Teoría de Conjuntos y Conjuntos Numéricos · Esta notación se conoce como forma de listado o...
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Teoría de Conjuntos y Conjuntos Numéricos
U N I V E R S I D A D D E P U E R T O R I C O E N A R E C I B O
D E P A R T A M E N T O D E M A T E M Á T I C A S
P R O F A . Y U I T Z A T . H U M A R Á N M A R T Í N E Z
A D A P T A D A P O R
P R O F A . C A R O L I N E R O D R Í G U E Z M A R T Í N E Z
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¿Qué es un conjunto?
Un conjunto es una colección bien definida
de objetos.
“Bien definida” se refiere a que para cualquier objeto que consideramos, podemos determinar si está o no, en el conjunto.
Una colección no está bien definida si el criterio que determina si un elemento pertenece o no al conjunto depende de opiniones o preferencias.
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Ejemplos
Conjuntos bien definido
El conjunto de las vocales del alfabeto español.
El conjunto de los profesores de matemáticas de la UPRA durante el primer semestre del 2017-2018.
Conjunto que NO está bien definido
El conjunto de los mejores sabores de mantecado
El conjunto de los actores más guapos de Hollywood
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Notación de lista para conjuntos
Los objetos que forman un conjunto se llaman los elementos del conjunto.
Un conjunto se puede representar enumerando sus elementos separados por comas y entre llaves.
Esta notación se conoce como forma de listado o lista.
Por ejemplo:
1. Los elementos del conjunto de las vocales del alfabeto español son {a, e, i, o, u}.
2. Los elementos del conjunto de los colores primarios se son {azul, rojo, amarillo}.
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Notación de elementos
Los elementos del conjunto se denotan o representan con letras minúsculas.
Se utilizan letras mayúsculas, como A, B, y C, para representarconjuntos.
Para un conjunto A, escribimos a ∈ A si a es un elemento de A (∈significa “pertenece al conjunto”).
Para un conjunto A, escribimos a ∉ A si a NO es un elemento de A (∉ significa “NO pertenece al conjunto”).
Por ejemplo:
Sea B = {☼, ♫, ☺, □} entonces,
☺___ B
@ ___B
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Conjunto vacío
El conjunto vacío o nulo, es el conjunto que NO contiene elementos.
Se denota como {} o Ø.
Por ejemplo:
El conjunto de los estudiantes de este salón que han ido al satélite de la Tierra llamado la Luna.
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Subconjunto
C es subconjunto de D y escribimos
C D
si cada elemento de C es un elemento del conjunto D.
Ejemplo:
Sea D = {1, 2, 3, %, 0} y C = {%, 1} entonces, C D, por que todos los elementos de C son también elementos de D.
Cierto o Falso: D es subconjunto de D.
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Ejemplo
Indique si la aseveración es cierta o falsa:
Si A = {lunes, martes, jueves} y
B = {lunes, martes, viernes} entonces
B A.
Solución:
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Para el siguiente ejercicio, el símbolo implica “subconjunto de”.
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Conjuntos numéricos
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Naturales
Números de conteo
{1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
A este conjunto se le asigna la letra N.
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
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Cardinales
• Son utilizados para contar el número de elementos en un conjunto dado.
• Se compone de los números naturales + cero
• En inglés el conjunto se llama “Whole Numbers” por lo que algunos le designan la letra W.
W = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
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Opuestos de naturales
2 0
Dos números son opuestos o inversos aditivos si al sumarlos el total es cero.
Por ejemplo:
En general, cualquier número real más su opuesto es igual a cero.
Para n un número real,
n + (─n ) = ─n + n = 0.
1 1 0
2
(-5) + = 05
(-10) + = 010
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Enteros
La unión de los naturales, cero y los opuestos de los naturales
{…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}
es el conjunto de los enteros.
A este conjunto se le asigna la letra Z.
Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}
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Sub-conjuntos de los Enteros
implica “es subconjunto de”
El conjunto de los naturales es subconjunto del conjunto de los enteros, N Z, ya que todos los elementos de N están en Z.
El conjunto de los cardinales es un subconjunto de Z, W Z.
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Más sub-conjuntos de los Enteros
Al conjunto {0, 1, 2, 3, 4, …} se le llama el conjunto de los enteros no negativos pues no contiene enteros negativos.
Al conjunto {…, −4, −3, −2, −1, 0} se le llama el conjunto de los enteros no positivospues no contiene enteros positivos.
El conjunto de los enteros positivos es {1, 2, 3, 4, …} y se denota 𝑍+
El conjunto de los enteros negativos es{…, −4, −3, −2, −1} y se denota 𝑍−.
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Naturales
N={1, 2, 3, 4, …}{0} {-1, -2, -3, …}
Enteros,
Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
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Racionales
Este conjunto está compuesto por los enteros, las fracciones de naturales y los opuestos de las fracciones de naturales.
