ANALISIS DE POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA (AC) Y MEDIDAS DE POTENCIA A DIFERENTES CARGASSe han establecido algunas de las leyes fsicas que rigen el comportamiento de los campos elctrico y magntico cuan-do stos son variables en el tiempo, en el presente captulo estamos ya preparados para tratar circuitos con corriente variable en el tiempo y as extender los conceptos de circuitos de corriente continua (Tema 2) al caso de circuitos de corriente variable en el tiempo.Entre las posibles dependencias temporales de la corriente, I(t), en este tema estudiaremos nicamente aqulla cuya variacin es armnica, esto es, del tipoI(t) = I0 cos(t + )(5.1)

(ver Apndice B para una descripcin de las funciones armnicas). Las razones fundamentales para estudiar este tipo de corriente variable en el tiempo, denominada de forma genrica corriente alterna, son dos:

1. Relevancia tecnolgica.

Desde un punto de vista tecnolgico, el uso de la corriente alter-na es muy conveniente debido a que sta es muy fcil de generar y su transporte puede realizarse fcilmente a altas tensiones (y pe-queas intensidades) minimizando as las prdidas por efecto Joule (posteriormente, por induccin electromagntica, la corriente alter-na puede fcilmente transformarse a las tensiones usuales de traba-jo). Estas caractersticas junto con su fcil aplicacin para motores elctricos hizo que, a partir de nales del siglo XIX, la corriente al-terna se impusiera para uso domstico e industrial y que, por tanto, la tecnologa elctrica se haya desarrollado en torno a esta forma de corriente (en Europa la frecuencia de la corriente alterna es de 50 Hz). Una caracterstica adicional de esta corriente es que su for-ma armnica se conserva cuando la corriente es modicada por el efecto de elementos lineales, a saber: resistencias, condensadores, bobinas, transformadores, etc.

2. Relevancia matemtica.

Debido a que cualquier funcin peridica puede expresarse como la suma de diferentes armnicos (teorema de Fourier), el estudio de la corriente alterna constituye la base para el anlisis de seales variables en el tiempo en redes lineales.RELACION (I V) PARA RESISNTENCIA, CONDENSADOR Y BOBINA

Resistencia.

Segn se discuti en el Apartado 2.3.2, en corriente continua la relacin que exista entre la cada de potencial V y la intensidad I en una resistencia caracterizada por R vena dada por la ley de Ohm, esto es, V = RI. Experimentalmente puede vericarse que la ley de Ohm sigue siendo vlida para corrientes alternas y, por tanto, puede escribirse que

(5.2) Condensador.En la expresin (1.57) se deni la capacidad C de un condensador como la relacin entre la carga Q de las placas y la cada de potencial V entre stas, esto es: (5.3)

Esta relacin se cumple igualmente para corrientes alternas, de donde puede deducirse que la carga variable en el tiempo, Q(t), puede escribirse como:

(5.4)

Al derivar la expresin anterior respecto al tiempo obtenemos la siguiente relacin entre la intensidad I(t) y la cada de potencial entre las placas V (t):

(5.5)

Esta relacin indica que la derivada temporal de la cada de po-tencial entre las placas est relacionada linealmente mediante el parmetro C con la intensidad que llega al condensador.

Bobina.

Tal y como se expres en (4.42), el efecto de autoinduccin elec-tromagntica de una bobina caracterizada por una inductancia L y recorrida por una intensidad I(t) poda considerarse como una cada de potencial en la bobina, V (t), dada por (5.6)

La bobina puede considerarse, por tanto, como un elemento de cir-cuito que relaciona linealmente, mediante el parmetro L, la deriva-da temporal de la intensidad que circula por ella con la cada de potencial en la misma.

