DAEZEGO
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APUNTE APUNTE APUNTE APUNTE ---- UNIDAD UNIDAD UNIDAD UNIDAD 3333
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RESONANCIA
La resonancia es un fenómeno particular que se presenta en los circuitos RLC. Dicho fenómeno hace que la
impedancia del circuito sea resistiva pura ó lo que es lo mismo que el desfasaje entre la tensión aplicada y la
corriente total sea nulo. La resonancia se puede dar tanto en circuitos series como en paralelos.
Circuitos oscilantes libres
Estudiaremos los circuitos oscilantes libres a modo de introducción para luego
centrarnos en el fenómeno de resonancia. Vamos a considerar un circuito RLC serie
como el que se observa en la figura. Inicialmente diremos que el circuito fue alimentado
por una fuente de tensión continua hasta que el capacitor adquirió una carga Q0 que tiene
por expresión:
Q� � C ∙ U�
Luego que el capacitor fue cargado si retiró la fuente y se dejó el circuito libre. Como el capacitor está
cargado se establece una corriente por el circuito la cual va disminuyendo a medida que el capacitor se descarga,
dicha variación de corriente produce en el inductor L una fem que trata de evitar que la corriente disminuya. Esto
último hace que el capacitor vuelva a cargarse pero con polaridad opuesta a la que tenía inicialmente. Esta
secuencia se repite hasta que la energía se disipa completamente del circuito a través de la resistencia.
Analíticamente podemos ver analizar lo sucedido aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito libre.
Entonces sabemos que las tensiones en cada elemento son:
u� � i ∙ R
u� � L ∙ didt u� � 1C ∙ � idt
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff tenemos:
u� � u� � u� � 0
i ∙ R � L ∙ didt � 1C ∙ � idt � 0
derivando cada término respecto de t y ordenando obtenemos:
d�idt� � RL ∙ didt � 1LC ∙ i � 0
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Por conveniencia definiremos los siguientes parámetros:
�������ó����� �� � !" � #√%&
'���( )*�+( ��,��+�*��( � � � -.%
reemplazando estos dos parámetros en la ecuación diferencia obtenemos:
d�idt� + 2a ∙ didt + ω�� ∙ i = 0
La expresión anterior es una ecuación diferencia ordinaria de segundo orden. La solución a dicha ecuación
nos representa la corriente como función del tiempo. Sabemos por análisis matemático que las soluciones a este
tipo de ecuaciones tienen la forma:
i = K ∙ e45 reemplazando dicha solución en nuestra ecuación diferencial y operamos algebraicamente obtendremos:
m� + 2am +ω�� = 0
que tiene por soluciones:
+# = −� + 8�. −!". = −� +!; ω = 8a� − ω��
+. = −� − 8�. −!". = −� −!; ω = 8a� − ω��
Así hemos encontrado las posibles soluciones a nuestra ecuación diferencial. Conociendo los valores de
dichas soluciones podemos determinar el comportamiento del circuito. Veremos que pueden darse tres soluciones
posibles que representan tres casos bien definidos:
1- �. > !". → &��(<==>&?%@A=-?= 2- �. < !". → &��(=>&?%@A=-?= 3- �. = !". → &��(&-ÍA?&=
Es decir que el comportamiento de nuestro circuito depende del valor que toma a respecto de ω0. Como a es
función de R, podemos valernos de la condición de caso crítico para encontrar el valor de resistencia crítica (RC):
a� = ω�� → R��4L� = 1LC → -& = .E%&
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Ahora podemos decir que:
1- - > -& → &��(<==>&?%@A=-?= 2- - B -& → &��(=>&?%@A=-?= 3- - � -& → &��(&-ÍA?&=
Pasemos a ver cual es la solución a nuestra ecuación diferencial en cada uno de estos tres casos.
1- Caso no oscilatorio
Las condiciones vistas para que se de este caso son: �. : !".F- : -&
La solución resulta ser:
� � G"! ∙ % ∙ *H�� ∙ >IJ!�K Vemos que el comportamiento esta descripto por una función Seno
hiperbólico multiplicada por una exponencial decreciente. La figura
muestra una curva aproximada de dicho comportamiento.
