus extremos. Por cada una de ellas circula una intensidad cuya suma es: I=I1+I2 Y la resistencia equivalente es:
22
2
21
21 R
R
R
RR
RRReq
a b
R
R
I
1I
2I
2/RReq
a b
I
_____________________________________________________________________________________
Página 12 de 34
La potencia que se disipa en cada resistencia por efecto Joule es:
211 IRP donde W
R
V
R
VRP
R
VI
2
2
2
11
222 IRP donde W
R
V
R
VRP
R
VI
2
2
2
22
La potencia total disipada se halla como la suma de las 2 potencias disipadas:
WR
VPPPtotal
2
21 2
O bien, con la Req:
WR
V
R
VRIIRIRP eqeqtotal
222
212 22
2
Comparando ambos resultados se puede concluir que en la conexión en paralelo se disipa más potencia. 2.2.2 La d.d.p entre los puntos A y B del circuito de la figura es de 10V. Calcular la f.e.m de la batería X. I RESOLUCIÓN: Como se desconoce X, suponemos que la intensidad I recorre el circuito en el sentido dibujado. Su valor lo obtenemos aplicando la expresión del cálculo de la d.d.p entre dos puntos (2ª ley de Kirchhoff).
i j
jiiBA RIVV
Por la izquierda:
AIIIVAB 7213
35
13
451045131010552232410
Por la derecha: XIVAB 210
Si sustituimos el valor de la intensidad obtenida:
VXX 64451027210
_____________________________________________________________________________________
Página 13 de 34
2.2.3 Calcular la d.d.p entre los puntos A y B de la figura. Si se conectan A y B, ¿qué intensidad pasará por el generador de 12V?, ¿qué intensidad pasará por el generador de 10V? I RESOLUCIÓN: Partiendo de la ley de Kirchhoff , calculamos la corriente que circula por la malla externa:
i j
ji
i j
jii
ba
i j
jiiba RIRIRIVV 0
AR
Ij 81
11
20
221222
812
La d.d.p entre los puntos A y B será:
j
j
i
iiBA RIVV
Tomando el camino por arriba:
VIVV BA 211226811012222
Como nos da negativa la d.d.p, significa que el punto B se encuentra a mayor potencial que A. Si ahora conectamos los puntos A y B, tenemos un circuito de dos mallas por el que circulan dos corrientes I1 e I2:
I1
I2
_____________________________________________________________________________________
Página 14 de 34
Resolviendo el circuito por mallas: MALLA 1
224100
101213132220
0
21
21
II
II
RIi i
iii
MALLA 2
2940
10813212310
21
12
II
II
Tenemos un sistema de dos ecuaciones:
0104520
044820
2940
224100
215
212
21
21
II
II
II
II
x
x
Si las sumamos:
AII 92037
3403437 22
Sustituyendo este valor en una de las ecuaciones del sistema, obtenemos el valor de I1. Lo hacemos en la primera:
AIII 57210
68522268310022920410 111
Con I1 e I2 podemos calcular la intensidad que pasa por el generador de 10V:
AIIi 6519205722112
Y como nos da positivo, llevará la misma dirección que I1.
2.2.4 En el circuito de la figura calcular: a) Intensidad que circula por la rama AB. b) Potencia suministrada al circuito por el elemento que actúa como generador. c) Potencia disipada en cada generador. d) Diferencia de potencial entre los puntos A y D. I1
I2
_____________________________________________________________________________________
Página 15 de 34
RESOLUCIÓN: Tenemos un circuito formado por 2 mallas. Calculamos las intensidades que circulan por cada malla. MALLA 1
122120
12224150
21
21
II
II
MALLA 2
22200
22711020
12
12
II
II
Tenemos un sistema de dos ecuaciones:
01212012
012212
02202
012212
216
21
21
21
II
II
II
IIx
Sumamos las dos ecuaciones:
00118 22 II Sustituyendo I2 en la segunda ecuación:
AI 112
121
a) La intensidad que circula por la rama AB es:
AIIiAB 121
Y circula en el sentido de I1.
b) El elemento que actúa como generador es la fuente de 12V. La potencia
suministrada al circuito es:
WrIIP istradasu 1111211112 2211min
c) La potencia disipada por efecto Joule en cada generador es:
para la fuente de 12V WrIP 111221
para la fuente de 2V 022 rIP
d) La diferencia de potencial entre los puntos A y D es:
i j
jiiDA RIVV
Sustituyendo valores, siguiendo la rama de la izquierda: VIVV DA 2202172
_____________________________________________________________________________________
Página 16 de 34
2.2.5 Hallar la diferencia de potencial entre A y B en el circuito de la figura. I1 I2
RESOLUCIÓN: Tenemos un circuito de 2 mallas. Calculamos las intensidades I1 e I2 utilizando la ecuación de mallas:
i i
iii RI0
MALLA 1
0410
0)128(1221221
21
21
II
II
MALLA 2
026
0)86(12121
21
12
II
II
Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones:
0206010
0410
026
0410
2110
21
21
21
II
II
II
IIx
Sumando las dos ecuaciones:
AII5924
2459 22
Y sustituyendo en la segunda ecuación:
AII5926
5924
6262 21
Como son negativas, las corrientes llevan el sentido contrario al considerado en la figura. Teniendo en cuenta su sentido real, les cambiamos el signo y hallamos la corriente que circula por la rama central:
AIIi592
5924
5926
2112
_____________________________________________________________________________________
Página 17 de 34
Calculamos la d.d.p entre A y B, tomando el sentido correcto de las corrientes. Camino de A a B por la rama de la izquierda:
VI
IRIVVj
j
i
iiBA
20305912
259130
25926
525
1012212
1
1
Camino de A a B por la rama central:
ViIVV BA 2030259
1062
59
2
59
1042
59
2
59
264108122 121
Del mismo modo se puede hallar la d.d.p entre A y B por la rama de la derecha. 2.2.6 Hallar el circuito equivalente de Thévenin entre los puntos A y B del circuito de la figura. RESOLUCIÓN: Podemos calcular el generador equivalente de Thevenin entre los puntos A y B de 3 formas distintas, dependiendo de la porción del circuito que simplifiquemos: a)
I
_____________________________________________________________________________________
Página 18 de 34
Calculamos la I que circula por este circuito:
AR
I i 17
7
115
25
La d.d.p entre A y B que corresponde al voltaje de la fuente equivalente de Thevenin es:
VIVVRIVV BA
j
j
i
iiBA 325125
La resistencia equivalente de Thevenin es la resistencia equivalente de la siguiente asociación:
710
55
211
1
12
1
R
RR
R
El circuito equivalente de Thévenin es:
El circuito completo queda:
A
B
7
10
V3
1
B
1
1 5 5
A A A
B B
21R7
102R
B
A
7
10
V3
_____________________________________________________________________________________
Página 19 de 34
b)
La I que circula por la malla es:
AR
Ii
3
5
111
5
La diferencia de potencial entre A y B es:
VIVVRIVV BA
j
j
i
iiBA 3
501
La resistencia equivalente de Thévenin es:
3
2
12
12
211
2
1
R
R
El equivalente Thévenin queda como:
V5
1
1
1
A
B
I
B
1
1
11
21R
A A
B B
A
32
2R
32
A
B
V35
_____________________________________________________________________________________
Página 20 de 34
El circuito completo es:
c)
La intensidad de corriente que circula por el circuito en este caso es:
AR
I i
3
1
6
2
15
2
La d.d.p entre A y B, siguiendo el sentido de la corriente es:
VIVVRIVV BA
j
j
i
iiBA 31
235
25
La resistencia equivalente, serán las dos en paralelo, 6
5
15
15eqR y el equivalente
Thévenin será:
65
V31
V2
5
A
B
1
I
V2
V35
32
5
A
B
A
B
_____________________________________________________________________________________
Página 21 de 34
de modo que el circuito será:
2.2.7 Hallar la intensidad que pasa por R, calculando previamente el equivalente Thévenin entre A y B. RESOLUCIÓN: Vamos a calcular el circuito equivalente de Thévenin de la parte que queda a la izquierda de la línea discontinua. El resultado de esta simplificación lo uniremos posteriormente a la resistencia de 1 . I1
I2
Tenemos un circuito con dos mallas. Calculamos la intensidad que circula por cada una de ellas. MALLA 1:
i j
jii
i j
jii RIRI0
4611486326 2121 IIII
1
1
V56
5
V31
A
B
_____________________________________________________________________________________
Página 22 de 34
MALLA 2:
3763661 2112 IIII Resolvemos el siguiente sistema:
633
677
11
4611
376
4611
216
11
21
21
21
II
II
II
IIx
Sumamos éstas dos últimas:
41
9941
6
3324
6
3677
6
3346
6
772222 IIII
Si sustituimos este valor en la ecuación de la malla 2:
AI 2404110
24660
641
12363
6
34163
6
341
97
1
Conocidas las intensidades del circuito simplificado, podemos hallar la d.d.p entre los puntos A y B, que corresponderá al voltaje del generador del equivalente de Thévenin. Consideramos el camino de A hasta B, según el sentido de I1:
VIVV
RIVV
BA
i j
jiiBA
73441
19441
1643043
4110
431
Y la resistencia de Thévenin es:
En el primer paso las resistencias de 6 y 1 están en paralelo:
76
6161
eqR
En el segundo paso están en serie las de 2 y 6/7 :
7
20
7
62eqR
2
6
1
3
2
3
A A
BB
A
B
720 3
76
A
B
4160
ThR
_____________________________________________________________________________________
Página 23 de 34
En un tercer y último paso, tenemos las resistencias de 3 y 20/7 en paralelo:
41
60
741
760
7203
7203
eqR
Sustituimos el equivalente de Thévenin en el circuito original:
Por último calculamos la I que circula por esta malla que será la que circula por la R=1 .
AR
Ii 921
101194
4110141
194
14160
41194
2.2.8 En el circuito de la figura determinar: a) La corriente que circula por la resistencia de 1 , calculando previamente el circuito equivalente de Thévenin entre los puntos A y B (indíquese el sentido de esta corriente en la figura). b) La diferencia de potencial entre los puntos B y C. RESOLUCIÓN: a) Calculamos el equivalente Thévenin de la siguiente porción del circuito comprendida entre los puntos A y B. Su resultado lo uniremos finalmente al trozo que nos ha quedado entre A y B. I
A
B
4160
ThR
VVTh 41194
1R
I
_____________________________________________________________________________________
Página 24 de 34
Tenemos un circuito de una sola malla. Calculamos la intensidad que circula por ella:
AR
I i 719
15
3222
96
Hallamos la d.d.p entre los puntos A y B, que será el potencial de Thévenin:
VIVV
RIVV
BA
i j
jiiBA
510335
463
Ahora hallaremos la resistencia equivalente de Thévenin:
El circuito equivalente de Thévenin queda de la forma:
Añadiendo la rama que teníamos en el circuito original, entre los puntos A y B:
La intensidad que atraviesa la resistencia de 1 es la misma que circula por el circuito:
AR
Ii 1
5
5
41
510
AB
4 V5
1V10
I
B A
3
2
2
2
2
B A
3
2 6
6222eqR
AB A B
2
2
4
422eqR2
36
36eqR
AB
4 V5
_____________________________________________________________________________________
Página 25 de 34
b) Para calcular la diferencia de potencial entre los puntos B y C tenemos que considerar el circuito inicial compuesto por las dos mallas: I1 I2
Resolvemos el circuito por mallas:
i j
jii
i j
jii RIRI0
MALLA 1
03646103231 2121 IIII MALLA 2
15936933222 2112 IIII Resolvemos el siguiente sistema:
1593
0918
1593
036
21
213
21
21
II
II
II
II x
Sumando las ecuaciones, obtenemos I1:
AII 11515 11
Sustituyendo en la primera ecuación, obtenemos I2:
AII 29
1809118 22
Comprobamos que I1 da el mismo resultado que en el apartado anterior, ya que en ambos casos corresponde a la intensidad que circula por la resistencia de 1 . Para calcular la d.d.p entre B y C, tenemos varios caminos posibles. Lo haremos a favor de las corrientes, es decir, pasando por los generadores de 10V y 9V:
VIIIIVV CB 1019241194910221 2121
El signo negativo nos indica que el punto C se encuentra a mayor potencial que el B.
_____________________________________________________________________________________
Página 26 de 34
2.2.9 En el circuito de la figura el condensador C, de 0.4nF de capacidad, se encuentra descargado y los interruptores S1, S2 y S3 abiertos. Si cerramos simultáneamente S2 y S3, determinar: a) La corriente que circula por la rama del condensador en el instante inicial. b) La carga que se almacena en el condensador una vez alcanzado el equilibrio. c) Cuando el condensador se encuentra cargado se abre el interruptor S2 y se cierra S1, manteniendo cerrado S3, ¿cuál es la nueva carga del condensador cuando en el circuito se alcanza el equilibrio? a) Si cerramos simultáneamente los interruptores S2 y S3 tenemos un circuito de dos mallas. En el instante inicial el condensador no está cargado y por él circula la intensidad correspondiente a la malla superior. I1
I2
Calculamos las intensidades de las dos mallas:
i j
jii
i j
jii RIRI0
MALLA 1 72121582246 2121 IIII
MALLA 2
5821015262 2112 IIII El sistema a resolver es el siguiente:
582
28848
582
7212
21
214
21
21
II
II
II
II x
_____________________________________________________________________________________
Página 27 de 34
Sumando las dos ecuaciones de la derecha:
AII21
4623
2346 11
Esta es la corriente que pasa inicialmente por el condensador, pero su signo nos indica que lo hará en el sentido contrario al considerado en la figura del circuito. b) Cuando se alcanza el equilibrio, por la rama del condensador no pasa corriente. De modo que nos queda el siguiente circuito: A B I Calculamos I:
AR
Ii
8
5
62
1015
La carga que se almacena en el condensador es:
BA
BA
VVCQVV
QC
Necesitamos la d.d.p entre A y B. Para ello recorremos el camino desde A hasta B por la derecha, pasando por los generadores de 8V y de 10V:
VIVVRIVV BA
i j
jiiBA 4
23
8
46
8
16302
8
302
8
561086
Sustituyendo:
CQ 109 1023423
1040
_____________________________________________________________________________________
Página 28 de 34
c) A I B La intensidad de corriente circula por el circuito exterior. Y su valor es:
AR
Ii
5
1
20
4
6464
1086
La d.d.p entre A y B la hallamos siguiendo el camino a favor de la I, pasando por los generadores de 8V y 15 V:
VIIVV
RIVV
BA
i j
jiiBA
9545
53510
751
1071015846
La carga almacenada en el condensador, en este caso, será:
CVVCQ BA
1010 10369104 2.2.10 En el circuito de la figura 1 determinar el valor de la resistencia R para que circule por la misma una corriente de 200mA. Una vez calculado el valor de R sustituimos la f.e.m de 4V por un condensador de capacidad C=50nF, tal como muestra la figura 2. ¿Qué corriente pasa por el condensador en el instante inicial? ¿qué carga adquiere el condensador cuando se alcanza el equilibrio en el circuito? A •
• B
_____________________________________________________________________________________
Página 29 de 34
a) Vamos a calcular el equivalente de Thévenin de la parte exterior del circuito entre los puntos A y B de la figura. A I B Ahora tenemos un circuito de una única malla. Vamos a calcular la intensidad que circula por ella:
AR
Ii
14
4
5162
48
La d.d.p entre A y B de la figura la calculamos siguiendo el sentido de la I:
VVV
IIRIVV
BA
i j
jiiBA
7
44
14
88
14
56324
14
324
14
4848462
La resistencia equivalente es:
A
B
2 5
16
A
B
86
8621eqR
6152eqR
7
24
14
48
86
86eqR
A
B
724
_____________________________________________________________________________________
Página 30 de 34
El circuito equivalente de Thévenin es:
Añadiendo la rama central tendremos el circuito completo:
La intensidad que circula por el circuito es la que pasa por R.
34124
41849
4184724209207243544
724
5744
RRRR
RR
Ii
b) Ahora el nuevo circuito es el siguiente:
3 E En el instante inicial el condensador no está cargado, por lo tanto, no pasa corriente por la rama en la que se encuentra.
A
B
V744
724
V5
R
I
A
B
V744
724
_____________________________________________________________________________________
Página 31 de 34
Calculamos el equivalente Thévenin del resto del circuito.
Es un circuito de una sola malla y la intensidad que circula por ella es:
AR
Ii
3
1
9
3
135
58
Hallamos la d.d.p entre A y B:
VIVV BA 65153
1353
La resistencia equivalente es:
El circuito equivalente es: 6V 2
615eqR2
9
18
63
63eqR
2
A
B
A
B
1
3
5A
B
3 6
I
A
B
V5V8
1
3
5
A
B
_____________________________________________________________________________________
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El circuito total queda como: 2 6V + _ I 2 6 La corriente que pasa por el condensador en el instante inicial, es la que circula por el circuito:
AR
Ii
5
3
10
6
622
6
Cuando se alcanza el equilibrio ya no circula corriente por la rama donde se encuentra el condensador. Por tanto, la d.d.p entre los bornes del condensador es:
VVC 660
Y la carga que almacena el condensador es:
CVCQ C
79 10361050
2.2.11 Sabiendo que el circuito de la figura se encuentra en equilibrio (Ii=cte), determinar: a) El equivalente de Thévenin entre los puntos C y D del circuito ABCD. b) La potencia disipada en los generadores de 2V y 4V. c) La energía almacenada en el condensador C1, si su capacidad es de 20 F.