Generador de fem alterna

Anteriormente se ha sealado que una de las propiedades ms desta-cadas y que hacen ms tiles el uso de la corriente alterna es su fcil generacin. El generador de fem alterna basa su funcionamiento en la ley de induccin electromagntica de Faraday (ver Apartado 4.2.2), trans-formando energa mecnica en energa electromagntica (en una forma opuesta a lo que hace el motor elctrico, ver Apartado 3.3.2). Un esquema bsico de un generador de fem alterna se muestra en la gura 5.1, donde podemos observar que el ujo magntico que atraviesa la espira giratoria

Viene dado por:

donde se ha supuesto que el campo magntico es uniforme en la regin donde se mueve la espira.Si el movimiento que se le imprime a la espira es un movimiento angular uniforme caracterizado por una velocidad angular constante (como por ejemplo el que producira un chorro de vapor constante dirigido a unas aspas conectadas con la espira), dado que = t + 0, el ujo magntico que atraviesa la espira puede expresarse como

Haciendo uso de la ley de induccin de Faraday (4.17), la fem E (t) inducida en un conjunto de N espiras similares a la de la gura anterior ser

Esto es, se ha generado una fem alterna que puede expresarse en general como

Donde, en el presente caso, E0 = NBS y = 0 /2.

Valores ecaces

El valor ecaz, Ief, de una corriente alterna,

se dene como la raz cuadrada del valor cuadrtico medio EI2(t) de la corriente, es decir:

donde el valor medio de una funcin peridica, f(t), de periodo T se dene como:

El valor ecaz de la corriente, al igual que otras magnitudes circuitales que varen armnicamente, tiene mucha importancia prctica dado que el valor que miden los polmetros analgicos es precisamente el valor ecaz. Siguiendo la denicin (5.12) y teniendo en cuenta (5.13) se tiene que

Por lo que el valor eficaz se relaciona con la amplitud I0, de la corriente mediante la siguiente expresin:

Anlogamente, el valor ecaz de cualquier otra magnitud que vare ar-mnicamente en el tiempo se dene como la amplitud de dicha magnitud dividida por Es interesante observar que el valor ecaz, Ief, de una corriente al-terna, I(t) = I0 cos(t + ), que recorre una resistencia R es justamente el valor de la intensidad de la corriente continua que produce el mismo efecto Joule durante un periodo de tiempo T. La energa WCA disipada por efecto Joule en una resistencia R por una corriente alterna durante un periodo de tiempo T puede calcularse como

donde P(t) es la potencia instantnea disipada en la resistencia, que viene dada por el producto de la intensidad por la tensin, esto es:

Dado que segn (5.2) la cada de potencial en la resistencia es V (t) = RI(t), la energa disipada por la corriente alterna en esta resistencia puede escribirse como

que es precisamente el valor de la energa disipada por efecto Joule du-rante un periodo de tiempo T en dicha resistencia R si sta fuese recorri-da por una corriente continua de valor Ief, esto es,

Anlisis fasorial de circuitos de CADado que el estudio de la corriente alterna implica el tratamiento de funciones con una dependencia temporal de tipo armnica, la introduccin de los fasores asociados a estas funciones simplicar enormemente el clculo matemtico necesario. Tal y como se explica en el Apndice B.2. A una funcin armnica I(t) = I0 cos(t + ) se le hace corresponder un fasor I:

que viene dado por

de modo que

Las propiedades bsicas de los fasores se discuten en el Apndice B.2, donde tambin se muestra que una propiedad muy til para el presente tema es la que relaciona la derivada temporal de una funcin armnica con su fasor asociado, esto es,

EXPRESIONES FASORIALES PARA RESISNTENCIA, CONDENSADOR Y BOBINAHaciendo uso de las relaciones fasoriales apropiadas es posible ex-presar las relaciones fundamentales para resistencias, condensadores y bobinas en la siguiente forma: Resistencia:La relacin (5.2) puede expresarse en forma fasorial simplemente como:

O bien como:

Condensador:Para el condensador, haciendo uso de la propiedad (5.21), la relacin (5.5) puede expresarse como:

O equivalentemente

La expresin anterior suele tambin escribirse como:

Dnde:

Se denomina reactancia capacitiva y se expresa en ohmios (). Esta magnitud depende de la frecuencia tendiendo a cero para frecuencias muy altas y a innito para frecuencias muy bajas. Esto se maniesta en el hecho de que para frecuencias bajas el condensador se comporta como un elemento que apenas deja uir la corriente mientras que a frecuencias altas casi no impide la circulacin de la corriente. Bobina:La relacin (5.21) para la bobina puede expresarse en forma fasorial como:

Si se dene la reactancia inductiva, XL, como:

la expresin fasorial (5.28) puede tambin escribirse como:

La reactancia inductiva viene dada en ohmios y es un parmetro que depende linealmente con la frecuencia, de modo que tiende a cero para frecuencias bajas y a innito para frecuencias altas. Podemos armar entonces que la bobina se comporta como un elemento que se opondra al paso de la corriente a medida que la frecuencia de sta aumenta.

Es interesante observar que las relaciones tensin/intensidad 2 para el condensador y la bobina fueron expresadas en el Apartado 5.2 mediante expresiones diferenciales han podido ser ahora reescritas como simples expresiones algebraicas mediante el uso de sus fasores asociados. Es ms, se ha encontrado que el fasor V siempre puede relacionarse linealmente con el fasor I mediante un parmetro genrico Z.

que denominaremos impedancia y que, en general, es un nmero com-plejo (notar que no es un fasor) que toma los siguientes valores para el caso de resistencias, condensadores y bobinas:

Reglas de KirchhoffLas reglas de Kirchhoff junto con las relaciones tensin/intensidad en los distintos elementos que constituyen los circuitos nos permitirn de-terminar el comportamiento de las magnitudes elctricas en corriente al-terna. Las reglas de Kirchhoff fueron introducidas en el Captulo 2 para los circuitos de corriente continua, donde suponamos que se haba establecido una situacin estacionaria (es decir, las magnitudes no variaban en el tiempo). En los circuitos de corriente alterna supondremos que las reglas de Kirchhoff siguen siendo vlidas para cada instante de tiempo3. En consecuencia podemos expresar las reglas de Kirchhoff de la siguiente manera: Regla de Kirchhoff para la tensin:

donde Vj(t) es la cada de potencial en el elemento j simo y Ei(t) es la i esima fem del recorrido. En el ejemplo mostrado en la gura adjunta, la regla (5.33) nos dice que

Regla de Kirchhoff para las intensidades:

esto es, en cada instante de tiempo, la suma de todas las intensi-dades que llegan y salen de un nudo es cero.Las anteriores reglas pueden tambin expresarse en forma fasorial, adoptando entonces la siguiente forma: Regla de Kirchhoff fasorial para la tensin:

O, equivalentemente:

donde Zj es la impedancia del elemento j-simo recorrido por la intensidad fasorial Ij. En el ejemplo de la gura (siguiendo los crite-rios de signos ya explicados para los circuitos de corriente continua), al aplicar (5.36) obtenemos

Regla de Kirchhoff fasorial para las intensidades

Es decir, la suma de todas las intensidades fasoriales que llegan y salen de un nudo es cero.Circuito RLC serieDebemos observar que las reglas de Kirchhoff tal como han sido establecidas en (5.36) y (5.37) son idnticas a las reglas (2.34) y (2.35) establecidas para corriente continua, considerando que ahora tenemos fasores e impedancias en vez de nmeros reales y resistencias. Como un ejemplo sencillo de aplicacin de las leyes de Kirchhoff fasoriales consideraremos a continuacin un circuito RLC serie en corriente alterna.Si el generador de fem alterna proporciona una E dada por

Cuyo fasor asociado es

al aplicar la ley de Kirchhoff de las tensiones (5.33) al circuito de la gura tendremos que

o bien en forma fasorial:

Teniendo ahora en cuenta las expresiones fasoriales (5.23),(5.26) y (5.30)

donde la impedancia, Z, del circuito RLC serie ser

esto es, la suma de las impedancias de cada uno de los elementos del circuito. Esta impedancia puede tambin expresarse en forma mdulo y argumento como

Donde:

Y

Despejando en la expresin (5.43), el fasor intensidad puede calcularse como:

Sustituyendo ahora (5.39) y (5.45) en la expresin anterior, I puede reescribirse como:

de donde concluimos que la amplitud y fase del fasor intensidad vienen dados por

Y

Obviamente, la expresin temporal de la intensidad puede obtenerse al sustituir las expresiones anteriores para I0 y en I(t) = I0 cos(t + ). ResonanciaSi la amplitud de la intensidad para el circuito serie RLC, segn se ha obtenido en (5.49), se expresa explcitamente como una funcin de la frecuencia, obtendramos que