2- Caso oscilatorio
Las condiciones para que se de este caso son: �. B !".F- B -&
Llamaremos !L � 8!". 7 �. ; entonces la solución resulta ser:
� � G"!L ∙ % ∙ *H�� ∙ >*�J!L�K Se observa que el comportamiento está definido por una función senoidal
multiplicada por una exponencial decreciente, por lo que es de esperar que el sistema oscile. La figura muestra este comportamiento.
3- Caso crítico
Las condiciones para que se de este caso son: �. � !".F- � -&
La solución resulta ser:
� � G"% ∙ � ∙ *H�� Se observa que el comportamiento está definido por una función lineal
multiplicada por una exponencial decreciente, entonces deducimos que el
sistema no oscila. La figura muestra este comportamiento. Notar la
diferencia que existe con el caso no oscilatorio. En el caso crítico la
corriente decrece más rápidamente que en otro caso.
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A nosotros nos interesa el caso en el que se produce la oscilación. Vimos que si satisfacen las condiciones
necesarias el sistema oscila con su frecuencia natural ω’ hasta amortiguarse por completo. Si ahora a ese sistema
oscilante le colocamos un generador para mantener la oscilación nos encontramos en el caso de oscilaciones
forzadas, ya que el generador se encarga de entregar la energía que se disipa en el resistor. Si encima la
frecuencia del generador coincide con la natural del sistema decimos que el circuito está en resonancia.
RESONANCIA EN UN CIRCUITO RLC SERIE
Con lo que hemos visto anteriormente pasaremos a analizar el fenómeno de
resonancia en un circuito serie RLC. Dicho circuito se encuentra alimentado por un
generador de tensión constante y frecuencia variable. Dijimos que para que un circuito
esté en resonancia la impedancia debe presentar características resistivas. Entonces en
nuestro caso para que haya resonancia deben ser iguales las reactancias:
M% = M&
! ∙ % � #!&
De la condición de resonancia del circuito serie vemos que debe existir una relación entre ω, L y C. De esta
manera podemos elegir dos de estos parámetros y variar el tercero para lograr la condición de resonancia. Como
nos interesa estudiar el comportamiento en frecuencia del circuito, nosotros variaremos la frecuencia del
generador.
De la condición de resonancia podemos obtener la frecuencia natural del circuito ω0 que es la frecuencia que
tiene que tener el generador para producir la resonancia en el circuito. Es decir que la frecuencia natural de un
circuito serie vale:
! ∙ % � #!& → !" � #√%& � �������ó����� �� Entonces veamos el comportamiento de los elementos del circuito a medida que varía la frecuencia o
pulsación desde 0 hasta ∞. Es decir que graficaremos R, XL, XC, X, Z y φZ. Procedemos a indicar la relación
entre cada parámetro y nuestra variable que es ω:
- = ��*; M% � !%; M& � #!&
Vemos que R no depende de ω, mientras que XL es una función lineal de ω y XC representa una hipérbola equilátera. En la figura se indican estos tres parámetros. Notar que en trazo fino se encuentra XC mientras que en trazo grueso se indica –XC.
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Para hallar la reactancia total X debemos recordar que N = NO − NP . Este es el motivo por el cual hemos incluido la curva de –XC para poder hacer la suma de manera más fácil. Para la frecuencia de resonancia X se hace nula, lo cual concuerda con la condición de resonancia.
Ahora podemos determinar la impedancia del circuito. Vamos a indicarla en módulo y fase. Sabemos que el módulo y la fase tienen por expresiones:
Q = √-. + M.*��(��*� R ! → "; |M| ≫ - ∴ Q → |M|! � !"; |M| � " ∴ Q � -! → ∞; |M| ≫ - ∴ Q → |M| WQ � � ��, XM-Y *��(��*� R! → "; |M| → 7∞ ∴ WQ → 7Z .[! � !"; |M| � " ∴ WQ � "! → ∞; |M| → ∞ ∴ WQ →Z .[
Lo anterior se ve en las siguientes figuras. Para mayor comprensión no se incluyeron las curvas de XL, XC y –XC, y se añadió la curva de |X| para la parte negativa de X.
En las figuras se puede ver lo escrito en las ecuaciones anteriores. Se puede apreciar que para valores de ω
tendiendo a 0 la impedancia presenta un comportamiento capacitivo y por ello la fase se corresponde con valores
que se aproximan a -90°. Para el caso en que ω coincide con ω0 se produce la resonancia donde la impedancia se
comporta de forma resistiva y por lo que la fase debe ser cero. Por último, cuando ω tiende a infinito el
comportamiento se hace capacitivo y por ello pasa a ser positiva y tiende a 90°.
Entonces el diagrama completo, sin omitir ninguna de las curvas, es:
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Ahora que vimos el comportamiento de los elementos del circuito esto nos ayudará con el estudio de la
corriente y las tensiones en cada uno de ellos. En concreto, será la impedancia la que nos indicará las condiciones
ya que es ella quien interviene en la expresión de la corriente.
Sabemos que la corriente tiene por expresión:
? = \Q = \√-. + M. *��(��*� ]! → "; Q → ∞ ∴ ? → "! � !"; Q � - ∴ ? � \-! → ∞; Q → ∞ ∴ ? → "
Así la gráfica de la corriente es la que vemos en la figura.
Ahora que conocemos la corriente para todos los valores de
frecuencia podemos determinar la tensión en R, L y C. Para ello nos ayudara la curva de la corriente ya que será
ella quien imponga las condiciones.
La tensión en R tiene por expresión:
\- � - ∙ ?*��(��*� ] ! → "; ? → " ∴ \- → "! � !"; ? � \- ∴ \- � \! → ∞; ? → " ∴ \- → "
La tensión en L tiene por expresión:
\% � !% ∙ ?*��(��*� ^! → "; ? → " ∴ \% → "! → ∞; ? → " ∴ \% → \
La tensión en C tiene por expresión:
\& � ?!& *��(��*� ^! → "; ? → " ∴ \& → \! → ∞; ? → " ∴ \& → "
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Notar que no hemos indicado la pulsación de resonancia en las dos últimas figuras ya que no indicaría un
valor importante estando aisladas dichas curvas. Ahora uniremos las tres curvas en un solo gráfico.
Ahora vemos que a la frecuencia de resonancia la curva de VL y VC se
intersectan, lo cual concuerda con el hecho de que en resonancia la tensión en
L y la tención en C son iguales en magnitud dado que las reactancias son
iguales.
También sabemos que dichas tensiones son iguales en magnitud pero
de fase opuesta, de esta forma podemos construir una última gráfica que
representa la tensión en ambos elementos que llamaremos VLC.
Con lo visto hasta aquí podemos concluir que para la frecuencia de resonancia el circuito RLC serie
presenta impedancia mínima y resistiva pura, factor de potencia unitario y corriente máxima.
Factor de mérito o factor de Sobretensión
Como las reactancias son iguales también lo son las tensiones UL0 y UC0, dado que la corriente es única para
todos los elementos, igualando las expresiones queda
U�� = U�� → I ∙ X�� � I ∙ X��peroI � UZ� � UR entonces U�� � U�� → !" ∙ %- U � #!"-&U
Al valor
h � !" ∙ %- � .Z'"%-
se lo conoce como factor de mérito. Así la tensión en bornes del inductor o en bornes del capacitor vale
U�� � U�� � h ∙ U
Si el factor de mérito Q es mayor que la unidad, entonces la tensión en dichos elementos es mayor que la
tensión aplicada y por ende existe sobretensión. Por este motivo a Q también se lo llama factor de
sobretensión.Si Q <0,707 se verifica que no existe sobretensión en ningún elemento.
Analicemos nuestro circuito serie para identificar las zonas de sobretensión en los elementos reactivos.
Como veremos en breve nunca puede existir sobretensión en el resistor.
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Consideremos el caso en que la resistencia del circuito es menor que la reactancia inductiva a la frecuencia
de resonancia, lo cual se corresponde con el diagrama que construimos antes para nuestro circuito serie. Entonces
El diagrama anterior es el diagrama completo donde apreciamos todas las curvas. Para el análisis que
deseamos hacer sólo necesitamos las curvas de R, XL, XC y Z. Entonces el diagrama queda:
Se observa que para la frecuencia de resonancia R es menor que XL.
Recordemos que el módulo de la tensión aplicada al circuito
podemos expresarla como \ = ? ∙ Q
Por otro lado podemos escribir los módulos de las tensiones en el
inductor y en el capacitor como:
\% � ? ∙ M%y\& � ? ∙ M&
Teniendo presenta las ecuaciones anteriores, si observa la gráfica notamos que hay frecuencias para las que
Z es menor que XC, así como hay frecuencias para las que Z resulta ser mayor que XC y, por supuesto que existe
una frecuencia donde Z = XC. Lo mismo podemos notar si comparamos Z con XL.
Como la corriente es la misma en todos los elementos es evidente que si XL es mayor que Z a una
determinada frecuencia, entonces la tensión VL será superior a la tensión aplicada V. Lo mismo sucede para el
capacitor. Entonces marquemos en la gráfica las zonas de sobretensión en los distintos elementos:
Observamos que para valores menores a ω2 existe
sobretensión en C, mientras que para valores mayores a ω1
hay sobretensión en L. Cuando decimos sobretensión nos
referimos a que la tensión en dicho elemento es mayor que
la tensión aplicada.
También podemos ver para la resonancia existe
sobretensión en ambos elementos.
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Veamos qué sucede si a la frecuencia de resonancia el valor de R es mayor que XL. La gráfica será en este
caso:
Vemos que en este caso no se produce sobretensión en
ningún elemento sin importar la frecuencia ya que el
módulo de la impedancia siempre es mayor que el módulo
de cualquier reactancia. También vemos que en resonancia
tampoco existe sobretensión.
Lo que mencionamos recién es muy importante ya que nos deja bien en claro que los fenómenos de
resonancia y sobretensión son independientes el uno del otro.
Analicemos las gráficas de los elementos junto con la de tensiones para el caso en que R es menor que XL a
la frecuencia de resonancia.
Al observar las curvas juntas se logra interpretarlas mejor. Se han indicado en cada caso las frecuencias ω1 y ω2 para poder analizar la relación entre ambas gráficas.
Por último veamos como se comporta la corriente ante los cambios de la resistencia. Vemos que a medida que la resistencia se hace pequeña la corriente se hace más grande y para cada caso a la frecuencia de resonancia alcanza su máximo valor. Cuando R es nula la corriente se hace ∞ a la frecuencia de resonancia.
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RESONANCIA EN UN CIRCUITO RLC PARALELO
Pasaremos ahora a analizar el caso de un circuito paralelo RLC como se muestra en la figura. Dicho circuito es excitado por una fuente de tensión constante cuya frecuencia es variable.
Como se trata de un circuito paralelo debemos trabajar con admitancias. Por ello vamos a representar gráficamente las diferentes admitancias para poder sumarlas y obtener la admitancia total del circuito.
Recordemos la expresión de la admitancia:
j = k#-l + m k!& − #!%l = n + mJo& − o%K Entonces el gráfico resulta
Para que exista resonancia la admitancia del circuito debe presentar características conductivas puras, que es dual a decir que la impedancia debe presentar características resistivas puras. Para que eso suceda las susceptancias deben ser iguales en magnitud. De la gráfica vemos que en resonancia la admitancia es mínima, lo que implicaría una impedancia máxima y por ende la corriente resulta ser mínima.
Por tratarse de un circuito paralelo no existe sobretensión en ningún elemento. Lo que si puede aparecer a determinas frecuencias son sobrecorrientes. Para ello escribamos la expresión de la corriente para cada elemento:
I� = V ∙ G; I� � V ∙ B�; I� � V ∙ B�; I � V ∙ Y
Así podemos deducir que existirá sobrecorriente en el inductor cuando BL sea mayor que Y, mientras que habrá sobrecorriente en el capacitor cuando BC sea mayor que Y. En la figura anterior observamos que no existe sobrecorriente en ningún elemento para cualquier valor de frecuencia.
Consideremos ahora el caso en que G es menor que BC a la frecuencia de resonancia como se ve en la figura:
En esta situación si existen frecuencia para las cuales habrá sobrecorriente en los elementos. Nuevamente vemos que la resonancia y la sobrecorriente son fenómenos independientes y la existencia de uno no implica la del otro.
Por último agregamos la gráfica del comportamiento de la corriente a medida que varía la conductancia del
circuito. Se observa que en resonancia para cada caso la corriente es mínima. Para el caso en que G = 0 si se da la resonancia la corriente es nula.
Como conclusión tenemos que en circuitos paralelos que están en resonancia la admitancia es mínima, el factor de potencia es unitario y la corriente es mínima.
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