A
B
_____________________________________________________________________________________
Página 33 de 34
a) Tenemos que calcular el equivalente de Thévenin del siguiente circuito:
I
Es un circuito formado por una sola malla. El valor de la I que circula por ésta es:
AR
Ii
3
4
9
12
12213
75
La diferencia de potencial entre los puntos C y D, lo hallamos siguiendo el sentido de al corriente:
VIVVRIVV DC
i j
jiiDC 35853
465213
Ahora calculamos la resistencia equivalente de Thévenin:
62131eqR
3
1
1
2
2 3
3212eqR6 3
3
A
B
C
DD
C
236
36eqR 2
3D
C
532eqR
C
D
5ThR
_____________________________________________________________________________________
Página 34 de 34
C
D
C
D
El circuito equivalente Thévenin es: 3V 5 3V I 5 I b) Para calcular la potencia disipada en cada fuente utilizamos el circuito anterior. Al estar en el estado de equilibrio no circula corriente por la rama donde está el condensador. La intensidad sólo circula por el exterior, según se indica en la figura. Su valor es:
AR
Ii
14
1
3155
23
La potencia que se disipa en cada fuente se calcula como: rIP 2 La intensidad que pasa por la fuente de 4V es 0, por lo que su potencia disipada es 0. La intensidad que circula por la fuente de 2V es:
WrIP 32
2 1015114
1
c) Para calcular la energía almacenada en el condensador utilizamos la expresión: 2
21
CCVU
Con VC el potencial entre las placas del condensador. Y lo hallamos por la rama de la derecha a favor de la I.
i j
jiiC VRIV1419
2149
42315141
Como da negativo significa que la placa de arriba está a menor potencial que la de abajo. Sustituyendo datos obtenemos que:
JCVU C
52
62 1084114
191020
2
1
2
1
C
D
Hoja 1 de 5
Tema 3.- CAMPO MAGNÉTICO (RESUMEN)
Campo magnético natural e imanes Existen ciertos minerales que presentan la propiedad de atraer al hierro. No se sabe cuándo fue apreciada esta propiedad por primera vez, pero si que tenemos noticias de que los griegos la conocían. El fenómeno fue estudiado por Tales de Mileto (624-546 a.c.), quien nos habla sobre la existencia de un óxido de hierro que atraía el hierro con mayor o menor intensidad, lo que dependía de la distancia que separase a ambas materias. A este mineral, que fue localizado cerca de la ciudad de Magnesia (Asia Menor), se le llamó piedra de Magnesia (magnetita) y al fenómeno se le denominó magnetismo. Más adelante se descubrió que si un fragmento de hierro se ponía en contacto con el mineral magnético (imán), quedaba magnetizado (imantado) temporalmente. También se descubrió que si se permitía a una aguja magnética girar libremente, siempre señalaría la dirección norte sur. En el 1180, el inglés Alexander Neckam fue el primer europeo que hizo referencia a la utilidad del magnetismo para señalar la dirección. Al dispositivo que contenía una aguja magnética montada sobre una tarjeta marcada con varias direcciones en torno a las cuales podía moverse libremente la aguja, se le dio el nombre de brújula. A partir del año 1200 se generaliza el uso de la brújula en Europa. En el 1269 Pierre de MariCourt descubrió mediante diversas experiencias que los materiales imantados concentraban una mayor actividad en determinados lugares (polos), generalmente en los extremos, revelando que todo imán tiene dos polos diferenciados que conocemos como norte y sur. La interacción entre polos magnéticos iguales es de repulsión y entre polos magnéticos distintos es de atracción. No existen monopolos magnéticos, no siendo posible aislar un polo N o un polo S por separado: siempre aparecen por parejas. El primer estudio sistemático del magnetismo aparece en el 1600, año en el que el médico inglés William Gilbert (1544-1603) publicó "De Magnete" ("Sobre el Magneto"), obra escrita en latín y dividida en seis libros. A Gilbert le debemos la noción (ahora sabida) de que la propiedad misteriosa de la aguja de la brújula de apuntar hacia el norte proviene del hecho de que la propia Tierra es un enorme imán, siendo reconocido como el padre fundador del estudio del geomagnetismo. A partir de los estudios de Gilbert se diseñan los primeros mapas magnéticos. Humboldt, y luego Gauss y Máscart dieron su forma clásica al magnetismo terrestre.
Por su parte, Charles de Coulomb (1736-1806) demostró, midiendo las fuerzas de atracción y repulsión de los polos de un imán, que podían aplicarse al magnetismo la mayor parte de los resultados teóricos de la electrostática. Coulomb confirmó que la fuerza magnética variaba en proporción a 1/r
2.
Hasta el año 1820, el único tipo de magnetismo conocido era el magnetismo permanente: imanes naturales (magnetita) y el del hierro magnetizado; además del hecho de que la Tierra era un enorme imán. En julio de ese año se publica la famosa experiencia de Oersted: la desviación que sufre una aguja magnética situada en las proximidades de un conductor eléctrico. A raíz de la cual, se pone de manifiesto que las interacciones eléctricas y magnética están estrechamente relacionadas y constituyen dos aspectos diferentes de una misma propiedad de la materia, su carga eléctrica. El magnetismo es una manifestación de las cargas eléctricas en movimiento con respecto al observador. Por esta razón, las interacciones eléctrica y magnética deben considerarse juntas bajo el nombre de interacción electromagnética.
• Movimiento de cargas en campos magnéticos
El campo magnético B en un punto del espacio se define en función de la fuerza magnética ejercida sobre una partícula de carga q y velocidad v en dicho punto:
BvqF
La dirección de la fuerza magnética es perpendicular al
plano definido por los vectores v y B . Como la fuerza
magnética es perpendicular al vector velocidad, su trabajo al mover la carga es cero, por lo que se mantiene constante la energía cinética de la partícula. Esto implica que el módulo del vector velocidad permanece constante cuando la partícula se mueve en el seno de un campo magnético, aunque cambia su dirección y sentido. Si la partícula se mueve en una región donde hay un campo eléctrico y un campo magnético, la fuerza total sobre la partícula se conoce como fuerza de Lorentz:
BvEqF
Hoja 2 de 5
Las características espaciales de un campo magnético pueden ilustrarse con líneas de campo magnético, que son tangentes en cada punto a la
dirección deB en ese punto. Las líneas del campo magnético nacen en el polo norte y finalizan en el polo sur siendo cerradas sobre sí mismas, debido a la no existencia de monopolos magnéticos. Si una partícula cargada se mueve con velocidad v (v<<c) en el interior de un campo magnético uniforme
siendo v perpendicular a B , y no existen otras
fuerzas, la partícula cargada describe un movimiento circular uniforme. Para una partícula de masa m, el módulo de la velocidad v y el radio r de la trayectoria están relacionados por:
Bq
vmr
La frecuencia ciclotrónica no depende de v y r:
Bm
q
r
vw
Y en forma vectorial:
Bm
qw
Si el campo magnético es uniforme pero la velocidad de la partícula no es perpendicular al campo, la partícula describirá una hélice de radio y paso constante. Si el campo magnético no es uniforme y la velocidad de la partícula no es perpendicular al campo, la partícula describirá una hélice de radio y paso variable, disminuyendo éstos conforme aumenta la intensidad del campo magnético. Espectrómetro de masas: Se utiliza para separar iones de la misma carga y diferente masa. La relación carga-masa de los iones es:
22
2
rB
V
m
q
donde V es el valor del potencial eléctrico acelerador. Determinación de la carga-masa del electrón (Thomson ): Se utiliza un tubo de rayos catódicos y un campo eléctrico E y otro magnético B perpendiculares como selector de velocidad. Solamente las partículas con velocidad:
BEv /
pasarán a través de la región de los campos sin desviarse. El ciclotrón: Es un acelerador de partículas cargadas formado por dos conductores huecos en forma de D y entre los cuales se aplica una tensión alterna de frecuencia angular la frecuencia ciclotrónica. Perpendicular a los conductores hay un campo magnético uniforme. La energía cinética máxima de las cargas aceleradas es:
m
RBqvmE
C
222
2
max
2
1
2
1
siendo R el radio del ciclotrón.
• Campos magnéticos producidos por corrientes. Ley de Biot-Savart. La experiencia de Oersted puso de manifiesto que las cargas en movimiento producen campos magnéticos en su entorno. Un conjunto de cargas en movimiento, como el que se produce en un conductor por el que circula una corriente eléctrica, origina un campo magnético que puede determinarse a partir de la ley de Biot-Savart (determinada de forma empírica):
2
0
4 r
uldIB r
0 es la permeabilidad del vacío (4 10-7
m kg C-2
). Para una corriente rectilínea e indefinida, a una distancia r del conductor, el módulo del campo vale:
r
IB
2
0
siendo las líneas de campo circunferencias concéntricas con la corriente rectilínea, situadas en un plano perpendicular a dicha corriente. El módulo del campo magnético creado por una espira circular de radio R, que transporta una corriente I, en un punto de su eje a una distancia d de su centro es:
2/322
2
0
)(2 dR
RIB
Siendo su dirección perpendicular a la espira. En ambos casos, corriente rectilínea y espira, el sentido de las líneas de campo viene determinado por la regla de la mano derecha, poniendo el dedo pulgar en el sentido de la corriente (el resto de dedos marcan el sentido del campo).
Hoja 3 de 5
Ley de Gauss para el campo magnético Se define el flujo del campo magnético a través de una superficie S como la integral de superficie del vector campo magnético extendida a toda la superficie:
SBSdB
La Ley de Gauss para el campo magnético establece que el flujo magnético a través de una superficie cerrada es nulo, de acuerdo con la inexistencia de monopolos magnéticos (las líneas de campo son cerradas sobre sí mismas, no teniendo origen ni fin):
0SCB
SdB
Ley de Ampère La ley de Ampère establece que la circulación del campo magnético a lo largo de una línea cerrada L que enlaza las corrientes I1, I2, I3, ... depende únicamente de las corrientes que atraviesan una superficie delimitada por la línea cerrada:
eIldB
0
donde Ie = I1 + I2 + I3 + ... es la corriente enlazada por la línea cerrada L. Cuando se aplica la ley de Ampère utilizamos la regla de la mano derecha para determinar el signo de la corriente. Siguiendo el sentido de la trayectoria con el pulgar, una corriente es positiva si atraviesa la superficie definida por la trayectoria en el sentido que marcan el resto de los dedos, y negativa en caso contrario. La ley de Ampère puede usarse para obtener el campo magnético producido por distribuciones de corriente con gran simetría. El campo magnético en el interior de un solenoide largo de vueltas apretadas, con n vueltas por unidad de longitud, y por el que circula una corriente I, viene dado por:
InB0
Fuerzas sobre corrientes La fuerza producida por un campo magnético uniforme sobre un trozo recto de conductor, por el que circula una corriente, viene dada por:
BlIF
En general, la fuerza magnética sobre un trozo de conductor por el que circula una corriente eléctrica es:
LBldIF
Dipolo Magnético
Si una espira por la que circula una corriente se encuentra en el seno de un campo magnético uniforme, el momento de las fuerzas que ejerce el campo sobre el circuito es:
BSI
donde S es el vector del área plana encerrada por la
espira. Su dirección es perpendicular al plano de la espira y su sentido viene determinado por la regla de la mano derecha. Una espira por la que circula corriente equivale a un imán con sus polos norte y sur contenidos en el área plana encerrada por la espira (cada uno en una de sus caras). Esta configuración constituye un dipolo magnético, cuyo momento dipolar magnético viene dado por:
SIm
De esta forma, el momento de las fuerzas sobre un
dipolo magnético inmerso en un campo B puede expresarse:
Bm
Dicho dipolo tiene una energía potencial: BmEP
Fuerzas entre corrientes El módulo de la fuerza por unidad de longitud que ejercen entre sí dos conductores rectilíneos indefinidos, paralelos y separados una distancia d, por los que circulan corrientes de intensidades I1 e I2 viene dada por:
d
II
l
Ff
2
210
Las fuerzas son atractivas si las corrientes circulan ambas en el mismo sentido, y repulsivas si una circula en sentido contrario a la otra. El amperio, unidad de corriente eléctrica, se define en función de la fuerza por unidad de longitud entre los conductores.
Hoja 4 de 5
Efecto Hall El efecto Hall nos permite determinar el signo y la concentración de portadores en elementos por los que circula una corriente eléctrica (conductores y semiconductores). Aplicando un campo magnético B en dirección perpendicular a una corriente eléctrica I que circula por una cinta de espesor a y altura d, sobre los portadores de carga aparece una fuerza magnética que los desplaza en dirección perpendicular al plano formado por el campo magnético y la corriente. La separación de cargas origina un campo eléctrico (campo Hall EH) y entre la parte superior e inferior de la cinta (paralelas a la dirección de B) se establece una diferencia de potencial, potencial Hall:
dBvdEVaHH
.
Midiendo el potencial Hall podemos conocer el signo de los portadores y determinar su concentración n, a partir de la expresión:
a
BIRVHH
donde RH es la constante Hall, que para un conductor vale:
enRH
1
siendo e la carga del electrón en valor absoluto y n la concentración de portadores en el material. Gracias al efecto Hall se puso de manifiesto que las cargas móviles en los conductores son electrones.
Magnetismo en la materia Los electrones que están en órbita en los átomos pueden tratarse como pequeños dipolos magnéticos que tienen un momento magnético asociado con sus momentos angular y de spin. Según un modelo simple, un electrón que se mueve en una órbita alrededor de un núcleo tiene un momento magnético
Lm proporcional a su momento
angular L , dado por:
Lm
em
e
L
2
y también presenta una contribución
Sm al momento
magnético total m debida al momento angular de
spin S , dada por:
Sm
em
e
S
donde e y me son la carga y la masa del electrón, respectivamente. El momento total de un átomo o molécula m se
obtiene sumando vectorialmente la contribución de cada uno de sus electrones.
La magnetización M describe el estado magnético de un material, y es una magnitud vectorial definida como el momento dipolar magnético por unidad de volumen:
dV
mdM
La magnetización tiene dimensiones de corriente por unidad de longitud y en el S.I. se mide en A/m. Si el material está uniformemente imantado la magnetización puede expresarse como:
mnM
siendo n el número de átomos o moléculas por unidad de volumen. Si disponemos de un solenoide con un medio material en su interior, el campo magnético B en el solenoide depende de la corriente que circula por las espiras y de la magnetización que alcance la sustancia. Definimos el vector intensidad magnética o campo magnetizante como:
MB
H0
[A/m]
De esta forma, B en el interior del material es:
)(0
MHB
En un medio lineal, con permeabilidad magnética esta relación puede expresarse como:
HB
Si en el interior del solenoide no existe ningún medio
material, M =0 y B = 0 H. Y como B = 0 n I en el interior del solenoide, resulta que:
H = n I
Es decir que H sólo depende de la corriente que circula por el solenoide y es independiente del medio material que existe en su interior.
Hoja 5 de 5
Las sustancias pueden agruparse en varios tipos dependiendo de si sus átomos o moléculas presentan individualmente un momento dipolar
magnético cero ( 0m ) o distinto de cero ( 0m ). En este último caso además hay que diferenciar por la forma en la que se orientan estos dipolos magnéticos. Finalmente también se ha de tener en cuenta las características de la magnetización que adquiere la sustancia cuando sobre ella actúa un campo magnético externo. Seguidamente describimos las principales características de los diferentes tipos de materiales. Los átomos o moléculas de las sustancias diamagnéticas presentan un momento dipolar individual igual a cero. Lógicamente la magnetización del material, en ausencia de un campo magnético externo, es también cero. Al aplicar un campo magnético externo Bext, se induce un momento dipolar en sus átomos o moléculas, opuesto al sentido del campo externo, de forma que la sustancia presenta una pequeña magnetización:
extBM
Al retirar Bext desaparece M. En los materiales
diamagnéticos < 0. Un material superconductor es una sustancia diamagnética perfecta. En las sustancias paramagnéticas sus átomos o moléculas tienen uno o más electrones desapareados, por lo que presentan un momento dipolar individual distinto de cero. No obstante, su orientación al azar determina que la magnetización del material en ausencia de un campo magnético sea nula. Al aplicar Bext, los dipolos magnéticos individuales se orientan en el sentido del campo externo para alcanzar la energía mínima. En este
caso, los vectores M y B son paralelos siendo
ahora > 0. Ambos vectores están relacionados por la ley de Curie:
T
BCM
o
ext
válida mientras el material no se encuentre a baja temperatura T y Bext no sea excesivamente intenso. Al retirar Bext desaparece M. Los átomos o moléculas de las sustancias ferromagnéticas también presentan 0m , pero no
se orientan al azar, sino que se alinean en el mismo sentido por zonas (dominios magnéticos). Cuando
los dominios magnéticos son orientados en una dirección preferente, mediante la aplicación de Bext, la muestra adquiere una intensa magnetización. La magnetización persiste una vez retirado el campo externo. El campo remanente en el material puede desaparecer en poco tiempo (materiales ferromagnéticos blandos) o perdurar durante tiempo indefinido (materiales ferromagnéticos duros), dando lugar a imanes permanentes. En un material ferromagnético la magnetización no es proporcional al Bex aplicado: no presentan un comportamiento lineal. El valor del campo magnético en una sustancia ferromagnética en un momento determinado depende del tratamiento previo al que ha sido sometido, siendo gobernado por su ciclo de histéresis (curva de imanación cerrada), característica de cada sustancia. En las sustancias antiferromagnéticas 0m , pero
estos se orientan en sentidos opuestos entre cada dos átomos o moléculas contiguos/as, de forma que su magnetización total es nula. Finalmente, las sustancias ferrimagnéticas también presentan 0m , orientándose, como en el caso
anterior, en sentidos antiparalelos entre cada dos átomos o moléculas contiguos/as. Sin embargo, estas sustancias presentan la particularidad de que los momentos que están orientados en uno de los sentidos presentan mayor módulo que aquellos que lo están en sentido contrario. La sustancia presenta por tanto una cierta imanación, menor que en los materiales ferromagnéticos. Estos materiales, también conocidos como ferritas son los únicos imanes naturales. Las ferritas son aislantes eléctricos, utilizándose como núcleos en transformadores de alta frecuencia, en cabezas de lectura/escritura en discos magnéticos, etc. (no se inducen corrientes de Fucault).