O, equivalentemente

Deniendo la frecuencia 0 como

podemos reescribir (5.52) como

donde puede observarse que la amplitud de la intensidad en el circuito serie RLC depende claramente de la frecuencia y presenta un mximoabsoluto para un valor de frecuencia = 0. Este fenmeno se conoce en general como resonancia y aparece en mltiples situaciones prcti-cas (por ejemplo, en los osciladores forzados). La frecuencia, r, a la que aparece el mximo de amplitud recibe el nombre de frecuencia de resonancia, siendo para el circuito serie RLC: r = 0; cumplindose adems a esta frecuencia que XL = XC, por lo que, segn (5.47), la impedancia es puramente real. Los fenmenos de resonancia tienen mltiples aplicaciones prcticas; por ejemplo, si el circuito serie RLC se utiliza como el circuito de sintona de una radio, la capacidad del condensador puede variarse de modo que la frecuencia de resonancia vaya cambiando, sintonizndose as las diferentes emisoras (esto es, la emisora que emita con frecuencia igual a la de resonancia es la que se recibira con ms intensidad).Anlisis de mallasLa resolucin del circuito RLC serie en corriente alterna ha puesto de maniesto que mediante el uso de los fasores y de la impedancia asocia-da a cada elemento, la resolucin de un circuito de corriente alterna es equivalente a la de uno de corriente continua en la que las magnitudes intensidad y tensin son ahora fasores y las impedancias juegan el papel de resistencias. De este modo, todas las tcnicas introducidas en el Cap-tulo 2 para la resolucin de circuitos de corriente continua pueden ser ahora aplicadas a la resolucin de circuitos de corriente alterna, teniendo en cuenta las equivalencias antes mencionadas

Como ejemplo, un circuito como el mostrado en la Figura 5.2 puede

resolverse mediante la aplicacin del mtodo de las corrientes de mallas. Deniendo los fasores intensidades de malla en cada una de las tres mal-las del circuito segn se muestra en la gura y teniendo en cuenta el valor de las impedancias de cada uno de los elementos implicados, la ecuacin para las intensidades de malla puede escribirse como

donde la matriz de impedancias viene dada por

Para los clculos en los ejercicios es siempre conveniente trabajar con nmeros sustituyendo las expresiones algebraicas por sus valores numri-cos concretos antes de resolver el correspondiente sistema de ecuaciones.Ejemplo 5.1 En el circuito de la gura, determine las intensidades fasoriales I1,I2 e I3 y las instantneas, i1(t),i2(t) e i3(t).Datos: E(t) = 20sen(4 104t)V, R1 = 8, R2 = 4, L = 0,2mH y C = 3,125F

Lo primero que debemos hacer es obtener los fasores fuerza electromotriz y las impedancias de cada elemento. Dado que la fuente proporciona una fem de valorE(t) = 20sen(4 104t) V = 20cos(4 104t /2) Vde aqu obtenemos que la frecuencia angular, , de la fuente es = 4 104 rad/sy su correspondiente fasor asociadao esE = 20ej/2 = j20 VPara obtener las impedancias de la bobina y los condensadores, debemos cal-cular primero las reactancias inductivas y capacitivas, esto es,

por lo que el circuito equivalente que debemos resolver es el mostrado en la gura adjunta.

Las ecuaciones para las intensidades fasoriales de malla, I1 e I2, son

o bien simplicando al dividir por 4:

Las intensidades de mallas pueden ahora calcularse usando, por ejemplo, el mtodo de sustitucin. As de la segunda ecuacin obtenemosI2 = 2jI1que al sustituir en la primera ecuacin, nos lleva a que

Despejando tenemos que

y sustituyendo ahora este valor para obtener I2, obtenemos

Para calcular ahora el fasor I3, asociado a i3(t), debemos tener en cuenta queI3 = I1 I2Por lo que

Antes de obtener las expresiones de las intensidades instantneas es conve-niente expresar los fasores anteriores en forma mdulo y argumento:

(Notar que I3 se encuentra en el tercer cuadrante, por lo que su fase ser +/4 = 5/4).Finalmente las intensidades instantneas vienen dadas por

Balance de potenciaPotencia mediaConsideremos una rama de un circuito de CA caracterizada por un impedancia Z donde se han medido las siguientes tensin e intensidad instantneas:

siendo el ngulo de desfase entre la tensin y la intensidad (en el presente caso se ha tomado por sencillez la fase inicial de la tensin igual a cero, aunque este hecho no afecta a las conclusiones y resultados del presente apartado).La potencia instantnea, P(t), consumida en dicha rama vendr dada por la siguiente expresin:

donde debemos observar que dicha potencia es una funcin variable y peridica en el tiempo (T = 2/). Debido al carcter variable y per-idico de esta magnitud, la idea de potencia consumida en el sistema puede relacionarse ms convenientemente con la potencia media en un periodo, Pmed, cuya expresin ser

