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Fundamentos de Electrnica - Anlisis de Circuitos en Corriente Alterna

PMR/pmr Mayo de 2002

Anlisis de Circuitos en Corriente Alterna

1. Introduccin:

Continuando con el estudio de los principios bsicos que rigen el comportamiento de los circuitos elctricos y electrnicos, el presente apunte centra la atencin en los circuitos excitados por seales sinusoidales alternas de corriente o de votaje. La teora de circuitos de corriente alterna es fundamental para la comprensin de los fenmenos que se producen en cualquier equipo electrnico.

Se definir inicialmente que es una seal de corriente alterna y se describir brevemente los parmetros ms importantes que se utilizan para caracterizar cuantitativamente una seal de este tipo, haciendo nfasis en la fase, a continuacin, se analizarn las relaciones bsicas de corriente, voltaje y fase en resistencias, condensadoresm bobinas y circuitos RL, RC, RLC serie y paralelo.

A lo largo del estudio se introducir una serie de conceptos, tcnicas y convenciones que nos permitirn analizar los circuitos de corriente alterna por los mismos mtodos generales utilizados para el anlisis de circuitos de corriente continua.

2. Conceptos Bsicos de Corriente Alterna

Una corriente alterna (AC) se caracteriza, fundamentalmente, porque su polaridad o sentido de circulacin a travs de un circuito no es nico y porque no tiene un valor constante a travs del tiempo sino que este vara cclica o peridicamente. En la figura1. Se ilustra grficamente, desde este punto de vista, la diferencia entre una corriente continua y una corriente alterna.

a) DC +

Amp Alitu 0d t1

Tiempo(t)

-+ 1 Ciclo

b) AC A mp litu 0d A1

t1 A2

Tiempo(t)-Figura 1: Corriente Alterna vs corriente continua

En ambos casos, el eje horizontal representa el tiempo y el eje vertical la amplitud o la intensidad de la corriente. El punto t1 marca el instante en el cual se cierra el

circuito y comienza a circular la corriente. Las porciones positivas de cada grfica indican los intervalos de tiempo durante los cuales la corriente circula en una direccin y las porciones negativas los intervalos durante los cuales lo hace en direccin opuesta.

En el caso CC o DC (figura 1-a), la corriente arranca de cero y crece instantneamente hasta alcanzar un valor constante (A). En el caso AC (figura 1-b), la corriente comienza en cero, se incrementa progresivamente hasta alcanzar un valor mximo positivos (A1) y luego regresar gradualmente a cero. A partir de este instante, la direccin de circulacin de la corriente se invierte y se repite el proceso.

Lo anterior implica que la corriente crece progresivamente desde cero hasta alcanzar un mximo valor negativo (A2) y luego disminuye gradualmente hasta retornar otra vez a cero, finalizando lo que se denomina un ciclo y dando origen al ciclo siguiente. El nmero de veces que se repite el ciclo en un segundo se denomina la frecuencia de la seal, se ampliara este y otros conceptos mas adelante.

La forma de onda mostrada en la figura 1-b corresponde a una seal sinusoidal y es la que se utilizar a los largo del apunte para analizar el comportamiento de los circuitos de corriente alterna. No obstante, los circuitos electrnicos en general pueden ser excitados por formas de onda que no son necesariamente sinusoidales; la figura 2 muestra algunos ejemplos.

+ +

0 0 t

- Cuadrada

+ - Rizado

+

0 0

- Diente de Sierra - Pulsos

Figura 2: Otras forma de Ondas

Todas estas seales tienen un patrn regular: son peridicas, esto es sus formas de onda se repiten exactamente en el tiempo a intervalos regulares. Como se ilustra en la figura 3, cualquier seal peridica compleja siempre es el resultado de la superposicin o suma de varias seales sinusoidales relacionadas armnicamente, es decir cuyas frecuencias son mltiplos enteros de la fundamental.

+

Fundamental ( f0) t

-+ +

Segundo Armnico (f=2f )0 t

-= +

Onda Compleja Resultante t

-Figura 3: Construccin de una forma de Onda Compleja

Analizando el comportamiento de un circuito para cada una de estas seales sinusoidales puras (la fundamental y sus armnicos), y superponiendo los resultados parciales, resulta relativamente sencillo determinara la respuesta final del mismo cuando es excitado por la onda compleja original. Esta tcnica se conoce como Anlisis de Fourier y esta basada en el teorema del mismo nombre.

Segn el teorema de Fourier, una seal peridica cualquiera puede subdividirse siempre en un cierto nmero, finito o infinito, de seales sinusoidales puras. Esta circunstancia favorable evita que tener que desarrollar una nueva teora de circuitos electrnicos para cada tipo de onda posible y facilita el anlisis de circuitos excitados por seales complejas mediante la teora general de circuitos de corriente alterna existente.

3 Parmetros de una seal de corriente alterna.

Los principales parmetros que caracterizan una seal alterna, de corriente o voltaje, pura (figura 4) son su amplitud mxima, su frecuencia y su fase, Otros parmetros relacionados con la amplitud mxima son el valor instantneo, el valor pico a pico, el valor promedio y el valor eficaz.

Imax i(t)

0

Origen

t=T/4 t=3T/4

t

1 Ciclo

-Imax

Figura 4: Seal de Corriente Alterna Pura

La amplitud mxima se denomina tambin valor pico o peak y se refiere al mximo valor positivo o negativo, que alcanza la seal durante un ciclo. El valor pico de una seal de voltaje se mide en volts (V) y el de una seal de corriente en Amperes (A).

Se debe observar que en una seal sinusoidal pura, los valores peak de los semiciclos positivo y negativo son exactamente iguales y no ocurren al mismo tiempo. Sin embargo, este no es el caso general y, en una seal real, los dos semiciclos pueden no ser simtricos.

En adicin al valor peak, otras formas de caracterizar la amplitud de una seal de corriente alterna son los valores instantneos, peak a peak, promedio y eficaz o rms. En la figura 5 se comparan grficamente estos conceptos, validos tanto para seales de voltaje como de corriente.

prom rms

pk-pk

prom: promediopk rms:eficazpk-pk:pico a pico

Figura 5 Valores peak, peak a peak, promedio y eficaz

El Valor Instantneo es el que tiene la seal en cualquier instante de tiempo y se puede expresar en forma general mediante una ecuacin del tipo:

Valor instneo Valor peak Sen 2pft q

En la expresin anterior, p es una constante adimensional ( 3.14 ). f es lafrecuencia de la seal en hertz (Hz), t es el tiempo en segundos (s) y q es el ngulo de fase en radianes (rad). Este ltimo especfica el desplazamiento de la forma de onda a la izquierda o a la derecha del origen. Los conceptos de frecuencia y fase se aclararn ms adelante.

El valor peak a peak es numricamente igual al doble del valor peak y corresponde al medido entre los puntos de amplitud mxima de un ciclo de la seal. El Valor promedio se define como el promedio aritmtico de todos los valores que adopta la seal durante un semiciclo y es aproximadamente igual al 63.7% del valor peak. Esto es:

Valor peak peak 2 Valor pico

Valor promedio 0.637 Valor peak

El valor eficaz o rms (root-mean-square: raz cuadrtica media) de una seal de corriente alterna es el que produce en un elemento resistivo la misma disipacin de potencia que una corriente continua de igual valor. En la figura 6 se ilustra prcticamente este concepto. Inicialmente, con el interruptor en la posicin A, la lmpara es excitada por la seal alterna de voltaje y disipa, por ejemplo, 750 mW.

A B

AC Fuente DCFuenteLmparaVariable

Figura 6 Concepto de Valor eficaz

A continuacin, con el interruptor en la posicin B, la lmpara se excita con el voltaje continuo y se vara este ltimo hasta que produzca en la resistencia la misma disipacin de potencia que el voltaje alterno. Cuando esto suceda, el valor del voltaje continuo corresponder exactamente al valor eficaz del voltaje alterno. Numricamente, el valor eficaz de una seal de corriente o de voltaje est dado por:

Valor rms 0.707 Valor peak

A menos que se especifique otra cosa, siempre que hablemos de la magnitud de un voltaje o de una corriente AC nos estaremos refiriendo a su valor rms. Por ejemplo, los tomacorrientes caseros de 220 V, 50 Hz, proporcionan una onda seno de voltaje que se repite 50 veces por segundo y tiene un valor rms de 220 V, un valor peak de 311 V y un valor peak a peak de 622 V.

Para evaluar matemticamente el valor rms de seales no sinusoidales pero peridicas deben utilizarse tcnicas de clculo integral. En la prctica, la forma ms exacta de determinar el valor rms es estos casos es medir el calor producido por la seal en una resistencia conocida y compararlo con el valor de la corriente continua necesario para producir el mismo efecto. Los valores rms son muy usados en audio, acstica, potencia, etc.

La frecuencia (f) se refiere al nmero de ciclos que se repiten por segundo y se mide en hertz (Hz). La duracin de un ciclo se denomina perodo (T) y se mide en segundos (s). Entre ms alta la frecuencia de una seal, menor es su perodo y viceversa. La frecuencia y el perodo se relacionan matemticamente mediante las siguientes frmulas:

T 1 f 1f T

Las seales con frecuencia desde 20 Hz hasta 20 kHz se denominan seales de audio frecuencia (AF) debido a que las vibraciones de partculas de aire que nuestros odos reconocen como sonidos ocurren a esas frecuencias. Las seales de audio se

utilizan para por ejemplo para excitar parlantes y as crear ondas de sonido, es decir tonos o notas audibles.

Las seales con frecuencias por encima de 2 kHz se denominan seales de radio frecuencia debido a que pueden propagarse a travs del espacio en forma de radiaciones electromagnticas. Las seale de radio se utilizan para excitar antenas y comunicar por va electromagntica puntos distantes. La tabla de la figura 7 resume la clasificacin de las ondas de radio segn su frecuencia.

DesignacinRangoVLFMuy bajas frecuencias10 kHz - 30kHzLFBajas frecuencias20 kHz 300kHzMFMedias frecuencias300 kHz 3MHzHFAltas frecuencias3 MHz 30MHzVHFMuy altas frecuencias30 MHz 300MHzUHFUltra Altas Frecuencias300 MHz 3 GHzSHFSuper Altas Frecuencias3 GHz 30GHzEHFExtremadamente AltasFrecuencias30 GHz 300GHz

Figura 7: Espectro de frecuencia de radio

4 Concepto de fase. Fasores

El concepto de fase es importante cuando una seal se compara con otra de la misma frecuencia. Dos seales estn en fase cuando alcanzan valores correlativos (por ejemplo sus amplitudes mximas) al mismo tiempo y estn desfasadas cuando la una los alcanza antes o despus de la otra. En el primer caso, se dice que la primera seal esta adelantada con respecto a la segunda y en el segundo que est atrasada.

La fase puede ser medida en unidades de tiempo (segundos). Sin embargo, existe un mtodo ms conveniente. Consiste en dividir un ciclo en 360 partes o grados hexagesimales, como se ilustra en la figura 8, y especificar el intervalo de tiempo o diferencia de fase bajo consideracin en stas unidades. Un grado de fase es, por tanto, 1/360 de ciclo.

1 ciclo

0 90 180 270

360

1/2 ciclo

Figura 8: Angulos de fase de un ciclo

La razn de escoger el grado como unidad de medida de la fase se debe a que, en una seal alterna, el valor de la corriente en cualquier instante es proporcional al seno del nmero de grados transcurridos desde el instante en que comienza el ciclo. Sin embargo no existe un ngulo real, en el sentido geomtrico del trmino, asociado con una corriente alterna.

La fase puede tambin expresarse en radianes (rad), gradientes (gra) o en cualquier otra unidad de medida de ngulos. En el primer caso, que es el ms comn, un ciclocompleto (360 ) se divide en 2p ( 6.28 ) partes iguales o radianes. Por tanto, 1

rad= 360 2p 57.296 . En el segundo caso, un ciclo completo se divide en 400 partesiguales o gradientes. Por lo tanto 1gra 0.9 ! 15.71 10 3 rad .

La figura 9 ilustra grficamente el concepto de fase, aplicado a dos seales de la misma frecuencia que comienzan sus ciclos a tiempos ligeramente diferentes. En este caso, la corriente A adelanta a la corriente B en 60 puesto que el ciclo de A comienza60 antes que el de B. Es igualmente correcto decir que B est retrasada 60 conrespecto a A.

Seal A Seal B

0 90 180 270

360

1 ciclo=360Figura 9: Diferencia de fase entre dos seales

En la figura 10 se ilustran dos casos especiales importantes de diferencia de fase. En el primer caso (figura 10-a), B est retrasada 90 con respecto a A, es decir su ciclo comienza un cuarto de ciclo ms tarde que el de A. Mientras una seal est pasando por cero, la otra est en su punto de amplitud mxima, y viceversa. Se dice tambin que A y B estn en cuadratura de fase.

Seal A Seal B

0 90 180 (1/4 de Ciclo)

270

360 a) A y B en cuadratura de fase

Seal A

Seal B b) A y B en

0 90 180 (1/4 de Ciclo) 270

360

Figura 10: Casos Especiales de diferencia de fase

En el caso mostrado en la figura 10-b, las seales A y B estn 180 fuera de fase o en contrafase. Bajo esta circunstancia, no tiene mucho sentido hablar de adelanto o de retraso de una seal con respecto a la otra porque B siempre es positiva mientras A es negativa, y viceversa. Las seales mostrada en la figura 10 pueden corresponder a dos corrientes, dos voltajes o un voltaje y una corriente, en circuitos separados o en el mismo circuito.

Si A y B representan dos Voltajes (o dos corrientes) en el mismo circuito, el voltaje (o la corriente) total o resultante es tambin una onda seno puesto que la suma de cualquier nmero de ondas seno de la misma frecuencia es siempre una onda seno de la misma frecuencia. Cuando se comparan seales de distintas frecuencias, las diferencias de fase se especifican con respecto a la de ms baja frecuencia,

Para comparar las fases de voltajes y corrientes alternos de la misma frecuencia resulta conveniente representarlos como fasores. Un fasor es un mtodo grfico y analtico de caracterizar una seal sinusoidal especificando nicamente su magnitud y fase. De este modo, una seal de corriente alterna con una amplitud mxima de Im y ngulo de fase q puede representarse concisamente como

I Im q

Grficamente, este fasor puede representarse mediante una flecha dirigida como se indica en la figura 11. La longitud de la flecha indica la magnitud del voltaje o la corriente y el ngulo que forma con respecto a la horizontal indica su fase. Aunque la magnitud de un fasor puede corresponder al valor peak, peak a peak o rms, en lo sucesivo mientras no se especifique los contrario, asumiremos que se trata del valor rms.

Im Seal de referencia de faseIm

qq

-Im

i(t)=ImSen(2 pft+q ) Eje de referenciaFigura 11: Concepto de Fasor

El ngulo de fase de una onda slo puede especificarse con respecto a otra tomada como referencia. En la figura 12, por ejemplo, se muestran dos ondas de voltaje (Va y Vb) que estn en cuadratura, es decir 90 fuera de fase, y sus representaciones fasoriales correspondientes. En este caso, Vb adelanta a Va en 90. Este ltimo acta como fasor de referencia y se le asigna un ngulo de fase de 0.

V B V V B A

90

180 270 360t

q =90

VA

Figura 12:Representacin fasorial de seales en cuadratura

El ngulo de fase entre dos seales de la misma frecuencia corresponde naturalmente, a una diferencia especificada de tiempo. El tiempo asociado con un ngulo de fase q , expresado en grados, se relaciona con el perodo (T) mediante la siguiente frmula:

tq T q360

Ejemplo:Dos seales sinusoidales de 1KHz representan entre s una diferencia de fase de 60. Calcule el tiempo de desfase.

Solucin: El perodo de las seales es simplemente:

T 1f 1 1 103 ( Hz) 1 10 3 (s) 1[ms]

Puesto que q 60 !, entonces:

tq 1 60 / 360 0.167 ms

Por tanto, una seal est retardada 167[ms] con respecto a la otra. Este tiempocorresponde a una diferencia de fase de 60.

5. Relaciones de voltaje, corriente y fase en circuitos resistivos de corriente alterna

Cuando se aplica un voltaje alterno a una resistencia pura (figura 13) circula a travs de esta ltima una corriente alterna de la misma frecuencia y la misma fase. Asumiendo que el ngulo de fase del voltaje es 0, la corriente y el voltaje a travs de una resistencia se pueden describir fasorialmente as:

I I 0 V V 0

i(t)=im Sen wt

I=i m 0

V(t)=V m Sen w t V=V 0 m VR R

V(t), i(t) VR V(t), i(t)

IR I V

0 t 0 t

Figura 13: Relaciones de fase en un circuito resistivo

Al estar en fase la corriente con el voltaje, los circuitos puramente resistivos se pueden analizar con los mismo mtodos empleados para el anlisis de circuitos de corriente continua. En el caso de la figura 13, la magnitud de la corriente producida a travs de una resistencia puede evaluarse, aplicando directamente la ley de Ohm, mediante la frmula:

IV R

En esta expresin, I es la magnitud del voltaje y R el valor de la resistencia. Si el voltaje se expresa en valor peak o rms, la magnitud de la corriente calculada corresponde tambin al valor peak o rms. Los siguientes ejemplos aclaran el uso de la Ley de Ohm en el anlisis de circuitos resisitivos de corriente alterna sencillos.

Ejemplo1: Evalu la corriente total It y las cadas de voltaje V1 y V2 en el circuitovserie de la figura 14, R1 10[ ] , R2 20[ ]

IT

V RT 1 1120 V60 Hz

VR2 2

Figura 14: Circuito Resistivo Serie

Este problema se desarrollar en clases.

Ejemplo 2. Evalue la corriente total It y las corrientes I1 e I2 en el circuito resistivoparalelo de la figura 15, R1 10[ ] , R2 20[ ]

IT

I I1 2

120 V60 Hz R 1 R 2

Figura 15: Circuito Resistivo Paralelo

Este problema se desarrollar en clases.

Como hemos visto hasta el momento, en una resistencia el voltaje y la corriente estn en fase. Esta circunstancia facilita el anlisis directo de los circuitos resistivos de corriente alterna con los mismos mtodos y tcnicas empleados en el caso de la corriente continua (Ley de kirchhoff, circuito equivalente, etc).

5.1 Relaciones de Voltaje, corriente y fase en condensadores y bobinas.Concepto de Reactancia.

Inductor:

Un inductor o bobina es un dispositivo electrnico que almacena corriente entre sus terminales, en otras palabras se opone a los cambios de corrientes que puedan existir, esto lo efecta mediante el almacenamiento de energa magntica.

Smbolo del inductor:

Condensador:

El Condensador es un dispositivo que almacena voltaje entre sus terminales, en otras palabras se opone a los cambios a los cambios de voltaje que puedan existir, esto lo efecta mediante el almacenamiento de energa elctrica.

Smbolo del Condensador:

Cuando se aplica un voltaje alterno a una bobina o inductancia pura (figura 16) la corriente se retrasa con respecto al voltaje 90. Asumiendo que el ngulo de fase del voltaje es 90, la corriente y el voltaje a travs de una inductancia se pueden describir fasorialmente as:Il Il 0 Vl Vl 90

La magnitud de la corriente producida a travs de la inductancia se puede evaluar como sigue:

I V l 2pfL

IL

V LLf

V V(t), i(t) L

V L

I L

I L

0 t 090 t

Figura 16: Circuito Inductivo

En esta expresin, 2p 6.28 es una constante, f es la frecuencia en Hertz (Hz) y L lainductancia en Henrios (H). El efecto combinado de la frecuencia y la inductancia se denomina reactancia inductiva y mide la oposicin que presenta la bobina al paso de lacorriente alterna. La reactancia inductiva se designa comose calcula mediante la siguiente frmula: X L , se mide en ohms [ ] y

X L 2p f L

Por tanto, la reactancia de una bobina es directamente porporcional a la frecuencia (f). A medida que aumenta la frecuencia, aumenta la reactancia y disminuye la corriente, yviceversa. El trmino 2pf se denomina comnmente frecuencia angular, se designacomo w y se mide en radianes por segundo (rad/s). La magnitud de la corriente a travs de la bobina se puede expresar en trminos de XL y w as:

I VL L VL X L w L

Ejemplo: Si en el circuito de la figura 16 Lentonces: 2.65[ H ] , VL 120V y f 50 Hz ,

w 6.28 50 314 rad/sX L 314 2.65 832.1[ ]I L 120 / 832.1 144[mA] (rms)

Cuando se aplica un voltaje alterno a un condensador o capacitancia pura (figura 3.17) la corriente se adelanta con respecto al voltaje 90. Asumiendo que el ngulo de fase del voltaje es 0, la corriente y el voltaje a travs de una capacitancia se pueden describir fasorialmente as:

IC

V CCf

CVV(t), i(t)

V C

090

I C

V C

t 0 t

Figura 17: Circuito Capacitivo

IC I C 90 Vc Vc 0

La magnitud de la corriente producida a travs de la capacitancia se puede evaluar como sigue:

I c VC 2p f C

En esta expresin, 2p 6.28 , f es la frecuencia en Hertz (Hz) y C la inductancia enfaradios (F). El efecto combinado de la frecuencia y la capacitancia se denomina reactacia capacitiva y mide la oposicin que presenta el condensador al paso de la corriente alterna. La reactancia capacitiva se designa como Xc, se mide en ohms [ ] y se calcula mediante la siguiente frmula:

X 1C 2p f C

Por tanto, la reactancia de un condensador es inversamente proporcional a la frecuencia (f). A medida que aumenta la frecuencia, disminuye la reactancia yaumenta la corriente, y viceversa. El trmino 2pf sigue siendo la frecuencia angularw , medida en radianes por segundo (rad/s). La magnitud de la corriente a travs del condensador se puede expresar en trminos de Xc y w as:

I V Xc V w C

Ejemplo. Si en el circuito de la figura 17, C 30mF , Vc=20[mV] y f=1 kHz, entonces:

w 6.28 1 103 6280 rad/sX C 1/(6280 30 10 6 ) 5.31[ ]I 20 / 5.31 3.77[mA] (rms)

Como es posible derivar del anlisis anterior, las bobina o inductancias presentan una fuerte oposicin a las altas frecuencias y los condensadores una fuerte oposicin a las bajas frecuencias. Combinando reactancias capacitivas e inductivas se pueden controlar determinadas bandas de frecuencia. Esta caracterstica se aprovecha ventajosamente en filtros, ecualizadores y variados dispositivos electrnicos.

5.2 Circuitos RL, RC, RLC en configuracin Serie

Cuando un circuito contiene tanto resistencias como reactancias (bobinas y/o condensadores), su efecto combinado se denomina impedancia. Definida en trminos sencillos, la impedancia es la oposicin que presenta un circuito al paso de la corriente alterna y es una generalizacin de los conceptos de resistencia y reactancia. Laimpedancia se simboliza con la letra Z y se mide en ohms [ ] . La reactancia y laresistencia que forman una impedancia pueden conectarse en serie o en paralelo, como se ilustra en la figura 18. En ambos casos, la caja X simboliza la reactancia inductiva o capacitiva. En el circuito serie (figura 18-a), la corriente a travs de los dos elementos (IT ) es la misma pero los voltajes sobre la resistencia (VR) y la reactancia (VX ) son diferentes.

I T I TVRR I R I X

VX

X

V T V Tf f R X

Figura 18: Circuito Serie y paralelo.

En el caso de un circuito paralelo (figura 18-b), el voltaje aplicado a ambos elementos (VT ) es el mismo pero las corrientes IR e IX que fluyen a travs de las ramas resistivas y reactiva, respectivamente, son diferentes. Hay que recordar que tanto el voltaje y la corriente de entrada (VT e IT ) como las corrientes IR e IX y los voltajes VR y VX son cantidades fasoriales, esto es, poseen una magnitud y una fase.

La magnitud de la impedancia del circuito serie (ZS ) de la figura 18-a y el ngulo de desfase (q ) entre la corriente IT y el voltaje VT se evalan mediante las siguientes frmulas:

SZ R 2 X 2 qTan 1 X R

Estas relaciones se pueden representar grficamente mediante un tringulos de impedancias, como se indica en la figura 19. La frmula de ZS es similar a la utilizada en geometra para calcular la hipotenusa de un tringulo rectngulo cuando se conocen sus catetos. En este caso la hipotenusa corresponde a la impedancia ZS, la base a la resistencia R y la altura a la reactancia X.

SZ R 2 X 2

X

q90

R

Figura 19: Tringulo de impedancia

Para el circuito paralelo de la figura 18-b, la magnitud de la impedancia (ZP ) est dado por:

Z R X PR 2 X 2

Tanto en este caso como en el anterior, X es la magnitud de la reactancia (capacitiva o inductiva). El valor rms de la corriente total IT se evalan como sigue:

I VT T Z

siendo VT el valor rms del voltaje de entras y Z la impedancia (serie o paralelo, segn el caso) calculada por las frmulas precedentes.

Si hay dos o ms reactancias del mismo tipo en un circuito, la reactancia equivalente se evala utilizando las mismas reglas de resistencias conectadas en serie o en paralelo. Por ejemplo, la reactancia equivalente a la asociacin de 2 reactancias X1 y X2 en serie es:

X T X 1 X 2

del mismo modo, la reactancia equivalente a la asociacin de dos reactancias del mismo tipo, X1 y X2 en paralelo es, simplemente:

X 1 X 2 XTX 1 X 2La situacin es diferente cuando se combinan, en serie o en paralelo reactancias de tipo opuesto, es decir un condensador (reactancia capacitiva) y una bobina (reactancia inductiva), como se muestra en la figura 20. En estos casos, debe tenerse en cuenta que la corriente est adelantada 90 con respecto al voltaje en un condensador y retrasada 90 con respecto al mismo en una bobina.

I TV L X L ITI L I C

V T V Tf f X L X C

V XC C

Figura 20: Circuitos con reactancias opuestas

Como resultado de lo anterior, en el circuito serie de la figura 20-a, el voltaje VL a travs de la reactancia inductiva XL es de polaridad opuesta al voltaje VC a travs de la reactancia capacitiva XC. De este modo, si establecemos que XL es positiva y XC es negativa (una convencin muy comn), entonces VT =VL -VC y la reactancia resultante es:

X T X L X C

Observar que XT es negativa si XC es mayor que XL . Esto significa que la reactancia equivalente, en este caso es capacitiva y el circuito se comporta como un condensador.

As mismo, si XC es menor que XL , la reactancia resultante es positiva y el circuito se comporta como una bobina. En el caso particular que XL y XC sean iguales, la reactancia total es cero y el circuito se comporta como un cortocircuito.

Del mismo modo, en el circuito paralelo de la figura 20-b, la corriente IL a travs de XL es de polaridad opuesta a la corriente IC a travs de XC. Estableciendo la misma convencin previa (XL positiva y XC negativa), la corriente a travs del circuito es IT =IL - IC y la reactancia equivalente es:

TX X L X C X L X C

Note ahora que XT es negativa (capacitiva) si XL es mayor que XC y positiva (inductiva) si XL es menor que XC. En el caso particular que XL y XC sean iguales, la reactancia total es infinitamente grande y el circuito se comporta como un circuito abierto. De todas formas, XT siempre es menor que la mayor de las reactancias en un circuito paralelo.

5.2.1 Notacin Compleja

Los circuitos constituidos por reactancias y resistencias en cualquier combinacin, serie o paralelo, se denominan genericamente circuitos complejos. El trmino complejo implica que, debido a los voltajes y las corrientes no estn en fase, los valores de reactancia y resistencia no pueden ser combinados artimticamente, es decir sumados como nmeros reales.

La notacin compleja para expresar la impedancia de un circuito serie tiene la forma:

Z R jX

siendo j ( 1) y j 2 1. La componente resistiva de una impedancia ( R ) sedenomina su parte real y la componente reactiva (X) su parte inmaginaria. Si la reactancia es inductiva, el signo del operador imaginario j es positivo y si es capacitiva el signo de j es negativo. Utilizando esta notacin, la impedancia de los circuitos RL, RC, RLC serie anteriores puede expresarse como sigue:

Z RL Z RC Z RLC R jX LR jXC R j (X L

X C )

El concepto de impedancia es muy importante por ejemplo en sistemas de sonido; los preamplificadores para micrfonos de condensador, deben tener una impedancia de entrada muy elevada debido a que estos componentes son de alta impedancia y se comportan como circuitos RC. Del mismo modo, los amplificadores de potencia deben tener una baja impedancia de salida debido a que los parlantes a impulsar son dispositivos de baja impedancia y se comportan como circuitos RL.