Grabación en soportes magnéticos Los materiales ferromagnéticos duros se utilizan como soporte para almacenar información binaria. Basta generar un campo magnético en las proximidades del material para orientar sus dominios magnéticos en un sentido o el contrario, almacenando así ceros y unos lógicos. Este proceso puede realizarse fácilmente mediante un solenoide, en el que se hacen circular corrientes en un sentido o sentido contrario (cabeza de escritura).
_____________________________________________________________________________________
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RESOLUCIONES
3.1. Un protón se mueve con una velocidad de 61044 m/s en un campo magnético uniforme de 18mT formando un ángulo de 62° con la dirección del campo. Determinar: a) La fuerza magnética que actúa sobre el protón. b) Si ésta es la única fuerza que actúa sobre el protón, ¿cuál será su aceleración? c) ¿Con qué rapidez cambia la energía cinética del protón? RESOLUCIÓN: La fuerza que actúa sobre una partícula cargada en movimiento, en el interior de un campo magnético es:
qvBsenFBvqF
Datos: Ceqprotón
191061 y Kgmprotón
2710671
a) NsenqvBsenF o 143619 1012162101810441061
La dirección de esta fuerza, será perpendicular al plano formado por los vectores v y B y sentido hacia dentro del papel.
b) Utilizando la segunda ley de Newton, amF , podemos despejar la aceleración, cuya dirección y sentido serán los mismos que los de la fuerza.
212
27
14
10761067110121
sm
m
Fa
c) Como el trabajo de la fuerza magnética es nulo, al ser v F , la energía cinética permanece constante.
q
v
B
_____________________________________________________________________________________
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3.2. Se lanza un electrón (carga 191061 C) en un campo magnético uniforme con una velocidad de 71051 m/s a lo largo del eje OX, encontrándose que no actúa ninguna fuerza sobre la carga. Cuando la carga se mueve a la misma velocidad, pero en la dirección positiva del eje OY, la fuerza ejercida sobre la carga es de 131023 N, estando dirigida dicha fuerza en el sentido positivo del eje OZ. Determinar el vector campo magnético, B , en módulo, dirección y sentido. RESOLUCIÓN:
qvBsenFBveBvqF
-Eje X: vF 0 || B Como son paralelos, significa que el campo tiene la misma dirección y sentido que la velocidad, o sea el eje X. -Eje Y: NF 31023
De la figura se deduce que el campo magnético, tiene el sentido de las X positivas, ya
que el producto Bv , tiene el sentido de las Z negativas. El módulo del campo es:
q
v
B
v
BveF
eq
X
Y
Z
Bv
B
(dirección y sentido)
_____________________________________________________________________________________
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TiBTqv
FBqvBF 13301330
10511061
1023719
13
3.3. Protones, deuterones (núcleos de hidrógeno) y partículas alfa (núcleos de helio), de la misma energía cinética, entran en un campo magnético uniforme B, que es perpendicular a sus velocidades. Sean rp, rd y r los radios de las órbitas circulares. Hallar los cocientes rd/rp y r /rp teniendo en cuenta que m = 2md = 4mp. RESOLUCIÓN:
qvBFBvqFBv
Si el campo es uniforme (B=cte), la partícula describe un movimiento circular uniforme de radio:
Bq
vmr
Si particularizamos para cada partícula:
Bq
vmr
p
pp
p Bq
vmr
d
d
d Bq
vmr
2
Como tienen la misma energía cinética Ec:
21
41
4
22
21
2
21
21
21 222
p
pp
p
p
p
d
p
p
d
ddppcdcpc
m
m
m
m
v
v
m
m
m
m
v
v
vmvmvmEEE
Haciendo uso de las expresiones de los radios descritos por cada partícula, y con los cocientes entre las velocidades recién calculados, obtenemos:
121
2
4
2
2222
p
p
ppp
p
p
pp
dd
p
d
m
m
vm
vm
r
r
m
m
vm
vm
r
r
3.4. Un electrón de energía cinética 25keV se mueve en una órbita circular en el interior de un campo magnético de 2000G. Hallar el radio de la órbita circular, la frecuencia y el período del movimiento. RESOLUCIÓN: En primer lugar, pasamos las unidades del campo magnético y de la energía al S.I:
_____________________________________________________________________________________
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TG 4101 TGB 202000
JKeVEJeV c
1519319 104106110252510611
Para obtener el radio de la órbita, necesitamos la velocidad de la partícula:
sm
m
EvmvE c
c
731
152 10389
101910422
21
siendo m la masa del electrón: Kgm 311019 El radio de la órbita será:
mmmBq
vmr 7200270
201061
10389101919
731
De la expresión del radio de la órbita, podemos obtener la frecuencia ciclotrónica:
sradB
m
q
r
vrv 10
31
19
105232010191061
Por último el período será:
sT 1010
1079110523
22
3.5. Un haz de electrones se lanza entre las armaduras de un condensador en una dirección paralela a éstas. En la región existe un campo magnético uniforme de 0.1 T, perpendicular al campo eléctrico que crea el condensador en su interior. La separación entre las armaduras del condensador es de 1cm y la diferencia de potencial de 1000V. Sabiendo que la velocidad de los electrones que no se desvían de su trayectoria es de
6102 m/s, determinar la orientación entre el campo magnético y el haz de electrones. RESOLUCIÓN:
Según el sistema de referencia tomado:
kEeEqFkEE
E
X
Y
Z
_____________________________________________________________________________________
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Los signos de la carga del electrón y del campo se anulan, de modo que la fuerza eléctrica tendrá el sentido de las Z positivas. Para que los electrones no se desvíen de su trayectoria, ha de cumplirse que:
em
mm
emme
FF
kFFFFFF 0
O sea que el sentido de la fuerza del campo magnético, será el contrario a la del campo eléctrico, es decir, el de las Z negativas, y los módulos de dichas fuerzas han de ser iguales.
BvqFm , donde q<0, lo cual implica que el producto de ( Bv ), tendrá sentido
contrario, o sea, hacia las Z positivas. Esto sólo es posible si el vector velocidad, se encuentra en el plano XY, y formando un ángulo con el campo magnético, del modo en que se indica en la figura. Calculamos el valor de , igualando los módulos de las dos fuerzas:
3050Bdv
Vsen
d
VesenBve
d
VeF
senBveF
e
m
3.6. El campo magnético en un ciclotrón que acelera protones es B = 1.5T: a) ¿Cuántas veces por segundo se debe invertir el potencial entre las des? b) Si el radio máximo del ciclotrón es 0.35m, ¿cuál es la velocidad máxima del protón, vmax ? c) ¿A través de qué diferencia de potencial se tendrá que acelerar el protón para imprimirse la vmax que proporciona el ciclotrón? RESOLUCIÓN: a) Frecuencia ciclotrónica:
s
radBm
q 827
19
10437151106711061
X
Z
eF
mF
X
Y Y
Z
B
v
Bv
_____________________________________________________________________________________
Página 13 de 45
Frecuencia:
Hz71028722
Nº de inversiones:
71057442
b) s
mRv 78maxmax 10035104371350
c) Igualando la energía cinética y la potencial:
Vq
mvVqVmv 6
19
2727max
22 10231
106121003510671
221
3.7. Un ciclotrón acelera deuterones. Si su campo magnético es de 4T, calcular: a) La velocidad angular de la partícula. b) La velocidad de salida si el radio del ciclotrón es 0.4m. c) El potencial necesario para acelerar mediante un campo eléctrico la partícula a la misma velocidad. RESOLUCIÓN: a) Para el deuterón:
Ceq 191061 y Kgm 27103483 La velocidad angular es la frecuencia ciclotrónica:
sradB
m
q 727
19
101914103483
1061
b) La velocidad de salida depende del radio máximo.
smRv 77
maxmax 106574010191
c) Igualando energía cinética y potencial, podemos hallar el potencial necesario para que la partícula adquiera la misma velocidad:
Vq
mvVqVmvEE pc
619
2727max
22 102316
10612
10657103483
22
1
_____________________________________________________________________________________
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3.8. Un espectrómetro de masas tiene un voltaje acelerador de 5kV y un campo magnético de 210 T. Encontrar la distancia entre los dos isótopos Zn68 y Zn70 del zinc. Por distancia entendemos la separación de las dos manchas que aparecen en la emulsión de la placa fotográfica después de que los iones de Zn68 y Zn70 con carga +e son acelerados primero y luego obligados a describir una semicircunferencia en la región donde existe el campo magnético. RESOLUCIÓN: En el espectrómetro de masas los iones que proceden de una fuente son acelerados por una diferencia de potencial V y entran en un campo magnético uniforme. Si los iones parten del reposo y se mueven a través de una diferencia de potencial V, entonces su energía cinética cuando entran en le campo magnético, es igual a la pérdida de energía potencial. De esta igualdad obtenemos la velocidad con que la partícula entra en el campo magnético:
m
qVv
m
qVvqVmv
22
2
1 22
La velocidad para cada uno de los iones será:
22
11
22
m
qVv
m
qVv
Una vez dentro del campo magnético, los iones se mueven describiendo una semicircunferencia de radio r, que para cada ión será distinto:
Bq
vmr
Bq
vmr 22
211
1
Sustituyendo las expresiones de las velocidades en los radios, tenemos:
22
221
1
22Bq
Vmr
Bq
Vmr
La masa de cada isótopo es el número de nucleones por la u.m.a 2710661..1 amu :
Kgmm
Kgmm
27702
27681
1066170
1066168
_____________________________________________________________________________________
Página 15 de 45
La distancia es la separación de las dos manchas que aparecen en la emulsión de la placa fotográfica, como indica la figura:
cmmmq
V
BBq
Vm
Bq
Vmrrr 554224550
2222
2222 212
22
121
3.9. En el espectrómetro de masas de la figura, los iones acelerados por una diferencia de potencial V entre S y A entran en el campo magnético B que cubre un sector de 60° y son enviados a una emulsión fotográfica. Demostrar que:
2232
DB
V
m
q
Estudiar los cambios de posición de C para pequeñas desviaciones de la dirección de incidencia.
RESOLUCIÓN:
En el espectrómetro de masas los iones que proceden de una fuente son acelerados por una diferencia de potencial V y entran en un campo magnético uniforme. Si los iones parten del reposo y se mueven a través de una diferencia de potencial V, entonces su energía cinética cuando entran en le campo magnético, es igual a la pérdida de energía potencial. De esta igualdad obtenemos la velocidad con que la partícula entra en el campo magnético:
v
r 12r
22r
30º 60º 60°
30º
r r 60º
_____________________________________________________________________________________
Página 16 de 45
m
qVvqVmv
2
2
1 22
Una vez dentro del campo magnético, los iones se mueven describiendo una semicircunferencia de radio r. A partir de su expresión, obtenemos la de la velocidad:
2
2222
m
Bqrv
m
Bqrv
Bq
vmr
Igualando ambas expresiones de la velocidad al cuadrado, podemos obtener la relación q/m:
222
222 22Br
V
m
q
m
Bqr
m
qV
Para calcular el radio de la órbita utilizamos la relación trigonométrica:
42º30
2º30
DDsenr
D
rsen
Sustituyendo este valor del radio en la relación anterior:
222
2
32
4
2BD
V
BD
V
m
q
3.10. J. J. Thomson estableció la naturaleza de los rayos catódicos (rayos que salen del cátodo de un tubo similar al del televisor) midiendo su relación carga-masa, q/m, de los electrones. En la figura se observa que cuando tenemos un campo eléctrico E , pero no un campo magnético, entre dos placas deflectoras, el haz de electrones se desvía una distancia y en la pantalla de detección. a) Demostrar que esta desviación viene dada por la ecuación:
2
2
2
LLD
vm
Eqy
donde v es la velocidad de los electrones que entran entre las placas y q = +e. Thomson aplicó después un campo magnético, ajustando su valor hasta que el haz no se desviase.
r
2D
º30º60
AO
_____________________________________________________________________________________
Página 17 de 45
b) Demostrar que la relación carga-masa viene dada en función de magnitudes medibles por la ecuación:
2
22 L
LDB
Ey
m
q
a) El campo eléctrico entre las placas es perpendicular a la velocidad de los electrones. Este campo los acelera verticalmente durante el corto tiempo que permanecen entre las placas, realizando una trayectoria parabólica. Los electrones se desvían una cierta cantidad yL, del lugar donde caerían si no existiese un campo eléctrico.
Consideramos la zona entre las placas:
Eje x: 00
00v
L
v
xttvxctevvx
Eje y: 2
2tE
m
qytE
m
qvE
m
qaamEqamF yyyyE
Llevando la expresión obtenida para t a la y:
20
2
2 v
LE
m
qy
Para obtener velocidad inicial de los electrones al entrar en la zona de las placas, en función de la distancia D, utilizamos el ángulo :
200
0
vm
LEq
v
vm
LEq
v
vtg
x
y
L
L
A
0v
y
tgD
Lv
L D
Ly
_____________________________________________________________________________________
Página 18 de 45
Observando el dibujo, vemos que la distancia y que deseamos es:
22
2
20
20
2
20
LDL
vm
Eq
vm
LEq
vm
LEqDytgDy L
b) Cuando aplicamos el campo B y el haz no se desvía:
B
EvBvqEqFFFF meme 0
De la ecuación:
2
2 2
22
20 L
DLE
vy
m
qLDL
vm
Eqy
Y sustituyendo B
Ev :
22
22
2
2
2
LDLB
Ey
m
q
LDLE
B
Ey
m
q
q
eF
mF
v
_____________________________________________________________________________________
Página 19 de 45
3.11. Utilizando la Ley de Ampère calcular el campo magnético en el centro de un solenoide muy largo que tiene n espiras por unidad de longitud. RESOLUCIÓN:
Aplicando la ley de Ampère:
t
L
IldB 0
Elegimos como camino L, el rectángulo SPQR: S
R
R
Q
Q
P
P
S
ldBldBldBldBldB
Por simetría el campo magnético es paralelo al eje del solenoide y uniforme:
S
R
Q
P
R
Q
P
S
BldB
xBldB
dlBldBldB
00
0
0
Luego:
xBldB
Para un solenoide de n vueltas por unidad de longitud, el número de vueltas enlazadas por el camino cerrado SPQR es:
xInIt
Sustituyendo en el resultado de aplicar la ley de Ampère:
B I
XS
R
PQ
_____________________________________________________________________________________
Página 20 de 45
InBxInxBldB 00
3.12. Un cable largo coaxial está formado por dos conductores cilíndricos concéntricos, con radio a, el primero, y el segundo con radio interior b y exterior c. Hay corrientes iguales y opuestas de valor I en los conductores. Obtener el campo magnético: a) en el interior del primer conductor b) entre el primero y el segundo conductor c) en el segundo conductor d) en el exterior RESOLUCIÓN: a)
Del Teorema de Ampère:
i
i
L
IldB 0
tomando el lazo L de radio r, en el interior del conductor de radio a (elipse punteada)
IdlB 0
donde: rr
a a
rIrdr
a
Ids
S
IdsJI
02
2
20
2
J es la densidad de corriente, y es constante en toda la superficie de 0 a r. Llevando esta corriente a la expresión de Ampère e integrando a todo L:
20
2
2
0 22
a
IrarB
a
rIrB
b)
ab
c
II
ab
c
II
_____________________________________________________________________________________
Página 21 de 45
tomando el lazo L de radio a<r<b, (elipse punteada) y teniendo en cuenta que toda la corriente pasa por dentro del lazo:
r
IBIrBIdlB
22 0
00
c) Para b<r<c:
22
0
bc
I
SS
IJ
dsJI
IIdlB
bc
L
Sustituyendo J en la integral:
2222
22
2222 22
22 br
bc
Ibr
bc
Irdr
bc
II
r
b
Por tanto:
22
220
22
22
022
22
00
2
12
bc
rc
r
IB
bc
rcI
bc
brIIIrB
d) En la zona más externa, r > c:
02 0 BIIrB
ab
c
II
_____________________________________________________________________________________
Página 22 de 45
3.13. Un conductor largo, en forma de cilindro recto de radio R, lleva una intensidad de corriente I0. Este conductor se ha construido de tal forma que la densidad de corriente J
dentro de él varía con la distancia r al eje del cilindro según la expresión:
3
0
2
3
R
rIrJ
Determinar el campo magnético: a) en puntos interiores (r < R) del cilindro conductor b) en puntos exteriores (r > R) del cilindro conductor RESOLUCIÓN:
Rr
RrR
rI
rJ
0
223
30
Calculamos primero el campo magnético en puntos interiores del conductor. Para ello aplicamos la ley de Ampère sobre una circunferencia de radio r, con r < R, y con centro en el eje del conductor:
netaIldB 0
Para calcular la intensidad de corriente neta que atraviesa la sección circular de radio r, tenemos en cuenta la relación: dSJdI donde rdrdSrS 22
3
3
0
0
230
030
32
2
3
R
rIdrr
R
Irdr
R
rIdSJI
rr
neta
Llevando este resultado a la ley de Ampère:
3
2
00
3
3
00 22
R
rIB
R
rIrB para r < R
Para puntos exteriores al conductor, r>R, consideramos una trayectoria circular de radio r. En este caso la intensidad de la corriente neta que atraviesa la superficie delimitada por dicha circunferencia es la intensidad de corriente total que transporta el conductor:
r
IBIrB
22 00
00 para r > R
Puede comprobarse cómo para r=R, ambas expresiones del campo magnético, conducen al mismo resultado:
R
IRrB
200
_____________________________________________________________________________________
Página 23 de 45
3.14. Determinar el flujo magnético que atraviesa la espira triangular de la figura, en la que los catetos tienen una longitud a y el vértice más próximo dista b de un conductor rectilíneo e indefinido por el que circula una intensidad de corriente I. RESOLUCIÓN:
Sabemos que el flujo del campo magnético a través de una superficie S, viene dado por la ecuación:
S
B dSB
Consideremos un elemento de superficie dS, de anchura dx y altura y:
El flujo que atraviesa ese elemento diferencial de superficie es:
a
BB dxyBdxyBdSBdSBd0
El campo magnético creado por el conductor rectilíneo es:
xb
I
r
IB
2200
De donde:
dxxb
yIa
B
0
0
2
a
b
I
B
y
xdx
r
y
x
a
a
b
I
_____________________________________________________________________________________
Página 24 de 45
Como y depende de x, no puede salir de la integral. Mirando la figura observamos que la relación entre ellas es y=x, que llevándolo a la integral, queda:
dxxb
xIa
B
0
0
2
Para calcular la integral consideramos:
xb
b
xb
bbx
xb
x1
b
abba
Ibab
IbIa
xbbI
aI
xb
bIdx
Idx
xb
xI aaaa
B
ln2
lnln22
ln22222
000
000
0
0
0
0
0
0
3.15. Determinar el flujo magnético a través de la sección circular de un solenoide infinito de radio R = 7.5mm, con n = 2000 espiras por m y por el que pasa una corriente I =0.32A. RESOLUCIÓN:
El campo magnético en el interior del solenoide infinito es:
nIB 0
En la sección circular del solenoide todos los elementos de área dS son paralelos al eje
y paralelos a B :
Por lo que se cumple:
dSBdSB Además el campo es uniforme en el interior del solenoide:
S SS
B RBSBdSBdSBdSB 2
de donde:
B
dS B
_____________________________________________________________________________________
Página 25 de 45
WbRnIRBB
723720
2 104110573202000104 ldB
3.16. Determinar el flujo magnético a través del circuito rectangular de la figura cuando por el conductor rectilíneo fluye una corriente de intensidad I.
