Análisis matemático II V.3.pdf

7/25/2019 Anlisis matemtico II V.3.pdf

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Universidad Tecnolgica NacionalFacultad Regional Buenos Aires

Departamento de ciencias bsicas

AANNLLIISSIISSMMAATTEEMMTTIICCOOIIII

Apunte de la materia V.3F.E.P

(Actualizada al 2-02-13)


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Nunca consideres el estudio como una obligacin,sino como una oportunidad para penetrar en el bello ymaravilloso mundo del saber.

Comienza a manifestarse la madurez cuandosentimos que nuestra preocupacin es mayor por

los dems que por nosotros mismos.

Hay una fuerza motriz ms poderosa que

el vapor, la electricidad yla energa atmica: la voluntad.

Tengo una pregunta que a veces me tortura:estoy loco yo o los locos son los dems.

Realizado por: Fernando (F.E.P)www.UTNianos.com.ar


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AAPPAARRTTAADDOOAAQQUUTTEENNGGOOQQUUEECCOONNOOCCEERR??

En el primer apartado se desarrollan de forma abreviada los temas que el estudiante deanlisis matemtico, de nivel dos, deber conocer para entender los temas comprendidos

en el programa de la asignatura.

Temario a estudiar.

Recta en el espacio. Ecuaciones.

Plano. Ecuaciones.

Cnicas.

Cudricas. Sistema de ecuaciones.


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..::RECTA EN EL ESPACIO::..

Ecuacin de la recta en el espacio:

x,y,z = x0, y0, z0 + (ax , ay , az)En esta ecuacin debemos tener en cuenta:

1X0 = x0, y0 , z0 es un punto perteneciente a la recta2t es un escalar.3

A

=

ax , ay , az

es el vector director de la recta.

Ecuacin paramtrica de la recta en el espacio:

x = x0 + axy = y0 + ayz = z0 + az

Nuevamente .Ecuacin segmentaria de la recta en el espacio:

x x0ax

=y y0

ay=

z z0az


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Interpretacin geomtrica de las rectas las cuales una de sus componentes es nula. (1)

Interpretacin geomtrica de las rectas las cuales dos de sus componentes son nulas. (2)

(1)(2) Apuntes lgebra y geometra analticaProf: Leonor Carvajal.


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..::PLANO::..

Ecuacin general o implcita del plano:

A x + B y + C z + D = 0

En esta ecuacin debemos tener en cuenta:

1A, B, C no simultaneamente nulas2n = nx , ny , nz = (A, B, C)Ecuacin paramtrica del plano:

x = x0 + . ax + . bxy = y0 + . ay + . byz = z0 + . az + . bz


1"" "" Ecuacin segmentaria de plano:

x

A+

y

B+

z

C= 1


1,,, , 2


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Interpretacin geomtrica del plano con una componente nula (3)

Interpretacin geomtrica del plano con dos componentes nulas. (4)

(3)(4) Apuntes lgebra y geometra analticaProf: Leonor Carvajal.


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..::CNICAS::..

Circunferencia (5)

Sea ()un punto del plano y sea +.El conjunto de puntos (x,y) del plano cuyadistancia al punto ()es r, se llamacircunferencia de centro ()y radio r. Tiene

por ecuacin cannica:

x 2 + y 2 = r2Ecuaciones paramtricas

x = h + r cos ()y = k + r sen() para 0 2

Elipse (6)Dados en un plano dos puntos fijos llamados focos, se

llama elipse al lugar geomtrico de los puntos del plano

tales que la suma de sus distancias a los focos esconstante. Esta constante se suele denotar 2a.

(x h)2a2

+(y k)2

b2= 1

Ecuaciones paramtricas

x = h + a cos ()y = k + b sen() para 0 2


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Parbola. (7)

Dada una recta d (directriz) y un punto F (foco),que no pertenece a d, se llama parbola al lugar

geomtrico de los puntos del plano queequidistan de d y de F

y2 = 2px


x = t

y = t2 para

t

Hiprbolas.(8)

Dados dos puntos fijos de un plano, llamados focos, sellama hiprbola al lugar geomtrico de los puntos delplano, tales que el valor absoluto de la diferencia desus distancias a los focos F1 y F2 es constante. Esta

constante se suele llamar 2a y la distancia entre losfocos 2c.

(x h)2a2

(y k)2b2

= 1


x = h + a sec ()y = k + b tg() para 2 ;2 (2 ; 32 )

(5)(6)(7)(8)Nociones de geometra analtica y algebra lineal. Ana Mara Kozak.


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..::CUDRICAS::..

(9) Nociones de geometra analtica y algebra lineal. Ana Mara Kozak.


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..::SISTEMA DE ECUACIONES::..

Introduccin:

A veces uno tiene que resolver un sistema de varias ecuaciones para encontrar lasolucin a un problema, los sistemas de ecuaciones en esas ocasiones nospermiten encontrar la solucin.Para resolver sistemas de ecuaciones lineales tenemos diferentes herramientasmatemticas.

Sistema de ecuaciones lineales:

Definimos a un sistema lineal de m ecuaciones con n incgnitas a un conjunto de mecuaciones lineales en las variables {

1;

2;

. . ;

}y se define segn la siguiente

frmula:

111 + 122 + 133+. . . . +1 = 1211 + 222 + 233+. . . . +2 = 2..311 + 322 + 333+. . . . + = 3

Las variables a y b con subndices son constantes y {

1;

2;

. . ;

}son las incgnitas.

Se dice que el sistema es lineal porque las incgnitas estn elevadas a la 1.

Ejemplo:

31 + 42 + 73 + 4 = 21 + 62 + 23 + 34 = 0Este es un tipo de sistemas el cual se resuelve mediante el mtodo de Gauss, Gauss-Jordan o la regla de Cramer.

En la materia a estudiar generalmente nos encontraremos con sistemas de ecuaciones loscuales generalmente podremos resolver mediante los siguientes mtodos:

(1)

Sustitucin;

(2)

Igualacin;

(3) Reduccin.


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Ejercicio:

A continuacin se propondrn tres formas de resolucin dejando a eleccin del lectorelegir la ms agradable.

Mtodo de sustitucin Mtodo de igualacin Mtodo de reduccin

Ejercicio:

3 x + y = 2 24x 3y = 1

Resolucin:

De la primera ecuacin:

y = 22 3xReemplazando en la segunda:

4x 66 + 9x = 113x = 65

x = 5

Por lo tanto:

y = 7

Ejercicio:

3 x + y = 2 24x 3y = 1

Resolucin:

y = 2 2

3x

y = 1 4x3 Igualando ambas ecuaciones:

22 3x = 1 4x3 66 + 9x = 1 4xx =

65

13=> = 5

Por lo tanto:

y = 7

Ejercicio:

2 x + 3 y = 55 x + 6 y = 4

Resolucin:

Multiplico por (-2) ec. 1

4x 6y = 105 x + 6 y = 4 Sumo ambas ecuaciones.

4x 6y + 5x + 6y = 64x + 5x = 6x = 6

Por lo tanto:

y =17

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Primer parcialTerico / Prctico



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UUNNIIDDAADDIIEECCUUAACCIIOONNEESSDDIIFFEERREENNCCIIAALLEESSPPRRIIMMEERRAAPPAARRTTEE

La primera unidad vista en la materia desarrolla la primera parte de las ecuacionesdiferenciables.

Temario a estudiar.

Ecuaciones diferenciables ordinarias. Definiciones.

Ecuaciones diferenciables en variables separables.

Ecuaciones diferenciables de orden superior a 1.

Trayectorias ortogonales.

Ecuaciones diferenciables lineales de primer orden.


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..::ECUACIONES DIFERENCIABLES ORDINARIAS.DEFINICIONES::..

Tipos de soluciones: Las soluciones de las ecuaciones diferenciales no son nmeros (nose resuelven ecuaciones algebraicas) sino funciones y para hallarlas ser necesario pasar

por uno o ms pasos de integracin.

Expresin diferencial: Es aquella que contiene variables y sus derivadas o susdiferenciales.

Ej: + 2 1Ecuacin diferencial: Es toda ecuacin que contiene expresiones diferenciables.

Ej:

2 = 12

Ecuacin diferencial ordinaria: Es aquella donde existe una nica variableindependiente.

Ecuacin diferencial en derivadas parciales: Es aquella donde existen dos o msvariables independientes (No se tratan este tipo de ecuaciones diferenciables)

Orden de una ecuacin diferencial ordinaria: Es el de la derivada de mayor orden queaparece en la misma.

Ej:

= 0es de orden 3.

Grado de una ecuacin diferencial ordinaria: en aquellos casos que la ecuacin puedeexpresarse como un polinomio respecto de las derivadas de la variable dependiente, elgrado es el exponente de la derivada de mayor orden.

Soluciones de una ecuacin diferencial:

Solucin general (S.G) Solucin particular (S.P) Solucin singular (S.S)

Es una relacin entre lasvariables que satisface a la

ecuacin y contiene nconstantes arbitrarias

esenciales.

Es toda solucin que seobtiene de la general

dndole a las constantesvalores determinados

Es toda solucin de laecuacin diferencial que noest incluida en la solucin

general. (No puedeobtenerse de ella dando

valores determinados a lasconstantes.

A saber: La solucin general constituye un haz o familia de curvas. Se dice que el orden

de infinitud del haz es n por tener n constantes arbitrarias esenciales.


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..::ECUACIONES DIFERENCIABLES EN VARIABLES SEPARABLES::..

Estamos ante una ecuacin de variables separables cuando podemos escribirla en la

forma:f1xg1yd x + f 2xg2ydy = 0 donde y = f(x)

Realizando los correspondientes despejes podemos concluir en:

y = f1xg1yf2xg2yNota: Para conseguir la solucin particular de una ecuacin diferencial en variables deltipo separables reemplazo en la solucin general el puntoP = x, ybuscando la consstante denominada en este caso "C"que debe verificar laecuacin de la curva.

A saber:

Si se desea conocer la ecuacin diferencial a partir de una solucin generalacudiremos a derivar la solucin general n veces (n nmero de constantes en laecuacin) y vincular las mismas.

Otra forma de definir a las ecuaciones diferenciables de variables separadas:

= ..::ECUACIONES DIFERENCIABLES DE ORDEN SUPERIOR A 1(UNO)::..

Este tipo de ecuaciones diferenciables se resuelven aplicando un cambio de variables. Elmtodo se explicara a travs de un ejemplo demostrativo integrando conocimientos deecuaciones diferenciales ya expuestos.

xy 2y = 0. Halle la S. P / y(1) = 3 = y1 = 3Aplicaremos el cambio: = Si: w = y

entonces w

=

y


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Resolucin:

xw = 2wxdw

dx = 2w

dww

= 2x

dx

w = kx2

Sabiendo que w = y y = kx2dydx

= kx2

dy = kx2dxy =

kx3

3+ c

Familia de curvas:


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Para obtener la solucin particular s que: y1 = y1 = 3y =

kx3

3

+ c

3 =k

3+ c

Sabiendo que f1 = 3 k = 33 =

3

3+ c

c = 2

La solucin particular (S.P)

y = x3 + 2

..::TRAYECTORIAS ORTOGONALES::..

Para obtener las trayectorias ortogonales a una solucin general de una ecuacindiferencial deberemos:

(1)Obtener la ecuacin diferencial

(2)Realizar el cambio: ypor 1y

(3)Resolver la ecuacin diferencial.


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Ejemplo:

Dada la solucin general: x2 + y2 = r2

(1)

Obtenemos la ecuacin diferencial: x + y y = 0(2)

Realizando el cambio, obtenemos la nueva ecuacin diferencial: x + y 1y = 0

(3)

Resolviendo la ecuacin diferencial dada: y = a xsolucin general de las

trayectorias ortogonales a las curvas dadas.

Donde:(1) Las curvas de rojo pertenecen a: y = a x

(2) Las curvas en negro pertenecen a: x2 + y2 = r2

..::ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN::..

Estamos ante una ecuacin diferencial lineal de primer orden cuando podemos escribirla

en la forma:

y + y Px = Q(x)Nota: Si en particular Qx = 0 la ecuacin diferencial es del tipo variables separadas:

y + y P

x

= 0


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Para este tipo de ecuaciones utilizamos un mtodo de resolucin el cual consiste en uncambio de variables que se le atribuye a La Grange de la forma: y = u v

Donde:

(1) = (2) = (3) = (4) = (5) = +

Ejemplo:Sea la E.D (ecuacin diferencial) lineal: 3 = 0 halle la solucin

general (x

0)

y y 1x

= x2

Aplicando: y = u v y = uv + u v =>uv + u v v

x = x2

[.] = 0 =>

v v

x = 0 E. D variables separables.

Resolviendo la ecuacin diferencial dada:

v = x

A esta no le agregamos la constante en la funcin debido a que lo agregaremos en laresolucin de la siguiente ecuacin diferencial.Si se agrega ac la constante y luego se vuelve a agregar una segunda constante (siagregamos dos constantes) el resultado ser incorrecto.

Reemplazo v = x en la ecuacin: uv + u v vx = x2 =>ux = x2E. D variables separadas.

Resolviendo la ecuacin diferencial dada:

u =x2

2+ C

Notar que se incorpora la constante una sola vez a la solucin.


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yx = uxvxDado que: y = u v

Terminamos obteniendo la solucin general de la ecuacin diferencial:

yx = x22

+ c xFamilia de curvas:

Ejercicio de parcial/final.

Si fx, y = x2 + 4y2halle las trayectorias ortogonales a las lneas o curvas denivel de f. Indique en especial las ecuaciones de las curvas de la familia que

pasen por el (2,1)


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Resolucin formal:fx, y = x2 + 4y2

x2 + 4y2 = f

2x + 8yy

= 0

Para encontrar las curvas ortogonales reemplazo: "y"por: 1y por lo tanto:2x+8y 1

y = 02x 8y dx

dy = 0

2x = 8y dx

dy2xdy = 8ydx

dy

8y=

dx

2x

dyy

= 4dxx

lny = 4 lnx + lnksiendo ln|k| la constante de integracin.lny = lnx4ky = x4ky = x4H

Para obtener la solucin particular simplemente debo tener en cuenta del enunciado:

f2 = 1Por lo tanto: 1 = 1HH = 1

Finalmente:

y = x4es la solucin particular de la trayectoria ortogonal de f dada en el enunciado.


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UUNNIIDDAADDIIIICCAAMMPPOOSSEESSCCAALLAARREESS

f: DcRn R/ n 2Temario a estudiar.

Dominio de un campo escalar. Representacin del dominio en el plano. Expresin del

dominio por comprensin.

Representacin geomtrica de un campo escalar.

Conjunto de nivel. Conjunto de nivel de un campo escalar de dos variables. Conjunto

de nivel de un campo escalar de tres variables.


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..::DOMINIO DE UN CAMPO ESCALAR Y REPRESENTACIONES::..

Dada f:DcR2

R/ n 2.Ejemplo:f:DcR2 R/f(x, y) = xy

x2 + y2 9Dominio:

El conjunto D, subconjunto de R2, es el dominio de f, se puede expresar porcomprensin como:

Dom f = {(x, y) R2/Z R z = f(x, y)En nuestro ejemplo:

Dom f = {(x, y) R2/xy 0 x^2 + y2 9}Grficamente:


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..::REPRESENTACIN GEOMTRICA DE UN CAMPO ESCALAR::..

La grfica de un campo escalar de dos variables representa una superficie en el espaciode ecuacin cartesiana: z = f(x, y)

Ejemplo:z = 9 x2 y2

Representa la siguiente superficie:

..::CONJUNTO DE NIVEL DE UN CAMPO ESCALAR::..

Sea f: DcR2

R, un campo escalar se denomina conjunto de nivel k de f al conjunto

de todos los X Dtales que fX = kconstante, donde k es un numero que pertenece alconjunto imagen de f.Si denotamos L(k) al conjunto de nivel de f correspondiente a un nmero real k resulta:

Lk = {(x, y) Df/f(x, y) = K} con k IFIMPORTANTE:

LkcDf


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Observacin:

Si el campo escalar es de dos variables independientes, cada conjunto de nivel engeneral es una curva de nivel (INCLUIDA EN EL DOMINIO)

Mientras que si el campo escalar es de tres variables independientes, cadaconjunto de nivel en general es una superficie de nivel incluida en el dominio delcampo.

Ejemplo:

Halle el conjunto de nivel 5 para el campo escalar: , = 9 2 25 = 9

2

2

2 + 2 = 4


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UUNNIIDDAADDIIIIIIFFUUNNCCIINNVVEECCTTOORRIIAALL

f: DcR Rn/ n 2Temario a estudiar.

Dominio de una funcin vectorial. Representacin del dominio en el plano.

Parametrizacin de la curva interseccin.


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..::DOMINIO Y REPRESENTACIN DE LA FUNCIN VECTORIAL::..

Sea f: DcR Rn

/n 2si en particular n = 2: f: DcR R2

/f(t) = (2 cost , 2sent)es un ejemplo de una funcin vectorial.

Donde:

x = 2 cos (t)y = 2 sen (t)

Representacin de la imagen:

A: f4 = (2;2)


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..::PARAMETRIZACIN DE LA CURVA INTERSECCIN::..

El concepto a desarrollar es uno de los ms importantes en el trascurso de la materia yaque se trabajara con parametrizaciones hasta el final de la materia por tal motivo paradesarrollar este tem se tomo la eleccin de realizar ejemplos sobre ejercicios querequieran de parametrizar una curva como interseccin de superficies.

Ejemplo 1.

Dada la curva cuyas ecuaciones cartesianas son:

z = 9

x2

y2

z = 1 + x2

+ y2

Se pide: i. Un sistema equivalente que permita parametrizar la curva.ii. Parametrizar la curva.

iii. Representar la curva.

Antes de parametrizar la curva debemos tener en cuenta que la misma nace como

interseccin de las dos superficies dadas en el enunciado. Como primer objetivo a lahora de buscar una parametrizacin es obtener un sistema equivalente cmodo, por logeneral en este tipo de ejercicios cmodo es sinnimo de superficies cilndricas

intersectadas con planos aunque esto ltimo no siempre es posible.

Obtencin del sistema equivalente:

C: x2 + y2 = 9 zx2 + y2 = z 1

Entonces:

9

z = z

1

z = 5Por lo tanto el nuevo sistema equivalente encontrado se encuentra dado por:

C: x2 + y2 = 4z = 5

Como se puede apreciar logramos un sistema equivalente cmodo formado por una

superficie cilndrica intersectada por un plano (otra superficie)


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Parametrizacin de la curva C:

Dado que todos los puntos de C y C* comparten los mismos puntos siparametrizo la C* (curva proyectada sobre el plano xy) parametrizo C*

C = x = 2 cos (t)y = 2sentz = 0

con 0 t 2Finalmente:

C = x = 2 cos (t)y = 2 sen tz = 5

con 0 t 2Representacin de la curva:

Para representar la curva podemos utilizar el sistema equivalente o el sistema

inicial dado en el enunciado del ejercicio. Muchas veces nos convendr

representar a la curva mediante un sistema equivalente ya que se puede volver

muy tedioso si no se tiene

la prctica suficiente

representar curvas mediante

superficies no conocidas.Para representar la curva

eleg el sistema equivalente.


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Ejemplo 2.

Dada la curva cuyas ecuaciones cartesianas son:

x2 + y2 + z2 = 4x2 + y2 = 2y

Primer octante.Se pide:

i. Un sistema equivalente que permita parametrizar la curva.ii. Parametrizar la curva.

En este ejercicio no hace falta buscar un sistema equivalente ya que tenemos unasuperficie cilndrica proyectante oculta entre las superficies dadas. Con un repaso de

superficies dadas en lgebra podemos observar que la superficie: x2

+ y2

= 2yes uncilndro desplazado.

Veamos:x2 + y2 = 2y

x2 + y2 2y = 0Completando cuadrados:

x2 + y2 2 y + 1 1 = 0x2 +

y

1

2 = 1

Claramente observamos un cilindro desplazado en una unidad sobre el eje y concentro: (0,1,0)

Armamos el sistema equivalente proyectado sobre el plano xy:

C = x2 + y 12 = 1z = 0

Parametrizando la curva proyectante CURVA NO PLANA:

x = cos ty = sen t + 1z = 0

Pasamos a buscar los valores de variacin de t ya que al tratarse de una curva no planala misma no deber porque tomar valores del intervalo: [0,2]Elegimos el punto: (0,0,0) ya que si dibujamos la curva como interseccin de esfera -cilindro la curva nace en dicho punto.


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0 = cost00 = sent0 + 10 = 0

t0 = 2

Luego elegimos el punto: (0,2,0) ya que si dibujamos la interseccin de esferacilindrola curva finaliza en dicho punto.

0 = cos (t1)2 = sent1 + 10 = 0

t1 = 2

La parametrizacin va de:

2

t

2

Para finalizar se debe expresar a z en funcin de sen(t) y cos(t)

Sabiendo de S1:x2 + y2 + z2 = 4despejamos z:

z = 4 x2 y2Despejando y reemplazando de forma conveniente:

z =

2

2 sen(t)

Finalmente expresamos la ecuacin paramtrica de la curva como interseccin de lasdos superficies propuestas en el enunciado:

x = cos (t)y = sent + 1z = 2 2 sen(t) con 2 t 2


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UUNNIIDDAADDIIVVLLMMIITTEEYYCCOONNTTIINNUUIIDDAADD

En esta unidad se estudian los campos escalares de la forma:


Limite doble. Funciones acotadas.

Condicin de continuidad.

Limites radiales. Funciones convenientes de aproximacin.


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..::LIMITE DOBLE::..

La resolucin de lmites en dos variables se realiza del mismo modo que en una variable(anlisis matemtico I) a diferencia que en este caso no salvaremos indeterminaciones.

IMPORTANTEDebemos recordar que cuando tratamos con lmites de dos variables no sepuede aplicar la regla de LHopital.

Teniendo en cuenta que:

f

x

=

x2

x2 + y2 y f

x

=

y2

x2 + y2

Son funciones acotadas procedemos a ejemplificar la resolucin de un lmite en R2

Ejemplo:

Sea f: DcR2 R/f(x, y) = x sen 1x si y 0cosxy si y = 0 analice si limX0 f(x, y)

Para los pares (x, y) R2/y 0: f(x, y) = x sen 1yPara los pares (x, y) R2/y = 0: f(x,y) = cos (xy)Parte A:

Nos acercamos al origen de coordenadas (0,0) por (x, y)/y = 0

limX0 cosxy = 1

Parte B:

Nos acercamos al origen de coordenadas (0,0) por (x, y)/y 0limX0 x sen 1y = 0

POR LO TANTO:

Como los lmites son distintos para distintos caminos por los que me acerco alorigen de coordenadas se tiene que:

limX0 f(x, y)


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..::CONDICIN DE CONTINUIDAD::..

Sea:

:

un campo escalar y

0un punto interior del dominio,

es continuo

en 0si se cumple:1.

02. limX0 f03.

0 = limX0 f0

..::LIMITES RADIALES Y FUNCIONES CONVENIENTES DE APROX.::..

Esta herramienta matemtica es til para demostrar la no existencia de lmites,generalmente al resolver un ejercicio de lmites en anlisis matemtico II nosencontraremos continuamente con casos donde haya que aplicarlos.

FAMILIAS DE CURVAS QUE GENERALMENTE UTILIZAREMOS:

1. y y0 = mx x02. y y0 = ax x023. y y0 = ax x034. x x0 = ay y05. x x0 = ay y026. y = a x2 + bx7. x = a y2 + by

Entre otros

IMPORTANTE

Al acercarnos por cualquier curva la funcin deber tender al mismo valor encaso contrario: limX0 f0


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Ejemplo:

Analizar si existe el lmite del siguiente campo escalar en:

,

= (2,0)

f: DcR2 R/f(x, y) = x 2yx 22 + y2 si x 2y 00 si x 2y = 0

Parte A:Nos acercamos al (2,0) por (x, y)/x 2y = 0

limX(2,0) 0 = 0

Parte B:Nos acercamos al (2,0) por (x, y)/x 2y 0

limX(2,0)

x 2yx 22 + y2 ( )En este caso no se puede salvar la indeterminacin. Motivo por el cual acudimosa lainformacin que nos dan los denominados limites radiales. Con y = m(x

2)

lr = limx2 x 2mx 2x 22 + m2x 22

= limx2 x 22mx 221 + m2

=limx2 m1+m2

Donde: m1+m2es una familia de nmeros distintos entre s.

Dado que a medida que nos aproximamos al punto por caminos diferentes la funcintiende a valores distintos (por principio de unicidad del lmite, en el caso de que existadebe ser nico) se tiene que:

limX(2,0) f(x, y)


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Sea: fx, y = x7x+y si x + y 00 si x + y = 0

, se pide calcular si existe limx0 f(x, y)Desarrollo formal.

Nos acercamos al origen de coordenadas (0,0) por los (x,y)/x+y=0

limx0 fx, y = 0Nos acercamos al origen de coordenadas (0,0) por los (x,y)/x+y0limx0 fx, y = x7x + y

Este es un caso especial el cual apareci en un final tomado, dado que la rama de lafuncin no es acotada ni estamos en presencia de infinitsimo por acotado acudimos alos limites radiales, demostraremos que al acercarnos al origen por distintos caminos lafuncin tiende a valores distintos por lo que el limite no existir.Para demostrar que el lmite no existe se debe buscar una funcin la cual sirva de curva

para aproximar, para este caso buscare la funcin de la siguiente forma:

x7

x + y= 1

Ax7 = x + y

y = Ax7 xSiendo A la constante que me dar una familia de curvas, por lo tanto:limx0 x

7

x x + a x7 = 1aComo a medida que me aproximo al origen por distintos valores la funcin tiende avalores distintos (por principio de unicidad del lmite, si existe debe ser nico) se tieneque:

limx0 f(x, y)


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UUNNIIDDAADDVVDDEERRIIVVAADDAASS

Temario a estudiar.

Derivadas parciales.

Definicin de derivadas direccionales. Aplicacin.

Gradiente de un campo escalar en un punto.

Propiedad de homogeneidad


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..::DERIVADA DIRECCIONAL DE UN CAMPO ESCALAR::..

Sea f un campo escalar definido en un conjunto abierto DcRn , X0 = (a1, a2, . , an)esun punto de D y donde u = u1, u2, . , unes un versor de Rn , la derivada direccionalde f en X0con respecto al versor u esta dada por el siguiente lmite:

fX0, u = limh0 fX0 + hu fX0h

Donde:ues un vector unitario (versor)u = (a, b) a2 + b2 = 1

..::DERIVADA PARCIALES::..

Sea f: DcR2

R/z = f(x, y)y sea P

0= (x

0, y

0)interior a D; las derivadas parciales de

f(x,y) en (x0, y0)):

fxa, b = limh0 fx0 + ha;y0 fX0h

f

y

a, b

= lim

h

0

f

x0; y0 + hb

f

X0

h


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..::GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR EN UN PUNTO::..

Sea :2

llamamos de esta forma al vector cuyas componentes son lasderivadas parciales: 0 = 0; 0Si :3 0 = 0; 0; 0

Observaciones:

(1)

Si :2 el gradiente es perpendicular a cada curva de nivel de dichocampo en 0.

(2)

Si :3 el gradiente es normal a cada superficie de nivel de dicho campoen 0.


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..::PROPIEDAD DE HOMOGENEIDAD::..

Si existe la derivada direccional fX0 , v y k R, k 0entonces fX0, kv =kfX0, vDemostracin:

fX0, kv = limh0 f

X0 + kv fX0h

f

X0, kv

= k lim

h

0

fX0 + kv fX0kh

Si h2 = kh como h 0 sabemos que h2 0fX0, kv = k lim

h20 fX0, +v fX0

h2

fX0, kv = k fX0, vCorolarios:

1. fX0 ,v = fX0, v2. fX0 , v = vfX0, vdonde v = vv


Sea: fx, y = x

3

y

x32+y2 si x 3sen(x 3 + y) si x = 3 , se pide analizarderivabilidad del campo escalar en el punto: (3,0) para toda direccin, teniendo encuenta que el ejercicio finalizara cuando todas las direcciones sean analizadas.

Condiciones del ejercicio:

X0 = 3,0 u = a, b a2 + b2 = 1


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Desarrollo formal.

Para resolver este ejercicio acudo a la definicin de derivada direccional definida por el

siguiente lmite: fX0, u = limh0f

X0+hu

f

X0

h Utilizando como versor el genrico (de esta forma se logra analizar para toda direcciny sentido) y el punto dado como dato.

Adems sabemos por enunciado que:fX0 = 0Reemplazando datos: fX0, u = limh0 f(3,0)+h(a,b)h

fX0, u = limh0f

3ha; hb

h Una vez planteado el limite pasaremos a dividir el ejercicio en dos ramas, por un ladotrabajaremos con los pares (x,y)/x=3 y por el otro lado con los pares (x,y)/x3.

Parte A: (x,y)/x=3

Para esta parte: x = 3 3ha = 3 => = 0 finalmente a = 0f

X0, u

= lim

h

0

sen(hb)

h= lim

h

0

sen(hb)b

bh= b

Parte A: (x,y)/x3

Para esta parte: x 3fX0, u = lim

h03 + h a 3hb3 + h a 32 + hb2

h= lim

h0 1h hahbh2a2 + h2b2lim

h01

h

h2ab

h2

a2

+ b2

= ab

Finalmente el resultado a la consigna pedido ser la unin de ambos resultados:

fX0, u = b si a = 0ab si a 0


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UUNNIIDDAADDVVIIDDIIFFEERREENNCCIIAABBIILLIIDDAADD


f: DcRn R/ n 2

Temario a estudiar.

Definicin de diferenciabilidad. Propiedades de los campos diferenciables.

Deduccin de la ecuacin del plano tangente a la grafica de un campo diferenciable.

Demostracin: Un campo escalar si es diferenciable es continuo en un punto interior.

Demostracin: Un campo escalar si es diferenciable es derivable respecto de toda

direccin.


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..::DEFINICIN DE DIFERENCIABILIDAD::..

Decimos que f: DcR2

R es diferenciable en un punto interior X0 si se cumple:fx0 + h ; y0 + k fx0; y0 F x (X0 ) h + F y (X0 )k + (h, k)h2 + k2Donde limh,k(0,0) h, k = 0Lo que es lo mismo:

fX0 + v fX0 = fX0 v+ vvDonde limv0( v) = 0OBSERVACIN:

Si tuviramos una funcin escalar de una variable independientediramos que fes diferenciable en 0 f es derivable en 0. Mientras que para funciones de ms deuna variable independiente esto ya no es cierto.La continuidad de un campo escalar as como la derivabilidad del mismo respecto detoda direccin son condiciones necesariaspero no suficientes para que el campo escalar

termine siendo diferenciable en dicho punto.

..::PROPIEDADES DE LOS CAMPOS DIFERENCIABLES::..

(1) Si f es diferenciable en X0 => f es continuo en X0 (2) Si f es diferenciable en X0 => f es derivable en X0 u(3) Si f es discontinua en X0

=>f no es diferenciable en X0

(4)

Si u respecto del cual f =>f no es diferenciable en X0 (5) Si f es diferenciable en X0 => fX0 , u = fX0 uu(6) Si no es cierto que para toda direccin: fX0 , u = fX0 u => f no es

diferenciable en X0 (7)

Si f es diferenciable en X0 => fmax X0 = fX0 y la direccin responsable esu = fX0

|fX0 |(8) Si f es diferenciable en X0 => fmin X0 = fX0 y la direccin responsable

es u

=

fX0

|

fX0

|

(9)

Si f es diferenciable en X0 => fX0 , u = 0 para dos direcciones (siempre quefX0 0)


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(10)Si existe ms de una direccin u" respecto de la cual se obtiene derivadadireccional mxima => f no es diferencial.

(11)Si existe ms de una direccin u

"que promueve derivada direccional mnima => f

no es diferenciable en ese punto.

(12)Si existe ms de dos direcciones respecto de las cuales se obtiene derivada

direccional nula => f no es diferenciable.

(13)

Si f C1en X0 => f es diferenciable en X0 (14)

Si f es campo escalar polinomico (f C1)=> f es diferenciable(15)Si f es diferenciable en X0 =(x0; y0)(interior a Df) => la superficie grfica de ecuacin

z = f(x,y) admite plano tangente y recta normal en (x0 , y0 , z0)cuyas ecuaciones son

respectivamente:

plano tangente:Z = Z0 + Fxx0 , y0x x0 + F yx0 , y0(y y0)

recta normal: X

= X0

+ tv

con t

R y X0

= (x0 , y0 , z0)

(16)

La diferenciabilidad es condicin necesaria y suficiente para que la grafica de uncampo escalar de 2 variables admite plano tangente en (x0 , y0 , z0) de la forma:

Z=Z0 + Fxx0, y0x x0 + F yx0, y0(y y0)con 0 = (,)

Si f es diferenciable en X0 => es decir0 + ;0 + 0;0 F xx0, y0h + F yx0 , y0k donde h y k R..::DEMOSTRACIN:SI ES DIFERENCIABLE ES CONTINUO::..

Si f:DcRn Res diferenciable en X0 interior al Df => f es continuo en X0 .Demostracin:

Por ser f diferenciable en X0 existe un entorno del punto X0 en el cual severifica:

fX0 + v fX0 = fX0 v+ vvDonde limv0( v) = 0siendo vel vector incremento fX0 + v = fX0 + fX0 v+ vvPasando al lmite cuando v 0 y teniendo en cuenta que el lmite del primer miembroexistir si existe el lmite del segundo miembro, pasamos a fundamentar lo siguiente:

(a) Como X0 Df, existe f( X0 )y el limv0f( X0 ) = f( X0 )dado que es un nmero real.(b) Las componentes del fX0 existen dado que f es diferenciable en X0 y no

dependen de v, por lo tanto limv0( fX0 v) = 0(c) limv0( v|v|) = 0dado que por un lado 0por hiptesis y que el

limv0(|v|) = 0.Por todo lo expuesto se tiene que existe limv

0

f

X0

+ v

= f

X0

=>

f es continua en X0


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..::DEM.:SI ES DIFERENCIABLE ES DERIVABLE PARA TODA DIRECCIN:..

Si f:DcRn

Res diferenciable en X0

interior al Df => f es derivable en

X0 respecto de toda direccin.Demostracin:Por ser f diferenciable en X0 existe un entorno del punto X0 en el cual se

verifica:

fX0 + v fX0 = fX0 v+ vvDonde limv0( v) = 0siendo vel vector incremento fX0 + v = fX0 + fX0 v+ vvSi de los infinitos puntos del entorno, seleccionamos aquellos para los cuales v

= hu

es

decir que se consideran los puntos que se hallan en las rectas que pasan por X0 y tienenla direccin de cada u , se tiene:fX0 + hu fX0 = fX0 hu+ huhu

Dividiendo por h ambos miembros nos queda:

fX0 + hu fX0 h

= fX0 u+ hu hh

pues u = 1Pasando al lmite cuando h

0

y teniendo en cuenta que el lmite del primer miembro

(que es por definicin la derivada direccional de f en 0) existir si existe el lmite delsegundo miembro, pasamos a fundamentar lo siguiente:Las componentes del fX0 existe dado que f es diferenciable en X0 y no dependen deh, por lo tanto limh0( fX0 u ) = k RPor otra parte limh0 hu hh = 0 por ser el caso de producto de infinitsimos

lim

h

0

fX0 + hu fX0 h

=

f

X0

u

=> Existe fX0 + hu/ fX0 + hu = fX0 u


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..::DEDUCCIN DEL PLANO TANGENTE A LA GRFICA::..

Si f es diferenciable en

x0, y0

su superficie grfica tiene la ecuacin cartesiana

z = f(x, y)o bien 0 = fx, y zfx, y z = 0A dicha ecuacin la podemos considerar como la ecuacin de lasuperficie de nivel 0 correspondiente a un campo escalar de tresvariables de la forma:

F: DcR3 R/ Fx,y,z = fx, y zEl fx = Fx, Fy, Fz => fx = f xx0, y0, f yx0, y0,1 = n

:f

x

x0, y0

x + f

y

x0 , y0

y

z + D = 0

Como (x0, y0 , z0) verifican la ecuacin del plano:

:f xx0 , y0x0 + f yx0, y0y0 z0 + D = 0D = z0 f xx0, y0x0 f yx0 , y0y0

Finalmente:

: f xx0, y0x + f yx0, y0y z + z0 f xx0, y0x0 f yx0, y0y0 = 0


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UUNNIIDDAADDVVIIIICCAAMMPPOOSSVVEECCTTOORRIIAALLEESS

En esta unidad se estudian los campos vectoriales de la forma:

f:DcR2 R3Temario a estudiar.

Representacin de los campos vectoriales.

Plano tangente a la superficie imagen del campo vectorial.

Punto regular de una superficie. Definicin. Matriz Jacoviana asociada a un campo vectorial.


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..::REPRESENTACIN DE LOS CAMPOS VECTORIALES::..

Sea f:DcR2

R3

/fu, v = x(u, v, yu, v, z(u, v))Con: 0 v 2u 0

Todo campo vectorial cuyo dominio est incluido en el espacio de 2 dimensiones, conun conjunto imagen incluido en R3con componentes continuas en dicho dominiorepresenta una superficie en el espacio entendiendo que dicha superficie es larepresentacin del conjunto imagen de dicho campo.

..::DEFINICIN DE PUNTO REGULAR DE UNA SUPERFICIE::..

Sea f:DcR2 R3/ fcontinua en D dado por fu, v = (xu, v; yu, v; zu, v)Sea p0 S/ p0 = fu0; v0Decimos que p0 Ses punto regular de la superficie segn la representacin

paramtrica dada por fen D.Si f

es diferenciable en A

=

u0; v0

interior a D y el producto vectorial

fu u0; v0xfv u0; v0 0..::MATRIZ JACOBIANA ASOCIADA A UN CAMPO VECTORIAL::..

Recibe este nombre la matriz que tiene por filas el gradiente de cada componente delcampo vectorial.

Sea g

:DcRn

Rn/g

X

= (g1

X

; g2

X

;

. )

Dg =

g1x

(X) g1y

(X) g1n

(X)

g2x

(X) g2yX g

2n(X)

gnx

(X) gny

(X) gnn

(X)


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UUNNIIDDAADDVVIIIIIIFFUUNNCCIIOONNEESSCCOOMMPPUUEESSTTAASS



Teorema: Regla de la cadena

Resolucin de ejercicios aplicando la regla de la cadena.

Resolucin de ejercicios aplicando la matriz Jacoviana asociada a un campo vectorial.


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Componer una funcin significa sustituir una funcin en otra. Dada z = f(x, y)paracomponer dicha funcin tendremos que sustituir las dos variables x e y por dos

funciones, digamos g1y g2 que conecten a estas con otras variables, por ejemplo u yv. As, si consideramos las funciones: x = g1(u, v), y = g2(u,v)podemos sustituir aestas en la funcin f y obtener la funcin compuesta:

h = f(g1(u,v);g2(u, v))

..::TEOREMA:REGLA DE LA CADENA::..

Dada:g:DcRn Rm gdiferenciable en A Df: DcRm R f diferenciable en gA

Entonces: h = FOg es diferenciable en Ay adems:Dh A = DfgA DgA


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..::RESOLUCIN DE EJERCICIO APLICANDO LA REGLA DE LA CADENA::..

Sea: g: DcR2

R2

/gx; y = (u, v), f: DcR2

R/f(u,v) = 2u + 3vu = x2 + y3v = 3 x2 y

Obtenemos la funcin compuesta z = h(x,y)en (1,2).

Por enunciado:

x0 = 1

y0 = 2 u0 = 9

v0 = 1 Y adems:(1) ux = 2x ux1,2 = 2(2) uy = 3 y2 uy1,2 = 12(3) vx = 6x vx1,2 = 6(4) vy = 1 vy1,2 = 1(5) fu = 2 fu9,1 = 2(6)f

v = 3

f

v

9,1

= 3

hxx, y = fu ux + fv vxhyx, y = fu uy + fv vy

hx1,2 = fu9,1ux1,2 + fv9,1ux1,2hx1,2 = fu9,1uy1,2 + fv9,1vy1,2

hx1,2 = 22 + 36 = 22hy1,2 = 212 + 31 = 21


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..::RESOLUCIN DE EJERCICIO APLICANDO LA MATRIZ JACOBIANA::..

Sea: g: DcR2

R2

/gx; y = (u, v), f: DcR2

R/f(u,v) = 2u + 3vu = x2 + y3v = 3 x2 y

Obtenemos la funcin compuesta z = h(x,y)en (1,2).

Dh A = DfgA DgADh1,2 = Dfg1,2 Dg1,2

Obtengo el valor de: g1,2 = (9,1)Dh1,2 = Df9,1Dg1,2

Entonces:

hx hy = fu fv g1x

g1y

g2x g2yhx hy = 2 3 2x 3y26x 11,2

hx hy = 2 3 2 126 1

hx hy = (22,21)


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UUNNIIDDAADDIIXXFFUUNNCCIIOONNEESSDDEEFFIINNIIDDAASSDDEEFFOORRMMAAIIMMPPLLCCIITTAA


Fx,y,z = 0Temario a estudiar.

Definicin. Teorema de Couchy-Dinni


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..::DEFINICIN.TEOREMA DE COUCHY-DINNI::..

Dada F: DcR3

R,F C1

/FA = 0 y F zA 0 =>la funcion de ecuacin:Fx,y,z = 0 define de forma implicita a la ecuacin z = f(x, y)y adems:f x = Fxx0, y0, z0

Fzx0, y0, z0f y = Fyx0, y0 , z0

Fzx0, y0, z0

Ejemplo:

Sea z = f(x,y) definida implcitamente por la ecuacin:x y + y z + ex3 lnz 17 = 0. Se pide valor aproximado de f(3,01; 3,98)

Primero:Establezco el punto que satisface: Fx,y,z = 0Nota: Este paso se realiza a prueba y error reemplazando en la ecuacinimplcita el x e y en este caso conocidos.

= 3,4, 0 = 3,4,1Segundo:

Construyo mi campo escalar a partir de mi funcin implcita ya que a la ecuacin

la puedo considerar superficie de nivel 0 correspondiente al siguiente campoescalar: :3 /(, , ) = x y + y z + ex3 lnz 17

Tercero:Obtengo el gradiente del campo escalar construido:

3,4,1 = (5,4,3)


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Cuarto:Aplico el teorema de Couchy-Dinni:

f x = F

x

3,4,1

Fz3,4,1 = 5

3

f y = Fy3,4,1Fz3,4,1 = 43

Entonces:

f3,4 = 53

;43

Para finalizar busco el valor aproximado de f(3,01; 3,98)

fx0 + x; y0 + y FX0 + fxX0x + fyX0yf3,01; 3,98 1 5

30,01 4

30.02

f3,01; 3,98 1,01


Dada z = f(x,y)definida de forma implcita por: x z + z3y + l nz + x 2 2 = 0se pide calcular aproximadamente: f(0,98; 0,03)

Desarrollo formal.

A la ecuacin x z + z3

y + l nz + x 2 2 = 0la considero superficie de nivel 0

correspondiente al campo escalar:

F: R3 R/F(x, y, z) = xz + z3y + l nz + x 2 2El ejercicio nos pide una aproximacin lineal, para esto recurriremos a:

fx0 + x; y0 + y FX0 + fxX0x + fyX0y


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Donde:

X = 1

0,02 ; Y = 0 + 0,03

X =

0,02 ;

Y = 0,03

Por lo tanto:

f0,98; 0,03 F1,0 + fx1,0(0,02) + fy1,0(0,03)Para obtener las derivadas parciales de f (el gradiente de f en un punto) acudiremos autilizar el teorema de Couchy-Dinni.

f x =

Fxx0, y0, z0Fz

x0, y0, z0

f y = Fyx0, y0 , z0Fzx0, y0, z0Y por tanteo en la ecuacin implcita: 0 = 2Donde: , , = + 1+2 ; 3; + 32 + 1+2Siendo:1,0,2 = (3,8,2)

f x = Fx1,0,2Fz1,0,2 = 32

f y = Fy1,0,2Fz1,0,2 = 4

Entonces:

f1,0 = 32 ;4Finalmente:

f0,98; 0,03 2 + 53 0,02 + (4)(0,03)

f0,98; 0,03 1,91


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UUNNIIDDAADDXXEEXXTTRREEMMOOSS



Definicin. Extremos relativos. Extremos absolutos.

Calculo de extremos para el caso f:DcR2

R


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..::DEFINICIN EXTREMOS RELATIVOS &ABSOLUTOS::..

Extremos relativos o locales.

Dada f: DcRn R, A D . Se dice que f(A)es mximo local de f si fA f(X)X E(A)Dada f: DcRn R, A D . Se dice que f(A)es mnimo local de f si fA f(X)X E(A)Extremos absolutos.

Dada f: DcRn R, A D . Se dice que f(A)es mximo absoluto de f si fA f(X)X DDada f: DcRn

R, A

D . Se dice que f(A)es mnimo absoluto de f si f

A

f(X)

X

D

..::CALCULO DE EXTREMOS PARA EL CASO F: DCR2 R::..Si f es diferenciable en X0(interior al Df) con fX0 = 0y adems:

HX0 = fxx (X0) fxy (X0)fyx (X0) fyy (X0) > 0 => x0, y0es extremo relativo.Si en particular: fxx (X0) > 0 => f x0, y0 es mnimo relativo.Si en particular: fxx (X0) < 0 => f x0, y0 es mximo relativo.

H

X0

=

fxx (X0)

fxy (X0)

fyx (X0) fyy (X0)< 0

F no presenta extremos relativos se trata de un punto de ensilladura de coordenadasx0, y0 , z0con z0 = fx0, y0HX0 = fxx (X0) fxy (X0)fyx (X0) fyy (X0) = 0

El criterio no informa.


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UUNNIIDDAADDXXIIPPOOLLIINNOOMMIIOODDEETTAAYYLLOORR


f:DcRn RTemario a estudiar.

Expresin.

Reglas memotcnicas.


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..::EXPRESIN DEL POLINOMIO DE TAYLOR DE ORDEN DOS::..

, = 0!=0

fx, y = fX0+ fxX0x X0 + fyX0y y0 + 12! fxxX0xX02+2fxyX0xX0yy0+fyyX0yy02+13!fxxxX0xX03+3fxxyX0xX

03+3f

xxyX0

xX02

yy0+3f

xyyX0

xX0

yy02+f

yyyX0

yy03+

continua.

..::REGLAS MEMOTCNICAS::..

x + y2 = x2 + 2 x y + y2x + y

3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

Notar como el polinomio de Taylor respeta el cuadrado perfecto y cubo perfecto.


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Segundo parcialTerico / Prctico



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UUNNIIDDAADDXXIIIICCIIRRCCUULLAACCIINNOOTTRRAABBAAJJOODDEEUUNNCCAAMMPPOOVVEECCTTOORRIIAALL


f: DcRn Rn/n 2Temario a estudiar.

Definicin.

Campo de gradientes. Lneas equipotenciales.

Condicin necesaria para existencia de funcin potencial. Enunciado y demostracin. Independencia del camino. Enunciado y demostracin.

Teoremas.

Lneas de campo.


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..:DEFINICIN::..

T = fdgC

= fgtt2t1

g tdt

..:CAMPO DE GRADIENTES.LNEAS EQUIPOTENCIALES::..

Sea f

x, y

= (P

x, y

; Q

x, y

)Si fes de clase 1 (f

c1)en todo punto de un recinto

simplemente conexo y Py = Qx => f es campo de gradientes.Cuando el campo vectorial f es un campo de gradientes la circulacin del mismo esindependiente del camino que conecta el punto inicial t1 y el punto final t2

..:COND.NECESARIA PARA LA EXISTENCIA DE FUNCIN POTENCIAL::..

Enunciado:

Sea f:DcR2 R2/f(x, y) = (Px, y; Qx, y)Un campo vectorial derivable concontinuidad en un recinto simplemente conexo. Si fadmite funcin potencial

=> Py = QxDemostracin:

Por hiptesis

U(x, y)/

U(x, y) = f

=> Ux = P Uy = Q=> Py = U xy Qx = U yxComo por hiptesis Py y Qx son continuas entonces tambin son continuasU xy U yx =>Por el teorema de Schwanz podemos asegurar queU xy = U yx

=> Py = Qx


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..:INDEPENDENCIA DEL CAMINO.ENUNCIADO Y DEMOSTRACIN::..

Enunciado:

Si fes campo de gradientes => f dgC

es independiente del camino que une el

punto inicial A y el punto final B de la curva C => f dgBA

= UB U(A)siendo U el campo escalar /U = fSi en particular f dg = 0C cerradaDemostracin:

U dgC

= Ugt.ba

gtdtSi llamamos ht = Ugt dicha funcin compuesta tendr por derivada:

h t = Ugt. gt (por regla de la cadena) y teniendo en cuenta que ht escontinua en [a,b] entonces:

U dgC = Ugt.b

a

g tdt = h tdtb

a

= h(t)|ab =

= hb ha= Ugb Uga= Ub U(a)

En particular si: a = b => U dgC

= 0

..:TEOREMAS::..

(1) Si C cerrada / fdgc

0 => f no es campo de gradiente => funcin potencial.(2) Si fes campo de gradientes con fx, y = Px, y; Qx, y => Py = Qx(3)

Si Py Qx = > f no es campo de gradientes.


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..:LNEAS DE CAMPO::..

Dado un campo vectorial

f se llaman lineas de campo a las curvas que en cada uno de sus puntos el vector fle es tangente.

Si X = gtes la ecuacin vectorial de las lneas de campo se tiene fgt = gtPara hallar las lneas de campo:

dx

P(x, y)=

dy

Q(x, y)

Siendo f

x, y

= (P

x, y

; Q

x, y

)

Nota:

Si fes campo de gradientes(es decir que admite potencial U) se tiene que laslneas de campo tienen por trayectorias ortogonales a las lneas equipotenciales.


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UUNNIIDDAADDXXIIIIIIIINNTTEEGGRRAALLEESSMMLLTTIIPPLLEESS

Temario a estudiar.

Integral doble. Integral triple.

Teorema del cambio de variable. Jacoviano de pasaje.

Coordenadas polares, cilndricas y esfricas.


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..:INTEGRAL DOBLE,INTEGRAL TRIPLE::..

Integral doble:

I = fx, ydxdyR En particular si fx, y = 1

AR = dxdyR

Integral Triple:

Vk = dx dy dzK

..:T.DEL CAMBIO DE VARIABLE.JACOBIANO DE PASAJE::..

Sean D y D* dos regiones elementales del plano y una transformacin C1inyectiva

T:D*D /

T (D*)=D definida por

T (u;v)= (x (u;v);y (u;v))Entonces para cualquier funcin integrable F:DR es integrable en D, resulta:

, = ,;,

= ,

=

,

Donde:

= = 1


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..::COORDENADAS POLARES,CILNDRICAS Y ESFRICAS::..

Coordenadas

polares

Coordenadas

cilndricas

Coordenadas

esfricas

Cambios de

variablesx = cos ()

y = sen() x = cos ()y = senz = z

x = cos ()sen()y = sensenz = cos()

Valores posibles

que toman las

variables

0 20

+

0 20

+

0 0

2

0 +Jacoviano de

pasaje j = j = j = 2sen

Valor de x2

+ y

2

= 2

x2

+ y

2

= 2

x2

+ y

2

+ z

2

= 2

Caso particular: Cambio de coordenadas en elipses:

P

x

x2

a2+

y2

b2

Q

x

x = x(, )y = y(, )j = ab


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UUNNIIDDAADDXXIIVVAAPPLLIICCAACCIIOONNEESSDDEELLAASS IINNTTEEGGRRAALLEESSMMLLTTIIPPLLEESS

Temario a estudiar.

Calculo de rea en el plano.

Calculo de volumen.

Calculo de masa.

rea de superficies en el espacio.


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..:CALCULO DE REA EN EL PLANO::..

AR = dxdyR Ejemplo:

Hallar el rea del recinto plano mediante dos rdenes de integracin diferentes.

Punto de interseccin entre las dos funciones: P = (8,8)Primer orden de integracin:

AR = dxdy dx dy16x2

x

80

= 2


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Segundo orden de integracin:

A

R

=

dydx +

dydx

dy dxyx

80

+ dy dx16y20

4

8 = 2Notar que el recinto utilizando el segundo orden de integracin (vector horizontal) tienedos limites distintos por lo tanto la integral se subdivide.

..:CALCULO DE VOLUMEN::..

Vk = dx dy dzK

Ejemplo:

Mediante integral triple y utilizando coordenadas cilndricas expresamos el volumen

del siguiente slido en el espacio:

k = {(x, y, z) R3/x2 + y2 + 1 z 9}Cambio a coordenadas cilndricas:

x = cos ()y = senz = z

Vk = dddzK

Variacin de lambda: 0 2Variacin de : 0 8Variacin de z: 1 + 2 z 9

Vk = d d dz9

1+28

0

2

0 = 32


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..:CALCULO DE MASA::..

=

=

Si la masa es proporcional al eje z: ||Para el ejemplo anterior dado el resultado de la masa quedara expresada como:

Vk = d d KZdz91+

2

80

20

= 32..:REA DE SUPERFICIE EN EL ESPACIO (ALABEADAS)::..

Sea S de ecuacin implcita F(x,y,z)=0. El rea de la superficie S es obtenida por:

As = f|Fz| dxdyR

Donde R es el recinto proyeccin en el plano.

Ejemplo:

Calcular el rea de la superficie: = 2 + 2 con 2y 2 + 2 6

,

,

=

2 +

2

= (2, 2,1) = 42 + 42 + 1En coordenadas cilndricas:

= 42 + 1As =

f

|Fz| dxdy = d 42 + 1 6

22

0R


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UUNNIIDDAADDXXVVTTEEOORREEMMAASS

Temario a estudiar.

Teorema de Green.

Clculo de rea con teorema de green.

Flujo de un campo vectorial por definicin.

Teorema de Gauss o de la divergencia. Enunciado. Aplicacin.

Determinante simblico para hallar el vector llamado motor de un campo vectorial.

Teorema de Stokes o del rotor. Enunciado. Aplicacin.


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..:TEOREMA DE GREEN::..

Sea f: DcR2 R2/f(x, y) = Px, y; Qx, yun campo vectorial cuyas componentestienen derivadas parciales continuas en un conjunto abierto DcR2, entonces: f

C+dg = Qx Pydxdy

R

Donde R es una regin del plano limitado por la curva C cerrada y orientada en

sentido positivo, de modo tal que R y C estn incluidas en D, siendo gla funcin

vectorial que parametriza a la curva C.

..:CALCULO DE REA CON TEOREMA DE GREEN::..

Para realizar esta demostracin elijo:

fx, y = y, xDemostracin: fdg = Qx Pydxdy

RC

fdgC

= (1 (1) dxdyfdg

C

= 2 dxdyR

1

2fdgC = A(R)


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..:FLUJO DE UN CAMPO VECTORIAL POR DEFINICIN::..

Se define flujo de un campo vectorial fa travs de una superficie al nmero real dado por:

= fS

ndsDonde: n = ff siendo ds = f|F z| dxdy

= fnds =R f ff f|Fz| dxdyR

..::TEOREMA DE GAUSS O DE LA DIVERGENCIA::..

Sea f: DcR3 R3/f(x, y, z) = Px,y,z; Qx,y,z;R(x,y,z) un campo vectorialcuyas componentes admiten derivadas parciales continuas en un slido V limitado poruna superficie cerrada S orientable, si esta superficie est compuesta por un numero

finito de partes en cada una de las cuales existe y varia con continuidad el versor normaldirigido hacia el exterior del solido V entonces la divergencia de a en el slido V esigual al flujo de a travs de la superficie S cerrada.

=

ds


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..::DETERMINANTE PARA HALLAR EL VECTOR MOTOR DEL CAMPO::..

Sea: fx,y,z = Px,y,z; Qx,y,z; Rx,y,zrot f= i j k

x y zP Q R

rot f

= i

Ry

Qz

j

Rx

Pz

+ k

(Qx

Py)

Definimos con el nombre de rotor de un campo vectorialf = (P, Q, R)al vector:rot f = (Ry Qz; Pz Rx; Qx Py)

..:TEOREMA DE STOKES::..

Sea un campo vectorial f:DcR3 R3con derivadas parciales continuas, sea S unasuperficie abierta orientable imagen de un campo vectorial : con derivadascontinuas y no simultneamente nulas limitadas por una curva regular C, entonces lacirculacin de f a lo largo de C en sentido positivo, es igual al flujo del rotor de

f a travs de S considerando las normales hacia afuera.

f dg+ = f nds


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UUNNIIDDAADDXXVVIIEECCUUAACCIIOONNEESSDDIIFFEERREENNCCIIAALLEESSSSEEGGUUNNDDAAPPAARRTTEE

Temario a estudiar.

Ecuaciones diferenciales de orden dos a coeficientes constantes con segundo miembro

nulo (Homogneas de orden dos)

Ecuaciones diferenciales de segundo orden a coeficientes constantes con segundo

miembro no nulo (No homogneas)


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..::ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGNEAS DE ORDEN DOS::..

Estamos ante una ecuacin diferencial homognea de orden dos cuando podemosescribirla en la forma:

A0y + A1y + A2y = 0

Donde:1A0 R 02A1 R3A2 RLa solucin de este tipo de ecuaciones diferenciables se construya a expensas de lasraces de la ecuacin carteristica asociada:

A0r2 + A1r + A2 = 0

Ecuacin caracterstica asociada a la ecuacin diferencial.

Para resolverla existen tres tipos de soluciones para cada uno de los casos los cuales sedescriben a continuacin:

(1) Si r1 R, r2 R y adems r1 r2 la solucin general de la ecuacin diferencial es:y = C1e

r1x+C2er2x

(2) Si r1 = r2 = r

R la solucin general de la ecuacin diferencial es:

y = C1erx+C2e

rx

(3) r1 = + i la solucin general de la ecuacin diferencial es:y = ex[C1 cosx + C2senx]


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..::ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGNEAS DE ORDEN DOS::..

Estamos ante una ecuacin diferencial no homognea de orden dos cuando podemosescribirla en la forma:

A0y + A1y + A2y = f(x) / f(x) 0

La solucin general se construye usando la solucin de la homognea y la particular.

YGeneral = YHomogenea + YParticular

Propuestas de soluciones particulares:

Polinomios yp = Ax + bExponenciales yp = Ae

bx b conocidocosmx o senmxo ambas yp = Acosmx + Bsen(mx)

Ejemplo para ecuaciones diferenciales cuya solucin particular puede proponerse comopolinmica:

y y 2y = 3x + 4r r 2 = 0r = 2 r = 1

Construyo la parte de la solucin homognea.

yh = C1e2x+C2e

xPara construir la parte de la solucin correspondiente a la particular pruebo con

yp = Ax + bYp = AYp = 0Reemplazo en la ecuacin dada (y y 2y = 3x + 4)

0 A 2Ax + 2B = 3x + 42Ax A 2 B = 3 x + 4


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Resuelvo el sistema:

2 A = 3 = >

=

3

2

A 2b = 4 => = 54Construyo la yp

yp = 32

x 54

Finalmente la solucin general (S.G)

yg = C1e2x+C2ex 32 x 54


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IINNDDIICCEEDDEELLAAPPUUNNTTEE

Apartado A - Qu tengo que conocer?...................................................................................... 3

Recta en el espacio. Ecuaciones ................................................................................................ 4

Plano ecuaciones ....................................................................................................................... 6

Cnicas ...................................................................................................................................... 8

Cudricas ................................................................................................................................. 10

Sistema de ecuaciones ............................................................................................................ 11

Unidad IEcuaciones diferenciables Primera parte............................................................. 14

Ecuaciones diferenciables ordinarias. Definiciones ................................................................ 15

Ecuaciones diferenciables en variables separables................................................................. 16Ecuaciones diferenciables de orden superior a 1 ................................................................... 17

Trayectorias ortogonales ......................................................................................................... 18

Ecuaciones diferenciables lineales de primer orden ............................................................... 19

Unidad IICampos escalares .....................................................................................................22

Dominio de un campo escalar. Representacin del dominio en el plano. Expresin del

dominio por comprensin ....................................................................................................... 23

Representacin geomtrica de un campo escalar .................................................................. 24

Conjunto de nivel. Conjunto de nivel de un campo escalar de dos variables. Conjunto de

nivel de un campo escalar de tres variables ........................................................................... 24

Unidad IIIFuncin vectorial.....................................................................................................26

Dominio de una funcin vectorial. Representacin del dominio en el plano ......................... 27

Parametrizacion de la curva interseccin ............................................................................... 28

Unidad IVLimite y continuidad............................................................................................... 32

Limite doble. Funciones acotadas ........................................................................................... 33

Condicin de continuidad ....................................................................................................... 34Limites radiales. Funciones convenientes de aproximacin ................................................... 34

Unidad VDerivadas................................................................................................................. 36

Definicin de derivadas direccionales. Aplicacin .................................................................. 37

Derivadas parciales.................................................................................................................. 37

Gradiente de un campo escalar en un punto .......................................................................... 38

Propiedad de homogeneidad .................................................................................................. 39

Unidad VIDiferenciabilidad.................................................................................................... 40

Definicin de diferenciabilidad ............................................................................................... 41


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Propiedades de los campos diferenciables ............................................................................. 41

Demostracin: Un campo escalar si es diferenciable es continuo en un punto interior ........ 42

Demostracin: Un campo escalar si es diferenciable es derivable respecto de toda direc .... 43

Deduccin de la ecuacin del plano tangente a la grafica de un campo diferenciable .......... 44

Unidad VIICampos vectoriales............................................................................................... 45

Representacin de los campos vectoriales ............................................................................. 46

Punto regular de una superficie. Definicin ............................................................................ 46

Matriz Jacobiana asociada a un campo vectorial .................................................................... 46

Unidad VIIIFunciones compuestas.......................................................................................... 47

Teorema: Regla de la cadena............................................................................................... 48

Resolucin de ejercicios aplicando la regla de la cadena........................................................ 49

Resolucin de ejercicios aplicando la matriz Jacobiana asociada a un campo vectorial ........ 50

Unidad IXFunciones definidas de forma implcita.................................................................. 51

Definicin. Teorema de Couchy-Dinni ..................................................................................... 52

Unidad XExtremos................................................................................................................... 54

Definicin. Extremos relativos. Extremos absolutos ............................................................... 55

Calculo de extremos para el caso f:DcR2

R...................................................................... 55

Unidad XIPolinomio de Taylor................................................................................................. 56

Expresin ................................................................................................................................. 57

Reglas memotcnicas ............................................................................................................. 57

Unidad XIICirculacin o trabajo de un campo vectorial......................................................... 59

Definicin. ............................................................................................................................... 60

Campo de gradientes. Lneas equipotenciales ....................................................................... 60

Condicin necesaria para existencia de funcin potencial. Enunciado y demostracin ........ 61

Independencia del camino. Enunciado y demostracin ......................................................... 61

Teoremas ................................................................................................................................. 61

Lneas de campo ...................................................................................................................... 62

Unidad XIIIntegrales mltiples ................................................................................................ 63

Integral doble. Integral triple. ................................................................................................. 64

Teorema del cambio de variable. Jacobiano de pasaje .......................................................... 64

Coordenadas polares, cilndricas y esfricas ........................................................................... 65

Unidad XIVIntegrales mltiples ...............................................................................................66

Calculo de rea en el plano ..................................................................................................... 67


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Calculo de volumen ................................................................................................................. 69

Calculo de masa ....................................................................................................................... 69

rea de superficies en el espacio ............................................................................................ 69

Unidad XVTeoremas................................................................................................................ 71

Teorema de Green .................................................................................................................. 72

Calculo de rea con teorema de Green ................................................................................... 72

Flujo de un campo vectorial por definicin ............................................................................. 73

Teorema de Gauss o de la divergencia. Enunciado. Aplicacin .............................................. 73

Determinante simblico para hallar el vector llamado motor de un campo vectorial ........... 74

Teorema de Stokes o del rotor. Enunciado. Aplicacin .......................................................... 74

Unidad XVIEcuaciones diferenciales segunda parte.............................................................. 75

Ecuaciones diferenciales de orden dos a coeficientes constantes con segundo miembro nulo

(Homogneas de orden dos) ................................................................................................... 76

Ecuaciones diferenciables de segundo orden a coeficientes constantes con segundo

miembro no nulo (No homogneas) ....................................................................................... 77

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