Corriente continua (DC)

Corriente alterna (AC)

No varia con el tiempo

Varia con el tiempo en forma sinusoidal tanto el voltaje como la corriente

Un circuito que consiste de una resistencia R conectada a una fuente CA, designada por el símbolo

0=∆+∆ Rvv Reglas de Kirchhoff.

tsenItsenR

V

R

vi RR max

max ωω =∆=∆=

Diagrama fasorial para el circuito resistivo donde se muestra que la corriente está en fase con el voltaje.

CORRIENTE rms

similarmente:

La corriente rms ( Irms ) es el valor de

corriente alterna que produciría en un resistor el mismo efecto de calentamiento que una corriente continua.

2máx

rms

II =

2máx

rms

VV =

Los voltímetros y amperímetros están diseñados para medir valores rms de la corriente o la tensión.

SOLUCION:

Valor Eficaz (Rms)

• Éstos significan la misma cosa para los circuitos AC :– “voltaje de C.C. equivalente ”

– “voltaje eficaz ”

– “voltaje rms”– RMS = root mean square

max2

1VVVV rmseffequivalentDC ===

Corriente alterna en elementos de circuito

I.I. Corriente alterna en una resistenciaCorriente alterna en una resistencia

La tensión aplicada y la corriente están en fase

tsenR

ti o ωε=)( tsenIti o ω=)(

Para calcular la corriente en el circuito aplicamos la L.K.V

R I=ε Ritseno =ωε

tsenVtv o ω=)(

Notación fasorial

La corriente y el voltaje pueden representarse mediante vectores bidimensionales llamados fasores.

El valor instantáneo de la caída de tensión es la componente y del vector VR, que gira en sentido antihorario con una velocidad ω.

A sen(ωt-δ1) Fasor A ( )A

B sen(ωt-δ2) Fasor B ( )B BAC

+=

Uso de los fasores

Combinar cantidades sinusoidales con diferencias de fase utilizando fasores se convierte en una suma de vectores.

Representación de fasor de voltaje AC y de la corriente

oinstantáne voltaje 0 →= tsenVv ω

Un fasor (vector rotatorio ) de longitud V 0 y una frecuencia ω tiene un componente en “y” igual al voltaje AC .

Un fasor similar puede representar la corriente.

El ángulo entre los fasores voltaje y corriente es el adelanto/retraso entre la corriente y el voltaje.

i = I0 senωt Corriente instantánea

Relación De Fase

θ = ángulo de fase

• Para adelanto θ° v=Vpcos(ωt+θ)

• Para retraso θ° v=Vpcos(ωt-θ)

Circuito AC que contiene solamente la resistencia R

donde: VR0 = I0R

tIRseniRvR ω==

tsenVv RR ω=

tsenIi RR ω=

P = IrmsR 2

Cada medidor da valores rms

2maxV

Vrms = VVrms 7.702

100 ==

R

VI rms

rms= AI rms 95.2

24

7.70 ==

Una fuente de potencia de ca produce un voltaje máximo Vmáx = 100 V. Esta alimentación de potencia se conecta a un resistor de 24 Ω y se miden la corriente y el voltaje en el resistor con un amperímetro y un voltímetro de ca ideales, como en la figura. ¿Cuáles son los valores que registra cada medidor?

Ω6.184.102.8 =+=TotalR AR

VI

Totalcircuito 806.0

6.18

15 ===

RIP altavozaltavoz2

2

1= ( ) WPaltavoz 38.34.10806.02

1 2 =×=

Un amplificador de audio, representado por medio de la fuente de ca y de un resistor en la figura, entrega a un altavoz voltaje alterno a frecuencias de audio. Si el voltaje de salida tiene una amplitud de 15.0 V, R= 8.20 Ω, y el altavoz es equivalente a una resistencia de 10.4 Ω, ¿cuál es la potencia promedio en el tiempo que se le entrega?

Las tres lámparas están en paralelo

V

PII 1

21 == AII 25.1120

15021 ===

21

1 9625.1

120R

I

VR ==== Ω

AV

PI 833.0

120

10033 === Ω144

833.0

120

33 ===

I

VR

AIIII total 33.3833.025.125.1321 =++=++=

La figura muestra tres lámparas conectadas a un suministro de voltaje doméstico de 120 V ca (rms). Las lámparas 1 y 2 tienen focos de 150 W y la lámpara 3 tiene un foco de 100 W. Encuentre la corriente rms y la resistencia de cada foco.

Aplicando Kirchhoff

Diagrama fasorial para un circuito inductivo, mostrando que la corriente se atrasa al voltaje en 900 .

Note que el voltaje alcanza su valor máximo un cuarto de periodo antes que la corriente alcance su valor máximo. Por lo tanto decimos que:

L

VI

ωmax

max

∆=

Esta expresión se parece al de la corriente máxima en un sistema resistivo.

R

VI max

max

∆=

REACTANCIA INDUCTIVA

Considere un circuito AC como en la figura. La frecuencia de la fuente CA se regula mientras su amplitud de voltaje se mantiene constante. El foco brillará a su máximo si: (a) altas frecuencias (b) bajas frecuencias (c) el brillo será el mismo a todas las frecuencias.

Para bajas frecuencias, la reactancia inductiva será pequeña, de modo que la corriente será máxima y el foco brillará más.

En un circuito CA puramente inductivo, L = 25,0 mH y el voltaje rms es 150 V. Calcule la reactancia inductiva y la corriente rms en el circuito si la frecuencia es 60.0 Hz.

Ω= 42.9LX

¿Qué pasaría con la corriente rms en el circuito si la frecuencia se incrementara a 6.00 KHz?

CAPACITORES EN CIRCUITOS CA

Aplicando Kirchhoff

tsenVCvCq C ωmax∆=∆=

Usando la identidad trigonométrica:

maxmax VCI ∆= ω

C

VI

ω1

maxmax

∆=

Como en el caso de los inductores, el denominador hace el rol de la resistencia cuyas unidades son ohms y recibe el nombre de reactancia capacitiva.

tsenVvC ωmax∆=∆

tsenXIv CC ωmax=∆

Considere el circuito CA de la figura. La frecuencia de la fuente CA se ajusta mientras su amplitud de voltaje se mantiene constante. El foco brillará mas para: (a) altas frecuencias (b) bajas frecuencias (c) el brillo será el mismo para todas las frecuencias.

El foco brillará más para altas frecuencias.

Considere el circuito CA de la figura. La frecuencia de la fuente CA es ajustada mientras su amplitud de voltaje se mantiene constante. El foco brillará más para: (a) altas frecuencias (b) bajas frecuencias (c) el brillo será el mismo para todas las frecuencias.

El foco brillará más para bajas frecuencias.

13772 −== sfπω

Si la frecuencia se duplicara, ¿cuál sería el valor de la corriente rms? Si la frecuencia se incrementa, la reactancia capacitiva decrece (lo opuesto a lo que ocurre con el inductor). El decrecimiento de la reactancia capacitiva resulta en un incremento en la corriente.La nueva reactancia capacitiva sería:

Ejemplo Reactancia de una bobina.

(a) se aplican 120-V dc;

(b) se aplican 120-V ac (rms) a 60.0 Hz.

AR

VI 120

1

120 ===

LIVL

ω=Lf

V

L

VI rmsL

πω 2

2==( ) AI 5.1

3.0602

1202 ==π

Ω3.135.7

100 ===I

VX L

( ) Hf

XXL LL 0424.0

502

3.13

2====

ππω

Ω405.2

100 ===I

VX L

srad

L

X L 9430424.0

40 ===ω

a)

b)

En un circuito de ca puramente inductivo, como en la figura, Vmax = 100 V. a) Si la corriente máxima es 7.5 A a 50 Hz, calcule la inductancia L. b) ¿A qué frecuencia angular ω la corriente máxima es 2.5 A?

XL = ωL

Ejemplo Reactancia del condensador. Cuáles son la corriente pico y rms en el circuito mostrado si C = 1.0 µ F y Vrms = 120 V? Calcular para f = 60 Hz

C

IVC ω

=

( )CfVIC

π2= ( )CfVIrms

π22=

( ) ( ) A.IMax

06401016021202 6 =×= −π

A..

.II Max

rms0450

411

0640

2===

( ) Cf

IV

C π2=

( ) VVV rms 3.282022max ===

maxmax CVQC

QVC =→=

( ) nCQ 77.23.281098 12max =×= −

Un capacitor de 98.0 pF está conectado a un suministro de potencia de 60.0 Hz que produce un voltaje rms de 20.0 V. ¿Cuál es la carga máxima que aparece en cualesquiera de las placas del capacitor?

a) ¿Para qué frecuencias lineales un capacitor de 22.0 μF tiene una reactancia por debajo de 175 Ω? b) Sobre este mismo intervalo de frecuencia, ¿cuál es la reactancia de un capacitor de 44.0 μF?

Relaciones RMSResistencia

rms

rms

I

VR =

Reactancia Capacitiva

fCI

VX

rms

rmsC π2

1==

Reactancia Inductiva

fLI

VX

rms

rmsL π2==

La unidad de la resistencia y de la reactancia es ohmios.

Potencia

Resistencia Capacitancia Inductancia

RIP rms2=

La energía disipada en un resistor se convierte en calor.

CrmsXIP 2= LrmsXIP 2=

El condensador es un dispositivo de almacenaje de la energía.

Durante el ciclo la energía se almacena temporalmente en el campo eléctrico.

Por lo tanto, la potencia no es una potencia verdadera sino potencia reactiva llamada en unidades de voltio-amperio-reactivo (VAR).

El inductor es un dispositivo de almacenaje de la energía.

Durante el ciclo AC la energía se almacena temporalmente en el campo magnético

La potencia no es potencia verdadero sino reactiva en unidades VAR.

Impedancia Z de un circuito

Es la relación de la amplitud de voltaje en un circuito a la amplitud de corriente en el circuito

I

VZ =

CIRCUITOS RLC EN SERIE

La figura muestra un circuito que contiene un resistor, un inductor, y un capacitor conectados en serie a través de una fuente de voltaje alternante. Como antes, asumimos que el voltaje aplicado varía sinusoidalmente con el tiempo. Es conveniente suponer que el voltaje aplicado instantáneo está dado por:

Se puede notar que los voltajes instantáneos sumados deben dar el voltaje total:

Relaciones de fase entre los fasores de voltaje y corriente para:(a) resistor, (b) inductor, y (c) capacitor conectados en serie.

Del gráfico (b):

Por lo tanto la máxima corriente es:

El denominador de la ecuación anterior se denomina IMPEDANCIA Z

SUS UNIDADES SON OHMIOS

El triángulo de impedancia para un circuito RLC en serie da la relación:

R

XX CL −=φtan

φtanRXX CL +=

( ) ( )( ) ( )

−Ω+

×= −−−

0611

60tan2001000.40.602

1

0.602

1

ssL

ππ

HL 84.0=

b) Calcule la máxima corriente en el circuito.

c) Encuentre el ángulo de fase entre la corriente y el voltaje

034−=φ

d) Calcule el máximo voltaje y el voltaje instantáneo a través de cada elemento.

Los máximos voltajes son:

Los voltajes instantáneos son:

CfXC π2

1= ( ) ( ) Ω812 1033.1

1020602

1 ×=×

= −πCX

22CXRZ += ( ) ( ) Ω82823 1033.11033.11050 ×=×+×=Z

AZ

VI 5

8 1077.31033.1

5000 −×=×

== personapersona IRV =

( ) VVpersona 88.110501077.3 35 =×××= −

Una persona está trabajando cerca del secundario de un transformador, como se muestra en la figura. El voltaje primario es 120 V a 60 Hz. La capacitancia C i, que es la capacitancia entre la mano y el devanado secundario, es 20.0 pF. Suponiendo que la persona tiene una resistencia de cuerpo a tierra Re = 50.0 k Ω. determine el voltaje rms a través del cuerpo. Sugerencia: Redibuje el circuito con el secundario del tranformador como una fuente de ca simple.

Circuito RLC en Serie

Solamente una corriente en la conexión de serie utilizada como referencia.

VR e I están en fase , VL adelanta la corriente en 90º y VC se retrasa a la corriente en 90º

Voltaje total - los fasores se suman de la misma manera que los vectores.

( ) 2220

0

CLR

LCR

VVVV

vvvv

−+=

++=

La misma relación para valores RMS

( )

( ) 22

222

CL

rmsrms

CLRrms

XXRZ

ZIV

VVVV

−+=

=−+=

Impedancia en ohms.

Z

ELICE

POTENCIA EN UN CIRCUITO CA

La potencia instantánea entregada por una fuente CA a un circuito es el producto de corriente de la fuente y el voltaje aplicado.

Para un circuito RLC en serie, se puede expresar la potencia instantánea como:

Promedio = 0

Expresando esta potencia en términos de la corriente y voltaje rms, queda:

Remplazando en la ecuación anterior

Válido para carga resistiva solamente.

No existen pérdida de potencia en circuitos CA puramente capacitivos o puramente inductivos.

a)

b)

c)

Factor de Potencia, Potencia Real y reactiva

ZIV rmsrms =

Factor de potencia = pf =cos φ

WcosφrmsrmsVIP =

Solamente los elementos resistivos disipan energía.

Los elementos reactivos almacenan energía temporalmente en una parte del ciclo AC . Esta energía se devuelve en otra parte del ciclo .

Sin embargo, las fuente de energía y otros equipos tal como transformadores deben poder manejar el VA máximo requerido .

( ) 22CL XXRZ −+=

R

XX CL −=φtan

RL

Q 0

0

00

ωω

ω =∆

=

f0 frecuencia de resonancia

La fuente de voltaje en la figura tiene una salida V = (100 V) cos( 1000t ). Determine a) la corriente en el circuito y b) la potencia suministrada por la fuente, c) Muestre que la potencia disipada en el resistor es igual a la potencia suministrada por la fuente.

XL = ωL XL = 1000(50x10-3)=50Ω

1

CXC ω

= ( ) Ω=×

= − 20 10501000

16CX

( ) 22CL XXRZ −+=

( ) Ω=−+= 50205040 22Z

La fuente de voltaje en la figura tiene una salida V = (100 V) cos( 1000t ). Determine a) la corriente en el circuito y b) la potencia suministrada por la fuente, c) Muestre que la potencia disipada en el resistor es igual a la potencia suministrada por la fuente.

ZIV rmsrms =

R

XX CL −=φtan

AZ

VI 2

50

100maxmax ===

o9.3640

2050tan 1 =

−= −φ

cosIVP φ2

1= W.cosP 8093610022

1 =×=

RIP 2

02

1= ( ) WP 804022

1 2 ==

Ω=×= 5005.01000LX

Ω=××

= − 200100.51000

16CX

( ) 22CL XXRZ −+= ( ) ( ) Ω500200500400 22 =−+=Z

Z

VI max

max = AI 2.0500

100max ==

RIP 2max2

1= ( ) WP 0.84002.02

1 2 ==

Un voltaje de ca de la forma v = (100 V) sen(1000t) se aplica a un circuito RLC en serie. Si R = 400 Ω, C= 5.0 μ F, y L = 0.50 H, encuentre la corriente máxima y la potencia promedio disipada en el circuito.

XL = ωL

1

CXC ω

=

Un resistor de 80 Ω, un inductor de 200 mH y un capacitor de 0.150 μF se conectan en paralelo a través de una fuente de 120 V (rms) que opera a 374 rad/s. a) Calcule la corriente rms en el resistor, inductor y capacitor b) Cuál es la corriente rms entregada por la fuente , c) Cuál es la frecuencia resonante del circuito

Hallar la corriente máxima y el ángulo de desfase. Hallar también la potencia media suministrada por la f.em. Datos: Vo = 100 V, R= 1 Ω, L=0.003 H, C=0.002 F, ω=120π rad/s

a

c

biL iC

iR

Nodo bLCRiiii +==

0

( )CVibcC

ω=

=L

VibcL ω

1

−=

LCVi

bc ωω 1

0

LVCVibcbc ω

ω 10

−=

==C

iXiVCCCC ω

1

( )LiXiV LLLL ω==

i0

222

0 bcabVVV +=Fasores se suman

como vectores

2

2

022

0

2

01

−

+=

LC

iRiV

ωω

−

+= 2

22

0

2

01

1

LC

RiV

ωω

−

+

=

2

2

0

0

1

1

LC

R

Vi

ωω

φcos2

1VIP =R

Z

IR

IZ

V

V

ab

bc ===φtan

RL

C

−

= ωω

φ

1

tan

PROBLEMA

En la figura R1 = 60.0 Ω, R2 = 40.0 Ω, L= 0.400 H, C = 5.00 µF y Vrms =240 V. ¿Cuál es la potencia que suministra la fuente en el límite donde:

a) la frecuencia ω de la fuente es muy grande.

b) ω es muy pequeña.

LX L ω= Si ω ∞→Entonces XL ∞→ Y la corriente en R1 es

cero.

( )Ω

==∴0.40

240 2

2

2 V

R

VP

rms WP 1440=

00 Si →⇒→ LXω ∞→CXy

La corriente en R2 es cero y

( )Ω

==60

240 2

1

2 V

R

VP

rms WP 960=

PROBLEMA

En cierto circuito L-R-C en serie, R = 300 Ω, L = 0.400 H y C = 6.00x10-8 F. Cuando la fuente de ca funciona a la frecuencia de operación del circuito, la amplitud de corriente es de 0.500 A.

a) ¿Cuál es la amplitud del voltaje de la fuente?

b) ¿Cuál es la amplitud de voltaje entre los extremos del resistor, del inductor y del capacitor?

c) ¿Cuál es la potencia promedio que la fuente suministra?

SOLUCION

a) A la frecuencia de resonancia Z = R

IRIZV == VAV 150300500.0 =Ω×= VIRVb 150 ) ==

LX L ω=C

LXX CL ωω 1=⇒=

LC

12 =ωLC

1=ω

LC

LX L =

CLX L = Ω=

×= − 2582

1000.6

400.08

HX L

Ω=×

= − 25821000.6

400.08

HX L

Ω×== 2582500.0 AIXV LLVVL 1291=

CXC ω

1=C

L

C

LCXC == Ω= 2582CX VIXV CC 1291==

RIVIPc 2

2

1cos

2

1 ) == φ En resonancia cosΦ = 1

( ) ( )Ω= 300500.02

1 2AP

WP 5.37=

LC

1=ω

EL TRANSFORMADOR

La corriente alterna en el devanado primario establece un campo magnético variable en el núcleo de hierro. Debido a que el hierro se magnetiza fácilmente, aumenta en gran medida el campo magnético con respecto al campo que hay en un núcleo de aire y orienta las líneas de campo al devanado secundario

En un núcleo bien diseñado, casi todo el flujo magnético Φ que pasa a través de cada vuelta del devanado primario también pasa a través de cada vuelta del devanado secundario.

Dado que el campo magnético es variable, entonces el flujo a través de los devanados primario y secundario también es variable y, por consiguiente, en ambas bobinas se induce una fem.

En la bobina secundaria, la fem inducida surge de la inducción mutua y está dada por la ley de Faraday de la inducción electromagnética como:

dt

dNV ss

Φ−=

En el devanado primario, la fem inducida Vp se debe a la autoinducción y está especificada por la ley de Faraday como:

dt

dNV pp

Φ−= El término dtdΦ es el mismo en ambas

ecuaciones

Al dividir las ecuaciones anteriores:

p

s

p

s

N

N

V

V = Esta es la ecuación del transformador

Razón de transformación

Si el interruptor se cierra, entonces en el circuito existe una corriente Is y se suministra energía eléctrica al calentador.

La potencia media suministrada al devanado primario es igual a la potencia media suministrada al devanado secundario.

sp PP =p

s

p

s

s

psspp N

N

V

V

I

IIVIV ==⇒=

EJEMPLO

Un transformador reductor dentro de un receptor estereofónico tiene 330 vueltas en el devanado primario y 25 vueltas en el secundario. La clavija conecta al primario a un tomacorriente de 120 V, y hay una corriente de 0.83 A en el primario mientras el receptor está encendido. Al devanado secundario están conectados los circuitos transistores del receptor. Encuentre:a)La tensión a través del devanado secundariob)la corriente en el secundarioc)la potencia eléctrica media suministrada a los circuitos transistores.

p

s

p

s

N

N

V

V = VVN

NVV

p

sps 1.9

330

25120 ===

b)p

s

s

p

N

N

I

I= AA

N

NII

s

pps 11

25

33083.0 ===

c) ( ) ( ) WVAVIP sss 1001.911 =×==

a)