X.MANUEL BESTEIRO ALONSO Colexio Apostólico Mercedario VERÍN

TRIGONOMETRÍA

TRIGONOMETRÍA = medida de triángulos

Permite coñecer tódolos elementos dun triángulo( lados e ángulos) a partir do coñecemento dalgun lado e dalgún ángulo

Relaci ns trigonom tricasó é1Unidades para medir ángulos: o grao sesaxesimal

A unidade máis coñecida para medir ángulos é o grao sesaxesimal.

O grao sesaxesimal é a medida de cada un dos ángulos que resultan ao dividir un ángulo recto en 90 ángulos iguais.

O grao ten dous submúltiplos:

• O minuto (´), que se obten ao dividir un grao en 60 partes iguais.

• O segundo (´´), que se obten ao dividir un minuto en 60 partes iguais.

Para expresar medidas de ángulos non enteiros sólense utilizar as dúas formas seguintes:

Forma Complexa:

Forma incomplexa:

por exemplo: 45º 30´ 55´´

por exemplo 32,257º

1g

Relaciones trigonom tricasé1

Unidades para medir ángulos: o grao centesimal

O grao centesimal é a medida de cada un dos ángulos que resultan ao dividir un ángulo recto en 100 ángulos iguais.

O grao centesimal ten dous submúltiplos:

• O minuto (min), que se obten ao dividir un grao en 100 partes iguais.

• O segundo (s), que se obten ao dividir un minuto en 100 partes iguais.

Para expresar medidas de ángulos non enteiros sólense utilizar as dúas formas seguintes:

• Forma complexa:

• Forma incomplexa:

por exemplo: 45g 30min 55s

por exemplo 32,257g

O radián é un ángulo plano , que tendo o seu vértice no centro dun círculo, intercepta sobre a circunferencia un arco de lonxitude igual ao raioÉ un vector perpendicular ao plano do ángulo e sentido o do avance do parafuso.

S

αr

Se S = r , entonces α = 1 radián

Unidades para medir ángulos: o RADIÁN

EQUIVALENCIAS ENTRE GRAOS SESAXESIMAIS , CENTESIMAIS E RADIÁNS

0g = 0º = 0Rad

100g = 90º = π/2 rad

200g = 180º = π rad

300g = 270º = 3π/2 rad

360º = 400 g =2π rad

g

gcent

º

issesaxesimaº

Rad

Rad

4003602==

Π

400g = 360º = 2π rad

Relaciones trigonom tricasé2Paso de forma complexa a imcomplexa e viceversa

Para pasar da forma decimal á forma graos-minutos-segundos ...

por exemplo, 32,257º = 32 º+ 0,257º ( a parte decimal pasámola a minutos)Multiplicamos 0,257º por 60:

Multiplicamos 0,42´por 60:

0,257º · 60 = 15,42´= 15 min +0,42 min

0,42´· 60 = 25,2´´

Logo: 32,257º = 32º 15´ 25,2´´

Para pasar da forma graos-minutos-segundos á decimal, pásanse a graos os minutos e os segundos.

Dividindo os minutos por 60:

Dividindo os segundos por 3600 (60 · 60):

Logo: 45 º 30´55´´ = 45º + 0,5º + 0,0152777... = 45,5152777...º

Por exemplo, 45º 30´55´´

º5,060

30´30 ==

...º0152777,03600

55 =

RAZÓNS TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS AGUDOS

CATETO OPOSTO (b)

CATETO CONTIGUO (a)

HIPOTENUSA (c)

SENO COSENO

TANGENTE

COTANGENTESECANTE

COSECANTE

Hipotenusa

opostoCatetoSenB =

Hipotenusa

contiguoCatetoCosB =

iguoCatetocont

opostoCatetotgB =

SenBBsecCo

1=

CosBSecB

1=tgB

CotgB1=

B

12

35

H2 2 2H 12 35= +

TEOREMA DE PITÁGORAS

H 1369= = 37

senθ =

cos θ =

12373537

sec θ = 3735

EXEMPLO :

EXEMPLO :Sabendo que θ é un ángulo agudo tal que senθ=2/3 calcula as restantes razóns trigonométricas

23θ

θ

35

12 =θtg

12

35 =θCotg

12

37 =θsecCo

Razóns trigonométricas de ángulos agudos: seno dun ángulo

c

bsenB =

• Se a hipotenusa mide 1, a medida do cateto oposto ao ángulo B, chámase “seno de B”.

• Simbolízase sen B.

1=c

CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA É aquela circunferencia de raio igual a unidade

bSenB =

c=1b

Razóns trigonométricas de ángulos agudos: coseno dun ángulo

c

aCosB =

1=caCosB =

c=1b

a

• Se a hipotenusa mide 1, a medida do cateto contiguo ao ángulo B, chámase “coseno de B”.

• Simbolízase cos B.

Razóns trigonométricas de ángulos agudos: tanxente dun ángulo

• Se a hipotenusa mide 1, a medida do segmento ST, chámase “tanxente de B”.

• Simbolízase tg B.

Por semellanza de triángulos tense que:

tan B b btan B1 a a

= ⇒ =

• A tanxente dun ángulo B é igual ao cateto oposto dividido polo cateto contiguo.

Como ABC e SBT son semellantes:TS sen B sen BTS1 cos B cos B

= ⇒ =

21

2

1tancos

α+ =α

Aplicando o Teorema de Pitágoras:1.- TEOREMA FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA:

(sen α)2 + (cos α)2 = sen2 α + cos2 α = 1

RELACIÓNS ENTRE AS RAZÓNS TRIGONOMÉTRICAS

sentancos

αα =α

Dividindo na 1ª relación por cos2 α 2 2

2 2 2

cos sen 1

cos cos cos

α α+ =α α α

2.- RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA:

3.- RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA:

Relación entre las razones trigonométricas. Segunda relación fundamental

No triángulo rectángulo ABC, pódese considerar a tanxente do ángulo C.

C cos

Csen

hipotenusacontiguo cateto

hipotenusaopuesto cateto

abac

b

c

contiguo cateto

opuesto cateto C tg =====

Para cualquier ángulo α, se verifica que su tangente es igual al cociente entre el seno y el coseno del ángulo.

α cos

αsen α tg =

Completa a seguinte taboa

α

0,75tgα

0,12Cosα

0,20,92Senα

2

5

• Exemplo 1 Verifica a seguinte identidade:

1seccos =θθ

1cos

1cosseccos =

θθ=θθ

θsec)θsen)(θsen( 2

111 =−+

θ−=θ−θ+ 2sen1)sen1)(sen1(

θ=

θ=

2

2

sec1

cos

❧ Exemplo 2Verifica a seguinte identidade

Solución

Solución

Usando as identidades reciprocas

DEMOSTRA AS SEGUINTES IGUALDADES TRIGONOMÉTRICAS

Razóns trigonométricas de ángulos de 30º, 60º e 45º

É importante coñecer as razóns trigonométricas destes ángulos xa que aparecen con moita frecuencia ,e ademáis, permiten calcular as razóns de moitos ángulos que imos poñer en función deles

60º

30º

45º

Triángulo equilátero de lado L

Cadrado de lado L

Razóns trigonométricas de ángulos de 30º e 60º

1. Trazamos un triángulo equilátero de lado L2. Trazamos a altura correspondente á base, ca cal dividimolo triángulo

equilátero en dous triángulos rectángulos3. Calculamos a altura aplicando pitágoras

60º

30º

Triángulo equilátero de lado L

60º

L

L/2

h

H2 = C12 + C2

2

L2 = h2 + (L/2)2

L2 = h2 + L2/4

L2 - L2/4= h2

L2 - L2/4= h2 3L2/4= h2

Lh2

3=

Razóns trigonométricas de ángulos de 30º e 60º

2

160 =ºCos

60

6060

Cos

Senºtg =

60º

L

L/2

30º L

LºSen 2

3

60 = 2

360 =ºSen

L

L

ºCos 260 =

2123

60 =ºtg

Lh2

3=

360 =ºtg

2

16030 == ºCosºSen

2

36030 == ºSenºCos L

L

ºtg

23230 =

3

130 =ºtg

3

330 =ºtg

245

L

LºSen =

Razóns trigonométricas de ángulos de 45º

245

L

LºSen = Lh

2

3=

2Ld =

45º

Cadrado de lado L

1. Trazamos un cadrado de lado L2. Trazamos a diagonal obtendo dous triángulos

rectángulos3. Calculamos a diagonal aplicando pitágoras

H2 = C12 + C2

2

d2 = L2 + L2 22Ld =22 LLd +=

2

145 =ºSen

2

245 =ºSen

245

L

LºCos =

2

145 =ºCos

2

245 =ºCos

L

Lºtg =45 145 =ºtg

2L

Taboas das razóns dos ángulos principais

010360º

0-1270º

0-10180º

0190º

0100º

145o

1/230o

1/260o

tangentecosenosenoángulo

23

23

3

3

1

22

22

Relación entre las razones trigonométricas. Segunda relación fundamental

No triángulo rectángulo ABC, pódese considerar a tanxente do ángulo C.

C cos

Csen

hipotenusacontiguo cateto

hipotenusaopuesto cateto

abac

b

c

contiguo cateto

opuesto cateto C tg =====

Para cualquier ángulo α, se verifica que su tangente es igual al cociente entre el seno y el coseno del ángulo.

α cos

αsen α tg =

AMPLIACIÓN DO CONCEPTO DE ÁNGULO

Sentido negativo

Orixe da medida de

ángulos

α = 405º

β= –105ºSentido positivo

Ángulo reducido dun ángulo é o ángulo menor que 360º definido pola

súa mesma posición

O ángulo reducido de 405º é o de 45º

AMPLIACIÓN DO CONCEPTO DE ÁNGULO

α = 405º

OBTENCIÓN DO ÁNGULO REDUCIDO DUN ÁNGULO

MAIOR DE 360º

1. Divimos ao ángulo entre 360 sen eliminar ceros no dividendo e no divisor

3. 405 360

145

As razóns trigonométricas do ángulo maior de 360 son as mesmas cás do resto da división

Razóns de 405º = razóns de 45º

RAZÓNS TRIGONOMÉTRICAS DUN ÁNGULO CALQUERA

α y y

y y

x

x x

r

r

r

α

αα

r

xysenα=

xcosα=

xytanα=

Collendo a circunferencia goniométrica (r = 1), As razóns trigonométricas do ángulo α, coinciden coas coordenadas do punto P

P

P

P

P

SIGNO DAS RAZÓNS TRIGONOMÉTRICAS EN CADA CUADRANTE

r = 1 u.

r = 1 u.

r = 1 u.

α

αα

αr = 1

u.

cos α

0º

90º = π/2 rad

180º = π rad

270º = 3π/2 rad

360º = 2π rad

Signos do (coseno, seno)en cada cuadrante

(+,+)(+,+)(–,+)(–,+)

(–, –)(–, –) (+, –)(+, –)

III

III IV

sen

α

cos αse

n α

sen

α

cos α

sen

α

cos α

RAZÓNS TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS (Suman 180º)

Se un ángulo mide α , ο seu suplementario mide 180º – α.

α

x

y

–x

180º – α sen (180º – α) = sen α

cos (180º – α) = – cos αy

tan (180º – α) = – tan α

11

RAZÓNS TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE DIFEREN EN 180º

sen (180º + α) = – sen α

cos (180º + α) = – cos α

tan (180º + α) = tan α

Se dous ángulos diferen en 180º e un mide α o outro mide 180º + α.

α

x–x

180º + α

y

–y

1

1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOS

sen (– α) = sen(360º – α) = – sen α

cos (– α) = cos(360º – α) = cos α

tan (– α) = tan(360º – α) = – tan α

Se dous ángulos son opostos e un mide α o outro mide – α.

–y

yα

x– α

1

1

RAZÓNS TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Se un ángulo mide α, ο seu complementario mide 90º – α.

sen (90º – α) = AC / AB = cos α

cos (90º – α) = BC / AB = sen α

α

90 ο − α

A

B

C

tan (90º – α) = 1 / tan α

COMPLETA A SEGUINTE TABOA A PARTIR DAS RAZÓNS DE 30,60 e 45

330º315º240º225º210º150º135º120º

tg

Cos

Sen

1. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

2. CÁLCULO DE DISTANCIAS CANDO SE COÑECEN ÁNGULOS E LADOS

3. CÁLCULO DE ÁREAS

4. TOPOGRAFÍA

APLICACIÓNS DA TRIGONOMETRÍA

a 6

3

ÁNGULOS DE ELEVACIÓN E DE DEPRESIÓN

Son ángulos agudos contidos nun plano vertical e formados por dúas líñas imaxinarias chamadas horizontal e visual

αθ

ÁNGULO DE ELEVACIÓN

ÁNGULO DE DEPRESIÓN

HORIZONTAL

VISUAL

VISUAL

))

Unha persoa observa nun mesmo plano vertical dous ovnis voando a unha mesma altura con ángulos de elevación de 530 e 370 ,se a distancia entre os ovnis é de 70m ¿A qué altura están os ovnis?

EXEMPLO :

SOLUCIÓN

) ) o37O53

70

H

) O53x) o37

y = x + 70+

tg53º=H/x

x=92H = 1,327x

H

tg37º=H/(x+70)1,327=H/x0,754=H/(x+70) 0,754=1,327x/(x+70)

H = 122

Resolución de triángulos rectángulos

Un triángulo está resolto cando se coñecen estes seis elementos; para elo baseámonos nas seguintes relacións:

Nun triángulo rectángulo aparecen seis elementos: tres lados, a, b e c

e tres ángulos A,B eC

c

b Bsen =

Relacións ente ángulos

180º C B A =++ 90º B A =+

Relacións ente lados: teorema de Pitágoras 222 c b a =+

Relacións ente lados e ángulosc

a B cos =

a

b B tg =

Para resolver un triángulo rectángulo necesítanse como mínimo:• Dous lados

• Un lado e un ángulo agudo

Por Pitágoras calcúlase o terceiro lado e coas razóns trigonométricas os ángulos.

O outro ángulo agudo calcúlase pola relación entre ángulos; coas razóns trigonométricas calculamos os lados.

6

Razóns trigonométricas de ángulos agudos: Exercicio resolto

Resumindo, para o triángulo rectángulo ABC, tense:

a

c Csen =

a

b C cos =

b

c C tg =

O seno e o coseno dun ángulo agudo é sempre un número menor cá unidade, pois a hipotenusa é sempre maior cós catetos. Sen embargo, a tanxente pode tomar calquera valor.

Un triángulo rectángulo ten de lados 3, 4 e 5 cm. Hallar as razóns trigonométricas dos ángulos agudos A e B.

Exercicio resolto

5

3 Bsen =

5

4 B cos =

4

3 B tg =

5

4 Asen =

5

3 A cos =

3

4 A tg =

Obtención das razóns trigonométricas con calculadoras

Os debuxos no siempre permiten calcular as razóns trigonométricas; por iso foi necesario ao longo dos séculos ir obtendo taboas de razóns trigonométricas. As calculadoras científicas dan o valor das razóns trigonométricas coñecido o ángulo e ao revés.

Para o seno utilízanse as teclas e .sin sin-1

Por exemplo: 30º = 0,5 sin sin-1 Ao revés: 0,5 = 30º

Para o coseno utilízanse as teclas e .cos cos-1

Por exemplo: 33º = 0,8387 cos cos-1Ao revés: 0,97437 = 13º

Para a tanxente utilízanse as teclas e.tan tan-1

Por exemplo: 33º = 0,5494 tan tan-1Ao revés: 5,14455 = 79º

Os lados que interveñen son a hipotenusa e o cateto contiguo ao ángulo coñecido.

8910,0x

6 =

Calcula a medida do lado BC no seguinte triángulo rectángulo.

⇒

Interesa utilizar o coseno

Razones trigonométricas: para practicar8

hipotenusa

contiguo cateto27º cos =

⇒ cm 6,730,8910

6x ==

Relación entre as razones trigonométricas. Exercicio resuelto

Se α é un ángulo agudo e sen α = 0,6, ¿canto valen as outras duas razóns?

Exercicio resolto

Sustitúese sen α polo seu valor na fórmula 1α cos α sen 22 =+

1α cos (0,6) 22 =+ 0,64 0,36 - 1α cos2 ==

8,00,64 α cos ==

α cos

αsen α tg =

Por outra parte:

75,00,8

0,6 α tg ==

Resolución de triángulos rectángulos. Exercicio resolto 1

Dun triángulo rectángulo ABC coñécense a hipotenusa c = 15 cm e o ángulo B = 20º. Calcular os outros elementos

Exercicio resolto 1

90º B A =+ 70º 20º - 90º A ==

15

b 20ºsen = b = 15 · sen 20º = 15 · 0,3420 = 5,1303

15

a 20º cos = a = 15 · cos 20º = 15 · 0,9396 = 14,0954

Ángulo A:

Cateto b:

Cateto a:

c

b Bsen =

90º B A =+

c

a B cos =

Resolución de triángulos rectángulos. Exercicio resolto 2

A hipotenusa dun triángulo rectángulo mide c = 25 m e o cateto a = 20 m. Calcular os outros elementos.

Exercicio resuelto 2

Teorema de Pitágoras:

⇒ b = 15 m

222 c b a =+

625 b 400 2 =+ 225 b2 =

8,025

20 B cos ==

6,025

20 Asen ==

Ángulo B:

Ángulo A:

c

a B cos =

c

b Asen =

º87,36 B =

º13,53 A =O ángulo A tamén se pode obter aplicando a relación: 90º B A =+

Resolución de triángulos rectángulos. Aplicación 1

Calcula a área dun pentágono regular de lado 20 cm.

Aplicación 1

Un pentágono regular pode inscribirse nunha circunferencia.

º725

360 =

O ángulo central dun pentágono vale:

⇒ el ángulo mitad es 36º

a

1036º tg =

No triángulo OAH, sendo a a apotema tense:

76,1336º tg

10a ==

Área do pentágono = 10 · área do triángulo OAH

Área do pentágono =2cm 688,19

2

)36º ·10/(tg 10 · 10 =

72º

O

A B

Resolución de triángulos rectángulos. Aplicación 2

2,5

h 56ºsen =

2cm 62,622,07 · 6,4

S ==

a) A altura h sobre o lado a corta a BC en H.

b)A área do triángulo mide:

Dado o triángulo = 56º, c = 2,5 cm, a = 6,4 cm:

a) Calcula a medida da altura sobre o lado a.

b) Calcula a área do triángulo.

B

O triángulo ABH é rectángulo en H.

Como: h = 2,5 · sen 56º = 2,5 · 0,8290 = 2,07 cm

Aplicación 2

TEOREMA DOS SENOS (I)

ENUNCIADO

Nn triángulo calquera os lados son proporcionais aos senos dos ángulos opostos.

A B

C

c

ab

C

c

B

b

A

a

sensensen==

APLICACIÓN DO TEOREMA DOS SENOS

1. Resolución de calquera triángulo coñecendo 2 lados e o ángulo oposto a un deles

2. Resolución dec alquera triángulo coñecendo 2 ángulos e un lado

3. Cálculo da distancia entre dous puntos, un dos cales é inaccesible

4. Cálculo da distancia entre dous puntos inaccesibles

APLICACIONES DO TEOREMA DOS SENOS

Dúas boias A e C están situadas a 64 m de distancia. Un barco encóntrase a 35 m da máis cercana(A).O ángulo formado polas visuais das boias é de 30º.¿Qué distancia separa ao barco da boia máis alonxada(C)?

AB

C

64

35

d

30º

Aplicando o Teorema dos Senos:

Csen

35

º30sen

64 = senC = 0,2734

C = 15º52’8’’ A = 134º7’52’’

Aplicando de novo o Teorema dos Senos: .92º30sen

sen64m

Ad ≈⋅=

Nun Supermercado A prodúcese un roubo. A alarma está conectada a 2 Comisarías cercanas B e C, separadas entre sí por 4 Km. Cos datos do debuxo, se os ladróns salen do local 2 minutos despois de soar a alarma e o coche da policía de B vai a 80 Km/h e o de C a 120 Km/h, ¿Chegará alguno deles antes de que saian os ladróns?.

APLICACIÓNS DO TEOREMA DOS SENOS

A

B Ca=4Km

c b60º

45º

A = 180º - (B+C) = 75º

Aplicando o Teorema dos senos: C

c

B

b

A

a

sensensen==

KmA

Bab )33(22

º75sen

º60sen4

sen

sen −=⋅=⋅=

KmA

Cac )13(4

º75sen

º45sen4

sen

sen −=⋅=⋅=

Chegan os de C

( )h,

v

et 0370

80

134 =−==

( )h,

v

et 030

120

3322 =−==

PROBLEMAS DE MÓVILESUn avión observa dos ciudades A y B bajo ángulos de depresión de 30º y 45º respectivamente. Si la distancia entre las ciudades es de 40 Km, calcula la altura a la que se encuentra y la distancia que le separa del campo de aterrizaje en la ciudad B.

A B

30º 45ºh

40 Km

Entonces A=30º y B=45º. Por tanto C=105º

Aplicando el Teorema de los Senos obtenemos a:

aKm

C

Aca 7,20

º105sen

º30sen40

sen

sen ≈⋅=⋅=

En el triángulo rectángulo de la derecha:a

hB =sen

Despejando calculamos h: mBah 637.14sen =⋅=

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

Resolver el triángulo ABC conocidos: a = 10 cm, b = 16 cm y A = 30º.

A

B

C

a

b

c

Aplicando el Teorema de los Senos:

B

b

A

a

sensen= 8,0

sensen ==

a

AbB

Por tanto: ''48'7º53≈B y ''12'52º96≈C

Aplicando de nuevo el Teorema de los Senos:C

c

A

a

sensen=

Por tanto: cmA

Cac 86,19

sen

sen ==

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

Resuelve el triángulo ABC conocidos: b = 12 cm, c = 6 cm y A = 60º. Calcula su Área.

A

B

C60º

c a

b

Aplicando el Teorema del coseno:

cmAbccba 36cos222 =−+=

Aplicando el Teorema de los Senos:B

b

A

a

sensen=

1sen

sen ==a

AbB B = 90º C = 30º

Calculamos su Área: 2318sen2

1cmAbcS ==

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

Resuelve el triángulo ABC conocidos: a = 10 cm, B = 60º y C = 45º. Calcula su Área.

A

B Ca

b

Calculamos el ángulo A: A = 180º - (B+C) = 75º

Aplicamos el Teorema de los Senos:

C

c

B

b

A

a

sensensen==

Calculamos b y c: cmA

Bab )33(25

sen

sen −== cmA

Cac )13(10

sen

sen −==y

Por último, calculamos el Área: 2)33(25sen2

1cmBacS −==

c

TEOREMA DOS COSENOS

ENUNCIADO

Nun triángulo calquera ABC cúmplense as relacións seguintes:

Cabbac

Baccab

Abccba

cos2

cos2

cos2

222

222

222

−+=−+=−+=

A B

C

ab

c

APLICACIONES DO TEOREMA DO COSENO

Un topógrafo C situado na chaira observa 2 picos A e B dunha montaña situados a 870 e 960 m respectivamente do observador cun ángulo de 60º. Encontra a distancia entre ambos picos.

A

BC60º

960m

870mc

Aplicando o Teorema do Coseno:

Cabbac cos2222 −+=

mc 3,918º60cos8709602870960 22 ≈⋅⋅⋅−+=

Cabbac cos222 −+=

Aplicando el T. de los Senos calculamos el ángulo C:

PROBLEMAS DE MÓVILESUn barco sale de un puerto A en dirección NE a una velocidad de 40 nudos. Al cabo de 3 horas gira 120º a babor y permanece en ese rumbo durante 5 horas. Entonces decide regresar al puerto A. ¿Cuántos grados a babor deberá girar y cuánto tardará en llegar? (1 nudo= 1,852 km/h).

A

B

C

AB = 74·3 = 222 Km BC = 74·5 = 370 Km Aplicando el T. del Coseno calculamos la distancia CA:

KmBBCABBCABCA 6,322·cos··222 ≅−+=

V=74 Km/h

120º

senC= AB·senB/CA = 222·0.866/322,6 = 0,596

Por tanto: C=36º35’

Tardará en llegar: t= CA/V t= 4h 21m 34sg.

Deberá girar a babor: 143º25’

B=60º

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOSResolver el triángulo ABC conocidos sus lados: a = 10 cm, b = 5 cm y c = 5 cm. Calcula su Área.

3

A

BC a

b cAplicando el Teorema del Coseno:

2

1

5102

7525100

2cos

222

=⋅⋅−+=−+=

ab

cbaC

De aquí que:A=90º, B=30º y C=60º

03552

1007525

2cos

222

=⋅⋅

−+=−+=bc

acbA

El Área: 2

2

325

2

1cmbcS ==

2

3

35102

2575100

2cos

222

=⋅⋅

−+=−+=ac

bcaB