Raz. matemático ii parte

Primer Año

EL SATELITE SPUTNIK 1Sputnik 1 Lanzado el 4 de octubre de 1957, el Sputnik 1 fue la primera nave en órbita alrededor de la Tierra. Llamado así por la frase rusa "compañero de viaje por el mundo" (Sputnik Zemli), era un pequeño satélite que sólo medía 58 cm de ancho. Completaba una órbita en torno a la Tierra una vez cada 96,2 minutos y transmitía información sobre la atmósfera terrestre. Tras un vuelo de 57 días, volvió a entrar en la atmósfera y se destruyó.

Índice

Fracciones

Cripto Aritmética

Operadores Matemáticos

Conteo de Figuras

Series y Sucesiones

Reducción a la Unidad

Planteamiento con Figuras

FRACCIONES

Es el cociente indicado de dos números enteros, con el divisor

diferente de cero. Así,

Si N y D Z N / D o es una fracción, si D 0

Donde: N es el Numerador y D es el Denominador.

Si se cumple que: D N, entonces:

* D indica en cuantas partes iguales se ha dividido la unidad.

* N indica cuantas de esas partes se consideran o se toman.

Ejemplo: graficar

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

4/6

Como D N, la fracción nos indica que la unidad ha sido dividida en 6 partes

iguales, de las cuales se consideran o se toman 4.

Importante: La parte que no se toma o se considera viene a ser 2/6. Ósea:

1 - =

Numerador Denominador

1 = +

Donde: 1 =

La parte no tomada es el complemento de lo tomado y viene

a ser: 2 / 6.

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1) Un lingote de plata pesa 9 Kg.

más la cuarta parte de su peso

total. ¿Cuánto pesa el lingote?

Rpta.:

2) Sergio pesa 24kg más la

séptima parte de su peso total.

¿Cuál es la tercera parte del

peso de Sergio?

Rpta.:

3) Una botella de dos litros está

llena de leche hasta sus 3/4

¿Cuántos litros de leche se

tendría que aumentar para que

la botella quede

completamente llena?

Rpta.:

4) Un depósito de cierto líquido

está lleno hasta su mitad. Si se

extrae 40 litros, el nivel de

líquido disminuye hasta su

sexta parte. ¿Cuál es el

volumen total del depósito?

Rpta.:

5) Los 3/5 de una botella están

con gaseosa. Si la botella tiene

una capacidad de litro y medio:

¿cuántos litros de gaseosa

tenemos?

Rpta.:6) Una piscina tiene una capacidad

total de 100 litros; un cierto día

tenía agua sólo hasta sus 11/20

partes. Si ese día extraemos con

una cubeta la quinta parte de lo

que había. ¿Cuántos litros de

agua serían necesarios ahora

para llenar la piscina?

Rpta.:

7) Un joven profesor tiene 26

años de edad; si se disminuye

la edad en sus 2/13 ¿Qué

edad dice tener?

Rpta.:

8) Las dos terceras partes de la

cantidad de camelos que

tengo, es igual a 10; si me

como 6, indiqué cuánto me

queda.

Rpta.:

9) En un recipiente de 15 litros de

capacidad, se ha llenado hasta

sus 3/5 partes; ¿Cuántos litros

faltan para llegar a 13 litros?

Rpta.:

10) Para pintar unos muebles, se

han programado 24 días de

trabajo; si se ha avanzado las

¾ partes del trabajo, ¿Cuántos

días faltan para acabar la

obra?

Rpta.:

11) Si los tres quintos de de la

edad de Teresa excede en uno

a dos, ¿Cual será su edad

dentro de 12 años?

Rpta.:

12) La construcción de una casa

demorará 48 días; si se ha

avanzado hasta los 5/8.

¿Cuántos días faltan para

concluir la obra?

Rpta.:

13) Se sabe que si agregamos 60

litros a un recipiente que está

lleno hasta sus 3/7 el recipiente

se llena. ¿Cuál es la capacidad

del recipiente?

Rpta.:

14) El cuádruplo de la quinta parte de

la cantidad de litros de kerosene

que hay en un depósito es igual

al doble de la tercera parte de 30.

Si se venden 12 litros. ¿Cuántos

quedan?.

Rpta.:

15) Se sabe que el triple de la

mitad de la edad de Carlos es

igual a 63; ¿Calcule la edad de

Carlos dentro de 4 años?

Rpta.:

16) En un salón de clase, 5 de

cada 8 alumnos aprueban el

curso de Razonamiento

Matemático. Si de estos las 2/5

partes son mujeres: ¿Qué

fracción del total de alumnos

del salón representa a los

hombres que aprueban el

curso?

Rpta.:

17) Margarita tiene 15 años, pero

gusta aumentarse la edad en

sus 2/5 frente a sus amigos.

¿Qué edad dice tener?

Rpta.:

18) De un depósito que está

totalmente lleno, se extraen 40

litros, quedando en el depósito

todavía los 3/7 de su

capacidad, ¿Cuál es esta?

Rpta.:

19) Los 11/20 del volumen de un

depósito están ocupados por

cierta sustancia química. Si

requiero llenar el depósito,

necesitaría S/. 540, ¿Cuánto

cuesta un litro de dicha

sustancia química sabiendo

que el depósito tiene una

capacidad total de 400 litros?

Rpta.:

20) Un tanque de 40 litros de

capacidad, contiene sólo 12

litros ¿Qué fracción del total

falta para llenar el tanque?

Rpta.:

PROBLEMAS PARA LA CASA

01) Víctor pesa 18 Kg. Más la

séptima parte de su peso total.

¿Cuál es la tercera parte del

peso de Víctor?

a) 21kg. b) 14kg.

c) 12kg. d) 7kg.

e) 28kg.

02) Los 2/5 de una botella están

con leche Si la botella tiene

una capacidad de litro y

medio. ¿Cuántos litros de

leche tenemos?

a) 1/5 l b) 2/5 l

c) 1/7 l d) 3/7 l

e) 3/5 l

03) Un joven arquitecto tiene 32 años de edad; si se disminuye

la edad en sus ¿Qué edad

dice tener?

a) 26 b) 18

c) 21 d) 20

e) 24

04) Un depósito de agua está

lleno hasta su mitad. Si se

extrae 80 litros, el nivel de

agua disminuye hasta su

sexta parte. ¿Cuál es el

volumen total del Depósito?

a) 240 L b) 300 L

c) 320 L d) 200 L

e) 600 L

05) La construcción de un

departamento demorará 60

días; si se ha avanzado hasta

los 3/5. ¿Cuantos días faltan

para concluir la obra?

a) 10 b) 15

c) 16 d) 14

e) 12

06) En un recipiente de 20 litros

de capacidad, se ha llenado

hasta sus 2/5 partes;

¿Cuántos litros faltan para

llenar a 14 litros?

a) 5 Lt. b) 6 Lt.

c) 7 Lt. d) 8 Lt.

e) N.A.

07) Una botella de 2 litros está

llena de gaseosa hasta sus

2/3. ¿Cuántos litros de

gaseosa se tendría que

aumentar para que la botella

quede completamente llena?

a) 1/3 l b) 4/3 l

c) 5/3 l d) 7/3 l

e) 2/3 l

08) Julia tiene 21 años, pero gusta

aumentarse la edad en sus

1/7 frente a sus amigos. ¿Qué

edad dice tener?

a) 30 b) 22

c) 28 d) 26

e) 24

09) Para pintar unas sillas se ha

programado 26 días de

trabajo; si se ha avanzado las

7/13 partes del trabajo.

¿Cuántos días faltan para

acabar la obra?

a) 8 b) 6

c) 4 d) 10

e) 12

10) Se sabe que si agregamos 80

litros a un recipiente que está

lleno hasta sus 4/9 el

recipiente se llena. ¿Cuál es la

capacidad del recipiente?

a) 120 b) 144

c) 108 d) 160

e) 132

11) Un tanque de 50 litros de

capacidad, contiene solo 35

litros. ¿Qué fracción del total

falta para llenar el tanque?

a) 3/10 b) 4/12

c) 6/15 d) 9/10

e) 7/10

12) Se sabe quíntuple de la

mitad de la edad de Juan es

igual a 60.

¿Calcule la edad de Juan

dentro de 5 años?

a) 29 b) 31

c) 33 d) 27

e) 25

13) De un depósito que está

totalmente lleno, se extrae 80

litros, quedando en el depósito

todavía los 5/13 de su

capacidad. ¿Cuál es esta?

a) 110 b) 120

c) 130 d) 140

e) 150

14) Los 9/20 del volumen de un

depósito están ocupados por

cierta sustancia química. Si

requiero llenar el depósito,

necesitaría S/. 440, ¿Cuánto

cuesta un litro de dicha

sustancia química sabiendo

que el depósito tiene una

capacidad total de 200 litros?

a) 2 b) 4

c) 6 d) 3

e) 1

15) El cuádruplo de la séptima

parte de la cantidad de litros

de vino que hay en un

depósito es igual al triple de la

quinta parte de 20. si se

venden 9 litros. ¿Cuántos

quedan?

a) 20 b) 18

c) 16 d) 14

e) 12

TEMA: CRIPTO ARITMÉTICA

Bajo este nombre, que traducido literalmente significa “Aritmética Oculta”,

se conoce a un grupo de problemas, la verdad, que todos ellos muy

interesantes (Espero que luego, pueda Ud. compartir mi opinión).

Estos problemas se caracterizan, por que se nos dan operaciones

aritméticas realizadas entre ciertos números, las cuales en realidad se

desconocen, puesto que han sido remplazados, sus cifras por letras o por

otros símbolos.

Hallar tales números es el objeto de nuestro trabajo, a través de un análisis

en el que tengamos en cuenta las propiedades de la operación que tenemos

en frente, es que en cada debemos llegar a la solución del problema. Pero

mejor empecemos a conocerlos:

Ejemplo:

Hallar: Si: 4 5 A +

6 B 4

1 0 9 8

SoluciónAnalicemos la suma en cada una de las cifras:

Las unidades A + 4 = 8 o donde A = 4

Las decenas 5 + B = 9 o donde B = 4

Las centenas 4 + 6 = 10

A + B = 4 + 4 = 8


01) Si , entonces

es:

Rpta.:

02) Si ,

entonces B – A es:

Rpta.:

05) Si A = T y TO = 128,

entonces es:

Rpta.:

04) Si + = 8683 y S

= C, entonces es:

Rpta.:

05) Si Z = L y

4686, entonces L + A – 4 es:

Rpta.:

06) Si = 10872 y

S 5, entonces es:

Rpta.:

07) Si = 7264,

entonces es:

Rpta.:

08) Si = 7280 y

A 5, entonces F + A es:

Rpta.:

09) Si =

187818, L = R y B 5,

entonces (L + A) – (B + R) es:

Rpta.:

10) Si = 499 y M = L,

entonces es:

Rpta.:

11) Si

es:

Rpta.:

12) Si ,

entonces es:

Rpta.:

13) Si entonces

es:

Rpta.:

14) Si = 531, entonces

es:

Rpta.:

15) Si

es:

Rpta.:

16) Si

entonces es:

Rpta.:

17) Si = 1092,

entonces

A – B2 es:

Rpta.:

18) Si = 16974 y N

5, entonces es:

Rpta.:

19) Si ,

entonces 2B – A es:

Rpta.:

20) Si ,

entonces es:

Rpta.:


1.- Si 38 + , entonces

A – B es:

a) 6 b) 4

c) -4 d) -8

e) -6

2.- Si x A = 342, entonces

A – B es:

a) 5 b) 6

c) 10 d) 12

e) 7

03) Si ,

entonces A + B es:

a) 3 b) 4

c) 0 d) 5

e) 6

04) Si x B = 580, entonces

es:

a) 552 b) 441

c) 331 d) 772

e) 774

05) Si = 498 y T = R,

entonces es:

a) 40 549 b) 90 444

c) 30 339 d) 40 449

e) 50 559

06) Si x B = 1480, entonces

2B – A es:

a) 13 b) 12

c) 15 d) 7

e) 14

07) Si =8954,

entonces es:

a) 9042 b) 9047

c) 9044 d) 9045

e) 9048

08) Si 48 x A = , entonces

A2 – B2 es:

a) 40 b) 60

c) 30 d) 18

e) 17

09) Si M = A y =

887, entonces es:

a) 0 b) 3

c) 2 d) -4

e) -3

10) Si ,

entonces es:

a) 775 b) 665

c) 443 d) 995

e) 885

11) Si ,

entonces es.

a) 54 b) -81

c) -60 d) 36

e) -54

12) Si = 16987,

entonces es:

a) -7 b) 4

c) 7 d) -4

e) -6

13) Si x 3 = 2913, entonces

es:

a) 979 b) 343

c) 454 d) 494

e) 969

14) Si ,

entonces es:

a) 7373 b) 1616

c) 1515 d) 1919

e) 1818

15) Si = 7893 y S

9, entonces es:

a) 70 868 b) 70 688

c) 70 668 d) 70 886

e) 70 866

16) Si ,

entonces es:

a) 272 b) 181

c) 343 d) 575

e) 171

17.- Si E 4 y =

13329, entonces es:

a) 120 b) 129

c) 139 d) 9

e) 19

TEMA: OPERADORES MATEMÁTICOS

Este es un capitulo de poca dificultad, pero de gran aplicación, su objeto

fundamental al utilizarlo en una prueba de admisión , es medir la capacidad

del alumno para captar relaciones nuevas, a los que se supone no esta

acostumbrado; el principio fundamental que se utiliza en estos problemas, es

el valor numérico.

* ¿Que es una Operación Matemática?

Es un procedimiento que se emplea para transformar con Sujeción a ciertas reglas, una o varias cantidades o funciones, en otros, ó también para

efectuar con ellos determinados cálculos.

* ¿Que es un Operador Matemático?

Es un símbolo determinado que sirve para representar a una determinada

operación matemática. Así por ejemplo:

+ Representa la Operación Suma.

- Representa la Operación Resta.

Representa la Operación Radicación.

Teniendo como base las operaciones anteriores, es que se “CREAN”

nuevas operaciones, con diferentes reglas de definición, arbitrariamente

elegidos; reglas que se obtienen combinando, según como queramos, a

nuestras operaciones usuales básicos o conocidos ( +; -; ; etc). Y para

representarlos podemos también utilizar “nuevos”símbolos escogidos al azar.

No esta demás decir; que las “nuevas” operaciones pueden ser definidas

para uno, dos, tres o más cantidades según nuestro deseo.

Ejemplo de una de estas operaciones sería:

a b = a2 + 5b

Hallar: 5 2

Solución

Donde:

Nueva operación en este caso definido por 2 cantidades: a y b, los representan.

Símbolo arbitrario u operador

Regla de definición

1


01) Si a b = 4a + 5b, Calcular: 2 3

Rpta.:

02) Si m # n = m2 + n2

Calcular: 1 # 5

Rpta.:

03) es un operador de tal modo

que: x y = x2 + 5y; según

esto, Calcular: 2 5

Rpta.:

04) Si y

= 5y + 1, Hallar el

valor de:

Rpta.:

05) Calcular 7 1 sabiendo que

m m = 5 (m + n) – 5 (m - n)

Rpta.:

06) Si se cumple que: x = 3x –1

Hallar: 4 - 2 2

Rpta.:

07) Sabiendo que x y = x2 + y2

Calcular: (5 1) (3 2)

Rpta.:

08) Si p q = + 2, Hallar:

(82) (33)

Rpta.:

09) Si se sabe que: m n = 2m

+3n; Hallar: (12) (31)

Rpta.:

10) Si se cumple: m n = mn + 1;

si: m n, y m n = m + n –1;

si: m n. Hallar:

Rpta.:

11) Si se sabe que: x * y = (x + y +

1) (x +y -1) Hallar: (8 * 1)*10

Rpta.:

12) Se sabe que: = aa, Hallar:

Rpta.:

13) Siendo # una operación

definida por; x # y = x2 – y3;

Calcular:

Rpta.:

14) Si x % y = (x + y) (x y),

Calcular el valor de: (-1) % (-2)

Rpta.:

15) Si m n = mn +1; si: m es par

m n = (m + n)2; si: m es

impar Hallar: (4 3) 2

Rpta.:

16) es un operador de tal modo

que:

x = 7x – 25 si x 4

x = 25 – 7x si x 4; Calcular

2 + 5 - 1

Rpta.:

17) Sabiendo que: m = 2m + 3,

Hallar: 5

Rpta.:

18) Si a c =3a2 + 2c3 ;Calcular el

valor de (2 1) (1 0)

Rpta.:

19) Sabiendo que a = 2a + 5

Hallar el valor de: 3 + 1

Rpta.:

20) Si:

Calcular: 2 1

Rpta.:


a

2 - 6-2

01) Si a # b = (a + b) (a - b);

Calcular: 7 # 2

a) 46 b) 44

c) 42 d) 45

e) 49

02) Si se conoce que:

; Calcular

el valor de 1 @ 0

a) 6 b) 5

c) 10 d) 1

e) 0

03) Si x = 5x + 1; Calcular 2

a) 8 b) 3

c) 5 d) 11

e) 17

04) Si a c = 3a2 + 2c3; Calcular

el valor de (2 1) (1 0)

a) 542 b) 510

c) 642 d) 480

e) 417

05) Sabiendo que: x = 2 x + 7,

Calcular:

a) 57 b) 25

c) 37 d) 55

e) 47

06) Si se sabe que: MN = MN – 1;

Hallar: (32) 2

a) 64 b) 24

c) 63 d) 15

e) 35

07) Calcular 52 sabiendo que:

xy = (x + y)2 + (x - y)2

a) 51 b) 16

c) 58 d) 69

e) 70

08) Si: a # b = (a + b)2 – (a - b)2;

Hallar: (2 # 1)# 3

a) 93 b) 111

c) 96 d) 114

1

e) 120

09) Si se sabe que:

z = z2 + z + 1; Calcular el

valor de

1 + 2

a) 8 b) 10

c) 13 d) 15

e) 9

10) Se sabe que: a ( ) b = aa + bb;

Hallar:

a) 2 b) 4

c) 3 d) 31

e) 19

11) Si: = -n; Hallar:

a) -13 b) 15

c) -15 d) 13

e) –12

12) Se sabe que:

A B C = AB - C , hallar:

3 8 9 + 8 4 12

a) 15 b) 35

c) 20 d) 38

e) 42

13) Si x y = x2 + 2xy + y2;

Calcular: (-1) (-2)

a) 7 b) 6

c) 11 d) 5

e) 9

14) Si: p q = , Hallar:

2(11725) 726

a) 2 b) 3

c) 4 d) 6

e) 8

15) Si: a = 2a; Hallar el valor de:

a) 16 b) 14

c) 18 d) 10

e) 8

TEMA: CONTEO DE FIGURAS

2

Los ejercicios de conteo de figuras generalmente forman parte de todos

los exámenes de ingreso a los centros de estudios de educación superior. No

por que impliquen el uso de complicadas operaciones matemáticas; sino, por

que evalúan el nivel de análisis, de síntesis y la capacidad de atención y

concentración del postulante.

Este tipo de ejercicios también desarrollan la percepción visual, entrenan

la atención y concentración, por lo tanto, contribuyen al desarrollo del

pensamiento lógico matemático.

Para contar figuras se presentan los siguientes métodos:

1.- El Método de Schoenk : En este método se le asigna a números o letras

a cada una de las figuras simples que forman la figura completa, dichos

números o letras se colocan de menor a mayor, para luego contar las

figuras agrupándolas en forma ascendente.

Ejemplo:

¿Cuántos Triángulos hay en la figura?

SoluciónSe empieza el conteo de la siguiente forma:

Figura de un número : 1; 2; 3 = 3Figura de dos números : 23 = 1 (+)

2 31

Figura de tres números : 123 = 1

Luego sumamos las respuestas total = 5 Triángulos

2.- El Método mediante la inducción: (Fórmula) en este método se aplica

la fórmula de la sumatoria de los números naturales para la cual veamos

cómo salió esta fórmula:

Si: 6 = 1 + 2 + 3 se puede colocar otra vez 6 = 3 + 2 + 1 (+) luego procedemos a la suma

6 + 6 = 4 + 4 + 4 2 x 6 = 4 x 3

6 =

6 = 6

De acá se deduce la fórmula:

Ahora veamos como se aplica en el conteo de figuras en los siguientes

ejemplos:

Ejemplos:

1.-¿Cuántos segmentos hay en la figura?

Solución

Primero se colocan los números de forma creciente y consecutiva

comenzando de la unidad:

Luego: sumamos los números

1 + 2 + 3 = 6 segmentos en total.

2.- ¿Cuántos Triángulos hay en la siguiente figura?

Solución

Colocamos los números comenzando de la unidad en cada uno de

los espacios de la figura.

12

3

Luego sumamos los números 1 + 2 + 3 + 4+ 5

S =

S =

S = 25 Triángulos en total hay en la figura

3.- ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?

1 2 3 4 5 6 7 8

Solución

Método practico: Contamos los cuadros cada uno dibujado y nos

resulta 8 en total, luego:

1 2 3 4 5

S = 36 Cuadriláteros en total.

Observación: Estos métodos solo se aplican a estos tipos de figuras.


01) Cuantos segmentos hay:

Rpta.:

02) Calcular el número de

segmentos que aparecen en

la siguiente figura

Rpta.:

03) Calcular la cantidad de

segmentos que se pueden

ubicar en la siguiente figura:

Rpta.:

04) Un profesor ofrece a un

alumno de 1-° B un cierto

puntaje por cada segmento

que encuentre en la figura

siguiente:

Rpta.:

05) ¿Cuántos Triángulos hay en la

siguiente figura?

Rpta.:

A

B

C

D

E

FG

HI


siguiente figura?

Rpta.:


figura?

Rpta.:

08) ¿Cuántos cuadriláteros hay en

la figura?

Rpta.:


siguiente figura?

Rpta.:


la siguiente figura?

Rpta.:



Rpta.:

12) Se ofrece una recompensa de

S/. 3 por cada cuadrilátero que

aparezca en la siguiente

figura. ¿Cuánto de

recompensa recibirá el que de

la cantidad exacta de

cuadriláteros?

Rpta.:


siguiente figura?

Rpta.:



Rpta.:


siguiente figura?

Rpta.:

16) ¿Cuántos hexágonos hay en


Rpta.:



Rpta.:



Rpta.:



Rpta.:


siguiente figura?

Rpta.:



siguiente figura?

a) 4 b) 5

c) 6 d) 7

e) 8

02) ¿Cuánto segmentos hay?

a) 9 b) 10

c) 11 d) 12

e) 15

03) ¿Cuántos cuadriláteros hay?

a) 4 b) 3

c) 8 d) 6

e) N.A.

04) ¿cuántos Triángulos hay?

a) 14 b) 26

c) 42 d) 36

e) 24

05) ¿Cuántos cuadriláteros hay?

a) 6 b) 8

c) 9 d) 18

e) 15

06) ¿Cuántos semicírculos hay?

a) 4 b) 8

c) 12 d) 16

e) 24

07) ¿Cuántos Triángulos hay?

a) 26 b) 22

c) 13 d) 17

e) 24

08) ¿Cuántos trapecios hay?

a) 21 b) 17

c) 9 d) 6

e) 7

09) ¿Cuántos segmentos hay?

a) 5 b) 6

c) 7 d) 8

e) 9

10) ¿Cuántos segmentos hay?

a) 30 b) 31

c) 35 d) 42

e) 28

11) ¿Cuántos Triángulos hay en la siguiente figura?

a) 26 b) 22c) 21 d) 20e) 24

12) ¿Cuántos Triángulos hay en la siguiente figura?

a) 3 b) 4c) 5 d) 6e) 7

13) ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?

a) 9 b) 12c) 8 d) 13e) 11


siguiente figura?

a) 6 b) 9

c) 12 d) 15

e) 18

15) ¿Cuantos cuadriláteros hay en


a) 27 b) 30

c) 29 d) 26

e) 28

TEMA: SERIES Y SUCESIONES

Los ejercicios que se presentan en este capítulo consisten un descubrir

cuál es la razón lógica entre un número y otro de la serie o sucesión, que

puede ir aumentando o disminuyendo; y de esa manera saber cual es el

número que continúa en la serie o sucesión.

Las series numéricas son muy diversas. En este capítulo estudiaremos

series crecientes. Con razón de aumento constante y razón de aumento

variable. Mediante la adición y/o la multiplicación.

También estudiaremos series decrecientes, con razón de disminución

constante y variable, mediante la sustracción y/o división.

Para resolver estos ejercicios de series y sucesiones numéricas se

recomienda trabajar de la siguiente manera:

Se tiene: 4; 9; 15; 23; 34; (x)

Hallar “x” en la serie:

Solución

4 9 15 23 34 x

+5 +6 +8 +11 +15

+1 +2 +3 +4

x = 34 + 15 = 49


Hallar el número o la letra de las siguientes sucesiones:

1.) 2; 4; 6; 8; 10; 12; ( )

Rpta.:

2.) 4; 7; 10; 13, 16; ( )

Rpta.:

3.) 2; 5; 9; 14; 20; 27; ( )

Rpta.:

4.) –5; -2; 1; 4; 7, 10; ( )

Rpta.:

5.) C; E; H; L; P; ( )

Rpta.:

6.) 5; 8; 17; 24; ( )

Rpta.:

7.) 2; 4; 7; 28; 33; ( )

Rpta.:

8.) BC; EF; IJ; NÑ; ( )

Rpta.:

9.) 6; 8; 10; 14; 26; ( )

Rpta.:

10.) –1/2; -3/2; -5/2; -7/2; ( )

Rpta.:

11.) 3; 5; 8, 13; 22; ( )

Rpta.:

12.) B, F; E; I; H; L; ( )

Rpta.:

13.) –14; 0; 6; 5; -2; -14; ( )

Rpta.:

14.) 2,27; 2,40; 2,53; 2,66; 2,79;

( )

Rpta.:

15.) –34; -33; -31; -27; -19; ( )

Rpta.:

16.) 1/4; 1/2; 1; 2; 4; 8; 16; ( )

Rpta.:

17.) U; Q; R; Ñ; O; L; ( )

Rpta.:

18.) 3; 5/2; 2; 1; 5/3; 3/4, 5/4; ( )

Rpta.:

19.) 1; 2; 5; 26; ( )

Rpta.:

20.) 6; 0; -2, 5; 27; 71; 145; ( )

Rpta.:

EJERCICIOS PARA LA CASA

1.) 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; ( )

a) 23 b) 19

c) 21 d) 24

e) 26

2.) 1; 3; 6; 10; 15; ( )

a) 17 b) 19

c) 21 d) 20

e) 22

3.) 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; ( )

a) 130 b) 156

c) 256 d) 140

e) 212

4.) Q; O; M; K; H; F; ( )

a) B b) D

c) E d) A

e) C

5.) -7; -2; 5; 14; 25; 38; ( )

a) 42 b) 45

c) 46 d) 48

e) 53

6.) -1/2; 0; 1/2; 1; 3/2; 2; ( )

a) 1/4 b) 1/8

c) 5/2 d) 7/2

e) 1/2

7.) C; E; H; M; ( )

a) V b) W

c) T d) U

e) S

8.) 2; 9; 28; ( )

a) 86 b) 48

c) 36 d) 65

e) 54

9.) 6; 0; -2; 5; 27; 71; 145; ( )

a) 256 b) 258

c) 268 d) 285

e) 276

10.)-12; -6; -3; -3/2; -3/4; ( )

a) 1/8 b) 3/8

c) 7/8 d) -3/8

e) -1/8

11.) -7; -2; 3; 8; 13; ( )

a) 17 b) 19

c) 21 d) 20

e) 18

12.) D; N; G; K; J; H; M; ( )

a) E b) F

c) G d) C

e) D

13.) 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; ( )

a) 26 b) 29

c) 31 d) 33

e) 34

14.) P; N; L; I; G; D; ( )

a) A b) B

c) C d) D

e) E

15.) -3; -6; -18; -72; -360; ( )

a) -720 b) 2160

c) 720 d) -2160

e) 3160

TEMA: REDUCCIÓN A LA UNIDAD

En estos tipos de problemas se caracterizan por que se tratará de

homogenizar lo hecho por cada objeto (caños, grifos) o personajes ya sea en

“un día”, “un minuto”,...etc.

Por ejemplo, si nos dicen que:

“Max hace toda una obra en 5 días”, entonces debemos considerar que

en un día hará: de la obra.

Para conocer mejor el tema veremos el siguiente ejercicio y su forma de

solución:

Dos grifos A y B llenan juntos un tanque en 30 horas. Si el grifo B fuese

de desagüe se tardarían en llenar el tanque 60 horas. ¿En cuanto tiempo

llenará la llave B el tanque; estando este vació?

Solución

Sean “A” y “B” el número de horas que se demoran por separado en

llenar el tanque:

I. Juntos en una hora siendo grifos, lo llenarán:

ambos llenan

II. Si “B” fuera desagüe, llenarán en una hora:

uno llena y el otro quita

Resolviendo : B = 120 Horas.


01) Ana hace un trabajo en 30

días y Any lo hace en 15 días.

¿En cuántos días harán dicho

trabajo juntas?

Rpta.:

02) Un grifo puede llenar un

tanque en 7 horas y un

desagüe lo vacía en 14 horas.

Si ambos se abren a la vez.

¿En qué tiempo se llenará el

tanque?

Rpta.:

03) Panchito puede hacer una

obra en 3 horas, pero si se

junta con Manuel lo haría en

21/8 horas. ¿En cuántas horas

lo hará Manuel sólo?

Rpta.:

04) 1/8 de un tanque lo puede

llenar un grifo en 2 horas y 1/5

del tanque lo puede vaciar un

desagüe en 4 h. Si ambos se

abren a la vez. ¿En qué

tiempo se llenará la mitad del

tanque?

Rpta.:

05) A y B pueden hacer una obra

en 30 días, B y C pueden

hacerlo en 24 días; ¿En qué

tiempo harán la obra juntos?

Rpta.:

06) Dos obreros pueden realizar

un trabajo en 3 días. Si uno de

ellos se demora 8 días más

que el otro trabajando sólo.

¿En qué tiempo haría la obra

el otro sólo?

Rpta.:

07) “A” trabaja 3 veces más rápido

que “B”.Cierto día A y B

trabajan juntos durante 4

horas. Luego B abandona y A

termina el resto de la obra en

2 horas. ¿Cuántas horas

emplearía B trabajando sólo

toda la obra?

Rpta.:

08) José puede pintar un muro de

color rojo en 8 h, mientras que

Christian, podría pintar el

mismo muro de color negro en

12h. Empiezan a pintar juntos

por un extremo diferente, al

encontrarse. ¿Qué parte del

muro estará pintado de color

negro?

Rpta.:


en 10 días. Si después de 8

días de trabajar juntos se

retira A y B termina lo que

falta de la obra en 7 días. ¿En

cuántos días puede hacer

toda la obra A sólo?

Rpta.:

10) Tres grifos A, B y C pueden

llenar un estanque en 40h,

72h y 64h respectivamente.

Estando vació el reservorio,

se abren los grifos A, B, y C

con intervalos de 2h. ¿En

cuántas horas podrán llenar

todo el estanque?

Rpta.:

11) Un caño vierte “x” L en “y”

horas y un desagüe arroja “w”

L en “z” horas. Estando vacío

un depósito y actuando los

dos juntos lo llenan en “T”

horas. ¿Calcular la capacidad

del depósito?

Rpta.:

12) Un recipiente de 720 litros de

capacidad está vacío y

cerrado el desagüe que posee

¿En cuánto tiempo se llenará

si abrimos al mismo tiempo el

desagüe que desocupa 24

litros en 3 min. Y otras dos

llaves que llenarán la primera

72L. En 12 min. Y la otra 36L

en 9 min?

Rpta.:

13) A, B y C hacen una obra en

20; 15 y 12 días

respectivamente. Empiezan la

obra los 3 Y al finalizar el

segundo día se retira A y lo

que faltan lo hacen B y C ¿En

qué tiempo se hará toda la

obra?

Rpta.:

14) Un obrero A demora la mitad

de una obra tanto como otro

obrero B se demora hacer los

5/6 de la misma obra.

¿Cuánto se demora A en

hacer toda la obra, si entre los

dos tardarían 15 días?

Rpta.:

15) Alfredo en “a” días puede

hacer los m/n de una obra,

pero Carlos en n días puede

hacer los m/a de la misma

obra. Si trabajan juntos.

¿Cuántos días demorarán

para hacer toda la obra?

Rpta.:

16) Dos cirios de igual altura se

encienden simultáneamente el

primero se consume en 4h y el

segundo en 3h. ¿Cuántas

horas después de haber

encendido los cirios la altura

del primer es el doble de la del

segundo?

Rpta.:

17) Un caño “A” llena un tanque

en 3 horas y otro caño “B” lo

desaloja en 12 horas,

funcionando juntos. ¿En qué

tiempo se llenará el tanque?

Rpta.:

18) Un hombre puede hacer una

obra en 15 días, si le ayudan

dos mujeres acabarían en 10

días. Si trabajan sólo las dos

mujeres durante 5 días. ¿Qué

parte de la obra harán?

Rpta.:

19) Fanny puede hacer una obra

en 8 días y Lewis la misma

obra en 12 días, Lewis

empieza la obra y 2 días más

tarde se incorpora Fanny,

terminando juntos la obra. ¿En

qué tiempo se terminó la

parte que falta?

Rpta.:


en 30 días; A y C pueden

hacer la misma obra en 24

días. A, B y C pueden hacerla

en 20 días; ¿En cuánto tiempo

termina A sólo?

Rpta.:


01) “A” puede hacer una obra en

20 días y “B” lo podría hacer

en 60 días. Si A y B trabajan

juntos ¿En cuántos días lo

podrían terminar?

a) 10 b) 12

c) 15 d) 18

e) 9

02) Dos obreros pueden realizar

un trabajo en 15 días. Si uno

de ellos se demora 16 días

más que el otro trabajando

solo. ¿En qué tiempo haría

la obra el otro solo?

a) 40d b) 35d

c) 16d d) 24d

e) 18d

03) Ana hace un trabajo en 15

días y Eva lo hace en 30

días. ¿En cuantos días

harán dicho trabajo juntas?

a) 15d b) 10d

c) 2d d) 3d

e) 4d

04) Panchito puede hacer una

obra en 3h, pero si se junta

con Dani lo haría en 15/8 h.

¿En cuántas horas lo hará

Dani sólo?

a) 8h b) 5h

c) 7h d) 4h

e) 6h

05) Un depósito puede llenarse

por un tubo en 2h y por otro

en 3h y vaciarse por uno de

desagüe en 4h. El depósito

se llenará en 3 tubos

abiertos en:

a) 12 / 7 h b) 6 h

c) 11 / 7 h d) 7 h

e) 2 h

06) Un muchacho que camina

sobre una escalera detenida

se demora en llegar arriba

90 seg. Cuando esta bajo

sobre la escalera en

movimiento se demora en

llegar arriba 60 seg. ¿Qué

tiempo demorará en llegar

arriba si camina sobre la

escalera en movimiento?

a) 16seg. b) 26 seg.

c) 36 seg. d) 46 seg.

e) 56 seg.

07) Un grifo puede llenar tanque

en 6 horas y un desagüe lo

vacía en 8 horas. Si ambos

se abren a la vez. ¿En que

tiempo se llenará el tanque?

a) 12h b) 15h

c) 24h d) 18h

e) 30h

08) 1/3 de una obra la puedo

hacer en 3 días y mi

ayudante puede hacer 1/2

de la obra en 6 días. Si

trabajamos juntos ¿En qué

tiempo haremos la obra?

a) b)

c) d)

e) más de 6 días

09) Un caño “A” llena un tanque

en 2h y el otro caño “B” lo

desaloja en 6h, funcionando

juntos ¿En qué tiempo se

llenará el tanque?

a) 7h b) 6h

c) 5h d) 4h

e) 3h

10) Jhon puede hacer una obra

en 12 días, si le ayudan dos

mujeres acabarían en 8

días. Si trabajan sólo las dos

mujeres durante 6 días

¿Qué parte de la obra

harán?

a) 1/3 b) 1/2

c) 1/4 d) 1/6

e) 1/8

11) A y B pueden hacer una

obra en 20 días, B y C

pueden hacer la misma obra

en 15 días; A y C lo pueden

hacer en 12 días ¿En qué

harán la obra juntos?

a) 5 días b) 6 días

c) 10 días d) 8 días

e) 4 días

12) 1/5 de un tanque lo puede

llenar un grifo en 2 horas y

1/3 del tanque lo puede

vaciar un desagüe en 4

horas. Si ambos se abren a

la vez. ¿En qué tiempo se

llenará la mitad del tanque?

a) 30h b) 60h

c) 120h d) 45h

e) 15h

13) Julio demora en hacer la 3ra

parte de una obra tanto

como Iván se demora en

hacer los 7/9 de la misma

obra. ¿Cuánto tiempo

tardaría Julio en hacer toda

la obra, si entre los dos

tardan 27 días?

a) 30 b) 40

c) 60 d) 75

e) 90

14) Oscar, Carlos y Miguel

hacen una obra en 12, 8 y 6

días respectivamente.

Empiezan la obra los tres y

al finalizar el segundo día se

retira Oscar y lo que falta lo

hacen Carlos y Miguel. ¿En

qué tiempo se hará toda la

obra?

a) 22/7d b) 23/9d

c) 20/7d d) 23/7d

e) 22/9d

15) A y B pueden hacer una

obra en 20 días; A y C

pueden hacerla en 18 días.

A, B y C pueden hacerla en

12 días, ¿En cuántos días

“A” hace sólo toda la obra?

a) 20 b) 30

c) 35 d) 45

e) 50

TEMA: PLANTEAMIENTO CON FIGURAS

Este tema lograra desarrollar su capacidad visual en los alumnos; para

esta se presentan tres formas y casos:

Diferencias Gráficas

¿Cuál de las siguientes figuras no guardan con las demás?

Rpta.:

Rpta.:

Rpta.:

Rpta.:

1

2

3

4

A B C D E

Rpta.:

Rpta.:

Rpta.:

Rpta.:

Rpta.:

5

6

7

8

9

A B C D E

Rpta.:

Rpta.:

Rpta.:

Rpta.:

10

11

K T H ZI 12

13

Rpta.:

Rpta.:

Rpta.:

Rpta.:

Rpta.:

14

15

16

17

18

Rpta.:

Rpta.:

19

20

ANALOGÍAS DE FIGURAS

Si la figura I es a la fig. II; ¿ la fig. III a cuál de las siguientes figuras corresponde?

Rpta.:

I II III (a) (b) (c) (d)

Rpta.:


Rpta.:


Rpta.:


1

I II III a ( ) dcb( ) ( ) ( )

2

3

4

Rpta.:


Rpta.:


Rpta.:


Rpta.:

5

6

7

8


Rpta.:

Rpta.:


Rpta.:


Rpta.:

9

10

I II III a ( ) dcb( ) ( ) ( )

11

12


Rpta.:


Rpta.:


Rpta.:


16

Rpta.:

13

14

15


Rpta.:


Rpta.:


Rpta.:


Rpta.:

17

18

19

20

RAZONAMIENTO ABSTRACTO

En los grupos de tres figuras hay una característica común. En los grupos respectivos de 4 figuras encontrar aquélla que tenga dicha característica.

Rpta.:


Rpta.:


Rpta.:


Rpta.:

1

I II III a ( ) dcb( ) ( ) ( )

2

3

4


Rpta.:


Rpta.:


Rpta.:


Rpta.:

5

6

7

8


Rpta.:

Rpta.:


Rpta.:


Rpta.:


9

10

I II III a ( ) dcb( ) ( ) ( )

11

12

Rpta.:


Rpta.:


Rpta.:


Rpta.:


13

14

15

16

Rpta.:


Rpta.:


Rpta.:


Rpta.:

17

18

19

20


(1) ¿Qué figura corresponde con los demás?

(2) ¿Qué figura no corresponde con las demás?



a b c d e) ) ) ) )

a b c d e) ) ) ) )

a b c d e) ) ) ) )


(6) ¿Qué figura falta?


a b c d e) ) ) ) )

a b c d e) ) ) ) )

?a b c d e) ) ) ) )


?

a b c d e) ) ) ) )


?a b c d e) ) ) ) )



?

a b c d e) ) ) ) )

a b c d e) ) ) ) )

a) b) c) d) e)


(13) ¿Qué figura sigue?

: ::

: ?

:

: ?::

a b c d e) ) ) ) )




?

a b c d e) ) ) ) )

?

a b c d e) ) ) ) )

a b c d e) ) ) ) )

(17)¿Qué figura no corresponde con las demás?

a) b) c) d) e)

?

a b c d e) ) ) ) )

MISCELANEAS DE PROBLEMAS

01) Una caja de herramientas en

un taller pesa 55 Kg. más los

6/11 de su peso total.

¿Cuánto pesa la caja de

herramientas?

a) 119 Kg. b) 127 Kg.

c) 121 Kg. d) 126 Kg.

d) 133 Kg.

02) Si L = I y

, hallar :

a) 4230 b) 3420

c) 5430 d) 2430

e) 4320

03) Si: m n = m + n2; calcular

5 3

a) 11 b) 10

c) 13 d) 12

e) 14

04) ¿Cuántas figuras de cuatro

lados hay en el siguiente

gráfico?

a) 4 b) 6

c) 3 d) 5

e) 2

05) ¿Qué número sigue en la

siguiente sucesión?

30; 0; -20; -20; 10; …

a) 30 b) 50

c) 40 d) 80

e) -20

06) Dos grifos A y B llenan juntos

un tanque en 30 horas. Si el

grifo B fuese de desagüe se

tardarían en llenar el tanque

60 horas. ¿En cuánto tiempo

llenará la llave BB el tanque,

estando esté vacío?

a) 100 h b) 110 h

c) 120 h d) 80 d

e) 90 h

07) Una piscina tiene agua hasta

los 2/5 de su capacidad total.

Si extraemos 80 litros en una

cubeta, el nivel de agua

disminuye hasta los 2/7.

¿Cuántos litros de agua

había al inicio?

a) 120 L b) 180 L

c) 260 L d) 140 L

e) 280 L

08) Si , entonces

es:

a) 12 b) 18

c) 17 d) 13

e) 23

09) Si hallar

el valor de la expresión E si:

a) 1156 b) 618

c) 725 d) 846

e) 1256

10) ¿Cuántos triángulos hay en


a) 5 b) 3

c) 4 d) 8

e) 10

11) -11; 0; 11; 22; 33;…

¿Qué número sigue en la

sucesión presentada?

a) -35 b) 44

c) 20 d) 50

e) -33

12) Un caño llena un tanque en

cierto tiempo y un desagüe lo

vacía en la mitad del tiempo.

Si el tanque estuviera lleno

en sus 2/3 partes y se abriera

simultáneamente caño y

desagüe, se vaciaría en 8

horas. ¿En cuánto tiempo lo

llenaría si el caño trabajaría

solo?

a) 8 h b) 6 h

c) 12 h d) 9 h

e) 11 h

13) En un colegio mixto hay 800

alumnos entre hombres y

mujeres. Si se sabe que 3 de

cada 4 alumnos son mujeres,

y de estas 2 de cada 5

gustan escuchar música

cuando estudian. ¿Cuántas

mujeres estudian en silencio

si se sabe que todas

estudian?

a) 360 b) 240

c) 320 d) 300

e) 260

14) Si y

, hallar

a) 55350 b) 44440

c) 62620 d) 7171

e) N.A.

15) es un operador

rectángulo, de modo que:

x = 7x – 25 ; si x 4

x = 25 – 7x ; si x 4

Calcular el valor de:

P = 2 + 5

a) 114 b) 108

c) 96 d) 101

e) 122

16) completar la serie:

8; 11; 15; 27; 66; 169;…

a) 361 b) 413

c) 397 d) 427

e) 512

17) ¿Cuántos cuadriláteros hay

en la siguiente figura?

a) 15 b) 13

c) 11 d) 21

e) 6

18) Tres tuberías A, B y C

funcionando juntas pueden

llenar la mitad de un tanque

en 4 horas. Si funcionando

sólo A y B pueden llenar todo

el estanque en 10 horas y si

funcionan B y C lo llenan en

15 horas, ¿En cuántas horas

llenará la tercera parte del

tanque la tubería B si

funciona sola?

a) 8 h b) 9 h

c) 6 h d) 7 h

e) 10 h

19) Se tiene un depósito en una

mezcla de 90 litros de leche y

30 de agua. Si luego se

extraen 12 litros de mezcla y

se reemplazan por agua:

¿Cuántos litros de leche hay

en la nueva mezcla?

a) 90 b) 60

c) 30 d) 81

e) 80

20) Si: ; A N;

calcular A +N +A

a) 25 b) 26

c) 22 d) 24

e) 28

21) Si: x @ y = 3x + y3

Calcular m en:

a) 6 b) 4

c) 2 d) 8

e) 10

22) ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

B

a) 18 b) 20

c) 4 d) 8

e) 16

23) ¿Qué letra sigue?

X; R; N; J; G;…

a) F b) D

c) C d) E

e) B

24) El caño de suministros A de

la figura mostrada llena el

tanque en 12 horas, estando

cerrado el caño de desfogue

B. el caño B quita la parte

que le corresponde en 10

horas, estando cerrado

A ,estando vació el tanque se

abre los 2 caños a la vez.

¿En qué tiempo se llenará el

tanque?

a) 40 h b) 36 h

c) 42 h d) 46 h

e) 44 h

25) Un vendedor de periódicos

tiene una cierta cantidad de

ejemplares de “El Clarín”, de

la que vende la tercera parte.

Si a media mañana vende las

2/5 partes del resto

habiéndole quedado 72

ejemplares: ¿Cuántos de

éstos tenía al inicio?

a) 120 b) 140

c) 160 d) 180

e) 200

26) Si: A – L = 8

C

ED

A

h

h3

Hallar:

a) 110 b) 101

c) 182 d) 100

e) 38

27) ¿Qué letra sigue?

B; E; J; P; ….

a) X b) Y

c) A d) Z

e) W

28) ¿Cuántos cuadriláteros hay

en la siguiente figura?

a) 25 b) 12

c) 60 d) 36

e) 50

29) Si se sabe que:

A B = AB - AB

Hallar:

12 4

15

a) 45 b) 15

c) 5 d) 3

e) 9

30) Dos operarios A y B se

comprometieron a realizar un

trabajo en 40 horas, al

empezar la novena hora de

trabajo se retira A, y B lo

continúa, terminándolo en 12

31) Horas más de lo estipulado

en el compromiso. Si en

lugar de B, A lo hubiese

continuado solo, ¿Cuántas

horas adicionales de lo

estipulado en el compromiso

habría empleado?

a) 85 horas; 20 minutos

b) 117 horas; 20 minutos

c) 117 horas; 40 minutos

d) 117 horas; 15 minutos

e) 85 horas; 40 minutos

32. En un examen: Gustavo obtuvo

más puntaje que Armando

Germán menos puntaje que

Armando. Si Gustavo obtuvo

menos puntaje que Daniel.

¿Quién es la que obtuvo el

menor puntaje?.

Rpta.:

33. En una familia de cuatro

hermanas: Sonia es mayor

que Ana. Miriam es menor

que Jenny. Si Sonia es menor

que Miriam. ¿Quién es la

menor de todas?

Rpta.:

34. En un edificio de cuatro pisos

viven cuatro familias, una en

cada piso. La familia Martinez

vive en un piso más arriba

que la familia Ruiz. La familia

García vive un piso más

abajo que la familia Ruiz. Si

la familia Villar vive un piso

más arriba que la familia

Martinez. ¿En qué piso vive

la familia Ruiz?

Rpta.:

35. Una compañía de Seguros,

instalada en un edificio de

cuatro pisos, tiene cuatro

secciones, uno en cada piso

diferente. Cobranza está en

un piso más abajo que

Administración. Si

Contabilidad está un piso

más arriba que Créditos, ¿en

qué piso se encuentra

Créditos?

Rpta.:

36. En un edificio de cuatro pisos

funciona el Instituto Delta,

ofreciendo cuatro carreras

profesional, las cuales se

ubican una en cada piso.

Computación está un piso

más arriba que

Administración, Enfermería

se encuentra un piso más

abajo que Administración. Si

Secretariado está un piso

más arriba que Computación.

¿en qué piso se encuentra

Enfermería?

Rpta.:

37) Figuras Problemas Figuras Respuesta

a b c d e


a b c d e


a b c d e


a b c d e


a b c d e

Raz. matemático ii parte

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