La potencia media es justamente el valor que usualmente se propor-ciona al referirnos al consumo de cualquier aparato elctrico. Esta mag-nitud nos nos da una idea clara de cmo se comporta el sistema puesto que lo que ocurre en el intervalo natural de tiempo en el sistema (esto es, el periodo T) determina el comportamiento del sistema en cualquier otro intervalo de tiempo mayor ste ser simplemente una repeticin de lo que sucede en uno de los periodos. As, por ejemplo, la energa, E , consumida en el sistema en un intervalo de tiempo t T ser muy aproximadamente

Introduciendo (5.55) en (5.56) para obtener la potencia media tenemos que

y dado que la segunda integral se anula mientras que la primera es 0.5T podemos concluir que

Es interesante observar que, desde un punto de vista operativo, la potencia media podra haberse calculado igualmente mediante la siguiente expresin:

donde f signica complejo conjugado de f. Si tomamos las expresiones fasoriales correspondientes a la intensidad y tensin consideradas

podemos comprobar que efectivamente

Factor de potencia

En la expresin (5.57) de la potencia media podemos apreciar que jun-to al producto de las amplitudes de la tensin e intensidad aparece un factor cos denominado factor de potencia. Este factor de mxima im-portancia prctica es determinante en el consumo/suministro de potencia en el sistema puesto que su valor est comprendido en el intervalo [1,1]. Por ejemplo, en la resonancia donde el desfase entre la tensin y la inten-sidad es nulo, el factor de potencia es uno y consecuentemente el consumo de potencia es mximo. Por el contrario si el desfase entre la tensin y la intensidad fuese de /2 el consumo de potencia sera nulo.

El factor de potencia puede expresarse en trminos de la impedancia Z de la rama, que podemos escribir como

Dado que en el presente caso la fase del fasor V es nula, la fase del fasor intensidad I ser la opuesta a la fase de la impedancia, esto es

de donde obtenemos que

Y

Teniendo en cuenta que cos = Re(Z)/|Z| y (5.63), el factor de potencia puede, por tanto, escribirse como

y, consecuentemente, la potencia media puede tambin expresarse como

o expresiones equivalentes (en funcin de Vef).

Consumo de potenciaLa expresin (5.65) indica que la potencia media consumida est directamente relacionada con la parte real de la impedancia. Si el sistema bajo estudio fuese un circuito serie, entonces la parte real de la impedancia vendra dada simplemente por la suma de las resistencias pero si el cir-cuito fuese de otro tipo, la presencia de las partes reactivas del circuito (condensadores y bobinas) aparecern explcitamente en la parte real de la impedancia. Evidentemente el consumo de potencia slo se lleva a cabo en las resistencias (nicos elementos en los que tiene lugar efecto Joule) y no en las bobinas y condensadores. No obstante, esto no quiere decir que estos ltimos elementos no inuyan en el consumo de potencia, ms bien habra que decir que la potencia se disipa en las resistencias pero que la presencia y disposicin de bobinas y condensadores determina cierta-mente cunta potencia es disipada en estas resistenciasEn el caso de un circuito alimentado por una fuente de tensin (ver gura adjunta), un anlisis similar al del Apartado 5.6.1 nos dice que la potencia instantnea suministrada por el generador de fuerza electromotriz E (t), que proporciona una corriente I(t), viene dada por

por lo que la potencia media suministrada por dicho generador ser

Dado que las potencias medias (5.67) y (5.57) representan fsicamente la energa por periodo proporcionada por la fuente y la consumida en el circuito respectivamente, debe cumplirse que

ESQUEMAS ESPERIMENTALESMEDIDAS DE POTENCIA EN SISTEMAS MONOFASICOS Potencia Activa:

Potencia Reactiva:

MEDIDAS DE POTENCIA EN SISTEMAS TRIFASICOS Mtodos de los 3 vatmetros

Mtodo de los 2 vatmetros

Conexiones Especiales: