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APUNTE APUNTE APUNTE APUNTE ---- UNIDAD UNIDAD UNIDAD UNIDAD 3333

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RESONANCIA

La resonancia es un fenómeno particular que se presenta en los circuitos RLC. Dicho fenómeno hace que la

impedancia del circuito sea resistiva pura ó lo que es lo mismo que el desfasaje entre la tensión aplicada y la

corriente total sea nulo. La resonancia se puede dar tanto en circuitos series como en paralelos.

Circuitos oscilantes libres

Estudiaremos los circuitos oscilantes libres a modo de introducción para luego

centrarnos en el fenómeno de resonancia. Vamos a considerar un circuito RLC serie

como el que se observa en la figura. Inicialmente diremos que el circuito fue alimentado

por una fuente de tensión continua hasta que el capacitor adquirió una carga Q0 que tiene

por expresión:

Q� � C ∙ U�

Luego que el capacitor fue cargado si retiró la fuente y se dejó el circuito libre. Como el capacitor está

cargado se establece una corriente por el circuito la cual va disminuyendo a medida que el capacitor se descarga,

dicha variación de corriente produce en el inductor L una fem que trata de evitar que la corriente disminuya. Esto

último hace que el capacitor vuelva a cargarse pero con polaridad opuesta a la que tenía inicialmente. Esta

secuencia se repite hasta que la energía se disipa completamente del circuito a través de la resistencia.

Analíticamente podemos ver analizar lo sucedido aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito libre.

Entonces sabemos que las tensiones en cada elemento son:

u� � i ∙ R

u� � L ∙ didt u� � 1C ∙ � idt

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff tenemos:

u� � u� � u� � 0

i ∙ R � L ∙ didt � 1C ∙ � idt � 0

derivando cada término respecto de t y ordenando obtenemos:

d�idt� � RL ∙ didt � 1LC ∙ i � 0

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Por conveniencia definiremos los siguientes parámetros:

�������ó����� �� � !" � #√%&

'���( )*�+( ��,��+�*��( � � � -.%

reemplazando estos dos parámetros en la ecuación diferencia obtenemos:

d�idt� + 2a ∙ didt + ω�� ∙ i = 0

La expresión anterior es una ecuación diferencia ordinaria de segundo orden. La solución a dicha ecuación

nos representa la corriente como función del tiempo. Sabemos por análisis matemático que las soluciones a este

tipo de ecuaciones tienen la forma:

i = K ∙ e45 reemplazando dicha solución en nuestra ecuación diferencial y operamos algebraicamente obtendremos:

m� + 2am +ω�� = 0

que tiene por soluciones:

+# = −� + 8�. −!". = −� +!; ω = 8a� − ω��

+. = −� − 8�. −!". = −� −!; ω = 8a� − ω��

Así hemos encontrado las posibles soluciones a nuestra ecuación diferencial. Conociendo los valores de

dichas soluciones podemos determinar el comportamiento del circuito. Veremos que pueden darse tres soluciones

posibles que representan tres casos bien definidos:

1- �. > !". → &��(<==>&?%@A=-?= 2- �. < !". → &��(=>&?%@A=-?= 3- �. = !". → &��(&-ÍA?&=

Es decir que el comportamiento de nuestro circuito depende del valor que toma a respecto de ω0. Como a es

función de R, podemos valernos de la condición de caso crítico para encontrar el valor de resistencia crítica (RC):

a� = ω�� → R��4L� = 1LC → -& = .E%&

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Ahora podemos decir que:

1- - > -& → &��(<==>&?%@A=-?= 2- - B -& → &��(=>&?%@A=-?= 3- - � -& → &��(&-ÍA?&=

Pasemos a ver cual es la solución a nuestra ecuación diferencial en cada uno de estos tres casos.

1- Caso no oscilatorio

Las condiciones vistas para que se de este caso son: �. : !".F- : -&

La solución resulta ser:

� � G"! ∙ % ∙ *H�� ∙ >IJ!�K Vemos que el comportamiento esta descripto por una función Seno

hiperbólico multiplicada por una exponencial decreciente. La figura

muestra una curva aproximada de dicho comportamiento.

2- Caso oscilatorio

Las condiciones para que se de este caso son: �. B !".F- B -&

Llamaremos !L � 8!". 7 �. ; entonces la solución resulta ser:

� � G"!L ∙ % ∙ *H�� ∙ >*�J!L�K Se observa que el comportamiento está definido por una función senoidal

multiplicada por una exponencial decreciente, por lo que es de esperar que el sistema oscile. La figura muestra este comportamiento.

3- Caso crítico

Las condiciones para que se de este caso son: �. � !".F- � -&

La solución resulta ser:

� � G"% ∙ � ∙ *H�� Se observa que el comportamiento está definido por una función lineal

multiplicada por una exponencial decreciente, entonces deducimos que el

sistema no oscila. La figura muestra este comportamiento. Notar la

diferencia que existe con el caso no oscilatorio. En el caso crítico la

corriente decrece más rápidamente que en otro caso.

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A nosotros nos interesa el caso en el que se produce la oscilación. Vimos que si satisfacen las condiciones

necesarias el sistema oscila con su frecuencia natural ω’ hasta amortiguarse por completo. Si ahora a ese sistema

oscilante le colocamos un generador para mantener la oscilación nos encontramos en el caso de oscilaciones

forzadas, ya que el generador se encarga de entregar la energía que se disipa en el resistor. Si encima la

frecuencia del generador coincide con la natural del sistema decimos que el circuito está en resonancia.

RESONANCIA EN UN CIRCUITO RLC SERIE

Con lo que hemos visto anteriormente pasaremos a analizar el fenómeno de

resonancia en un circuito serie RLC. Dicho circuito se encuentra alimentado por un

generador de tensión constante y frecuencia variable. Dijimos que para que un circuito

esté en resonancia la impedancia debe presentar características resistivas. Entonces en

nuestro caso para que haya resonancia deben ser iguales las reactancias:

M% = M&

! ∙ % � #!&

De la condición de resonancia del circuito serie vemos que debe existir una relación entre ω, L y C. De esta

manera podemos elegir dos de estos parámetros y variar el tercero para lograr la condición de resonancia. Como

nos interesa estudiar el comportamiento en frecuencia del circuito, nosotros variaremos la frecuencia del

generador.

De la condición de resonancia podemos obtener la frecuencia natural del circuito ω0 que es la frecuencia que

tiene que tener el generador para producir la resonancia en el circuito. Es decir que la frecuencia natural de un

circuito serie vale:

! ∙ % � #!& → !" � #√%& � �������ó����� �� Entonces veamos el comportamiento de los elementos del circuito a medida que varía la frecuencia o

pulsación desde 0 hasta ∞. Es decir que graficaremos R, XL, XC, X, Z y φZ. Procedemos a indicar la relación

entre cada parámetro y nuestra variable que es ω:

- = ��*; M% � !%; M& � #!&

Vemos que R no depende de ω, mientras que XL es una función lineal de ω y XC representa una hipérbola equilátera. En la figura se indican estos tres parámetros. Notar que en trazo fino se encuentra XC mientras que en trazo grueso se indica –XC.

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Para hallar la reactancia total X debemos recordar que N = NO − NP . Este es el motivo por el cual hemos incluido la curva de –XC para poder hacer la suma de manera más fácil. Para la frecuencia de resonancia X se hace nula, lo cual concuerda con la condición de resonancia.

Ahora podemos determinar la impedancia del circuito. Vamos a indicarla en módulo y fase. Sabemos que el módulo y la fase tienen por expresiones:

Q = √-. + M.*��(��*� R ! → "; |M| ≫ - ∴ Q → |M|! � !"; |M| � " ∴ Q � -! → ∞; |M| ≫ - ∴ Q → |M| WQ � � ��, XM-Y *��(��*� R! → "; |M| → 7∞ ∴ WQ → 7Z .[! � !"; |M| � " ∴ WQ � "! → ∞; |M| → ∞ ∴ WQ →Z .[

Lo anterior se ve en las siguientes figuras. Para mayor comprensión no se incluyeron las curvas de XL, XC y –XC, y se añadió la curva de |X| para la parte negativa de X.

En las figuras se puede ver lo escrito en las ecuaciones anteriores. Se puede apreciar que para valores de ω

tendiendo a 0 la impedancia presenta un comportamiento capacitivo y por ello la fase se corresponde con valores

que se aproximan a -90°. Para el caso en que ω coincide con ω0 se produce la resonancia donde la impedancia se

comporta de forma resistiva y por lo que la fase debe ser cero. Por último, cuando ω tiende a infinito el

comportamiento se hace capacitivo y por ello pasa a ser positiva y tiende a 90°.

Entonces el diagrama completo, sin omitir ninguna de las curvas, es:

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Ahora que vimos el comportamiento de los elementos del circuito esto nos ayudará con el estudio de la

corriente y las tensiones en cada uno de ellos. En concreto, será la impedancia la que nos indicará las condiciones

ya que es ella quien interviene en la expresión de la corriente.

Sabemos que la corriente tiene por expresión:

? = \Q = \√-. + M. *��(��*� ]! → "; Q → ∞ ∴ ? → "! � !"; Q � - ∴ ? � \-! → ∞; Q → ∞ ∴ ? → "

Así la gráfica de la corriente es la que vemos en la figura.

Ahora que conocemos la corriente para todos los valores de

frecuencia podemos determinar la tensión en R, L y C. Para ello nos ayudara la curva de la corriente ya que será

ella quien imponga las condiciones.

La tensión en R tiene por expresión:

\- � - ∙ ?*��(��*� ] ! → "; ? → " ∴ \- → "! � !"; ? � \- ∴ \- � \! → ∞; ? → " ∴ \- → "

La tensión en L tiene por expresión:

\% � !% ∙ ?*��(��*� ^! → "; ? → " ∴ \% → "! → ∞; ? → " ∴ \% → \

La tensión en C tiene por expresión:

\& � ?!& *��(��*� ^! → "; ? → " ∴ \& → \! → ∞; ? → " ∴ \& → "

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Notar que no hemos indicado la pulsación de resonancia en las dos últimas figuras ya que no indicaría un

valor importante estando aisladas dichas curvas. Ahora uniremos las tres curvas en un solo gráfico.

Ahora vemos que a la frecuencia de resonancia la curva de VL y VC se

intersectan, lo cual concuerda con el hecho de que en resonancia la tensión en

L y la tención en C son iguales en magnitud dado que las reactancias son

iguales.

También sabemos que dichas tensiones son iguales en magnitud pero

de fase opuesta, de esta forma podemos construir una última gráfica que

representa la tensión en ambos elementos que llamaremos VLC.

Con lo visto hasta aquí podemos concluir que para la frecuencia de resonancia el circuito RLC serie

presenta impedancia mínima y resistiva pura, factor de potencia unitario y corriente máxima.

Factor de mérito o factor de Sobretensión

Como las reactancias son iguales también lo son las tensiones UL0 y UC0, dado que la corriente es única para

todos los elementos, igualando las expresiones queda

U�� = U�� → I ∙ X�� � I ∙ X��peroI � UZ� � UR entonces U�� � U�� → !" ∙ %- U � #!"-&U

Al valor

h � !" ∙ %- � .Z'"%-

se lo conoce como factor de mérito. Así la tensión en bornes del inductor o en bornes del capacitor vale

U�� � U�� � h ∙ U

Si el factor de mérito Q es mayor que la unidad, entonces la tensión en dichos elementos es mayor que la

tensión aplicada y por ende existe sobretensión. Por este motivo a Q también se lo llama factor de

sobretensión.Si Q <0,707 se verifica que no existe sobretensión en ningún elemento.

Analicemos nuestro circuito serie para identificar las zonas de sobretensión en los elementos reactivos.

Como veremos en breve nunca puede existir sobretensión en el resistor.

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Consideremos el caso en que la resistencia del circuito es menor que la reactancia inductiva a la frecuencia

de resonancia, lo cual se corresponde con el diagrama que construimos antes para nuestro circuito serie. Entonces

El diagrama anterior es el diagrama completo donde apreciamos todas las curvas. Para el análisis que

deseamos hacer sólo necesitamos las curvas de R, XL, XC y Z. Entonces el diagrama queda:

Se observa que para la frecuencia de resonancia R es menor que XL.

Recordemos que el módulo de la tensión aplicada al circuito

podemos expresarla como \ = ? ∙ Q

Por otro lado podemos escribir los módulos de las tensiones en el

inductor y en el capacitor como:

\% � ? ∙ M%y\& � ? ∙ M&

Teniendo presenta las ecuaciones anteriores, si observa la gráfica notamos que hay frecuencias para las que

Z es menor que XC, así como hay frecuencias para las que Z resulta ser mayor que XC y, por supuesto que existe

una frecuencia donde Z = XC. Lo mismo podemos notar si comparamos Z con XL.

Como la corriente es la misma en todos los elementos es evidente que si XL es mayor que Z a una

determinada frecuencia, entonces la tensión VL será superior a la tensión aplicada V. Lo mismo sucede para el

capacitor. Entonces marquemos en la gráfica las zonas de sobretensión en los distintos elementos:

Observamos que para valores menores a ω2 existe

sobretensión en C, mientras que para valores mayores a ω1

hay sobretensión en L. Cuando decimos sobretensión nos

referimos a que la tensión en dicho elemento es mayor que

la tensión aplicada.

También podemos ver para la resonancia existe

sobretensión en ambos elementos.

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Veamos qué sucede si a la frecuencia de resonancia el valor de R es mayor que XL. La gráfica será en este

caso:

Vemos que en este caso no se produce sobretensión en

ningún elemento sin importar la frecuencia ya que el

módulo de la impedancia siempre es mayor que el módulo

de cualquier reactancia. También vemos que en resonancia

tampoco existe sobretensión.

Lo que mencionamos recién es muy importante ya que nos deja bien en claro que los fenómenos de

resonancia y sobretensión son independientes el uno del otro.

Analicemos las gráficas de los elementos junto con la de tensiones para el caso en que R es menor que XL a

la frecuencia de resonancia.

Al observar las curvas juntas se logra interpretarlas mejor. Se han indicado en cada caso las frecuencias ω1 y ω2 para poder analizar la relación entre ambas gráficas.

Por último veamos como se comporta la corriente ante los cambios de la resistencia. Vemos que a medida que la resistencia se hace pequeña la corriente se hace más grande y para cada caso a la frecuencia de resonancia alcanza su máximo valor. Cuando R es nula la corriente se hace ∞ a la frecuencia de resonancia.

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RESONANCIA EN UN CIRCUITO RLC PARALELO

Pasaremos ahora a analizar el caso de un circuito paralelo RLC como se muestra en la figura. Dicho circuito es excitado por una fuente de tensión constante cuya frecuencia es variable.

Como se trata de un circuito paralelo debemos trabajar con admitancias. Por ello vamos a representar gráficamente las diferentes admitancias para poder sumarlas y obtener la admitancia total del circuito.

Recordemos la expresión de la admitancia:

j = k#-l + m k!& − #!%l = n + mJo& − o%K Entonces el gráfico resulta

Para que exista resonancia la admitancia del circuito debe presentar características conductivas puras, que es dual a decir que la impedancia debe presentar características resistivas puras. Para que eso suceda las susceptancias deben ser iguales en magnitud. De la gráfica vemos que en resonancia la admitancia es mínima, lo que implicaría una impedancia máxima y por ende la corriente resulta ser mínima.

Por tratarse de un circuito paralelo no existe sobretensión en ningún elemento. Lo que si puede aparecer a determinas frecuencias son sobrecorrientes. Para ello escribamos la expresión de la corriente para cada elemento:

I� = V ∙ G; I� � V ∙ B�; I� � V ∙ B�; I � V ∙ Y

Así podemos deducir que existirá sobrecorriente en el inductor cuando BL sea mayor que Y, mientras que habrá sobrecorriente en el capacitor cuando BC sea mayor que Y. En la figura anterior observamos que no existe sobrecorriente en ningún elemento para cualquier valor de frecuencia.

Consideremos ahora el caso en que G es menor que BC a la frecuencia de resonancia como se ve en la figura:

En esta situación si existen frecuencia para las cuales habrá sobrecorriente en los elementos. Nuevamente vemos que la resonancia y la sobrecorriente son fenómenos independientes y la existencia de uno no implica la del otro.

Por último agregamos la gráfica del comportamiento de la corriente a medida que varía la conductancia del

circuito. Se observa que en resonancia para cada caso la corriente es mínima. Para el caso en que G = 0 si se da la resonancia la corriente es nula.

Como conclusión tenemos que en circuitos paralelos que están en resonancia la admitancia es mínima, el factor de potencia es unitario y la corriente es mínima.