BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE

PUEBLA

FACULTAD DE INGENIERIA

PROGRAMA DE ASIGNATURA CORRESPONDIENTE AL PLAN DE ESTUDIOS 2013…

NOMBRE DE LA ASIGNATURA: ELECTROTÉCNIA I

NIVEL EDUCATIVO:

FORMATIVO

CÓDIGO DE LA ASIGNATURA:

IME 304

PRE-REQUISITOS:

ELECTICIDAD Y MAGNETISMO

HRS. TEÓRICAS/SEM: 3 HRS. PRÁCTICAS/SEM: 2 CRÉDITOS: 8

OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA:

Conocer los conceptos teóricos de los elementos y leyes que rigen el comportamiento de los fenómenos eléctricos y magnéticos, de los sistemas industriales donde los requiera.

HABILIDADES GENERALES A DESARROLLAR:

Desarrollar habilidad en el diseño de circuitos básicos y utilización de los principios y leyes de funcionamiento de los circuitos eléctricos.

ACTITUDES GENERALES A DESARROLLAR:

Proporcionar los conocimientos teórico-prácticos para desarrollar y diseñar circuitos eléctricos básicos y complejos.

UNIDAD: 1

ANÁLISISDE CIRCUITOS CON FUENTES DE C. A.

OBJETIVO: Saber diferenciar un circuito resistivo de un capacitivo e inductivo ó la combinación de los tres

CONTENIDO DE LA UNIDAD Tiempo de

impartición (hrs.)

HT HP

1.1 Introducción

1.2 Ley de Ohm en circuitos de c.a.

1.3 Convenios sobre signos y sentidos de circuitos en c.a.

1.4 Ecuación general del circuito RLC

1.5 Reactancia inductiva

1.6 Reactancia capacitva

1.7 Impedancia

1.8 Circuito RL

1.9 Circuito RC

1.10 Circuito RLC

1.11 Estudio del régimen transitorio en el circuito RLC

1.12 Leyes de Kirchhoff en regímenes senoidales

1.13 Redes de corriente alterna RL, RC y RLC en paralelo

HORAS TOTALES: 15 3

UNIDAD: 2

TEOREMAS DE REDES EN C.A. Y POTENCIA.

OBJETIVO : Conocer el triángulo de potencias para identificar las diferentes potencias representadas en el y la aplicación de los teoremas en redes

CONTENIDO DE LA UNIDAD Tiempo de

impartición (hrs.)

HT HP

2.1 Teorema de la superposición

2.2 Teorema de Thevenin

2.3 Teorema de Norton

2.4 Teorema de la máxima transferencia de potencia

2.5 Teorema de Millman

2.6 Teorema de sustitución

2.7 Teorema de reciprocidad

2.8 Teorema de compensación

2.9 Potencia instantánea

2.10 Potencia media

2.11 Potencia en circuitos simples de corriente alterna

2.12 Potencia en circuitos RLC

2.13 Componentes activa y reactiva de la corriente

2.14 Potencia aparente, activa y reactiva

2.15 Triángulo de potencias

2.16 Sentidos relativos a las potencias activas y reactivas

2.17 Potencia compleja

2.18 Relaciones entre potencias generadas y potencias consumidas

HORAS TOTALES: 15 3

UNIDAD: 3

CIRCUITO RL, RC Y RLC

OBJETIVO : Identificar cuando un circuito es amortiguado, sobreamortiguado y críticamente amortiguado y calcular sus constantes de tiempo.

CONTENIDO DE LA UNIDAD Tiempo de

impartición (hrs.)

HT HP

3.1 Introducción

3.2 Circuito RL simple y la constante de tiempo

3.3 Circuito RL más general

3.4 Circuito RC simple y la constante de tiempo

3.5 Circuito RC más general

3.6 Circuitos RL y RC generales

3.7 Circuitos RLC en serie y paralelo sin fuentes

3.8 Circuito RLC en paralelo sobreamortiguado

3.9 Circuito RLC con amortiguamiento crítico

3.10 Circuito RLC en paralelo subamortiguado

3.11 Respuesta completa del circuito RLC

HORAS TOTALES: 10 2

UNIDAD: 4

SERIES DE FOURIER, TRANSFORMADA DE FOURIER Y TRANSFORMADA DE LAPLACE.

OBJETIVO : Conocer y diferenciar las series de fourier, de las transformadas de fourier y Laplace.

.

CONTENIDO DE LA UNIDAD Tiempo de

impartición (hrs.)

HT HP

4.1 Forma trigonométrica de la serie de Fourier.

4.2 Respuesta completa a funciones de excitación periódicas.

4.3 Forma compleja de las serie de Fourier.

4.4 Definición de la transformada de Fourier.

4.5 Propiedades de la transformada de Fourier.

4.6 Pares de transformadas de Fourier para algunas funciones del tiempo simple.

4.7 La función del sistema y la respuesta en el dominio de la frecuencia.

4.8 Significado físico de la función del sistema.

4.9 Definición de la transformada de Laplace.

4.10 Transformada de Laplace de lagunas funciones del tiempo simple.

4.11 Problemas básicos de la transformada de Laplace.

4.12 Aplicación al análisis de circuitos de la transformada de Fourier y Laplace.

HORAS TOTALES: 15 3

UNIDAD: 5

CIRCUITOS CON ACOPLAMIENTO MAGNÉTICO

OBJETIVO : Identificar un transformador con núcleo de aire y de hierro y características propias de una maquina estática ó transformador.

CONTENIDO DE LA UNIDAD Tiempo de

impartición (hrs.)

HT HP

5.1 Autoinducción e inducción

5.2 Inducción mutua

5.3 Coeficiente de acoplo (K)

5.4 Circuitos con acoplo magnético

5.5 Regla de los puntos para circuitos con acoplo magnético

5.6 Transformador lineal

5.7 Transformadores con núcleo de hierro

5.8 Transformadores con núcleo de aire

5.9 Circuito equivalente

HORAS TOTALES: 15 3

UNIDAD: 6

CIRCUITOS POLIFÁSICOS

OBJETIVO: Identificar y conocer un circuito monofásico, circuito bifásico, circuito trifásico balanceado y circuito trifásico desbalanceado.

CONTENIDO DE LA UNIDAD Tiempo de

impartición (hrs.)

HT HP

6.1 Circuitos monofásicos (dos hilos)

6.2 Circuitos bifásicos (tres hilos)

6.3 Circuitos trifásicos balanceados

6.4 Circuitos trifásicos desbalanceados

6.5 Circuitos trifásicos en conexión estrella

6.6 Circuitos trifásicos en conexión Delta

6.7 Problemas de aplicación

6.8 Circuitos monofásicos (dos hilos)

6.9 Circuitos bifásicos (tres hilos)

HORAS TOTALES: 15 3

HT HP

HORAS TOTALES DE LA ASIGNATURA: 80 16

CRITERIOS DE EVALUACIÓN.

Exámenes parciales: 70%

Tareas: 10%

Trabajos y practicas: 10%

Proyecto final: 10%

100%

TOTAL:

ACTIVIDADES GENERALES DE APOYO AL CURSO RECURSOS NECESARIOS

Investigar sobre las diferentes aplicaciones de los circuitos eléctricos

Solución de problemas Calcular y diseñar circuitos utilizando

Pspice, y visual basic

Elementos resistivos, inductivos y capacitivos. Programas Pspice, y visual basic Cañones y proyectores.

REQUISITOS DE ACREDITACIÓN:

Por reglamento de “ingreso, permanencia y egreso de los alumnos de la institución” Estar inscrito oficialmente Asistir como mínimo al 80%de las sesiones para tener derecho a examen

ordinario. Acreditar la materia con un mínimo de 6(seis).

BIBLIOGRAFÍA:

ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN INGENIERÍA Hayt William H. Jr y Kemerly Jack E. Ed. Mc Graw-Hill (6° edición) INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE CIRCUITOS Scott Donadd E. Ed. Mc Graw-Hill CIRCUITOS ELÉCTRICOS Joseph A. Edminister Ed. Mc Graw-Hill (primera edición) CIRCUITOS ELÉCTRICOS (Introducción al análisis y diseño) Dorf / Svoboda Ed. Alfaomega 3° edición.

ANÁLISIS INTRODUCTORIO DE CIRCUITOS

Boylestad Reobert L. Vicente Galceran Escobet Ed. Trillas ANÁLISIS BÁSICO DE CIRCUITOS Johnson David E. Hilburn John L. Johnny R. Ed. Hispanoamericana, S.A. ELECTRICAL ENGINEERING CIRCUITS Skilling Hugh Hildrteh Ed. John Wiley y sons

TITULAR (RESPONSABLE) DE LA ASIGNATURA:

Ing. Genaro Campos Castillo

FECHA DE ELABORACIÓN Y AUTOR(ES) DEL PROGRAMA:

. 30 de Noviembre de 2003

Ing. Genaro Campos Castillo Ing. Carlos Morán Ramírez Ing. Victorino Turrubiates Guillén

CORRIENTE ALTERNA

Ley de ohm

ZIV

Donde:

V = Voltaje

Z = Impedancia

I = Corriente

XRZ R = Resistencia

X = reactancia

jwLx

jwcx

L

c

1

En corriente alterna manejamos diferentes sistemas:

Sistema 3 (trifásico)

* 3 5 hilos (f1, f2, f3, neutro y tierra física)

* 3 4 hilos (f1, f2, f3, neutro)

* 3 3 hilos (f1, f2, f3)

Sistema 2 (bifásico)

* 2 3 hilos

* 2 2 hilos

Sistema 1 (monofásico)

* 1 3 hilos

* 1 2 hilos

XL = reactancia inductiva y Xc = reactancia capacitiva, que se representan por las fórmulas

siguientes:

jwLx

jwcx

L

c

1

Para analizar circuitos en CA necesitamos tener conocimiento de los números complejos y

de sus distintas operaciones. Al final hay un pequeño repaso para quien haya olvidado

trabajar con estos números.

Ejemplo:

Esta es la forma de operar en un sistema de c.a.(corriente alterna) para obtener reactancia

inductiva y Capacitiva.

Valor de la reactancia capacitiva:

Valor de la reactancia inductiva:

tsenV 50020

H1010

mmf10

2.0)10)(500(

110

jj

Xc

5000)10)(500( jjXl

Ejercicio:

Del Siguiente circuito calcular:

a) La Zeq del circuito

b) La IT del circuito

c) Trazar el triangulo de potencias

a)

b)

VARsenQ

WattsP

VAVIS T

5.6)3.9(28.40

75.39)3.9(cos28.40

3.928.40)7.2002.2)(3020(*

C)

5 8

4

8j

4j

V3020

Ampj

VI

IZV

jjZ

jjj

jj

T

Teq

eqT

71.2002.258.174.9

3020

*

58.174.958.174.45

58.174.443.185)88()44(

)88)(44(

VAS 28.40VARQ 5.6

WattsP 75.39

3.9

Ejemplo:

Del siguiente circuito calcular:

a) Las corrientes de malla

b) Dibujar su diagrama vectorial

c) Calcular la potencia de cada una de las fuentes

ampj

jI

ampj

jI

jjj

jjjjj

jjjjj

j

jjjjjjj

I

I

I

j

jj

jj

IjI

IIjII

MP

IjIj

IIIj

MP

IIjIj

IIIIjIj

MP

º07.9587.5173985

5850500

º14.1301.9173985

5009000

17505250)7)(59)(100()50)(53)(7(

5850500)53)(100)(311()50)(7)(7()311)(50)(12(

5009000)50)(53)(311()311)(59)(100(

173985

)53)(53)(311()59)(7)(7()311)(59)(12(

0

º050

º0100

31107

05953

75312

3...........0)311(7

043)(7

3/

2..............º050)59()53(

0º0506))(53(

2/

1..........º01007)53()12(

0)(7))(53()42(º0100

1/

22

11

3

2

1

3

2

1

31

3313

21

212

321

31211

100 0º V

10

3

6

50 0º V

J4

-j5

7

4 J3

85.29189.35

º07.955.293)º07.9587.5)(º050(*

82.24040.877

º14.13901)º14.1301.9)(º0100(*

º39.2853.5173985

17505250

2

1

33

j

VAVIS

j

VAVIS

Potencias

ampj

jI

Ejercicio:

Teniendo en cuenta el siguiente circuito, calcular:

a) Calcular la IT

b) Calcular la potencia que aporta la fuente

c) Trazar el triangulo de potencias e indicar si la I esta atrasada o adelantada respecto al

voltaje

a)

b)

c)

4

01006j

3j

1200)87.36(2000

99.1599)87.36(cos2000

87.36200012001600)12816)(0100(

121634

0100

34

*

senQ

WattsP

VAjjVS

VIS

jjR

VI

jZ EqT

La corriente se encuentra adelantada

Ejercicio:

Calcular

a) La IT del circuito

b) Diagrama fasorial e indicar si está atrasada o adelantada la I con respecto al voltaje

c) Calcular la IT por reducción, mallas y por admitancias

a)

86.36

VARQ 1200

WattsP 99.159910

VAS 2000

10

6j

8

4j

3

050

VARsenQ

WattsP

VAjVS

VIS

93.249)43.18(56.790

01.750)43.18(cos56.790

43.1856.790)55)(050(

*

51543.1881.15

86.36568

050

13.531043

050

0510

050

321

3

2

1

jIIII

jI

jI

R

VI

RIV

T

b) la corriente se encuentra atrasada

c) por reducción

Por mallas (I1=IT)

0)211()43(

0))(43()68(

/

0)43()413(10

0))(43()(10

/

0501010

0)(10050

/

32

233

3

321

3212

2

21

21

1

IjIj

IIjIj

MP

IjIjI

IIjII

MP

II

II

MP

5.225.1

5.525.7

5.525.12

0

0

050

)211()43(0

)43()413(10

01010

3

2

1

321

321

321

jI

jI

jI

IjIjI

IjIjI

III

Por admitancias:

ZY

1 1.0

10

11 Y 16.012.013.532.0

13.535

1

43

12 j

jY

43.18

VAS 56.790

WattsP 01.750

VARQ 93.249

Ampjj

I

jj

j

jjj

jj

T 5153

050

3)2410(

)24)(10(

24)68()43(

)68)(43(

06.008.09.361.09.3610

1

68

13 j

jY

435.1832.01.00306.008.016.012.01.0 jjjYT

Z

VI

ZY

1

YZ

1 51543.188.15)435.1832.0)(050( jVYI

IMPEDANCIA COMPLEJA Y NOTACIÓN FASORIAL

Se analiza el siguiente circuito:

valor eficaz

2

mRMS

VV por ejemplo si mV =1 voltsVRMS 7071.0

2

1

jwt)( mVtV de a cuerdo a Euler senwtjVwtVV mmm cosjwt

si aplicamos la 2° ley de kirchoff al circuito anterior 0)(

)(jwt dt

tdiLtRVm

dt

diLtVL )(

jwt)()( mV

dt

tdiLtRi (1) esta ecuación es de 1° orden y su deducción

particular es de la forma jwt)( Keti (2). sustituyendo 2 en 1 tenemos:

jwtjwtjwt eVjwLkeRke m de donde jwlR

Vk m

e jwt)( e

jwlR

Vti m

La relación entre las funciones de tensión en intensidad de corriente, pone de manifiesto

que la impedancia (z) es un número complejo cuya parte real es “R” y la imaginaria “wL”

jwlR

ejwlR

V

eV

ti

tvZ

m

m

jwt

jwt

)(

)(

La relación entre las funciones de tensión e intensidad de corriente, pone de manifiesto que

la impedancia (Z) es un número complejo, cuya parte real es “R” y la imaginaria es “wL”.

Ejercicio:

Hallar la intensidad de la corriente de mallas I 3

P/M1

0)(55º030 211 IIJI

º0305)55( 21 IJIJ (I)

P/M2

0)(6)32()(5 32212 IIIJIIJ

06)88(5 321 IIJIJ (II)

P/M3

0º0204)(6 323 III

º020106 32 II (III)

La matriz queda como:

+

-

20V

2

j5

4j 5

6

+

-

30V

5

1I 2I 3I º0 º0

La solución es:

AmpereJI 77.110.31

AmperejI 11.132.12

AmperejI º82.15037.167.020.13

Este mismo ejercicio se puede resolver por el siguiente método:

Hallar la intensidad de la corriente de malla I 3

P/SM1

0º030º0204)32()32(555 332321 IIjIjIII

º010)311()37(5 321 IjIjI (I)

P/SM2

0º0306)32()32(555 332321 IIjIjIII

º030)37()313(5 321 IjIjI (II)

P/SM3

0º0305555 1321 IjIII

º03055)55( 321 IIIj (III)

La matriz queda como:

+

-

20V

2

j5

4j 5

6

+

-

30V

5

º020

0

º030

1060

6885

0555

3

2

1

I

I

I

jj

jj

º0 º0

030

º030

º010

5555

373135

311375

3

2

1

I

I

I

j

jj

jj

La solución es:

3I =-1.204 + J0.67 = 1.37 150.9 Ampere

TEOREMA DE THEVENIN Y NORTON EN C.A

Un circuito en el cual todas las impedancias permanecen fijas, se pueden resolver tanto por

el método de las corrientes de malla, también conocido como la 2ª LKV. También se puede

resolver por el método de las tensiones en los nodos conocida como la 1ª LKV.

Considerando el siguiente circuito.

En los que Z 1 , Z 2 se pueden conectar entre los puntos A y B o grupo “A”. Alcanzar el

circuito obtendremos admitancias o impedancias diferentes en consecuencia para este caso

en particular habrá 3 soluciones diferentes.

GRUPO A GRUPO B

Z A

Z B

Z C

Z D Z 1 Z 2 V S

La mayor parte del trabajo que es muy engorroso para este tipo de circuitos se puede

sustituir el circuito “A” por un circuito equivalente que tiene los mismos efectos de

circuitos “A” sobre la carga que el circuito equivalente.

TEOREMA DE THEVENIN

Establece que cualquier circuito Lineal activo con terminales de salida A y B, este se puede

sustituir por un equivalente como el circuito que continuación se indica.

Pasos para la solución de un circuito de Thévenin.

1º Paso: Obtener la Z eq entre A y B = Z th

2º Paso: Obtener el V th = V AB

Calcular el equivalente en Thévenin del siguiente circuito

A

B

Circuito

Lineal

Activo V th

Z th Z ac arg

A

B

1º pasó para obtener la Z th entre A y B

Si el circuito original tiene fuentes de voltajes, estas se colocan en corto circuito y si

hay fuentes de Is independientes se abren para facilitar su análisis.

Nota: Si por alguna razón hay fuentes dependientes de Vs e Is este método no

Aplica.

4507.755

555

555

i

jj

jjZ eq

Zequivalente

Regresando al circuito original y calculando el voltaje

Zcarga

j5

5

+

-j5

+

-

50

j5

5

+

-j5

A

B

Zeq

5-5j

º0

j5

5

+

-j5

50 º0

A

j5

5

+

-j5

Calculando el Vab por medio de divisor de voltaje tenemos:

voltsj

V 457.705

)º050)(55(2

El circuito queda como:

TEOREMA EN NORTON

Colocando el circuito en corto circuito

Por análisis tenemos que las impedancias en paralelo con un corto circuito son iguales a

cero de tal modo el circuito queda de la siguiente manera:

B

70.5 º45

A

B

5-j5

50 º0

A

j5

5

Calculando por ley de Ohms

AmperejR

VI º9010

5

º050

El circuito equivalente en norton queda como:

Calcular:

Colocando las fuentes en cortocircuito, tenemos:

+

-j5

50 º0

B

A

B

º9010

5+ -

10

+

-

+

-j4

3

A

B

20 º0

10 º45

5

10+

-j4

3

A

B

5+ -

10

+

-

+

-j4

3

Calculando la Zeq:

15.23º03.3667.3413

)10)(43(1 j

j

jZeq

15.28515.23 jjZeq

Regresando al circuito original y calculando la Icc (corriente de corto circuito) tenemos que

Icc = I2

Resolviendo por mallas

P/M1

0)(10º020)43( 211 IIIj

º02010)413( 21 IIj (I)

P/M2

05º4510º020)(10 212 III

66.2873.141510 21 II

Resolviendo el sistema de ecuaciones

66.2873.14

º020

1510

10413

2

1

I

Ij

Solución:

2I = ccI =0.2296-j1.3668=1.38 Ampere46.80

+

-j2.15

8

A

B

20 º0

10 º45

1I 2I

El equivalente en Norton es:

TEOREMA DE MAXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA

Calcular la ZL con la que obtendremos la máxima transferencia de potencia.

¿Qué potencia máxima transfiere la fuente al circuito?

1º.- Para calcular la ZL entre los puntos A y B se cortocircuitan las fuentes de voltaje y las

de corriente se abren en caso de existir en el circuito.

A

B

º46.8638.1 +

-j2.15

8

º9050

A

B

Zl+

-j2

2

j4

3

2

+

-

4.05.1º48.1456.1

432

4321 j

j

jZ eq

118.0137.1º96.514.1

224.05.1

22)4.05.1(j

jj

jjZ eq

118.0137.1 j

Regresando al circuito original

+

-j2

2

j4

3

2

Zeq1

B

+

-j2

2

j0.4

1.5

A

Zeq

A

1º por divisor de voltaje

2º Calculando el valor de la fuete de thévenin del circuito original conocer el Vab

6.05.2º67.1362.2

25

22)43(

j

jjZ eq

Utilizando divisor de voltaje

volts

jV º8309329

6.05.4

º90506.05.22

Calculando la potencia de la carga queda como

VA

Z

vS

VIS

º1627.73796.514.1

º93.8329

*

22

+

-j0.6

2.5

2

+

-

º9050

B

Zl+

-j2

2

j4

3

2

+

-

Zeq

º9050

TEOREMA DE SUPERPOSICION

A.-Calcule la i que se muestra en la figura anterior por el método de superposición.

1.-Activando la fuente de .

1.137+j0.118

1.137-j0.118

+

-

J5

3homs

J4

5homs

50 0 v 50 90 v i

50 90 v

5homs

50 90 v 3homs

J4

J5

Primero se tiene que calcular la Z equivalente del circuito. La J5 está en paralelo con 3+J4

y después esta se encuentra en serie con la de 5 homs.

5.28333.5)5()5.28333.0(

5.28333.0543

5431

JJZ

JJJ

JJZeq

Ya teniendo la Z equivalente se calcula la I total y después por divisor de Corriente se

calcula la I1 que seria la primera parte de la i que deseamos calcular.

AJJ

JII

AJJ

IT

12.434.024.710.393

5

24.710.35.28333.5

9050

1

1

Después se activa la fuente de .

Calculando la Z equivalente vemos que la resistencia de 5 homs está en paralelo con la de

3+J4 y después esta en serie con la J5.

25.65.2)5()25.15.2(

25.15.2)43()5(

)43(51

JJJZ

JJ

JZeq

Ya teniendo la Z equivalente se calcula la I total y después por divisor de Corriente se

calcula la I1 que seria la segunda parte de la i que deseamos calcular.

50 0 v

50 0 v

J5

3homs 5homs

J4

AJJJ

II

AJ

IT

13.434.0)89.675.2()43(5

5

89.675.225.65.2

50

11

1

La i que buscamos es la suma de los dos efectos que encontramos al activar cada una de las

dos fuentes.

AJIIi 2621.86945.0111

TEOREMA DE COMPENSACION

Calcular la fuente de compensación para sustituir las impedancias en paralelo J10 y 3+J4.

Para obtener la fuente de compensación que pueda sustituir a las impedancias en paralelo se

necesita conocer su Zeq y la I que circula por esas resistencias, que en este caso es la I total.

AJJJ

I

JJJ

JJZeq

T 22.149.2)10()17.346.1(

20

17.346.1)10()43(

)10)(43(

Teniendo la Z y la I que circula por las resistencias se aplica la ley de Hom (V=RI).

20v

5 homs

J10

3

J4

vV

vJV

JJV

09.3970.9

11.652.7

)22.149.2)(17.346.1(

La fuente de compensación que daría de la siguiente forma:

TEOREMA DE RECIPROCIDAD

Este teorema solo aplica en circuitos que tengan una sola fuente. Este consiste en cambiar

la fuente de posición en el circuito y calcular la corriente que circula en el lugar donde

anteriormente estaba la fuente.

Para la resolución y la obtención de la I que se indica se utilizara la segunda ley de

Kirchoff.

56 -17v

5 homs

J5

2 homs J3

6 homs 2I1II

AJI

AJI

I

I

JJ

JJ

IJIJ

IJIIJ

M

IJIJ

IIJI

M

0206.034.3

31.537.5

0

1756

885

555

0)88()(5

0))(38()(5

1756)(5)(55

0)(55)1756(

2

1

2

1

21

212

2

21

211

1

Ahora hacemos el cambio de la fuente hacia la segunda malla.

Obtenemos la I buscada utilizando la segunda ley.

5

homs

J5

8 homs J3

2I1II

56 -17v

AJI

AJI

I

I

JJ

JJ

IJIJ

IJIIJ

M

IJIJ

IIJI

M

31.336.3

0206.034.3

1756

0

885

555

1756)88()(5

01756))(38()(5

0)(5))(55(

0)(55

2

1

2

1

21

212

2

21

211

1

Como la I2 del primer circuio y la I1 en el segundo son iguales el teorema se cumple.

TEOREMA DE MILLMAN

Este teorema es utilizado para circuitos con una gran cantidad de mallas con la finalidad de

obtener un circuito más sencillo. En este método se utilizan las transformaciones Norton y

Thevenin.