A este conjunto se le asigna la letra Q.
𝑄 =𝑝
𝑞| 𝑝 ∈ 𝑍, 𝑞 ∈ 𝑍 𝑦 𝑞 ≠ 0
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Racionales
Ejemplos:
5
3
11
4
11
4
8
5
8
5
9
2
9
2
42
8
33
9
07
0
Fracciones
de
naturales
Opuestos de
fracciones de
naturales
Enteros
510
50
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Tipos de números racionales
Cualquier número racional se puederepresentar con uno de dos tipos de númerosdecimales:
decimal exacto
Ejemplo:
decimal periódico (o decimal inexacto)
Ejemplo:
2504
1.
3033303
1.....
3
8= 0.375
5
12= 0.41666… = 0.41 6
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Naturales
N={1, 2, 3, 4, …}{0} {-1, -2, -3, …}
Enteros,
Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
Fracciones de naturalesOpuestos de fracciones
de naturales
Racionales
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Irracionales
Un número que NO se puede representar como el cociente de dos enteros, es irracional.
La representación decimal de los númerosirracionales
a) nunca termina (no es exacta)
b) nunca se repite (no es periódica).
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Irracionales
Ejemplos
3 ≈ 1.7320508075688772935274463415
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Comparación entre un número racional y uno irracional
0.714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285 …
1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011
2 5
7=
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Reales
Es la unión del conjunto de los númerosracionales y del conjunto de los númerosirracionales.
Básicamente, es el conjunto que contienetodos los números que usamos en nuestrodiario vivir para hacer cómputos.
Se denota con R.
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Naturales
N={1, 2, 3, 4, …}{0} {-1, -2, -3, …}
Enteros,
Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
Fracciones de naturalesOpuestos de fracciones
de naturales
Racionales,
Q = {p/q | p, q son enteros y q ≠ 0}
Irracionales
Reales, R
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¿Cuál miembro de A pertenece a cada conjunto?
A = 0,−𝜋,4
3, 2 3, 1.414,
2
7, 12. 3, 7, −23
NATURALES:
ENTEROS:
RACIONALES:
IRRACIONALES:
REALES:
7
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Operaciones con conjuntos
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Operación de conjuntos: Unión
Para A, B la unión de A y B está dada por:
A B = {x | x A o x B}.
Este conjunto contiene a los elementos en A o en B o en ambos.
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Ejemplo
Si A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {6, 8, 10, 12, 14} y
C = {4, 6, 10}, determine:
1. A B =
2. A C =
3. B C =
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Operación de conjuntos: Intersección
Para A, B la intersección de A y B está dada por:
A B = {x | x A y x B}.
Este conjunto contiene todos los elementos que están en A y en B, simultáneamente.
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Ejemplo
Si A = {1, 3, 5, 8, 10}, B = {1, 6, 8, 10, 12, 14} y C = {14, 16, 18}, determine:
1. A B
2. B C
3. A C
4. C B
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Conjuntos disyuntos
Si A B = Ø entonces A y B son conjuntos disyuntos.
Dos conjuntos son disyuntos si no tienen elementos en común.
Ejemplo: Si A = {1, 3, 5, 7, …}, B = {0, 2, 4, 6, 8,…} y C = {23, 24, 25, …}
Cierto o Falso
_____ A∩ B = ∅
_____ C ∩ B = ∅
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Práctica: Determinar cada unión o intersección
si:
A={2,5}, B={5, 7, 9}, C={1, 3, 5, 7} y
D={2, 4, 6, 8} determine:
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La recta numérica real
Los números reales se pueden localizar en unarecta numérica, colocando un punto en la localización correcta del número.
A = −2, 0, 2, −1
2,1
3, 𝜋,
11
4, − 2, 16
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Notación constructiva o generadora de conjuntos
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Notación constructiva o generadora para conjuntos
Otra representación para un conjunto es la forma constructiva o generadora de conjuntos.
En esta forma se define un conjunto enunciando propiedades que deben tener sus elementos.
Al igual que en forma de listado se utilizan llaves.
Ejemplo:
El conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, …, 10} en notación constructiva se puede escribir de varias formas,
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Notación constructiva
Ejemplo: Escriba el conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5,…, 100} en notación constructiva.
Observación: D = {x | x ≤ 100}, es un conjunto distinto, ya que D contiene TODOS los números menores o iguales a 100.
Por ejemplo,
0 ∈ D pero 0 ∉ C;
-50 ∈ D pero -50 ∉ C;
½ ∈ D pero ½ ∉ C
2 ∈ D pero 2 ∉ C
25.35 ∈ D pero 25.35 ∉ C
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De notación constructiva a lista
Ejemplo: Escriba el conjunto “los naturales entre 5 y 10” en notación constructiva y en forma de lista:
Solución: