Corriente eléctrica y densidad de corriente.

Resistencia y ley de Ohm.

Energía en los circuitos eléctricos.

Asociación de resistencias.

Circuitos de una sola malla.

Circuito abierto y cortocircuito.

Potencia. Ley de Joule.

Circuitos RC 

ELECTRODINAMICA ELECTRODINAMICA

Capitulo 5Capitulo 5.- .- CORRIENTE ELÉCTRICA y RESISTENCIACORRIENTE ELÉCTRICA y RESISTENCIA

CORRIENTE ELÉCTRICA Y DENSIDAD DE CORRIENTECORRIENTE ELÉCTRICA Y DENSIDAD DE CORRIENTE

Conductor:Conductor: Material en el cual algunas de las partículas cargadas (portadores de carga) se pueden mover libremente , de una región a otra .

Corriente eléctrica(I)

Flujo de cargas eléctricas que, por unidad de tiempo, atraviesan un área transversal ( A ). dt

dqI

Unidad: Amperio

1A = 1C/s

1mA=10⁻³A

1μA=10⁻⁶ASentido de la corriente Convencional :

Coincide con el flujo de los portadores de carga positivos.

I

Velocidad de desplazamiento ó velocidad de deriva (vd)

Caracteriza el movimiento de los electrones dentro de un conductor sometido a un campo eléctrico externo E .

Relación entre vd y la corriente I :n: densidad de portadores de cargaq: carga de cada portador

Vd: velocidad de cada portadorA: área de la sección transversal del conductor

Todos los portadores que hay en vdΔt pasan a través de A en un Δt.

La carga total en el volumen Avd Δt es tqnAvq d

dnqAvt

qI

Densidad de corriente eléctrica ( ) :

Se define como la corriente por unidad de área de la sección transversal .2 /d

Ij n q v A m

A

Si la velocidad de arrastre varía de un punto a otro, podemos calcular la corriente a partir de la densidad de corriente.

AdjI

J

Densidad de Corriente Vectorial

Módulo de la densidad de corriente

Velocidad de desplazamiento :Velocidad de desplazamiento :1.-¿Cuál es la velocidad de desplazamiento de los electrones en un alambre de cobre típico de radio 0,815 mm que transporta una corriente de 1 A suponiendo que existe un electrón libre por átomo ?.Solución:Sabemos que : I = n q A vd ……( 1 )

Si hay 1 e libre / átomo entonces la densidad de electrones es igual a la densidad de ⁻los átomos ; es decir: n = na

…………..( 2 )

Donde : ρm( densidad de masa )= 8,93 g/cm³,Na(Número de Avogadro) = 6,02x10²³ átomos/mol ,y M(masa molar)= 63,5 g/mol .Reemplazando en (2),se tiene : n=na = 8,47x10²⁸ átomos/m³Y q = e = 1,6x10⁻¹⁹CA = πr²Aplicando los valores se tiene:

OBSERVACION: Se ve que las velocidades típicas son del orden de 0,01 mm/s es decir muy pequeñas para ser detectadas por medios macroscópicos .¿Cuánto tiempo tardará un electrón en desplazarse de la batería de un coche hasta el motor de arranque ,una distancia de 1m si su velocidad de desplazamiento es de 3,5 x10⁻⁵m/s? ------Respuesta 7,9 h .

m a

a

N

Mn

5

2

13,54 /10d

a

Ix m s

nqA ev

n r

Determinación de la densidad numérica de carga :Determinación de la densidad numérica de carga :

2.-En un determinado acelerador de partículas ,un haz de protones de 5 Mev y radio 1,5 mm transporta una corriente de intensidad 0,5mA .(a)Determinar la densidad numérica de protones del haz .(b)Al incidir el haz contra un blanco ,¿Cuántos protones chocan contra este en un segundo?.Solución :a)Como I= qnAv ; donde v = velocidad de los protones ,lo hallamos de su energía cinética .Ec=1/2mv² = 5Mev , donde m= masa del protón= 1,67x10⁻²⁷Kg.

Finalmente se tiene :

Densidad de protones:

b)Número de protones que chocan con el blanco = N en un segundo está relacionado con la carga total ∆Q = Nq y la carga del protón .La carga total que choca con el blanco es ∆Q= I∆t , por lo tanto el numero de protones será:

6 197

27

2 2(5 ) 1,610 10 3,10 /101,67 110

Ec x ev x x Jv x m s

mp x kgx eV

3

219 7

13 3

0,5 10

3(1,6 / ) ( (3,10 / )10 101,5 10

1,43 /10

)I x A

nqAv x C proton x m sm

n x protones m

x

315

19

(0,5 )(1 )10 3,13 101,6 /10

Q I t x A sN x protones

q q x C protón

Corriente, resistencia y potencial eléctricosCorriente, resistencia y potencial eléctricosGeorg Simon Ohm (1787-1854) FísicoDedujo la Ley de Ohm Unidad de medica el ohmio, 1ohm (Ω)=1V/1A(1827) Desarrolló su Investigación matemática del circuito galvánico

VR

I

RESISTENCIA Y LEY DE OHMRESISTENCIA Y LEY DE OHM

El campo eléctrico está dirigido de las regiones de mayor potencial a las de menor potencial.

L EVVV ba

Resistencia eléctrica: Es una medida de la oposición que ejerce un material al flujo de carga a través de él.

I

VR Unidad: Ohmio

1=1V/1A

1KΩ=10³Ω

1MΩ=10⁶Ω

V RILey de OhmLey de Ohm

REPRESENTACION DE RESITENCIAS:

REOSTATO

Materiales óhmicos Materiales no óhmicos

La resistencia no depende de la caída de potencial ni de la intensidad.

La resistencia depende de la corriente, siendo proporcional a I.

Curvas de la relación Intensidad versus Diferencia de PotencialCurvas de la relación Intensidad versus Diferencia de Potencial

Resistividad:

Expresa la relación entre la resistencia de un conductor y su tamaño.

A

LR Unidades de : .m

Conductividad: Unidades σ : ( Ω.m )⁻¹

Es la inversa de la resistividadA

LR

Cº20t120

: coeficiente de temperatura de la resistividad.

Es decir, la resistividad eléctrica, ρ, es capaz de informar al fabricante y al usuario de la microestructura del hormigón, de su porosidad y de su contenido en agua. Con ello, se tiene un control completo de las etapas por las que pasa el material. Como cuestión fundamental y complementaria, se ha desarrollado un método para el diseño de la mezcla de componentes del hormigón para alcanzar una resistividad determinada. Al ser un ensayo no destructivo que se puede repetir muchas veces sin perturbar el material, es muy adecuado para el autocontrol del fabricante y para el control de calidad del usuario.

La resistividad eléctrica como parámetro de control del hormigón y su durabilidad

ENERGÍA EN LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOSENERGÍA EN LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS

En un conductor, el flujo de carga positiva se hace de potenciales altos a potenciales bajos, mientras que los electrones lo hacen en sentido contrario. Esto se traduce en que la carga pierde energía potencial y gana energía cinética que se transforma de inmediato en energía térmica.

En A1 U1 = V1 Q

En A2 U2 = V2 Q

VQVVQU 12

V QU

Energía perdida por unidad de tiempo

U Q

P V I Vt t

V IP

Se mide en vatios (WATTS)

Potencia disipada

ENERGIA UTIL ( U ) :ENERGIA UTIL ( U ) :

Todo circuito eléctrico consta de un RESISTOR y una fuente de energía electromecánica ,éste puede representar a cualquier aparato que consume energía eléctrica ,y recibe el nombre de RESISTENCIA EXTERNA O RESITENCIA DE CARGA y consiste en un aparato que permite la utilización de la energía eléctrica en alguna de sus formas de energía aprovechable se llama ENERGIA UTIL(U) y vale :

……..(1)

De OHM se tiene : ε = Vcd + Vi….....(2)R:resistencia exterior entre los puntos “c” y “d”r: resistencia interna de la fuente .Luego se tienen: Vcd = I ( R ) y Vi= I ( r ) …….(3)

Entonces : ε = I( R ) + I ( r ) = I ( R + r ) → I = ε /( R + r )……( 4 )

“ La intensidad de la corriente en el circuito es directamente proporcional a la f.e.m (ε) , e inversamente proporcional a la resistencia total del circuito “

ru cdU qV

De la ley de OHM ,la energía total es la suma de la energía útil ( Uu ) y la energía perdida ó interna ( Ui ).

Ut= Uu + Ui = Vuq + Viq = q( Vu+Vi) = ( It )(Vu+Vi)=Itε → Ut= Iεt ……….(5)

Como : V=IR ;I=Vu/R y I= Vi/r →Vi=Ir ,se tienen :

Uu= Vuq=VuIt=Vu²/R = I² R t ( Energía Util) ……………….………………...(6)

Ui= Viq=ViIt = Vi²t/r = I² r t ( Energía interna) ……………..……………..(7)

Ut = I² t ( R + r ) ( Energía total en el circuito eléctrico)….…………….(8)

Finalmente La POTENCIA se calcula como:

P= U/t ( Watts ) …….(9)

Pu = Uu/t = I²Rt/t = I²R= Vu²/R ( POTENCIA UTIL)……………….……….(10)Pi = Ui/t = I²rt/t = I²r = Vi²/r ( POTENCIA INTERNA)………….……...(11)Pt = Pu + Pi = I² ( R + r ) ( POTENCIA TOTAL ) ……………. ……(12)

Como I = ε/( R +r) ; se tiene: P = I ε ( Watts ) ……………….…………..(13)

Fuerza electromotriz y baterías :Fuerza electromotriz y baterías :El dispositivo que suministra la energía eléctrica suficiente para que se produzca una corriente estacionaria en un conductor se llama fuente de fuerza electromotriz (fem). Convierte la energía química o mecánica en energía eléctrica

La fuente de fem realiza trabajo sobre la carga que la atraviesa, elevando su energía potencial en q. Este trabajo por unidad de carga es la fem ().

ANALOGÍA MECÁNICA DE UN CIRCUITO SENCILLOANALOGÍA MECÁNICA DE UN CIRCUITO SENCILLO

Fuente de fem ideal: Mantiene constante la diferencia de potencial entre sus bornes e igual a .

Fuente de fem real: La diferencia de potencial entre sus bornes disminuye con el aumento de la corriente.

Ideal

Real

r IV

r: Resistencia interna de la batería

Representación de una batería realRepresentación de una batería real

POTENCIA. LEY DE JOULEPOTENCIA. LEY DE JOULE

1.- Energía disipada en una resistencia :1.- Energía disipada en una resistencia :

RIP 2Ley de Joule

2.- Energía absorbida o cedida por una batería :2.- Energía absorbida o cedida por una batería :

Potencia de salida: Rapidez con la que los portadores ganan energía eléctrica.

Potencia de entrada: Rapidez con la que los portadores pierden energía eléctrica a su paso por la batería.

r II Po2 r II Po

2

En cualquier caso P = V I, donde V es la diferencia de potencial entre los extremos del elemento e I la corriente que lo atraviesa.

PÉRDIDAS EN EL TRANSPORTEPÉRDIDAS EN EL TRANSPORTE

•En las líneas de transporte seproducen pérdidas por efecto Joule.•Si la energía transportada es E:

•La pérdida en la línea, de resistencia

RL, será: EL = I²RL t

•Para reducir las pérdidas, la intensidad ha de ser pequeña, por lo que para además mantener la cantidad de energía transportada, esta operación ha de hacerse con tensión elevada.

E =V·I·t

ASOCIACIÓN DE RESISTENCIASASOCIACIÓN DE RESISTENCIASLa resistencia equivalente de una combinación de resistencias es el valor de una única resistencia que, reemplazada por la combinación, produce el mismo efecto externo.

I

VReq

V: ddp entre los extremos de la asociación

I: corriente a través de la combinación

Asociación en serie Asociación en paralelo

i

ieq RR

iieq R

1

R

1

CIRCUITOS DE UNA SOLA MALLACIRCUITOS DE UNA SOLA MALLALeyes de Kirchhoff: Son útiles para encontrar las corrientes que circulan por las diferentes partes de un circuito o las caídas de potencial que existen entre dos puntos determinados de dicho circuito.

Conceptos previos :Conceptos previos :

Nodo: Intersección de tres o más conductores.

Malla: Todo recorrido cerrado en un circuito.

Rama: Es un elemento o grupo de elementos conectados

entre dos nodos.

Ley de Kirchhoff de las corrientes (LKC): En cualquier instante, la suma algebraica de todas las corrientes que concurren en un nodo es cero.

I1

I3

I2 1 2 3 0I I I I

Corrientes que salen del nodo (-)

Corrientes que entran en el nodo (+)

Convenio

0I

I

1I

2I3I

1R

2R

3R

AB

I

1 2 3 0I I I I

Ley de Kirchhoff de los voltajes (LKV): La suma algebraica de todas las caídas de tensión a lo largo de una malla debe ser nula en cualquier instante.

Caída de tensión V12=V1-V2: Energía en julios eliminada del circuito cuando una carga de +1 C pasa del punto 1 al punto 2 .

Convenio

I

1 2

1 2

Si se atraviesa una resistencia en dirección de la corriente hay una caída de tensión negativa y en la dirección opuesta es positiva (V12>0)

Si se atraviesa una fuente de f.e.m en la dirección de la corriente hay una caída de tensión positiva (+ε ) y en la dirección opuesta es negativa ( -ε ). (V12>0)

0V

r

1R

2R

3R

I

1 2 3 iV V V V

1 2 3 0iV V V V

1IR

I

Determinación del Potencial :Determinación del Potencial :

Supongamos que los elementos del circuito son ε1=12v,ε2=4v ; r1=r2=1Ω,R1=R2=5Ω y R3=4Ω,ver figura .a)Hallar los potenciales en los puntos ( a ) hasta ( e ) ,suponiendo que el potencial Ve=0.b)Determinar la potencia de entrada y de salida del circuito.

1R

2R

3R

1r

2r

1 2

I

a b

c

de

De la configuración del circuito .a)Determinar la corriente en cada parte del circuito mostrado.b)Calcular la energía disipada en 3s en la resistencia de 4Ω .

12V5V

3

4

2

f e d

cbaI

1I

2I

I

CIRCUITO ABIERTO Y CORTOCIRCUITOCIRCUITO ABIERTO Y CORTOCIRCUITO

Circuito abierto: Es una rama de un circuito por la que no circula corriente.

A B

r IVAB r

R

0

ABV

Cortocircuito: Es un recorrido de muy baja resistencia (idealmente R=0) entre dos puntos de un circuito.

r

R

CO

RT

OC

IRC

UIT

O A

B

0VAB

PUENTE DE WHEATSTONE PUENTE DE WHEATSTONE El puente de Wheatstone está equilibrado cuando la diferencia de potencial entre los puntos A y B es nula, en esta situación, I1 representa la corriente

eléctrica que pasa por R1 y también por RX ya que al ser VAB = 0, no pasa

corriente por AB. Además I2 es la corriente que circula por R2 y R3.

Se cumple que.

y de las ecuaciones anteriores se deduce que :

1I1I

2I2I

APLICACIONES :APLICACIONES :1.-Para la red infinita que se muestra en la figura, calcule la resistencia equivalente entre los puntos A y B.

2.-Calcular la resistencia equivalente, Req, entre los puntos A y B de la figura.

Aplicaciones :Aplicaciones :

3.- En la siguiente configuración ; se tiene R1=15Ω,R2= 25Ω,R3=35 Ω ,r=1Ω y ε = 380 V . Calcular:a)Intensidad de la corrienteb)Caídas de potencialc)Potencia disipada por cada resistord)Eficiencia en el circuito eléctrico.

4.- En el siguiente circuito eléctrico ;se tiene :R1=40Ω , I2= 9,6 v , Vi= 24v y r = 2Ω.Calcular : a)R2 y εb)Intensidad de la corrientec) Caídas de potenciald)Potencia disipada por cada resistor e)Eficiencia en el circuito eléctrico

1R

2R3R

r I

1R

2R1I

2I

I

r

5.-Para la red que aparece en el dibujo, calcule la resistencia equivalente entre los puntos A y B .

6.-En el circuito de la figura, calcule la corriente que pasa por cada conductor. Observe que para la batería de 10V la resistencia interna es 2Ω.

7.-Para el circuito que aparece en el dibujo, calcule la corriente que pasa por cada conductor.

APLICACIONES :

8.-En el circuito de la figura siguiente .Calcular la corriente I y la diferencia de potencial Vb-Ve.

9.-Para el circuito mostrado .Hallar la corriente a través del amperímetro y la diferencia de potencial entre M y N .

1 1

1 1

42V 2V

4V

I

a b c

def

9V

3V

6VA

M

N

2

2

4

4

8

APLICACIONES:

10.-En el circuito de corriente continua de la figura ε=10V,R1=5Ω,R2=3Ω,R3=3Ω;R4= 1Ω; R5=1Ω; la resistencia de la batería puede ser despreciada .Hallar la corriente en cada rama.

11.-Calcular la intensidad de corriente que circula por la resistencia R1 de la siguiente configuración:Si : R1=2Ω ,R=4Ω y VAB=8v.

12.-Una batería de 12 voltios de resistencia interna despreciable se conecta en serie con dos resistencias .Un voltímetro de resistencia 5000Ω se conecta en los puntos A y B y después en los puntos B y C, midiendo 4 y 6 voltios , respectivamente. Cuál es el valor de las resistencias.?

1R

2R 3R

4R 5R

1I

2I3I

A

B

CD

E

R

R

R

R

1R

A BC D

1R 2R

A B C

CIRCUITOS RCCIRCUITOS RCUn circuito RC está compuesto por una resistencia y un condensador. En dichos circuitos la corriente fluye en una dirección, como en un circuito de cc, pero a diferencia de éstos, la corriente varía con el tiempo.

CASO 1:CASO 1: Proceso de carga del condensador, inicialmente descargado, cuando sus terminales se conectan en serie con un resistencia y una batería.

CASO 2:CASO 2: Proceso de descarga del condensador, inicialmente cargado, cuando sus terminales se conectan en serie con un resistencia.

Ambos procesos viene definidos por un tiempo característico : C R

CARGA DEL CONDENSADORCARGA DEL CONDENSADOR

En t =0 el condensador está descargado. Al cerrar el interruptor, existe una caída de potencial entre los extremos de la resistencia y el condensador empieza a cargarse.

t-

e-1C )t(Q

t

oeI)t(ICondensador cargado Circuito abierto

V

Al cerrar ( s) ; se tiene :

…(1)

Integrando : ………………(2)

Se tiene : ………………...(3)

Donde Q = VC y RC = = constante de tiempo ,la variación de la corriente está dado por:

Finalmente la corriente es:

La constante de tiempo ; es igual al tiempo necesario para que la carga del condensador aumente hasta una fracción de 1/e=0,369 de su valor final.

0 0q dq q

V IR V RC dt C

1 1dq

VC q RC dt dqdt RC VC q

0 0

1q tdq

dtVC q RC

( ) (1 )t

RCq t Q e

(1t t

RC RCdq d V

I VC e edt dt R

0 0( )t

RCV

I t eI IR

DESCARGA DEL CONDENSADORDESCARGA DEL CONDENSADOR

En t =0 el condensador está cargado. Al cerrar el interruptor, existe una caída de potencial entre los extremos de la resistencia debido a la corriente inicial y el condensador empieza a descargarse.

t

-

oeQ)t(Q

t

oeI)t(ICondensador descargado Cortocircuito Ejemplo

CARGA DEL CONDENSADORCARGA DEL CONDENSADOR

1.-Una batería de 6V y resistencia interna despreciable se utiliza para cargar un condensador de 2μF ,a través de una resistencia de 100Ω.Hallar :a)La corriente inicial. b) la carga final del condensador .c)El tiempo necesario para obtener un 90 % de la carga final y d)La carga cuando la corriente es la mitad que la corriente inicial.

Valores para tiempos largos y cortos:Valores para tiempos largos y cortos:

2.-El condensador de 6 μF del circuito de la figura está inicialmente descargado .Calcular la corriente a través de la resistencia de 4Ω y de 8Ω .a)Inmediatamente después de que el interruptor se haya cerrado .b)Un largo tiempo después de que el interruptor se ha cerrado .c)Determinar la carga del condensador transcurrido un largo tiempo después de cerrarse el interruptor.

12V8

4

6 F

ab c

def

S

Aplicaciones :Aplicaciones :

3.-En el siguiente circuito RC , Inicialmente el condensador está descargado al instante t=0,se cierra el interruptor (S) .a)Escribir la ley de Kirchoff para el circuito.b)Calcular la carga ( q ) del condensador en función del tiempoc)Deducir la corriente que atraviesa el condensador graficar la corriente y la carga en función del tiempo.d)Calcular la energía disipada por efecto Joule en la resistencia.

4.-En el circuito mostrado en la figura ,el condensador está inicialmente descargado .Si en el instante t=0 se cierra interruptor .Calcular la corriente en un instante (t) ,que circula a través de la fuente ( ε ) .

C1R

2R

I

1I

2I

q

a b

c

de

f

5.-En el circuito de la figura. Calcular en el estado estacionario :a)Las intensidades b)La carga y energía en el condensador c)La potencia suministrada por las baterías de 8V y de 3V. d)La energía disipada en la resistencia de 3W al cabo de 3 s.

6.-En el circuito de la figura la resistencia interna de todas las baterías es de 0.5 .Calcular en el estado estacionario :a)Las intensidades b)La carga y energía en el condensador c)La potencia suministrada por las baterías. d)La energía por unidad de tiempo disipada en la resistencias.

7-Resolver el circuito de la figura a partir del estudio de cada uno de sus elementos. a)Determinar la diferencia de potencial entre los puntos a y b del circuito. b)La potencia suministrada por las baterías y c)La energía por unidad de tiempo disipada en las resistencias. d)Comprobar la conservación de la energía.

8.-En el circuito de la figura .Hállese en el estado estacionarioa)La carga, b)La diferencia de potencial entre las placas del condensador, y c) La energía que almacena en el mismo. Si se quita el condensador y se unen sus bornes, calcular : d)La intensidad en las distintas ramas. d)Comprobar que la energía por unidad de tiempo suministrada es igual a la disipada.

9.-Los condensadores del circuito de la figura están inicialmente descargados.a)¿Cuál es el valor inicial de la corriente que pasa por la batería cuando se cierra el interruptor S?.b)¿Cuál es la intensidad de la corriente de la batería después de tiempo largo?.c)Cuáles son las cargas finales sobre los condensadores ?.

60V

15

15

15

15

10 F

5 F

S

10.-Los condensadores del circuito están inicialmente descargados .El interruptor S2 se cierra primero y después se cierra el S1. a)¿Cuál es la corriente de la batería inmediatamente después de cerrar S1?. b)Cuál es la corriente de la batería un tiempo largo después de cerrar ambos interruptores ?. c)Cuál es el voltaje final a través de los condensadores C1 y C2 ?. d)Después de un largo tiempo ,se abre de nuevo el interruptor S2.Hallar la corriente en la resistencia de 150 Ω en función del tiempo.

1S 2S

12V 10 F50 F1C

2C150

100 50