A

B

6

A

2

8

hom

3 A

A

B

6A

6

v

2 homs

2 homs

4 homs

A

B

6A

6v

6 A 1.5 A 4 homs

A

B

7.5 A 4 homs

A

B

A

B

30 v

CBA

BC

CBA

CA

CBA

BA

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

3

2

1

SISTEMAS POLIFASICOS

3 3 hilos

3 4 hilos

3 5 hilos

Sistemas a trabajar:

Delta

Estrella

Según el diagrama anterior se muestran a continuación las formulas de transformación entre

los dos sistemas:

Transformación estrella-delta. Transformación delta-estrella.

1

323121

2

323121

3

323121

))(())(())((

))(())(())((

))(())(())((

Z

ZZZZZZZC

Z

ZZZZZZZB

Z

ZZZZZZZA

Nota.- En un sistema delta el voltaje de línea es igual al voltaje de fase y la corriente de línea

es 1.73 veces más grande que la de fase. En un sistema estrella las corrientes son iguales y el

voltaje de línea es 1.73 veces más grande que el de fase.

F1

F2

F3

F1

F2

F3

Neutro

F1

F2

F3

Neutro Tierra física

Potencia en sistemas polifásicos:

trifasicoVIS *3

Si los sistemas 3 son balanceados, entonces la transformación de estrella a delta será:

1

1

2

1

1

111111 33

ZZ

Z

Z

ZZZZZZZA

Por lo que para la transformación de delta a estrella quedara de la siguiente forma:

31

AZZ

La potencia entonces será:

***

3

***

333 CCBBAA

CCBBAA

IVIVIVS

IVIVIVS

m

L

m

L

V

V

V

V

2

230cos

373.173.1

30cos2

LLmmL

mL

VVVVV

VV

TENSIONES EN UN SISTEMA TRIFASICO 3

Nota: la elección de una tensión como referencia con un ángulo de face cero “0” ó nulo

determina los ángulos de face de todas las demás tenciones del sistema. Ejem:

voltsVV

voltsVV

voltsVV

V

CA

BC

AB

ABC

0

1

0

1

0

1

240

0

120

0

0

0

1503

303

903

LCN

LBN

LAN

VV

VV

VV

Voltajes 3 v2543

440

Voltajes 3 v1273

220

Sistema trifásico con un sistema ABC que alimenta una carga alimentada en delta de 3

impedancias iguales con valores: 0455AZ . Determinar las intensidades en las líneas

IA, IB, IC de acuerdo a la siguiente figura.

Para calcular las corrientes de face:

0

0

0

7544455

120220

ABI ;

0

0

0

4544455

0220

BCI ;

0

0

0

16544455

240220

CAI

BCCAC

ABBCB

CAABA

III

III

III

000

000

000

16521.76454416544

7521.7675444544

4521.76165447544

C

B

A

I

I

I

La corriente de face debe ser < a la corriente de línea.

LLA

LLALLA

CLCBLBALA

CLCBLBALA

CCBBAA

IVIVIV

IVIVIVS

IVIVIVS

IVIVIVS

33

33

3

3

3333

33 L

AAL

IIII

LLLL

LALAAA

IVIV

S

VVIVIVS

33

3

3

3

1

Calcular las corrientes de línea y la corriente que circula por el neutro de la siguiente figura.

a) Calcular las corrientes de línea y la corriente que pase por el neutro.

b) Dibujar su diagrama fasorial.

Si nuestro sistema es una carga en estrella alimentada a 150v (Nota: a nivel nacional este tipo

de voltaje no existe; es solo para fines de ejercicio.).

a)

AmpI

AmpI

AmpI

C

B

A

0

0

0

0

0

0

0

0

0

030305

30150

12030305

150150

12030305

90150

000 0301203012030

N

CBAN

I

IIII

0NI

b)

Calcular las corrientes de línea y la corriente que circula por el neutro de la siguiente figura.

a) Calcular las corrientes de línea y la corriente que pase por el neutro.

b) Dibujar su triangulo de potencias

a) Para las corrientes de línea:

ANBNLN

ABBNLB

ANABLA

III

III

III

0

0

0

0

0

0

0

0

0

87.367.1213.5310

90127

13.537.1213.5310

0127

87.812213.5310

135220

AN

BN

AB

I

I

I

AmpI

AmpI

AmpI

LN

LB

LA

000

000

000

87.17196.17)87.367.12()13.537.12(

96.8125.32)87.8122()13.537.12(

7.6525.32)87.367.12()87.8122(

La corriente que circula por el neutro es ILN.

b) Para el triangulo de potencias:

ANBNABT SSSS

VAS

VAS

VAS

AN

BN

AB

000

000

000

13.539.161287.367.12*)90127(

13.539.161213.537.12*)0127(

13.53484087.8122*)135220(

VAST

0000 13.538.8065)13.539.1612()13.539.1612()13.534840(

51.638115.4786 jST

DIAGRAMA UNIFILAR DE UNA INSTALACIÓN ELECTRICA

NUMEROS COMPLEJOS Acontinuación

Tomando el siguiente número complejo 2 + 3i explicaremos cada una de sus representaciones

Forma polar:

º30.562

3

60.3)3()2(

........º30.5660.3

22

Arctg

decires

Forma canónica: 2 + 3i es decir ))º30.56()º30.56((60.3 iSinCos

Notación de Euler : º30.5660.3 ie

Operaciones con números complejos

Suma

Sean z = -3+4i y w = 1+2i.

(-3+4i) + (1+2i) = (-3+1) + (4+2)i = -2+6i ó 6.32 108.43º ó 6.32ei108.43º

ó 6.32(Cos 108.43º + iSin 108.43º)

Multiplicación

z = 2+3i y w = 1-4i

(2+3i)*(1-4i) = (2*1 - 3*(-4)) + (2*(-4) + 3*1)i = 14-5i ó 14.86 340.34º ó 14.86ei340.34º

ó 14.86 (Cos 340.34º + iSin 340.34º)

División

z = 2+i y w = 3+2i

(2+i)/(3+2i) = ((2+i)*(3-2i))/((3+2i)*(3-2i)) = 8-i/13 ó (8.06 352.87º) / (13 0º) = 0.62 352.87º

ó 0.62ei352.87º ó 0.62(Cos 352.87º + iSin 352.87º)

Potencia de un número complejo

Para hallar la potencia de un número complejo aplicamos el Teorema De Moivre, donde z = a+bi y n es número entero positivo.

zn = rn*(cos(n*rho) + i sin(n*rho))

donde r = |z| es el módulo y rho es el argumento de z.

Sea: z1= a+ib y z2= c+id

85

21251700

)76(76

)76(10295

76

10295

76

)67(2025

76

)176)(9151110(

76

)1()76(35()3)4)(23())(3(..

101

19570

)101(101

)101)(520(

101

)723()23(

)35()76(

)35)(4()23(...

:

1,76,35,4,23:

13

227

)23(32

)23(45

)32)((

45)

722

1281510)32)(45()

1517

121532)45(323)

45

32

:

)(

)())((

)(

4

54321

34

321

54321

13

2

12

21

3

2

1

2222

21

2

1

21

21

i

ii

ii

i

i

i

ii

i

iiii

i

iiiii

z

zzzzzb

i

ii

ii

i

ii

ii

iii

zz

zzza

calcular

izizizizizejercicios

i

ii

ii

ii

i

zz

zc

i

iiiizzb

i

iiiizza

iz

iz

iz

ejercicios

dc

icbadbdac

zz

zz

z

z

icbadbdacidcibazz

idbcaidcibazz

resultado

resultado

resultado

resultado

resultado

i

iii

iiiii

Calcular

i

ii

ii

i

i

ii

iii

ii

iii

zz

zzzc

resultado

resultado

49

55101051

))(1(5)()1(10)()1(10)()1(5)1()51(

:

153

7857

)312)(312(

)312)(56(

312

)56(

76416

)443523(

)76()23(2

)1(4)35()23(

2

4

543223455

41

531

BIBLIOGRAFÍA

ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN INGENIERÍA

Hayt William H. Jr y Kemerly Jack E.

Ed. Mc Graw-Hill (6° edición)

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE CIRCUITOS

Scott Donadd E.

Ed. Mc Graw-Hill

CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Joseph A. Edminister

Ed. Mc Graw-Hill (primera edición)

CIRCUITOS ELÉCTRICOS (Introducción al análisis y diseño)

Dorf / Svoboda

Ed. Alfaomega 3° edición.

ANÁLISIS INTRODUCTORIO DE CIRCUITOS

Boylestad Reobert L.

Vicente Galceran Escobet

Ed. Trillas

ANÁLISIS BÁSICO DE CIRCUITOS

Johnson David E. Hilburn John L. Johnny R.

Ed. Hispanoamericana, S.A.

ELECTRICAL ENGINEERING CIRCUITS

Skilling Hugh Hildrteh

Ed. John Wiley y sons