RESOLUCIÓN: El flujo del campo magnético es:
S
B dSB
Siendo drcdS y r
IB
20
B y dS son paralelos y tienen el mismo sentido y r variará de a hasta b
S
b
aSS
Ba
bIc
r
drIcdrc
r
IdSBdSB ln
222000
r
c
B
dS
dr
I
_____________________________________________________________________________________
Página 26 de 45
3.17. El campo B en una cierta región del espacio es de 2T y su dirección la del eje Y en el sentido positivo. a) ¿Cuál es el flujo a través de la superficie definida por abcd de la figura? b) ¿Cuál es el flujo a través de la superficie definida por befc de la figura? c) ¿Cuál es el flujo a través de la superficie definida por aefd de la figura?
RESOLUCIÓN: a) El ángulo que forman los vectores es:
WbSBSBabcd 24040302180cos
b) En este caso el ángulo será:
090cosSBSBbefc
c) Para la superficie aefd tenemos:
BS
180
y
B=2T
a
b
d
e
fc
30cm
40cm 20cm
cm50
X
Y
Z
B
S 90
y
x
x
B30
40
S
_____________________________________________________________________________________
Página 27 de 45
WbSBSB
arctg
aefd 2408763cos30502cos
876340
30
3.18. Determínese el par necesario para mantener en equilibrio una bobina formada por 100 espiras de área 25cm y por la que circula una corriente de 10A cuando se sitúa con su eje perpendicular a un campo magnético de intensidad 0.3T. RESOLUCIÓN:
Según el dibujo:
kSINSINm
jBB
El par que actúa sobre la bobina será:
mNiisenBSINBm 15090 El par necesario para mantener en equilibrio la bobina es:
mNi1500
I S
x
z
y
m
B
_____________________________________________________________________________________
Página 28 de 45
3.19. Un alambre doblado como se muestra la figura, lleva una corriente I y está colocado en un campo magnético uniforme B que sale del plano de la figura. Calcúlese la fuerza que actúa sobre el alambre.
RESOLUCIÓN: La fuerza magnética sobre un conductor rectilíneo es:
BLIF
En nuestro caso, kBB y tanto L1 (primer tamo rectilíneo) como L3 (segundo tramo
rectilíneo) tienen como vector, iLL .
Las fuerzas 1F y 3F que actúan sobre estos tramos rectos de longitud L, vendrán dados por:
jILBkBiLIBLIFF 31
Para determinar la fuerza 2F que actúa sobre el tramo semicircular, consideraremos
dicho tramo descompuesto en elementos de longitud dl , de tal manera que la fuerza que el campo magnético ejerce sobre cada uno de estos elementos será:
BdlIFd
Para la componente x (horizontal), tenemos:
R
d
dl dRdl
dlxdF
ydF Fd
cosdFdFx
sendFdFy
_____________________________________________________________________________________
Página 29 de 45
00coscos0
00
sensenBRIsenBRIdBRIBdlIFx
Este resultado era de esperar debido a la simetría. Para la componente y (vertical), tenemos:
BRIBRIBRIdsenBRIBsendlIFy 20coscoscos0
00
por tanto :
jIRBF 22 luego la fuerza neta será:
jRLIBjIRBjILBjILBFFFF 22321 3.20. La figura muestra una de las espiras rectangulares de 10cm por 5cm, de una bobina de 20 espiras. Lleva una corriente de 0.1A y tiene goznes en un lado. ¿Qué momento obra sobre la espira, en módulo dirección y sentido, si está montada con su plano formando 30° con respecto a la dirección de un campo uniforme de 0.5 T?
RESOLUCIÓN: La fuerza ejercida por un campo magnético sobre un circuito eléctrico, da lugar también a un torque magnético.
El momento del par de fuerzas que actúa sobre la espira es, Bm , donde m es el momento bipolar magnético de la espira.
_____________________________________________________________________________________
Página 30 de 45
momento dipolar magnético de una bobina es:
nNISSNIm con N el número de espiras y S la sección de la espira, cuyo valor es:
2005005010 mS
Sustituyendo valores
23 3105
2
1
2
30050102060cos6000501020
mAjim
jijsenim
Por tanto el momento del par de fuerzas es:
mNk
kji
Bm 333 10334
0500
01053105
3.21. La figura muestra un cable largo que lleva una corriente AI 301 . La espira
rectangular lleva una corriente AI 202 . Calcular la fuerza resultante que actúa sobre la espira, siendo a=1cm, b = 8cm y c = 30cm.
RESOLUCIÓN:
030
60
m
x
y
1I
2I
a
b
c1l
2l
3l
4l
x
y
z
_____________________________________________________________________________________
Página 31 de 45
El campo magnético que crea el cable es del tipo solenoidal.
Y la fuerza que actúa sobre un tramo recto de conductor es:
BlIF 2
Para el tramo 1: ia
lIIFk
a
IB
22210
110
Para el tramo 3: ib
lIIFk
b
IB
22210
310
Para los tramos 2 y 4, las fuerzas se cancelan.
Niiba
cIIFFF 3210
21 1017311
2
La fuerza resultante sobre la espira, hará que ésta se acerque al cable. 3.22. El coeficiente Hall del cobre es )(106 1111 TAmVRH : a) Estimar la densidad de portadores de carga (electrones) del cobre b) Si la densidad de masa del cobre es 331098 mKg y la masa de un átomo de
cobre es Kg2510061 , ¿con cuántos electrones libres contribuye cada átomo en promedio?
c) ¿Qué fracción del total de los 29 electrones de un átomo de cobre se encuentran libres?
RESOLUCIÓN: a) Coeficiente Hall:
329
191110041
1061106
111m
portadores
qRn
nqR
H
H
b) Utilizando los datos que tenemos:
átomoportadores
átomo
Kg
Kg
m
m
portadores241
100611098
11
10041 25
3
3
3
29
1I
BR
IB
210
_____________________________________________________________________________________
Página 32 de 45
c) 3410029241
% libres
3.23. La figura muestra un cilindro de madera de 0.25kg de masa, radio R y una longitud de 0.1m con 10 vueltas de alambre enrollado entorno a él longitudinalmente, de manera que el plano de la espira contiene al eje del cilindro. Calcular cuál es la mínima corriente que debe pasar por la espira, para impedir que el cilindro ruede por un plano inclinado con la horizontal, en presencia de un campo magnético vertical de 0.5T, si el plano de las espiras es paralelo al plano inclinado.
RESOLUCIÓN: Debido a la fuerza del peso, aparece un par que hace girar al rodillo hacia abajo. Y su sentido irá hacia el interior del papel:
B
mg
gF
R gF
_____________________________________________________________________________________
Página 33 de 45
gg FR
siendo R y gF perpendiculares y el módulo de Fg, senmgFg , el módulo del par
será: senmgRFR gg
Para obtener el equilibrio se necesita un torque de igual módulo y sentido contrario a éste.
Para ello la I ha de ir en sentido contrario a las agujas del reloj, de este modo el momento dipolar magnético será el representado en la siguiente figura:
Y el torque será:
BsenSINsenBmBm mm
donde S es la superficie de la espira: lRS 2 Igualando los módulos:
BlINmgBsenlRINmgsenR 22 Despejando la I:
mB
mg
R
I
I
g
m
_____________________________________________________________________________________
Página 34 de 45
ANlB
mgI 452
5010102
89250
2
3.24. Calcular el campo magnético creado por un conductor rectilíneo filiforme de longitud L por el que circula una corriente de intensidad I. ¿Cuál sería el valor del campo si el conductor fuera infinito? RESOLUCIÓN:
Resulta evidente que el campo dB creado por el elemento dlI , es perpendicular al plano de la figura y dirigido hacia dentro. Su expresión es la de la Ley de Biot-Savart:
20
30
44 r
udlIdB
r
rdlIdB r
Su módulo será:
cos
cos
cos4
cos44
2
20
20
20
ar
dadltgal
r
dlIB
r
dlIdB
r
sendlIdB
Sustituyendo el diferencial y la r:
dl
lr
ru
PaB
_____________________________________________________________________________________
Página 35 de 45
da
I
a
da
IB cos
4cos
coscos
40
2
2
20
Si el alambre es finito:
210
120
0
000
4
4coscos
4cos
4
1
2
1
2
sensena
IB
sensena
Idd
a
Id
a
IB
Si es infinito:
a
I
a
Isensen
a
IB
211
2224
22
000
21
Las líneas de campo son circunferencias con centro en la corriente y perpendiculares a la misma.
PI
1
2
0
0
2
1
_____________________________________________________________________________________
Página 36 de 45
3.25. El alambre de la figura lleva una corriente I. Calcular el campo magnético en el centro del semicírculo producido por: a) cada segmento recto de longitud l b) el segmento circular c) todo el alambre.
RESOLUCIÓN: a) El campo magnético en P creado por cada segmento de longitud L, lo calculamos por la Ley de Biot-Savart:
20
4 r
udlIdB r
I
B
L L
R
P
dl
IP
ru
_____________________________________________________________________________________
Página 37 de 45
Como dl y ru son paralelos, 0dB , los segmentos rectilíneos no crean ningún campo magnético en P. b)
20
4 R
udlIdB r con rudl y B hacia dentro
20
4 R
dlIdB
Necesitamos hacer un cambio de variable:
R
I
R
IdB
R
Id
R
IRddB
44440
0
002
0
3.26. Calcular el campo magnético creado por un solenoide de radio a y n espiras por unidad de longitud, en puntos de su eje sabiendo que transporta una corriente de intensidad I. RESOLUCIÓN:
I
dl
ru
R
P
ddl
R Rddl
_____________________________________________________________________________________
Página 38 de 45
El campo que crea una espira circular de radio a en un punto cualquiera de su eje que dista una distancia x de su centro, viene dada por:
23
22
20
2 xa
aIBespira
Consideremos una sección del solenoide tal y como se esquematiza en la figura:
Puesto que en un elemento del solenoide de longitud dx hay ndx espiras, siendo n el número de espiras por unidad de longitud, el campo creado por ese elemento dx en el punto P será:
dxnxa
aIdxnBdB espira
23
22
20
2
Hacemos el siguiente cambio de variable:
dsen
adx
tg
ax 2
dsen
an
tg
aa
aIdB
22
3
2
22
20
2
Teniendo en cuenta que:
22
cos1
1 tg
ndsenIndsen
senId
sen
an
sena
aI
dsen
an
sena
aId
sen
an
tg
tga
tgaIdB
2212
coscos
1212
02
30
22
3
23
20
22
3
2
2
23
20
22
3
2
23
320
Para obtener el campo resultante integramos de un extremo del solenoide hasta el otro:
P a
x dx
1
2
_____________________________________________________________________________________
Página 39 de 45
1200 coscos22
2
1
nIdsennIB
Y si la longitud del solenoide es L y el número total de espiras N, se tiene:
L
Nn
De donde:
120 coscos2L
NIB
Para un solenoide infinito (muy largo), tenemos para puntos cerca del centro del solenoide:
02
1
Por lo tanto:
nIL
INB 0
0
3.27. Un corriente de 2.5A circula por una bobina de vueltas muy juntas que tiene un diámetro de 0.4m (considerar la bobina como una única espira). ¿Cuántas vueltas debe tener para que el valor del campo magnético en su centro sea T4102721 ? RESOLUCIÓN: N espiras muy juntas:
El campo de una espira (en le eje):
23
22
20
1
2 Ra
IaB
En el centro de la espira (R=0):
a
IB
20
1
Para N espiras:
a
NINBB
20
1
De donde, despejando N:
Ba
R
_____________________________________________________________________________________
Página 40 de 45
espirasI
aBN 16
521041027212022
7
4
0
3.28. Un alambre recto lleva una corriente de 100A y está colocado en un campo magnético uniforme externo de 50G. El alambre es perpendicular a este campo externo. Localizar los puntos en los cuales el campo magnético resultante vale cero. RESOLUCIÓN:
TTGBext 0050105050 4
Viendo el alambre desde arriba, comprobamos que el campo resultante, sólo puede ser igual a 0, en el punto P.
El campo magnético crea el alambre es:
r
IB
20
Calculamos la r, a la cual se anularán los campos, lo cual sucede cuando sus módulos son iguales:
mmmB
Ir
r
IBBB
ext
extext 4004000502
10010422
700
I
B
extB
extBB
r
I
P
_____________________________________________________________________________________
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3.29. Una espira circular de cobre de 10cm de radio lleva una corriente de 15A. En su centro se coloca una segunda bobina de 1cm de radio, perpendicular a la primera, que tiene 50 espiras y por la que circula una corriente de 1A: a) ¿Qué campo produce la espira grande en su centro? b) ¿Qué momento actúa sobre la pequeña?
RESOLUCIÓN:
Campo creado por la espira grande en su centro, va hacia dentro y su módulo es:
TR
IB 4
710
1 10940102
151042
Calculamos el momento dipolar magnético de la bobina y con él, el momento que actúa
sobre la misma, teniendo en cuenta que 1Bm :
22 SNIm
mNBSNIBm 6421221 10481109400101550
Y el sentido del par es el representado en la figura.
3.30. Un cristal de NaCl posee una pequeña cantidad de manganeso doblemente ionizado 2Mn distribuido uniformemente en todo su volumen, de manera que la muestra es isótropa y paramagnética. Bajo un campo magnético B = 0.87T y a una temperatura T = 310K, la muestra presenta una magnetización M = 6.1 A/m. Determinar su constante de Curie. RESOLUCIÓN: Como para un material isótropo M y B son paralelos, nos queda la ecuación de la ley de Curie para un material paramagnético:
T
CBM
T
BCM
00
siendo C la constante de Curie y T la temperatura absoluta. Despejando C:
KB
MTC 3
70 1072
870
31016104
m
2I1I
_____________________________________________________________________________________
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Un material ferromagnético se convierte en paramagnético, por encima de la temperatura de Curie. Es evidente que la muestra es paramagnética, al ser muy baja su temperatura de Curie. 3.31. Por un conductor rectilíneo indefinido fluye una corriente I = 15A. Calcular el campo magnético B, la excitación magnética H y la magnetización M, en un punto que dista r = 10cm del conductor, cuando éste se encuentra: a) en el vacío b) en un gas paramagnético de permeabilidad relativa 1.05 c) en un gas diamagnético de permeabilidad relativa r = 0.95 d) en el eje de un cilindro de material ferromagnético de radio 20cm coaxial con el hilo
y de permeabilidad relativa r = 6000[1 - exp(-H/10)].
RESOLUCIÓN: a) El campo magnético creado por un conductor rectilíneo en el vacío viene dado por la ecuación:
r
IB
20
Sustituyendo valores:
TB 57
10310215104
En este caso el conductor está en el vacío y por tanto:
mAB
H 8732104
1037
5
0
Teniendo en cuenta que 1r en el vacío, la magnetización es:
001 MHM r
_____________________________________________________________________________________
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b) Para un material paramagnético, mAH 8732 , ya que H es independiente del medio y el campo magnético será:
THHB r
570 101438732104051
Y la magnetización: mAHHM rm 191873210511
c) Para un material diamagnético, tendremos:
mAHHM
THHB
rm
r
191873219501
1085287324950 50
Al ser un gas diamagnético, M tiene sentido contrario a H , por lo que B toma un valor inferior al que tenía en el vacío. d) Para el material ferromagnético, calculamos el valor de la permeabilidad relativa:
54481600016000 108732
10 eeH
r
mAHHM
THHB
rm
r
5
0
10318732154481
1630873245448
3.32. En la tabla se muestran medidas experimentales de la susceptibilidad magnética del alumbre de amonio de hierro. Hacer la representación gráfica de 1/ m en función de la temperatura absoluta y determinar si se cumple la Ley de Curie. En caso afirmativo, ¿cuál es la constante de Curie? RESOLUCIÓN: Ct 410m
-258 75'40
-173 11'30
-73 5'65
27 3'77 La ley de Curie para un material paramagnético se escribe de la forma:
T
BCM
0
Y teniendo en cuenta las relaciones:
HB
HHM
r
mr
0
1
Podemos obtener la relación entre la susceptibilidad magnética y la temperatura, de la siguiente forma:
rm
rmm
rm
C
T
T
CH
T
HCH
T
BC 1
0
0
0
_____________________________________________________________________________________
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Luego, si se cumple la ley de Curie, la representación gráfica de m1 frente a T, debe
ser una recta que pase por el origen y de pendiente rC1 .
Para un material paramagnético m <<1, por tanto:
11 mr
Luego la pendiente será aproximadamente la inversa de la constante de Curie. Pasamos a temperaturas absolutas, mediante la relación:
273tT
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 100 200 300 400
T(K)
1/X
m
Se observa que los datos se pueden ajustar con una recta, cuya pendiente (por mínimos cuadrados) es ~8’8, lo cual implica que:
KCC
110881
3.33. Un anillo metálico de sección transversal 252 cmS , r = 40cm de radio medio y permeabilidad relativa r = 1500 está bobinado uniformemente con N = 3000 vueltas de cable. Si pasa a través del cable una corriente I = 1.6 A, hallar: a) la excitación magnética H b) el campo magnético medio B c) la magnetización M del anillo.
RESOLUCIÓN: En presencia de un medio magnético el teorema de Ampère nos dice que la circulación del campo magnetizante (excitación magnética H ) a lo largo de una línea cerrada es igual a la corriente libre total a través de la trayectoria:
libre
L
IdlH
H también se conoce como intensidad magnética, y se relaciona con el campo magnético B y la magnetización M del medio, mediante la ecuación:
MB
H0
Y en un medio isótropo, B y H están relacionados a través de la ecuación: HHB r 0
Combinando estas dos ecuaciones:
HHHMMH
H rrr 1
0
0
_____________________________________________________________________________________
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a) Si N es el número de vueltas del cable es I es la corriente libre que fluye por él, es evidente que la corriente total del anillo es NI. Por el teorema de Ampère:
mA
r
NIHNrHIdlH libre
L
1910402613000
22
b) El campo magnético es:
THHB r 6319101041500 70
c) La magnetización media es:
mAHM r
610921910115001
Hoja 1 de 4
Tema 4.- CAMPO ELECTROMAGNÉTICO. INDUCCIÓN (RESUMEN)
Ley de Faraday-Henry. Ley de Lenz
En una espira conductora se induce una corriente cuando varía el flujo del campo magnético que la atraviesa. La fuerza electromotriz inducida en una espira simple viene dada por la ley de Faraday-Henry:
dt
d
Para determinar el sentido de la corriente debe recurrirse a la ley de Lenz, de acuerdo con la cual el sentido de la corriente inducida es tal que se opone al cambio de flujo que la produce. Si añadimos este criterio, la fuerza electromotriz inducida se expresa como:
dt
d
Fuerza electromotriz que también puede expresarse
en función del campo eléctrico E producido por el flujo magnético variable:
l
ldE
Este campo eléctrico E , a diferencia del campo eléctrico producido por cargas puntuales o distribuciones de carga, es un campo no conservativo, porque su trabajo a lo largo de una línea cerrada es distinto de cero. Podemos escribir también la ley de Faraday-Henry, incluyendo la ley de Lenz, en la forma:
Sl
SdBdt
dldE
Una de las formas más comunes de obtener corriente inducida en una espira, o conjunto de espiras, es a través del movimiento. Conseguimos de esta forma transformar energía mecánica en energía eléctrica. Por ejemplo: - Podemos conseguir que varíe el flujo magnético
cambiando la superficie de una espira que es atravesada por las líneas de campo de un campo magnético. Para ello se introduce o se extrae con velocidad v una espira rectangular, de
anchura l, en un campo magnético uniforme B , perpendicular a la superficie de dicha espira. La fuerza electromotriz inducida en este caso es:
vlB
- También se obtiene variación de flujo en un circuito
cambiando la orientación de un campo magnético
B , con respecto al vector superficie S que
definen las espiras. En un generador se hace girar una bobina dentro de un campo magnético uniforme. En un alternador la fuerza electromotriz se induce en bobinas estáticas debido a un imán giratorio.
Generadores de corriente alterna Una corriente alterna es aquella que invierte su sentido periódicamente. El caso más sencillo se corresponde con una intensidad que es función sinusoidal del tiempo, en la forma:
wtsenII0
Siendo: I0 la amplitud (intensidad máxima) y w la velocidad angular. Para generar una corriente de estas características basta hacer girar N espiras de superficie S, con velocidad angular constante w, dentro de un campo magnético uniforme B. Así, el flujo magnético que atraviesa la superficie de las espiras será:
wtNBS cos
Y la f.e.m. inducida:
wtwNBStd
dsen
En el caso más general, si es el ángulo que forman el campo B y el vector superficie de las espiras en el instante inicial, la f.e.m. alterna instantánea sería:
)(sen0 wt
Con:
fwf
TT
wwNBS 2;1
;2
;0
siendo T el período (tiempo que las espiras tardan en dar una vuelta completa) y f la frecuencia (número de vueltas por segundo que dan las espiras).
Hoja 2 de 4
• Autoinducción
Cuando la corriente que circula por un componente de un circuito, como una bobina, varía, aparece una fuerza electromotriz autoinducida que viene dada por:
dt
dIL
siendo L el coeficiente de autoinducción de la bobina, que depende de su geometría y del material presente en su interior (núcleo). En el S.I. L se mide en henrios (1 H = 1 T m
-2 A).
El flujo magnético a través de las espiras de una bobina puede expresarse en función de la intensidad que circula por la misma, como:
ILB
En un solenoide con N espiras, longitud l, sección S,
con aire o vacío en su interior y suponiendo que el campo magnético (B = µ0 n I) es constante en todos sus puntos,
l
ISNSIlNNNBS
B
2
00)/(
Siendo su coeficiente de autoinducción:
lSnl
SN
IL B 2
0
2
0
Asociación de autoinducciones: Autoinducciones en serie:
iie
LL
Autoinducciones en paralelo:
iie
LL
11
Energía del campo magnético. Densidad de energía
La energía almacenada en una autoinducción L por la que circula una corriente I es:
2
2
1ILU
Esta energía está almacenada en el campo magnético producido por la corriente. La densidad de energía (energía por unidad de volumen) de este campo magnético es:
0
2
2
1 Bu
B
En general, conocido el campo magnético en una determinada región del espacio, con la expresión anterior podemos obtener la densidad de energía magnética (si en lugar de aire o vacío tenemos otro medio material lineal basta cambiar µ0 por su correspondiente permeabilidad µ) y calcular la energía asociada a cualquier volumen V dentro de esa región, mediante la integral:
dVuUBVB
Inducción mutua. El transformador
Cuando por dos circuitos próximos circulan corrientes variables, cada uno de ellos induce una fuerza electromotriz sobre el otro:
dt
dIM 2
12
dt
dIM 1
21
donde M es el coeficiente de inducción mutua entre los dos circuitos. En el S.I. M se mide en henrios. En un transformador se utiliza la inducción mutua para obtener el voltaje deseado (bobina secundaria - tensión de salida, VS) a partir de un voltaje suministrado (bobina primaria - tensión de entrada, VP). En el transformador, los voltajes y corrientes en las bobinas primaria y secundaria dependen del número de vueltas de cada una de ellas:
S
P
P
S
P
S
P
S
N
N
I
I
N
N
V
V
Hoja 3 de 4
Lectura de información en soportes magnéticos El proceso de grabación de información binaria en soportes magnéticos, comentado en el tema anterior, resultaba relativamente sencillo. Basta aplicar corrientes en uno u otro sentido en la cabeza de escritura (bobina) para que los dominios del material ferromagnético que sirve como soporte, próximo a la cabeza de escritura, se orienten en un sentido o su contrario. De esta forma se diferencian dos estados que identificamos con el cero y uno lógicos. Estas corrientes pueden conseguirse aplicando a la cabeza de escritura potenciales V+ y V-, identificados con la información digital que se desea grabar. La siguiente figura muestra un ejemplo sobre como quedarían dispuestos los dominios magnéticos en la grabación de un byte (1011 0010), utilizando para el uno lógico una corriente I+ que crea un campo magnético en la cabeza de escritura dirigido hacia arriba y una corriente I- (con el mismo valor pero de sentido contrario) para el cero lógico.
Sin embargo, la lectura de información grabada en un soporte magnético presenta mayor complejidad y la corriente de lectura difiere sustancialmente de la que se utiliza para grabar. La corriente de lectura se obtiene por inducción y la cabeza de lectura (puede utilizarse la misma bobina usada para grabar), al desplazarse por el soporte magnético, sólo va a registrar corriente cuando se produzca una variación del flujo del campo magnético a través de la misma, es decir, se inducirá corriente únicamente cuando exista un cambio de orientación en los dominios magnéticos. La siguiente figura muestra la corriente registrada en la cabeza de lectura cuando leemos el byte grabado en el ejemplo anterior.
En el ejemplo se ha supuesto que el dominio anterior al primer uno lógico no estaba orientado. Como puede observarse, la corriente de lectura está compuesta por una serie de pulsos, a partir de los cuales podemos distinguir transiciones de uno a cero lógicos (pulso I+) y transiciones de cero a uno lógicos (pulso I-) Aunque con este procedimiento se puede grabar y leer en soportes magnéticos, no es recomendable. Considérese la situación en la que se dispone de varios ceros o unos lógicos consecutivos (situación bastante probable pues muchas zonas de un disco están rellenadas con el valor hexadecimal FF). Ante esta circunstancia la cabeza de lectura pasaría por zonas correspondientes a varios bytes sin registrar ningún tipo de corriente y podría perder fácilmente el sincronismo, errando en la lectura.
I +
Corriente de lectura
I -
1 1 1 1 0 0 0 0
I +
I -
1 1 1 1 0 0 0 0 Corriente de escritura
Dominios magnéticos
Dominios magnéticos
Hoja 4 de 4
Una forma sencilla de paliar esta circunstancia, aunque evidentemente en la actualidad existen métodos mucho más sofisticados para grabar y leer información sobre soportes magnéticos, consiste en utilizar como corriente de escritura una señal con retorno a cero. Por ejemplo, podemos representar un uno lógico por una señal que cambia de V- a V+ en el tiempo medio del bit, y un cero lógico por una señal que cambia de V+ a V- en el tiempo medio del bit, tal como muestra la siguiente figura.
Esto es una forma de escribir el reloj junto con la información (procedimiento que también se utiliza en la transmisión de datos) porque, en el tiempo medio de cada bit, existe un retorno por cero de la señal que lo representa (reloj) independiente de su valor (cero o uno lógico). De esta forma se asegura el sincronismo en la lectura (o en la recepción de datos) de forma eficiente. Utilizando un código de retorno a cero para representar la información binaria, las corrientes de escritura y lectura y la orientación de los dominios magnéticos en el soporte de la información quedarían como se muestra en la siguiente figura.
Puede observarse que en la corriente de lectura siempre hay un pulso en el tiempo medio de cada bit (positivo si se trata de un cero lógico y negativo si es un uno lógico) y, además, hay un doble control porque si un bit no cambia con respecto a su precedente aparece un doble pulso en el tiempo total de un bit (positivo y luego negativo si se repite un uno lógico y negativo y después positivo si se repite un cero lógico). En transmisión de datos, para que el receptor sincronice adecuadamente la información que va a recibir, se envía una secuencia 010101010101….., hasta que se manda el guión (generalmente un byte 7E en hexadecimal) que delimita el inicio de los datos. Es fácil apreciar que con una secuencia 01010101….., se está realmente enviando el pulso de reloj, con lo que el receptor puede ajustar adecuadamente el tiempo de bit y corregir si existiera un pequeño desfase entre el reloj del emisor y el receptor. Aunque los relojes de los sistemas informáticos sean muy precisos, cuando se transmite o se graba y lee a altas velocidades es preciso tomar este tipo de precauciones, entre otras, para evitar errores.
1 0 0 1 1 1
1 1 1 1 0 0 0 0
V+
V+
V-
V-
0 lógico
Tiempo
de bit
Tiempo
de bit
1 lógico
0
I +
I -
0
Dominios magnéticos
Corriente de escritura
Corriente de lectura
I +
I -
_____________________________________________________________________________________
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Tema 4. Campo Electromagnético. Inducción
RESOLUCIONES
4.1. Una bobina circular de 20cm de diámetro tiene N espiras. La bobina está en el interior de un campo magnético uniforme de 0.01T y gira alrededor de uno de sus diámetros, perpendicular a B, a razón de 20rps. Sabiendo que la intensidad máxima inducida que circula por la bobina es de 9.87A y que su resistencia es de 0.1 , calcular el número de espiras de la bobina. RESOLUCIÓN:
La bobina que se encuentra en el interior de un campo magnético uniforme B gira alrededor de uno de sus diámetros, perpendicular a B , con una velocidad angular:
rps20 Como una vuelta son 2 rad:
srad40220
El flujo de campo magnético que atraviesa la bobina es:
S
bobina tSBNdSBN cos
siendo t el ángulo que forman B y S en cada instante. Este flujo es variable con el tiempo, por lo que en la bobina se induce un voltaje cuyo valor es:
tsenSBNtsenSBNdt
tSBNd
dt
dinducida cos
cos
El voltaje inducido máximo se produce cuando la función tsen alcanza el valor máximo que es 1. De este modo:
SBNmáxind
B
x
y
z
_____________________________________________________________________________________
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Por otra parte, este valor se puede calcular con los datos dados en el enunciado del problema:
VIRmáxmáx indind 987010879
Despejando el número de espiras N de la penúltima expresión:
espirasSB
N indmáx 254010010
98702
Siendo: 2222 1010 mrS
4.2. Una espira circular de radio a gira con velocidad angular constante alrededor de uno de sus diámetros. La espira se encuentra en el interior de un campo magnético uniforme B y perpendicular al eje de giro. Si la resistencia de la espira es r, calcular: a) La fuerza electromotriz inducida en la espira b) La intensidad que circula por la espira c) El momento que actúa sobre la espira RESOLUCIÓN:
El vector superficie S es perpendicular al plano de la espira. El ángulo que forma éste
con el campo magnético B en cada instante si la espira gira con velocidad angular es: t , suponiendo que el ángulo inicial es 00 .
a) La fuerza electromotriz inducida en la espira se calcula como:
dt
dinducida
donde tSBdSBS
B cos·
Por tanto:
VtsenaBtsenSBtSBdt
dinducida
2cos
b) La intensidad inducida es:
B
a
r
_____________________________________________________________________________________
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Ar
tsenaB
rI inducida
inducida
2
c) El momento de giro que experimenta la espira por estar inmersa en un campo
magnético uniforme tiende a alinear el momento m con el vector campo magnético B :
Bm
donde SIm para una sola espira. Sustituyendo el momento:
tsenBSIBSI Tomando la expresión obtenida para la intensidad inducida en el apartado anterior:
mNr
tsenaB 2222
4.3. Una espira conductora rectangular de lados a y b se separa del conductor rectilíneo por el que circula una intensidad I con una velocidad v. Determinar la f.e.m. inducida en función del tiempo si cuando t = 0s, r = r0.
RESOLUCIÓN: El campo magnético que crea la corriente rectilínea en la parte donde se encuentra la espira conductora es perpendicular hacia dentro (como se indica en la figura) y variable con módulo:
r
IB
20
Al moverse la espira hacia la derecha, el campo magnético varía, lo que implica una variación en el flujo que atraviesa la espira y esto a su vez, induce una fuerza electromotriz en la misma:
dt
dinducida
Calculando el flujo:
r
arIbr
Ib
r
drIbdrb
r
IdSB
ar
r
ar
rS r
ln2
ln22
0cos2
0000
I
dS=b·dr X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X
v b
a
r0 r
_____________________________________________________________________________________
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Los límites de la integral superior se calculan teniendo en cuenta que en cualquier instante t, la distancia de la corriente rectilínea al lado más próximo de la espira rectangular es vtrr 0 . Por otra parte, la distancia al lado más alejado es
avtrar 0 .
La fuerza electromotriz inducida es:
varr
aIb
dt
dr
r
a
ar
rIb
dt
dr
r
arr
ar
rIb
dt
dr
r
ar
dr
d
ar
rIb
dt
dr
dr
d
dt
d
2
22
2
0
20
20
0
Sustituyendo el valor de vtrr 0 en la expresión anterior:
vavtrvtr
aIb
dt
d
00
0
2
Si la espira presenta una resistencia de valor R, se tiene que la corriente inducida, i, viene dada por i= /R. Cuando alejamos la espira rectangular, el flujo de B disminuye, luego la intensidad inducida, i, en la espira tiene que ser en el sentido en que cree un campo B' que compense esta disminución (Ley de Lenz). Así, tendremos:
I
XXX
XXX v B
B'
i
_____________________________________________________________________________________
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4.4. Se dispone de un arrollamiento toroidal de perímetro medio 2m y sección 20cm2 que tiene 500 espiras. Calcular su autoinducción. Si la corriente en la bobina aumenta a razón de 10A/s, calcular el valor de la f.e.m. inducida. RESOLUCIÓN:
El arrollamiento toroidal está formado por un conjunto de espiras circulares conductoras arrolladas alrededor de una figura en forma de neumático.
El flujo que atraviesa la bobina teniendo en cuenta que el ángulo que forman B y S es 0:
SBNSBNSBN 0cos El campo creado por la bobina toroidal es:
l
NIB 0
con mrl 22 su perímetro medio. Llevando la expresión del campo al flujo:
l
SINS
l
NIN
200
Por otro lado, como el flujo propio es IL , donde L es el coeficiente de
autoinducción, igualando las dos expresiones del flujo, tenemos:
Hl
SNLIL
l
SIN 44272
02
0 101432
1020500104
b) Si la corriente I varía, crea un campo magnético variable que provoca el cambio del flujo de campo magnético que atraviesa la bobina. Esto a su vez creará un voltaje inducido en la propia bobina, que se opone al cambio de la corriente inicial:
dt
dIL
dt
dinducida
siendo el módulo de la fuerza electromotriz inducida:
Vdt
dILinducida
34 101431010143
a
b
r
S
B
_____________________________________________________________________________________
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4.5. Un cable coaxial largo está constituido por dos cilindros concéntricos de radios a y b. Su conductor central es hueco y lleva una corriente constante I, el conductor exterior proporciona el camino de regreso. a) Calcular la energía almacenada en el campo magnético para un tramo de longitud l
de este cable b) ¿Cuál es la autoinducción para el mismo tramo de longitud l? RESOLUCIÓN:
a) Por razones de simetría las líneas de campo son circunferencias con centro sobre el
eje del cable. Asímismo, el módulo de B es una función de r: )(rBB Aplicando el Teorema de Ampère:
IrBIdlBIdlBCC
000 2
0rB r < a
r
IrB
20 a < r < b
0rB r > b
Por tanto, la densidad de energía magnética (energía magnética por unidad de volumen), cuya expresión es:
2
02
1BwB
será:
0Bw r < a
22
20
8 r
IwB a < r < b
0Bw r > b
I
I
ab
_____________________________________________________________________________________
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Es decir, sólo tendremos densidad de energía magnética, en la zona intermedia entre los dos cilindros. Consideremos un elemento de volumen comprendido entre las superficies cilíndricas de longitud l y radios r y drr , respectivamente, para calcular la energía magnética almacenada en este elemento de volumen:
rldrdVlrVcilindro 22
r
drlIrldr
r
IrldrwdVwdW BBB 4
28
22
022
20
Integrando desde a hasta b, tendremos la energía magnética almacenada en un tramo de longitud l:
b
a
Ba
blI
r
drlIW ln
44
20
20
b) También tenemos que la energía magnética es:
2
21
ILWB
De modo, que combinando las dos expresiones de BW , podemos obtener la autoinducción para ese mismo tramo l:
a
blL ln
20
4.6. Una barra metálica de 60cm de longitud y 675g de masa se lanza desde la posición indicada en la figura con una velocidad inicial de 3cm/s. La barra desliza sin rozamiento sobre unos raíles conductores paralelos, que se cierran en el extremo derecho mediante una resistencia de 21.6 . Todo el sistema se halla inmerso en un campo magnético uniforme B, perpendicular al plano que forman los raíles y la barra. a) Calcular el valor del campo magnético B necesario para que la barra se quede a
mitad de camino entre su posición de lanzamiento y el lado derecho del circuito, donde se encuentra la resistencia.
b) ¿Qué tiempo tardará en recorrer el 99% de esa distancia? NOTA: Despréciese el coeficiente de autoinducción del circuito formado.
l
rdrr
_____________________________________________________________________________________
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RESOLUCIÓN: a) Para resolver este problema es necesario obtener una expresión que relacione el
espacio recorrido con el campo magnético y con el tiempo. Inicialmente, las fuerzas que actúan sobre la barra son su peso y la reacción normal que sobre ella ejercen los raíles. Puesto que la resultante es cero, la fuerza neta que actúa sobre la barra es nula. Cuando la barra inicia su movimiento sobre ella aparece una f.e.m inducida debida a su movimiento cuya polaridad, determinada por el sentido del campo eléctrico
(opuesto al vector Bv ), es la que se ve en la figura
Como la barra cierra el circuito, circulará por éste una corriente inducida I en el sentido indicado en la figura. Esto significa que el campo magnético ejercerá sobre la barra móvil una fuerza que vendrá dada por:
ILBILBsenBLIFm º90
E
dl
Bv
L RI
m3
0x
B
tvmF
_____________________________________________________________________________________
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Esta fuerza es la única que existe en la dirección del movimiento de la barra. Obtendremos así su aceleración, que como puede comprobarse actúa en sentido contrario a la velocidad inicial de la barra, frenándola. Sin embargo, todavía es necesario conocer I. Para ello se aplica la Ley de Ohm al circuito:
RIIR
La f.e.m inducida en la barra será:
dlBvdlBvdlE
de la figura:
dlBvdlBvdlBv
BvsenBvBv
180cos
90
de donde:
LBvdlBvdlBv
por lo que la intensidad es:
R
LBv
RI
y la fuerza magnética que actúa sobre la barra queda:
R
LBvBL
R
LBvILBFm
22
La aceleración de la barra se obtiene aplicando la 2ª ley de Newton:
mR
LBvaam
R
LBvamFm
2222
La velocidad de la barra se obtiene integrando dt
dva , donde el signo negativo
significa que la velocidad disminuye con el tiempo.
tmR
LB
tv
v
evvtmR
LB
v
v
dtmR
LB
v
dvdt
mR
LB
v
dv
dt
dv
mR
LBv
dt
dva
22
0
0
22
0
0
222222
ln
Para calcular x en función del tiempo, volvemos a integrar:
tmR
LB
eLB
mRvxdtevdx
dt
dxv
tt
mR
LBx2222
1220
0
0
0
_____________________________________________________________________________________
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a) De la expresión de v en función de t, comprobamos que la barra nunca llega a pararse, ya que el tiempo necesario para que la velocidad se anule es infinito:
220
0ln0
22
LB
Rmtev
tmR
LB
Sin embargo, la distancia recorrida cuando t es finita:
220
220
22
1limLB
mRve
LB
mRvd
tmR
LB
t
Si queremos que d sea la mitad de los 3m que separan la barra inicialmente de la resistencia, tendremos:
TL
mRvB
LB
mRv90
06051
0306126750
5151 22
0220
b) Una vez obtenido el valor de B, la expresión de x en función del t es:
tt
eeeLB
mRvx
tmR
LB
0206126750
6090
220 1511511
2222
El valor de t para que x sea el 99% de los m51 recorridos, será:
ste t 3023020
010ln15151990 020
x
d
t
_____________________________________________________________________________________
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4.7. Dados un conductor rectilíneo indefinido y un circuito rectangular de lados a y b como se muestra en la figura, calcular el coeficiente de inducción mutua entre ambos, siendo d la distancia entre el conductor rectilíneo y el lado del rectángulo más próximo al mismo. RESOLUCIÓN:
Para calcular el coeficiente de inducción mutua suponemos inicialmente que sólo circula una corriente I por el conductor rectilíneo indefinido. El campo creado por el conductor rectilíneo es:
x
IB
20
Calculamos el flujo de (1) sobre (2):
d
adIb
x
dxIbddxb
x
Id
ad
d
ad
d
ln222000
Como I
M , queda:
d
adbM ln
20
4.8. Calcular la expresión del coeficiente de inducción mutua de dos espiras circulares, ambas de radio a, dispuestas con eje común y con sus centros separados una distancia d
(d >> a) RESOLUCIÓN:
x
dx
d
a
bI
1
2
d
a a1I2I
1espira 2espira
_____________________________________________________________________________________
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Cuando 2 circuitos están próximos uno al otro, el flujo magnético que atraviesa uno de ellos depende no sólo de la corriente en este circuito, sino también de la corriente que circula por el otro circuito. El flujo de campo magnético que atraviesa la espira 1 es:
212111 IMIL El flujo de campo magnético que atraviesa la espira 2 es:
121222 IMIL donde L1 y L2 son los coeficientes de autoinducción que corresponden a las espiras 1 y 2 y M12=M21 es el coeficiente de inducción mutua. Vamos a suponer que sólo circula corriente por la espira 1. El flujo que atravesará a la espira 2, será sólo debido al campo magnético B1 que crea la corriente I1.
Además, en nuestro caso, las espiras están muy separadas en comparación con su tamaño, por lo que podemos suponer que el campo creado por una de ellas es prácticamente constante en la superficie de la otra y vale aproximadamente en toda la superficie lo mismo que en el eje.
2
2112
S
SBdSB
El campo magnético creado por la espira 1 es:
23
22
210
1
2 da
aIB
Sustituyendo este valor en la expresión del flujo:
23
22
4102
23
22
210
2
22 da
aIa
da
aI
Con cuyo resultado podemos obtener el coeficiente de inducción mutua:
23
22
40
1
2211212121222
2 da
a
IMIMIMIL
Por último, como d>>a, podemos realizar la aproximación: 222 dda
Hd
aM
3
40
21 2
4.9. Una bobina tiene una autoinducción de 5H y una resistencia de 20 . Si se aplica una f.e.m. de 100V. ¿Qué energía queda almacenada en el campo magnético después de que la corriente ha aumentado hasta su valor máximo? RESOLUCIÓN: Calculamos la intensidad que circula por la bobina:
AR
I 520
100
_____________________________________________________________________________________
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Sustituyendo valores en la expresión de la energía almacenada:
JLIWB 5265521
21 22
4.10. Consideremos dos bobinas A y B de 400 y 900 espiras respectivamente. Una corriente de 3A circulando por la bobina A crea un flujo de 2·10
-4Wb en cada una de las
espiras de la bobina B. Se pide: a) Calcular el coeficiente de inducción mutua de ambas bobinas b) La f.e.m. inducida en la bobina B cuando la corriente que circula por A varíe de 2A a
1A en un tiempo de 0'1s c) El flujo a través de la bobina A cuando por la bobina B circula una corriente de 2A. RESOLUCIÓN:
a) El flujo a través de la bobina B será:
AB IM de donde:
HI
N
IM
A
B
A
B 24
1 1063
102900
b) La f.e.m inducida en la bobina B será:
Vt
IM
dt
dIM
dt
d AABB 60
10
21106 2
c) Del mismo modo que la corriente en la bobina A crea un flujo a través de la bonina B, la de B crea un flujo a través de la bobina A:
AI
A B
_____________________________________________________________________________________
Página 14 de 19
cuyo valor será:
WbIM BA
22 10122106 4.11. La inducción de un campo magnético homogéneo dentro de un cierto cilindro de 15cm de radio aumenta linealmente con el tiempo según B = kt, siendo k = 0.01 T/s. Sabiendo que el campo magnético tiene la dirección del eje del cilindro y que fuera de él no hay campo, calcular la componente tangencial del campo eléctrico inducido a una distancia de: a) 12cm del eje del cilindro b) 18cm del eje del cilindro RESOLUCIÓN: Imaginemos un contorno circular cuyo centro sea un punto del eje del cilindro y cuyo radio sea la distancia respecto del eje a la que queremos determinar la componente tangencial del campo eléctrico inducido. La f.e.m inducida en él debido al flujo magnético variable en el interior del cilindro será, por definición, igual a la circulación del campo eléctrico a lo largo del contorno. Admitiendo, por simetría, que el módulo del campo eléctrico es constante en todos los puntos del contorno, la circulación vale:
rEdlEdlE tt 2
Siendo Et la componente tangencial del campo eléctrico inducido. Así pues:
rEt 2
El problema es entonces determinar la f.e.m inducida en el entorno circular, que se obtiene a partir de la ley de Faraday-Henry:
dt
d B
a) para r<R, siendo R el radio del cilindro:
A B
BI
_____________________________________________________________________________________
Página 15 de 19
22
2
rKrKtdt
d
dt
d
rKtSBdSB
B
S
B
luego:
mVrK
r
rK
rEt
42
1060222
b) para r>R:
Sólo existe flujo a través del área rayada, ya que B=0 para r>R. Por tanto:
22
2
RKRKtdt
d
dt
d
RKtSBSdB
B
S
B
luego:
mV
r
RK
r
RK
rEt
422
10256222
RB
tE
rS
R
S
B
tE
r
_____________________________________________________________________________________
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4.12. Un circuito RL tiene una f.e.m. 0 = 9.2V, una resistencia R = 72 y una inducción L=0.25mH. Si el interruptor se cierra en t = 0, calcular: a) la corriente que pasa por el circuito b) la d.d.p. entre los extremos de la resistencia c) la d.d.p. entre los extremos de la inducción en los instantes t=0, t=3.3 s, t =7.5 s y
t =35 s. RESOLUCIÓN:
a) Cuando el interruptor S se cierra, en t=0, la intensidad varía con el tiempo según la siguiente expresión:
sR
L
AR
IeR
tI
L
tt
L
6
00
0
1053
13072
291
Sustituyendo las constantes nos queda:
AetIt
610531130
b) AeReR
tIRIVtt
RL
610530 1291
c) 61053
000 29
1 tttt
L
L eeeL
R
RLe
RL
dt
dILV LLL
Sustituyendo los valores de t indicados en el enunciado en esta última expresión tenemos:
ioestacionarrégimensVsst
VsVsst
VsVsst
VVt
L
L
L
L
010435103535
08157105757
6333103333
2900
46
6
6
0
R
L
0
S
_____________________________________________________________________________________
Página 17 de 19
4.13. Una bobina formada por 250 espiras de 15cm de radio, gira en el campo magnético terrestre alrededor de su diámetro vertical, a razón de 85rad/s. Si se induce una f.e.m. media de 40mV en medio ciclo, calcular la componente horizontal del campo magnético terrestre en ese lugar. RESOLUCIÓN: Para obtener la f.e.m inducida en la bobina utilizaremos la ley de Faraday. Previamente debemos determinar el flujo magnético que atraviesa las N espiras que constituyen la bobina. Si denominamos HB a la componente horizontal del campo magnético terrestre, dicho flujo será:
coscos SBNdSBNdSBN H
S S
HHB
siendo S el área de cada espira. Conforme la bobina gira, el ángulo que forma su vector superficie con la componente horizontal del campo magnético terrestre irá variando. Si empezamos a contar el tiempo en el instante en que dicho ángulo es 0º, al ser uniforme el giro de la bobina, tendremos:
t Y por tanto, el flujo magnético que atraviesa la bobina será:
tcosSNBHB Ya podemos utilizar la Ley de Faraday para obtener la f.e.m. inducida en la bobina:
El valor medio de esta f.e.m. inducida, que denominaremos , en medio ciclo es:
T
SNB4wtcos
T
SNB2dttsenwSNB
2T
1dt)t(
2T
1 H2T
0H
2T
0H
2T
0
El área de cada espira es, 2RS , y el período es, w2T , luego:
wRNB22
wRNB4 2
H
2
H
de donde:
T10184́wNR2
B 5
2H
4.14. Un disco de hierro de diámetro d = 0.1m y longitud h = 1mm, está situado en un campo magnético uniforme perpendicular a la base del cilindro, dependiente del tiempo t según la ecuación B(t) = Bm sen t. Calcular la potencia promedio disipada por las corrientes de Foucault en el cilindro Bm=1'6T, = rad/s, resistividad del Fe, = 11
x10-8
.m.
tsenwSNBdt
tcosSNBd
dt
dt H
HB
_____________________________________________________________________________________
Página 18 de 19
RESOLUCIÓN:
Tomamos un anillo diferencial de radio r y anchura dr, como se aprecia en la figura, cuyo dS es:
22222222 22 rrdrdrrrrdrdrrrdrrdS y aproximando 0dr nos queda:
rdrdS 2 Por tanto, el flujo que atraviesa ese anillo será:
22)(2)( rtsenBrtBrdrtBdSB mii
Como el flujo es variable, se induce una f.e.m:
2cos rtBdt
dm
La resistencia del anillo considerado es:
drh
r
S
LRi
2
donde L es la longitud del anillo y S la sección de un corte del cilindro diferencial, como se muestra en la siguiente figura:
Como el flujo es variable, se induce una f.e.m:
2cos rtBdt
dm
Luego el dIi inducido en este anillo diferencial será:
2
cos2
cos2 drhtrB
drhr
tBr
RdI mm
i
ii
r
h
dr B
I
_____________________________________________________________________________________
Página 19 de 19
Luego la potencia disipada por efecto Joule en este circuito es:
drrtBh
drh
rdrhtrBRdIdP mm
ii
32222
2
2
cos2
2
cos
Y la potencia total instantánea P(t) disipada en el cilindro será:
128
dtcosBh
4
2d
2
tcosBhdrr
2
tcosBh)t(P
422
m
24
22
m
22d
0
322
m
2
T
La potencia promedio en un período viene dada por: T
0TT dt)t(P
T
1)t(P
Dado que 2
1)wt(cos2 obtenemos: W282.0
256
dtcosBh)t(P
422
m
2
T
Hoja 1 de 3
Tema 5.- CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA (RESUMEN)
Fuerza electromotriz alterna Una corriente alterna es aquella que invierte su sentido periódicamente. Centraremos nuestro estudio en el caso más sencillo y común, en el cual la intensidad es una función sinusoidal del tiempo.
)(0 wtsenII
Siendo: I0 la amplitud de la señal, que se corresponde con la intensidad máxima, w la
velocidad angular y la fase inicial (en t=0). Para generar una corriente de estas características basta utilizar un generador de corriente alterna que, tal como analizamos en el tema anterior, proporciona una fuerza electromotriz:
)(0 wtsen
Existiendo tres magnitudes que la identifican:
- Su amplitud 0: valor máximo de la f.e.m.
- Su frecuencia f: número de ciclos por segundo
(f=1/T, siendo T el periodo: T=2 /w ) - Y la fase que pueda tener en cada instante:
(wt+ ), siendo la fase inicial.
Representación compleja Realizar operaciones matemáticas con las magnitudes utilizadas en los circuitos de corriente alterna resulta muy cómodo si se representan estas magnitudes en forma compleja. Para ello, introducimos un número complejo giratorio correspondiente a la f.e.m. alterna instantánea, como:
)(sen)(cos 00 wtjwt
Con 1j . Este número complejo recibe el
nombre de fasor. En forma polar podemos expresarlo como:
wt0
siendo la f.e.m. alterna instantánea la parte imaginaria de la f.e.m. compleja.
En lugar de utilizar amplitudes (valores máximos de o I) en alterna se trabaja con valores eficaces. Así definiremos la f.e.m e intensidad como números complejos en forma polar, cuyo módulo será la f.e.m.
( e) o intensidad eficaz (Ie) y su argumento la fase inicial.
ee II;
Valores medios i eficaces
El valor medio de la f.e.m. e intensidad deben evaluarse en un semiperíodo, ya que el valor medio de una función sinusoidal en un período completo es nulo. Así:
0
02/
00 637,0
2
2/
1I
IdtwtsenI
TI
T
De igual forma: 0637,0
El valor eficaz de la f.e.m. o intensidad de la corriente alterna es la raíz cuadrada del valor medio de su cuadrado:
0
0
0
22
0
2 707,02
sen1
II
dtwtIT
IIT
e
Análogamente: 0707,0e
Circuito resistivo puro
Circuito con una f.e.m. alterna y una resistencia R. En un circuito de estas características la f.e.m. y la intensidad siempre están en fase. Se puede definir una resistencia compleja como:
Eje real
Eje imaginario
w t +
0
0 cos (w t + )
0 sen (w t + )
Hoja 2 de 3
º0RI
V
I
VR
e
e
Luego R está sobre el eje real.
Circuito inductivo Circuito con una f.e.m. alterna y una autoinducción L.
La intensidad se encuentra retrasada /2 con respecto a la tensión. Introducimos una reactancia
inductiva compleja LX , como:
LL
e
e
L XjXI
V
I
VX º90
º90
Siendo XL=Lw.
LX está sobre la parte positiva del eje imaginario.
Circuito capacitativo
Circuito con una f.e.m. alterna y un condensador C.
La intensidad se encuentra adelantada /2 con respecto a la tensión. Introducimos una reactancia
capacitativa compleja CX , como:
CL
e
e
C XjXI
V
I
VX º90
º90
Siendo XC=1/Cw.
CX está sobre la parte negativa del eje imaginario.
Circuito RLC serie. Impedancia Circuito con una f.e.m. alterna conectada a una resistencia, una autoinducción y un condensador en serie. En cada instante:
CLCLR XIXIRIVVVV
Definimos la impedancia Z del circuito como:
CL XXRI
VZ
La impedancia será un número complejo, cuyo módulo vale:
2222 )/1()( CwLwRXXRZ CL
y su argumento:
R
XX CLarctg
Ley de Ohm fasorial
La ley de Ohm (vista en el tema 2) se puede
generalizar al caso de la corriente alterna haciendo
uso del concepto de fasor:
I
VZ
donde V es la tensión entre los extremos de un
elemento de circuito, I es la intensidad que
circula por dicho elemento, y Z es la impedancia
que presenta dicho elemento de circuito. La unidad
de la impedancia es el ohmio .
Asociación de impedancias
Impedancias en serie: i
iT ZZ
Impedancias en paralelo: i iT ZZ
11
Potencia en circuitos de corriente alterna La energía consumida por efecto Joule en un circuito de corriente alterna será debida a su resistencia total,
Z
R XC
XL
XL-XC
Hoja 3 de 3
ya que las autoinducciones o condensadores almacenan y devuelven energía al circuito, pero no la consumen. La potencia instantánea disipada en una resistencia recorrida por una corriente alterna será:
RwtIP2
0 )(sen
Siendo la potencia promedio disipada en dicha resistencia:
RIRIRwtIP e
22
0
2
02
1)(sen
Esta potencia debe suministrarse por la fuente de alterna :
cos2
eeee
e
ee VIZ
RVIR
Z
VIRIP
Donde cos es el factor de potencia. Podemos definir una potencia compleja como:
jQPIVIVSS ee
*
Cuyo módulo (S=VeIe) es la potencia aparente
(medida en voltio-amperios) y su fase ( ) es la fase de la impedancia (diferencia de fase entre V e I). La parte real de esta potencia compleja (P=Ve Ie
cos ) es la potencia activa (medida en Watios) y su
parte imaginaria (Q=Ve Ie sen ) la potencia reactiva (medida en voltio-amperios reactivos).
Resolución de circuitos de corriente alterna Para resolver circuitos de corriente alterna se utilizan los mismos conceptos que en los circuitos de corriente continua. Su planteamiento suele ser más sencillo porque únicamente se trabaja con un generador y no hay que preocuparse por el sentido de las corrientes, pero presentan mayor dificultad en la operatoria porque hay que trabajar con magnitudes complejas.
Filtros En un equipo de música, cuando manipulas los controles del ecualizador estás modificando el contenido en frecuencias de la señal de audio que escuchas, variando la relación entre agudos (altas frecuencias) y graves (bajas frecuencias). Lo que
estás realizando es un filtrado de la señal. En general el filtrado de señales eléctricas resulta también necesario en los sistemas de comunicaciones para limpiar de ruido electromagnético la señal recibida. Para el filtrado de señales eléctricas se aprovecha el hecho de que la impedancia depende de la frecuencia de la señal eléctrica que circula por el circuito. Los tipos de filtros básicos serían: -filtro pasa-alto. Se atenúan las bajas frecuencias de una señal. -filtro pasa-bajo. Se atenúan las bajas frecuencias. -filtro pasa-banda. Sólo se transmite la zona de frecuencias intermedias. Un ejemplo sencillo de filtro pasa-altos sería el siguiente: Si calculas el cociente entre los valores eficaces de la tensión de salida Vsal y la de entrada Vent obtienes,
22 1
CwR
R
V
V
ent
sal
se conoce como la función de transferencia
para este circuito. Para frecuencias w cercanas a cero,
vale cero de modo que no tendríamos señal de
salida Vsal para bajas frecuencias y sólo pasarán las altas frecuencias. Un ejemplo de filtro pasa-bajos sería el siguiente:
En este caso la función de transferencia tiene la
siguiente expresión,
22 1
1
CwR
Cw
V
V
ent
sal
A medida que crece la frecuencia w, se aproxima
a cero: por tanto la señal de salida Vsal se atenúa para altas frecuencias.
Vent Vsal R
C
Vent Vsal C
R
_____________________________________________________________________________________
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RESOLUCIONES
5.1 En un circuito RL serie, con L = 2 mH y R = 10 , circula una corriente de intensidad I=2 sen 500t (A). Hallar la tensión total aplicada. RESOLUCIÓN:
º02
2
25002 0
0IItsenI
Al ser un circuito RL en serie:
LjXRZ
105001020 3LX L luego:
jZ 1010 que en forma polar es:
º45210º45
10
10
2101010 22
Zarctg
ZZ
VZIV º4520º45210º02
2
Como:
º45
220202
20
00
00
VV
VV
La tensión total aplicada será:
VtsenV º45500220
V está adelantado respecto de I.
RL
_____________________________________________________________________________________
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5.2 En un circuito RC serie, con C = 20 F y R = 5 , circula una corriente de intensidad I=2 sen 5000t (A). Hallar la tensión total aplicada. RESOLUCIÓN:
º02
2
250002 0
0IItsenI
CjXRZ
Siendo 1050001020
116C
XC
º43361811º4336
510
1811105105
22
Zarctg
ZZ
jZ
º4336815143361811º02
2ZIV
luego:
VtsenV º4336500028151
V está retrasado respecto de I. 5.3 A un circuito serie RC, con R = 10 y C = 40 F, se le aplica una tensión: V = 500 sen(2500t - 20°) (V). Hallar la intensidad de la corriente que circula. RESOLUCIÓN:
RC
RC
_____________________________________________________________________________________
Página 6 de 16
º202
500º202500500 VtsenV
1025001040
116C
XC
º452101010 jZ
)º252500(225
º2525º45210
º202
500
tsenI
Z
VI
I
VZ
La intensidad está adelantada respecto del voltaje 5.4 Una corriente alterna de 50 Hz atraviesa un circuito donde hay una resistencia de 15 y una autoinducción colocada en serie de 0'15 mH. ¿Cuál es la intensidad eficaz cuando se aplica al circuito una tensión eficaz de 200 V? RESOLUCIÓN:
LjXRZ
047.015
047050210150·2 3
jZ
LLX L
luego:
15047015 22Z
AZ
VI e
e 333115
200
5.5 En un circuito serie RL la autoinducción vale L = 21'1 mH. A la frecuencia de
=60 Hz la corriente está retrasada 53'1° respecto a la tensión. Calcular el valor de la resistencia R. RESOLUCIÓN:
RL
_____________________________________________________________________________________
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8602101122 3LX L
Sabemos que la I está retrasada 53’1º respecto de V, luego:
º135ef
ef
ef
ef
I
VZZ
II
VV
Por tanto:
6º135
808º135
tgR
Rtg
R
XXtg CL
5.6 Hallar la impedancia equivalente y la intensidad de corriente que circula por cada rama del circuito de la figura.
RESOLUCIÓN:
º452122º45
15
15
212215151515
º43363622º4336
10
20
362220102010
2
222
2
1
221
1
Zarctg
Z
jZ
Zarctg
Z
jZ
RL
_____________________________________________________________________________________
Página 8 de 16
º1376081º3114952
º438125447
525
438125447
15152010
º452122º43363622
21
21
jjjZZ
ZZZe
AZ
VI
AZ
VI
º45439º452122
º0200
º4336948º43363622
º0200
22
11
5.7 En un circuito RLC serie, R = 10 , L = 20 mH, C = 40 F, se aplica la tensión V=300sen(500t - 10°) (V). Hallar: a) Impedancia equivalente. b) Intensidad de la corriente que circula. RESOLUCIÓN:
(a)
505001040
11
105001020
6
3
CX
LX
XXjRZ
C
L
CL
Luego:
º96572314º9657
1040
23144010
4010
22
Zarctg
Z
jZ
(b)
AZ
VI º96561455
º96572314
º102
300
Por tanto:
AtsenI º965650021455
RL C
_____________________________________________________________________________________
Página 9 de 16
5.8 Un circuito de corriente alterna está formado por una bobina de 10 de resistencia óhmica y 710 de inductancia. Calcular la intensidad eficaz para una tensión eficaz de 220 V, y la potencia disipada. RESOLUCIÓN:
En este caso:
070717101071010
10710
22ZjZ
RyX L
La intensidad eficaz será:
AZ
VI
ef
ef 31007071
200
Y la potencia disipada en el circuito:
WRIP efd 96010310 22
También podemos calcular la potencia disipada del siguiente modo:
cosefefd IVP
siendo º199810710
arctg
por tanto: WPd 960º1998cos310220
RL
_____________________________________________________________________________________
Página 10 de 16
5.9 Calcular la frecuencia de resonancia de un circuito con una autoinducción de 2 mH y una capacidad de 150 pF. RESOLUCIÓN:
El circuito entrará en resonancia cuando la impedancia sea mínima, es decir:
0rZ En nuestro caso, como R=0, tendremos que:
CL
XXX
r XXXjXjXRZ CL000
srad
LCCL
CX
LX
r
r
r
C
L5
123102681
10150102
1111
5.10 Dado el circuito de la figura determinar: a) Impedancia equivalente. b) Intensidad de corriente en cada rama. c) Potencia total consumida.
RESOLUCIÓN: a)
jZsenX
RZ 1350941
135º2015
0941º20cos15º2015 1
1
1
1
jZsenX
RZ 210210
210º4520
210º45cos20º4520 2
2
22
L C
_____________________________________________________________________________________
Página 11 de 16
º703778º30431883
º65300
2102101350941
º4520º2015
21
21
jjZZ
ZZZ e
b)
AZ
VI
AZ
VI
º012º4520
º45240
º2516º2015
º45240
22
11
c) Como la potencia total consumida es:
cosefefC IVP
Siendo el desfase entre la V y la I, o lo que es lo mismo la fase de la Ze. Necesitamos, por tanto, conocer la Ief total:
AZ
VI
e
ef
ef 3772778
240
Por tanto: WPC 28564º703cos3772240
5.11 En el circuito de la figura It = 50'2 |102'5° (A) y V = 100 |90° (V). Hallar el valor de la impedancia Z. RESOLUCIÓN:
La impedancia de la rama 1 será:
1I
VZ
Calculando la intensidad de dicha rama como: 321 IIII t
V Z
2
10
j2
tI 1I 2I 3I
_____________________________________________________________________________________
Página 12 de 16
AjZ
VI
AjjZ
VI
jIt
10º9010º010
º90100
2525º1352
50
º4522
º90100
22
º90100
01948601º5210205
33
22
º74499101411441102525019486011 jjjjI
Obtenemos:
º3540255º744991
º90100Z
5.12 En el circuito de la figura la frecuencia del generador de alterna es de 50 Hz. Hallar el valor de la capacidad del condensador para que el factor de potencia sea de 0'5 en adelanto.
RESOLUCIÓN: Con el factor de potencia, hallamos el argumento de la impedancia:
6050cos Como la It va adelantada º60 siendo el argumento de la impedancia total.
jZ
XZ C
25334º3050
º90
2
1
º6025334
º3050º90
21
21
T
C
CT Z
jX
X
ZZ
ZZZ
Como el argumento de ZT debe ser (-60º) y el argumento del numerador coincide con este valor el argumento del denominador tiene que ser (0º):
250334
250
334
2525334 C
CCC X
XXarctgjX
º20200V C º3050
1Z 2Z
_____________________________________________________________________________________
Página 13 de 16
Como FFX
CC
XC
C 1271027150225
111 4
5.13 Hallar las potencias activa, reactiva y aparente para cada una de las ramas del circuito y comprobar la relación que existe entre ellas. Determinar la potencia consumida por el circuito.
RESOLUCIÓN:
La potencia alterna es, jQPS , donde:
reactivaPotenciasenIVQ
activaPotenciaIVP
aparentePotenciaIVS
efef
efef
efef
cos
En primer lugar hallamos las impedancias de las ramas y la equivalente:
º33432º764698
º9020
336965
º9020
35252232
º605º304
º60535252
º304232
21
21
2
1
jjjZZ
ZZZ
jZ
jZ
e
Hallamos las intensidades de las ramas 1 y 2 y la total:
AZ
VI
AZ
VI
AZ
VI
eT º3349668
º33432
º0200
º6040º605
º0200
º3050º304
º0200
22
11
1 2
_____________________________________________________________________________________
Página 14 de 16
119251266017392
6928400080002
50008660100001
....
Total
Rama
Rama
RAVQWPAVS
5.14 Hallar la impedancia equivalente y la intensidad que circula por cada una de las ramas del circuito de la figura. Calcular también la intensidad total. RESOLUCIÓN: Hallamos la impedancia equivalente, a partir de las impedancias de cada rama:
jZ
jZ
Z
68
43
10
3
2
1
jjZZ
ZZZ 162972º36683
º171631
º133550
413
º13355º010
21
2112
º4281173º29916211
º870863
8439701
º870863
68162972
º876310º36683
312
312
jjjZZ
ZZZ e
Las intensidades de cada rama son:
AjZ
VI
AjZ
VI
AZ
VI
34º87635º876310
º050
86º133510º13355
º050
5º0510
º050
33
22
11
Y la intensidad total es:
AjZ
VI
eT 515º42817751
º4281173
º050
_____________________________________________________________________________________
Página 15 de 16
También podemos hallar la IT, como:
AjjjIIIIT 51534865321
5.15 Hallar la potencia suministrada por el generador de tensión del circuito de la figura, y las potencias disipadas en las resistencias. RESOLUCIÓN:
En primer lugar calculamos las impedancias tanto de las ramas como la total del circuito:
º1335543
º9055
10
3
2
1
jZ
jZ
Z
º1486771524971
52497º448197435
º13355º905
231
32
3223
jZZZ
jjjZZ
ZZZ
T
Con la impedancia total podemos obtener la intensidad que pasa por el generador:
AjIT 4082º148832º1486771
º050
Por tanto la potencia suministrada por el generador será:
WIVPefTefac 140148cos83250cos
Y la potencia disipada en la resistencia de 10 :
WRIPefT 8010832 22
10
º050
10
3
j5
j4
1Z
2Z 3Z
TI 1I 2I
A
B
_____________________________________________________________________________________
Página 16 de 16
Para calcular la potencia que es disipada en R=3 , necesitamos conocer la intensidad eficaz que circula por ella:
VjjVVVV
jZIV
RBA
TR
º301362242242850
428º148382
10
10 1
De modo que la intensidad será:
AjZ
VVI
BA 42º4336474º13355
º3013622
32
Y la potencia disipada en la resistencia de 3 : WRIP
ef603474 22
23
Podemos comprobar que la potencia total disipada en las resistencias del circuito, coincide con la suministrada por el generador:
WPPPT 140310
Hoja 1 de 2
Tema 6.- ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS. (RESUMEN)
Ecuaciones de Maxwell Las ecuaciones de Maxwell describen la totalidad de los fenómenos eléctricos y magnéticos. Para campos estáticos (no dependientes del tiempo) los campos E y B son independientes entre sí. Pero para campos variables en el tiempo ambos están interrelacionados, siendo más correcto hablar del campo electromagnético.
SdEdt
dIldB
SdBdt
dldE
SdB
qSdE i
000
0
0
La última ecuación constituye la Ley de Ampère-Maxwell donde, además de la corriente de conducción I, se incluye la corriente de desplazamiento. En espacio libre y en ausencia de corrientes y distribuciones de carga, las dos últimas ecuaciones adoptan la forma:
SdEdt
dldB
SdBdt
dldE
00
Estas ecuaciones predicen la existencia de ondas electromagnéticas. Nos indican que un campo B variable en el tiempo origina un campo E variable en el tiempo. A su vez, la segunda ecuación, nos indica que un campo E variable en el tiempo origina un campo B variable en el tiempo. Ambos campos se inducen y sustentan mutuamente. De estas ecuaciones se deriva que los campos eléctricos y magnéticos en el vacío deben cumplir la ecuación de onda:
2
2
22
2
2
2
22
2
1
1
t
B
cy
B
t
E
cy
E
xx
zz
Siendo: smc /10995.21 8
00
la velocidad de las ondas EM en el vacío. Estas ecuaciones son satisfechas, entre otras, por funciones de onda de la forma:
)(),(
)(),(
0
0
kytsenBtyB
kytsenEtyE
X
Z
La primera ecuación representa un campo eléctrico de amplitud E0 oscilando en la dirección del eje Z, de forma sinusoidal y propagándose en el sentido positivo del eje Y. La segunda ecuación representa un campo magnético de amplitud B0 = E0/c, vibrando en la dirección del eje X y propagándose, también, en la el sentido de las Y positivas. Ambos campos están en fase (alcanzan los máximos, los mínimos y los ceros en los mismos puntos), son perpendiculares entre sí y se propagan en la dirección del eje Y en el sentido que determina el
producto vectorial BE , con una velocidad fc
siendo la frecuencia 2/wf y la longitud de
onda k/2 , respectivamente. Las ondas E.M.
son ondas transversales porque las magnitudes perturbadas (campos eléctrico y magnético) vibran en direcciones perpendiculares a la dirección de propagación de la onda. Las ondas transversales pueden polarizarse. En este caso se trata de ondas polarizadas planas porque las oscilaciones de ambos campos se mantienen en un plano: ZY para el campo eléctrico y XY para el campo magnético.
Energía e Intensidad de una onda EM. La densidad de energía de una onda electromagnética viene dada por la expresión:
0
22
0 22
1 BEuuu BE [J/m
3]
Se cumple que las densidades de energía eléctrica y de energía magnética son iguales en una onda EM. Es decir, fijado un volumen, la energía se reparte por igual entre el campo eléctrico y el magnético. Tenemos, por tanto, que
022
0 /BEu
La intensidad de una onda EM se define como la cantidad de energía que fluye, por unidad de tiempo, a través de una superficie perpendicular a la dirección de propagación de la onda. Es decir:
dtdA
dUI [J/sm
2=W/m
2]
Se sigue entonces que la Intensidad de la onda EM se puede obtener multiplicando la densidad de energía por la velocidad a la que la energía fluye por
Hoja 2 de 2
dicha superficie, es decir, la velocidad de propagación de la onda:
ucI [W/m2]
El vector de Poynting El vecotr de Poynting se define de la siguiente forma:
0
BES [W/m
2]
siendo su módulo
ISS
y su dirección y sentido los de propagación de la onda electromagnética. En el caso de una onda armónica, la intensidad media Sm (valor medio del vector de Poynting) vale:
0
202
00000 22
1
2
1 cBcEBESm
Se sigue, por tanto, que la intensidad de una onda EM es proporcional al cuadrado de su amplitud. Normalmente, cuando se habla de la intensidad de una onda se refiere a la intensidad promedio. Presión de radiación De la misma manera que una onda EM transporta energía, también transporta una cantidad de momento lineal dada por:
cup /
Cuando una onda EM incide sobre una superficie reflectante, la presión que ejerce sobre dicha superficie, llamada presión de radiación vale:
c
Srp m)1(
donde r es el coeficiente de reflexión de la superficie en intensidad, cuyo valor es 0 si la onda es absorbida totalmente ó 1 si es reflejada totalmente. Espectro electromagnético
Dependiendo de su frecuencia (o de la longitud de onda) las ondas EM se clasifican en diferentes bandas. La totalidad de las bandas existentes constituye lo que se conoce como el espectro electromagnético. Atendiendo a las longitudes de onda, podemos dividir el espectro EM en: 1) Radiofrecuencia: varios km hasta 0.3 m 2) Microondas: desde 0.3m hasta 10
-3 m
3) Infrarrojos: desde 10-3
m hasta 7.8 x 10-8
m 4) Luz o espectro visible: desde 780 nm hasta 380 nm 5) Ultravioleta: desde 3.8 x 10
-7m hasta 6 x 10
-10 m
6) Rayos X: desde ~ 10-9
m hasta 6 x 10-12
m 7) Rayos gamma: desde ~ 10
-10 m hasta ~ 10
-14 m
Emisión y propagación de ondas E.M.
Las fuentes de ondas EM son las cargas eléctricas aceleradas. Cuando una carga oscila a una determinada frecuencia, se origina una onda EM de esa misma frecuencia. La manera de producir ondas EM es mediante antenas dipolares eléctricas (corrientes rectilíneas oscilantes) o antenas dipolares magnéticas (espiras) o combinaciones o variaciones de éstas. La potencia radiada por una antena dipolar eléctrica no es isótropa. Si la antena está orientada según el eje Z, la intensidad de emisión es nula a lo largo del eje Z y máxima en el plano XY. Cuando una onda EM se propaga en un medio material, su velocidad de propagación es:
v1
Se define el índice de refracción del medio como
n = c/v
Que se puede expresar en función de la permeabilidad y permitividad relativas como:
rrn
Para la mayoría de medios que transmiten ondas
EM 1r (medios no ferromagnéticos) y por tanto
rn
Como la permitividad relativa depende de la frecuencia de la onda EM, su velocidad depende de la frecuencia de la radiación. Esto origina la dispersión de la onda en un medio material. Aplicaciones:
- Antenas, emisión y recepción
- Comunicaciones inalámbricas
- Fibras ópticas
- Lectura y grabación de información en soporte óptico: CDs y DVDs
Página 3 de 13
RESOLUCIONES
6.1. En una onda electromagnética plana, que se propaga en el vacío, el campo eléctrico viene dado por:
IStysenE
EE
z
yx
.)1062(2
08
Determinar: a) la longitud de onda y su frecuencia b) el tipo de polarización c) la dirección de propagación d) el campo magnético asociado. RESOLUCIÓN: a) La longitud de onda y su frecuencia: Comparando la ecuación que describe el comportamiento del campo eléctrico con la ecuación del modelo:
IStkysenEEz .)(0
tenemos que :
Hz
mk
888 1031062106
122
2
b) El tipo de polarización: Ya que el campo eléctrico oscila según la dirección del eje z, se trata de una onda polarizada linealmente en el eje z. c) La dirección de propagación: Obsérvese, en primer lugar, la dependencia de Ez con la coordenada y, lo que indica que la onda se propaga en la dirección de dicho eje. Además, el signo negativo que aparece en la fase del campo eléctrico indica que la propagación tiene lugar hacia la derecha (valores crecientes de la coordenada y). En consecuencia, puede afirmarse que la onda se propaga en el sentido positivo del eje y. d) El campo magnético asociado: La dirección y sentido de propagación de la onda vienen dados por el vector de Pointing ( S ), que está definido por:
0
BES
Teniendo en cuenta la dirección de propagación de la onda, es claro que el campo magnético asociado, debe estar dirigido hacia el eje x:
Página 4 de 13
Por tanto, dicho campo magnético será de la forma:
c
EB
BB
zx
zy 0
Así pues:
IStysentysen
Bx .)1062(10676103
)1062(2 898
8
de donde:
IStysenB
BB
x
zy
.)1062(10676
089
6.2. Una onda electromagnética plana que se propaga en el vacío, en la dirección positiva del eje X, tiene una intensidad máxima del campo eléctrico de mV /106 3 . Si la onda está polarizada linealmente según el eje Y, y su longitud de onda es de 2m, determinar: a) las expresiones de los campos eléctrico y magnético que describen la onda b) el vector de Poynting c) la intensidad media de energía que transporta la onda. RESOLUCIÓN: a) Las expresiones de los campos eléctrico y magnético que describen la onda: Si la onda está polarizada linealmente según el eje y, y se propaga en la dirección positiva del eje x, el campo eléctrico será:
)(
0
0 tkxsenEE
EE
y
zx
z
x
E
B
S
y
Página 5 de 13
donde:
188
1
1032103
222
222
sc
mm
k
Por lo tanto, E será:
0
)103(106
0
,, 83
z
y
x
zyx
E
txsenE
E
EEEE
El campo magnético tendrá la dirección z y sentido positivo, entonces BE tendrá el sentido de k , (dirección positiva de x):
)(
0
0 tkxsenBB
BB
z
yx
de forma que:
8
830
0
103
)103(106 txsen
c
EB
c
EB
c
EB
y
z
y
z
Es decir: IStxsenBz .)103(102 85
b) El vector de Poynting será:
BES0
1
por lo que:
iBE
kjBE
kBjESyyzy
zy
000
1
sustituyendo valores:
itxsenS )103(102106104
1 82537
E
B
kx
y
z
Página 6 de 13
de donde:
ISitxsenS .)103(1059 824
c) La intensidad media de energía que transporta la onda, es el valor medio del vector de Pointing:
24
7
53
0
00 10841042
1021062 m
WBESSmedio
6.3. El vector de Poynting de una onda electromagnética plana que se propaga en el vacío es:
ISktzS .10310cos100 92
Determinar: a) la dirección de propagación de la onda b) la longitud de onda y la frecuencia c) las ecuaciones de los campos eléctrico y magnético. RESOLUCIÓN: a) La dirección y sentido de propagación de una onda electromagnética, vienen dadas
por los del vector de Pointing, en este caso, el eje z negativo.
b) Viendo la expresión del vector de Pointing, podemos asociar:
mk
k 62801022
10
Hz89
9 107742103
2103
c) Las ecuaciones de los campos las hallamos a partir de S0:
c
ES
BES c
EB
0
20
00
000
00
De donde:
Tc
EB
mVcSE
78
00
87000
10476103
2419
2419100103104
Página 7 de 13
Cuatro posibles soluciones que satisfacen las soluciones del problema serían las siguientes:
itzBjtzE
jtzBitzE
itzBjtzE
jtzBitzE
tkxBB
tkxEE
)10310cos(10476;)10310cos(2419
)10310cos(10476;)10310cos(2419
)10310cos(10476;)10310cos(2419
)10310cos(10476;)10310cos(2419
)cos(
)cos(
974
94
973
93
972
92
971
91
0
0
6.4. Una antena de radiodifusión emite isotrópicamente a 100 kHz con una potencia de 60 kW. Determinar: a) el número de onda y la frecuencia angular de las ondas radiadas b) la intensidad media de la onda a una distancia de 6 km de la antena c) la presión de radiación a esa distancia d) los valores máximos de los campos eléctrico y magnético. RESOLUCIÓN: a) Frecuencia angular:
srad53 1021010022
Número de onda:
148
5
10676103
102m
ckkc
b) Puesto que la antena emite en forma isótropa, la emisión es uniforme en todas las direcciones. Así pues, a una distancia r de la antena emisora, la energía se distribuye
x x
x x
y y
y y
z z
z z
E
E
E
E
B
B
B
B
S S
S S
Página 8 de 13
uniformemente en una superficie esférica de radio r. La intensidad media es el valor medio del vector de Pointing:
24
23
4
210331
1064
1064 m
Wr
PSI med
medmed
c) La presión de radiación en un punto, es igual a la intensidad media de la onda en dicho punto, dividida por su velocidad de propagación:
Pac
SP rad
rad
138
4
1043410310331
d) A una distancia r = 6km del foco podemos considerar que la onda es plana, por lo que la intensidad media se relaciona con el valor máximo del campo eléctrico mediante:
medmed cSEEc
BES 0020
000
0
22
1
2
1
Sustituyendo valores se tiene:
mVcSE med 31701033110310422 487
00
Por lo tanto el campo magnético será:
Tc
EB 9
80
0 100611033170
6.5. Con objeto de detectar la señal de una antena de radio que emite a 90 MHz se emplea una espira conductora circular de 30 cm de radio. Suponiendo que la antena radia isotrópicamente con una potencia de 25 kW, determinar la tensión eficaz que la onda electromagnética induce en la espira, si ésta se encuentra a una distancia de 20 km de la antena. RESOLUCIÓN:
Si la antena emite isotrópicamente, el sistema tiene simetría esférica. El área de la superficie esférica a una distancia r es, A=4 r
2, y en ella se distribuye la uniformemente la potencia media emitida:
24 r
P
A
PI medmed
med
Para un valor de r = 20Km y una Pmed=25KW:
r
emisoraantena
Página 9 de 13
26
23
3
210974
10204
10254 m
Wr
PI med
med
Como la intensidad media es igual al valor medio del vector de Pointing, queda:
2610974
mWSmed
Como a esa distancia, (20Km), la onda puede considerarse plana (aproximación de onda plana de la onda esférica), el valor medio del vector de Pointing es:
0
20
0
00
221 cBBE
Smed
De donde puede despejarse B0:
Tc
SB med 10
8
670
0 10042103
1097410422
que es la amplitud del campo magnético de la onda emitida por la antena. Para detectar la señal se usa una pequeña espira conductora circular de radio R=0´3m, que es un valor pequeño:
Como la espira es muy pequeña, podemos suponer que el campo magnético de la onda es constante en la superficie de la espira y además supondremos la situación más favorable posible, es decir, que B es perpendicular a la superficie de la espira:
El flujo magnético que atraviesa la espira será:
ABABAB BB
0cos Podemos calcular la f.e.m inducida aplicando la ley Faraday-Henry:
dt
dBr
dt
dBAAB
dt
d
dt
d B 2
Como estamos suponiendo que a la distancia de 20km la onda es plana, B tendrá la forma general:
)(0 tkxsenBB
de donde:
)cos(022 tkxBR
dt
dBR
cuyo valor máximo es:
022
02
02
0 22 BRBRBR
Puesto que la f.e.m inducida es sinusoidal, su valor eficaz es:
espiraantena
AB
Página 10 de 13
mVVBR
ef 2302302
109010042302
2
2
2
610220
220
6.6. Un transmisor de radar emite su energía dentro de un cono que abarca un ángulo sólido de 0.01 Sr. El campo eléctrico tiene una amplitud de 10 V/m a una distancia de 1km. Encontrar la amplitud del campo magnético y la potencia del transmisor. RESOLUCIÓN:
El campo magnético se puede hallar fácilmente de la relación:
Tc
EB 7
80
0 10330103
10
Para hallar la potencia del transmisor, debemos tener en cuenta que:
AIPA
PI medmed
medmed
De modo que necesitamos hallar el área A, a partir del ángulo sólido: 24232102
21010010010
3
mrArASrr
A mr
Por otro lado la Imed (suponiendo ondas electromagnéticas planas armónicas), es:
cuImed 2
1
donde 200 Eu
2282122
00 10273110310108582
1
2
1m
WcEImed
Sustituyendo en la expresión de la potencia:
WAIP medmed 132710102731 42
r
A
Página 11 de 13
6.7. La radiación electromagnética del Sol incide sobre la superficie de la Tierra con una intensidad media de 23 /1041 mW . Suponiendo que esta radiación puede considerarse como una onda plana, estimar el módulo de las amplitudes de los campos eléctrico y magnético de la onda. RESOLUCIÓN:
La intensidad media es:
231041
mWImedia
Considerando que la onda que nos llega a la tierra, es aproximadamente una onda plana, igualamos este valor al de la intensidad media de una onda plana:
mV
c
IEcE med 3
812
3
00
3200 10151
10310858
1041221041
2
1
Tc
EB 6
8
30
0 10843103
10151
6.8. Las ondas de radio recibidas en un radiorreceptor tienen un campo eléctrico de amplitud máxima igual a mV /10 1 . Suponiendo que la onda se puede considerar plana, calcular: a) la amplitud del campo magnético b) la intensidad media de la onda c) la densidad media de energía d) Suponiendo que el receptor está a 1 km de la radioemisora y que ésta irradia energía en forma isótropa, determinar la potencia en la estación. RESOLUCIÓN: a) Si la onda es plana podemos hacer:
Tc
EB 9
8
10
0 10330103
10
mr 1110491
Sol
Tierra
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b) La intensidad media de la onda es el valor medio del módulo del vector de Pointing, cuyo valor es:
cEBE
SI medmed
200
0
00
21
21
de donde:
2610331
mWImed
c)La intensidad media de energía será:
31510424
mJ
c
IucuI med
medmedmed
d)
WIrPr
P
área
PI medmed
medmedmed 1674
42
2
6.9. Una onda electromagnética de frecuencia , que se propaga en el vacío, penetra en un medio material no magnético de permitividad relativa r . Determinar la variación que experimenta su longitud de onda.
RESOLUCIÓN: Si 0 y c son la longitud de onda y la velocidad de la onda en el vacío, y y v la
longitud de onda y la velocidad de la onda en el medio, como la frecuencia, f, no cambia:
f
cfc 00
La c puede expresarse mediante:
00
1c
Y en el medio material:
f
vfv
La v se puede expresar como:
rrrrrr
cv
1111
0000
Si el medio es no magnético, 1r , por lo que:
r
emisor
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rr f
c
f
vcv
La variación en la longitud de onda, , queda:
11
0
rrf
c
f
c
f
c
Como 1r , queda:
011
11
rr
con lo cual:
00
Por tanto la longitud de onda de una onda electromagnética, disminuye al pasar del vacío a un medio material.
